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Capítulo 10Equações
Paramétricas e Coordenadas Polares
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Na seção
anterior definimos
a parábola
em
termos
de um foco
e da
diretriz, mas
definimos
a elipse
e a hipérbole
em
termos
de dois
focos.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES
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10.6Seções Cônicas em
Coordenadas Polares
Nesta
seção, nós:Definiremos
a parábola, elipse
e hipérbole
em
termos
de um foco
e da
diretriz.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES
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SEÇÕES CÔNICAS EM COORDENADAS POLARES
Além
disso, colocaremos
o foco
na
origem; assim, uma
seção
cônica
terá
uma
equação
polar simples.
O que fornece uma descrição conveniente do movimento dos planetas, satélites e cometas.
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SEÇÕES CÔNICAS Teorema 1
Seja
F um ponto
fixado
(chamado
foco) e l uma
reta
fixada
(denominada
diretriz) em
um plano.
Seja
e um número
positivo
fixado
(conhecido
como
excentricidade).
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O conjunto
de todos
os
pontos
P no plano
tal
que
(ou
seja, a razão
da
distância
a F e da
distância
a l é
a constante
e) é
uma
seção
cônica.
PFe
Pl=
SEÇÕES CÔNICAS Teorema 1
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A cônica
é
a)
uma
elipse
se e <
1.
b)
uma
parábola
se e =
1.
c)
uma
hipérbole
se e >
1.
SEÇÕES CÔNICAS Teorema 1
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Observe que, se a excentricidade
for e
= 1, então
|PF| = |Pl|
Assim a condição dada simplesmente se torna a definição de uma parábola, como mostrado naSeção 10.5.
SEÇÕES CÔNICAS Demonstração
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Vamos
colocar
o foco
F na
origem
e a
diretriz
paralela
ao
eixo
y e d unidades
para
a direita.
SEÇÕES CÔNICAS Demonstração
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Então
a diretriz
tem a equação
x =
d e é perpendicular ao
eixo
polar.
Se o ponto
P tiver coordenadas
polares
(r, θ), vemos
a partir
da figura
que
|PF| = r |Pl| = d
–
r
cos
θ
SEÇÕES CÔNICAS Demonstração
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Então, a condição
|PF| / |Pl| = e
ou
|PF| = e|Pl|, torna-se:
r
= e(d
–
r
cos θ)
SEÇÕES CÔNICAS Demo – Eq. 2
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Se elevarmos
ao
quadrado
ambos os
lados
dessa
equação
polar e convertermos
para
coordenadas
retangulares, teremos
x2
+ y2
= e2(d
–
x)2
= e2(d2
– 2dx
+ x2)
ou
(1 –
e2)x2
+ 2de2x
+ y2
= e2d2
SEÇÕES CÔNICAS Demonstração
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Depois
de completar
os
quadrados, temos
Se e < 1, reconhecemos
a Equação 3 como a equação
de uma
elipse.
22 2 2 2
2 2 2 21 1 (1 )e d y e dx
e e e⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
SEÇÕES CÔNICAS Demo – Eq. 3
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De fato, ela
é
da
forma
onde
2 2
2 2
( ) 1x h ya b−
+ =
2 2 2 2 22 2
2 2 2 21 (1 ) 1e d e d e dh a b
e e e= − = =
− − −
SEÇÕES CÔNICAS Demo – Eq. 4
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Na Seção
10.5 descobrimos
que
os
focos
de uma
elipse
estão
a uma
distância
c do
centro, onde4 2
2 2 22 2(1 )
e dc a be
= − =−
SEÇÕES CÔNICAS Demo – Eq. 5
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Isso
mostra
que
e confirma
que
o foco
como
definido
no
Teorema
1 significa
a mesma
coisa
que
o
foco
definido
na
Seção
10.5.
2
21e dc h
e= = −
−
SEÇÕES CÔNICAS Demonstração
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Também
segue das Equações
4 e 5 que
a excentricidade
é
dada por
Se e
> 1, então
1 –
e2
< 0 e vemos
que
a Equação 3 representa
uma
hipérbole.
cea
=
SEÇÕES CÔNICAS Demonstração
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SEÇÕES CÔNICAS Demonstração
Da
mesma
maneira
que
fizemos anteriormente, poderíamos
reescrever
a
Equação 3 na
forma
e ver
que
onde c² = a² + b²
2 2
2 2
( ) 1x h ya b−
− =
cea
=
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Isolando
r na
Equação 2, vemos
que
a equação
polar da
cônica
mostrada
na
figura
pode
ser escrita
como
1 cosedre θ
=+
SEÇÕES CÔNICAS
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Se a diretriz
for escolhida
como
estando
à esquerda
do foco
em
x
= –d, ou
se a diretriz
for escolhida
como
estando
paralela
ao
eixo polar em
y
= ±d, então
a equação
polar da
cônica
é
dada pelo
seguinte
teorema.
SEÇÕES CÔNICAS
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A equação
polar da
forma
representa
uma
seção
cônica
com excentricidade
e. A cônica
é
uma elipse se e < 1.uma parábola se e = 1.uma hipérbole se e > 1.
SEÇÕES CÔNICAS Teorema 6
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.
Veja
a ilustração do teorema.
SEÇÕES CÔNICAS Teorema 6
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Encontre
uma
equação
polar para
uma
parábola
que
tem seu
foco
na
origem
e cuja
diretriz
é
a reta
y
= –6.
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 1
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Usando
o Teorema
6 com e
= 1 e d
= 6, e usando
a parte (d) da
figura, vemos
que
a
equação
da
parábola
é
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 1
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Uma
cônica
é
dada pela
equação
polar
Encontre a excentricidade.Identifique a cônica.Localize a diretriz.Esboce a cônica.
103 2cos
rθ
=−
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 2
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Dividindo
numerador
e denominador
por
3, escrevemos
a equação
como
Do Teorema 6, vemos que isso representa umaelipse com e = 2/3.
103
231 cos
rθ
=−
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 2
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Como ed
= 10/3, temos:
logo, a diretriz
tem a equação
cartesiana x
= –5.
10 103 3
23
5de
= = =
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 2
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Quando
θ
= 0, r
= 10.
Quando
θ
= π, r
= 2.
Assim os vértices têm coordenadas polares (10, 0) e (2, π).
A elipse é esboçadana figura.
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 2
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Esboce
a cônica
Escrevendo a equação na forma
vemos
que
a excentricidade
é
e
= 2 e, portanto, representa
uma
hipérbole.
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 3
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Como ed = 6, d = 3 e a diretriz tem a equação y = 3.
Os vértices ocorrem quando θ = π /2 e 3π /2; assim eles são (2, π/2) e (–6, 3π /2) = (6,π /2).
É
também
útil
marcar
os
pontos
de intersecção
com o eixo
x. Estes ocorrem
quando
θ
= 0, π
e em
ambos os
casos
r
= 6.
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 3
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Para maior
precisão
poderíamos
desenhar as assíntotas.
Observe que r → ±∞ quando 1 + 2 sen θ→ 0+ ou 0-
e 1 + 2 sen θ = 0 quando sen θ = –½.
Então, as assíntotas são paralelas aos raiosθ = 7π/6 e θ = 11π /6.
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 3
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Veja
a hipérbole
esboçada.
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 3
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Na rotação
de seções
cônicas descobriremos
que
é
muito
mais
conveniente
usar
as equações
polares
do que
as equações
cartesianas.
Apenas usamos o fato de que (veja o Exercício 77, na Seção 10.3) o gráfico de r = f(θ – α) é o gráficode r = f(θ) que gira no sentido anti-horário ao redorda origem por um ângulo α.
SEÇÕES CÔNICAS
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Se a elipse
do Exemplo
2 girar
por
um
ângulo
π /4 ao
redor
da
origem, encontre
uma
equação
polar e trace a elipse
resultante.
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 4
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Obtemos
a equação
da
elipse
que
gira trocando
θ
com
θ
–
π/4
na
equação
dada no
Exemplo
2.
Assim
a nova equação
é
103 2cos( / 4)
rθ π
=− −
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 4
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Usamos
essa
equação
para
traçar
a elipse girada
na
Figura
5.
Observe que a elipse gira ao redor de seu focoesquerdo.
SEÇÕES CÔNICAS EXEMPLO 4
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EFEITO DE EXCENTRICIDADE
Usamos
um computador
para
esboçar diversas
cônicas
para
ilustrar
o efeito
da
variação
da
excentricidade
e.
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Observe que:
quando e está próxima de 0 a elipse épraticamente circular;
quando e → 1-, ela se torna mais alongada.
EFEITO DE EXCENTRICIDADE
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Quando
e
= 1, claro, a cônica
é
uma
parábola.
EFEITO DE EXCENTRICIDADE
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LEIS DE KEPLER
Em
1609, o matemático
e astrônomo
alemão
Johannes Kepler, com base em
uma
enorme
quantidade
de dados astronômicos, publicou
as seguintes
três
leis do movimento
planetário.
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1.
Um planeta
gira
em
torno
do Sol em
uma
órbita elíptica, com o Sol em
um dos focos.
2. O segmento
de reta
ligando
o Sol a um planeta varre
áreas
iguais
em
tempos iguais.
3. O quadrado
do período
de revolução
de um planeta
é
proporcional
ao
cubo
do comprimento
do eixo
maior
de sua
órbita.
LEIS DE KEPLER
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LEIS DE KEPLER
Embora
Kepler
tenha
formulado
suas
leis em
termos
dos movimentos
dos planetas
em
torno
do Sol, elas
se aplicam
igualmente
bem
ao
movimento
de luas, cometas,
satélites
e outros
corpos
sujeitos
a uma
única
força
gravitacional.
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Na seção
13.4 mostraremos
como
deduzir
as
leis de Kepler
a partir
das leis de Newton.
Aqui, usamos
a Primeira
Lei de Kepler, com a equação
polar de uma
elipse, para
calcular
quantidades
de interesse
em
astronomia.
LEIS DE KEPLER
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Para o propósito
de cálculos
astronômicos, é
útil
expressar
a equação
de uma
elipse
em
termos
de sua
excentricidade
e e de seu
semieixo
maior
a.
LEIS DE KEPLER
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Podemos
escrever
a distância
do foco
à
diretriz
em
termos
de a se usarmos
(4):
Assim, ed = a(1 – e2).
2 2 2 2 22 2
2 2 2
2
(1 )(1 )
(1 )
e d a ea de e
a ede
−= ⇒ =
−
−⇒ =
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Se a diretriz
for x d, então
a equação
polar é
LEIS DE KEPLER
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A equação
polar de uma
elipse
com foco
na
origem, semieixo
maior
a, excentricidade
e,
e diretriz
x =
d pode
ser escrita
na
forma
2(1 )1 cosa er
e θ−
=+
LEIS DE KEPLER Equação 7
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PERIÉLIO E AFÉLIO
As posições
de um planeta
que
estão
mais
próximas
e mais
distantes
do Sol são
chamadas
periélio e afélio,
respectivamente, e
correspondem
aos
vértices
da
elipse.
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As distâncias
do Sol ao
periélio
e afélio
são
chamadas
distância do periélio e distância do afélio, respectivamente.
DISTÂNCIAS DE PERIÉLIO E AFÉLIO
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Nesta
figura
o Sol está
no foco
F, de modo
que
no periélio
temos
θ
= 0 e, da
equação
7,
2(1 )1 cos0
(1 )(1 )1
(1 )
a ere
a e ee
a e
−=
+− +
=+
= −
PERIÉLIO E AFÉLIO
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Analogamente, no afélio,
θ
= π e
r
= a(1 -
e).
A distância
do periélio
de um planeta
ao
Sol é
a(1 -
e)
e a distância
do afélio
é
a(1 + e).
PERIÉLIO E AFÉLIO Equação 8
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a.Encontre
uma
equação
polar aproximada para
a órbita
elíptica
da
Terra em
torno
do
Sol (em
um foco), dado que:
a excentricidade é cerca de 0,017;o comprimento do eixo maior é cerca de 2,99 X 108 km.
b.Encontre
a distância
da
Terra ao
Sol no periélio
e no afélio.
PERIÉLIO E AFÉLIO EXEMPLO 5
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O comprimento
do eixo
maior
é2a
= 2,99 x 108
de modo
que
a
= 1,495 x 108.
Nos
foi
dado que
e =
0,017.
PERIÉLIO E AFÉLIO EXEMPLO 5 a
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Assim, da Equação 7, uma equação da órbita daTerra em torno do Sol é:
ou, aproximadamente,
PERIÉLIO E AFÉLIO EXEMPLO 5 a
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De (8), a distância
do periélio
da
Terra ao
Sol é:
e a distância
do afélio
PERIÉLIO E AFÉLIO EXEMPLO 5 b