Professor Arthur Moraes Cremonezi 1

Cálculo Diferencial e Integral 3

Coordenadas Esféricas

LEMBRETE - Conversão de Coordenadas(Cilíndricas - Retangulares)

Para converter de coordenadas cilíndricas paracoordenadas retangulares, usamos as equações

cosx r θ= sy r enθ= z z=

enquanto que para converter de coordenadasretangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamosas equações

2 2 2r x y= + tg

y

xθ =

z z=

R é o raio do cilindro em relação ao eixo z.

é o ângulo entre o

eixo positivo e o vetor

.OPuuur

z

é o mesmo ângulo queem coordenadascilíndricas.

Sistema de Coordenadas Esféricas

•

θ

P = ( ), ,ρ θ φ

•

φ

onde

ρ

ρ =

x

y

z

O

OPuuur

θ

φ

Note que:

0ρ ≥ 0 φ π≤ ≤

È a distânciade P até aorigem

Sistema de Coordenadas Esféricas

Conversão de Coordenadas(Esféricas - Retangulares)

•

θ

P = ( ), ,ρ θ φ

•

φρ

x

y

z

O

P = ( ), ,x y z

x

y

⋅

⋅

'P = ( ), ,0x y

r

z

φ

Q ⋅

Do triângulo retângulo , temos'OPP

cosz

φρ

= cosz ρ φ=

senr

φρ

= senr ρ φ=

Do triângulo retângulo , obtemos'QOP

⇒

⇒

( )i

( )ii

cosx

rθ = cosx r θ=

seny

rθ = seny r θ=

⇒

⇒

( )iii

( )iv

cossenx ρ φ θ= sen seny ρ φ θ=

também, a distância entre dois nos mostrta que

Para converter de coordenadas esféricas para

coordenadas retangulares, substituímos em para

encontrar a coordenada e substituímos em para

encontrar a coordenada , daí

( )ii ( )iii

x ( )ii ( )iv

y

cosz ρ φ=

usamos este resultado para converter de coordenadasretangulares para coordenadas esféricas.

2ρ =2

OPuuur

=2 2 2

x y z+ +

8

Exemplo 1:

Encontre uma equação em coordenadas esféricas para a esfera

( ) 11222 =−++ zyx

Exemplo 2:

9

Encontre uma equação em coordenadas esféricas para o cone

22yxz +=

10

Integral tripla em Coordenadas Esféricas

∫ ∫ ∫

∫∫∫

=

=

=

2

1

2

1

2

1

d d

d d

),,(

2

2

θ

θ

φ

φ

ρ

ρ

θφρφρ

θφρφρ

θφρ

dsen

dsendV

dVfR

Exemplo 3:

11

Usando Coordenadas esféricas calcule o volume do “sorvete de casquinha”

cortado da esfera sólida e pelo cone1≤ρ3

πφ =

Exemplo 4:

12

Se um ponto P tem coordenadas esféricas , encontre suascoordenadas cartesianas.

3,

6,4

ππ

Exemplo 5:

13

Transforme a equação para coordenadascartesianas

θφρ cos2sen=

Exemplo 6:

14

Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido limitado

acima pela esfera e abaixo pelo cone16222 =++ zyx

22yxz +=