Post on 18-Apr-2015
Como aplicar leis da lógica
Matemática Discreta
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Equação 16:
Ela diz que: “negar (alguma coisa E outra)” é o mesmo que “(negar alguma coisa) OU (negar outra)”.
Aplicação das Leis
2
¬ (𝑝⋀𝑞 )≡¬𝑝⋁¬𝑞
Equação 16:
Onde se vê e , leia-se “qualquer proposição”.
Ou seja, vamos enxergá-la como sendo:
onde e significam qualquer proposição.
Aplicação das Leis
3
¬ (𝑝⋀𝑞 )≡¬𝑝⋁¬𝑞
¬ (⋀ )≡¬⋁¬
Equação 16:
e são como lacunas a serem preenchidas.
E quanto aos símbolos , , , (, e ) ?
Estes símbolos devem aparecer OBRIGATORIAMENTE!
Aplicação das Leis
4
¬ (⋀ )≡¬⋁¬
Equação 16:
Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a
Sim! Veja:
Aplicação das Leis
5
¬ (⋀ )≡¬⋁¬
¬ (𝑟⋀𝑠¿
Equação 16:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
6
≡ ¬ ¬𝑟 𝑠⋁
Equação 16:
Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a
Sim! Veja:
Aplicação das Leis
7
¬ (⋀ )≡¬⋁¬
¬𝑡 𝑘⋁¬
Equação 16:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
8
≡¬ ¬𝑡 𝑘⋁¬ ⋀¿ ¿𝑡 𝑘
Equação 16:
Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a
Sim! Veja:
Aplicação das Leis
9
¬ ( (𝑞⋁𝑝) ⋀ ( ¿
≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿
Equação 16:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
10
(𝑞⋁𝑝) (≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿(𝑞⋁𝑝) (
Equação 16:
Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a
Sim! Veja:
Aplicação das Leis
11
¬(¬𝑝) (
𪠪
⋁
¬ ⋀¿ ¿
¬
⋁
Equação 16:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
12
(¬𝑝) (¬(¬ (¬𝑞 ))¿≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿(¬𝑝) (
Equação 16:
Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a
Sim! Veja:
Aplicação das Leis
13
¬ ( (¬𝑝) ⋀ ( ¿
≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿
Equação 16:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
14
(¬𝑝) (≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿(¬𝑝) (
Um erro comum é aplicar dupla negação a este resultado: (
ERRA
DO
Dupla negação é
outro passo
de prova.
Equação 16:
Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a
Sim! Veja:
Aplicação das Leis
15
¬ (𝑘 ⋀𝑘¿
≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿
Equação 16:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
16
𝑘 𝑘≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿𝑘 k
O fato de e serem ambos K não é um problema. e podem ser iguais.
Equação 8:
Exemplo: posso aplicar a Equação 8 a
Sim! Veja:
Aplicação das Leis
17
𝑘 ⋀𝑘
≡⋀
𝑝⋀𝑝≡𝑝
Equação 8:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
18
𝑘≡⋀𝑘 k𝑝⋀𝑝≡𝑝
Equação 8:
Exemplo: posso aplicar a Equação 8 a
Sim! Veja:
Aplicação das Leis
19
( 𝑡⟶𝑘 ¿⋀( 𝑡⟶𝑘 ¿
≡⋀
𝑝⋀𝑝≡𝑝
Equação 8:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
20
( 𝑡⟶𝑘 ¿≡⋀( 𝑡⟶𝑘 ¿
𝑝⋀𝑝≡𝑝
Equação 8:
Exemplo: posso aplicar a Equação 8
no lado esquerdo?
NÃO do lado esquerdo! Veja:
Aplicação das Leis
21
(𝑞⋁𝑝) ⋀ (
≡⋀
𝑝⋀𝑝≡𝑝O pode ser qualquer expressão, mas uma vez definido que expressão ela será, tem que haver total consistência em toda a equação. Neste exemplo, assume 2 possíveis valores, o que está incorreto.
Equação 8:
Exemplo: posso aplicar a Equação 8 (pela direita) a
SIM! Veja:
Aplicação das Leis
22
(𝑞⋁𝑝) ⋀ (
≡⋀
𝑝⋀𝑝≡𝑝(q⋁ p ) ⋀ ( t⟶k )(𝑞⋁𝑝 )⋀ (𝑡⟶𝑘 )
Equação 8:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
23
≡⋀
𝑝⋀𝑝≡𝑝
(q⋁ p ) ⋀ ( t⟶k )(q⋁ p ) ⋀ ( t⟶k ) (q⋁ p ) ⋀ ( t⟶k )
Equação 16:
Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a
NÃO! Veja:
Aplicação das Leis
24
( (𝑞⋁𝑝) ⋀ ( ¿
≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿
Equação 16:
Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a
NÃO! Veja:
Aplicação das Leis
25
( (𝑞⋁𝑝) ( ¿
≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿
¬ ⋁
Equação 16:
Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a
NÃO! Veja:
Aplicação das Leis
26
¬) (
𪠪
⋁
¬ ⋀¿ ¿ ⋁
Equação 9:
Exemplo: posso aplicar a Equação 9 a
NÃO! Veja:
Aplicação das Leis
27
((¬𝑞)⋀𝑟 )
≡¬¿
¬(¬𝑝 )≡𝑝
¬
¿
A dupla negação deve ser aplicada quando a mesma expressão está sendo negada duas vezes. No caso deste exemplo, há uma negação de , mas a segunda negação é apenas em cima de q. A equação 9 poderia ser aplicada em
mas nunca em .
Equação 47:
Exemplo: posso aplicar a Equação 47 a
SIM! Veja:
Aplicação das Leis
28
{𝑥|𝑥∈
=
{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴
{𝑥|𝑥∈}
𝐶 }
Equação 47:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
29
{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴
={𝑥|𝑥∈𝐶 } 𝐶
Equação 47:
Exemplo: posso aplicar a Equação 47 a
SIM! Veja:
Aplicação das Leis
30
{𝑥|𝑥∈𝐴∪ 𝐵}
=
{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴
{𝑥|𝑥∈}
Equação 47:
Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?
Aplicação das Leis
31
{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴
={𝑥|𝑥∈𝐴∪ 𝐵} A
Equação 47:
Exemplo: posso aplicar a Equação 47 a
NÃO! Veja:
Aplicação das Leis
32
𝑥∈𝐵
=
{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴
{𝑥|𝑥∈}A expressão é uma proposição. A equação 47 pede um conjunto.
Não podemos transformar uma proposição em conjunto.
Podemos aplicar as leis da lógica a qualquer trecho de uma expressão
Por exemplo, podemos aplicar a Equação 16 (De Morgan) aos trechos em vermelho
Aplicação das Leis
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Matemática Discreta