Post on 07-Jan-2017
COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Comparando com a prova do ano anterior é possível observar uma melhora. Para analisar a prova, utilizamos alguns critériosque julgamos necessários numa avaliação de conhecimento. Veja a análise dos critérios a seguir:
Correção
( ) Adequado
( x ) Adequado parcialmente
( ) Inadequado
Abrangência
( ) Adequado
( ) Adequado parcialmente
( x ) Inadequado
Justificativa: Da 9 questões observa-se a existência de duas questões de Geometria dos Sólidos e de duas outrasenvolvendo assuntos do Ensino Fundamental.
Gradação
( ) Adequado
( x ) Adequado parcialmente
( ) Inadequado
Justificativa: predominância de questões de nível fácil e médio e ausência de questões difíceis.
Contexto
( x ) Adequado
( ) Adequado parcialmente
( ) Inadequado
Pertinência
( ) Adequado
( ) Adequado parcialmente
( x ) Inadequado
Justificativa: Em Geometria Analítica, por exemplo, a questão 2 cobra um “detalhe” diante de assuntos muito mais relevantes;a questão 3 aborda assunto não pertinente ao Ensino Médio, (é considerado do Ensino Fundamental).
EQUIPE DE MATEMÁTICA DO CURSO POSITIVO
1 MATEMÁTICA
Resolução:
Sendo M o valor da média aritmética da quantidade de animais adotados nos cinco anos, tem-se:
M =500 450 400 400 300
5+ + + +
=2050
5= 410
Logo, a média aritmética anual de animais adotados é igual a 410.
Resposta: d
Resolução:
Da figura, a ordenada (y) do ponto P é igual a 3. Logo, para obter o valor da abscissa (x), basta substituir y = 3 na equação dareta r e encontrar o valor de x:
2 . y – x + 2 = 0
y = 3 → 2 . 3 – x + 2 = 0
6 + 2 = x
x = 8
Logo, as coordenadas do ponto P são (8; 3).
Resposta: c
2 MATEMÁTICA
Resolução:
A pena mínima será dois terços menor que 5 anos, ou seja, será um terço de 5 anos:
13
. 5 anos =13
. 5. 12 meses = 20 meses = 1 ano e 8 meses
A pena máxima será um sexto menor que 15 anos, ou seja, será cinco sextos de 15 anos:
56
. 15 anos =56
. 15 . 12 meses = 150 meses = 12 anos e 6 meses
Resposta: a
Resolução:
Exatamente 3 cores seriam suficientes. Bastaria, para tanto, pintar as faces opostas do cubo com cores distintas, de modo autilizar 3 cores. A seguir, é possível visualizar uma disposição possível com 3 cores utilizadas:
Resposta: b
3 MATEMÁTICA
4 MATEMÁTICA
Resolução:
Pode-se considerar o formato do recipiente como sendo a justaposição de um cilindro (parte superior) e um cone invertido (parteinferior) de base comum.
Na parte inferior, é possível relacionar-se a medida da altura alcançada pelo líquido com o correspondente volume despejadodo líquido por meio de dois triângulos semelhantes:
Semelhança de triângulos:
rR
hr
R . h= ⇒ =l l
Para se calcular o volume do líquido quando se atinge uma determinada altura h, 0 ≤ h ≤ l, basta calcular-se o volume de umcone de altura h e raio r:
V =13
. π . r2 . h
Substituindo r =R . hl
, tem-se:
V =13
. π .R . h 2
l
. h
V =πR2
3 2l. h3
Como R e l são constantes, pode-se considerarπR2
3 2l= k1, ou seja:
V = k1 . h3
A relação anterior indica que, na parte inferior (cone), a medida do volume (V) é diretamente proporcional ao cubo da medida daaltura (h), em que k1 é a constante de proporcionalidade que depende de R e l.
5 MATEMÁTICA
Nessa parte inferior do sólido, a relação entre a altura (h) e o respectivo volume (V) do líquido pode ser representada por umarco de parábola cúbica pertencente ao 1º quadrante, já que V e h são não negativos:
Na parte superior (cilindro) a medida do volume (V) pode ser calculada pelo volume de um cilindro de altura h e raio R:
V = πR2 . h
Como R2 é constante, pois R é constante, pode-se considerar R2 = k2, ou seja:
V = k2 . h
A relação indica que o volume (V) é diretamente proporcional à medida da altura do líquido (h), sendo k2 a constante deproporcionalidade que depende exclusivamente de R.
Nessa parte superior, o gráfico é uma semirreta com origem na extremidade de ordenada l do arco de parábola cúbicadestacado anteriormente.
Desta forma, o gráfico que melhor descreve a altura h, do nível do líquido, em termos do volume total V, do líquido despejado norecipiente está representado a seguir:
Resposta: d
6 MATEMÁTICA
Resolução:
Para determinarmos a quantidade do nutriente 2 presente na mistura das rações, podemos calcular o elemento a21 do produtodas matrizes:
210 370 450 290
340 520 305 485
145 225 190 260
35%
2
5%
30%
10%
.
a21 =340.35 520.25 305.30 485.10
100+ + +
= 389
Portanto, 389 mg do nutriente 2 estão presentes na mistura das quatro rações.
Resposta: a
7 MATEMÁTICA
Resolução:
Em 1 hora, o primeiro navio teria percorrido 16 km, enquanto o segundo navio, teria percorrido 6 km. Na próxima ilustração, deacordo com as trajetórias destacadas no enunciado, vamos considerar que, após uma hora, o primeiro navio situe-se no pontoA, enquanto o segundo navio esteja no ponto B e que ambos tenham partido do porto localizado no ponto O.
Aplicando a lei dos cossenos no lado de medida AB do triângulo ABO, tem-se:
(AB)2 = (AO)2 + (BO)2 – 2 . (AO) . (BO) . cos 60o
(AB)2 = 162 + 62 – 2 . 16 . 6 .12
(AB)2 = 196
(AB)2 = 142
AB = 14, pois AB > 0
Portanto, a distância entre os navios após uma hora é igual a 14 km.
Resposta: b
8 MATEMÁTICA
Resolução:
Se somente é possível segurar o pedaço da pizza com as mãos nuas quando a temperatura for igual a 65 oC, então:
T = 160 x 2–0,8 x t + 25
65 = 160 . 2–0,8t + 25
65 – 25 = 160 . 2–0,8 x t
40 = 160 x 2–0,8t
Dividindo ambos os membros por 160, tem-se:
2–2 = 2–0,8t
–2 = –0,8 . t
Dividindo membro a membro por (–0,8), tem-se:
t = 2,5
Logo, o tempo necessário é igual a 2,5 minutos.
Resposta: c
Resolução:
Considerando o triângulo retângulo da figura, com o vértice no centro da esfera (o que deveria estar explícito no enunciado),temos:
O volume V de um cilindro de raio r e altura h é dado por:
V = πr2 . h
Se o volume é igual a 72π, então:
72π = πr2 . h
72 = r2 . h
9 MATEMÁTICA
Da figura, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo em destaque, tem-se:
52 = r2 + x2
r2 = 25 – x2
Substituindo na relação do volume, tem-se:
72 = (25 – x2) . h
Observando que h = 2x, tem-se:
72 = (25 – x2) . 2x
72 = 50x – 2x3
2x3 – 50x + 72 = 0
x3 – 25x + 36 = 0
Escrevendo os divisores de 36, tem-se {±1, ±2, ±3, ± 4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36}. Podemos observar que 4 é uma das raízes daequação, pois
43 – 25.4 + 36 = 64 – 100 + 36 = 0.
Aplicando o método de Briot-Rufini, temos:
4 1 0 – 25 36
1 4 – 9 0
que resulta na equação:
x2 + 4x – 9 = 0
∆ = 42 – 4.1. (– 9) = 52
x =–4 2 13
2± ⇒ x = –2 ± 13
x = – 2 + 13 ou x = –2 – 13
Se 0 < x < 5, então x = 4 ou x = –2 + 13.
Portanto, o maior valor de x é igual a 4.
Resposta: e
10 MATEMÁTICA