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UFSCar { C¶alculo 2. Turma C. Terceira lista de exerc¶³cios.
2o semestre de 2006. Prof. Jo~ao C.V. Sampaio
1. Mostre que n~ao existe cada um dos seguintes limites.
(a) limx!0y!0
xpx2 + y2
(b) limx!0y!0
xy
x2 + y2
(c) limx!0y!0
xy2
x2 ¡ y2(d) lim
x!1y!1
x+ y ¡ 2
x¡ y.
2. Mostre que limx!0y!0
sen(x2 + y2)
x2 + y2= 1, mas que n~ao existe o limite lim
x!0y!0
sen(x2 + y2)
2x2 + y2.
3. Mostre que limx!0y!0
xy3
x2 + y4= 0, mas que n~ao existe o limite lim
x!0y!0
xy2
x2 + y4.
Sugest~ao. Para o segundo limite, considere o caminho °(t) = (t2; t) (ou seja, x = y2).
4. Veri¯que cada um dos limites enunciados.
(a) limx!0y!0
x2px2 + y2
= 0 (b) limx!0y!0
x sen1
x2 + y2= 0
(c) limx!0y!0
x2y2
x6 + y6= +1 (d) lim
x!0y!0
x+ y
x3 + y3= +1
5. Determine o conjunto dos pontos em que f(x; y) ¶e cont¶³nua.
(a) f(x; y) =
8<:x3 + x2y
x2 + y2; se (x; y)6= (0; 0)
1; se (x; y) = (0; 0)(b) f(x; y) =
8<:sen(xy)
x; se x6= 0
y; se x = 0
(c) f(x; y) =
8<:
xy
jxj+ jyj; se (x; y)6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)(d) f(x; y) = ln
µx¡ y
x2 + y2
¶
(e) f(x; y) =
(e¡1=(x
2+y2); se (x; y)6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
Respostas. (a) descont¶³nua somente em (0; 0); (b) cont¶³nua em R2; (c) cont¶³nua em R2;(d) cont¶³nua nos pontos (x; y) com x > y; (e) cont¶³nua em R2.
6. Calcule as derivadas parciais @f@xe @f@y.
(a) f(x; y) = x3y2 ¡ x2y3 (b) f(x; y) = cos(xy) (c) f(x; y) = x3+y2
x2+y2
(d) f(x; y) = e¡x2¡y2 (e) f(x; y) = x2 ¢ ln(1+x2+y2) (f) f(x; y) = [(x2¡y2)10+x3y]2=3
Respostas.
(a) fx = 3x2y2 ¡ 2xy3, fy = 2x
3y ¡ 3x2y2; (b) fx = ¡y sen(xy), fy = ¡x sen(xy);
(c) fx =x4+3x2y2¡2xy2
(x2+y2)2, fy =
2x2y¡2x3y(x2+y2)2
; (d) fx = ¡2xe¡x2¡y2 , fy = ¡2ye
¡x2¡y2 ;
(e) fx = 2x ln(1 + x2 + y2) + 2x3
1+x2+y2, fy =
2x2y1+x2+y2
;
(f) fx =23[(x2 ¡ y2)10 + x3y]¡1=3[20(x2 ¡ y2)9x+ 3x2y],
fy =23[(x2 ¡ y2)10 + x3y]¡1=3[¡20(x2 ¡ y2)9y + x3].