UFSCar { C¶alculo 2. Turma C. Terceira lista de exerc¶³cios.

2o semestre de 2006. Prof. Jo~ao C.V. Sampaio

1. Mostre que n~ao existe cada um dos seguintes limites.

(a) limx!0y!0

xpx2 + y2

(b) limx!0y!0

xy

x2 + y2

(c) limx!0y!0

xy2

x2 ¡ y2(d) lim

x!1y!1

x+ y ¡ 2

x¡ y.

2. Mostre que limx!0y!0

sen(x2 + y2)

x2 + y2= 1, mas que n~ao existe o limite lim

x!0y!0

sen(x2 + y2)

2x2 + y2.

3. Mostre que limx!0y!0

xy3

x2 + y4= 0, mas que n~ao existe o limite lim

x!0y!0

xy2

x2 + y4.

Sugest~ao. Para o segundo limite, considere o caminho °(t) = (t2; t) (ou seja, x = y2).

4. Veri¯que cada um dos limites enunciados.

(a) limx!0y!0

x2px2 + y2

= 0 (b) limx!0y!0

x sen1

x2 + y2= 0

(c) limx!0y!0

x2y2

x6 + y6= +1 (d) lim

x!0y!0

x+ y

x3 + y3= +1

5. Determine o conjunto dos pontos em que f(x; y) ¶e cont¶³nua.

(a) f(x; y) =

8<:x3 + x2y

x2 + y2; se (x; y)6= (0; 0)

1; se (x; y) = (0; 0)(b) f(x; y) =

8<:sen(xy)

x; se x6= 0

y; se x = 0

(c) f(x; y) =

8<:

xy

jxj+ jyj; se (x; y)6= (0; 0)

0; se (x; y) = (0; 0)(d) f(x; y) = ln

µx¡ y

x2 + y2

¶

(e) f(x; y) =

(e¡1=(x

2+y2); se (x; y)6= (0; 0)

0; se (x; y) = (0; 0)

Respostas. (a) descont¶³nua somente em (0; 0); (b) cont¶³nua em R2; (c) cont¶³nua em R2;(d) cont¶³nua nos pontos (x; y) com x > y; (e) cont¶³nua em R2.

6. Calcule as derivadas parciais @f@xe @f@y.

(a) f(x; y) = x3y2 ¡ x2y3 (b) f(x; y) = cos(xy) (c) f(x; y) = x3+y2

x2+y2

(d) f(x; y) = e¡x2¡y2 (e) f(x; y) = x2 ¢ ln(1+x2+y2) (f) f(x; y) = [(x2¡y2)10+x3y]2=3

Respostas.

(a) fx = 3x2y2 ¡ 2xy3, fy = 2x

3y ¡ 3x2y2; (b) fx = ¡y sen(xy), fy = ¡x sen(xy);

(c) fx =x4+3x2y2¡2xy2

(x2+y2)2, fy =

2x2y¡2x3y(x2+y2)2

; (d) fx = ¡2xe¡x2¡y2 , fy = ¡2ye

¡x2¡y2 ;

(e) fx = 2x ln(1 + x2 + y2) + 2x3

1+x2+y2, fy =

2x2y1+x2+y2

;

(f) fx =23[(x2 ¡ y2)10 + x3y]¡1=3[20(x2 ¡ y2)9x+ 3x2y],

fy =23[(x2 ¡ y2)10 + x3y]¡1=3[¡20(x2 ¡ y2)9y + x3].