CONTROLE CONTROLE AVANÇADOAVANÇADO

Prof. André Laurindo MaitelliProf. André Laurindo Maitelli

DCA-UFRN

IDENTIFICAÇÃO DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS SISTEMAS

DINÂMICOSDINÂMICOS

IntroduçãoIntrodução• “É a determinação de um modelo matemático que

represente os aspectos essenciais do sistema, caracterizado pela manipulação dos sinais de entrada e saída que estão relacionados através de uma função de transferência contínua ou discreta”

• “É a determinação, com base em entradas e saídas, de um sistema em uma classe de sistemas especificados, ao qual o sistema em teste é equivalente”.

• Para processos industriais, o modelo pode ser obtido a partir do tratamento das medidas coletadas através de uma realização experimental

IntroduçãoIntrodução

Processosaídaentrada

Modelo matemático do processo

Técnicas de Identificação

incertezas

EtapasEtapas• Planejamento Experimental

– o sinal de entrada deve excitar todos os modos do sistema

– um bom método de identificação deve ser insensível às características do sinal de entrada

• Seleção da Estrutura do Modelo

– pode ser feita a modelagem usando leis físicas

– a modelagem pode ser do tipo caixa preta, quando não se tem nenhum conhecimento sobre o processo

– pode ser caixa cinza, quando se tem algum conhecimento

• Estimação de Parâmetros

– baseada em: dados de entrada e saída do processo, uma classe de modelos e um critério

• Validação

– verificação da adequação do modelo escolhido

Laço de IdentificaçãoLaço de Identificação

Planejamento Experimental

Dados

Conjunto de modelos

Avaliação do modelo

Critério

Validação

OKusar

Não OK revisar

conhecimentoa priori

* O modelo pode ser deficiente devido a:- falha do procedimento numérico- critério mal escolhido- conjunto de modelos inapropriado- dados não informativos

ProcedimentosProcedimentos• Diferentes procedimentos para a geração do

sinal de entrada, medição da saída e armazenamento dos dados:– Teste de resposta ao degrau– Teste de resposta em freqüência– Off-line– On-line

ProcedimentosProcedimentos• Identificação de um processo pelo teste de

resposta ao degrau:

Processo Armazenamento de dados

entrada saída

• O teste só tem validade para processos lineares ou não-lineares linearizados em pontos de operação

• Não permite a identificação de modelos de ordem superior, pois o degrau tem pobre composição em freqüência

ProcedimentosProcedimentos• Identificação de um processo pelo teste de

resposta em freqüência:

• Aplica-se um sinal senoidal de freqüência variável na entrada do processo

• Analisa-se as curvas de resposta em freqüência, identificando-se pólos e zeros

Processoentrada saídaAnalisador

de Espectro

módulo fase

ProcedimentosProcedimentos• Identificação off-line:

– Excita-se o processo e armazenam-se as medidas de entrada e saída para aplicação e avaliação a posteriori dos algoritmos não recursivos

– É necessário o conhecimento da estrutura do modelo, envolvendo ordem e atraso de transporte

ProcedimentosProcedimentos• Identificação on-line:

– Excita-se o processo e trata-se em tempo real as medidas de entrada e saída obtidas

– A aplicação em tempo real dos algoritmos de identificação é interessante para o rastreamento dos parâmetros variantes no tempo

– Supera uma desvantagem da aplicação off-line que é a necessidade de armazenamento de uma grande quantidade de dados.

Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros

))k(u),k(y,(f)1k(y

ESTIMADOR

)k(u )k(y

Serão considerados modelos ARMAX:

)k(e)mk(ub...)2k(ub)1k(ub)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y m21n21

Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados

Supondo que foram feitas N medidas de entrada e saída:

)N(u),....,1(u),0(u )N(y),....,1(y),0(y

Definindo:

)N(y

)2(y

)1(y

Y

m

2

1

n

2

1

b

b

b

a

a

a

)N(e

)2(e

)1(e

e

)mN(u1N(u)nN(y)1N(y

)m2(u)1(u)n2(y)1(y

)m1(u)0(u)n1(y)0(y

X

eXY Tem-se:

ExemploExemplo

)k(e)1k(bu)1k(ay)k(y

)N(e

)2(e

)1(e

b

a

)1N(u)1N(y

)1(u)1(y

)0(u)0(y

)N(y

)2(y

)1(y

eXY

Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados

• Problema a ser resolvido:– Dados Y e X, obter θ

• Solução: utilizar método dos mínimos quadrados. Escolher θ que minimize a função erro J:

N

1k

T2 ee)k(eJ

XYXYJ T

Mínimo quando: 0J

ˆ

0XXYXXYYY TTTTTT 0ˆXX2YX2 TT

YXXXˆ T1T

Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados

• Observações:– A solução existe se (XTX)-1, a chamada pseudo-

inversa, for não-singular– A seqüência escolhida de entradas {u(k)} deve

garantir a existência da não-singularidade– Se não houver a presença de incertezas (ruídos)

podemos achar em N=n+m passos– A matriz X cresce a medida que N cresce

YXXXˆ T1T

x

yp

yrMin Σ

ExemploExemplo

)1k(u)1k(y8.0)k(y

Suponha y(0)=0 e que foi aplicada a seguinte entrada: u(0)=1 e u(1)=-1

Logo: y(1)= -0.8y(0)+u(0)= 1 y(2)= -0.8y(1)+u(1)= -1.8

8.1

1Y

11

10X

21

11

11

10

11

10XXT

11

12XX

1T

0.1

8.0

8.1

1

11

10

11

12

b

aˆ

Propriedades Estatísticas do Propriedades Estatísticas do EstimadorEstimador

• Assumindo que e(k) é uma variável aleatória independente, gaussiana com média zero e variância σ2, ou seja,

0)k(eE ij2)j(e)i(eE

1) Média

eXXXXXXXeXXXXˆ T1TT1TT1T

eXXXˆ T1T }e{EXXXEEˆE T1T

Mas 0}e{E

ELogo:

Propriedades Estatísticas do Propriedades Estatísticas do EstimadorEstimador

2) Covariância

TˆˆE

TT1TT1T eXXXeXXXE

1TTT1T XXXeeEXXX

IXX 21T Assim,

Os elementos da diagonal de Ψ representam as variâncias de cada parâmetro que compõe o vetor de parâmetros θ

Propriedades Estatísticas do Propriedades Estatísticas do EstimadorEstimador

Para N observações:1T2

N

XX

N

Calculando:

1T2

NN N

XX

Nlimlim

Se o estimador for consistente:

1T

N N

XXlim

em que Γ é uma matriz constante não-singular

Então, 0limN

Propriedades Estatísticas do Propriedades Estatísticas do EstimadorEstimador

Conclusão:

Se e E 0limN

Então quando N

O estimador é consistente

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo

• Ideal para aplicações on-line em sistemas com parâmetros constantes e desconhecidos

)1N(e

)N(E

)1N(x

)N(X

)1N(y

)N(Y

T

1)e(Nm)1u(Nu(N)n)1y(Ny(N)1)y(N

)N(e

)2(e

)1(e

)mN(u)1N(u)nN(y)1N(y

)m2(u)1(u)n2(y)1(y

)m1(u)0(u)n1(y)0(y

)N(y

)2(y

)1(y

Generalizando, temos:

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo

Já sabemos que:

Considerando: IZ)I(Z

NTNNN

TN

1

NTN YXPYXXXˆ

N

Logo, com (N+1) amostras: 1NT

1N

1

1NT

1N1 YXXXˆ

N

1N

NT

1N

1

1NT

1N1

y

Y

XXXˆ N

1N

N

1NTN

1

T1N

N

1NTN1

y

Y

xX

x

X

xXˆ N

1N1NNTN

1T1N1NN

TN1 yxYXxxXXˆ

N

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo

Lema de Inversão de MatrizesLema de Inversão de Matrizes:

Sejam Anxn

bnx1, cnx1

A, (A+bcT) matrizes não-singulares

Então:

1111T11T bcAAbAc1AbcA

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo

Definindo: 1T1N1NN

TN1N xxXXP

E usando o lema de inversão de matrizes, com:

T1N

T1NN

TN xc ,xb ,XXA

1

NTN

T1N1N

1

NTN

1

1N

1

NTN

T1N

1

NTN1N XXxxXXxXXx1XXP

NT

1N1NN

1

1NNT

1N1N PxxPxPx1IP

Temos que:

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo

Assim: 1N1NNTN1N1N yxYXPˆ

1N1NNTNN

T1N1NN

1

1NNT

1N1N yxYXPxxPxPx1Iˆ

1N1NNTNN

T1N1NN

1

1NNT

1N1N1NNNTNN1N yxYXPxxPxPx1yxPYXPˆ

1N1NNT

1N1NNNTNN

T1N1NN1N1NN1NN

T1N

1

1NNT

1NN1N yxPxxPYXPxxPyxPxPx1xPx1ˆˆ

1N1NNT

1NNTNN

T1N1N1NN

T1N1NN

1

1NNT

1NN1N yxPxYXPxyxPx1xPxPx1ˆˆ

NT

1N1N1NN

1

1NNT

1NN1NˆxyxPxPx1ˆˆ

Finalmente, temos que:

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados RecursivoQuadrados Recursivo

Assim:

)1mN(u)N(u)1nN(y)N(yx T1N

Em que:

É chamado de regressorregressor e contém as informações de entrada e saída

NT

1NN1N

NT

1N1NNN1N

1NN

1

1NNT

1NN

PxKIP

ˆxyKˆˆ

xPxPx1K

Seleção de PSeleção de P00 e e

1) Calculando os primeiros k pontos:

2) arbitrário

0

kTk

1

kTkk YXXXˆ

1

kTkk XXP

0

IP0

Na k-ésima iteração os valores de e se aproximamdaqueles calculados em 1) se α→infinito

k kP

Seleção de PSeleção de P00 e e 0

1Tkk

11kk xxPP

1T

1k1k12k1k xxPP

1Tkk

T1k1k

T11

10k xxxx....xxPP

1Tkk

T1k1k

12kk xxxxPP

1

kTk

1ok XXPP

Seleção de PSeleção de P00 e e 0

kTkkk YxPˆ

k

1k

kT

1kkk

y

Y

xXPˆ

kk1kT

1kkk yxYXPˆ

kk

1k

2k

1kT

2kkk yx

y

Y

xXPˆ

kk110T0kk yx....yxYXPˆ

kTk0

10kk YXˆPPˆ

Seleção de PSeleção de P00 e e 0

Conclusão:Para (α grande) e arbitrário:IP0 0

0P 10

kTkkk YXPˆ 1

kTkk XXP

Isto significa que, nestas condições, o método recursivo aproxima-se do exato.

Excitação PersistenteExcitação Persistente• O sinal de controle deve ser escolhido de

forma a excitar todos os modos do sistema;• Para tanto deve ser rico em freqüências• Um sinal muito utilizado na prática é o

PRBS (Pseudo Random Binary Signal), por possuir estas características

+1

-1

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de

EsquecimentoEsquecimento

• Utilizado para sistemas variantes no tempo;

• A idéia é dar um maior “peso” aos dados mais atuais;

• Deve-se ter um cuidado na escolha do fator de esquecimento;

• Alternativamente, pode-se utilizar outros métodos como o “reset” da matriz de covariância.

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de

EsquecimentoEsquecimentoDefinindo:

T2N1NN )N(e)2(e)1(e

NTNN EEJ

NTN

1

NTNN YXXXˆ

)N(e)1N(e....)2(e)1(e)k(eJ 2222N21N2N

1k

kNN

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de

EsquecimentoEsquecimento

)k(eJ 21N

1k

k1N1N

T2N1N1N )1N(e)N(e)2(e)1(e

Assim,

)1N(e

E

EN

1N

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de

EsquecimentoEsquecimento

1N

N

T1N

N

1N

N

e

E

x

X

y

Y

1NT

1N

1

1NT

1N1N YXXXˆ

1N

N

1NTN

1

T1N

N

1NTN1N

y

Y

xX

x

X

xXˆ

1N1NNTN

1T1N1NN

TN1N yxYXxxXXˆ

Método dos Mínimos Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Quadrados Recursivo com Fator de

EsquecimentoEsquecimento

NT

1NN1N

NT

1N1NNN1N

1NN

1

1NNT

1NN

PxKI1

P

ˆxyKˆˆ

xPxPxK

10

Usualmente λ entre 0.995 e 1

Definindo: 1T1N1NN

TN1N xxXXP

E usando procedimento semelhante ao caso sem esquecimento,obtém-se:

Seleção da Estrutura do ModeloSeleção da Estrutura do Modelo

• A seleção da estrutura de um modelo, no caso de sistemas monovariáveis limita-se à determinação da ordem do modelo e a determinação do atraso de transporte;

• A partir desta afirmação surge um compromisso entre a capacidade de representação da dinâmica essencial do sistema e um número adequado de parâmetros que possibilite menor esforço para o processamento dos algoritmos de identificação e controle;

Seleção da Estrutura do ModeloSeleção da Estrutura do Modelo

• Definindo: 2N

1kk

T1kNˆx)1k(y

N

1J

• Podemos utilizar o critério de Akaike para determinar a melhor estrutura:

p2JlnNAIC N

• em que N é o numero de medidas realizadas durante o experimento e p é o número de parâmetros utilizados no modelo estimado;

Seleção da Estrutura do ModeloSeleção da Estrutura do Modelo

• O critério é utilizado da seguinte maneira:– inicia-se com a utilização de um modelo de

baixa ordem, n=m=1, por exemplo;– aumenta-se a ordem do modelo estimado e o

critério é avaliado para cada incremento na ordem, utilizando um determinado conjunto de medidas;

– A escolha da estrutura adequada é baseada na menor taxa de variação do critério.