Como aplicar leis da lógica

Matemática Discreta

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Equação 16:

Ela diz que: “negar (alguma coisa E outra)” é o mesmo que “(negar alguma coisa) OU (negar outra)”.

Aplicação das Leis

2

¬ (𝑝⋀𝑞 )≡¬𝑝⋁¬𝑞

Equação 16:

Onde se vê e , leia-se “qualquer proposição”.

Ou seja, vamos enxergá-la como sendo:

onde e significam qualquer proposição.

Aplicação das Leis

3

¬ (𝑝⋀𝑞 )≡¬𝑝⋁¬𝑞

¬ (⋀ )≡¬⋁¬

Equação 16:

e são como lacunas a serem preenchidas.

E quanto aos símbolos , , , (, e ) ?

Estes símbolos devem aparecer OBRIGATORIAMENTE!

Aplicação das Leis

4

¬ (⋀ )≡¬⋁¬

Equação 16:

Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a

Sim! Veja:

Aplicação das Leis

5

¬ (⋀ )≡¬⋁¬

¬ (𝑟⋀𝑠¿

Equação 16:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

6

≡ ¬ ¬𝑟 𝑠⋁

Equação 16:

Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a

Sim! Veja:

Aplicação das Leis

7

¬ (⋀ )≡¬⋁¬

¬𝑡 𝑘⋁¬

Equação 16:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

8

≡¬ ¬𝑡 𝑘⋁¬ ⋀¿ ¿𝑡 𝑘

Equação 16:

Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a

Sim! Veja:

Aplicação das Leis

9

¬ ( (𝑞⋁𝑝) ⋀ ( ¿

≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿

Equação 16:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

10

(𝑞⋁𝑝) (≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿(𝑞⋁𝑝) (

Equação 16:

Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a

Sim! Veja:

Aplicação das Leis

11

¬(¬𝑝) (

𪠪

⋁

¬ ⋀¿ ¿

¬

⋁

Equação 16:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

12

(¬𝑝) (¬(¬ (¬𝑞 ))¿≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿(¬𝑝) (

Equação 16:

Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a

Sim! Veja:

Aplicação das Leis

13

¬ ( (¬𝑝) ⋀ ( ¿

≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿

Equação 16:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

14

(¬𝑝) (≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿(¬𝑝) (

Um erro comum é aplicar dupla negação a este resultado: (

ERRA

DO

Dupla negação é

outro passo

de prova.

Equação 16:

Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a

Sim! Veja:

Aplicação das Leis

15

¬ (𝑘 ⋀𝑘¿

≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿

Equação 16:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

16

𝑘 𝑘≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿𝑘 k

O fato de e serem ambos K não é um problema. e podem ser iguais.

Equação 8:

Exemplo: posso aplicar a Equação 8 a

Sim! Veja:

Aplicação das Leis

17

𝑘 ⋀𝑘

≡⋀

𝑝⋀𝑝≡𝑝

Equação 8:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

18

𝑘≡⋀𝑘 k𝑝⋀𝑝≡𝑝

Equação 8:

Exemplo: posso aplicar a Equação 8 a

Sim! Veja:

Aplicação das Leis

19

( 𝑡⟶𝑘 ¿⋀( 𝑡⟶𝑘 ¿

≡⋀

𝑝⋀𝑝≡𝑝

Equação 8:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

20

( 𝑡⟶𝑘 ¿≡⋀( 𝑡⟶𝑘 ¿

𝑝⋀𝑝≡𝑝

Equação 8:

Exemplo: posso aplicar a Equação 8

no lado esquerdo?

NÃO do lado esquerdo! Veja:

Aplicação das Leis

21

(𝑞⋁𝑝) ⋀ (

≡⋀

𝑝⋀𝑝≡𝑝O pode ser qualquer expressão, mas uma vez definido que expressão ela será, tem que haver total consistência em toda a equação. Neste exemplo, assume 2 possíveis valores, o que está incorreto.

Equação 8:

Exemplo: posso aplicar a Equação 8 (pela direita) a

SIM! Veja:

Aplicação das Leis

22

(𝑞⋁𝑝) ⋀ (

≡⋀

𝑝⋀𝑝≡𝑝(q⋁ p ) ⋀ ( t⟶k )(𝑞⋁𝑝 )⋀ (𝑡⟶𝑘 )

Equação 8:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

23

≡⋀

𝑝⋀𝑝≡𝑝

(q⋁ p ) ⋀ ( t⟶k )(q⋁ p ) ⋀ ( t⟶k ) (q⋁ p ) ⋀ ( t⟶k )

Equação 16:

Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a

NÃO! Veja:

Aplicação das Leis

24

( (𝑞⋁𝑝) ⋀ ( ¿

≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿

Equação 16:

Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a

NÃO! Veja:

Aplicação das Leis

25

( (𝑞⋁𝑝) ( ¿

≡¬ ¬⋁¬ ⋀¿ ¿

¬ ⋁

Equação 16:

Exemplo: posso aplicar a Equação 16 a

NÃO! Veja:

Aplicação das Leis

26

¬) (

𪠪

⋁

¬ ⋀¿ ¿ ⋁

Equação 9:

Exemplo: posso aplicar a Equação 9 a

NÃO! Veja:

Aplicação das Leis

27

((¬𝑞)⋀𝑟 )

≡¬¿

¬(¬𝑝 )≡𝑝

¬

¿

A dupla negação deve ser aplicada quando a mesma expressão está sendo negada duas vezes. No caso deste exemplo, há uma negação de , mas a segunda negação é apenas em cima de q. A equação 9 poderia ser aplicada em

mas nunca em .

Equação 47:

Exemplo: posso aplicar a Equação 47 a

SIM! Veja:

Aplicação das Leis

28

{𝑥|𝑥∈

=

{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴

{𝑥|𝑥∈}

𝐶 }

Equação 47:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

29

{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴

={𝑥|𝑥∈𝐶 } 𝐶

Equação 47:

Exemplo: posso aplicar a Equação 47 a

SIM! Veja:

Aplicação das Leis

30

{𝑥|𝑥∈𝐴∪ 𝐵}

=

{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴

{𝑥|𝑥∈}

Equação 47:

Agora que temos um casamento de padrão perfeito, qual seria o resultado da transformação?

Aplicação das Leis

31

{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴

={𝑥|𝑥∈𝐴∪ 𝐵} A

Equação 47:

Exemplo: posso aplicar a Equação 47 a

NÃO! Veja:

Aplicação das Leis

32

𝑥∈𝐵

=

{𝑥|𝑥∈𝐴 }=𝐴

{𝑥|𝑥∈}A expressão é uma proposição. A equação 47 pede um conjunto.

Não podemos transformar uma proposição em conjunto.

Podemos aplicar as leis da lógica a qualquer trecho de uma expressão

Por exemplo, podemos aplicar a Equação 16 (De Morgan) aos trechos em vermelho

Aplicação das Leis

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