COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA

É com grande satisfação que, se comparada com os anos anteriores, constatamos que a prova de matemática estátecnicamente melhor. Enunciados impecáveis, nível das questões estratificado, considerando ser uma prova de 1ª fase.

A registrar a ausência de temas clássicos do ensino médio, como matrizes e determinantes, polinômios e equaçõesalgébricas, logaritimos e sistemas de equações, dentre outros. Creditamos grande parte dessas ausências ao númeropequeno de questões de cada matéria na primeira fase.

Parabenizamos a comissão organizadora.

Resolução:

Se 48% da população (P) são homens (H), então 52% da população são mulheres (M). Ou seja,

48%P = H e 52%P = M

O número de canhotos é 11% H + 9%M, logo:

11%.(48%P) = 5,28% P são homens canhotos e 9%.(52%P) = 4,68% P são mulheres canhotas.

O número de canhotos é 5,28% P + 4,68% P = 9,96% P.

Portanto, 9,96% da população é canhoto.

Resolução:

Supondo que os dentes de cada engrenagem sejam do mesmo tamanho e se encaixem perfeitamente, observa-se que aprimeira delas realiza uma volta completa a cada giro de 7 dentes; a segunda, a cada giro de 20 dentes; e a terceira, a cadagiro de 30 dentes. Para que ocorra novamente um realinhamento das quatro flechas é necessário e suficiente que cada umadas rodas realize um número inteiro de voltas. Isto ocorrerá se a quantidade de dentes girados em cada roda for igual a umnúmero natural que seja múltiplo simultâneo de 7, 20 e 30. Logo, o número mínimo de voltas pode ser obtido pelo mínimomúltiplo comum dos números 7, 20 e 30, ou seja:

m.m.c {7; 20; 30} = 7 . 2 . 3 . 10 = 420

Desta forma, em um giro de 420 dentes, a menor das engrenagens deve realizar4207

= 60 voltas.

1 MATEMÁTICA

Resolução:

Seja P a probabilidade de que os dois cartuchos, escolhidos ao acaso, tenham cores distintas. A probabilidade de que osdois cartuchos tenham cores distintas é igual à probabilidade de se escolher um primeiro cartucho qualquer, multiplicadapela probabilidade de se escolher um segundo cartucho que tenha uma cor diferente da cor do primeiro. Logo:

P =88

67

67

. �

Resolução:

Se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro da circunferência à reta é igual à medida do raio desta circunfe-rência.

Reta: 2x – y + 2 = 0

Centro: C(0, 0)

Distância do centro à reta: d =2 0 1 0 2

2 12 2

. .

( )

� �

� �

=2

5

5

5

2 55

. �

Logo, a medida do raio é igual a2 5

5.

2 MATEMÁTICA

Resolução:

Suponha-se que o ângulo de visão do motorista seja dado em graus e a velocidade em km/h.

Assim, tem-se:

A = k . v + b

100o = k . 40 + b (I)

30o = k . 120 + b (II)

Efetuando-se (II) – (I), tem-se:

80k = –70 � k = –7080

= –78

Substituindo-se em (I), tem-se:

100 = –78

. 40 + b � b = 135

Desta forma, tem-se:

A = –78

. v + 135

Para v = 64, tem-se:

A = –78

. 64 + 135 � A = 79

Portanto, para uma velocidade de 64km/h, o ângulo de visão é igual a 79o.

3 MATEMÁTICA

Resolução:

O revestimento do interior do tanque deve ser suficiente para pintar, com tinta anticorrosiva, uma área equivalente à árealateral de um cilindro de raio igual a 1m e altura 6m, e uma superfície esférica de raio 1m. Assim, a área a ser pintada, repre-sentada por S, é dada por:

S = 2�Rh + 4�R2

S = 2�R . (h + 2R)

S � 2 . 3,14 . 1 . (6 + 2 . 1)

S � 50,24

Para calcular o número mínimo de latas de tinta, basta considerar que cada lata pode revestir 8 m2:50 24

8,

= 6,28

O resultado obtido indica que 6 latas de tinta são insuficientes para se revestir o interior do tanque.

Logo, o número mínimo de latas de tinta é igual a 7.

4 MATEMÁTICA

Resolução:

Para que ambos os pistões estejam na mesma profundidade, é necessário e suficiente que H1 = H2:

12cos(2�t/60) = 12sen(2�t/60)

Dividindo ambos os membros da equação anterior por 12cos(2�t/60), tem-se:

1 = tg(2�t/60)260�t

=�

4+ k� , em que k é um número inteiro

Multiplicando-se todos termos da equação por602�

, tem-se:

t = 7,5 + 30k

Atribuindo-se valores inteiros para k obtém-se diferentes instantes de tempo para os quais ambos os pistões ficam com amesma altura. O menor tempo é obtido quando k = 0:

t = 7,5 + 30 . 0

t = 7,5

Portanto, desde o acionamento do motor os pistões estarão à mesma profundidade após 7,5 milissegundos.

5 MATEMÁTICA

Resolução:

Vamos supor que as abscissas dos pontos para os quais o perímetro do retângulo seja máximo sejam representadas por k e–k. Substituindo x = k e x = –k na equação da parábola, obtém-se y = 4 – k2 em ambos os casos. Assim, o retângulo tembase de medida 2k e altura de medida (4 – k2), de modo que o perímetro do retângulo, representado por L, é dado por:

L = 2k + 2k + (4 – k2) + (4 – k2)L = –2k2 + 4k + 8

O perímetro máximo do retângulo é a ordenada do vértice da parábola representada pela última equação. Assim, o períme-tro máximo é dado por:

yv = –�

4a

yv = –[ . ( ) . ]

. ( )4 4 2 8

4 2

2� �

�

yv = 10

Portanto, o perímetro máximo é igual a 10.

6 MATEMÁTICA

Resolução:Observe a próxima ilustração:

Supondo que as faces das paredes nas quais as escadas são apoiadas sejam verticais, observe a próxima figura:

Utilizando-se o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos de hipotenusas 3 e 4, respectivamente, tem-se:

32 = (2,4)2 + (h1)2 � h1 = 1,8

42 = (2,4)2 + (h2)2 � h2 = 3,2Da semelhança entre os triângulos com bases nas faces das paredes e das propriedades da proporção, tem-se:

h

a

h

a1

1

2

2�

1,8a

3,2a

1,8 3,2a a

5,02,41 2 1 2

� ��

�� � a1 = 0,864 e a2 = 1,536

Da semelhança entre os triângulos retângulos de alturas h e h1, tem-se:hh

a

a a1

2

1 2�

�

h1,8

1,5362,4

� � h = 1,152

Logo, a altura h, do ponto onde as escadas se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente 1,15m.

7 MATEMÁTICA