Armando Righetto - Calculo Diferencial e Integral I().pdf

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

VOLUME I

Armando Righetto Antonio Sérgio FerraudoProfessores do Instituto Politécnico de Ribeirão Preto da Instituição Moura Lacerda

IBEC — Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. 1981

Agradecemos:

ÀENCYCLOPAEDIA BRITANNICA DO BRASIL PUBLICAÇÕES LTD A., que gentilmente nos cedeu as fotos de Newton e Leibniz e os textos correspondentes.

ÀSILVIO JOSÉ VITORINO, pela produção da capa.

ÀISABEL REGINA GONÇALVES DE OLIVEIRA,ANDRÉA RAMPANIMARIA ALICE SA VIOLIGONÇAL VES eSUELY SABADINI,pelo trabalho realizado com os filmes.

Caro leitor,

Eu e o Ferraudo somos espiritualistas. Acreditamos na prevalência do espirito sobre a matéria.Para nós as características do homem são a lealdade e a honestidade. Os conhecimentos são acréscimos sempre bem-vindos. Daí afirmarmos que o homem não se caracteriza pela grandeza do gênio, mas pela alteza do caráter e este se forma no coração.Aprendamos a agradecer a Deus por tudo que nos tem sido concedido:

Obrigado, Meu Deus, pelos dias e pelas noites que me tendes permitido distinguir.

Obrigado, Meu Deus, pelo pão que não deixastes faltar em minha mesa.

Obrigado, Meu Deus, pelas mãos que me destes e que tendes estendido a levantar os que estão tombados.

Obrigado, Meu Deus, pela minha audição e pela minha palavra que, unidas, procuram construir o bem somente o bem.

Obrigado, Senhor, pelo perdão que me ensinastes.

Obrigado, Meu Deus, pelas minhas fraquezas que me permitem sentir a minha insignificância.

Obrigado, Meu Deus, pelos irmãos que me destes e a certeza de tê-los juntos a mim nas minhas necessidades.

Obrigado, Muito Obrigado, SENHOR

ClP-Brasil. Catalogação-na-Fonte Câmara Brasileiro do Livio, SP

Righetto, Armando, 1924-R427c Cálcuio diferencial e integral / Armando Righetto, Antonio Sérgio Ferraudo.v .l- — São Paulo : Instituto Brasileiro de Edições Científicas, 1981.

1. Cálculo diferencial 2. Cálculo integral I. Ferraudo, Antonio Sérgio,1950- II. Título.

17. CDD-517.218. -515.3317. -517.3

81-1069 18. -515.43

índices paia catálogo sistemático:

1. Cálculo diferencial: Matemática 517.2 (17.) 515.33 (18.)2. Cálculo integral: Matemática 517.3 (17.) 515.43 (18.)

IBEC — Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. , Av. Santo Amaro, 823 — CEP 04505 .São Paulo - SP

Ferraudo e eu, Armando, dedicamos este livro às nossas esposas, respectivamente Elyane e Lourdes.

NEWTON

Físico, astrônomo e matemático inglês, Sir Isaac Newton nasceu em Woolsthorpe, Lincolnshire, a 25 de dezembro de 1642 e morreu em Kensington, Middlesex, a 20 de março de 1727. Formou-se pelo Trinity College de Cambridge (1665).

Seus conhecimentos matemáticos e o poder do seu raciocínio impressionam fundamente o matemático Isaac Barrow; mas o próprio Newton colocava a matemática numa posição secundária, instrumental, a merecer-lhe a atenção na medida em que se revelasse fecundada para a solução de problemas levantados pelas mecânica celeste: donde já ter sido chamado pragmatista anterior ao pragmatismo. Nesse sentido, somente pesquisa novos métodos na medida em que os já conhecidos se revelam insuficientes. Mas, mesmo assim, é profunda a

LEIBNIZ

Filósofo e matemático alemão, Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig a 19 de julho de 1646 e morreu em Hannover a 14 de novembro de 1716.

Descobridor dos princípios de cálculo diferencial, ao mesmo tempo que Newton, Leibniz julgava possível a criação de uma linguagem científica universal (characteris- tica univenalis), que, complementada por um sistema dedutivo e simbólico (ars com- binatoria), pudesse substituir a argumentação discursiva pelo cálculo, em todos os campos do saber. Seu método seria o da análise do infinito, a partir do princípio de continuidade, pelo qual só pode algo passar de um estado a outro mediante um número infinito de intermediários, e toda a realidade é plenamente relacionada em suas partes.

NOTAS EXPLICATIVAS

Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcançar certos objetivos.

Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores em quase todas as áreas: Social, Humana e principalmente as Tecnológicas.

Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indispensáveis para um bom curso de Engenharia, de Física, de Estatística, de Medicina e de Computação.

Os dois volumes são ricos em exercícios resolvidos e propostos. Estes, com respostas e, quando necessário, com sugestões para sua resolução.

0 primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano, com 4 ou 6 horas aula semanais.

Cálculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: números reais, funções, limites, derivadas e diferenciais. Cálculo II, no segundo termo letivo, com a mesma duração: integrais indefinidas e as técnicas de integração, integrais definidas, cálculo de áreas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas.

0 segundo volume poderá ter alterada a ordem dos assuntos.Sugerimos, para Cálculo III, funções de várias variáveis, derivadas parciais,

diferenciais e equações diferenciais, com modelos matemáticos aplicados à Biologia. Para o Cálculo IV: estudo de máximos e mínimos, derivadas direcionais, integrais de linha, integrais duplas e triplas e séries.

Outros assuntos, como cônicas, quádricas, vetores, números complexos e funções hiperbólicas, são tratados nos livros de Geometria Analítica e Vetores e Números complexos e funções hiperbólicas de autoria do Armando Righetto.

Procuramos familiarizar o aluno com o pensamento matemático e a manipular modelos por métodos matemáticos.

Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos formaram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestões.

OS AUTORES Ribeirão Pietoj maio de 1981

XIV CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Capítulo 5

Diferencial...................................................................................................... 149Conceito. Aplicações. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

PARTE II

Capítulo 6

Integrais Imediatas............. ........................................ .................................... 169Conceito de Integração. Integral Indefinida. Propriedades. Integrais Imediatas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 7

Integração por Partes..................................................................................... 229Generalidades. Fórmula. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 8Integração de Funções Racionais Fracionárias............................................ 239Decomposição de Frações. Integração de Funções Racionais Fracionárias. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 9

Substituição de Variáveis............................................................................. 267Substituição de Variáveis por Variáveis Trigonométricas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 10

Integral Definida............................................................................................ 283Integral Definida. Cálculo de Âreas Planas. Cálculo de Volumes de Sólidos de Revolução. Comprimento de Arcos. Âreas de Superfícies de Revolução. Momentos - Raio de Giração. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Apêndice........................................................... .............................. ......................... 361

PARTE I

revolução que introduz no campo da matemática. Basta lembrar que antes dele não se tinha conhecimento do. cálculo integral. É, ainda, com Newton que assume feição precisa o cálculo diferencial, embora não se possa deixai de referir a valiosa contribuição de Fermat e Descartes.

Newton retira o carátei de mero pressentimento às relações entre o cálculo diferencial e o cálculo integral, fazendo surgir o cálculo infinitesimal. Em sua obra, o cálculo infinitesimal surge sob duas formas, uma das quais, o método dos fluxos, decorrente da outra - o método das primeiras e últimas razões. Em tomo da prioridade da descoberta do cálculo infinitesimal levantar-se-ia, mais tarde, acirrada polêmica entre Newton e Leibniz, ou, mais precisamente, entre os adeptos de um e outro.

Está historicamente provado ter havido coincidência de conclusões, alcançadas simultânea e independentemente, pelos dois cientistas. Se, cronologicamente, Newton pode ter chegado àquele resultado em primeiro lugar, também é certo que Leibniz se mostra mais feliz no capítulo das notações, criando símbolos -que, por comodidade de emprego, ainda hoje são utilizados.

As idéias de continuidade e de plenitude (impossibilidade do vazio) estão relacionadas no mecanismo dinâmico de Leibniz, em que se destacam a noção de força e a noção de conatus, criada por Hobbes e entendida como movimento infinitamente pequeno. No entanto, a concepção do universo como um plenum contínuo baseia-se nos dois princípios fundamentais do racionalismo leibniziano: o princípio da razão suficiente e o princípio de perfeição.

Fotos e textos reproduzidos da Encyclopaedia Britannica, respectivamente, páginas 8069 e 6719, edição 1976, com permissão da Encyclopaedia Britannica do Brasil Ltda.

ÍNDICE

PARTE I

Capítulo 1Números Reais.................................................................................................Definições. Representação Gráfica dos Números Reais. Valor Absoluto de um Número Real. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Funções Elementares...................................................................... ...............Definição de Função. Gráfico de uma Função Real. Funções Monótonas. Funções Pares e Impares. Funções Elementares Principais. Composição de Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Limite de uma Variável. Limite de uma Função. Limites Laterais. Propriedades Operatórias dos Limites. Limites Infinitos. Limites no Infinito. Infinitamente Pequeno. Formas Indeterminadas. “Limites Básicos". Continuidade de Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Derivadas...........................................................................................................Definições. Álgebra das Derivadas. Derivada das Funções Básicas. Interpretação Geométrica da Derivada. Equações da Tangente e da Normal. Derivada de Funções Compostas. Derivadas Sucessivas. Derivada de Funções Inversas. Derivada de Funções na Forma Paramétrica. Regra de L'Hospital. Interpretação Física da Derivada. Estudo da Variação das Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 2 V v a iifJ k

Capítulo 3Limites

Capítulo 4

NÚMEROS REAIS

O que distingue o homem não é a grandeza do gênio, mas a alteza do caráter.

1.1 - DEFINIÇÕES

D[ Todo número que pode ser colocado na forma onae p e q são números

inteiros (q # 0), é chamado NÚMERO RACIONAL.

Assim sendo, todo número inteiro é racional, pois podemos escrever 2 4

2 = -j-; —4 = —y . De um modo geral, se m é inteiro, podemos escrever sempre

■y- (racional).

Representaremos o conjunto dos números racionais pela letra Q.

D2 Se um número não é racional dizemos que ele é irracional.

Representaremos o conjunto dos irracionais por Qc.

Da definição temos: Q n Qc =

Os números racionais e irracionais formam os números reais, que são de grande utilidade no estudo da matemática, em particular, na análise.

Representaremos o conjunto dos números reais pela letra IR.

Da definição temos: Q U Qc = IR

1.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS NÚMEROS REAIS

Representaremos os números reais através de uma reta, relacionando cada ponto desta a um número real e vice-versa.

Procederemos assim:Tomando um ponto da reta, relacionamos o zero; à sua direita os números

positivos e à esquerda os números negativos.

4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5-----1---------- 1------1----1-----------1----------1---------- 1---------- 1-----1-----1-------- H -----------1---------- j-----

V-39 i - sf*2

ORDEM EMIR

D4 Um número real a é maior (>) que um número real b, quando a diferença a - b for positiva. Assim:

a > b a - b > 0temos

Geometricamente se a > b então o ponto a se localÍ7* i direita de b.

Exemplos:

E! 4 > 1 pois 4 - 1 = 3 (positiva)

0 1 2 3 4

Ej - 3 > - 5 pois - 3 - ( - 5 ) = 2 (positiva)

b a ----------- 1 i I------- 1------- 1------- 1-----------

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0

Usaremos as seguintes notações:

b < a (b é menor que a)

a > b (a é maior ou igual que b)

b < a (b é menor ou igual que a)

1.3 - VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO R EA L

O valor absoluto (ou módulo) de um número real x , que representaremos por |jf|, é definido por:

x se x > 0

— x se x < 0

Exemplos:

Ei |5| = 5, pois 5 > 0

E2 1-51 = - ( - 5 ) = 5, pois - 5 < 0

Geometricamente |x| é a distância do ponto x à origem (ponto 0) na reta real. Nos dois últimos exemplos temos:

I5| = | - 5 | = 5

- 5 0 5

'---------V-------- ''-------- v---------'5 unidades 5 unidades

Analogamente, se desejamos a distância de dois pontos a e b na reta real, indicaremos por:

rife — a|, distância de a até b

| j a - b\, distância de b até a.

É óbvio que \b - a\ = |a - b\.

Propriedades

Sejam a, b e c números reais. Então:

Pi kl > 0 e |a| = 0 se e somente se, a = 0

P2 |a|2 = a2

P3 |a| = V ?

P4 \ab\ = |a||fe|

= M a, jz o) -|fc|

— ( c ? 0

P7 |a + b\ < |a| + | 6 | .

P6 | a - f e | > | | a | — |fe||

P, |x| < a e a > 0 < •> - a < x < a

NÚMEROS REAIS 5

\ P10 W > a e a > 0 <—■ ■■•> x < - a M x > a

Demonstraremos duas delas; as demais ficam a cargo do leitor.

P4 \ab\ = V (ab)1 = V a2b2 = y /à 2 y /b 2 =3 |a||í>|

De fato \ab\ = |a| |6 |

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 ■■ ■> \a + í>| .= |a| + 2 ab + |è |2.

Como aè < |aft| = |a| |6 | temos

\a + b\2 < |a |J + 2 |a| |Z>| + \b\2, daí

Ia + b\2 < (|a| + |6|)J. Portanto:

|a + 6 | < |a| + |fc|

1.4 - PROBLEMAS RESOLVIDOS

PRi Reescreva as desigualdades seguintes, de modo que apenas x fique entre os sinais de desigualdade.

a) - 1 < 3jc - 4 < 6 b) 3 < 2x + 1 < 9

Solução:

a) Somando 4 a cada um dos membros obtemos 3 < 3 x < 10. Em seguida,

multiplicamos cada um dos membros por y e obtemos:

b) Analogamente: 3 < 2x + 1 < 9 ■ - > 2 < 2x < 8 ■■>

= í > 1 <ac < 4

PR2 Calcule:

a) 13- 7 | - 1 -8 1 b) 1 1 -5 - 3 | - 1 - 4 - 5 1 1

Solução:

a) 1 3 -7 1 —1—81 = 1—41 — 8 = 4 — 8 = —4

b) 11-5 - 3| - 1 -4 - 5| | = 11-81 - | - 9 | | = |8 - 9| = | - 1 | = 1

NÚMEROS REAIS

PR3 Determine os números que satisfazem às igualdades:

a) |jc — 4| = 3 b) |—x - 7| = 8

Solução:

' x - 4 = 3 =

a) | x - 4 | =

- (x - 4) = 3 > —x + 4 = 3

Resp.:

b) I—x — 7| = 8

Solução:

| -x -7 | =

x = 1 v x = 7

- x - 7 = 8

x = —15

_ ( _ * -7 ) = 8 — > x = 1

Resp.: x = l v x = —15

PR4 jDetermine os intervalos reais tais que:

a) |x| < 4 c) |x| > 4

b) |x - 3| < 2 d) |2x - 4| > 2

Solução:

a) Por P9 temos: |x| < 4 = = :

b) Também por P9 temos

- 4 < x < 4

c) Por Pio temos: |x| > 4

- 3 < 2 -------> 1 < x < 5

x < — 4 V x > 4

d) Também por Pi0 temos: |2x — 4| > 2

2x — 4 < — 2 =

=> 2x - 4 > 2 v

o> x < 1 v x > 3

PRj Prove que: |x + y\ > |x| - \y\.

Prova:

x = x + y - y = ^ > |x| = |(x + y ) - _y|< lx + y\ + \ - y \ .

Mas | - y | = |y|. Então:

|x| < |x + y\ + |yl > U| - \y\ < |x + y|. Portanto:

\x + y \ > \x\ - |y|

Qual o intervalo solução da inequação — 3 < x 2 — 5 < 4?

Solução:

Somando 5 a todos os membros temos 2 < x 2 < 9 .Como y /x 2 = |jc| (propriedade P3), temos:

\ Í 2 < V x 2 < \ Í 9 e portanto: V 2 < \ x \ < 3

Achar w = |x - 3| — \x + 5| — \ - x — 4|, sendo 1 < x < 3.

Solução:

{x - 3 < Q = = > \x - 3| = - { x - 3)

x + 5 > 0 -------> |x + 5| = x + 5

- x - 4 < 0 ------- > \ - x — 4| = —(-X - 4)

Desse modo: w = — (x — 3) — (x + 5) — [—( - x — 4)] onde

w = —x + 3 — x — 5 — x — 4.Portanto: w = — 3x — 6

I* - 21 =

Resolver a equação: \x — 2\ — 7 = 4x.

Solução:

x - 2, se x — 2 > 0

—(jc ^-2), se x - 2 < 0

19 caso : \x — 2\ = x - 2.

Então: x - 2 - 7 = 4x = > - 3 x = 9 = :

Fazendo a verificação temos:

1 -3 - 2| - 7 = 4 (— 3) = > | - 5 | - 7 = - 1 2

x — — 3

Concluímos que

=> 5 - 7 = - 1 2 (falso).

não é solução da equação dada.jc = - 3

29 caso : |x — 2| = — (x — 2)

Então: - ( x - 2) - 7 = 4x ■——> - x + 2 - 7 = 4 x

NÚMEROS REAIS 9

- x - 4x = 5 => — 5x = 5 x = - 1

Fazendo a verificação temos:

1-1 — 2| — 7 = 4 (— 1) = => 1-31 - 7 = - 4=> 3 — 7 = —4 (verdade).

Concluímos que x = — 1 é solução da equação dada.

Portanto: S = {— 1}

Resolver a desigualdade: |2x — 3| > 4 .

Solução:

2x — 3, se 2x — 3 > 0

\2x — 3| = < ou

—(2x — 3), se 2x — 3 < 0

19 caso : \2x — 3| = 2x — 3.

Então: 2x — 3 > 4

29 caso: I2x - 3| = - ( 2 x - 3).

Então: - ( 2 x — 3) > 4

=> 2 x - 3 < - 4 => 2x < - 1

x 2Fazendo a união dos dois casos temos:

S = { * e i R \ x < ~ j V x > ~ )

Graficamente temos:

Resolvemos este problema usando a definição de módulo. Faremos novamente este problema usando a propriedade 10 ou seja:

\2x — 3| > 4 se e somente se

=> 2x < - 1 = :2x - 3 « - 4

2x - 3 > 4 = => 2x > 7 X>\

Desse modo temos

S = { x € l R | x < - y V X > y }

PRio Resolver a equação: 2 |x — 5| + |x -r 3| = + 5.

Solução:

As raízes de (x — 51 e (x — 3) são 5 e 3 respectivamente: Temos 3 casos a analisar:

19 caso 29 caso 39 caso\3 /--------------- \ 5 /A r

19 caso : x < 3 =>

x - 5 < 0 -------> |x — 5| = - x + 5A

x - 3 < 0 = > |x - 3| = - x + 3

2 (— x + 5) + ( - x + 3) = + 5 8* ~ 3

29 caso : 3 < x < 5x — 5 < 0 - > |x — 5| = - x + 5

x — 3 > 0 = = > |x — 3| = x — 3

=> 2 (— x + 5) + (x — 3) = + 5 = x = 2

39 caso : x > 5

x - 5 > 0 - ■■■■ > |x — 5| = x — 5

x - 3 > 0 = > |x - 3| = x - 3

=> 2 (x - 5) + (x - 3) = 5 = x = 6

gO valor x = 2 não satisfaz a equação, somente os valores x = — e x = 6

(verifique):O

Portanto: S = { y , 6}

^ 1 . 5 - PROBLEMAS PROPOSTOS

PPi Reescreva as desigualdades fazendo com que somente x permaneça entre os sim s de desigualdade:

NÚMEROS REAIS 11

Resps.: a) — ; 114

b ) 0 < x < 1

d) 47 > 15.x + 2 > 3 2

2 2 / '

c) —2 < x < — l e) 9 < |jc| < 144

d) 2 < x < 3 f) 35 < x < 7

=> — a < x < a.

=> x < —a ou x > a.

PP2 Prove que: |x| < a e a > 0 <=

PP3 Prove que: \ x \ > a e a > 0 <=

PP4 Calcule:

a) 13 — 7 — 5| — |—7 - 4| c) I —1—4 — 91 — I —6 | — 2|

b) | - 3 | + | - 5 | - 1 - 8 1 - 1 - 7 - 3 1 d ) - 1 - 4 - | 6 - 3 | + 2 0 - 1 - 1 5 - 3 1 1 Resps.: a) - 2; b) - 10; c) 21; d) - 5.

PP5 Resolva as equações:

a) \x — 3| = 7

b) - \x - 5| = 3

c) \2x - 7| = 15

d) |3x — 4 |2 = 36

e) I— 5x — 3| = 15x

Resps.: a) {-4 ,1 0 }

j\ r 2 10.3" ’ T

f) 3 Ijc - 5| - 2x = 10

! ~ 3* + 2l + 5 = 2*

x 2 — 4X

\x2 - 4 |

j) |x2 — 1| = 8.

b) não tem solução. f) {1, 25}

c) { - 4 , 11}

0 (1.4}

j) {±3}

g ) { T }

h) {±1, ±4}

PP6 Determine os intervalos reais tais que:

a) |x - 3| > 2

b) |x — 8| < 5

c) |5* + 2 | > 3

Resps.: a) x < 1 v x > 5

b) 3 < x < 13

c) x < - 1 v X > -j-

d) \x + 1| < 4

3 4> i

d) — 5 < * < 35

e) x < - v x > —

PP7 Determine o intervalo solução das inequações:

a) — 2 < 25.x2 - 3 < 9 7

Resps.: a) y < |x| < 2

PP8 Resolva as equações:a) 312 — x| - |x - 4 | = 4

Resps.: a) { - 1 ,^ - }

b) 1 < 2x 3 — 15 < 39

b) 2 < x < 3

b) 4 |x - 1| - 5 |2 x - 4 | = 2

h U 7 13 ,b) {J> T }

PP9 Ache a (x ) e P(y) onde

a) a(x) = |x - 7| + |x + 2| - |2x - 13| para 2 < x < 6

b) 0Cy) = l>” — 41 — \ l y — 14| — |3 — y\ para - 2 < > > < 2

Resps.: a) a (x) = 2x — 4 b) 0( y) = 7y - 13

PPio Resolva a equação |x |2 + |x| — 6 = 0.

Resp.: {±2}

PPU Determine o intervalo solução da inequação 2 < |x — 51 < 4.

Resp.: 1 < x < 3 V 7 < x < 9

PPi2 Resolver as inequações:a) |x — 11 < |x + 11

Resp.: x > 0b) |x — 3| > |x — 1|

Resp.: x < 2.

2FUNÇÕES ELEMENTARES

Deixe que o amor e a paz lhe possam clarearo caminho para o alto.

2.1 - DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Sempre que pudermos associar todo elemento x (variável independente) de um conjunto X com um único elemento y (variável dependente) de um outro conjunto Y, daremos a essa associação o nome de função de X em Y e denotaremos por y = f ( x ) que se lê, y é igual à / de x.

Diremos também que x é o argumento da função y.A seguinte notação também pode ser usada:

f : X -------- * Y

* ---------* / ( * )

O conjunto X é chamado “Domínio da função f ” e denotaremos por D(f). O conjunto Y é chamado “Contra-Domínio da função f ” e denotaremos por

CD(f).O conjunto formado pelos elementos y 6 Y associados à x E X pela função f

é chamado “Conjunto Imagem da função f ” e denotaremos por Im (j)

Exemplo: Temos: D(f ) = X, CD (f) = Y e

Im(f) = {yu y i , yJ■

Observação: Nos preocuparemos daqui por diante, a não ser quando especificado, com funções reais de uma variável real cujo domínio e imagem são os números reais.

2.2 - GRAFICO DE UMA FUNÇÃO REAL

O gráfico das funções reais é o conjunto de todos os pontos (x, y ) do plano cartesiano onde x está no domínio e y é a imagem de x segundo a definição da função /.

Os zeros (ou raízes) de uma função são os pontos onde f ( x ) = 0 . Graficamente, são os pontos da curva (gráfico de f ) onde intercepta o eixo x.

Exemplos:

Fig. 2.1. Gráfico de y = x*. Fig. 2.2. Gráfico de y = f .

Nota: Como vimos, pela definição de função, a cada x do domínio é associado um único y como imagem. Assim, toda reta paralela ao eixo y deverá interceptar o gráfico da função / em no máximo um ponto.

Exemplo: O gráfico abaixo não define uma função, pois temos pelo menos uma reta paralela ao eixo y que intercepta a curva em dois pontos.

Fig. 2.3.

FUNÇÕES ELEMENTARES 15

ATENÇAO

As funções definidas até aqui são chamadas de “funções unívocas".Quando a cada x associarmos mais que um y, daremos a essa associação o

nome de “função plurívoca”.Nas Figuras 2.1 e 2.2 temos exemplos de “funções unívocas”, enquanto

que na Figura 2.3 temos exemplo de função plurívoca.Daqui por diante ficará implícito (a não ser quando especificado) que ao

dizermos função estaremos nos referindo ao subconjunto de pontos da curva plurívoca a qual a define como uma função unívoca.

Exemplo: A curva de y 1 = x (parábola) é definida nos pontos onde y = ± Vrx, x > 0. Assim y 2 = x é uma função plurívoca (Fig. 2.4).

Queremos esclarecer ao prezado leitor que quando dissermos simplesmente função à y 2 — x estaremos nos referindo ao subconjunto da curva y — + \ [ x (parte positiva), o qual a define como uma função unívoca (Fig. 2.5).

Omitiremos, portanto, a palavra unívoca.

Daremos, agora, algumas definições importantes:

Dl, O domínio de uma funçãoy = f ( x ) é o conjunto de to d o so sx G Í tais que a função dada existe (campo de existência)

Exemplos:

E! Seja a função y = x 2 (Fig. 2.1).Note que sempre existirá y e IR pois todo x €E IR possui quadrado. Então:

D ( f ) = ( i £ R } .

E2 Já a função y = \ f x só existirá se x > 0, pois os números negativos não possuem raiz quadrada. Assim,

Fig. 2.4. Fig. 2.5.

D ( f ) = { x e R | j c > 0 } .

anterior, e nem para x = 0 , pois a divisão não é definida quando o divisor é zero. Deste modo:

D(f ) = {x GRIjc > 0}

Dlj Quando em uma função / , Im(f ) — CD (f) dizemos que / é uma função “so b re je to ra Em outras palavras: todo y G Y é imagem de pelo menos um r 6 I

Dl 3 Quando em uma função / todo y E I m( f ) estiver associado a um único elemento de X dizemos que f é uma função “injetora" ou “biunívoca”.

DU Se / for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora dizemos q u e /é uma função bijetora

Exemplos:

/ é uma função injetora pois todo y E Im( f ) está associado a um único x £ X, mas não é sobrejetora pois y s Im( f ) ou seja I m( f ) # CD(f).

f é uma função sobrejetora pois Im(f ) = CD(f) mas não é injetora pois y i está associado a x t e x2 de X.

A função f é bijetora pois Im( f ) = CD(f) (sobrejetora) e todo y G Im( f ) está associado a um único x £ X (injetora)

Função Inversa

Dls A função f: X ------ *• Y bijetora admite sempre uma função inversa a qualdenotamos por f~H Y ------ *■ X. Esta função associa todo elemento de Ycom um único elemento de X para o qual f ( x ) = y.

Notação: se y = / (x) =bl,*etora> x = f ~ xiy).

Exemplos:

Ex A função /: IR------ *• R definida por y = 2 x — 3 (Fig. 2.6) possui para todox e IR uma única imagem y e IR e ainda I m( f ) = IR sendo assim / bijetora

v + 3e portanto admite inversa dada por x = — (Fig. 2.7).

Fig- 2.6. Fig. 2.7.

Nota: Na construção do gráfico da inversa, invertemos os eixos.

Se colocaimos os gráficos um sobre o outro temos:

Fig. 2.8.

Os gráficos das funções / e /"* gozam da propriedade de serem simétricos em relação às bissetrizes dos quadrantes ímpares (Fig. 2.8).

Ej A função /: R ------ *■ R definida por y = x 2 não admite inversa, pois x 2 == y e R + e assim Im( f ) = R + C IR. Porém se y = x 2 estiver definida por exemplo de R +-------> R então admitirá inversa dada por x = \ f y .

Observação: Existe uma regra prática para obtenção da função inversa sem que façamos a irversão dos eixos. Trocamos na função y = / ( * ) dada, y por x e x por y , obtendo assim x = f ( y ) . Nesta expressão, expressamos y obtendo y = /■ '(* ).

Exemplo: No exemplo anterior temos y = 2 x — 3. Trocamos y por x ex + 3x por y, obtendo x = 2y — 3. Agora isolamos/ obtendo 2 y = x + 3 o u / = —-—.

Esta função é a inversa de / = 2 x — 3 sem que façamos a inversão dos eixos. Como aplicação, o leitor deverá plotar estes gráficos no sistema xy, devendo obter o mesmo gráfico da Figura 2.8.

2.3 - FUNÇÕES MONÕTONAS

Seja e x 2 pontos de um intervalo. Então, se nesse intervalo:

1. x i < x i ■ . f ( x i) < / ( * 2) (função monótona estritamente crescente) (Fig. 2.9).

2. < x 2 > f (*i) < / ( x 2) (função monótona não decrescente) (Fig. 2.10).3. x , < x 2 •> f ( x i ) > f (x3) (função monótona estritamente decrescente)

(Fig. 2.11).4. < x 2 - —> f ( x O > f ( x j) (função monótona não crescente) (Fig. 2.12).

Fig. 2.10.

Fig. 2.11. Fig. 2.12.

Exemplos:

1. A função linear f ( x ) = 3 * é monótona estritamente crescente em todos os reais, pois x t < x 2 (reais) nos leva a f ( x i) < f ( x 2).

Em particular: 1 < 2 ------/ ( 1 ) = 3 < / ( 2 ) = 6 (Fig. 2.13).

2. A função quadrática y = x 2(x 6 ]R_) é monótona estritamente decrescente pois Xi < x 2 ——-> / ( x t) > / ( x 2) (Fig. 2.14). Em particular — 2 < — 1 —>_ > / ( - 2) = 4 > / ( - l ) = l .

Uma condição necessária para que toda função tenha inversa é que ela seja monótona estritamente crescente ou monótona estritamente decrescente, pois nestes casos as funções sempre são bijetoras. Ver Fig. 2.9, 2.11, 2.13 e 2.14. A inversa também e monótona estritamente crescente ou decrescente.

Fig. 2.13.

2.4 - FUNÇÕES PARES E IMPARES

Quando f ( x ) = f ( - x ) dizemos que / é uma função par e quando / ( - * ) = = - / (jc) dizemos que/ é ímpar.

O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo y e o gráfioo da função ímpar é simétrico em relação à origem o.

Exemplos:

E! A função y — 1*1 é uma função par pois:

f ( x ) = 1*1 = l-jcl = / ( - * ) (Fig. 2.15)

Ej A função y = (x 0) é uma função ímpar pois:

/ ( - * ) = z ; = - 7 = - / ( * ) (Fig. 2.16)

Fig. 2.15. .y = IxlNote a simetria com o eixo y.

Fig. 2.16. y = — (x * 0)

Note a simetria com a origem O.

2.5 - FUNÇÕES ELEMENTARES PRINCIPAIS

2.5.1 - FUNÇAO LINEAR

A função y = ax + b, (a ¥= 0) de R ------* IR é chamada função linear tendocomo gráfico uma reta. Os parâmetros a e b são chamados respectivamente coeficiente angular e coeficiente linear da reta.

O parâmetro a mede a inclinação da reta com o eixo x e o parâmetro b é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.

2.5.2 - FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função y = ax2 + bx + c, (a ¥= 0) de R ------*■ R é chamada função quadrática, cujo gráfico é uma parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo x.

Quando a > 0 a concavidade da parábola é para dma e quando a < 0 a ooncavidade é para baixo. As intersecções oom o eixo x são as soluções da equação ax2 + bx + c = 0 .

Temos então os seguintes casos a considerar:

eixo de simetria

As soluções de ax2 + bx + c = 0 são obtidas da fórmula

_ b ± V~Ã2 a onde A = b — 4 ac

0 vértice da parábola é o ponto mais alto ou mais baixo, dado por:

f = ( - A _ A1 2a ’ 4a

Exemplo: Seja a função quadrática y = x 2 - 6x + 8 .

(Raízes) x 2 - 6jt + 8 = 0 -->

= = > A = (— 6)2 — 4 (1)(8) =

=> A = 36 - 32 => A = 4

Assim,

_ - ( - 6 ) ± V4~

6 ± 2

(Vértice) V= ( - = >

= > K = ( 3 , - l )

2.8.3 - FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função y = ax de IR------ ► IR*, (a e ]R) onde a > 0 e a =£ 1 chama--se "função exponencial de base a”.

Se a > 1 a função exponencial é monótona estritamente crescente.Se 0 < a < 1 a função exponencial é monótona estritamente decrescente. Esta função intercepta o eixo y sempre no ponto (0,1) pois para x =

= 0 =■■> y = a = 1, qualquer que seja o valor de a.

2.5.4 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função exponencial é monótona estritamente crescente ou decrescent' sendo por isso inversível. A sua inversa é a função logarítmica definida de1RÍ-------* IR por y = logfl x (y é igual a logaritmo de x na base a) onde a > 0ea ^ 1. Temos 2 casos a considerar:

Se a > 1 a função logarítmica é monótona estritamente crescente.Se 0 < a < 1 a função logarítmica é monótona estritamente decrescente.

Ver Figuras 2.17 e 2.18.

2.6 - COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES

Consideremos / e g funções reais tais que y = f ( x ) e z = g( y) conforme diagrama r

Chamamos função composta de g com / a função g o f definida por z = = S l/C*)]- O símbolo “o” indica composição de funções.

Nota: A função g o f só é definida se o domínio da função g coincide com o contradomínio da função /.

Ej Sendo f (x) = 3x — 1 e g(x) = 4 x , então:

a) ( g° f ) ( x ) = gí f (x)] = g[3x - 1] = 4 (3 x - 1) = 12x - 4b) ( f °g) ( x ) = /k ( x ) ] = / [ 4 x ] = 3 (4x) - 1 = 1 2 x - 1

Notamos, portanto, que g o f ¥= f o g (a composição de funções não é comutativa).

Ej Sendo o ^)(x) = </> hp (x)] = <t>[xy ] = x y + 3

b) (í// o 0)(x) = 0 [0 (x)] = [x + 3] = (x + 3Y

c) o ^)(x ) = ^ (*)] = ^ [x>] = (xy Y = x y2

d) (0 o </>)(x) = $ [0 (x)] = 0 [x + 3 ] = x + 3 + 3 = x + 6

PR, Sendo f ( x ) = x 2 + x - 6, calcule:

a ) / ( l ) d ) / ( + 3)

Exemplos:

b) / ( — 1)

c) mSolução:

a) / ( 1 ) = l 2 + 1 - 6 = - 4b) / ( — 1) = (— l )2 + ( - 1) — 6 = — 6

c) /(O ) = O2 + 0 - 6 = - 6

d) / ( 3 ) = 32 + 3 - 6 = 6

FUNÇÕES ELEMENTARES 2i

0 f f (2) = 0

[ / ( 4 ) = 14

Assim / Í2) + A - 2 ) = h 4 = i 1 2 3 /(4 ) 42 21

Dar o domínio das seguintes funções reais:

a) / ( x ) = V (* - 4)(x + 3) c) h (x) =

Xare sen —

log(x - . 1)

i.\ _ _ yj~2x x 2 - 3x + 2_ d ) j; - log- 7 T l — -

Solução:

a) (x — 4)(x + 3) > 0 (condição de existência do radicando com índice par no radical)

Mas (x — 4)(x + 3) > 0 quandox — 4 > 0 A x + 3 > 0

x — 4 < 0 A x + 3 < 0

Assim-

x < 4 A x < - 3 x < - 3

D( f ) = {x e IRlx < - 3 V x > 4}

Graficamente teremos:

X < — 3

Verificação:

Tomemos 3 valores: x = 5 > 4, x = — 6 < — 3 e x = 2 entre —3 e 4.

/ ( 5 ) = V (5 — 4)(5 + 3) = \ fH (valor definido)

/ ( —6) = V (— 6 — 4)(— 6 + 3) = V 30 (valor definido)

/ ( 2 ) = V (2 — 4)(2 + 3) = V — 10 (valor não definido)

O X > 0 (7)

:> X 2 > 9 = > n /x * > \Í9 = > |x| > 3 = = >

= > (x < — 3 v x > 3) (g)

Fazendo a intersecção de 0 com © temos: x > 3.

£ fe ) = { x G R l x > 3 }

Graficamente temos:

I n II

Cy Façamos arc sen— = 0 => sen 0 = J

=> - 2 < x < 2

ct : x — 1 > 0 X > 1

Fazendo C t O C2 temos:

D (h) = {x e IR I 1 < x < 2}

Oi) x 2 - 3x + 2 . „- 1) (condição de existência do

logaritmando)

+ 1 _______2 + + + + + +•Vi —? ?

y i -fl

V i - - 1++++++ iyi

> 0 > 0

D(y) = { x e i R l - 1 < x < 1 V x > 2}

Lembrete: Sinal da função quadrática y — ax1 + bx + c (a # 0) com raízes x , e xa

Mesmo sinal de x i ----------------------H *2 Mesmo sinal de “a” H--------------------

Sinal contrário de “a”

Sina/ da função linear y = ax + b (a ^ 0) com raiz

Mesmo sinal de “a”Sinal contrário de “a” *1 —I—

PR3 Construir o gráfico da função y = x 3 + 1.

Solução:

X y- 2 - 7

3 192 8

3 352 8

PR4 Construir o gráfico da função y = \2x — 41.

19 caso: y = 2 x —4 para 2 x — 4 > 0 ou x > 2

29 caso: y = — 2 x + 4 para 2 x — 4 < 0 ou

O gráfico é então a união dos 2 casos acima.

PRS Construir o gráfico da função:

f ( x ) =

x 3 se x < 0

2 x se 0 < x < 2

4 se x > 2

Solução: O gráfico da função / ( x ) é a união dos gráficos individuais que a compõem.

a) Gráfico de / ( x ) = x 3 se x < 0 (ver Fig 2.2).

b) Gráfico d e /(x ) = 2x se 0 < x < 2

c) Gráfico de / ( x ) = 4 se x > 2

Portanto, o gráfico de f { x ) ty x 6 R é:

PR6 Prove que: f . (X + ^ + / ( x — ^ = / ( x ) onde f ( x ) = x + 2. y l f ( x y ) + f ( - x y ) \

Prova:

f ( x + y ) = x + y + 2

f ( x - y) = x - y + 2

í f(xy) = xy + 2

= > f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 (x + 2)

\ f ( ~ x y ) = - x y + 2=> f ( x y ) + f ( - x y ) = 4

Assim:y . + 30+/(*->>) = 2^ + 2) = x + 2 = m2 l / ( ^ ) + / ( - * / ) ] y 4

PR7 Prove que a função a (x ) = <£(*) + $ (—x) é par.

Prova:

«(-■*) = M - x ) + 0 [ - ( - * ) ] = <t>(-x) + </>(x) == <t>{x) + <t>(-x) = a (x)

Como ct(— x) = a(x) temos que a é uma função par.

PRS Prove que a função f (x) = —2 x + 4 é monótona estritamente decrescente. Prova:

Se < x 2 então — 2 x t > —2 x 2 > — 2 x x + 4 > —2 x a + 4

Assim: x t < x 2 —- - > f ( x t) > / ( x 2) Portanto a função/(x) = — 2x + + 4 é monótona estritamente decrescente.

PR, Dado / ( 2 x + 5) = x — 2, calcule /(x ) .

Solução: Seja 2x + 5 = t ------ > 2 x = t — 5 = > x = 1

2.8 - PROBLEMAS PROPOSTOS

PP, Seja a função real definida por / ( x ) = x 3 + 2x2 — 4. Determine:

Assim /(r ) = t—~ - 2 = > f ( t ) = t~ ~ -

JÇ _ ÇDonde concluímos que / (x) = — -—

a) /(O)

b ) / ( 2)

c ) / ( - 3 )

e) / ( V 2)

f) / ( x + h)

Resps.: a) —4

b) +12

c) - 1 3 -

e) 2 \ [ 2

0 x 3 + (3/i + 2)x2 + (3 /i2 + 4/i)x + /i3 + 2/i2 - 4

PP2 Construir o gráfico das seguintes funções:a) y = 3 x 2 - 18jc + 24

b ) / = 2 fcx + l para k = 0 , 1, 2 , - 1, - 2 , - 3, y

c ) y = I3jc - ll d ) y = - x 3

e) y = 2X

«-(irg ) / = l3xlh) / = I—x + 4l

i) y = log (x + 1)

1j) / =

k) y =

1 - x 2x - 1 x + 2

PP3 Dê o domínio das seguintes funções:a) y =

b)>> =

a) y = V x - 3

4x + 5

c) / = \ / x + 2

9 — x

e) y = log^x + y j

0 v = V x 2 — 16

_ / 3 x 43x +_2

Resps.: a) x > 3b) x # — 5c) R

d) x ^ ± 3

h)jr =v/2 - V r r T

i)> = logv/ f i |

j) / = are sen

■ - 4: - 1

2 x x + 4

k) y = arc sen log —

1) / = arc tg (x + 3)

• » r - J U R- x - 2

4x + 3

n) Jog -------^ ! ± 2 -----------x 2 - ( s / l + l ) x + s / l

e) X > ~ J 0 JÍ < - 4 V x > 4

g) X < r y V X > l

h) 1 < X < 5

i) x < 1 v x > 4

j) _ i < x < 4

k ) y < x < 2 0

32 CÁLCULO DIFERENCIAI. E INTEGRAL

7T — 3

m) x < — 1 v 1 < * < 2 v x > 3

n ) - V 2 < x < 1 v V 2 < x < v " 3

PP4 Sendo f ( x ) = arc sen (£n x), calcule:

a) fWti l O / K V V 1 ]

n \^" 5 7T | v ÍT 3 7T/ta/w.: a) -g* ou h)— ou

PPS Sendo £ (x) = 3 x 5 — 2x4 + x3 — x2 + 1 calcule:

a) A(x) = - | b ( í ) + s ( - x ) ] b) m (x) = - g ( x ) - g ( - x )

Resps.: a) h (x) = ( x 2 -y^ j(x2 + 1)

b) m(x) = 2 x2(2 x2 + l ) - 2

PP6 Identifique se as funções abaixo são pares ou ímpares:

a ) /(x ) = x 2 - 3 d ) / ( x ) = J rx 3

b) / ( x ) = Ixl e) / ( x ) = lo g (y 1 + x 2 + x)

c) f ( x ) = j ( a - x - ax ) f) / ( x ) = 3x + 2

Resps.: a) par d) ímpar

b) par e) ímpar

c) ímpar f) nem par nem ímpar

PP7 Prove que, s e / ( x ) é uma função exponencial ( f ( x ) = ax , a > 0) e os números * i, x 2 e x-j formam uma P.A., então os n ú m ero s/(x ,) ,/( x2) e / ( x 3) formam uma P.G.

PP8 Forme a função linear onde / ( 3 ) = 4 e / ( — 2) = — 1.Resp : f (x) = x + 1

PP9 Forme a função quadrática onde / ( —2) = 2, / ( l ) '= 3 e / ( 2 ) = 1.

D _ 7 2 1 , 23Resp.: f ( x ) = - y 2 ~4* T

PP„ Usando o método prático, determine a inversa das funções:

a) / ( * ) = x - 4 e) y = arc tg 8x

c) y = e*x

d) y = lo g y

f) y = V * 3 — 1

g) y - 3SX

Resps.: a) x + 4

f) >/** + 1

c) j í n x

d) 3 • 10*

3 _ 2xPP 12 Sendo / (x) = ■ — , prove que:

trM-wc*)PP13 Sendo f (x) — 3X e g (x) = x + 4, determme:

a) f ° gb ) í ° /

Resps.: a) 81 • 3*

c ) / o /

b) 3X + 4 d) jc + 8

PP14 Sendo: T(a) = 2 a — . Calcule:

Resp.:

T o T o T

2a - 21 16

2 -f" x 2 x 4* 3 PP15 Determine (g o / ) ' 1 onde f ( x ) = —-— e g(x) = ---- ----- usando o método

prático para a determinação inversa.

D 15x — 13 Resp.:----- -------

PP16 Prove que a função g(x) = é monótona estritamente decrescente.

PPi7 Prove que a função h(x) = x 2, h: R _------ *■ IR é monótona estritamentedecrescente.

PP is Prove que a função f ( x ) = log^x é monótona estritamente decrescente.8

PPi9 Seja: f ( x ) = 3 x + 3,^(jc) = 2 x — 1 e h(x) = x 2 + 1. Determine:

a ) f ° g ° h c ) g o h o fb ) f o h o g d ) h o g o f

Resps.: a) 6 h c) 18xJ + 36x + 19b) 3 (4 x 2 - 4 x + 3) d) 2(18x2 + 30x + 13)

PP20 Calcule f ( x ) onde f ( 2 x ^ = x — 8 .

Resp.: f (x) =

4x - 19

PP2i Calcule g (x) onde g \}J'-x — 35

Resp.: g(x) = 10x3(5 x 3 + 6)

PP22 Verifique o problema anterior.

= 2x - 18

P P 2 3 Prove que, sendo T(x) = 2X, então

4 T(x - 1) 4- T(x + 1) - 8 T(x - 2) = 2 T(x)

.1 )= — x j X7

PP24 Sendo f ( x ) = y / x 4 + 1, prove que:

PP25 Sendo = / ( y ) ’ calcu'e / ( 0 sendo y ¥* 0 e / ( y ) # 0.

Resp.: 1

PP26 Sendo/ (x + y) = f ( y ) + / ( x ) , calcule/(0).

Resp.: 0

PP27 Sendo f(? fx y ) = / ( 2 V^c)/ (V y) onde x > 0, y > 0 Resp.: 1

PP28 Sendo f (x) = e * '2, prove que:

f ( x ) f ( y ) = f ^ ± y l

, calcule / ( 2).

LIMITES

Rearticule a fé nos companheiros que sí desviaram do rumo. Se algum deles se marginaliza, auxilie-o a reajustar-se na trilha certa.

3.1 - LIMITE DE UMA VARIÁVEL

Consideremos uma variável x capaz de assumir uma sucessão de valores de seu domínio:

* i, * 2» -*3» * ■ ■) x n - 2) * n -i5 x n> ■ * • de modo que o módulo da diferença x — a se tome menor que um número S, tão pequeno quanto desejarmos,

|jc - a\ < S

Diremos, então, que a variável x tem para limite a ou x tende para a.Escrevemos lirn x = a ou x -*■ a e lemos: o limite de x é igual a a ou x

tende para a.Para indicar que o limite da variável l é a constante a, podemos fazê-lo das

seguintes formas:

l im x =<7 ou x -*■ a ou | x - a | < 5 ou — f> < x - a < & .

Exemplo: 1

Suponhamos que a variável x assuma valores de seu domínio representados pela dízima periódica 1,999 . . .

Tomemos a constante 2 e façamos as diferenças

Assim, por menor que seja S, podemos ter

I* - 2 | < 6

1,9 - 2 = - 0,11,99 - 2 = - 0,011,999 - 2 = - 0,0011,9999 - 2 = - 0,0001

bastando tomar na variável x um número suficiente de períodos e teremos lim x — 2.

O exemplo acima nos mostrou uma variável tendendo ao seu limite por valores inferiores ao seu limite.

Vejamos outros exemplos: Um em que a variável vai tender ao seu limite por valores superiores e outro ora por valores superiores, ora inferiores ao seu limite.

Ej Seja a variável x assumindo os valores de seu domínio 2,1; 2,01; 2,001; 2,0001;...Consideremos a constante 2 e formemos as diferenças:

bastando tomar um número suficiente de zeros.

3 3 3 3E2 5 = 3 — — + “ — — + — + . . cujas parcelas estão em P.G. de razão

2,1 - 2 = 0,12,01 - 2 = 0,012,001 - 2 = 0,0012,0001 - 2 = 0,0001

Por menor que seja ô, poderemos ter:

\x - 2 | < 8

O lim S

lim 5 = - ^ —r

2lim 5 = - | ------= 4 — 2 = 2

Se considerarmos os valores sucessivos de S teremos:

3 3S3 = 3 - y + > 2 e assim por diante.

As somas tendem para 2 ora por valores superiores, ora por valores inferiores

LIMITES 39

3.2 - LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Seja a função f ( x ) = x 2 definida para todo x real. Anaíisemos o comportamento de f ( x ) quando x assume valores próximos de 2 , porém, diferentes de 2.

Para isto consideremos os 2 quadros a seguir:

Notemos que quanto mais x se aproxima do valor 2 a função f ( x ) se aproxima do valor 4 tanto em (I) quanto em (II).

Podemos tornar f ( x ) tão próximo de 4 quanto desejarmos, contanto que façamos x suficientemente próximo de 2 .

Notemos também que quanto mais aproximamos x do valor 2 as diferenças |jc — 2| e | f ( x ) — 4| se tomam suficientemente pequenas.

Estas diferenças suficientemente pequenas são representadas na análise matemática por 5 e e. (ô > 0 e e > 0)

Na Figura 3.1 podemos observar que se desejarmos a diferença \ f (x) - 4| < e (escolhido) devemos encontrar um ô(e) tal que a diferença \x — 2| < 6 . Assim:

0 < \x - 2| < S = > l f ( x ) - 4| < e

e quando isto acontece dizemos que o limite da função f ( x ) , para x tendendo ao valor 2 é 4. Em símbolos:

x - 2 X / ( * ) f ( x ) - 4

- 0,2- 0,1- 0,01- 0,001- 0,0001

1,81,91,991,9991,9999

3,243,613,96013,99603,9996

-0 ,7 6-0 ,3 9-0 ,0399-0 ,0 0 4-0 ,0004

x - 2 X / ( * ) / ( * ) - 4

0,10,010,0010,0001

2,12,012,0012,0001

4,414,04014,00404,0004

0,410,04010,00400,0004

lim x 2 = 4.X->2

Fig. 3.1.

Com isto podemos estabelecer a seguinte definição:

Uma função y = /(* ) , tende para um limite b, quando a variável * tende para a, se, a um número positivo e, arbitrariamente pequeno, corresponde um número positivo 5 tal que para

U - a | < ô e x # a — —> \y - b\ < e

Representamos por lim f ( x ) = b x-*a

Fig. 3.2.

LIMITES 41

Graficamente dizemos que / ( x ) tende a b (Fig. 3.2) se todos os pontos de f ( x ) correspondentes a todos os pontos x cuja distância até o ponto a é inferior a S, estão contidos num intervalo de raio z delimitado pelas retas y = b + e e y = b — e.

Exemplos:

E, Provemos que lim (3x — 4) = 2.X-+2

Prova:

Devemos provar que dado £ > 0 arbitrário, podemos achar S > 0 tal que 1(3x — 4) —2 l < e quando |x - 2| < 6 .Mas,

|(3x — 4) — 2| = |3x — 6| = 3 |x — 2| < 36.

Escolhendo 5 = -j temos

|(3x — 4) — 21 < e e portanto Um (3x — 4) = 2X->2

x _4Provemos que lim -------x~

X-+2 X — 2

Prova:

Devemos provar que dado e > 0 arbitrário, podemos achar 5 > 0 tal que x 2 — 4x - 2

x 2 — 4x — 2

Escolhendo 5 = e temos:

x 2 — 4

< e quando |x — 2| < S.

= |x + 2 - 4 | = |x - 2 | < 5 .

x2 — 4< e e portanto Um

x->2 x — 2= 4.

3.3 - LIMITES LATERAIS

Nos quadros (I) e (II) aproximamos x do valor 2. Porém no quadro (I) os valores são inferiores a 2 e no quadro (II) os valores são superiores a 2.

No primeiro caso dizemos que x tende a 2 pela esquerda e no segundo caso x tende a 2 pela direita e representamos respectivamente por:

Um / ( x ) = 4 e Um f ( x ) = 4X-»2" X-* 2+

Definiçctes

D! Se f ( x ) tende ao limite bj quando x tende a a para valores x < a, dizemos que &i é o limite à esquerda da função f{ x ) no ponto a e representaremos por:

lim /( x )

D2 Se /(x ) tende ao limite b2 quando x tende a a para valores x > a, dizemos que b2 é o limite à direita da função / ( * ) no ponto a e representaremos por:

lim / ( x ) = b2 x-*a*

TEOREMA 1:

Seja f ( x ) definida num intervalo aberto 1 — {a}.

lim f ( x ) = b se, e somente se, lim f ( x ) = lim / ( x ) = b x->a x-*a~ x-*a*

Demonstração:

lim / ( x ) - b = o ( V e > 0 , 3 6 > 0 | 0 < | x - a | < 6

| / ( x ) - b\ < E)

=> (V e > 0 , 3 S > 0 | - 6 < x - a < 0 ou 0 < x - a < 8

— > | f (x ) - b | < e)

V e > 0 , 3 6 > 0 | - ô < j c - a < 0 = > I /O ) - bl <e <= => lim f ( x ) = b

V e > 0 , 3 6 > 0 | 0 < x - a < 5

< > lim /( x ) = bx-*a*

=> |/ ( x ) - b\ < c

Exemplos:

I y |E i Consideremos a função / ( x ) = — V x G IR*,

lim / ( x ) = lim = lim —— = — 1X XX-+Q~ X-+Q~ X-* 0

lim / ( x ) = lim = lim — = 1 x —* o+ x-+a*x x-+o+,x

Logo lim f ( x ) # lim /( x ) e portanto não existe lim f(x ) .x->o+ x->o

Note que os limites laterais existem, porém não são iguais.

Consideremos a função

1 — x2 se x < 3

f (x) = i 0 'se x = 3

x — 2 se x > 3 Calculemos lim /(x ):

3“lim / ( x ) = lim (1 - x 2) = lim [1 — (3 — h)2] =

X-*3~ x-*3~ h-* olim [1 — 9 ■+■ 6h - h2] = lim (— 8 + 6h — h2) = — 8 h-> o h-o

Nota: Substituímos x por 3 — h que é um número menor que 3 e, como h -* 0, então, 3 — h é próximo de 3.

Calculemos

lim / ( x ) = lim (x — 2) = lim [(3 + h) — 2] = lim (1 + h) = 1X->3+ x-*3+ h-* o h-+o

Neste cálculo x foi substituído por 3 + h que é um número maior que 3, mas próximo de 3.Não existe lim /(x ) , pois lim / ( x ) i= lim /(x )

X —*3 X-*3" X->3+

Seja a função

r2x + 4 se x < 1

8x — 2 se x > 1

LIMITES 43

/ ( * ) =

Temos:

lim /( x ) = lim (2x + 4) = lim [2(1 — h) + 4] = lim (6 - 2h) = 6 x-»i- x-+l" ft-»o h-*o

lim / ( x ) = lim (8x — 2) = lim [8(1 + h) - 2] = lim (6 + h) — 6 x-*x+ x -n + A->o

Existe lim / ( x ) e é igual a 6, pois i -* i

lim /( x ) = lim /(x ) = 6 x -n - x-»i+

x2 — 4x 4- 4Determine lim ----- ----------- .x - í - x 2 - 4

Solução:

lifflX2 - 4 x 4- 4 = H (2 - ti)2 - 4 (2 - ti) 4- 4

r x 2 - 4 A ™ (2 — A )2 — 4

4 — 4/z 4- h2 — 8 4- 4h + 4 .. h2 .. h------------- ---------- -----------------= l im —-----------= l im -- -------

4 — 4h 4- h — 4 o /i — 4h h->o h 4

J L =o.- 4

x 2 - 4x 4- 3x -n 4

Solução:

x 2 - 4x 4- 3 = Um (1 4- h)2 — 4(1 + ti) + 3 = 6* + 5 f t -o(l +/ i )2 - 6 ( 1 + / í )4- 5

^ 4- 2ft 4- /i2 — 4 — 4ft 4- 3 = Um h2 - 2h = T + 2ft 4- ft2 - 6 - 6A 4- 5 *_<, A2 - 4A

h(h ~ 2) _ H h — 2 - 2 J_ r , * - 4 - 4 2

3.4 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES

Sejam /(* ) e * (* ) fur*Ções Umitadas:

P, Um ^ ^ constante.x-*a

P U m [/(JC) 1 í W ] = ton / ( * ) 1 ton g(x)L „ x-*a x-+aX -+Q

P, Um [ /(* ) * í W 1 = 11111 llm g(-x>x-*a *-*a x ^ a

P4 Um A • / ( * ) = ^ • Um A *)

Um /(x )P Hm ZÍÍÍ = (Um £ (x ) # 0)

P6 lim [/(x)]" =tlim /(x)]n

LIMITES 45

P7 lim [ / ( x ) F (JC> = [ lim / ( x ) ] Um*w , se os limites forem finitos.X -*fl X ->fl

P8 lim logft / ( x ) = log* lim / ( x ) , ò € IR, 0 < £> =£ 1 e lim / ( x ) > 0X -» « X -* fl X -»fl

Exemplo: Usando as propriedades operatórias vamos determinar

lim ' V J r r - x-

Resolução:

a) limr —1----- - lim V 2x + x3 / lim (2x + x3)

V 2 x + x 3 x->i Vx _>i x + 2 lim (x + 2) lim (x + 2)

X -> 1 x-*i

/lim 2x + lim x 3 /2 lim x + ( lim x )3 ____V x —1____ x->i _ V x-»i____ x—> 1 ___ v 2 + l _ v 3

lim x + lim 2 lim x + lim 2 1 + 2 3X -* 1 x - > l JC-*1 X - * l

b) lim (x + 4) = 5x->\

Então Um U 2- x- + f Y * = / V ã > = V 3x-1 \ * + 2 / V 3 ) 27

3.5 - LIMITES INFINITOS

Definições

Dt Seja / ( x ) uma função definida em um intervalo aberto I - {a}. Dizemos que quando x se aproxima de a ,/(x ) cresce üimitadamente se, para qualquer número M positivo, existir 5 > 0 tal que se |x - a\ < 5 então /( x ) > M e escrevemos:

Um / ( x ) = + °° x-*a

D2 Seja / ( x ) uma função definida em um intervalo aberto I - {cr}. Dizemos que a função / ( x ) decresce iUmitadamente quando x se aproxima de a se, para qualquer número M < 0, existir S > 0 tal que se |x - a\ < 6 então / ( x ) < M e escrevemos:

lim / ( x ) = — °°x-»a

Observação: Os símbolos ±°° não são números.

Fig. 3.3.

Exemplo: Seja f ( x ) = * + 12 ‘

Note que quando x -*■ 2+ a curva cresce infinitamente ou seja:

.. x + 1lim -------- = °°

Quando x -*■ 2 ' a curva decresce infinitamente ou seja:

lim Jt + 11 x — 2

Nota: A reta x = 2 é a assíntota vertical de f ( x ) .

3.6 - LIMITES NO INFINITO

Definições

Dt Seja f ( x ) uma função definida num intervalo aberto (a, °°). Diz-se que, quando x cresce ilimitadamente, f ( x ) tem um limite A se, V e > 0, 3 N > 0 tal que se x > N então | f{ x ) — A\ < e e escrevemos:

lim f ( x ) = AJC-+ + “

D2 Seja f ( x ) uma função definida num intervalo aberto ( - a). Diz-se que, quando x decresce ilimitadamente, f ( x ) tem um limite A se, V e > 0, 3 N < 0 tal que se x < N então |/ (x ) — A \ < e e escrevemos:

lim f { x ) = A x-*- ~

x *4" 1Na Fig. 3.3 podemos ver que quando x cresce ilimitadamente f { x ) = —— —

tem um limite igual a 1, pois, para e > 0 , 3 A r > 0 t a l que para x > N então |/ ( x ) - 1| < e e por isso:

x *4" 1lim — — x - 1 (este limite é exatamente a assíntota horizontal de f ( x ) ) .

LIMITES 47

TEOREMA 2

Se lim / ( x) = + °°, então lim , , . x->a x-*a J\x)

Demonstração:

Por hipótese lim f ( x ) = então existem M > 0 e 6 > 0 tal que se x-*a

0 < |jc - a\ < 6 então / ( x ) > M.

Mas f ( x ) > M > 0 < = > |/ (x ) | > M <= 1f i x ) < F

< 6 , então

Escolhendo e = temos V e > 0, 3 6 > 0 tal que se 0 < \x - a|

1/ ( * )

- 0 < e e portanto

lim . / ( * )

Este teorema é válido também para x -*■<*>.

TEOREMA 3

Se lim / ( x) = - <*>, então lim ~ - r = 0 x-*a x-*a J \ x )

Demonstração análoga à anterior.Este teorema é válido para x

TEOREMA 4

Se lim / ( x ) = 0, então lim x-*-a x-^a / w

= + oo

Demonstração:

Por hipótese lim /(x ) = 0, então ] e > 0 e 5 > 0 tais que |x - a\ < 6

onde |/ (x ) | < e.Mas

|/ (x ) | < E < = >1

/(* ) > f

Escolhendo M = — vem V Aí > 0, 3 8 > 0 t a l que se |x — a\ < Ô, então

1/( * )

> M e portanto lim x->a

1/(* )

Este teorema é válido para x -*■ <*>.

TEOREMA 5

Consideremos a função polinomial

então:

b) lim / ( x ) = lim anx nx -» - <*> X-» — *>

a) lim f ( x ) = lim anx n X-.00 x-*~

Demonstração:

a) lim /(x ) = lim (a0 + fljx + a2x 2 + . . . + a„x").X-><”

limx —°°

I a° + +a„xn anx n - y a„xn ~2

+ . . . + 1

MaS ““ ( 7 1 ” + + + • • • + 1 ) = 1 (Teorema 2)x —*°° \ GfjX üf ix

e portanto

lim /(x ) = lim anx nX -» “ X - » “

De maneira análoga demonstramos b.

TEOREMA 6

Se / ( x ) - a0 + a ,x + a2x 2 + . . . + anx n, an ¥= 0 e

h (x ) = b0 + biX + b2x 2 + . . . + bmx m, bm ¥= 0

então:

Um = lim ^ - x "

Se n > m

Se n = m

Se n < m

A demonstração por ser idêntica ao teorema 5 fica a cargo do leitor.

LIMITES 49

Exercícios

Calcule os limites seguintes:

E, lim (3 x2 + 4x + 8)

Resolução:

lim (3xs + 4x + 8) =5 lim 3 x 2 = «X~*°° X-*°o

Ej lim (5.x3 - Ax1 — 8jc + 4)

Resolução:

lim (5 jc3 - 4x2 — Sx + 4) = lim 5jc3 = —c

5x — 4E3 Um — — ------x-K» Ax — 2x — 8

Resolução:

Sx - 4 t.6 5 T.6 „lim — --------------- = Um — - = lim - — = 0X-»» 4 x — 2x — 8 x~*m Ax x~*

3.7 - INFINITAMENTE PEQUENO

Definição: Diz-se que a = a(jc) é um infinitamente pequeno quando x -*■ a ou x -*■ °° se

Um <*(*) = 0 ou Um a(jc) = 0 x -+a x-*°°

Exemplos:

Et A função a = (x — 2)J é um infinitamente pequeno quando x -*■ 2, pois,

Um a O ) = lim (x — 2)J = 0X-*1 X-+2

3E2 A função a = — é um infinitamente pequeno quando x -*• <*>, pois,

3 T.6Um a(x) = Um — = 0

x-*«o x-*°° x

Da definição de limite resulta que para a (x ) ser um infinitamente pequeno deve-se ter:

V t > 0 , 3 6 > 0 tal que para todos os x satisfazendo a desigualdade \x - a\ < 5 se tem |a (x)| < e.

Propriedades:

P i A soma algébrica de dois infinitamente pequenos é um infinitamente pequeno.

Demonstração:

Seja ji(x) = <*(*) + 0(x).

Por hipótese, a (x) e (3 (x) são infinitamente pequenos e assim:

l « W I < f e I J W K y .

Im(x)I = |a (x) + 0(x)| < |ot(x)| + |/3(x)| < y + y = e >

isto é, | ( j c) | < e e portanto n (x ) é um infinitamente pequeno.

De maneira análoga demonstra-se o caso lim a(x ) = 0, lim P(x) = 0.x-*°°

P2 .0 produto de um infinitamente pequeno a = a(x) por uma função limitada / = /(a ) é um infinitamente pequeno quando x -*■ a (ou x -*■ °°).

A demonstração fica a cargo do leitor.

3.8 - FORMAS INDETERMINADAS

Ao calcularmos o limite de uma função em um ponto dado, acontece muitas vezes que nesse referido ponto a função não é definida, obtendo resultados nas formas:

0 OO•q- ou — que são chamados formas indeterminadas mais freqüentes.

Por exemplo:

lim ——r~r = -—V , , (forma indeterminada)x-+-i * + 1 - 1 + 1 0

lim r ~ ~ ~ ~ = (forma indeterminada) jc-»» x — 1

LIMITES 51

Uma indeterminação não significa a inexistência do limite, apenas nada podemos dizer por enquanto.

Para sairmos das indeterminações acima usaremos operações algébricas elementares de modo a substituir as funções em estudo por outras equivalentes que possuam limites determinados no referido ponto.

Nos dois últimos exemplos temos:

,■ X 2 — 1 (x + 1)(jc — 1) „hm - - - -j- = lim ^ ---- 1 = lun (x - 1) = - 2•* T 1 X~+ - l V-* T X -+ -1

3 + — + 4 -Un 3 + 2 , 3

Exemplos:

x 3 — &x ■+■ 3 E, Calcule lim —

x-m x s - 2x + 1

Substituindo diretamente temos:

x 3 — 4 x + 3 0lim —— ------- - = — (nada podemos afirmar inicialmente)x-+i x — 2x + 1 u

Dividindo o numerador e o denominador por (x — 1) temos:

lim + lim — F + t - W - l ) _____ =x ^ i x — 2x + 1 x ^ t (x + x + x + x — l) (x — 1)

X2 + X - 3 1hmi x 4 + x 3 + xJ + x — 1 3

Calcule lim ^ ~ ' f * ■ x — 3

Substituindo diretamente temos

\/~x — \/~3 0lim ----------r— = — (nada podemos afirmar inicialmente)

x -*3 x — 3 u

Quando temos o limite de uma função irracional deste tipo multiplicamoso numerador e o denominador por (n/jT + \ Í 3 ) . Assim:

lim = lim (V * r - .y ã ) .( ^ +/ 3 ) =x-+3 x 3 x-*3 (x — 3 )( \/x + \ /3 )

* " --------- (* > 3> ^ - l i -x->3 (x - 3 ) ( v x + V 3 ) X - 3 v x + -s/3 2 y / 3 6

Observação: Um estudo mais completo sobre indeterminações é visto no capítulo seguinte.

3.9 - "LIM ITES BÁSICOS"

® ün, * « £ = i ^ V

Provemos geometricamente: M Seja o círculo de raio unitário com centro

O. Assim definido temos

ÕÃ = ÕN = 1.

Prolonguemos OA até encontrar a perpendicular por_N (extremo de ÕN) em M. Façamos AB paralelo à MN.Desse modo temos:

Área A OAB < Área do setor OAN < Área AOACV.

* a a n sen x cos x Are a A OAB - -------------

Área do setor OAN = - y

í a nt,™ tgx se*1 *Are a A OMN = ~ ~ = --------2 2 cos jc

r . _ sen x cos x . x . sen xTemos entao ------------- < — < ---------.2 2 2 cos x

Multiplicando todos os termos desta desigualdade por sen x

sen jc cos x. sen jc 1 ou COSJC < ------- < COS JC

Mas lim cosjc = limX - * 0 X -+ 0 cos JC= 1.

Assim 1 < lim ------ < 1 e portanto:

LIMITES 53

.. senx hm ------ = 1v-*n X

sen 4 jcExemplo: Calculemos Um ---------

Façamos 4x = n . Assim se x -* 0 então 4x -*■ 0 ou n -*■ 0.Logo

sen 4 x .. 4 sen 4x sen 4 x . sen u im ------- - = hm — -------= 4 Um — ------ = 4 hm ------- =UmX -> 0 ■* X-I-O

= 4 - 1 = 4

4x 4 x

<D limX-+oo v * /

Demonstraremos no Capítulo IV.

Exemplos:

E[ Calcular Um 1 — 1 Y

Um ( 1 — — ) = Um " / «-<-

1 + (- 1)

E2 Calcular Um*-►«>

UmX->“

Jf + 1

UmH Ï

E3 Calcular Um (1 + x ) l /x. x-*o

Façamos a substituição x = — . Então:

Um (1 + x )vx = Um (l + — = eX-+0 y-+oo \ y )

® Se a > 0, então

ax - 1lim --------- = Sn ax —*o x

Demonstração:

Para a = l o limite se verifica diretamente.

Para 0 < a ¥= 1 temos:

Fazendo a substituição tf* — 1 = ai vem:

ax — 1 = n ------> ax = li + 1 -----> Sn ax = Sn(^í + 1)

- > x Sn a = £n(#i + 1) = = > x = + ^ v Sn a

Assim,

ax — 1 _ n ____ ^ a1 — 1 _ fj Cng* _ £n(n + 1) > x ^Sn(/u + l)

e como * -» 0 -> n -*■ 0, vem:

a* - 1 .. //Sntf r n i r 1 lim -------- = lim -tt—,—t —tt = IBn aJ lim -----------------x~*o x n~*o 1 ) n->o i . E n(p i + 1)

= [Sn tf] lim ---- -— ----- rrr = — ~— --------—-r= Sn tf/i-*o Sn(fi + 1) Sn [lim ( m + 1)

e2X _ 1Exemplo: Calcule lim ----------

X-+0 x

Resolução:

lim — —— = lim —------- Sn e = 2 Sn e = 21

3.10 - CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

Uma função /(x ) é contínua no ponto a quando preenche as condições:

Existe e é definida no ponto a;Existe lim f ( x ) e é igual a /(tf);

x-»a+

LIMITES 55

E existe lim _/(x) e é igual a f(a ).

1. No ponto 1 - > / ( 1) = I~ 2 = ~T~ ~ 1

Quando f ( x ) não for contínua em x = a dizemos que ela é descontínua neste ponto.

Se uma função for contínua cm todos os pontos de uma região D (ou de um intervalo) diremos que ela é contínua nesta região (ou neste intervalo). Geometricamente dizemos que uma função f ( x ) é contínua quando não há quebra em seu gráfico.

x *4" 1Estudemos a função f ( x ) = —-----— no ponto x = 5.

Ela é descontínua no ponto x = 5, pois f ( x ) não é definida neste ponto. Observemos que

D ( f ) = [x E IR I jc * 5}

Exemplos:

Ej Os gráficos abaixo ilustram funções descontínuas em a.

O a x O a x O a

0 ) lim f ( x ) *f ( a) (II) f ( x) não está definida (III) ^ lim /(x )x~*a em a. x-+a

E2 Estude a descontinuidade da funçao y = --------- — no ponto x = 0.1 + 2

1. /(0 ) =1 + 2

t/0 -------•> a função não é definida para x = 0.

62. lim -— ** = lim ------^ = lim0+ 1 + 2 1'* a-*o 1 + 2 1/(0+a) h-+ o 1 + 2 1'* 1 + 2 1/0

= — = 0 .

3- lim -— = lim = lim0 - 1 + 2 1'* o 1 + 2 1 / ( 0 ' A) a - o I + 2 - 1" ' 1 + 0

No ponto x = 0 há um salto igual

1 0 - 6 1 = 6

Teoremas importantes:

T, Se as funções f ( x ) e g (x) forem contínuas, então serão contínuas as funções

f ( x ) ±g(x) , f ( x ) • g(x) e com g (x ) + 0.

Tj As funções polinomiais são contínuas em todo intervalo finito.

T3 Se y = / ( * ) for contínua em x = a e z = g (y j for contínua em y = b e se* = /(a), então, a função z = £ [ /(* ) ] é contínua em * = a.

Calcule o valor dos seguintes limites:

x* - 2 PR, Um - ■X --2 x 3

Solução:

x 4 - 2 ( - 2 ) 4 — 2 7 lim ----- -— = -— -— ;— = — -TX - . - 2 X 3 ( — 2 ) 4

x 3 - 3 x2 + x - 1 PR2 lim -

x —- l

LIMITES

Solução:

x 3 - 3x2 + x — 1 j

= ( - D 2 - 2 ( - l ) - 4Um * 3 ; + £ - 1 _ ( - 1 ) 3 - 3 ( ^ l ) 2 + ( - ! ) - ! .

PR3 lim Xx - f - i x 2 + 3x + 2

Solução:

.. x 1 — 1 (x + l) (x — 1) x — 13 , + 2 ' « T , <* + » < * + 2) " i ? . , 7 + 2 '

“ ' “ I = _ 2

PR4 lim

- 1 + 2

(x - h)3 - x 3’ 4 --------------T T

ft—o h

Solução:

.. (x - h)3 - x 3 .. x 3 — 3 hx2 -I- 3h2x - h3 - x 3lim ---------£-------- = lim ------------------ r-------------------- -ft—o n f t- o "

ft —o ft—o.. h ( - 3 x 2 + 3hx - h2) .. . . , , _ ,= lim —---------- ------------- - = lim (—3* + 3 ftx - ft2) =

l)x —í

Solução:

2(x2 + je + 1) — 6lim ( ------ T ----- ------ I = limx - i V * " 1 x 3 - i y x - i x 3 - 1

= lim 2 i ! + 2 x - 4 = Um _ A ( x - l ) ( x + 2) = x —l x — 1 x - 1 C* — !)(■* + x + 1)

= lim^ L ± 2L =2x - i * + x + 1

- 3 x 2

Pr6 Um i ^ .7 4 ) + y ^ ix -n x — 2

Solução:

(x 2 - 4) + V-*3 - 8 um -

- iim + 2) (x — 2) 4- V (x - 2 )(x2 + 2* 4- 4)_ r- 7 x - 2

D_ .. x 2 - 3x + 1 PR7 limx-*°° 4 x 2 + 1

Solução: an

x 2 - 3x 4- 1 x 2 7lim ------ ---------- = lim — - = —x->°° 4 x 2 4- 1 x-*~4x 4

porque n = m = 2 (teorema 6 do 3.6).

PR8 lim s *x->-~ V * 5 + 7

Solução:

lim s~7 - = lim — . - - ; .......=*■*“ V * + ? i j x * ( l + ^

- lim ^— = - = lim ——r - ----- = 1

PR9 lim V 7

*-►“ -v/x + vGc + v*"

Solução:

Usando a propriedade P6 e depois dividindo todos os termos por x temos:

lim —7 • Yp - - = lim / ------- /-■- ■ - -i =x-+~> V x + V * + Vx~ x + v * + V x

LIMITES 59

PR 10 lim

Jx^-oc x + y /x + VT J j + J \_ , / T

= V T = i

y /3 - x - 14 - * 2

Solução:

Multiplicando o numerador e o denominador por (V 3 — x + 1) temos:

h í & l . » d ^ T T T -h q .x->2 4 — x X-+2 (4 - x ) ( V 3 - * + 1)

= lim --------------- ^ --------------- ---* - 2 (2 - x ) ( 2 + x ) ( y / 3 - x + 1)

= lim ------------- \ -------= -3-x->2 (2 + x ) ( V 3 ^ 7 + 1) 8

PRn lim ( y f x — y ja + x)

Solução:

lim ( V T - V J T 3 Í )= lim ( V F - =x-<-~ ( v x + V a + x)

= lim * - ( * + * ) = ^ - = 0 » - " v / í + y / a + x 0 0

PR12 Se /"(x) = 3x2 — 2, achar lim-- "3 _ O npKor lim / ( x + A) - /(* )fc-»o ^

Solução:

f ( x + ti) = 3 (x + h)2 — 2 = 3x2 + 6fcx + 3 A2 - 2

f ( x + t i ) - f ( x ) = lim 3 x 2 + 6hx 4- 3/i2 — 2 — 3x2 + 2 = A-*o h h-*o h

6 hx + 3 ti1 .. . . , ,= lim -------r------= lim (6x 4- 3 ti) = 6xh-> 0 * A-*o

PRis lim* - i 2x 3 — 3x 2 + 4 x - 3

Solução:

Substituindo diretamente temos então, dividimos o numerador e o deno

minador da fração por x — 1 pois x -*■ 1 .

x 3 + 4x2 - x - 4 _ ( x - l) (x 2 + 5 x + 4) _ x 2 + 5x + 4 2x3- 3 x 2 + 4 x - 3 ( x -1 ) (2 x 2 - x + 3) ~ 2 x 2 - x + 3

x 3 + 4 x 2 - x - 4 x 2 + 5 x + 4 5lim —-------- -------------- = lim — -------------= —-x-n 2x3 - 3x2 + 4x - 3 x-n 2x2 - x + 3 2

PR 14 lim 3x — 27

« V 3 F - 3

Solução:

Substituindo diretamente temos , mas podemos fazer a substituição x = y 3

e daí:

M £ n 2L = lta2L l 27=lim 0^ W J _ 3Z ± 9) =x-m \ x — 3 y~* 3 y > - > 3 y ~ 3

= lim (y2 + 3y + 9) = 27>-3

2x + V * 3 - 4jc2 + 2PR15 lun -------- Tn r ^ J ' ~X - » v r - 1

Solução:

, 2x + V x 3 —4x* + 2 ,, +lim -------- 3 -------- = lim ---------- -prr------ r-=T--- L

' /^ T

2 x + x Y / l 2 + \ 3/ l

= l im ------------ * * = l im -------— = 3

LIMITES 61

__ sen 4xPR is lira -— ;r—

x-*o sen 3x

Solução:

.. . sen 4x sen 4xlim 4x —------------ hm —-------^ sen 4x _ * x - ” 0 4JC _ 4 4 x-»o _ 4

sen3x .. sen3x 3 .. sen 3x 3* 0 lim 3* — — hm3X-*-0 ^ X 3 X -+ 0 3 X

.. sen u , pois lim -------= 1Í. - 0 **

__ .. sen Ttx PR i7 hm -— 5 — sen 3nx

Solução:

Façamos x = // + 1. Se x -+ 1 -------> n -*■ 0 e daí

sen££L = lim senff(p + l) = ^ sen(nii + n).JÍU1, sen3jrjf sen3ir(/i + l) sen (3iru + 37t)

sen nx sen tt/i • cos n 4- sen n • cos nulim ----------= hm -------— ------ -— ------- ----------£----x _¥l sen3nx M_ 0 sen 3 7 T/í • cos 3rr 4* sen 3 7 T • cos 3 7t/í

1~7f*i-sen nu

.. sen7rx — sen7r/i nulim -----r— = lim ------- r---- = hm -=---------- 5 ----x_¥l sen 3nx M _ > 0 — sen 3 7t/í 3~n tsen 3 nu3 7rp i

lim sen 7Tfj... sen?rx _ J_ irji-»o 1 _ 1

sen 3ttjc 3 ^ sen 3 nu 3 * 1 33nfi~*0 37r/i

pR sen (a + x) — senax-^o ■*

Solução: Transfoimemos em produto

f i \ ■> f a + x - a \ ( a + x + a \ sen (a + x) - sena = 2 sen I —— ----- ) 0 0 8 1 ------- — " 1 =

. x 2a + x = 2 sen -v cos2 2

Assim,

» x 2 a + x/ i \ 2 sen — cos — - — .. sen (a + jr) — sen a 2 2 lim ---- ------------------- = lim ------- ------------ -—X - K ) X X ~ * 0 X

X / x \ = 1sen / sen— \

= Um —- — cos — y — =! Um --------- ;Um cos a Xx-+o x 2 • # x • 2

.. 2 a + x ------= hm cos — =— = cos a

PR19 lim (1 4-cosx)3sec*x-+—2

Solução:

Façamos a mudança de variável cos x = ~ onde se x -> y

Assim:

Üm(l + cosx)3sec* = Um (1 + cos*)““ * = Um (l + —

JLYUm (1 + ■ iV-)

PRjo Um3x 4- 4 \ x + 1

20 V 3x + 2

Solução:

3x 4 2

= Um ( 1 ^ 4 4 +

JC—►«>

3x + 2 4- 2 \ x +l 3x + 2

x+l= Um I 1 +x^ „ \ 3x +2 3x 4- 2/ x

Façamos a mudança da variável 3x 4- 2 = /i. Quando x -* ■*> = - > n -*■ °° e então:

2 \ * +1i 1 T íx-tco

3x + 2

Ü m ( 1 + 3 x + 2

= Um ( 1 4 - - X 3

LIMITES 63

PR21 Se lim f ( x ) existe, prove que é único. x-*a

Prova:

Suponhamos lim f ( x ) = e lim f ( x ) = b2 j:—o

Por hipótese, dado e > 0, podemos achar 8 > 0 tal que:

l / ( x ) - 6 , | < y quando \x - a\ < 5

I f ( x ) - b2\ < — quando |x - a\ < S

l*i - = l* i - / ( * ) + / 0 0 - b 2\ < |6 , - / ( * ) ! + I / W - 6,1 <

o que quer dizer, |6 , — &2| é menor que qualquer número positivo; ou seja zero. Assim 6 , = b2.

PR22 Sendo lim f { x ) — A t lim g(x) = B, prove que: x -*a x-+a

a) lim \ f ( x ) + £ 0 )] = A + B x^rn

Prova:

I t /O ) + í W l - (A + B)\ = 1[/(jc) - A] + [*(*) - S]| <

Por hipótese, dado e > 0 podemos achar 5 , > 0 e 52 > 0 tais que:

\ f ( x ) - A \ < Y se | x - a | < 6 ,

\ g ( x ) - B \ < Y se |jc - a| < ô2

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

I [ /(* ) + £(*)] - 04 + £)l < y + y = e

se 0 < \x - a\ < 5 onde 6 = min (6 ,, S2)

b) lim —, = 4 - se B ± 0 x-+a S ( x ) B

Prova:

Por hipótese, dado e > 0, 6 t > 0 tal que:

|g (x ) - B\ < y 5 2e se |jc — «| < .

Mas lim g{x) = B ¥= 0, 3 52 > 0 tal que: x-+a

lg(x)| > y \B\ quando |jc - a\ < ô2. Assim: 1 J_

_ lg(*) - B\1 1 í W - Bí W B g( x )B

1*1 !*(*)! \b \ ^ \ b \

sempre que 0 < \x — a\ < 5 onde 6 = mín (fij, 82)

2x4 — 6x3 ~f" x2 + 3 Verifiquemos se / ( x ) = --------- -— j------------ é contínua no ponto x = 1.

Solução:

/ ( D - 2 .—

logo não é contínua em x = 1.Mas como x = 1 anula o polinómio 2x4 — 6x3 + x 2 + 3 resulta que ele é divisível por x — 1.

2 x 4 - 6x 3 + x2 + 3 X - 1

—2x4 + 2x3 2x3 - 4x2 - 3x - 3- 4x3 + x2 + 3

4x3 — 4x2

- 3x2 + 33x2 - 3x

- 3x + 33x — 3

„ _ . . . (2x3 — 4 x 2 - 3x — 3)(jc— f)- 3 - Entao, / ( x) = --------------^ ^ — — ' = 2x — 4x — 3x — 3

lim f ( x ) = lim (2x3 - 4 x 2 - 3x - 3) = - 8 = / ( l )X —1 X->1

Quando istq acontece dizemos que em x = 1 a descontinuidade é removível e passamos a definir a função através de duas sentenças.Assim:

{— 8 para x = 1

2x4 - 6 x 3 + x 2 + 3 ---------- 3~ i ----------- Para * * 1

PR24 Demonstre que f ( x ) = \ J x — 3 é contínua no intervalo 3 < x < 7.

Demonstração:

Se a é um ponto tal que 3 < a < 7, então

lim f ( x ) = lim y / x — 3 = V a — 3 = f (a) x->a x-*a

e como

lim y / x - 3 = lim V 3 + h - 3 = lim V /T = 0 = /(3 ) eX — 3+ h ->o o

lim y /x — 3 = lim y / l — h — 3 = lim V 4 - h = \/4~ = 2 = x -* i~ h-*o h-*o

= /(7 )

concluímos que f ( x ) é contíriua no intervalo considerado.

PRJ5 Calcule lim (1 + ax)b/x. x-*o

Solução:

Vimos que lim (1 + = e. Então, comparando notamos *-»o

LIMITES 65

1lim (1 + ax)axI ->0

ab= eab

i_x -iPRjt Calcule lim 3

Solução: Substituamos x por um inferior a 1, 1 — h por exemplo:

i ;___ -Um 3 * -' = Um = Um 3 h = Um -

x-*l~ h-+o h-* o ft-* o3

= -1- = i - = o3 0 0 CX)

PR27 Sendo Um pX + C,X +- 4- = 2, determine p e q.X-+ +oo ^

Solução:

anComo x -> + °° e o Umite é t— = 2, necessariamentebm

Qfl Qn = m = 1 — - > p = 0 e ■=-— = - - = 2 =

PR28 Determine a sabendo-se que Um ( l — —) sen ax = 5.X-tQ \ x /

Solução:

' " ' sen axUm (l — — )! t - o l X JUm (1 — — ) sen ax = lim sen ax — Um

_ .. asenax f .. senax\ -= 0 - Um ----------= - a Um ---------- = 5x-*o a x \ a x -* o a x J

------- = 1

Então, - a = 5 --- > a = — 5.

3 m* - 1PR29 Calcule Um ——------ .„ i nx i x-*o J — i

Solução: Vimos que

a* - 1 „Um -------- = ín a,x-*o x

podemos, então, escrever

3 - 13mx _ j mx

Um ——------ = Um --------- —-------= Um■ nnx | „ í/ix i ->nxo i — 1 X-*0 — 1 x-*o i"X — — —

LIMITES 67

lim3 mx _ j

_ m x-*-o mx _ fn £n 3 _ m_n 3 nx _ 1 n 8n 3 n

lim —-------* - 0 n x

PR Calcule lim e* + sen* - l Calcule üm gn(1+Jc)

Examinemos o quociente indicado e preparêmo-lo:

.. e* + sen x - 1 e * - l + s e n x™ 0 _ « n ( l + x ) - XT 0 Bn(l + *) ~

v x ex — 1 + sen x = lim — • — õ ?i ' I \—

x-+o •

— 1 . a ii _ .. (ex — 1) -f sen x 8n ( l + x ) £ . g n(1+Jc)

+ lim; limx ^ ° x 8n(l + *) *-

= lim ex - l 1

0 x • j « n ( l + x)

sen xx-*o x

.. i . . . senum ---- ----------—— + lim ----x -o 8n( l + x Y ,x x->o x

• lim — -— -——— = Kn e • 7p -----1- 1 • rp— = 1 + 1 = 2*-+0 Kn(l + x)1/* ßne ßne

PR31 Calcule lim v /1 + x x->o

Solução:

lim ^ 1 + x = li:x->o

x = lim (1 + x ) 3x =X-»0

lim (1 + x ) x.X-+0

Então, lim 1 + x = e3 — s f êJC-+0

PR32 Calcule lim (1 - atgx) cotgjcx~*o

Solução:

lim (1 - a igx)cotgx = lim 1 “-----= lim ——---------- —X -*-0 JC-K) tg X JC->0 t g x

. a te* - 1 lim (1 — a gx) cotg x = - lim — --------- = - fin aX-+0 JC-K)

pt senx cos x _ >PR33 Calcule lim

x -+0 sen 2x

Solução:

-«senxcosx _ 1 „3-sen2* _ ilim ----------=------- - = Um ex >0 sen 2x sen 2x

gísenix _ 1= 3 lim —;----- -— - = 3 «n e = 3

x-*o 3sen2jc

PPi Usando a definição de Umite prove que:

a) lim (jc - 4) = 2 c) Um (x 2 - 2x - 1) = 7X->6 X-»4

b) Um (3 jc — 2) = 10 /— „d) Um vGr" 3 - 1

9 - jc 6

Calcule os limites seguintes:

PP2 Um (5 jc3 - 2x — 4) Resp.: — 1 jc —»1

PP3 Um (3 jc4 - 2 jc3 - 4 x2 + 2 jc + 1) Resp: 0 jt-»-i

PP4 Um (2 jcs - jc3 + 10) Resp.: - 4 6X - + - 2

PP .. , / 2 x 3 + 2x2 + 8Um ’ / — r— ------ — Resp.: 2x-+2 V x "t* 2 jc — 4

PP6 Um x — 5

x-+s V3 + x

PP7 Umx 2 - 16

x-*4 x 2 — 5x + 4

Resp.: 0

p 8Resp.: y

LIMITES69

PP8 lim 4 ^ - Lx-*i x 2 - 1 Resp.: 2

PP, lim ~ ~ l x + 10x - 2 x 2 - x - 2 Resp.: - 1

PP10 l i m - ï ^ ix -.2 x — 2 Resp.: 12

PP„ lim ~ ~ 6* 2 + 5x-*-i x — 1 _ Resp.:- 4

PPU lim — 7 ^ + *. 1jc-o 4x 3 - 2 x R e s p . : - -

PP13 lim - i ** ~ l xx - i x 2 - 3x + 2 Resp.:- 4

PP„ lim ( f L ± A T ^h -to ft Resp.: 4 x 3

PP1S lim jx - o •* Kesp.: y

PPi6 lim 3 x4 ~ 2 x 3 + 2x2 - x - 2x-+i x 3 — jc2 -f- 2jc — 2 Resp.: 3

PP,7 lim - 4- ~ 2 x + 4 10x-*-2 X4 + 3* - 10 Resp : ~ 2 9

PP18 lim 1x ~*6 x — 6 «esp..- —

PP„ Um*-*o x . Resp.:

PPJ0 Um 1 ^ /U L ja:-+-2 x 2 — 4 Resp.: — —

PP2I Um ~ 3 ~ 311111 —~~ — — 4x- 3 V 2 x - 2 - 2 Resp.: —

DD r 3 — V 5 + X PP22 hm -------x-*4 1 — y/ 5 — x

.. y /x2 + m PP23 lim *-*<

PP24 lim

um —. ^ -------x-*o v x 2 + q 2 — q

y / x - 3X~>9 x - 9

P P 2 5 U m 1

X -> 1 V x — I

x — 8PP26 Um-5-— ------

*-►8 yj X — 2

PP2i Um (y/x + 2 - y / x )

PP28 Um [ Vx( x + 4) - x]

PP29 lim3x2 - 4x + 5

DD r 3* 2 - 4x + 3 PP 30 lim — — - . ------x-,» 3x3 + 8xJ + 4x — 5

P P 3 1 Um 5x3 + 4x2 — 5

PP 32 Um 3xs + 2x3 + 5lil ----I-------- -----------------*— « 5x + 4x3 + 2x + 1

PP33 Um (—4x3 + 2x + 4)

P P 3 4 Um y ------x-»~ v r + 1

PP 3 5 Um x (y /x 2 + 2 - x)

Resp.:

Resp.: — m

Resp.: ~- o

Resp.: ~

Resp.: 12

Resp.: 0

Resp.: 2

Resp.: 00

Resp.: 0

Resp.: -y

Resp.: °°

Resp.: 1

LIMITES

FP«, Ita ( l + | ) <’

PP” «■

PP5, lim I -------- 1 Æesp..—f n um ( * ^ 1 Y

PPS2 lim ( 1 + —

P P 5 3 limUm fe lY +*x -> -\ x + 4 j

' 2X2 + 1

Resp.: ex

Resp.: e~6

pp“-gstpp" R ^ - : e'

" " í " . ^ **>•• 3

3“ - 1P P 5 s r „ ~ * — R e s p - 2 j n 3

Resp: y

"■“ S-ofer * ~ f£ f

PPsl í ” *«p .: e2

PPé2 x™ I T T ’ Resp: e5

LIMITES 73

PP 6 3 lim

PP64 lim \J 1 — 2xX - K )

PP6s Umx-*o

£n(l + x )2

log (1 + jc) 3PP66 Um

X-+0 x

pp67 um i “ 0 + 4*>*x~*o x

PP68 Verifique se a função definida por:

x 2 — 3 se x < 2

5 - 2x se x > 2 é contínua em x = 2.

Resp.: 3° Ín3

Resp.: e~2

Resp.: 2

Resp.: 3 log e

Resp.: 8

/ ( * ) =

Resp.: sim

PP69 Verifique se as funções definidas a seguir são contínuas nos pontos especificados:

a) f ( x ) =5 se x > 0

3 se x < 0 no ponto x = 0. Resp. : não

b ) / ( * ) = '

27x — 3

3 se x = 3 no ponto x = — 2.

x 2 - 6x + 8 se x > 2c) / ( * ) =

x 2 + x - 6 se x < 2 ,em x = 2.

d) / ( * ) =Jt3 — 6 se x < 2

x 2 — 2 se x > 2

no ponto x = 2 .

Resp.: não

Resp.: sim

3x — 8 se x > 5

e) f ( x ) = • 7 se x = 5

jc2 — 18 se x < 5

no ponto x = 5.

x3 - 1

f) /(* ) = ( * - l ) 3

no ponto x = 1.

g) /O ) = l * - l l

no ponto x = 1.

se x i= 1

se x = 1

se x ^ 1

se x = 1

Resp.: sim

Resp.: não

h ) / ( x ) =1 se x = 0

no ponto x = 0. Resp.: sim

PP70 Determine a para que a função seja contínua no ponto especificado:

' x 2 - 1

a) / ( * ) =se x 1

a se x = 1

no ponto x = 1. Resp.: a = 2

C) / ( * ) =

V x ^ 3 - 1 se x > 4

se x < 4

2 x - a

no ponto x = 4.

x 2 — 3x + 2 se x < 1

x 2 — 5x + a se x > 1

no ponto x = 1.

x 3 - 2x + 1

Resp.: a = 15

Resp.: a = 4

d) / ( * ) _ i x 3 + 5x — 6se x < 1

3x2 — 2x + a se x > 1

no ponto x = 1. Resp.: a = —-g-

4DERIVADAS

Alegre os infinitos muros tristes das infinitas moradas tristes.

4.1 - DEFINIÇÕES

D, Sejam x t e x 2 dois valores bem próximos de uma variável x e y , = f (x t ) e y 2 = / (*2) os valores da função y — f ( x ) correspondentes a x, e x 2 respectivamente.

Chamamos de acréscimo da variável x à diferença Ajc = x 2 — x , e acréscimo da função y à diferença Ax = y 2 - y , ou Ay = f ( x 2) — f ( x i ) onde f ( x i ) e f ( x 2) são chamados respectivamente de valor inicial e valor acrescido da função y.

D2 Chamamos de Razão Incremental R I ou Razão dos Acréscimos ao quociente:

Exemplo: Sejam y = x 2 — 4, x , = 1,2 e x 2 = 1,3.

Xi - 1,2 temos = —2,56

x2 - 1,3 temos y 2 = —2,31

Assim:Ax = x2 - X! = 0,1

^ y = y i - y \ = 0,25

Ax X2- X ]. valor acrescido da função — valor inicial da função

valor acrescido da variável — valor inicial da variável

Utilizando a disposição seguinte podemos escrever R.l. de uma forma geral.

Valor inicial Valor acrescido

Variável X x + Ax

Função f (x ) / ( x + Ax)

Então:

r r - f ( x + A*) - (x + Ax) -

f (x )—^ ouX

p j _ f ( x + A x ) - f ( x ) Ax

D a Derivada de uma função

Seja y = / ( x ) definida e contínua num intervalo E. Chama-se derivada da função y à função y ' onde

supondo existir o limite.Usaremos também as seguintes notações para indicar a derivada da

função y: / '(* ) , [/(* )]

Exemplos:

Ej Consideremos a função / ( x ) — x 2 — 3 e calculemos a sua derivada. Temos:

f ( x + Ax) = (jc + Ax)2 _ 3,

assim:

_ ,• í(* + Ax)2 - 3] - (x2 - 3) _ / (x) = hm —------- - WZ----- -------- L =Ò X -> 0 n x

= limAx->0

x 2 + 2 x A x + (Ax)2 - 3 — x 2 + 3 _ Ax

= lim (2x + Ax) = 2xAx-*o

Portanto,

f \ x ) = 2 x

DERIVADAS 77

E2 Seja y = e calculemos y ' . Temos,

/ ( x + Ax) = 12 (x + Ax) ’

1 1 x — (x + A x)

' = lim W E M Z M = üm _2*(* + **) =Ax-»o Ax Ax->0 A x

Ai ™ 2 x ( x + A x ) 2 x 2 ’

portanto,

y = 2 x 2

D4 Derivada de uma função em um ponto x 0

Seja y = f ( x ) uma função definida e contínua em um intervalo considerado. Então

, / (* o + & x ) - f ( x 0)y* o = lim -----------ã í -----------AX-*0

é a derivada da função y em um ponto x 0 supondo que exista o limite.

Exemplo:

E, Consideremos a função f ( x ) = 3x2 — 2x + 1 e calculemos a derivada de / (x) no ponto x 0 = 2. Temos:

f ( x o + Ax) = / ( 2 + Ax) = 3(2 + Ax)2 - 2(2 + Ax) + 1 e

/ '(2 ) = lim / ( 2 + ~ f ( 2) =Ax-»0 ^X

lim [3(2 + Ax)2 - 2 ( 2 + Ax) + l ] - 9 _

= um 3 (Ax)2 + 10 Ax = jjjh (3 + 10) = 10A* Ax-*oAx-*o

Portanto:

/ ' ( 2 ) = 1 0

Podemos também primeiramente encontrar f \ x ) e depois, por substituição, f ' ( x 0).

E2 No Exemplo E, da Definição D3, se quisermos a derivada de / ( x ) = x 2 — 3 no ponto x0 = — 1, temos:

Como f ' ( x ) = 2 x então / ' ( - 1) = 2 ( - 1) = — 2.

Ds Derivada em um intervalo

Uma função y = f ( x ) é derivável em um intervalo se possui derivada em todos os pontos desse intervalo.

D 6 Derivadas laterais

As expressões

» _ .• / ( * + Ax) —/( x ) , f ( x + A x ) - f ( x )y (♦)= to» +— -------A;: ■ ■■ e ^(-) = ton -------Kx

Ax-K) AX-+0 a x

são chamadas respectivamente derivada à direita e derivada à esquerda da função y = f ( x ) num ponto x qualquer.

D7 Uma função f (x) tem derivada em um ponto x 0 se e somente se

/(+ )(*o) = /( - ) ( * o )

ou seja, as derivadas à direita e esquerda são iguais no ponto x 0-

Exemplo: Consideremos a função y = lx + 11 e calculemos y ' ^ (— 1)e / ( - ) ( - ! ) :

Ax-*0+1-1 + Ax + ll - 1-1 + ll _ ,

/ « - , ( - . ) = li» - A - , ) -Ax-*<T

_ .. 1-1 + A x + l l - 1-1 + ll— lim ----------------t------------------- = —1Ax-*o" ^ x

Como ./(+)(— 1) # >»(_)(— 1) concluímos que nesse ponto a função dada não possui derivada (ver Fig. 4.1).

TEOREMA

Se uma função f ( x ) é derivável em um ponto x0, então ela é contínua nesse ponto.

DERIVADAS 79

DemonstraçãoSendo Ax 0 podemos escrever:

w , » /(* o + A x ) - / ( x 0) „ / ( x 0 + A x ) ~ / ( x 0) = ------------ ^ -------------- A x .

Como / (x) é derivável em x0 vem

lim l/(xo + Ax) — f (x0)l = f \ x ) ' lim Ax = 0,Ax-»0 Ax-*o

donde resulta:

lim [ /(x 0 + A x ) - / ( x 0)] = 0 ou lim / ( x 0 + Ax) = / ( x 0)Ax—o AX—0

sendo/(x) contínua em x 0.A recíproca nem sempre é verdadeira, ou seja, / ( x ) ser contínua em x 0 não

implica ter derivada aí nesse ponto. No último exemplo, vimos que y = lx + ll não tem derivada em x 0 = — 1, porém é contínua para qualquer outro valor de x. Veja Figura 1.

Fig. 4.1. Gráfico de y = |x + II.

Observação: Nos pontos de descontinuidade uma função não tem derivada.

4.2 - ÁLGEBRA DAS DERIVADAS

TEOREMA 1

Se f ( x ) e g(x) são funções tendo derivadas f \ x ) e g‘(x) respectivamente, então / ( x ) ± g(x) tem derivada e

l/(x )± g (x )] ' = /'(x )± *'(*)■

80 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Façamos/ ( x ) ± ^ ( j c ) = h ( j c ) . Então:

h \ X) = um M * .+ y - * t o =A x -0 A X

= limAx-»0

= lim ax->o

[ f i x + Ax) ± #(x + Ax)] - l/(x ) ± g (x)] _ Ax

/( x + Ax) - / (x ) ± g(x + Ax) - g(x)Ax Ax

= um / ( * + - / ( * > ± um jT(x + Ax) - g ( x ) AX-» 0 Ax AX-*0 Ax

= / ' t o ± * ' ( * ) .

Portanto: l/(x) ± g(x)]' = f ' ( x ) ± g'(x)

TEOREMA 2

Seja / ( x ) uma função tendo derivada /'(x ) e K uma constante real. Então,

[Kf{x)] '= Kf'(.x).

lK f (x )Y = lim - t t * + ~ =Ax->0 Ax

= K to i í* + y - / w =A X -0 A X

= * / ' t o -

Portanto, I í / ( x ) 7 « «:/*(*)

TEOREMA 3

Então,

Sejam / ( x ) e #(x) funções tendo derivadas /'(x ) e ^'(x) respectivamente.

l / t o * g(x)H = / ' t o • í t o + /(x ) • g'(x).

[f(x )g (x )] = lim + Ax)g(* + Ax) - / t o g t o = Ax- 0 Ax

DERIVADAS 81

= lim/ ( x + Ax )g (x + Ax) - f ( x ) g ( x + Ax) + /(* )g -(x + A x)- f ( x ) g ( x )

= lim Ax-»0

f ( x + Ax) - / ( x) Ax g(x + A x ) + f ( x ) g(x + Ax) - g ( x )

= lim / ( ? .+ ^ ^(x 4 - Ax) + /(x ) Um + =Ax-*0 A x-*0 Ax-»0 ,

= /'(* )? (* ) + /(*)*'(*)■

Portanto, I f W í C x ) ! 1 = / ' ( * ) í W + / ( * ) í ' ( x )

TEOREMA 4

Então,Sejam / ( x ) e g(x) funções tendo derivadas f ' ( x ) e g'(x) respectivamente.

/ ( * )g(.x)

' - g(x) f ' (x) - f ( x ) g ' { x ) [g(x)Y

para g(x) ^ 0.

/ (* )*(*)

= limAx-*-o

/ ( x + Ax) f ( x ) g(x + Ax) g(x) _

f ( x + Ax) f ( x ) t / ( x) / ( * )= lim

AX->0g(x + Ax) g(x + Ax) g(x + Ax) £ (x) _

= limAX->0

= UmAx-*o

gpc + Ax) {f ( x + Ax) - / ( x ) ] + / ( x ) 1 1.g (x + Ax) g(x)

1g(x + Ax)

l f ( x + A x ) - / ( * ) ] + / ( * ) g(x) - g ( x + Ax)g(x + Ax)g(x)

= limAx->0

g(x + Ax) (f(x + A x)- / ( * ) ] / t og(x + Ax)g(x) [g(x + A x )-g (x ) l

Umàx-+o g ( x + A x) Ax- * 0

f ( x + Ax) - f ( x ) Ax

— lim / t o g (x + Ax) - g ( x ) _Ax-*o g( x + &x)g(x)

Um - Ax-+o Ax

g (x ) f(pc) [ / ( l ) ] 2 ' 8 W

- g ( x ) f \ x ) - f ( x ) g ' { x ) \g(x)V

[ /(* ) ! ' _ £<*) f ' {x) - / ( * ) g'(x)[*(*) fe(*)l2

Portanto:

g(x) * 0.

RESUMO:

Sejam u = / ( x ) , v = g(x) e K constante real.

1 (u + v)' = u' ± v ' 3 (uv)' = uv' + u v

2 ( * « ) '= * « ' 4 J = ,

4.3 - DERIVADA DAS FUNÇÕES BÁSICAS

1 f ( x ) = K ( K constante). Logo:

/ ( x + Ax) = K e /~(x + A*) - / ( * ) = =A x A*

f ' i x ) = Jta ZfeLt-^ ) -/ W . = 0Ax-<-0

e portanto:

2 /O ) = x. Logo:

f í \ _ 1- (* + A* ) — */ (x) = lim i------7T7 ------= 1A x -o ajc

e portanto:

x' = 1

3 f ( x ) = x n, n GZ+. Temos:

DERIVADAS 83

\ _ >■ (* + &x) - * f (x) = lun v--------j f ---------AX—0

= limAX—O

( J )**(A4: )«+(J )x- « ( A * ) ‘ .

+ . . . + (

Ax= lim -

( ” ) x " - + g ) x " - 2(A x ) + . . . cA x

+ ( " ) x 0(A x )n- ‘ lV»/__________J. _ n\ vn -1 _ „^n-t

A x x = nx

e portanto:

(x71)' = nxn~l

4 y = sen x

jy = limAx.-o

= limAx->o

sen (x + A x ) — sen x A x

^Ax^ ^2x + A x\ 2 sen J cos - J

sen= lim m

Ax. A x lim cosAx-*0 ( ^ )

= 1 • cos ( — l = cos X<fh y = cos x

S y = cos x -> y ' = — sen x prova análòga à anterior:

6 y = tg x

Como y = tgx = podemos aplicar o teorema 4 com os dois

últimos resultados. Assim:

= cos*(cos x) - sen x (— sen x) cos2* + sen2x

y — see jc

7 y — cotg jc y -----cossecx (prova análoga à anterior).

8 y ~ loga x, (x > 0 e 0 < a ^ 1)

lpgg (* + Ax) - logg xy — limA X -+ 0 A x

~ lim Ã 7'oga 1 +A * - 0 £SX

= limA* 07 t e x lo &‘ l 1 + T - j =

lim logü■* &X-+0 j i + ¥ r -

;7 lo8 a Um . •* A x - o \

(i + **)** = JC /

- J logae,

como loga e - -— temos, fina

y = x fina

9 Em particular, se y = finjc temos:

Jcfin e

10 y = ax

Se y = ax temos:

DERIVADAS 85

Assim:

3 -----“ Ti— ou - ^ - = y9 .n ady y m a dxdx _ 1 dy

e portanto:

y ' - ax £n a

11 Em particular, se y = ex temos:

y = ex £n e,

portanto:I __ Xy = e

Temos: sen^ — x. Assim, = cosy ou ~ = —-— . Mas

= y / T ^dy

x 1 e portanto:dx cos y ' cosy

v T ^(Ixl < 1).

13 y — arc cos jc >

anterior).

14 y = arctgoc

Temos:

y =s / T ^ x *

(prova e considerações análogas à

tg y = x, donde — = sec2y ou — = ——dxdy see x

see 2y = 1 + tg 2y

e portanto:

y =1 + x 2

15 y - arc cotg x . > y = 1 + X.2

Podemos criar uma tabela com estes resultados:

1 y = K então y' = 0

2 = jc então y = 1

3 y = x n n £ Z + então y' = ror" ' 1

4 y = senjc então y ' = cosjc

5 >> = cos x então y = — senx — -

6 >>=tgx então y = sec2jc

7 _y = cotgjc então y' — - cossec2x

8 y — loga j ( ( j ( > O e O < s ^ l ) então y = —~—JC Kn a

9 y=£nJC então y ' = —x

10 y = ax então y = a * 2na

1 1 y = ex então y' = e*

1 2 >> = arc senx então y — ~7 =*~ fV I - x

13 y = arc cos jc então y = ~t— ■V 1 — x

14 y = arc tg jc então y = —-—-1 + JC

15 y = arc cotg .x então y = ---- r1 + JC

4.4 - IN T E R P R E T A Ç Ã O G E O M É T R IC A D A D E R IV A D A

Uma reta, como sabemos, possui inclinação constante. O mesmo não acontece em relação a uma curva onde a inclinação em um referido ponto da curva é dado pela tangente a ela nesse ponto.

DERIVADAS 87

y y = f (x)

Fig. 4.2.

Procuremos então a inclinação da curva y = f ( x ) (Fig. 4.2) num ponto genérico P. 4—►

A inclinação da reta PQ é dada por:

( Se fizermos o ponto Q se aproximar de P sobre a curva dada, a inclinação de PQ vai se aproximar da inclinação da reta tangente à curva no ponto P. Neste

supondo que exista o limite. Este limite é a derivada da função y = / ( x ) no ponto P e portanto a derivada da função y - f ( x ) no ponto P é a inclinação da reta tangente (ou coeficiente angular) nesse ponto.

A equação da tangente a uma curva em um ponto M (x 0, y 0) é dada por:

Chama-se normal da curva em um ponto jc0, a reta que é perpendicular à tangente passando por esse ponto.

Da geometria analítica sabemos que, para duas retas serem perpendiculares em um ponto x , devemos ter:

= um / ( * + A*) - / ( * ) A r - * 0

4.5 - EQUAÇÕES DA TANGENTE E DA NORMAL

y - y o = / ' ( * o)(* - *o)

onde resulta a equação da normal em x.

y - y o = 7 '(*o )(x - x 0)

Exemplo: Calculemos a equação da tangente e da normal à curva y = x 2 noponto (1,1). Como/(x) = x 2 ---- > f ' (x) = 2x onde / ' ( l ) = 2.

Assimy — 1 = 2(x — 1) ou

é a equação da tangente no referido ponto. Logo, a equação da normal à curva em (1,1) é dada por:

y - 1 = - -j(x - 1) ou

Fig. 4.3. Gráfico da tangente da noifnal à curva y = x 1 no ponto (1, 1).

4.6 - DERIVADA DE FUNÇÕES COMPOSTAS

Consideremos as funções y = f (u ) , u = g(v) e v = h(x) tendo derivadas dy du dvd ü ’ ~dv e ~dx resPectlvamente-

Se Au e Ai» não são nulos podemos escrever o quociente da seguinte

maneira:

DERIVADAS 89

A / _ Aj> Aw AvA x A u Av A x

onde y, u e v são funções de x.

r A u = > 0Logo, se Ax = > 0 temos:

Assim:

Av = > 0

Ay _ Ay Au Avlim -r- = hm — hm — hm — ou

Ax-»o A x Ax-+o Ax-i-o A v a x - k > A x

dy_ du dvdx du dv dx

REGRA DA CADEIAo que nos leva a dizer:

“A derivada da função composta / = f {glh(x)]} é o produto das derivadas das suas componentes.”

Fazendo uma extensão nesta fórmula, temos a derivada da composta para n funções deriváveis.

Exemplos: Derivemos as funções dos 3 exemplos seguintes:

1. y = ( 2 x 2 — 2)*

Funções Componentes: potência e quadrática. Então:

^ = 4 ( 2x2 - 2)3 • 4 x = 16x( 2x2 - 2)3

2. / = sen3(5x + 2)

Funções Componentes: potência do seno, seno e arco. Então:

^ = 3 [sen2(5x + 2)] • [cos(5x + 2)] • 5 =

= 15 sen2(5 x + 2) cos(5x + 2)

3. y = Sn \ / x 2 — 2

Preparemos inicialmente a função:

y = i n (x2 — 2 )2 = y £n(x2 — 2)

Funções Componentes: logarítmica e quadrática. Então:

Seja y = f ( x ) definida em um intervalo. A derivada f ' ( x ) é também uma função neste intervalo. Se /'(x) for também derivável, a sua derivada é denominada

4.7 - DERIVADAS SUCESSIVAS

Exemplo: Consideremos a função y = 5x4 - 2 x 3 4- 6 x 2 — 2x — 8. Então,

~ *20 (derivada de 4? ordem)

^ l = ^ y = = 0dx5 dx6 ' "

4.8 - DERIVADA DE FUNÇÕES INVERSAS

Consideremos a função y = f ( x ) derivável e inversível. A derivada da função inversa x = f ~ x(y) é dada por:

20x3 — 6 x 5 + 12x — 2 (derivada de 1? ordem)

(derivada de 2? ordem)

(derivada de 3? ordem)

d x = J _ dy dy

onde ¥= 0.dx

Exemplo: Sendo y = (senx) + £n x temos — = (cos x) + j = -■ + X1 +XCOSX

Portanto,

dx xdy 1 + x cos x

DERIVADAS 91

4.9 - DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS

Quando x e y se relacionam implicitamente através da equação F(x, y) = 0 dy

a derivada é obtida do seguinte modo:

1. derivamos F(x, y) em relação a x tomando y como função de x.

. . , d F ( x , y )2 . igualamos — ^ a zero.

dy3. isolamos ^ na igualdade anterior.

Exemplo: Sendo x* — 3 xy + y 2 = 0 calcu lem os^ . Temos: F{x, y) =

= x4 — 3 x y + y 2 onde

í í f c J W - , ( , £ ♦ , ) * „ £ .

Igualando a zero temos:

+ , ) + 2 r f - ° o»

4 x 3 - 3 x - 3 y + 2y ^ = 0 ou dx dx

(2y - 3 x ) & = 3 y - 4 x 3

e portanto:

d>> _ 3 y - 4 x 3 dx 2 y - 3x

4.10 - DERIVADA DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA

Sejam as funções y = f ( t ) e x - g(t) definidas, deriváveis e ainda x admite

inversa. Aplicando a regra da cadeia encontramos ou seja:

Assim:

dy _ f \ t ) dx g ( t )

lg \t) * 0]

Exemplos:

1 Seja x = a (t — cos í) e y = 2 — sen t .Então: g{t) = a (t - cos t) e / ( f ) = 2 - sen f.

dy _ f \ t ) _ —cos t dx g'(t) a ( l + s e n í )

2 Seja x = a cos t e y = b sen t.Assim: g(t) = a cos t e f ( t ) = 6 sen f. Logo:

dy _ b cos t b dx — a sen t a cotg t

4.11 - REGRA DE L'HOSPITAL

Sejam f { x ) e g(x) funções deriváveis. Se /(« ) = 0 e g(a) = 0 ou /(a ) = °° e g (a) = °° então,

x-*alim —V-í = lim ■ , , ,x-*a £ W x-*a g W

supondo a existência deste limite e g'(x) ¥= 0. A regra de L’Hospital também pode ser aplicada quando x ------>

Exemplo: Usando a regra de L’Hospital, calculemos os seguintes limites:

.. x 2 — 4 E, I n n - ^ y

Substituindo diretamente temos —, assim:

DERIVADAS 93

Substituindo diretamente temos assim:

.. 1 —cosx senx .lim ------------= hm -------- = 0sen x ^ ^ q cos x

x3 + 3x + 4 2 x 3 — 5

ooSubstituindo diretamente temos —, assim:o o ’

x 3 4- 3x + 4 3 x 2 -t- 3 (aplicando novamente a regraton -----------------= lun --------— , .

2x3 — 5 6x de L Hospital vem)

.. 6 x 1' J T . T Ü ‘ 1

Podemos também aplicar esta regra nas formas indeterminadas 0 * °° —fazendo-se uma adaptação necessária (transformação em quociente) recaindo

0 00 em — ou — .0 00

lim ( —----------x-oVtgx senx,

Substituindo diretamente temos 00 — Fazendo a transformação em quociente e depois aplicando a regra de L’Hospital temos:

l i m [ J ---------M = lim ^ °SJt 1sen x / sen x

C O SX — 1= limX - - 0 senx

_ .. - s e n x _= hm --------- - 0

lim (x - 3) tg ^X -* 3 °

Substituindo diretamente temos 0 • Fazendo a transformação em quociente e depois aplicando a regra de L’Hospital temos:

tfia -_ 6 6 _ 6 , 7rx 6-----— um -------— -------- lim sen — = ------*-*-3 sec2 — n x ~*3 n

Usando transformação logarítmica nas formas indeterminadas 1“ , 0o,o , 0 °°

00 recaímos em — ou — podendo aí usar a regra de L’Hospital.

i_E6 lim (1 + senx)senx

Substituindo diretamente temos 1“ . Lembrando que e ína = a temos:i —!—

lim (1 + sen jc)5“«"* = lim e «n<i+senx)senx =X-*-0 X -+ 0

1= lim 2n(i + sen x )sen*

lim ex~*° x-*o

Calculemos primeiramente A = lim fin(l + senx)sênx.i-*o

COS X4 - ®n(l + senx) _ 1 + senx .. 1A - lim ------------------- = lim ------------- --- lim ------------- = 1*_»<, senx x_>0 cosx x _ 0 l + senx

Então:i

lim (1 + senx)senx = lim e — eX->0 j x->0

Observação: Demonstrárenios agora o limite básico (Cap. 3):

lim ( l + * J = e*x -

Demons tração:

( K \ x tn f .+K' f lim 211(1+ ^ ^l i m f l H---- 1 = lim e \ * / = lim '

X -*°° ' X / X - » “

Calculemos A = lim £n ( l + — . Temos:. \ x )

A = lim x 8n

í K\£n 1 + r )í 1 + ,1 = lim — \ x /—\ XJ JÇ-+00 1

DERIVADAS 95

—1___ ( Z Ã .i + £ U 2

= lim - 1„2

= AT lim1 + *

Assim, lim (l + — ) = lim e'4 = eK x^ \ x j x^ m

Em particular, se K = 1 temos:

lim Rr-x-+» \ x j

Nota: Agora estamos em condição de provar que y = K x n tem derivada y ' = = K n x n ~' para qualquer n real.

Prova:Sendo y = K xn entao, í n y = Kn K xn ou 2n.y = 8n íf + ní nx.Derivando os dois membros desta equação, supondo y função de x, temos:

i L - 1j£— — n —y

e portanto

n — ou v '= n y x ~ l = n k x nx~l y . x

y ' = Knx"~ l

para qualquer valor de n.

4.12 - INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA

Consideremos a Figura 4, onde o espaço s depende do tempo f, isto é, x = f ( t )

Como sabemos através da física, a velocidade média de um corpo noAs

intervalo de tempo A t é dada por: Vm = — . Se fizermos Aí muito pequeno

(A t ------* 0) teremos a velocidade do referido corpo num instante í, denominadovelocidade instantânea, a qual é dada por:

„ = u™ M = l i m ./ ( r + A 0 - / ( / ) = gAf—0 Af—0 Aí dt

Portanto, a velocidade instantânea de um corpo num referido instante f nada mais é do que a derivada da função s = / ( f ) .

Exemplo: Sendo a lei do movimento uniformemente acelerado

z t f so = 0 s = s0 + W + t t 2 e <

2 (>'„=2

calcule a velocidade de um móvel que obedece esta lei no instante í = 4 segundos. Supor s em metros.

Resolução:

s = 2 í + 4 í2 • Assim v = = 2 + gí.2 dt

Para í = 4 seg. temos v = 2 + 9,8 ■ 4. Portanto: v = 41,2 m/seg.

Se o movimento não é uniforme temos, em dois instantes distintos, duas velocidades distintas, ou seja, haverá uma variação na velocidade. Em física a

A vaceleração média é dada por: am = onde a aceleração instantânea, de maneira

análoga à velocidade instantânea, é dada por a = lim = onde v = 4 ,-0 Aí *

Então a = = ou seja, a derivada de segunda ordem da função

s = / ( í ) exprime exatamente a aceleração do movimento.

Exemplos:

E, Um objeto se move de modo que no instante í a distância é dada por s = 3 f4 — 2 í. Qual a expressão da velocidade e da aceleração desse objeto?

dvt a — — ou sejaComo vimos v = ^ ou seja v = 12 f - 2

a = 36 í

DERIVADAS 97

E2 Uma partícula se move segundo a função s = 2 f 4 + 8 í3. Em que instante sua aceleração é nula? (tempo em segundos)

Como vimos:

a = ^ = -J-(8r3 + 2 4 í2) = 24 í2 + 48 f d t1 dt

Igualando a zero temos os instantes em que a aceleração é nula. 2 4 12 +

, t = — 2 não é possível.+ 4 8 í = 0:

E3 Achar a velocidade e a aceleração no instante t = 3 seg. onde s — 3 t 3 —— 2 f2 + 2 í + 4 é a função que informa a posição (em metros) de um corpo no instante t.

dsTemos: v = — = 9 í2 — 4 í + 2 onde, no instante t = 3 seg., a velo-

cidade vale v = 71 m/seg. d se a = —- = 18 f — 4 onde, no instante t= 3 seg.,

a aceleração vale a = 50 m/seg2

4.13 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES

4.13.1 - FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES COM O USO DE DERIVADAS

Vejamos as Figuras 4.5 e 4.6.

Fig. 4.6. (Função decrescente)

Na Fig. 4.5 tg a > 0 e na Fig. 4.6 tg a < 0 donde enunciamos o seguinte: Seja y = f{ x ) uma função contínua em la, b] e derivável em (a, b).

Exemplos:

/ '(x ) > 0 então f ( x ) é estritamente crescente em [a, b]

f \ x ) < 0 então / (x) é estritamente decrescente em [a, 6]

E, Já vimos graficamente que a função y — x 2 é decrescente para x < 0 e crescente para x > 0. Analisemos pela derivada.

Temos: y ' = 2x. De fato, y > 0 se 2 x > 0 ou

se 2x < 0 ou

e ÿ < 0

Assim, y — x 2 é crescente para x > 0 e decrescente para x < 0.

E2 Determinemos as regiões em que a função / ( * ) = x 3 - 3 x cresce e decresce.Temos: f '(x ) = 3x2 — 3. Analisemos a região de positividade e negati-

vidade desta função:

/'(* ) > 0 f '(x ) < 0 f ’(x) > 0

- 1 + 1

Assim, f ( x ) é estritamente crescente para x < — 1 v x > l e estritamente decrescente para — 1 < x < 1.

Façamos a construção do gráfico de f ( x ) para uma melhor compreensão.

As raízes de / (x) são 0, — \ f 3 e + \ / 3 .

Parafx = - l , / ( — 1) = 2

, * = 1, / ( 1 ) = - 2

Portanto, o gráfico de /(x ) será:

Fig. 4.7.

Determinemos os intervalos em que / (x) é crescente ou decrescente sendo

/ ( x ) = i £ + x 3 - y - 3 * + 4.

Temos: /'(x ) = x 3 + 3 x2 — x — 3 = (x — IX* + IX* + 3)

y\ y-i y 3Analisemos os intervalos em que f ' ( x ) é positiva ou negativa.

DERIVADAS 99

- 3 - 1

y \ __2

y \ * y i • ^3 -

Para —3 < x < — 1 a função f '{x ) > 0, e portanto f ( x ) é estritamente crescente nesse intervalo.

Para x > 1 também f '( x ) > 0, e portanto / ( x ) é estritamente crescente nesse intervalo.

Para — 1 < x- < 1 a função /'(x ) < 0, e portanto / ( x ) é estritamente decrescente nesse intervalo.

Para x < — 3 a função f '( x ) < 0, e portanto f (x) é estritamente decrescente nesse intervalo.

4.13.2 - MÁXIMO E MÍNIMO DE FUNÇÕES

Definições

D[ Dizemos que uma função / ( x ) tem um mínimo local em x 0 se existir um ’ intervalo aberto / contendo x0 tal que f ( x ) > / ( x 0).

Dj Djzemos que uma função / ( x ) tem um máximo local em x 0 se existir um intervalo aberto I contendo x 0 tal que / ( x ) < / ( x 0).

Fig. 4.8. x 0 e x , são respectivamente pontos de máximo e mínimo locaL x 0 e x , são chamados também pontos extremos nos intervalos considerados. f ( x 0) e / (* ,) são chamados valores extremos da função /(x) nos intervalos considerados.

D3 Quando / ( x ) > f ( x 0) em todo o domínio de / ( x ) dizemos que x 0 é um ponto de mínimo absoluto e / ( x 0) o menor valor que / ( x ) assume.

D 4 Quando f ( x ) < f ( x 0) em todo o domínio de / ( x ) dizemos que x 0 é um ponto de máximo absoluto e / ( x 0) o maior valor que / ( x ) assume.

Na Fig. 4.9, cada um dos pontos x ,, x 3 é um ponto de mínimo local e cada um dos pontos x 2, x 4 é um ponto de máximo local enquanto na Fig. 4.10, x 0 é um ponto de máximo absoluto onde f ( x 0) é o maior valor que a parábola/(x) assume.

Analisemos o valor da derivada de uma função nos pontos de máximo e mínimo.

Observando a Fig. 4.11 temos em x0 e x , pontos de máximo local e mínimo local, respectivamente. As inclinações das retas que tangem a curva exatamente em x 0 e x , são nulas pois estas tangentes são paralelas ao eixo x e, portanto, devemos ter f ' ( x 0) = f ' ( x i ) = 0 , ou seja, a derivada de uma função é nula nos pontos extremos.

DERIVADAS 10 f

A TENÇA O

Sendo f ' ( x 0) = 0 não podemos garantir que x 0 é um ponto de máximo ou de mínimo local. A Fig. 4.12 exemplifica tal fato.

TEOREMA DO VALOR MÉDIOs

Seja f ( x ) uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo ( (a, b). Então, existe um ponto jc0 E. (a, b) tal que

b — a

Demonstração

A equação da reta A B é dada por y - f ia ) = _ a) oub - a

y =_ f ( b ) - f (a ) (x - a) + f (a )

Geometricamente temos:

/ ( * ) - f ia )

* ( * ) - / ( * ) -

g(a) = f ia ) -

gib) = f i b ) -

f i b ) - f ia ) b - a

f i b ) - m

(x - a) + f{a ) (D

(a - a) + /(a ) = 0 e

(6 - a) + /(a ) = 0.b - a

temos desta forma dois casos a considerar:

19 caso: g ix ) = 0 no intervalo [a, 6], onde g'(x) = 0 no intervalo (a, b).

19 caso: g ix ) tem um máximo local ou um mínimo local entre a e b.

Seja g (x 0) este extremo. Em ambos os casos g '(x0) = 0.

Segundo (D temos:

g' (X o )= f (X o). m ^ M = 0

e portanto

b — a

Este resultado quer dizer que sendo f ( x ) contínua em [a, b] e derivável em (a, b) existe um ponto x0 e (a, b) tal que a reta tangente à f ( x ) no ponto (x0, f i x o)) é paralela à reta determinada pelos pontos A e B (Fig. 4.13) por terem a mesma inclinação.

Vejamos um exemplo:Seja/(x) = x 2 onde 0 <jc < 2 e encontremos um ponto x 0 que satisfaça o

teorema do valor médio.Temos f i x ) = x 2 onde f '( x ) = 2x.

Pelo teorema do valor médio 2x = 0U Se a’ 2 x = Y ° nde

. Portanto o ponto (1, 1) é o ponto procurado (veja Fig. 4.14).

4.13.3 - DETERMINAÇÃO DOS MÁXIMOS E MÍNIMOS

C.N. Seja f i x ) uma função definida e derivável no intervalo (a, b).Como vimos anteriormente a derivada de uma função nos pontos

extremos é nula portanto os possíveis valores extremantes são raízes da

DERIVADAS 103

Fig. 4.14.

função derivada de f( x ) . Esta é a condição necessária para a existência dos pontos de máximo e mínimo.

Por exemplo, os possíveis extremos da função f ( x ) = x4 — 2 x 2 + 2 são as raízes da equação f '( x ) = 4 x 3 — 4 x ou seja 0 e 1. Mas esta condição não é suficiente para garantir qual deles é o máximo ou o mínimo ou ainda se não são extremos.

Uma certeza nós temos, nenhum outro ponto, fora 0 e 1, poderá ser um extremo.

Daremos agora a condição suficiente para a determinação do máximo ou do mínimo de uma função.

CS, Um ponto x0 G (a, b) é um ponto de máximo local de uma função f ( x ) se existir um intervalo / contendo x 0 tal que f ( x ) é estritamente crescente à esquerda de x0 e estritamente decrescente à direita de x0 no intervalo considerado (Fig. 4.15).

Fig. 4.15. Fig. 4.16.

CS2 Um ponto x0 £ (a, b) é um ponto de mínimo local de uma função / (x) se existir um intervalo / contendo x0 tal que / ( x ) é estritamente decrescente à esquerda de x0 e estritamente crescente à direita de x 0 no intervalo considerado (Fig. 4.16).

CS3 Um ponto x0 e (a, b) não é um extremo de uma função f ( x ) se existir um intervalo / contendo jc0 tal que / (x) é sempre estritamente crescente ou decrescente no intervalo considerado.

O problema se resume então em analisar o sinal da derivada /'(*)■ Então conforme 4.13.1, temos:

Resumo

f \ x ) muda de sinal + para - (máximo local) f '(x ) muda de sinal — para + (mínimo local) f '(x ) não muda de sinal (não tem extremo)

Exemplos:

E! Verifiquemos se f ( x ) = x 3 — 3 x + 1 tem extremos: /'(x ) = 3 x 2 — 3.

Igualando a zero vem 3 x 2 — 3 = 0 onde

da função derivada.

x = ± l . Analisemos agora o sinal

- 1 + 1/'(* ) +

Notamos que no ponto — 1 a função /'(x ) muda de sinal + para —, sendo portanto — 1 um ponto de máximo local e no ponto + 1 f '( x ) muda de sinal - para +, sendo portanto + 1 um ponto de mínimo local (ver Fig. 4.17).

Fig. 4.17.

DERIVADAS 105

E2 Consideremos a função f ( x ) = x4 — 8x2 + 2:

Temos /'(x ) = 4 x 3 — I6 x = 4 x ( x 2 — 4). Igualando a zero temos os possíveis valores extremantes.

4 x (x 2 - 4) = 0 onde x = 0 V x = ± 2

Estudemos o sinal de f '(x ):

- 2 0 2

4x - + +'

x2 - 4 + - - +

f '( x ) - + - +

Notamos que — 2 é um ponto de mínimo local, 0 é um ponto de máximo local e 2 é um ponto de mínimo local.

Resposta: (— 2, — 14) e (2, —14) são pontos de mínimo local e (0, 2) é um ponto de máximo local no gráfico de f (x).

4.13.4 - DETERMINAÇÃO DOS MÁXIMOS E MÍNIMOS COM O USO DA DERIVADA SEGUNDA

TEOREMA

Seja / ( x ) uma função contínua e derivável até segunda ordem em (a, b) onde f '( x ) e /" (x ) são também contínuas em (a, b). Seja x„ € (a, b) tal que f ' ( x 0) = 0. Então,

a) se f " ( x 0) < 0, x 0 é ponto de máximo local de /(x ) .

b) se f " ( x o) > 0, x 0 é ponto de mínimo local de / (x).

Demonstração:a) A função /" (x) é, por hipótese, contínua e ainda f " ( x 0) < 0 em (a, b). Então

existe um intervalo aberto I contendo x0 no qual f" (x ) < 0.Como / ”(xo) < 0 temos que f '( x ) é estritamente decrescente em / e como

f ' ( x 0) = 0 concluímos que em I , à esquerda de x 0 temos f '( x ) > 0 e à direita de x 0 f '( x ) < 0. Portanto x 0 é um ponto de máximo local.

De maneira análoga demonstramos b).

Exemplos:

Ej Consideremos novamente a função / ( x ) = x 4 — 8x2 + 2.

Temos: /'(x ) = 4 x 3 — 16x e f" (x ) = 12x2 — 16.

As raízes de f '(x ) = 0 são 0, — 2 e + 2. Substituindo esses valores em /" (x ) vem:

/"(O) — — 16 < 0 > (0 é um ponto de máximo local)2) = 12(—2)2 - 16 = 32 > 0 - > (—2 é um ponto de mínimo local)

f" (2 ) = 12(2)2 — 16 = 32 > 0 — -> (2 é um ponto de mínimo local)

x 3Ej Consideremos a função / (x) = — — 2 x2 + 3 x + 1.

Temos: f ' ( x ) = x 2 - 4 x 4- 3 e f" (x ) = 2 x — 4.As raízes de f '(x ) = 0 são 1 e 3. Assim:

f " ( 1) = —2 < 0 . —> 1 é um ponto de máximo local./" (3) = 2 > 0 ------> 3 é um ponto de mínimo local.

7para x = 1 = > ^máx = j e para x = 3 = > _ymín = 1.

Este teorema nada afirma quando f " ( x 0) = 0. Daremos a seguir um teorema mais geral que evitará impasses.

Seja f ( x ) uma função derivável com derivadas sucessivas também deriváveis em um intervalo aberto (a, b). Seja x0 G (a, b) tal que f \ x 0) = = f" (x o ) = . . . = f^n~l\ x o) = 0 e f*n)(xo) ^ 0 então:a) Se n é par e f^n\ x 0) < 0, x 0 é ponto de máximo local de / .

b) Se n é par e f^n\ x 0) > 0, x 0 é ponto de mínimo local de / .c) Se n é ímpar, x 0 não é ponto de máximo nem de mínimo local de /.

jc5 3 8Exemplo: Consideremos a função f ( x ) = — — — xA + — x 3 + 3 x 2 — 9 x + l .

Temos:

f \ x ) = x4 - 6x3 + 8x2 + 6 x - 9

f" (x ) = 4 x 3 - 18xs + 16x + 6

/'" (x) = 12xJ — 36x + 16

f m (x) = 24x - 36

/ w (x) = 24

/ (n)(x) = 0 V n > 5.

As raízes de f '(x ) = 0 são —1, 1 e 3.

/ ' ( — 1) = 0; f ' \ — 1) = —32 < 0 ---- > (— 1 é um ponto de máximo local)./ ' ( I ) = 0; /''(1 ) = 8 > 0 ------ > (1 é um ponto de mínimo local)./'(3 ) = 0 ;/''(3 ) = 0;/'"(3) = 16 # 0 - — > (3 não é ponto extremo).

DERIVADAS 107

Consideremos uma curva y = / ( jc) no plano cujo gráfico é o de uma função unívoca e derivável.

Definições:

D, Dizemos que a curva tem a sua concavidade voltada para cima num intervalo (ff, b) se todos os pontos da curva se encontram acima da tangente em qualquer ponto desta curva no intervalo considerado (Fig. 4.19).

D2 Dizemos que a curva tem a sua concavidade voltada para baixo num intervalo (a, i ) se todos os pontos da curva se encontram abaixo da tangente em qualquer ponto desta curva no intervalo considerado (Fig. 4.18).

4.13.5 - CONCAVIDADE

Fig. 4.18. Concavidade para baixo. Fig. 4.19. Concavidade para cima.

D3 Seja / (x) contínua e derivável até segunda ordem em (a, b).

a) /" (* ) > 0, o gráfico da curva de f (x) tem concavidade para cima em («, 6).

b )/" (x ) < 0, o gráfico da curva de / ( jc) tem concavidade para baixo em (a, b).

Exemplos:

E, Consideremos a função f ( x ) = x 2 — 2 x + 1. Então,/'(x) = 2* — 2 e /"(x) = 2 > 0.

yPortanto a curva de f ( x ) tem sem

pre concavidade voltada para cima para qualquer valor de x .

Consideremos a função f ( x ) = x 3. Então, f '( x ) = 3 x 2 e f" (x ) = 6x.

J 6 x > 0 — > x > 0 (concavidade voltada para cima).

6 x < 0 > x < 0 (concavidade voltada para baixo).

Consideremos a funçao y = sen x e analisemos a concavidade no intervalo tO, 2n],

Temos: /'(* ) = cos x e f ”(x) = - sen x.

í - s e n x < 0 < > senx > 0 <— > 0 < x < n \ - s e n x > 0 <■■-■■ > senx < 0 < > tt < x < 2 tt

Portanto no intervalo (0, n) a curva tem concavidade voltada para baixo e no intervalo (jr, 2ir) a curva tem concavidade voltada para cima.

Chama-se ponto de inflexão ao ponto onde a curva muda a sua concavidade de cima para baixo ou vice-versa (Fig. 4.20).

DERIVADAS 109

a) b) c)

Fig. 4.20. Nos tiês casos x0 é ponto de inflexão.

TEOREMA 1

Seja f ( x ) deiivável até 39 ordem em um intervalo I. Se f " ( x 0) = 0 e f " '(xo) ^ 0. então x a é abscissa de um ponto de inflexão.

Observação: A condição necessária para x0 ser abscissa de um ponto de inflexão do gráfico de f ( x ) é anular /"(*)• Porém nem todas as raízes de f" (x ) = 0 são abscissas de pontos de inflexão. Quando f" ( x 0) = f " '( x 0) = 0, nada podemos concluir usando o que foi estudado até aqui.

Exemplos:

Ei Consideremos a função f ( x ) = x 3 — 3 x 2 — 9 x + 9. Temos: f ' ( x ) ~ 3 x 2 —— 6 x — 9, f" (x ) = 6 x — 6 e f" '(x ) = 6 ^ 0 . A raiz de/''(*) = 0 é 1 e como f " '( x ) = 6 V x temos que 1 é abscissa do ponto de inflexão no gráfico de f ( x ) .

O ponto de inflexão é (1, —2).

E2 Consideremos a função f ( x ) = x - senx. Temos: f'(x ) = 1 — cos x ;f" (x ) = = senx; f" '{x) — cos ac. A raiz de f" (x ) = 0 é x = K it e == cos Kn = ± 1 ^ 0. Logo jc = ATir são as abscissas dos pontos de inflexão os quais são da forma (Kit, Ku).

4.13.6 - ESQUEMA G ERA L DO ESTUDO DAS FUNÇÕES

O estudo das funções resume-se em determinar:

1. O domínio da função.

2. Os pontos de descontinuidade.

3. Os intervalos em que a função cresce ou decresce.

4. Os pontos de máximo e mínimo (local e absoluto).

para cima ou para baixo e

5. Os intervalos onde a curva tem concavidade voltada os pontos de inflexão.

6. Esboçar o gráfico de /(x ) .

x 3 x 2Exemplo: Estudemos a função / (x) = — — — — 2x + 1.

1 D = R .

2 Não há pontos de descontinuidade.

3 f '( x ) = x 2 — x — 2. As raízes de /'(x ) = 0 são - 1 e 2. ; ~

f ( x ) é estritamente crescente para x < — 1 v x > 2. f (x) é estritamente decrescente para — 1 < x < 2.

4 f '(x) = x2 — x - 2 e f" (x ) = 2x — 1.

f " ( — 1) = —3 < 0 - - > (— 1 é ponto de máximo local). /" (2 ) = 3 > 0 > (2 é ponto de mínimo local).

Na curva os extremos são ( - 1, e ^2,

=> x > y (concavidade voltada para cima).

=> x < y (concavidade voltada para baixo).

f"(pc) = 2* - 1 i

2x - 1 > 0

2x - 1 < 0

2x - 1 = 0 => x = — (abscissa do ponto de inflexão)

' i __ Li 2 ’ 12

DERIVADAS 111

Esta função não possui nem máximo nem mínimo absoluto.

PRi Usando a definição de derivada determine f ' ( x ) onde

/ ( * ) = 2 x 2 - x .

Resolução:

PR2 Calcule a derivada da função f ( x ) = x8 \ / x .

Solução: Inicialmente, quando possível, devemos preparar a função dada para depois calcular a derivada, ou seja:

f ( x ) = x*x 2 = x 2 ,

limAx-*o

[2(x + Ax)2 - (x + Ajc)] — (2 x 7 - x) Ax

limAx-*o

.. (4jc — l)A x + 2(Ax)2 lim ---------------- t-------------------

lim (4* - 1 + 2 Ax) = 4 x — 1Ax-*0

assim:

v2 _ 1PR 3 Calcule f \ x ) onde / ( x ) = £n-—------.

Resolução:

f( x ) = fin 4 — - = ín (x2 - 1) - 2n (x 2 + 5),x + 5

assim:

x 2 — 1 x 7 + 5 (x2 - l)0e2 + 5)2x 2x 12.x1 2 jc

PR4 Calcule ~ onde v = arc cotg ; + - dx ' ° 1 — x

1 XResolução: Componentes: u = ----- - e arc cotg u.

dy dy du dx du dx

1 (1 - X ) - ( - ! ) ( ! + x ) _u2 + 1 (1 - x f

(1 + x)2( 1 - X ) 2

+ 1 0 - x ) 2(1 4- x)2 + (1 - x)2

X 2 + 1

PRS Calcule ^ onde y = sen3(4x + 2)2.

Resolução: Componentes: f u = 4 x + 2

sen y = w

y = w3

d z = dz dwd1 du=; 3wi c0s v 2 u 4 =dx dw dv du dx

= 3 • sen2(4x + 2)2 • ccs(4x + 2)2 • 2 (4 x + 2) • 4 =

= 24(4x + 2) sen2(4x + 2)2cos(4x + 2)2

PR6 Sendo f ( x ) = £n —-----~ r calcule f '(x ).(x + 2)

Resolução:

f ( x ) = 8n(x - 2)4 - £n(x + 2)3 = 4 £n(x - 2) - 3 £n(x + 2)

/'(* ) =x + 14

x — 1 dyPR 7 Sendo y = £n sen --------- calculex dx

X — 1Resolução: Componentes------- = u, sen u = v, y = £n v.

dy _ dy dv du _ í\_ dx dv du dx (cos u) ( x - x

DERIVADAS 113

X - 1, sen--------V (COIL z i ) . ( J 5) . . ± Colg£ z J

PR« Sendo y = \ í x 7——1- sen4x cossx calcule 4^-.1 + x dx

Resolução: Usando logaritmo temos:

i n y = y Sn x + £n (1 — x) — £n (1 + x) + 4 £n senx + 5 £n cosx

Como y é função de x temos:

1 dy _ 1 1 1 , . .- -f- = ------ -------- --- —— + 4 cotg x - 5 tg xy dx 3 x 1 —x l + x

dy f 3 j 1 x 4 5 \ ( 1 1 1"7" = V x ;— sen*x cos5x - ------------------ -—:—- +dx \ v 1 + x / \ 3 x 1 — x 1 + x

+ 4 cotg x — 5 tg x

PR» Sendoy = 2 x x 4 calcule-^-.

Resolução:

3_£n;y = £n 2 + x 4 £nx.

I Ã - Í 1 + 3 g n * ____ , d y _ x í ( 1 3 £n x, dx X + 4 — * V V I 4 V 7

d'y dxPR10 Calcular - f - e — onde dx dy

‘y — ~x cos(xy)

Resolução:

\dy _a) — - - x sen (*>0 (x & + y j + cos (xy)

=> ^ = - x 2sen (xy) ^ - xy sen (xy) + cos (xy)

> ^ + x 2sen (xy) ^ = cos (xy) — xy sen (xy) =-■■ >

" > 11 + x 2 sen (xy)] ^ = cos (xy) — xy sen ( x y ) ------ >

dy _ cos (xy) — xy sen (xy) dx 1 + x 2sen(xy)

b) 1 = - x sen (xy) y 0 - + x + cos (xy) ~

dx=> (xy sen (xy) - cos (xy)) — = - 1 - x2 sen (xy) = >

dx 1 + x2 sen (xy)dy cos (xy) - xy sen (xy)

dyPRii Calcular -f- onde dx

4at 4 atf2 + 2 f2 + 2

Resolução:

dy _ (r2 + 2)8af — 4af2(2 1) _ 16ar d t (f2 + 2)2 (f2 + 2)2

dx _ (r2 4- 2)4a - 4af(2f) _ 8a - 4af2 * (f2 + 2)2 (í2 + 2)2

dy 16 afdy __ d t _ (t 4- 2)2 _ 16at _ 4 f dx dx 8a - 4af2 8a - 4 af2 2 - f2

dí ( /2 + 2)2

K d3yPRi2 Sendo y = ——, calcular — , .x n dx3

d£ _ - K nxn~‘ _ -K /i dx *2" *"+‘

Resolução:

DERIVADAS 115

d2y _ K n{n + l ) x n _ K njji + 1) dx2 (xn+l)2 x n+2

d 3y = - K n { n + l)(n + 2)xn + l = -ATn(n + l)(n + 2) dx3 (xn+2)2 x n+3

PR13 Sendo x 2 4- 3 xy — 4 x + y 2 = 0 calcule

Resolução:

2 x + 3 f x & + y^j - 4 + 2 y =dx

- - - - - > 2x + 3 x ^ + 3 j — 4 + 2 v ^ - = 0 -->dx ' dx

= > (3x + 2y) ^ = 4 - 3>- - 2x = >

_____^ dy _ 4 - 3 y — 2 x> dx 3 x + 2y

dx2 (3x + 2>02

#, , ( - 5 > - S ) f 5 , - 1 2

dx2 (3x + 2^)2

dysubstituindo o valor de - f - encontrado vem: dx

+ 5 ^ - 1 2d y _dx2 (3 jc + 2> 0 2

cPy _ 30xy — 40x 4- lOx* + lOjy2 — 32dx2 ... (3jf + 2y)3

PR i4 Achar a equaçffo da tangente e da normal no ponto M(a, b) à parábola y = K x2.

Resolução:

y - b = 2aK (x - a) = > 2a K x - y + (b - 2aJK) = 0

(eq. da tangente)

o coeficiente angular da reta normal à parábola no ponto (a, b) vale1

PR1S Verifique o teorema do valor médio para /( * ) = 2 x2 — l x + 12 em [1,6].

Verificação:

/(* ) = 2 * 2 - l x + 12 no intervalo [1, 6]

Como 1 < 3,5 < 6 está verificado o teorema.

PR16 Se /'(*) > 0 em todos os pontos de (a, b), prove que f ( x ) é estritamente crescente.

Prova: Sejam < x 2 pontos quaisquer de (a, b). Pelo teorema do valor médio, para Xi < jc0 <

y — b = - 2^ (x - a) > x + 2aKy — (a + 2abK) = 0

(eq. da normal)

/'(* o)

:> 4*o = 14 —- ■> x 0 = 3,5

Então f ( x 2) — f ( x i) > 0 — —> f ( x 2) > f ( x 0 ; logo f ( x ) é estritamente decrescente.

PR17 Calcular o valor dos limites usando a regra de L’Hospital.

a) l i m i ^x-+o x

ovv a .. wo a— -— = lim ------7----- =3 x x-*o 6 x

sen 2 xsec2x cos4 *

■ — litn *-►0

2 cos4 * cos 2* + 4 sen 2* cos3 * sen * 6 cos8 *

DERIVADAS 117

b) lim x 3e ' 3x x —+°°

lim x 3e~3x = lim = lim = x->~ x ^ ~ 3 e

= lim = lim — = 0x-+oo 3 e

c) lim (l -rT

=> lim Enj» = lim

> finy = 2 x £n ( 1 —

v * / -

= lim x — 4 x

2 jc 2x

= —8 lim x — 4 = - 8 lim £n.y = —8

, 4 \ 2* „ Hm ta ylim (1 — ) = lim e y = lim ex~*°° =

= lim e~ — e .X-+o»

8 Um projétil é lançado (no vácuo) com uma velocidade inicial V0 sob um ângulo $ segundo a horizontal. Qual o valor do ângulo y para que o alcance da trajetória seja máximo.

Resolução: Seja R o alcance da trajetória o qual é dado por

R = —— (g é a aceleração da gravidade)

Como R é função de y temos;

dR 2 Vq— = -------- COS 2 tfd<p g

dRFazendo = 0 encontramos um valor de que pode ser um

máximo ou seja:

2 V,0 Tfcos 2^ = 0 > cos 2 \p = 0 = = > 2 </> = — ir

= > * = 4

Analisemos agora se = — é ponto de máximo

d 'R 4F„’ _ ____ _ 4Ko2 *sen =

d ip j j i g 2 4

4 Kn< 0

d^RComo — - < 0 temos que para o alcance R do projétil ser máximo devemos

j Qual a área do retângulo de área máxima inscrito num círculo de diâmetro20 V~2 cm?

Resolução: A função a maximizar é a área do retângulo ou seja

A = xy

A equação do círculo é x 2 + y 2 = 800 - -■ -> y = V 800 — x 2. Logo

A = x V 800 — x 2 > = —

+ \/8ÕÕ - x* - --=>

dx s / m Q - x 2

2 d / l „ - 2 x 2 + 8 0 0* y/S0Q - x2 '

Fazendo = 0 temos os possíveis pontos de máximos locais ou seja:

DERIVADAS 119

— 2 x 2 + 800\ /8 Õ 0 — x

—= > 2 x 2 = 800

= 0 -------> —2 x 2 + 800 = 0

x — 20

Analisemos se x = 20 é de fato máximo.

^ _ (^ õ õ 3 7 x - 4 , ) - ( - 2 x - + r n l j j g r ? )

dx2 800 - x2

= - 4 < 020

e portanto x = 20 é ponto de máximo para a função A .Se x = 20 = > y = V 800 — x 2 = 20, logo x = 20 cm e y - 20 cm.

Quadrado cuja área vale 400 cm2.

Entre os cilindros de revolução de volume constante, qual o de superfície total máxima ou mínima?

A função é a superfície total St = 2irxy + 2 roe2. E o vínculo é o volume (constante) V = rocV

A função S t apresenta 2 variáveis.VEntSn Ha rnnttantp tiranmi y — , que substituído em St nOS dará:

S t = 2 wx • ——- + 2 nx2 > St = + 2 wx2JTX x

S , = 2 V x - 1 + 2n x2

Derivando: Sf = — 2 Kx"2 + 4 jrx.

Igualando a zero =

Resolvendo:

— 2 V 4- 4 iw 3 = 0;

- 2 V => —^ + 4 i r x = 0

2 JT => X ~ 2n

Experimentemos este resultado na função derivada segunda:

S" = 4 Vx3 + 4 ir ------- > S't' = — + 4n

S't'= Jr r + 4 n - => S',' = 8n + 4 ir> 0.„ „ . 4 FX 2ff

A superfície total é mínima e seu valor é

^ 2 tt

Sf_ , . =

bJ ± _(2 tt)2

= 2 ^ 2 i r V 2 + \ / 2 7tK2 - = > S , , = 3 V 2 ^ 2 *min v v »min v

PR21 Uma parede de 27 dm de altura está a 8 dm de uma casa. Ache o comprimento da escada mais curta que atinge a casa, se sua outra extremidade repousa sobre o solo exteriormente à parede em relação à casa.

triângulos DBF e ABC ■■ í 8 4 -* r=o — = ------- •. Logo,y x 6

DERIVADAS

8 + x „ (8 + x) V 2 7 2 + x 2---------- nu 2 = i ’ ------------------

Derivando, vem:

Xx - (8 + x) V 272 + x 2

272 4- x2 + (8 + x )xnA ^ T x2

x - (8 4- x) v /2 7 2 4 x2

rfg _ (272 4- x 2 4- 8x 4- x 2)x - (8 4- x)(272 4- x2) dx x 2 V 2 7 2 4-x2

dfi _ 272x 4- 2x3 4- 8 x 2 - 8 • 272 - 8 x 2 - 272x - x3 dx x 2 v / 27í 4-x2

cffi _ x 3 - 8 • 272 dx x 2 V 272 4- x2

Igualando a zero

v 3 _ O . 972, 7= = 0 = > x3 - 8 • 272 = 0 = > x 3 = 8 • 27

x V 27 4- x

Então,

x = v /8 • 272

x = 2 • 32 - -> x = 18 dm

Substituindo em y = V 272 4- x2, vem:

y = \ /2 7 2 4- 182

y = nAL053 = V 81 • 13

y = 9 V l3

Calculemos £ em £ = v •

K = 9 v 0 3 - ^

9 • 26 • V T3 18

£ = 13 \/T 3 dm

PRm Uma janela normanda se compõe de um retângulo sobremontado por um semicírculo. Sendo dado o perímetro, pede-se a altura e a largura da janela, quando a quantidade de luz recebida é máxima.

Façamos o perímetro dado igual a

2p = 2 x + 2 y + l f - ®

A função é a área da janela:

7TV2S = + 2 xy

Tiremos y de (T)

2 p — 2 x — nx

_ 2p — x (2 + n)

Substituamos em S :

v.2s - ' f + P

2p - x (2 + jt) iS = — + 2 p • x — 2 x 5 - nx2

S = 2px — 2 x 2 — nx’2

Derivemos:

dS _ „ .= 2 p — 4 x — TTXdx

Igualemos a zero:

2p — 4 * — irx = 0

2 p — x (4 + n) = 0

2 Px —----—4 + 7T

O problema não admite mínimo, dispensemos a derivada 2?. Calculemos y:

y =-2P - m (2 + 7f) _ 8p + 2p?r - 4p - 2p >r

~> y 2(4 + jr)

DERIVADAS 123

Portanto

4 P2(4 + n) 4 + rr

____ 2p4 + ir

A área é máxima quando o raio do semicírculo é igual à altura.

3 Uma caldeira cilíndrica tem uma capacidade de 1.000 dm3. 0 custo do material da parede lateral é de 200 cruzeiros o dm2 e das bases 300 cruzeiroso dm2. Calcule qual o raio para que a caldeira tenha custo mínimo.

A função é o custo e o vínculo é a capacidade constante 1.000 dm3. Vínculo:

irx2y = 1.000

Função: Custo das bases + Custo lateral

2 B = 2 ttx2 = > Cb = 2 r o c 2 • 300

iSg = 2 n x y -------> Cg = 2irxy • 200

C = 600 ttjc2 + 400 nxy

Tiremos o valor de y no vínculo: y = * . Substituindo em C, vem:7TX

■C =-600inc2fx*

C = 600 mc2 +400.000

n • dC 1 onn 400.000Derivemos: — = 1.200 i r x ----------—dx v

1 2 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Igualando a zero:

L2o o „ - Í 22£oo = 0x 2

, 1.000 „3 j w -------- — = 0

3irx3 - 1.000 = 0

3 _ í.ooo3 n

mV 3 7T

10* = 3 7 = dm

PRi4 Qual o número cujo excesso sobre seu quadrado é o maior possível?Sejam x o número e x 2 seu quadrado. O excesso é E = x - x 2. Deri-

vemos:

Igualando a zero > 1 — 2 x = 0

1* = 2n - - 1 U numero e —.

PR2S Qual o número que aumentado de seu inverso dá uma soma mínima?

Sejam x e — o número e seu inverso. A soma

S = x + - x

Derivando, vem:

d S = _ J _ dx x 2

Igualando a zero — > l — L = q.x 2

x 2 - 1 = 0

x = ±1

DERIVADAS 125

d 2S J_X3

A derivada 2? é — - = — Experimentando para dbr ~3

X = 1 * > 4 - l > 0 .d x2

portanto, mínimo.O número é 1.

s Uma vaca está amarrada em uma corda perfeitamente inextensível em um grosso pilar de base quadrada por meio de uma argola. Se a vaca puxar a corda como indica a figura, qual será o ângulo formado pela corda com o pilar?

O comprimento da corda é a constante K, pois, a mesma é inextensível:

K = 3a + 2x + u

y = z 4- u ------> u = y - z

Eliminemos ou: K = 3a + 2 x + y — z.

y = K — 3a — 2 x + z

Porém, z = x sen a. ,Então,

_>> = £ — 3a — 2 x + x s e n a

=> x =Também tem osy = x cos a

„ a a , a sen ay = K — 3 a ------------(-^--------cos a 2 cos a

y = K — 3a — a s e c a + — tga

2 cos a • Logo,

Derivando

da = —a sec a tg a +-=■ sec2 a (só admite máximo)

Igualando a zero:

- a sec a tg a + y see a = 0

- tg a + — see a = 0

sec a = 2 tg a

1 _ „ sen a , 1= 2 ------- > 1 = 2 sen a —> sen a = —cos a cos a 2

1a = are sen —

a = 30°

Calcular a derivada das seguintes funções

PPj y = 5 x 3 - 2 x 2 + x — 4

Resp.: y ' = 15x2 — 4x + 1

PP2 y = 4 x 8 - 7 x 3 - 4 x + 8

Resp.: y ' = 3 2 x 7 — 21 x 2 — 4

PP3 y = x 4 - 4 - - + 2

J?esp.: >>' = 4 x 3 + H—~ x x

* 4 2xPP4 y = a + b m + n

4 x 3 6 x 2Resp.: y ' =a + b m + n

pp5 3 ^ - 3 = -V x

2 3üesp.. =5 V * 3 4 \ / ^ ? 3 x l f x 2

DERIVADAS

_2_ _1_PP6 y = 3 x 3 - 4 x 4 - 2

Resp.: y ' = ir _ 4_ 2 ______ l _

2x 3 x 2 4x4PP7 y = - - - — + ■

PP8 >- = (1 - 2 x )(2 x - 4)

Kesp.: y = — 8x + 10

PP, y = (3x2 - 5 )(2x3 - 4x)

Resp.: y ' = 30x4 - 66x2 + 20

PP10 y = (4 x 2 + 2x - 3)(5x2 — 8x + 4)

Resp.: y ' = 80x3 — 66x2 — 30x + 32

nn x + 2PPU y = -

Resp.: y =

2x - 4

■x2 - 4x(x2 - 2x - 4)2

PPu /(O = (2 í - 4)(3 í2 - 2)Resp.: f ' ( t ) = 1 8 í 2 - 2 4 í - 4

PP ia / « = r"1- 2^ - 4 + t)

Resp.: f \ t ) = (2m - 6 )f2m' 7 + (m -

PPi4 y = 3 senx + 4 cosx

Resp.: y = 3 cosx - 4 senx

PPi6 y = x3 V * 3

Resp.: y' = ~ x 2 ^

PP 17 y = COtgX - tg*

Resp.: y ' = —

PP is y =

sen2 2x

sen x + cos x sen x — cos x

2Resp.: y ' = —

1 — sen 2 x

PPi» y = x tg x

Resp.: y ' = — ~ + tg jc cos X

PP20 y — x arc tg x

Resp.: y ' — —------ 4- arc tgx 2 + 1 6

PPji y = arc sen x + arc cos x

Resp.: y ' = 0

PP22 y = x 2 arc cotg x

Resp.: y = 2 x arc cotg x — ■

PPj3 y = (1 — x 2) are cos x

x 2 - 1Resp.: y = r - _ 2x arc cos x

V 1 — x

PP24 y = x 4 £n x

Resp.: y ' = x 3(l + 4£nx)

PP2i y = (2x - 4)exResp.: y ' = ex (2 x - 2)

DERIVADAS 129

PPjí y = —e*

n , 2x3(4 - x)Resp.: y = ----- --------- -e

PPj7 / (0 = e* sen f/?esp.: / '( /) = ef(sen t + cos f)

D i 1 — £n x2 Resp.: y = -------------

PP29 y = ex cos x +£n jc

Resp.: y ' = ex ( cos* — sen* — 1 - giur1 jc(£nx)2

Derive as seguintes funções compostas

PP30 y = (1 + 3* + 4jc2)3

R esp .:y '= 3(1 + 3 x + 4 x 2)2(3 + Sx)

PPji y = ( x 2 + l ) 5

Resp.: y ' = 10x(x2 + l)4

PP32 y = 4 e 2x

Resp.: y ' = 8e2x

PP33 y = sen 2x + tg4x

Resp.: y = 2 cos 2* + 4 sec2 4*

ppM y = esx-kn(x2- 2)

Resp.: y = esx 2xx 2 - 2

+ £n(x2 - 2)5

PP 3s y = cos e*x

Resp.: y ' = - 4 e * x sen e4x

p P 36 y = l / 2 x 2 - S x

pp37 / ( * ) = sen2(4x2 - 5)

Resp.: f ' ( x ) = 8x sen (8.x2 — 10)

PP38 /( s ) = sen2s - cos2s Resp.: f \ s ) = 2 sen 2 s

PP39 / ( * ) = 1/tg4 6 x

Resp.: /'(x ) = 8 see2 6x \ / t g 6 x

pp4o /(* ) = sen2 4 x see 6 x 3

Resp.: f '(x ) = 2sec 6 x 3(9x2sen2 4 x tg 6 x 3 + 2sen8x)

PP42 y = ^/x2 + X + I

(2x2 + 3x - 4)(x + 4)

PP45 y = COS (lo g x )

Resp.: y ' = — sen (log x)x 8n 10

DERIVADAS 131

pp46 y = sen (cos x)Resp.: y ' = — sen x cos (cos x)

__ V x 2 + 1 — xPP47 ^ = fin . 2

V x + 1 + x

2Resp.: y = —V x 2 + 1

PP48 j, = e * » «

.Resp.: y ' = 2> cos 2x

PP49 y = 8*2-3*

/?esp..' >•' = y ( 2 x - 3) £n 8

1 - exPPso y = tg — ^

1 + e*

„ , - 2 e *Kesp.: y =(1 + exy \ ( \ - e3 cos 1

1 + e'

PP51 y = (arc cos x)2

— 2 are cos xResp.: y ' =v ^ T T ?

pp» / = sen (4 x 3 — 2x + 4) + sec 3 x

Resp.: y ' = 2 (6 x 2 — 1) cos (4 x 3 — 2x + 4) + 3 tg 3x sec 3x

PP53 y = arctg ex*+1

2x e*2 + l ResP-' y = 7“ —^27“1 + e

PP54 y = x sen2x 3

Resp.: y = 3x3 sen 2x3 + sen2x 3

PPss y = (arcsenVx)2, _ are sen \ f xResp.: y

V x - x 2

1 3 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PP56 y = sen3*

Resp.: y ' =■V tg23x sec 3 jc

PPj7 y = sen2[Cn(4x - 1)]

.4 s e n j ín ( 4 ^ - _ l^ ! 4 x - 1

PP58 y = í n V x 2 - 2x + 1

2Resp.: y =3(x - 1)

PP59 y = finsec4(6x — l )2

Resp.: y - 48 (6 * - 1) tg(6 jc - l )2

D 1 sec2x Resp.: y -1 - tg2x

PPíi y — ex in senx

Resp.: y ' = e*(cotgx + Snsenx)

PP62 y = x m esenx

1 f m + x cosx Resp.: y = y [

Achar a derivada ■— das funções implícitas y seguintes:

PP68 xA - 2 y + 5 = 0

R e s p , ^ = 2 X*

PPM x2 + 2xy - y 2 = 0

ReSp .:& . = y ± 2 Ldx y - x

__ 4 2x — y ' - ~ x T y

dy 3 y dy 2 - y 4Resp.:-y- - — -------- *—z--------- ° u ~r~ — ----- ;--------2-----

dx 4 y 3(x 4- y ) 2 + 3 x dx 4 xy i + 5/ + i

PP71 ey 4- ex - xy = 2

„ dy y - ex

PP 72 J + sen (xy) = 1

dy _ _ y [y2 cos (xy) + 1]eSP” dx x [yi cos _ j]

PP73 x 3 + y 3 - 4<xxy = 0

dy 4ay - 3x2Resp.: - f - = — ---------

dx 3y - 4ox

PP74 /m4x 2 + y 2x 3 - x y4 = 5

dy y 4 — 2m 4x — 3 y 2x2Resp.: - f - = ---------------------- 7----dx 2yx - 4xy

PP 75 y 2senx 4- x2seny = —2

dy y 2cosx + 2xsenyResp.: - j- = - -------------------------

ox 2 ys e nx 4 -x^cosy

PP76 Knxy + exy = x

d dy y yResp.: - f - = -------— — ------dx 1 + Xy e xy *

Encontre onde as funções seguintes são dadas sob a forma paramétrica:

PP77 x = b cos41 e y = a sen4 í

r. dy a ,ResP-: t e = — b * '

PP78 x = í4 e y = 4 í2 - 2 f 4- 1

n dy 8 1 - 2Resp.:-*- = ----- —dt 4 f 3

la t a2 Bn t* = i T 7 e y T ~

DERIVADAS 133

Re . dy = a ( l + r 3)* ( l - « n f ' ) _ dx 7(1 — 2 t3) t e t

PP8o x = a t sen t e y = b t cos t

dy = 1 / cos t - t sen tdx a \ sen t + t cos t,

PPsi y = V t 2 + 1 e x —t2

n dy í 4Resp.:~f- = — ----------- ------dx ( / + 2 ) v / ? T 1

PP82 y = e '4t e x = e2t

R esp .:& = —2e~6t

PP83 Prove que a função y representada na forma paramétrica pelas equações x = t2 e y = é satisfaz a equação:

dy + ( d y \ 2 = 2x y + y 2 >/lc > ^ > 0 dx \ d x j Ax \ f x

dyPP84 Achar quando t = 0, onde:

x = e1 sen t e y = e* tg t

R e* p .:% = 1

Derivadas de diferentes ordens

d2yCalcule — sendo:

PP85 y = 4 x 3 - 2 x J + 4 x - 1

d 2yResp.: —^ = 24 x - 4 dx2

PP86 y = 8x® — 4 x 5 + 8x3 - 6

R e s p . : ^ - = 240x 4 - 80x3 + 48x dx2

DERIVADAS 135

pp87 y ~ —X 1

d2y _ 24 Resp.: = —

dx1 x*

PP88 >> = mx2 + nx + c

Resp.: = 2m

PPg9 y = 2n 1x - 2

r d2y 1Resp.: — . — ---------—dx (x - 2)

PP»o y = x 2ex

R e s p .: ^ z = (x2 + 4x + 2)ex dx2

PP91 ^ = x sen 2x

d?vResp.: —=7 = 4 cos 2x - 4x sen 2x dx2

PP, + 1 * n y -

cPy = 8 (x 4- 2) dx2 (x - l )4

d3yCalcule —t sendo: dx3

PP,3 >> = x 4 - 2 x 3 - 4 x J - Sx 4- 4

R e s p . : ^ r = 12(2x - 1) dx*

PP„ y = 8 e 2x 1*

PP95 7 = sen x — cos x

*zd x3

Resp. : — = — (senx 4- cosx)

PP96 y = 2n x 2

R e s p , & = - 1 dx3 x 3

PP97 y = ex sen * + x cos *

Resp.: — = 2e*(cos* - sen*) + * sen * - 3cos* dx3

PP»s y = y /x + 3 * 4

R e s p . : ^ = - .3 + 72x d*3 &x2 y /x

d6vCalcule —=7 onde:

PP99 .y = sen* + cos*

É Ldx

Resp.: - j - j = —(sen* + cos*)

PP 100 y = x 1

R e s p . : ^ - = 7!* d*6

PP101.K = a*3 + ta 2 + c

Resp.: = 0

PP.«^ = ín (* + 1)

_ dV -1 2 0Resp.: —=7 = ----------,d*6 (* + l)6

PP103 ^ = sen2*

d6j> _ dx

Resp.: —4 = 32 cos 2*

d2 vCalcule — - das funções seguintes representadas na forma paramétrica:

PP 104 x = e e y = 2 r + 3 í

d V 1 — 4 r

DERIVADAS 137

d d2y 1Resp.: =

PP10Jjc = 2n(r + 1) e y — £n(f2 - 1)

dx1 (í - l )2

PP106 x = 4 sen t e >> = 2 cos f

Resp.: = - 4 sec21 dx2 2

PP107x = e~at e y = eal

Resp.: ^ = - 2ae2at

PPio8x = 2(3 — senf) e > = 5(2 — cosi)

Resp.: — = - 4 sec2 í dx 2

PP109X = 4 f 2 e ,y = arctgf

„ d2y 3 f2 + 1Resp.:—*7 = ------ -—-------- -

dx1 8 í (í + 1)

PPiio* = cos 2 í e y = sen2 í

d2j> _ ' dx2

R esp .: — - = 0

PPU1 Mostre que a função y = sen x + cosx satisfaz a equação diferencial

dx dx3

PPU3 Mostre que a função >> = x e x satisfaz a equação diferencial

1 d3y l dy _ fX2 dx3 2 dx

PP lI3 Mostre que afunçao = e* cosx satisfaz a equação diferencial

d2y dy dx2 dxd2y dy x—- — - f- + y = - e sen x

d2yCalcule das funções seguintes, representadas na forma implícita por:

PPll4 > 2 + 2x - 4 = 0

c 1Resp.:-± = - —cbr y 3

PPm x2 + y 2 = 4

d2}> 4 R e s p .: - f- = - —

d x í y J

PPno*3 + 5xy - 2x - 4> = 0

^ p„ . j V = 2 ( 1 2 x + 2 5 y - 1 0 ) dx2 (5x - 4)2

13 8 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PP117X = WX + 6

dx2 4,y3

P P iis ^ = X +

P dx2 (1 - e-v)3

Calcule -j- j das funções seguintes, representados na forma implícita por:db: dy

PP„, 2x2 — 4 y — 6 = 0

„ d2x 1 Resp.: — = - — djy* xs

PP120 x — }» = £nx

d2x - xResp.:

dy2 (x - l ) 3

PPiit x1 + / = a2d2x

Resp.:— .=dy2

PPiíj x3 + 4 = 8^1» ■O 16Resp.: — = - —

a vL x A

PP123 xy - y = x

DERIVADAS 139

Escreva a equação da tangente e da normal às curvas seguintes nos pontos

(n — 4 )x — Or + 4~)y + ff \p 2 = 0

PP1M x 2 + 2 y — y 2 = l no ponto (2, 3).

Resp.: x — y + 1 = 0 e x + . y — 5 = 0

PPI30 2 xy — x 3 + y — 5 no ponto (1, 2).

Resp.: x + 3 y — 7 = 0 e 3x — y — 1 = 0

PP131x 6 — y 4 + 2 x 2y = 2 no ponto (1, 1).

Resp.: 5 x — y — 4 = 0 e x + 5y — 6 = 0

Aplicações Físicas

PP132 Um corpo se desloca sobre um plano inclinado através da equação s = = 512 — 2 1 (s em metros e t em segundos). Calcular a velocidade e a aceleração desse corpo após 2 segundos da partida.

Resp.: v = 18 m/seg e a = 10 m/seg2

pedidos:

PP124J' = \ f x no ponto cuja abscissa vale x = 4.Resp.: x — 4 y + 4 = 0 e 4 x + y — 18 = 0

PPi2s y = 3 x 2 — 4 x + 3 no ponto (1, 2).

Resp.: y — 2x = 0 e x + 2y — 5 = 0

/?esp.: 2 x + j ' + y = 0 e x — 2 ^ —■^■=0

PP 127y = ín x no ponto de intersecção com o eixo x.

Resp.: x — y — 1 = 0 e x + y — 1 = 0

ifPP128 x = t cos t, y = t sen t para / = —.

PP133 llm corpo é abandonado do alto de uma torre de 40 m de altura através da equação y = 6 f2 — 2. Achar sua velocidade quando se encontra a 18 m do solo onde y é medido em metros e t em segundos.Resp.: V = 24 m/seg

PP 134 Uma partícula se move segundo a equação s = t3 — 2 t2 + 5 1 — 1 (s em m e (em seg.). Em que instante a sua velocidade vale 9 m/seg.?

Resp.: t = 2 seg

PP ]35 Dois corpos tem movimento em uma mesma reta segundo as equaçSes Si = f3 + 4 t2 + t — 1 e s2 = 2 t3 — 5 12 + t + 2. Determine as velocidades e posições desses corpos quando as suas acelerações são iguais considerando s em metros e t em segundos.

Resp.: Vi = 52 m/seg, st = 65 m, V2 = 25 m/seg e s2 = 14 m

PP 136 Uma partícula descreve um movimento circular segundo a equação d = = 2 tA — 3 12 — 4 (6 em rádianos). Determine a velocidade e a aceleração angulares após 4 segundos.

Resp.: w = 488 rd/seg e a = 378 rd/seg2

3 1 — 7PP 137 Um móvel descreve uma trajetória segundo a equação s = ■ ^ (s em

cm e t em seg.). Qual é a sua velocidade e aceleração após deslocar 2 cm?

Resp.: y = Y2 a = ~ ^ 9 cm',se81

Calcular 0 valor dos limites seguintes usando a regra de LHospital. x3 - 2 x 2 + 1PP ias lim

x_tl 2 x — 3 x + 1

Resp.: — y

4 x 2 + 2 x + 3X-+00

Resp.: 2

Ppi39 lim2x 4- 3x

PP i4o limjj.,0 1 - cos*

Resp.: «o

DERIVADAS

DERIVADAS 143

PPi" JS ( í l ; - r = - í )Resp.: °°

PP 160 lim (cossec x — cotgjc) x-*o

Resp.: 0

PP16i lim x xx-*o

Resp.: 1

x— ( A x \ Ax PP 162 Prove que a) lim (1 + sen x )x = e e b) lim ( 1 H------] = e.

X-I-O h x - > 0 \ x 1

\senxPPi63 lim ( 4

Resp.: 1

„„ i ~ ‘ + i Vpp'“ í ” l 2 í n ;

Resp.: e~2

PP 165 lim

Resp.: e~l

PP 166 lim x 1 *

Resp.: e~

jc->i z2

Resp.: — n

PP 168 lim are sen x cotg xx-*o

Resp.: 1

PP169 lim v /x 2 *-►«>

Resp.: 132

PP170 lim (cos 2x)x x->o

Resp.: e~b

PP171 lim x cotgx x->o

Resp.: 1

Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescentes ou decrescentes.

PP 172 y = x2 — 2 x — 3

Resp.: x > 1 crescente e x < 1 decrescente

PPi73 y = - x 2 - x + 12

Resp.: x < — y crescente e x > — y decrescente

PP 174 y = (* - 4)2i?esp.: x > 4 crescente e x < 4 decrescente

PP i7s y = (* + 2)3.Resp.: sempre crescente

Resp.: x < 4 crescente e x > 4 decrescente

PPiti y = x £nxResp.: 0 < x < e~* decrescente e x > e~l crescente

PP 178 y = 3e*2- s* +6

Resp.: x > y crescente e x < - j decrescente

PP 179 y = 2x — senxAesp.; sempre crescente

DERIVADAS 145

PPi8oy = *3 - 9 x 2 + 15x - 5Resp.: x < 1 V x > 5 crescente e 1 < x < 5 decrescente

PP,81y = 2 x 3 - 15x2 + 24x + 4

Resp.: x < 1 v x > 4 crescente e 1 < x < 4 decrescente

Resp.: —1 < x < 2 crescente e x < — 1 v x > 2 decrescente

Calcule os extremos locais das funções:

PPisa-H = x 3 - 6 x J + 9x + 4

í máximo (1, 8)Resp.: <

mínimo (3, 4)

PP 184 y = 2x3 + 18x2 + 48x + 5

f máximo: (—2, —35)Resp.: <

mínimo: (—4, —27)

PPiss-V — ~ * 3 + 6 x 2 - 12x + 4 Resp.: não tem extremos

PP186y = 2x2 - 4x - 4

Resp.: mínimo: (1, —6)

PP 187y = — 5x5 + 10x - 5

Resp.: máximo (1,0)

PP 188y = X5 - J X3 + 20x - 4

Resp. :

PP 189 y = - x 4 + 2xJ

J (1, 1) e (— 1, 1) máximo Resp.: <

[(0, 0) mínimo

mínimo

PP191J' = * + —

Resp.: <

Determinar os pontos de inflexão das curvas dadas por:

P P m /to = x* - S x 3 4- 18jc2 4- 16jc — 5

Resp.: (1, 22) e (3, 70)

PP194/ W = x 3 — 6 x 2 + 2x

Resp.: (2, —12)

PP195/ W = * 3 - 3 x J - 9 x 4- 9

Resp.: (1, —2)

P P i í í / t o = e~*2

PP,97/ W = ( ^ + 1)3 Resp.: ( —1,0)

PPi9s / W = senxResp.:(Kn, 0), K = 0, 1 , 2 , . . .

PP.99/ ( * ) =

DERIVADAS 147

PP 200 /M = K - \/ x - m Resp.: (m, K)

PP201 / (•*) — y/~x+ ~ 2

Resp.: ( —2, 0)

Determinar os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.

PP202 y ^ x 1

í x < 0 voltada para baixo Resp. : <

I x > 0 voltada para cima

PP 203 y = 5 + JC2Resp.: V x a concavidade é sempre voltada para cima

PP204y = —4 x 2 - 3jc + 4

Resp.: V x a concavidade é sempre voltada para baixo

PP2os/(x ) = x 4 — 8jc3 + 18x2 + I6 x — 5

1 < x < 3 concavidade para baixoResp.: s

x < 1 v x > 3 concavidade para cima

PP 206 /*00 = * 3 - 6 x 2 + 2 x

PP207 f ( x ) = x e *

PP208/ W = (.x - K )3 + 2b, K > 0

í x > K concavidade para cima Resp.: <!

y x < K concavidade para baixoResp.:

Estudar o comportamento e construir o gráfico das funções:

PP 20»/ W = X 4 — X + 8

PP210/W = 3jc3 - l x

PP211 /(*) = 3x4 + 4 x 3 + 6 x 2 — 8

PP212 f ( x ) = ~ ^

PP214/W = x 3 - 6 x 2 + 12x + 5

PP2.5 f ( x ) = e-*2

PP216/ W =x l

PP218 / ( * ) = x sen x

5DIFERENCIAL

Cada qual abrange a paisagem de acordo com o degrau em que se coloca.

5.1 - CONCEITO

Seja y - f ( x ) uma função contínua e derivável no intervalo [a, b].Sua derivada no ponto P de abscissa x e [a. b] será

f ' ( x ) = lim - ^ = t g x .Ax -*■ o

Chamamos diferencial da função y = f( x ) ao produto da sua derivada f'Qc) pelo acréscimo da variável livre Ax.

dy = f ' ( x ) • Ax

Recordemos a interpretação geométrica da razão incremental e da derivada num ponto, figura 1.

Do triângulo retângulo PMQ tiramos

- f f - w . d )

Sendo o ângulo a o limite do ângulo (3, quando Ax -> 0, podemos escrever que tg/3 = tg a + J?.

Substituindo em (1) ; >

A v— -> = tg a + T? ou A y = (tg a) • Ax + t) • Ax,

mas tg a = / ' (x), logo

A y = f ' ( x ) • A x + T) l \x

Ainda, da figura, tiramos

M Q = M N + NQ

— MNSendo MQ = A y e -==■ = tg a • MN = (tg a) • PM

MN = f ' ( x ) • A x M N = f ' ( x ) • A x = dy.

Substituindo na (3) :

A y = f ' ( x ) • A x + N Q

Comparando (2) e (4) concluímos que NQ = t] Ax.Assim, vemos que o acréscimo A y da função difere da diferencial dy de um

infinitésimo NQ = n Ax, onde rj -*■ 0 quando Ax -*• 0.Então, podemos concluir que

A y = . dy , + ' vAx parte parte

principal secundária

e que A y = dy.

Calculemos a diferencial da função identidade y = x.

Como = 1 dx dy = 1 • dx ou dy = 1 • Ax :•

DIFERENCIAL 151

dx = Ax

Podemos, generalizando, considerar, indiferentemente, a diferencial de uma função y = c) como sendo

dy = / ' ( * ) • Ax ou dy = / ' ( x ) • dx

5.2 - APLICAÇÕES

5.2.1 - CÁLCULO DA DIFERENCIAL

Achamos a diferencial de uma função determinando, primeiramente, suafunção derivada. ________

Calcule a diferencial da função y = V 2 x 2 — 3.

Solução: Sua função derivada é:

i 2 x , 2 xdxv = —. — — - - > dv - — _ ■

V 2 x 2 - 3 V 2 x J - 3

5.2.2 - CÁLCULO DE ERROS

Sabemos que o erro absoluto cometido na medição de uma grandeza é a diferença entre dois valores da mesma grandeza, portanto, ea = x 2 - * 1 = Ax — dx,

Cj dxisto é, a sua diferencial. O erro relativo é z r = — = — e erro percentual

ep = 100 • — .H x

O erro absoluto cometido na função y = / ( x ) é, conseqüentemente, Ay.Na prática fazemo-lo igual a dy.

Exemplos:

E] Determine o erro absoluto cometido na avaliação da área de um quadrado, cujo lado mediu 10 cm com um erro de 0,02 cm.

Solução: A área do quadrado nos é dada por A = x2, portanto o erro absoluto nela cometido será:

dA = 2 xdx

De acordo com os dados do problema x = 10 cm e dx = 0,02 cm,o que nos dará dA = 2 • 10 • 0,02 = 0,4 cm2.

E2 Determine o erro relativo cometido na avaliação do volume de um cubo, cujo erro cometido na medida da aresta foi de 2%.

Solução: A função é o volume do cubo,

Então, V = x 3

O erro absoluto cometido no volume é:

d V = 3 x 2dx

O erro relativo é obtido dividindo-se o erro absoluto dV pelo volume V, logo

5.2.3 - CÁLCULOS APROXIMADOS

Vimos que Ay = f (x + Ax) - f(x ) ou f ( x + A*) = f (x ) + Ay

Substituindo Ay pelo seu valor dy + tjAx, vem:

f ( x + Ax) = f ( x ) + dy + rjàx

Se desprezarmos rjAx, infinitésimo de 2? ordem, resulta

d V 3 x 2dx „ dx~ 3 tx

Mas, 100 • — = 2 xdx o — 2

f i x + Ax) a s /(* ) + dy

expressão que nos permite o cálculo aproximado.

Exemplos:

E, Determine o valor aproximado de v' 26,008.

Solução:

1. Fórmula: f ( x + Ax) = f ( x ) + dy

2. Substituição de f : \ / x + A x s l / V + dy

3. Determinação de dy\

dy = 1__Ax = = > \ / x + Ax = \ f x H----- j^ = A x (1)3-V*2 3 ^ ?

4. Adaptição ao exercício:

x + Ax = 26,008x = 2 7 (o valor mais próximo de x + Ax

— : _ _ q 992 <lue admite raiz cúbica exata)

DIFERENCIAI. 153

Substituindo em (1), vem:

V 26,008 a l /H T + ^ . - (-0 ,9 9 2 ) 3 I / W 2

1V 26,008 s 3 + y y j (—0,992)

V 26,008 s 3 - 0,037

V 26,008 s 2,963

Calcule o valor aproximado de tg 46°.

Solução:

1. Fórmula: / ( x + Ax) = /(x ) + dyI V.

2. Substituição de f : tg(x + Ax) = tgx + dy (1)

3. Determinação de dy:

dy = sec2x • Ax > tg(x + Ax) = tg x + sec2 x Ax

4. Adaptação ao exercício:

x + Ax = 46° x- = 45°

= ^ = > Ax = I o = - ^ — = 0,017 180°

Substituindo em (1):

tg46° = tg 45° + (sec245°) • 0,017

tg 46° = 1 + 2 - 0,017

tg 46° s 1,034

Ache o valor aproximado do volume de uma parede cilíndrica de altura 10 dm, cujo raio interno mede 5 dm e o externo 5,25 dm:

Solução: 0 volume procurado é a diferença entre o volume do cilindro de raio 5,25 dm, (x + Ax), e o volume do cilindro de raio 5 dm, x, portanto,

V = f ( x + Ax) — /(x ) a dy

V = dy, mas y = irx2h volume do cilindro, logo

V = 2-nxh • Ax = > V s*2 ir • 5 • 10 -(5,25 - 5) = 25 7rdm3

E4 Prove que V T + ã = 1 + — para a bem pequeno.

Solução: Vimos que f ( x + Ax) = / ( x ) + dy. Adaptando a fórmula ao exercício, vem:

2 s f 7

x + Ax = 1 + à e, por ser a bem pequeno,

= > Ax = a

1xATT7s VT+ — 2 ^ 1

v T + ã as 1 + -

5.2.4 - DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

Dada a função y = /(x ) contínua e derivável no intervalo [a, b ] sua diferenciaé:

dy = f i x ) dx

DIFERENCIAL 155

Chamamos diferencial de segunda ordem duma função à diferencial da diferencial desta função:

d(dy) = <Py

Então, d1 y = d \f' (x) • dx]

<Py = f " ( x ) • dx2

Da mesma forma concluiremos que a diferencial de 3? ordem é d 3y = = f ' " ( x ) d x 3, e assim sucessivamente.

Exemplos:

Eí Determine a diferencial de 2? ordem da função y

- 1 < x < 1.

Solução: Preparemos a função:

= Cn/ r

y = 2n = T ín (i + * ) _ x )

Determinemos as funções derivadas de primeira e segunda ordem:

2 ( 1 + x ) 2(1 - x )

1 - x + l + x 1

ou2 ( l + x ) ( l - x ) 1 - x 2

= (1 - x 2) ' 1 > y " = - ( 1 - x 2) ’2 • (—2v)

2x(1 - x 2)2

Então,

d2y = 2xdx (1 - x 2)2

E2 Determine a diferencial de 3 ordem da função y = x • cos x.

Solução: y = x • cosx é do tipo / = u • v > y = u v + v'u. Façamos:

= > u = 1U = X

V = COS X => v = — sen x

Então, y = cos jc — x sen x Da mesma forma, tiramos

y = — sen x — sen x — * cos x ou

y " = — 2 sen* — x cos* e

y " - —2 cos* — cos* + * s e n * ------> y " = * sen * — 3 cos*

Logo, d 3y = (* sen* — 3 cos*) • d*3

5.2.5 — DIFERENCIAL DE ARCO

Fig. 5.2.

Seja £ = ÃP, segmento da curva C, imagem da função y = /(* ), contínua e derivável no intervalo [a, 6], Figura 2; com A [a, /(a)] e P{x, y).

Atribuindo a * o acréscimo A x , y sofrerá o acréscimo Ay e £ o acréscimoA£.

A£A razão de variação média de A£ em relação a A * será

D , A£ A£ AcPodemos escrever -r— = - — • —— A * A * Ac

A£ = A£ _ Ac A * Ac A*

Do triângulo PMQ -

Substituindo na (1)

> Ac = \/ (A * )2 + (Ay)2

_A£ _ A£ f \/(A *)2 + (Ay) A * Ac A*

A £ _ A £ _ / (A * )2 + (A y)2 A* Ac V (A *)2 \A x j

DIFERENCIAL 157

Ac - 0Tomando limite, quando Ax -*■ 0 -------> A£ -+ 0, teremos:

I A.y->-0

_ A J à . l ) 1á x -* 0 AJC -* o A c \ ^ x /

.. A í .. A« .. lim -r— = lim - 7— • lim Ax

Aplicando a definição de derivada e as propriedades dos limites, resultaráem:

^ = 1 • / dx V l + ( II»Ax -»■ 0

f - Z T T W d í = V 1 + O')2 dx

5.2.6 - CURVATURA

5.2.6.1 — Curvatura de uma circunferência

Seja a circunferência de centro C e raio R .Seu comprimento é 2 n R e o arco correspondente ao ângulo cêntrico Aa

terá o comprimento R • Aa.A partir do ponto P, dando ao arco um acréscimo A í, a inclinação a da

tangente à circunferência no ponto P sofre o acréscimo Aa.

AaA vanação neste caso, constante, denomina-se curvatura da circun-

Aaferência e é indicada por K = -ttt-Aí

Como A£ = R Aa => —— = R > K = — , que é constante. KAa

5.2.6.2 — Curvatura de uma curva qualquer

AttPor definição, a curvatura média é Km =

A curvatura num ponto qualquer é dada por

K = Um Km = limAx -*•<> Ax -*-0

do.Logo, a curvatura num ponto é K = — que podemos escrever:

Como / = tg a -------> a = arctg ( / ) = - >

DIFERENCIAL 159

£ = / T T W

Substituindo (2) e (3) na (1), obteremos:

y/ 1 + O')2K =

[1 + O')2!3(4)

0 raio de curvatura, sendo o inverso da curvatura, tem por expressão

* = l ! ± ^ , co m y ' * o .y

Nota: Nas estruturas, em geral, a deformação é pequena, o que leva a a ser pequeno e, conseqüentemente, y ' muito pequeno.

viga deformada

Nestas condições a curvatura (com aproximação suficiente) é dada porrs ltK = y .

Exemplo: Determine a curvatura da curva y = x 2 no ponto (0,0).

Solução: De

y = x 2 > y ' = 2 x e y " = 2

Substituindo na fórmula (4) -—> K =

1[1 + 4 x2]3/2

;. No ponto (0,0

=> K = 2 e R = y .

PR! O raio de um círculo mediu 40 cm com um erro máximo de 0,05 cm. Dê os erros absoluto e percentual cometidos na área calculada pela fórmula A = irR2.

Solução: Vimos que o erro absoluto é, na prática, a diferencial. Então:

dA = 2jt R d R

dA = 2 rr • 40 • 0,05

dA = 4 7T cm2

dAO erro relativo e o percentual:

100 = 100 - ~ ; d R = 100 • 2 •A n R 1 R

100 ”T = 200' ^4<r= 0,25%

PRj Determine o erro absoluto cometido no cálculo do volume de uma esfera,

V = y-7ri?3, cujo raio mediu 10 dm, com erro de 0,02.

Solução: O erro procurado é:

d V = 4 ir R * d R (1)

Sendo R = 10 dm e = 0,02 > dR = 0,02 • R = 0,2 dm, substi- i R

tuindo em (1) — — > d V = 4 jt • 100 • 0,2 = 80ff dm3.

PR 3 Prove que o erro relativo da raiz cúbica de um número é 1/3 do erro relativo deste número.

Solução: Seja o número x.

O erro relativo nele cometido é — e o erro relativo cometido na sua raiz cúbica é

d ^ [ Ã = l l [ I . d x ____ 1 rf*.V ? 3 v ?

d ( \ / x ) 1 dx

PR4 Determine a diferencial da função .y = eKn(sen34*)

Solução: Preparemos a função. Aplicando a definição de logaritmo, vem:

£n.y = 2n(sen34 x ) ------ > y = sen34x

Como dy = y dx, determinemos y .

y — 3 sen24 x • cos 4 x • 4 ou

y = 12 sen24 x • cos 4 x

que nos dá

dy = 12 sen24x • cos 4 x dx

DIFERENCIAL 161

PR s Determine a diferencial de 2? ordem da função y = chx + shx.

Solução: Preparando a função dada — >

ex 4- e~x . ex - e~x= > , = ----- — + ----- j ------ ou

x > x a Xy = e — —> y = e — > y = e .

Então d 2y = ex • dx2.

PR6 Determine a diferencial da função /(x ) = £n (£nx).

Solução: Calculemos f ' (x ) .

Se f{x ) = £n(£nx) = > f ’(x) = ^

^ g°>PR 7 Determine a diferencial do arco da curva >> = \ f x * .

Solução: Sendo d í = V 1 4- (_y')2 cfcc, determinemos y .

Como y = x3/2 - > / = - j x 1/2.

Então, d í = ^ / l + - j x dx.

d£ = y V 4 + 9 x dx.

PR8 Calcule o valor aproximado de cos 60° 30'.

Solução:

f ( x + Ax) = f ( x ) + dy 4. \

=> cos(x + Ax) s c o s x - senx • Ax (1)

Sendox = 60°

— ■> u\J 1 , o 1 3T= > A x-= 30 ~ ~ 2 " = T ' T8Õ

Ax = - j ' 0,0174 = 0,0087.

cos 60° 30' = cos 60° - sen 60° • 0,0087

cos 60° 30' 0,0087

cos 60° 30' “ 0,5 - 0,0075 = 0,4925.

PR, Mostre que, para h bem pequeno,

cos (x + h) = cos x — h • senx.

Solução: De f ( x + Ax) s f ( x ) + dy, tiramos

cos(x + Ax) = cosx — senx • Ax. (1)

Então, x + Ax = x + h > Ax = h.Substituindo em (1), resulta em

cos (x + h) = cos x - h senx.

PRio Calcule o valor aproximado de (4,998)2.

Solução: De f ( x + Ax) = /(x ) + dy, tiramos

(x + Ax)2 — x 2 + 2 x * Ax (1)

Logo, x + Ax = 4,998 x = 5

~ > Ax = —0,002.

Substituindo em (1) >

= > (4,998)2 s 52 + 2 • 5 • (-0 ,002)

= > (4,998)2 s 25 - 0,02 = i >

(4,998)2 a 24,98.

PRn Calcule a diferencial do arco da curva y = are sen yfx.

Solução: Sendo d 9. = \J 1 + (y')1 dx, achemos y .Como

/— i 1 1 y = arc sen V x ------- > y = , —— ------ ouV 1 - (V * )2 2 sT*

1 1 1y = -y / 1 - X 2 y / x 2 y / X - X2

Substituindo na fórmula de d í , resulta em

d l = J 1 + . . ‘ — dx4 (x - x 2)

DIFERENCIAL 163

, , - L / U r i l - y *

PRn Determine a curvatura, no ponto (0,0), da curva y = 2 y/~x.

Sabemos que a curvatura K = ^ + (y')7 ]3/2'

Determinemos as funções derivadas 1? e 2?.

y ' = 2 1

" 1 - 3 /2 1v = -----x — _________y 2

Substituindo em K

y ' = x - ' n

K = - 2 x \ f x 2 x \ f x

1 + 1 + -

K = 2 x \ f x (x + 1)3/2

2-x-^fx- (x + 1)3/2

K = - 12(x + 1)3/2

Para x = 0 > K = —2 • l 3

_1_2 '

PPi Determine as diferenciais das funções:

a) y = sen2*

Resp.: dy = sen 2 x • dx

. . / I + xb )- > ' " V T - í

Resp.: dy = -------- ,(1 - X ) y / l - X 2

c) y = Cnx*

Resp.: dy = £n ex • dx

d ) y = esenx

Resp.: dy = escnx • cosx • dx

e) y = a ^ m x

Resp.: dy = m a secmx • see m x • tg m x • £na • dx

Resp.: dy = (sen x + cos x) dx

) en n + ««>■£V * V I - senx

Resp.: dy = - dx— = see x dx cos x

PP2 Determina as diferenciais de 2? ordem das funções:

a) y = Sntgjc

Resp.: d 2y = —4 cosec 2 x • cotg 2 x • dx2

n / l + sen xb)j' = Cn / - ------------V 1 — sen xsen;2,. - v .Resp.: d y = see x • tg x d x

\ * x + m c) y = arctg •1 - m x

Resp.: d 2y =,2 2 x d x 2(1 + X2)2

PP3 Calcule o erro percentual cometido no volume de um cubo cuja aresta foi medida com erro de 0,01.

Resp.: 3%

PP4 Calcule, usando diferencial, o volume da coroa esférica de raio exterior2,5 cm e espessura 0,5 cm.

Resp.: 8 w cm3

DIFERENCIAL 165

PP5 Ache o erro percentual cometido no diâmetro de uma esfera para que o erro do volume seja da ordem de 3%.

Resp.: 1%.

PP6 Determine a capacidade aproximada de um cilindro de raio R, altura h e cuja parede tem espessura dR.

Resp.: 2 v R • dR

PP7 Calcule o valor aproximado de sen 59°.

Resp.: 0,8583

PP8 Calcule o valor aproximado de tg 45° 4' 30".

Resp.: 1,0026

PP9 Calcule o valor aproximado de \[99.

Resp.: 9,95

PPio Prove que para h bem pequeno ^ = 1 — h.

PPii Calcule o valor aproximado de V 1,002.Resp.: 1,001

PPu Determine a diferencial do arco da curva y = \ f x .

ex + e~xPP i3 Determine a diferencial do arco da curva / = ------------

e* + é~x „Resp.: d i - -------— - dx

PPi4 Determine a diferencial do arco da curva y = x (finx — 1).

Resp.: d i = \ J 1 + (Snx)1 dx

PP15 Determine a diferencial do arco da curva / = — 8n1 — cos x1 + cosx

Resp.: d S. = \J 1 + cosec2x dx

PP16 Determine a curvatura da curva y = x 2 - 5 j c + 4n o ponto x = y .

Resp.: K = 2

PP17 Determine a curvatura da curva y = 2n / j + sen:t no ponto x =-7-.V 1 - senx r 4

Resp.: K

PP is Determine o raio de curvatura da curva y = 8n x no ponto x = V"8.

Resp.:R \ f l .

PP 19 Determine o raio de curvatura da curva x i n + y ' n = aín no ponto (a, 0).

Resp.: R = 2 a

PARTE II

6INTEGRAIS IMEDIATAS

Aprendamos a trabalhar e a servir. Servir é fazer luz.

6.1 - CONCEITO DE INTEGRAÇÃO

Antidiferencial ou Integral:

Sejam as funções:

a) y = x 2 + 1

b ) y = x 2 - 10

c ) y = x 2 + C

Suas diferenciais são:

a) dy = 2xdx

b) dy = 2xdx

c) dy = 2xdx

Notamos que as funções dadas diferem apenas no termo constante e têm a mesma diferencial. Dada, portanto, a diferencial dy = 2xdx podemos encontrar as infinitas funções que a produziram, através da relação inversa.

Assim, dizemos que a integral indefinida de dy = 2xdx é y = x 2 + C e representaremos por

y = \ l x d x — x 2 + C.

A integração é a operação que nos dá a função quando conhecemos sua diferencial.

Se chamarmos de d a relação que leva a função à sua derivada e de d-1 a relação inversa de d, então d '1 leva a derivada às infinitas funções correspondentes.

Assim, Figura 1 :

A: todas as funções têm derivada contínua em [a, b\

B: função contínua em [a, b]Fig. 6.1.

O problema direto do cálculo consiste em determinar a direção quando se dá a curva (função).

curva: y = F(x) => direção: a = tg a =

O problema inverso já consiste na determinação da curva quando se tem a direção.

direção: a , dy -> curva: de a = —f - dx -> dy = adx

=> y = J adx = F (x) + C

6.2 - INTEGRAL INDEFINIDA

Então, f f (x) dx = F (jc) + C é chamada integral indefinida, pois a constante C, constante de integração, pode assumir infinitos valores. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial.

F (x) + C é a solução geral F (x) + 10 é uma solução particular e

C = 10 é obtido pela fixação de uma condição inicial.Na integral indefinida jf(x)<±c, a função f(jc) (que deve ser uma função

derivada) chama-se integrando.

INTEGRAIS IMEDIATAS 171

6.2.1 - SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO

Determine a equação da família de curvas sabendo-se que o declive da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro da abscissa do ponto considerado.

O declive a da tangente à curva é a derivada da função (curva) no ponto considerado, logo:

dyDe acordo com o problema a = 2x > = 2x e dy = Ixdx .

Integrando:

| dy = | 2 xdx

y = x 2 + C

Para C = - 4

Para C = 0

Para C = 2

> y = x 2 — 4

-> y = x 2== > y = x 2 + 2

Representemos graficamente estas funções, Figura 2.

A constante C de integração é F (0), isto é, a altura onde a curva interceptao eixo dos y.

No problema anterior, determine a curva da família que passa pelo ponto (1, 3).

A equação da família ê y = x 2 + C.Da condição fixada =----- > y = 3 e x = 1, então:

3 = 1 + C ----= > C = 2,

portanto a curva é a parábola / = x 2 + 2.

6.3 - PROPRIEDADES

Pi Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do sinal de integral. Assim:

fa • f(x)<±c = a ff(jc)dx

P2 A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destas diferenciais. Assim:

\{du + dv - d t) = \du + j dv - \dt

A integral de soma é igual à soma de integrais

Exemplos:

Et [4 xdx = [2 • 2 xdx = 2 J2 xdx = 2 x 2 + C

E j |(3a:2 + 4 x 3 — € )d x = | 3 x 2dx — \4x*dx — 6 \dx =

Ct + C 2 + C3

= x 3 + C! - x* + C2 - 6x + C3 = - x * + x 3 - 6x + C

6.4 - INTEGRAIS IMEDIATAS

O problema da integração não é fácil, mas não pode, por isso, ser ignorado. A integral definida o facilita bem.Mas, procuremos tornar o estudo da integral indefinida menos difícil, meto-

dizando-o.Organizemos uma tabela de integrais indefinidas, as mais familiares, cujos

resultados são obtidos imediatamente.As integrais 1 e 2 serão as das propriedades Pi e P2, as demais iremos

determinando e acrescentando à tabela.

TABELA I

1 Jadx = a \dx

2 \{du + dv - dt) = \du + ^dv - f dt

x"+1Seja a função y = - + C, com n # — 1.

Diferenciando (relação d) — > dy = dx

Integrando membro a membro, vem:

Jdy = [x”dx = fjc"dx

Substituindo y pelo seu valor, fica:

Vejamos a (3):

=> dy = x dx

(x"dx = -^ jT f + C> (3)

Notemos que em

\ ® n d ®

a diferencial é a diferencial da base da potência integrando.

A integral |(2x )3dx tomar-se-á imediata se pudermos substituir dx por d (2x). Comparemos

|(2x)3í£t e f(2x)3d(2x)

A diferencial d (2x) - 2 dx, portanto, a 2a integral é o dobro da primeira. Podemos igualá-las dividindo a 2? por 2:

f(2. x fd x = \ f(2x)3 d(2x) = + C = ^ + C

Nota: A integral proposta seria efetuada de modo mais fácil se desenvolvêssemos a potência. Neste caso é mais simples, noutros . . .

)(3jc + í y d x

Apliquemos a regra acima.

Vejamos a diferença em valor entre

f(3x + l)7dx e \(3x + l ) 7d(3x + 1)

Basta analisarmos a diferencial d(3x + 1).

Assim: d ( 3 x + 1) = 3 dx

Logo a 2? integral é o triplo da 1? ->

3 dx1 / ^

= > J(3jc + 1 y d x = - j J(3jf + \ )nd (3 x + 1) =

= 1 (3jc + 1>8 + r3 ' 8 c

f(3x + l)7dx = 1)8 + C

Bem mais fácil do que desenvolver a sétima potência do binômio (3jc + 1 ). Não usaremos a substituição para que você, leitor, compreenda melhor o

mecanismo da integração.

Exemplos:

Ej Integre / = f(8x3 — 6 x 2 + 5 x — \r + x \ f x — T)dx.x 3

Preparemos a integral I.

Temos a integral de soma, de P2 e Pt >

= > / = 8 f x 3dx - 6 \ x 2dx + 5 \ x d x - \ x ' 3dx + | x 3/í£ic

- 2 J dx

v 4 „ 3 „ 2 „ - 2 „ 5 /2/ = 8 — - 6 — + 5— - —— + —— - 2x + C

4 3 2 - 2 5_2

. , 5vJ 1 2 x2 y/xI = 2x* - 2x3 + ~ ~ + — ■ + -----s---- --- 2x + C

2 2 x 2 5

E2 Integre / = J(3\/jc - 2 )(3 \ f x + 2 )dx

Preparemos a integral:

/ = |(3 y /x — 2) (3 y/x + 2)dx — \(9x — 4)dx

I = 9 j x d x — 4 |dx = — 4x + C

E3 Integre I =J- X<*Xy /x2 — 4

Preparemos a integral I.

I = f ( x 2 — 4 Y in x d x

Teremos uma integral do tipo (3) se pudermos substituir dx por d (x2 — 4). Basta diferenciarmos d (x 2 — 4) = 2 xdx.Na integral / temos xdx. Falta apenas o fator 2. Multipliquemos e dividamos por 2.Então:

I = J(x2 - 4)~1/2xdx = Y J(x2 - 4y 1/2d (x2 - 4)

integral de potência ou (3)

4r + c _ > / = y ^ + c

Passemos ao estudo da (4):

I = Jdx

Caso particular de J x ndx, sendo n = 0, logo

x 0+1< * = Õ T T + c = * + c

Idx = x + C

Nossa tabela já está assim constituída:

1 / adx = a Jdx

2 J(<2u + dv - dt) = Jdu + jdv — jdf

+ 13 I x ndx = —T-r- + C, n — 1 J «4 -1

4 Jdx = x + C

Estudemos J ~ > caso em que n = —1.

Consideremos a função y = 8nx + C.

Diferenciando > dy = — dx.JC

• ’ dxIntegrando membro a membro > Jdy = J~^~-

No 19 membro a integral equilibra a diferencial e vem:

y = j -y - e como ^ = (n * + C, teremos

5f— = i n x + C■ X (5 )

Como extensão, podemos considerar

,-udx n---- = finu + CJ u (5-A)

Assim, f = £n(jc2 + 1) + C1 x 2 + 1 '

Exemplos:

E( Integre / / = x A - 3x2 + x + 2 ^ x 2 - 2

Qualquer que seja a integral proposta, devemos analisá-la, tendo em mente a tabela das imediatas.A integral I do exercício proposto não se aproxima das 4 primeiras integrais estudadas.Trata-se de uma fração xacional, cujo grau m do numerador supera o grau p do denominador.Para m > p ou m = p, efetuamos a divisão.Assim:

x 4 - 3x2 + x + 2 x 2 — 2

—x* + 2x2 X 2 — 1

- x 2 + X + 2

Então, I = d x = J V - 1 + - ~ - ) dx x — 2

Temos a integral de soma, da (2) resulta:

A derivada do denominador é 2x. Se multiplicarmos numerador e denominador por 2, a fração não se alterará e o numerador passará a ser a derivada do denominador.

Analisemos a 3? parcela:

/ = 4 - + C , - x + C2 + ^ - /-2 j x* - 2

/ = y - + C , - J C + C a + y £ n ( * 1 - 2) + C3

3 Cl + Çj + chI = — x + -y-Sn (x2 — 2) + C ( x > \ Í2 ou í < - V 2 )

Ao invés de usarmos

f — = 2nx + C para x > 0,

/dx— = £n(— x) + C para x < 0 ou

J ~ = 8n IjcI + C para x ¥= 0,

/dx— = £njc + C porque estamos sempre supondo funções

definidas. Não usaremos o sinal de módulo.

T . T í-sen2x ,Integre I = | — -— dx ' sen x

Em se tratando de fração, analisemos se o numerador é ou pode ser a deri-u dx

vada do denominador, isto é, verifiquemos se a integral é do tipo f ^ .

A função derivada da função sen2 * é 2 sen x cos x = sen 2x. Então:

Diferenciando => dy = dx => dy = a dx

Integrando membro a membro — > fdy = faxdx, com

fdy = y - —> y = f a xdx o

Se a = e, vem:

f a xdx = + C J £n a

J e xdx = ex + C

Notemos que na (6) e na (7) a diferencial é diferencial do expoente.

f a ® d ( x ) = + C e f e ® d ® = ex + C

Exemplos:

Ej Integre / = f e 3xdx

Esta integral será imediata se tivermos d(3x), o que obteremos multiplicando e dividindo por 3, pois d(3x) = 3 dx.Então:

/ = f e 3xd x = Y f e 3xd ( 3 x ) = - j e 3x + C

E2 Integre 1 = fesenx • cos x d x

A integral I será imediata se pudermos escrevê-la fe d (sen x). Vejamos:

cos xdx

f e senx d (senx) = /

f e senxcos xdx = fesenxd(senx) = e senx + C

E3 Integre fex • x d x

Como vimos, será integral imediata se pudermos escrever

Analisemos:

2f e x d(x2) = Jex • 2xdx

EntSo, a integral propostad<x2)

f e x • xdx = ~ j e x • 2 x d x = -Í- f e x dÇx2) = y e * + C

E4 Integre I = J ■ dx

Efetuemos a divisão:

rax - a-1 = 1 -

Desdobremos em duas integrais:

Preparemos a segunda integral

/= fdx - fa~2xdx

I = x - —2 J a 2xd ( - 2 x )

1 a 2x / = * + - “ ---- + C2 Una

I = x + 2 £na + C

Seja a função y = — cos x + C

Diferenciando > dy = sen x • dx

Integrando membro a membro:

f d y = j sen xdx

J sen x • dx — y

J sen xdx = — cosx + C (8)

Notemos que na (8) a diferencial é diferencial do arco:

Jsen (x) d (x) = - cos x + C

Exemplos:

E! Integre / = / sen 3 x d x

A integral I não é imediata, pois, o arco é 3jc e a diferencial dx. Preparemos a integral:

E2 Integre I = f x • sen 3x2dx

A integral I tomar-se-á imediata se pudermos escrevê-la sob a forma

/ = f sen3x1d (3 x 2)

Analisemos:

d ( 3 x 2) = 6 x d x

Vemos que na integral proposta I figuram o xdx, faltando o 6, então:

Nesta integral a diferencial é a diferencial do arco

/cos (x) d(x) = sen x + C

Exemplo:

Integre I = j cos2 x d x

Analisando a integral, deparamos que não é imediata, pois o cosx está elevado ao quadrado. Somos levados a substituir cos2 x por 1 — sen2 x, mas esta substituição transfere a dificuldade cos2 x para sen2 x. Logo, este não é o caminho indicado.

Da trigonometria sabemos que cos2 x = * ^°S 2*

Então:

/ = y J ó x sen 3jc2d* = y J sen 3 x 2d{3 x 2) = — ^-cos3x2 + C

9 A integral f cos x d x fica determinada imediatamente, respondendo à pergunta: Qual a função cuja derivada é cos x l

Então:

J cos xdx = senx + C (9)

r r 2 j f 1 + cos 2x , I = I cos xdx = J ------ --------<±c

=> / = y Jdx + - | - jcos @

/ =_y + “| -----1" jcos 2 x d ( 2 x )

_ x ^ sen 2x2 4 L

10 Seja a integral J t g x d x

Podemos escrever f tg x d x = f -sel--x- dxJ ° ■’ COSJC

Transformamos o integrando em fração.A divisão nos levaria ao ponto de partida tgjc. Analisemos, então, se o

numerador é ou pode ser a derivada do denominador:

u = cos x

=> u = — sen x

f tg x d x = í senx dx = — f-— dx = — £ncosx + C J J COSJC J nns y

— sen jcCOS X

I tg x dx = — £n cos x + C

ftg (x) d(x) = — £n cos x + C

f tg x d x = — i n + C = — (£n 1 — £n secx) + C

ftg (x) d(x) = £n secx + C (10)

11 Seja a integral fcotgxdx

f cotg (x) d (x) = f dx = £n sen x + C

fc o tg x d x = in se n x + C (11)

12 A integral /sec2 (x) d(x) é imediata, pois, sec2 x é a derivada de tgjc. Então:

fsec2xd x = tg x + C

(sec2 x d x = tg jc + C (12)

13 A integral J cosec2 @ d(x) também é imediata, pois, cosec2 x é a derivada da função — cotg x.

f cosec2 x dx = - cotg x 4- C (13)

:> tg x = sec2 x - 1

Exemplos:

Ei Integre / = ftg2x d x

Sabemos que 1 + tg2 x = sec2 x

Substituindo, I = f (sec2 x - 1 )dx, aplicando (2)

/ = f sec2x d x - fd x

I = t g x - x + C

E2 Integre f e tl}X • sec2 x d x

Confrontando a integral proposta com as integrais imediatas já estudadas, vamos concluir que se pudermos escrevê-la sob a forma

f e tgx d (tgx),

teremos a integral imediata (7).

sec2 xdx

J e tgx • sec2 x d x = f e t s x ’ d ( t g x ) = e t g x + c

14 Vimos que a derivada da função sec x é sec x • tgjc, então:

Jsec @ tg @ d(x) = secx + C

/ s e c * tgjccfoc = secx + C (14)

15 Da mesma forma:

f cosec @ cotg (x) d(x) = — cosec jc + C

f cosec x cotg x dx cosec x + C (15)

Exemplos:

Ej Integre fsecxdx

Esta integral não é imediata, pois não se enquadra nem na (12) f sec2 xdx e nem na (14) f secx tgxdx.

Vamos solucioná-la fazendo-a recair na (5) / U <X- = £n u + C.■' uAssim:

r , r secx(secx + tgoc) , f s e c x d x = / ( x Kc x + tgx] > dx

' \ s r , r sec x + secx • tgx ,/sec x d x = / --------------—------— dx■’ ■ sec jc + tg x

fs e c x d x = fin (sec x + tg x) + C

Ej Integre f cosec x d x

, r cosec x (cosec x + cotg jc) ,cosec x d x = / ---------- ------- :----------- dxcosec x + cotg x

, r cosec x + cosec x • cotg x ,cosec x d x = / ------------------ ;------------- s— dxcosec x + cotg jc

f cosec x d x = — Sn (cosec jc + cotg jc) + C

x16 Seja a função y = arcsen— + C, com a > x.

Diferenciando: dy = — ■ • — dx ou

dy =• — dx = —; -

a V a2 - x 2 -*■— dx

dy =dx

y / ã ^ V 2

Integrando membro a membro

f d y = f *

v j —

d(x) x— ----- _ arcsen------h Cy /a 2 - ® 2 a

fdx j . .= arcsen----- 1- C

a\J a1 - x 1(16)

Exemplos:

Ei Integre I = f dx

será do tipo (3) se a diferencial for a

J y / 16 - 4 x 2

Integrais deste tipo devem ser analisadas, inicialmente, como integrais do tipo (3),

A integral I = / — ■ = = = = ■J y / 16 - 4 * 2

diferencial de 16 — 4 x 2.Vejamos,

d (16 - 4 x 2) = - Z x d x

Na integral proposta I falta o fator x, o que não permite a adaptação. Analisemos, então, se recai na (16).Assim:

/ = / -dx___________ = f _____

y j 16 - 4jc2 V 4 2 - (2 jc)2

Será arcsen se pudermos substituir dx por d(2x).

I = f . * = f d (2 x ) - 1 - - n ^ + c V 1 6 - 4 x 2 V I / • V 4 2 - ( 2 j c ) 2 2 4

r 1 • * , / - ./ = — arcsen — + C

E2 Integre / = J x d xV 4 —

Analisemos, primeiramente, como integral de potência:

d (4 — Jt2) = — 2xdx

A presença do x no integrando nos permite escrevê-la

Q ) x d x

I = f v B ? = w f ( 4 - x2r ' ,2d(4- x2)1 (4 — x 2) l/22 J_ C

/ = _ v /4 - X2 + C

E3 Integre / = / —V 5 - 3 - 2

Não pode ser integral de potência porque não apresenta o fator x no integrando, portanto, é arcsen.

V 5 - 3jc2 V ( y / l ) 2 - ( V 3 x ) 2

= À f d ( y / í x)V ( ^ 5 ) 2 - (V 3 * )2

r _ J v / j í1 7=- arcsen — -=r + CV 3 v^5

1 X17 Seja a função >> = — arctg — + C.

Diferenciando:

dy — — ■ a -dx1 + -

J _ ________

f ' d1 + x2

dxa2 + x 2

Integrando membro a membro:

dxfd y = / •

a2 + x2

dxa2 + x2

Então:

/• d(x) 1 . x - „ / ——M —- = — arctg— I- C J a + (x) 8 a

/dx = — arctg — + C

a2 + x4 a a(17)

Exemplos:

dxi, Integre / = / —

Analisemos a fração. Não admite divisão, m < p.I

Não é do tipo — , pois, a derivada do denominador é 2x. Vejamos, então,

se se trata de arctg.

/ = /' <** = /•-_____5 + x2 -, (V 5 )2 + ® 5

I~irm*ví+CEj Integre I = j -

2 xd x16 + x4

Análise: m Não admite divisão

D ( 16 + x A) = 4jc3 - > Não é do tipo

Examinemos a possibilidade de arctg:

I x d x

I = í 2xdx _ ,■ 2xdx _ r d (xy i V* ■'aí J. J .16 + J 42 +(.x2)2 42 + ( @ )2

1 X/ = ^arctg — + C

Integre I = f——■ x 2 + ■4 jc + 9

Análise: m Divisão, não.I

D (x2 + 4x + 9) = 2x + 4 > — , não.u

O trinômio x 2 + 4 x + 9 é infatorável, pois A < 0.

Exame de arctg:

dx r dx1= f 5 --------- = f-•’ „ 2 _ L A _____L A _L C ■’ !

x 2 + 4x + 4 + 5 ’ (x2 + 4 x + 4) + ( V 5 )2

dx(x + 2)3 + (V ? )2

f d (x + 2)_________ 1_ x + 2 , „■f dV5 )2 + ( x + 2 ) 2 V J 3 1 0 8 v i

TABEtA II Integraú Imediatas

1 Jadx = a f d x

2 J(du + dv - dt) = fd u + f d v - Jd t

3 J ® n d(x) = - ^ Y + C, n * —1

4 j d x = jc + C

5 f ^ = S n x + C e / ^ = £ n „ + CJC J u

7 j e ® d ® = e x + C

8 /sen ® d ® = — cosjc + C

9 1 cos ® d ® = sen jc + C

10 Jtg ® <f ® = — 2n cos jc 4- C = 8n sec jc + C

11 J cotg ® d ® = £nsenjf + C = — £n cosec x + C

12 Jsec2 ® d ® = tgjc + C

13 /cosec2 ® d ® = — cotg jc + C

14 J sec ® tg ® d ® = secx + C

15 Jcosec ® cotg ® d ® = — cosec jc + C

16 í - aresen + C, a > jc J V a2 - ® 2 a

17 r <*(*) 1 , * . ^1 — h rrr = — arctg-----1- CJ a2 + ® 2 a a

PRi Integre I = f x 2 (7 — 4 x 3)*dx

Resolução:

Poderíamós desenvolver a potência indicada e o resultado multiplicar por x2, recaindo na integral de uma soma.Analisemos, porém, a possibilidade da integral de potência. A diferencial deve ser a diferencial da base da potência

d (7 — 4jc3) = —12 jc 2 dx

Na integral proposta falta, apenas, o fator —12.Entío,

I = f x 2 (7 - 4 x 3)8dx = - J 2 f - 12x2 (7 - 4x3) 8dx

/ = - / ( 7 “ 4x3) 8 d c T ^ Í I 3)

1 (7 - 4 x 3)9 Í 2 ---------9------ + C

_ (7 - 4x3)108

PRj Integre / = f y / x 4- 4 dx

Resolução:

Análise: d(x + 4) = dx - - > potência

I = /V jc + 4 dx = / ( x + 4 )1/2d(x + 4) = + 34) - + C

/ = - y (x + 4) y /x + 4 + C

PR3 Integre / = f y / x ~ (x2 - 3x + 1 — y fx )dx

Resolução:

Efetuemos o produto, lembrando que yfx~ = x 1/2, então:

/ = / ( x s/2 - 3x3/í + x i/2 - x ) d x

/ = / x 5/2dx - 3 f x 3/2dx + f x i n dx - f x d x

y 7 /2 5/2 v 3/2 „ 2/ = —— __ 3 —— -f —------ — + c

7 5 3 2

,2. _ 2 x 3 y fx _ 6x2 Vx~ 2 x \Zx~ _ x_7 5 3 2 C

do t * r r 2 cos xdx PR4 Integre / = J -y / T + sen x

Resolução:

Análise: Potência: d (1 + senx) = cos x dx — > É potência

l _ j —2cosxd x j | - ( i + senx)"1/2 cosxdxV l + sen jc

cosjtdx

1 = 2 f ( l + senx)_l/2 d ( l + senx)

C[ _ 2 O + sens)1/2 +

/ = 4 V 1 + sen x + C

PRS Integre 1 = f tg3x • sec2 xd x

Resolução:

Potência: d (tgjf) = sec2 x d x -> é potência

/ = / t g 3 x sec2 xdx = / t g 3 x d ( tg x ) = + C

Regra R , : “Todas as vezes que um ou mais fatores do integrando for derivada da base do outro fator, teremos a integral de potência.”

No exemplo dado,

sec2 x é a derivada da tg x.

PR6 Integie 1 = J sec4 jc • tgxcfcc

Resolução:

1 = /sec4 x • tgxdx = f sec3 x • sec x tg x dx

derivada da sec*

Pela regra dada acima

secx tg xdx

I = f sec3 x • d (sec jc) = ^ *- + C

PR7 Integre I = f dxcos x

Resolução:

/ = f cos'4x • sen xdx

Análise: A derivada de cosx é — sen x = = > potência

I = fcos~4 x • senxdx = — / cos'4 x (— senx)dx

— sen xdx

/ = — l— + C3 cos3 x

PR 8 Integre / = f ,sen x ^ cos x

Resolução:

. r sen4 x , r sen4 x ,I = I ---- z— dx = / ---- ----------- — dx■ cos X ' cos X • COS2 X

I = ftg4 x • sec2 xdx = f t g 4 x d ( t g x )

d (tg x)

, - Jsr L + c

d o I * r ( 1 + s e n 2 x jPR9 Integre I = / ------- -------dxcos x

Resolução:

Análise: m = p — > divisão

. r l + sen2 x , r ( 1 sen2„ , . / = J ------- r------dx = J — — + — — ] dxCOS X \ cos X COS

/ = J (sec2 x + tg^x)dx = I (2 sec2 x - l)dx

sec2x — 1

7 = 2 fsec2 xdx - J dx

/ = 2 t g x - x + C

, #3 _ 9^2 _Lt _ iPR io Integre I - / ------------—---------dt

Resolução:

Análise: Denominador monómio — > divisão

1 = f t m ~ dt = ~ 2f3/i + ~ r i n )d t

/ = jt^dt - 2ft3l2dt + J'tindt - f r indt

,7 /2 f.S/2 *3/2 ,1 /2I = —=----- 2 - 4 - + - V - — — r~ + C

f i n *5/29 i ___

*3/2 4. i ___ t l n

~ 2 5 + 3 12 2 2 2

__ . xdxPR a Integre / = J

V 4 - x2

Resolução:

Análise: d (4 — x 2) = — 2xdx > potência

/ = / = / ( 4 - x 2) - |/2xdxV 4 - x 2

ou, multiplicando e dividindo por - 2:

d(4r x2)

/ = —L 1(4 — x2) - 1/2 (-2 x )d x = —j f ( 4 - x2) ' 1/7d ( 4 — x 2)

1 (4 — x2)m 1 ~ 2 ]_ L

/ = _ v^4 - x 2 + C

PRi2 Integre 1 = 1 ^\ / 4 - x2

Resolução:

Análise: Potência: d (4 — x 2) = — 2xdx = > não, porque falta fator— 2x no numerador do integrando.

É Arcsen porque é do tipo / —,

I = I — , *** = / / . d ® = = arcsen■— + C• V 4 - x 2 • V 22 - © 2 2

PRX3 Integre /= / / -4 * cfac, com —4<jc<4 .

Resolução:

Preparemos a integral /.

4 - jc j ,• \ / 4 - jf ,7 7 — = -■ - -dbc4+JC • V 4 T 7

/ = f ^ E Z ' ^ E I dx = f ,V 4 + Jc • \ /4 - jc ' V (4 + Jt)(4 - jc)

/ = f .4 * dx ' V 1 6 - X 2

Desdobremos em duas integrais:

V l6 - x2 \ / l 6 - x2

À semelhança dos exercícios PRl2 e PRn a integral (T) é potência.

- 2 xdxx 17 = 4 arcsen —----- — / ( 16 - x2)_1/2 d(16 - x 2)

x , 1 (16 - x 2)1'2' T x X

7 = 4 arcsen 4 + V l6 — x 2 + C4

PR , 4 Integre / = J x x + 2 dx

arcsen e a

Análise:

m > p => divisão = > jc3 - x + 2

- J C 3 + JC2

- JC + 2- x 2 + x

x 2 + X

Então:

/ = f ( x 2 + x +X - 1

1 = j x 2dx + fx d x + 2 'ldx

x - 1dx

T - * l - 4-JÍÍ-J--7 f d (xL ~ 3 2 ■' x - 1

/ = y + y + 2 f i n ( x - 1) + C

/ = T + T + Èn(jc_1)2+C

PR is Integre / = ) tg2 xd x

Preparemos a integral

/ ■ I (see2 x — 1) dx

I = f sec2 xdx - I dx

I = tgx - x + C

(expoente par)

PR )6 Integre 1 = f t g 3 xdx

1 = f tg2 x ■ tgxdx (expoente ímpar)

1 = 1 (see2* - l)tgxcix

I = f tgx • see2 xdx - J tgxdx

1 = J t g x d ( t g x ) — f tg x d x

T ___ ^ X . _ ----- . . J_ / " I

PR i7 Integre 1 = f sen2 2xdx

Como o expoente do seno é par, substituímos

2 „ 1 - cos4x . /■ 1 — cos 4x sen 2x = ----- ------ - = = > / = / ------ -------

INTEGRAIS IMEDIATAS

I = \ I dx - - i - / cos 4x dx

x sen 4x2 8

PR is Integre / = / sen3 xdx

O expoente é ímpar, preparemos a integral.

= f sen2 x • senxcix

= / ( I — cos2 x) sen xdx

* - d (cos x)

= [sen x d x — f cos2 x • sen x d xJ • \____________/Ri

= — cos x + I cos2 xd(cos x)

= — COS X + ■ + C

PR 19 Integre / = f x • sec4x2 íi>c

A integral fsec (x) d(x) = fin(secx + tgx) + C

Preparemos a integral:

8 jccfcc

I = I x s e c 4 x 2dx =-r- jsec 4 x 2 t /(4 x 2)

I = -g-£n(sec4x2 + tg 4 x 2) + C

PR20 Integre / = j sen4 xdx

Como o expoente é par, vem:

/ = f sen4xdx = f sen2* • sen2xe£c = fsen2x ( l

I = f sen2 xdx - f sen2 x cos2 xdx

Integremos a @

a r 1 j f 1 ~ cos 2x , 1 f , 1 A = Jsen* xdx = J ------- ------ dx = — J d x — y

A = -y - -y • y /co s 2 x d(2x)

A _ x sen 2x , ^^ ~ 2 -------4

Integremos a (B)

B = /"sen2 x cos2 xdx /4 sen2 x cos2 xdx

(2 sen* cos x)2

D l r 2 - j 1 r l - cos4x ß = - 4- / sen2 2xdx = — J ------------- dx

x sen 4x T 32~

B = ^ - - + C 2

Como I = A - B

T x sen2x . x , sen4x „-------+ C i ~ T + ^ 2 ~ - C2

. 3x sen 2x sen4x . „ , n1 = — — 4- + 32 + C onde C — C1 -

■ * r /' / 1 + sen x ,PR21 Integre I = / -j----------- - dx''V 1 — sen x

, /■ v T + sen x V 1 + senx ,/ = J • ----------- dx

V 1 — sen x V 1 + sen x

— cos2 x)dx

(cos 2x ^x

r r 1 + sen x , r 1 + sen x ,I = I . ==• dx = I ------------- dx

V 1 — sen5 x ' cosxI

• 'co sx J cosx

I = /sec x d x - Sn coax

/ = Sn (sec x + tg x) — Sn cos x + Sn C

1 = Sn ^(sec x + ^ *) ou / = £n C(sec x + tgx) • sec xcosx

PR 22 Integre / = /senóx • cos 2xdx

No integrando temos o produto de um seno por um co-seno.Se os arcos fossem iguais, teríamos a integral de potência ou de seno.Da fórmula trigonométrica

. p + q p — q , „2 sen ■ - - y ■ cos = sen p + sen q, fazendo

^ 2 = 6x e ^ 2 ^x > p = 8x e q = 4x, vem:

2 sen 6 x cos 2 x = sen 8x + sen 4x

sen 6x cos 2 x = y (sen 8x + sen 4x)

Então:

/ = I sen 6 x cos2xdx = y - /(sen 8x + sen 4x)d x

/ = y Jsen 8 xdx + y j sen 4 xdx

/ = y • y /sen 8x d ( 8x) + - - • y Jsen 4xd (4x)

_ cos 8 x cos4x16 8 C

PR23 Integre / = J sen (mx) • cos(nx) • d x

Temos o produto de um seno por um co-seno de arcos distintos. Usemos a fórmula trigonométrica que transforma este produto em soma.

„ p + q P - q ,2 sen r 2 cos 2 = sen p + sen <7

sen P * g cos P — = "-(sen p + sen q) (1)

Façamos:P + <7ÍL~YL = m x f p + q = 2 m x

E— J L = n x [ p - q = 2 nx

somando membro a membro f> 2p = 2(m + n)x ------>

> p = (m + n)x

subtraindo membro a membro -------> 2q = 2(w - n)x ->

- > q = (m - n)x

Substituindo na (T)

sen(mx) • cos(njc) = y [sen(m + «)x + sen (m - h)x]

Substituindo na integral I ■ - ■ >

I = — f [sen (m + n )x + sen(m - n)x]dx, que é integral de soma.

/ = -y /[se n (m + rí)x]dx +-^-/[sen(w - «)jc]dx

Teremos duas integrais de seno se prepararmos convenientemente a diferencial dx, pois

/sen @ d(x) = — cos x + C

Então:

(m + n) dx1 _ 1

m(m - n )dx

1 = — • — ;— f[sen(w + n)x] d(m + «)x + 2 m + n J

+ 4"’ — "— I [sen(m - ri)x]d(m - n)x2 m — n J

cos(ffi + n)x cos(ffi - n)x , _2 (m + n) 2 (m - n)

Temos o produto de dois co-senos de arco., diferentes. Da trigonometria tiramos

PR 2 4 Integre / = / cos (wjjc) cos (nx) dx

que transforma o produto de dois co-senos em soma. Se fizermos

decorrerão

p = {m + n)x e q = (m - n)x

e a fórmula trigonométrica ficará:

2 cos (mx) cos (nx) = cos (m + n)x + cos (m - n)x

Substituindo na integral / o produto pela soma, vem:

transformável na soma de duas integrais de co-senos.

. p + q p - q ,2 • cos r ■ cos — = cos p + cos q

Preparemos as diferenciais

(m + n) dx

2 m + n J [cos (m + n ) x ] d (m + n) x +

-— J [cos (m - n )x ]d (m - n )x

(m - n) dx

2 ( m + n ) 2 (m — n)

PR2s Integre I = J cos 4x cos 3xdx

Basta aplicarmos a fórmula do PR24

_ sen(4 + 3)x sen(4 - 3 )s 2(4 + 3) 2(4 - 3)

T sen7x senx 1 ~ 14 2 C

PR26 Integre 1 = 1 sen(mx) • sen(nx)dx

Temos o produto de dois senos.Da trigonometria tiramos

. p + q p - q— 2 sen ^ sen - ■ ^ - - = cos p — cos q

p + q p - q 1 , .sen ■ ■ sen = — 2~(cos P ~ cos <V

Considerando as substituições feitas no PR23, vem:

I = - - i- J [ c o s (m + n ) x — cos(m - n)x]dx

I = - -y |[cos(m + n)x]dx +-^-f[cos (m - ri)x\dx

1 = ~ T ’ m + n J [cos(m + n) x 1d[(jn + m)x] +

+ ~ 2 • ' n J [cos(m - n)x]d[(m - n)x]

_ _ sen(m + ri) x sen (m - n )x2 { m + n ) 2 (m - n)

PR27 Integre I = l ~' e

Parece-se com a integral

f e ® d ® = e x + C

De fato: / = fe~x dx

Preparemos a diferencial

/ = _ fe © d { - x )

/ = - - ! r + C e

PR28 Integre / = f faw x

Desenvolvamos o quadrado da diferença

. ,■ a — 2 V ã x + xI = I ----------- -=------dx\ / x

I = - e~x + C ou

Efetuemos a divisão, pois, o denominador é o monómio x 1'2.

/ = f ( a x - u l - 2Vfl" + x U2)dx

I = a f x - 1,2dx - 2\T a [dx + f x ' /2dx

„ 1 /2 3 /2I = a —j— — 2 \ f ã • x H— — + C

I = 2 a \ f x - 2 x V ã + + c

PR 29 Integre I = I x + 1-----dx■ x 2 + 2x + 3

Análise:

Fração com m não admite divisão.

Derivada do denominador — > D ( x 2 + 2x + 3) = 2x + 2I

é do tipo — , basta multiplicar e dividir o numerador por 2.

Então:IU

r 1 r l x + 2 ,/ = T :---------- dx2 J x 2 + 2x + 3

/ = y 8n(x2 + 2x + 3) + C

/ = Cn n/ x 2 + 2x + 3 + C

__ r x2dxPR 30 Integre / = / —= =V * 3 + 1

Analisemos a possibilidade da / (x) nd (x)

A d(x3 + 1) = 3x2dx, portanto, a presença do x 2 no numerador, admite a preparação.

/ = y f ( x 3 + 1)-1/2 • 3 x 2dx

3 x2dx

/ = j-f(x3 + l)-l/2dõ^M)

1 (x3 + l ) 1'2 1 3 J_

i = -f -V*3 + i + c

PR 31 Integre / = / x 2 V 1 + x dx

Na forma que está, não podemos transformar em integral de potência. Façamos a integração por artifício de cálculo (substituição)

.— ---- f ----- > dx = 2tdtSe V 1 + x = t > 1 + x = t •< ,

> x — t — 1

Substituindo em /

/ = J \ t 2 - l ) 2 • t • I t d t

I = / ( r 4 - 2 r2 + 1) 2r2dí

/ = / ( 2 f 6 — 4?4 + 2 t2)d t Integral de soma

I = 2 I t 6dt - 4 [t*dt + 2 }'t2dt

2 f 7 4 f 5 2 f 3

Voltando à variável x [t = V 1 + x ou f = (1 + x )1/2]

•e4Jr + 2 PR32 Integre / = / — <íx

/ = y (1 + x)7/2 - - y (1 + x)s/2 + y ( l + x )3/2 + C

Efetuemos a divisão:

/ = I ( - — + — - ] dx1 ' e3X e3X

I = I(ex + 2 • e~3x)dx Integral de soma

I = lexdx + 2 fe~3xdx Integrais de exponenciais

-3 dxI = ex + 2 • [e~3x 7 ( ^ 3 x )

I = ex —-j-e~3x + C

í = ex - + C 3e3X

r ex - 1PR 33 Integre I = / — ------dx' e + 1

Análise: A fração pode ser desdobrada, assim: u

/ = ----- dx - f — 1— dx■ ex + 1 •' ex + 1

A primeira integral é do tipo — , pois D(ex + 1) = ex , então:

I = 8n(ex + 1) - /' — -— dx ' e + 1

IU y,A 2? integral seria do tipo — se tivesse e no numerador. Portanto, somemos

e subtraiamos ex ao numerador.

/ = Sn(e* + 1) - \ ‘ ' / ~1 + - e*

I = En(eJt + 1) — / - + dx + / — ----- dxex + 1 ■ e* + 1

/ = ín (e x + 1) - /dx + 2n(e* + 1)

/ = 2 En (ex + 1) - x + C

/ = - x + Sn (ex + l )2 + C

-4X _ 2X I iPR 34 Integre I = / --------- —-------- dx

Análise: O denominador é monómio, efetuemos a divisão.

/ = / (a2x — 1 + a~lx )dx Integral de soma

I = f a2Xdx - /dx + f a ~ 2xdx

I = Y f a 2xd (2 x ) - f d x + — f a ~ lx d ( - 2 x )

a2x a- 2xI = ------- * - ^ — + C2 £n a 2 Sn a

2PR 35 Integre I = J e3x • xd x

Análise: A integral I é do tipo j e ® d ( x ) , pois o fator x do integrando permite a adaptação da diferencial para d ( 3 x 2) = 6 xdx.

d(3x2)

1 = ^ y l 'e3x2 © x d x

e33*2 / = -^ -r-+ C

PR 35 Integre / = J -— dx

Análise: A fração pode ser desdobrada era duas.

I = f U - ^ - ) d x

/ = [ È L - C ^ d xJ X J X

I = Enx - í ' 4 ü n x ( ^ l\ x y

/ -= Enx — 4 f ü n x • d (S n x )

/ = £n x — 2 £n2 x + C

PR 31 Integre / = J'einx ~

Análise: Preparemos a diferencial.

/= J e in X ( ~ ^ ) = J e in x d ( & n x )

I = e en* + C

PR38 Integre 1 = _/«*** sec2 xdx

Análise: Preparemos a diferencial

/ = f a ^ Ç séc2 xdx) = J a tsx d ( tgx)

/ = + C £na

r dx PR 39 Integre I = f eVx

Análise: Devemos transformar dx em d (V x ) .

Sendo d (V x ) = —y=- dx e como / = (2) J 6,— uvi v w i u v ; i — v^r/ / .—2 \/x ' © V 7

I = 2 /e N/7d(\/T)

/ = 2 e ^ * + C

P R 4o Integre I = f ( e x/n + e~x/n)dx

Desdobremos em duas integrais

/ = f e x ,ndx + fe~x,n dx

' x sI = n .fex / n d ( ~ j - n f e - xln d

/ = ne* + C

I = n(e x m ~ - x i n ) + C

PR<, Integre / = / - f -

Análise:

1 dx1= 1 £n x

—> / = fin(finx) + C

PR42 Integre I = f &n e2xdx

Preparemos a integral dada.

/ = f 2 xdx = x 2 + C

PR43 Integre / = / -„Sn sen x

tg X■ dx

Preparemos a integral, aplicando a propriedade dos logaritmos

y = e&nx => y = x

f 8n senx _ senjCj então:

sen jctgx sen x dx

I = f cos x d x = senx + C

Nota: Para fugirmos ao emprego da propriedade dos logaritmos, prepararíamos a diferencial. ,Assim:

1 = f t 2n senx d (£n sen x)

De fato:

d (Bn sen x) = —-— • cos xdx = cotg xdx = - r ~ senx 0 tgx

Então: / = eEnsen* + C ou / = senx + C.

Análise: O sen 2x = 2senx cos x nos permite substituir sen 2xdx por

d ( 1 + sen2 jc ) = 2 sen jc • cos xdx

Então: / = /(I + sen2 jc) 1 /3 c/ ( 1 + sen2 jc )

/ = 0 + sen 2x )4'3 + c 4

I = (1 + sen2 j c ) V 1 + sen2 x + C

INTEGRAIS IMEDIATAS

PR 44 Integre I — f 1 4- seri x sen 2xdx

PR4S Integre / = /r sen jc

tg4*dx

r = f - -dx

l — j cos4 jc • sen xdx

Pela regra R , da pág. 2 8 ------ > / = — / cos4 x d (cos jc)

/ = + C

PR 46 Integre / j' sen 6 jc cos 7 jc dx

Da fórmula da pág. 38, PR23 — - >

cos 1 3 jc cos(—jc) 26 2 + C

. _ cos 1 3 jc cos jc , ^

26 2 ~

PR47 Integre / = f x4 - * 3 + 3jc

jc + 3dx

Análise: m > p => divisão

- JCj c 3 + 3 jc

X 2 + 3

JC — JC

Então: I = I f x 2 - x H— — 'idx •'V x 2 + 3 J

Decompondo na soma de integrais -

=> / = f x 2dx - f x d x + 3 f — -------dx' x + 3

D (x2 +3) = 2xU

f _ X 3 X 2 1 r © Xi = -5-------+ 3 • — --------- dx

3 2 (D ■’ x 2 + 3

/ = - 4 - ^ - + 4 fin(Jc2+3) + C

PR48 Integre / = / dx

Podemos escrever / = qUe Jq tipo /■1 + tgx n r ■'

/ = En(l + tg x ) + C

PR 49 Integre / = ./■4x - 5x + 1d x

Análise: m = p = > divisão

4 x 2 - 5x + 1-4x2 + 4

5x + 5

4 + — 5x + 5 x 2 - l

Logo, / = / 4 - 5 x - 1 dx

/ = 4 fdx - 5 / * 1

/ = 4 x — 5 f —^-T•' X + 1

(x + l) (x - 1)

= fin x + C

d (x + 1)

/ = 4 x — 5 8n (x + 1) + C

I = 4 x — 5 í

PR só Integre / = f ■ ^' V 9 - 4 x 2

Análise: não é potência, pois, d (9 - 4x2) = —8 xdx. Falta, portanto, no integrando o fator x.Será arcsen se substituirmos dx por d (2x).Assim:

/ = 1 f d (2 x )2 ‘ V 32 — (2 jc)2

/ = y arcsen -y - + C

PR5! Integre / = / .* ^ - dxV 5 - x 2

Podemos decompô-la em duas integrais.

I = f r dx — 2 j ,2' V 5 - x 2 ' y / T — x ‘

| 1 | potência | 2 | arcsen

Q ] = / ( 5 - x 1Y i n x d x = - j K j l S - x 7y u ï ( - 2 ) x d x

[ 0 = - y / ( 5 - j c 2)"1/2d (5 - x 2)

[ T ] = - f ( L ^ + Cl = _ V ^ + C l

|T | = /- ^ = arcsen — + C^ J V ( V s ) 2 - ^ V ?

Como / = Q ] — 2 [2 ] > / = — V 5 — x 2 — 2 arcsen * + CV 5

PR52 Integre / = JV - 8 + 6x - x

Vejamos se o radicando pode ser escrito sob a forma de diferença de 2 quadrados

I = fV (D — (T) — 8 + 6x - x2 V 1 - 9 + 6x - x2

W . y , * ......... „ = / - *V 1 — (9 — 6x + x 2) V l 2 - (3 - x)2

Se substituir dx por

d ( 3 - x )d (3 — x) = - dx -----> I = - j -V l 2 - (3 - x)2

/ = — arcsen (3 — x) + C

PR 53 Integre / = i ^

Será arcsen se pudermos substituir dx por d (ex ) = 2 x • e* dx

1 r 2 x e x* dx2Preparemos: / = ■!•/ / ^

2 V 3 2 - (e* )

7 = "T/ " / d = "7 “ “ e11 ^T" + c 2 V 32 — («**)’ 2 3

__ , , . r 2 secx tgxdx PR 54 Integre / = J 6 r

V 4 — sec x

Podemos escrever imediatamente

1 = 2 f d & c x l ,ogo:V 22 — (sec x)

/ = 2 a r c s e n ^ + C

_ _ T i r r 2 sec2 x tg x ,PR55 Integre / = ] ,— dxV 4 — sec x

Difere do P R 54 no expoente da sec x.

Não teremos arcsen e sim integral de potência, pois,

d ( 4 — sec2 jc) = — 2 sec x • sec x • tg xd x

Então:

/ = — _/(4 — sec2 x ) - in d ( 4 — sec2 jc )

J = _ ( 4 - sec2 jc )1/2 + c

I = — 2 y / 4 — sec2 x + C

. r /• 2x*dx PR 56 Integre / = / — ,V 9 — 2 JC

Quando o expoente do denominador for diferente de 1, devemos analisar primeiramente a possibilidade l ( x ) n d ( x ) .Então:

d ( 9 - 2 jc6 ) = - 1 2 j c 5 d x

Na integral dada temos o numerador 2 x 7dx, concluímos não ser integral de potência.

d ®Analisemos a possibilidade /•s/a2 - © 2

3x /T x 2 dx

r x2dx 2 f d ( y / 2 x 3)

' y j 3 1 — ( V T jc3 ) 2 3 n / 2 ' y / i 1 — ( \ / 2 jc3 ) 2

3/ = — — arcsen — -— + C

3>/2 3

PRn Integte i = - \ — j=È= V 4 jc -

Transformemos o radicando na diferença de 2 quadrados. Assim:

/ = / *V © — (4) + 4 jc - jc2

V 4 - ( 4 - 4 x + x 2) V 2 2 - (2 - x)2-dx

_ r d (2 - x )

/ = — arcsen

V 22 - (2 - x)2

2 - x•+ C

PRs8 Integre 1 = J * 1 dx 16 + x 1

Podemos decompô-la na soma de duas integrais. Então:

T í 2x r dx1 = J 7T~. i ^ + I16 + x2

I = Sn(16 + x2) + /■

16 + x 2

42 + @ 2

/ = Cn(16 + x2) + - j arctg^- + C

PR 59 Integre / = f

:vamos

dx' 17 + 8x + x 2

Escrevamos o denominador sob a forma de soma de 2 quadrados

dx _ r dx1 + 16 + 8x + x2 • 1 -K4 + x)2

r d (4 + x) = l 2 + (4 + x)2

PR60 Integre / = /3 x + 2x — 1

x2 + 4

arctg (4 + x) + C

Análise: m = p ------- > divisão

3 x 2 + 2x — 1— 3 x 2 - 12

2x - 13

x2 + 4

Então, substituindo,

/ = í 13+ 2* ~ 13 1 dx x + 4

1 = 3 fdx + [ -2.XdX - 13 / *x 2 + 4 *' x 2 + 4

d ®I = 3x + Sn(x2 + 4) - 13 /'

•' 2a + ® 2

/ = 3x + £n(x2 + 4) - — arctgy + C

- . . r sec2x d x PR 6, Integre / = / —- — —■ 9 + tg x

Análise: O denominador é a soma de 2 quadrados. rf(tgs)

sec2 xdx __1_ Ag*/ = f - r - = -fa rctg ^ + C3 + (tgx) 3 V 3 /

.A r r exc/x In“ *“ ' =

Análise: O denominador é a soma de 2 quadrados.

e* d x 1 ex

" J (VTÜ)2 + (e*)5 “ VIÕ 7 ^ +

PR 63 Integre / = / cos X<ÍX 4 + sen2 x

Podemos escrever / — /

d (sen x)

cos x d x 4- ícan2 + (sen x)

, 1 sen xT arc g 2

PR M Integre / = f - f * ---- 1 1 + sen x

Análise: O denominador não é soma de 2 quadrados, não teremos, então, arctg.Preparemos, usando o conjugado do denominador.

= f-(1 — sen x)

(1 + senx)(l — senx), r 1 — senx , dx = I ---------- -— dx

1 — sen2 x

senx dx

i sen x see x - 1dxcos x cos x

= fsec2 xdx - I secx • tgxdx

= tg x — sec x + C

__ . . r 2 sen x d xPR 65 Integre 1 = / ------- -----—

4 + 3 cos x

Preparemos a soma de 2 quadrados no denominador.

—\ZTsen xdxS~

sen x d x1 - 2 f

d (V 3 cos x)

22 + (V 3 cosx)2 \ /3 ' 22 + ( \ f i cosx)

. 2 1 V 3 cosxTf ’ ~2 arc g 2V 3 V 3 cosx

/ = - — arctg-------- — + C

PRjs Integre / sen" u cosm udu

19 caso: Onde f f lo u n é inteiro ímpar.Suponhamos m ímpar

/ sen” u cosm udu = / sen” u cosm_l u cos udu, com m — 1 par.

Podemos escrever:m -1

/sen” u cos”1 udu = f sen" u (cos 2 u)2 cos udu

Permutando os expoentes ■ >m -i

> f sen" u cos”1 udu = / sen" u (cos2 u) 2 cos udum - 1

/sen” u cosm udu = f sen” u (1 — sen2 u) 2 cos udu

Efetuando o produto, poderemos desdobrar em 2 integrais:

/ sen" u cosm udu = j sen" u cos udu — / (soma de termos envolvendo

sen u) cos u du

Como d (sen u) = cos udu recairemos ao tipo / vkdv.

PR 6-, Integre / = / sens x cos4 xdx (Aplicação do PR66)

Sigamos a dedução: 0 expoente ímpar é o expoente do seno, então:

/ sens x cos4 x d x = / sen4 x • sen x cos4 x d x

Isens jc cos4 x d x —

I sens x cos4 xdx

• sen5 x cos4 x d x =

Isen5 x cos4 x d x =

I (sen2 j c ) 2 cos4 x • sen jc dx

I ( 1 — c o s 2 jc) 2 c o s 4 x s e n jc dx

1(1 — 2 c o s 2 jc + cos4 j c ) c o s 4 jc senjcdx

Icos4 x sen x d x — 2 /cos6 jc senjc dx +

+ /cos8 x senjcdc

— sen x dx

I sen5 x cos4 x d x = — / cos4 jc d (cos j : ) + 2 / cos6 j cd (cos jc )

— / cos8 x d ( c o s j c )

/sen5 x cos4 x d x = — cos5 jc , 2 cos7 jc cos9 JC+ C

PR 68 Integre I = / SCn Z dz

Façamos

, ,-sen2 z' , dz = / ---- — sen z az

/ = / cos 2 2 (J - cos2z) s e a jd z

Efetuando o produto, vem:

/ = I cos-2 z sen z dz — /senzdz

- sen z dz

I = — I cos-2 z d (cos z) + cos z

, COS 1 zI = -------- 1— + cos z + C

I = —------H cos z + C ou / = see z + cos z + Ccos z

PR69 Integre I = /sen” u cos"1 udu com n e m inteiros pares.

Lembremos que sen u cos u = sen 2u,

, 1 — cos 2u sen u = -------------

2 1 + cos 2 u cos u = ------

Faremos 7 = / (sen2 «)"/2 (cos2 «)m/2 du

Substituindo sen2 u e cos2 « >

1 — cos 2 u \ nn ( \ + cos 2« m/2, r 1 - COS \ / 1 -I- COS ZU V , / = . / ( ------- 2 ) [ -------— > dU

Desenvolvendo as potências e os produtos teremos / cos 2 udu

PR 70 Integre / = /cQS6 x d x

Sigamos as considerações feitas no problema anterior.

I = f cos6 x d x = I (cos2 x)3dx

. c ( \ + cos 2 x \ 3 ,I = f { ----- 2------) *

I = + "l" cos 2* +-^- cos2 2x + -5- cos3 2 x ) dx

I = [dx + - | - y fcos2xd (2x) + - /cos2 2xdx +-^- /cos3 2xdx

I = 4 + ^ sen 2* +•§• dx + Y /cos2 2x • cos 2xdx8 i6 8 J 2

/ = Y + ^ sen2 * + - ^ / í i c + -^/cos4ji:dx +

+ j / (1 — sen2 2x) cos 2xdx

/ = + sen 2x + / cos 4 x d (4 x) +-^- /cos2xdx

— „■ / sen2 2x • cos 2 xdxO •

/ = + T^sen 2x + -^r sen4x + 4 - • 4 / cos 2x d (2.x) — -3- • lo 16 64 o Z ■ o

2 cos 2* dx

• — / sen2 2 * d (sen 2x)

. _ 5jc 3sen2x 3 sen 4* sen 2x sen3 2x Tó 16 64 16 _ 48

. _ 5x , sen 2x 3 sen 4x sen3 2x 16 4 64 ~ 48

PR7j Integre 1 = j sen2 2x cos4 2x dx

Solução:

Podemos escrever

I = /sen2 2x(cos2 2x )2 dx

r r( 1 — cos 4*^ (1 + cos4x \ 2 , / = ■/ -------7------- -------õ------ ^

, r( 1 c o s 4 x \ / 1 , cos4x . cos2 4 x \ ,l = í ( t — r ( 4 + — + - 4 — ] ^

1 . cos 4 * , cos2 4 x cos4 jc cos2 4 x/= ç l + ç o m +8 4 8 8 4v________ _________y

cos 4x • cos2 4x , , dx8

/ = -- [dx + —Jicos 4xdx - ^ /cos2 Axdx — /cos4x • cos24xdx

I = +-|- - j /c o s4 x d (4x) - j f 1 + ^°S 8X dx -

- y /cos 4x (1 — sen2 4x)dx

r x , sen4* 1 r , 1 1 „ t /„ ^1 = ~8 + 32 _ 16 ldx ~ 16 ’T -/C0S*x d i *x) ~

4 cos 4xdx

— -g- • / cos 4jc d (4x) + f sen2 4x d (sen 4jc)

. _ x , sen 4x x sen 8x sen 4x . sen3 4 x _8 32 16 “ 128 32 96~

r _ x sen 8x . sen3 4x16 128 96 C

Integre:

r x 2dx PPi f

' V 16 — 4x3

Resp.: — 16 — 4jc3 + CO

Resp.: - v Ç + C

PP 3 f ( - J ~ X 2V X -----7=^)dx

1 3 , 3 / - 2 / -5esp .:----- — - - n r r v J í - t ^ v i + C

2x 10 3

PP4 / ( 3 x + l ) 2dx

19Resp.: 4-(3x + l ) 3 + C

PP; f (2 x 2 + 5)s x d x

Resp.: - ^ O - x 2 + 5)6 + C

PP 6 Ixd x

INTEGRAIS IMEDIATAS

- x 2 - 1

Resp.: fin c V jc2 — 1

. sec^xdx J t g x

Resp. ; ín C ■ tg jc

PP8 /cos4 jc senjcdx

„ c o s 5 jc . _ Resp.;--------------h C

PP9 j tg4 3 jc ■ sec2 3 xdx

Resp, ^ + C

PPio Jcotg3 xd x

Resp.: — - °-f - x - — fin sen x + C

„„ . /1 + cos jc ,PP,1 / ------------dx

J v 1 — COS JC

„ n c • senjc „ C „Resp.: fin----------- ;---------- ou fin -—--------- ou fin C(1cosec x + cotg x 1 + cos x

PPi2 J senSjc • senx<2x

n sen 6x , sen 4x , _Resp.: — — g C

PP i3 J'tg3 4xdx

Resp.: j tg2 4jc + j fin (cos 4*)' + C

PPjd J tg4 3 xd x

Resp, - £ | * + * + C

PP is J tê 3 2xdx

Resp, + fin V cos 2x + C

D sen 12x , sen 8x , _ R , , p : -------24 16

PPJ6 /sen 10x • sen 2xdx

PPi7 / ( V ã - y / x ) 2 dx

4 x y/ãx x 2 Resp.: a x -------- ---- + — + C

Resp.: - y + x 2 V x2 + 3 V x + C

PP» f ( - J + + 2 dxx ‘ x V x

Resp.: — --------^ + 2 x + Cx V^

Resp.: 6 Vx - - + C

PP21 / ^ dx

Resp.: Y Cn2 x + C

pp22 J V x ( V ã - V x ) 2dx

2 a x V x , r 2 x 2 V x Resp.:---- z-------- x v a + ------ z—

PP f x * ^PP23 - L / X

i?esp.: - jV a 4 + x4 + C

PP24 f — iX —J (a + bx)3

R esp .:------------í--------- + C2 b (a + bx)2

PP f x d x25 (a + bx2) 3

R esp .:------------- -— — + C4 b(a + bx2)

PP /• ~ x 7dx26 (a + b x 3) 2

Resp.: ---- -— 1-----— + C3 b (a + b x 3)

PP27 Jx(a + bx3)2dx

Resp.: - + C

PP28 / * ■ (5 + 3 x 2f d x

(5 + 3jc2)9 , „Resp.: ------~4 + C

PP29 f x 2 l / 7 - 4 x 3dx

Resp.: - ^ -(7 - 4x3)6/s + C

PP3o / V 1 + 2 sen x cos xdx

5esp .:-^ (l + 2 sen x ) 3'2 4- C

PP31 / x " ' 1 \ / a + b x n dx

Resp.: (a + b xn) 312 + C

PP32 f~~ X + 3) Wr

INTEGRAIS IMEDIATAS

5esp.; 2 \ / x 2 + 3 jc + C

P P 3 5

P P 4 0

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

/■ + 1 ,/ — / dx■ V *3 + 3x

Resp.: ~"\/jc3 + 3* + C

J x V l + x d x

Resp.: y ( l + x )2 v '1 + x —-^-(1 + x) \^1 + * + C

f — — * *a + èe*Resp.: -^-ín (o + Z»ex) 4- C

r sen x ,------------ dxJ 1 — cosx

Resp.: £n(l — cosx) + C

r see2 x ,/ , , — :— dx J a + b • tgx

Resp.: ~ h \ ( a + b • tgx) + C

r2x + 3 ,/ t t t ^Resp.: 2x - £n (x + 2) + C

5esp.: — - x + 3ín(jc + l) + C

>' JC + 4 ^ 2 7 + 3 ^

Resp.: -y 4- £n (2* + 3) + C

f - T j = = = d xV 6 - 5jc

flesp.: - \ / ( 6 - 5x2)2 + C

f f «

Resp.: — £n2 x 4- C

PP43 f e seax cosxdx

Resp.: e%enx + C

PP44 f-e2xdx

■' e2X+ l

Resp.: 611 V e 2* + 1 + C

PP45 f ( e x/a - e -x,af d x

Resp.: ~ ( e 2JC/a - e~2x'a) - 2 x + C

PP“ =- ~ [ í i ? ^ 1 + « J m * J , t i x ,

Resp-: x - ^ Bn +a^ + c Z I \\< £

P P 4 7 f ~ - d x

Resp.: — X + C

„„ rKn(jc + 1)pp» / T h 4

tep.: i í Í ( | ± J l + c

- Á x .

k\ ( £

o l L ci/x _ | _ 3 la * * J H ax

^ 1 , J x rz-

Í m,0

P P 49 /JCíft

p p 50 / T

Æesp.: J2n Vjc2 + 1 + C

3dx+ 2x

Resp.:— i.n ( l + 2x) + C

Resp.: Sn Vjc2 — 4x + 2 + C

pp52 f í L z J Ú l d x

X2Resp.: Cnx — 2x + - y + C

„2PP53 fxe~ X <£t

Resp-: - — ^ T + C 2 ex

PP54 f \ 0 ~ 2xdx

IO-2XAesp- - W m + C

PP55 f x 2 - e lx3dx

Resp.: ± e 2x3 + CO

PP56 /cos3 xdx

D sen3 jc fiesp.: sen x -------------1- C

P P 5 7 ftg* xdx

Resp.: — tgjc + x + C

PP58 /sen5 xdx

n 1 2 3 C0SSX , _Kesp.; — cos jc + - y cos j c ---------------1- C

•'V sen2 x — 1

Jíesp.: Sn (sec x ) + C

PP60 /tgJc • cos x d x

Resp.: — cosx + C

INTEGRAIS IMEDIATAS

n_ r senx • sen2xJ /— 4---- ■;— 2—d*V sen x — 4 sen x

Resp.: 2 Vsen2 x — 4 + C

pp« / - x *V l 6 - 4jt4

1Resp.: — arcsen— + C

a/ÜPP63 f / ^ ^ d x

Resp.: 5 arcsen^- — y/25 — ;

r x 2dx “ 64 J

v T jr1Resp. : — are sen — + C

pp65 / - xZdx\ /9 - x 4

Resp.: - y V 9 - x4 + C

PP66 /x V 1 — £n2 x

Resp.: arcsen(ínx) + C

r x e x 2 d x

pp» rT T 7 ^1 v-2Resp.: — aictg e + C

pp* fjzíh*2V T Í (2x - 3) V IT

Resp.: n ~ arctg -------- —-------- + C

17 + 3 jc2

4 \^ 5 Í xV 51 „Resp.: — — arctg — —— + C

P P 72 f sen5 4 x cos3 4 x d x

sen6 4x sen8 4 x , „ResP': _ _ --------------- + c

PP73 /sen1 5x cos2 5xdx

„ cos3 5x 3 cos5 5x . 3 cos7 5x cos9 5x , R a p . : — ------------25-----+ — 35-------------- 45

PP74 f sen4 2x cos5 2 xd x

sen5 2x 2 sen7 2x sen9 2x Resp, — ------------- - _ + _ _ + C

P P 7 5 f cos8 3x sen3 3 xdx

ws, / —'í*J sen x

Resp.: —y co sec3* + cosecx + C

/• 1 x 1 X ,PP 18 I sen -J cos'1 - j d x

x s e n 2 x ReSp.: T - — j r + C

PP79 I sen4 ax dx

„ 3x sen2ax , sen4ax , _ ^ ; T — 4 5 - + - 3 2 5 " + c

P P so / ( 2

sen x )2 dx

9x-T— 4 cos x sen 2x

( ( J f r ò í2* ) - C£n œ r > [ i y ) ( i î K - íc tf) fc j* ,\

J \ n J *x: (ß> (Z*) oU - j (£o(l r & A ~ [ l* ) cIk z

z M m U ^ ) - / iC w V ^ OoL.

*> 4 ,

: A ü Í 2 f ) G , + c e , 2 ^ ] -V C ,

; _ L fllM.(z*l + A . [Xm CmJ . L fr C z ^ i \ C

- i ^L^ S - v ^ t a

fw»^ = ^ V e '■

U^' /ím Í 2- ^

<**■'• f e a

- /JtM

Z C t o ^

7INTEGRAÇÃO POR PARTES

Erga-se do chão frio da inércia para o calor do movimento reconstrutivo.

7.1 - GENERALIDADES

Aplicamos a técnica de integração por partes, geralmente, às integrais em cujos integrandos figuram produtos, funções trigonométricas, funções exponenciais ou funções logarítmicas.

Assim, f x ex dx; f x 2 sen x dx; /(arctg x)dx , f [£n(x2 + l)]dx são integrais às quais aplicamos a integração por partes.

Estas considerações deverão ser aplicadas na análise da integral.

7.2 - FORMULA

Como aplicamos a integração por partes quando no integrando da integral temos um produto, partamos da função produto, y = u • v.

Diferenciando:

dy = v d u + udv

Integrando membro a membro, resulta:

fdy = Jvdu + fu d v

y = fvdu + J udv

Mas, y = uv , logo:

«v = Jvdu + Judv

fu d v = uv - Jvdu

(Fórmula para a Integração por Partes)

(F.I.P.)

Exemplos:

Ej Integre I = Jx • ex dx.Análise: Verificamos que no integrando figuram função produto e função exponencial. Tentemos, portanto, a integração por partes.

1 . F.I.P. Judv = uv — Jvdu

2. Escolha de u e de dv.Escolhemos o dv em primeiro lugar, pois deve ser uma diferencial de integração imediata.No exercício, xdx e e*dx satisfazem a cor.dição para a escolha do dv, porém uma delas deverá ser uma má escolha.Façamos: dv = xdx > u = ex .Da escolha: u = ex — > du = ex dx

dv = xdx > v = fxdx = x 2.

Nota: Consideraremos a constante de integração no final do exercício.

3. Substituição da fórmula

judv = uv — Jvdu

j e x • xdx = ex • x2 — J x 2 • ex dx

Notamos que a integral resultante é mais complicada que a proposta. Concluímos que fizemos uma má escolha.

Tentemos a outra escolha:

1. Fórmula: \udv = uv - Jvdu

2. Escolha: u = x = s > du = dxdv = ex dx -- > jd v = Jex dx > v = ex

3. Substituição na fórmula:

Jx • exdx = x ex - fex dx

~J'x • ex dx = x ex - ex + C

J x ■ e x dx = ex (x - 1) + C

7.3-PR O B LEM A S RESOLVIDOS

PR] Integre/ = Jx sen xdx.Análise: Temos no integrando um produto e a presença de função trigonométrica. Tentemos a integração por partes.

1. F.I.P.: fudv = uv - fvdu

2. Escolha: u = x du = dxdv = sen x dx > v = J sen x dx = — cos x

X 2Nota: Não escolhemos dv = x d x ■ - -> v =— , o que tornaria a integral

final mais complicada, portanto, seria uma má escolha.

fx sen x dx = - x cos x 4- / cos x dx

jx sen x d x = - x cos x + senx + C

PR2 Integre / = f x 3 • ex dx.Análise: Temos no integrando um produto. Na escolha de dv, é recomendável tomarmos dv = ex dx, quenão é diferencial de integração imediata. Só o seria se tivéssemos dv = e i - s d (x^) .Preparemos a integral:

I = j x 2 • x • ex* dx

1. F.I.P.: (udv = uv — fvdu

2. Escolha: u = x 2 - - > du = 2 x d xI x d x

dv = x e x~dx —- > v = - j (e*2dx2

3. Substituição na fórmula;

f x 2 • x • ex*dx = x 2 ex2 - y /e** • 2 x d x

f x 3 • ex2dx = ^ ~ j----- y j e * 2d (x2)

x 3ex2dx = ^ - ( x 2 - 1) + C

PR 3 Integre I — f x (sen x - cos x 2) d x .Desdobremos na soma de 2 integrais:

J — fx sen x dx — fxxx)sx2dx

/ = (D - (2)

As integrais (T) e (2) apresentam produtos no integrando, mas nos compor

taremos diferentemente. Estes comportamentos distintos são as dificuldades do cálculo integral.

INTEGRAÇAO POR PARTES 231

Façamos:

( D - / * sen x dx é o PR,, à pág.

(D = - x cosx + sen x + C,

(2) = f x cosx1dx

Não integraremos por partes, porque o x é absorvido na diferencial: d(x2) = 2 xd x .Então:

2 x d x

(D = 7 / cos © d ©

(2) = "j sen x2 + C2

Como / = (D — ( 2 ) ------- >

> / = - x cosx + senx +C , — senx2 - C2

. . senx2 . „/ = - x cos x + sen x - — ------h C

PR4 Integre / = /fin x 3dxNotamos no integrando a presença da função logarítmica. Apliquemos a integração por partes, preparando, porém, a função

/ = 3/finxcfc

1. F.I.P.: fudv = uv — fv d u

2. Escolha: Neste caso a escolha é única

u = En x > du = — x

dv — dx —> v = [dx = x

3. Substituição na fórmula

f i n x d x = x finx -•' J -x~

/fin x d x = x fin x - x + C,

Portanto,

/ = 3xfinx - 3 x + C

PR5 Integre / = j£ n (x 2 + 1 )dx .Temos o mesmo caso anterior.

1. F.IP.: fudv = uv - jvdu

2. Escolha: u = £n (x2 + 1) —> du = — — • 2 x • dxx + 1

dv = dx > v = fdx = x

3. Substituição na fórmula

/ = x £n (x2 + 1) — f x • —r -1-— ' 2 x d x x 2 + 1

I = x í a ( x 2 + l ) - 2 f ^ — dx ' x + 1

Efetuemos a divisão (m = p).

INTEGRAÇÃO POR PARTES 233

X 2 x 2 + 1- X 2 - 1 1

1- 1 X 2 + 1

Então:

/ = x £n(x2 + 1) - 2 f ( l -

I = x £n (x2 + 1) - 2 fdx + 2 f — -— dx J ■' x 2 + 1

v V --------------

arc tg

/ = x £n (x2 + 1) — 2 x + 2 arc tgx + C

PR6 Integre / = /S n (£nx)

1. F.I.P.: fudv = uv - fvdu

2. Escolha: u = £n (£n x) > du = ' — dxt t ! X X

dx f d xdv = — — > v = / — = fin xX ' X

f t n (£n x ) ~ = (£n x) • £n (£n x) - f ü t x . • • j dx

fUn (£n x) — = (£n x) • £n (£n x) — £n x + C

I = f in (£n x) — = (£nx) [£n (£nx) - 1 ] + C

PRi Integre / = J arc sen x dxTemos no integrando função trigonométrica. Apliquemos a integração por partes.

1. F.I.P.: Judv = uv - Jvdu2. Escolha (no caso, única):

u = arc sen x — > du = , 1 dx' y f T ^ r

dv = d x -------> v = x

/arcsenxdx = xarcsenx - l x ‘1 - = dx J J s / l - x 2

— I x d x1 f ^ A

J arc sen x dx = x arc sen x — —y J( 1 - x 2) ' 1/2d ( l — x 2)

l ( l - x 2)1/2/ = / arc sen x dx = x arc sen x + —----------------1- C

T/ = x arc sen x 4- V 1 — x 2 + C

PRS Integre / = J arctg 3x d x

1. F.I.P.: ju d v = uv — Jvdu

2. Escolha: u = arctg 3x > du = ------------ — - • 3 dx6 1 + 9x

dv = dx > v = x

jarctg 3 x d x = x arctg 3 x - j x • ^ 2 • 3 dx

X dxJarctg 3xdx = xa rctg 3 x — 3 2

A derivada de 1 4- 9 x 2 é 18 x.

1 18.x("are tg 3 x dx = x arc tg 3x — 3 • -75- / ---------- dxJ 6 18 ■' 1 + 9 x2

/ = x arctg 3x — -g-£n (1 + 9 x 2) + C

PR9 Integre 1 = J x n ín xd x , com n ¥= — 1.

1. F.I.P.: fudv = uv - \vdu

2. Escolha: u = £nx du = — dxxrn + i

d v = x ndx v = / x n dx = , , ■■' n + 1

yíi+i , y« + i 1l (Z nx )xn dx = — — £nx - / —— r ’ — dx v n + 1 •' n + 1 x

v-rt + 1 1lxn in x d x = —r-rCn — -——- / x n dx J n + 1 n + 1 J

yH+1 1 v”+1í x ” í n x d x = — — r 2n x -------- 7-7- • — — - + CJ n + 1 n + 1 n + 1

xn+1 ! 1 \/ = - t t « n * - — írr + Cn + 1 \ n + 1/

PR10 Integre / = lx2 cosxdx.

1. F.I.P.: Judv = uv - Jvdu

2. Escolha: u = x 2 ■■■■> du = 2xdxdv = cosx dx > v = /cos x dx = sen x

/x2cosxdx = x2senx — Jsenx • 2 xdx

I x2 cos x dx = x2 sen x - 2 fx sen xdx

A integral final também pode ser resolvida pela integração por partes como Fizemos noTR^ pág. , fx sen x d x = —x cosx + senx + C,.

Então, / = x2 sen x + 2 x cos x — 2 sen x + C.

PRU Integre 1 = fsec3xdx.Façamos I = f secx • sec2xdx.Tentemos a integração por partes:

1. F.I.P.: f u d v - u v - J v d u

INTEGRAÇÃO POR PARTES 235

Preparemos a integral final

2. Escolha: u = secx > du = sec x tg x dxdv = sec2x d x --=> v = /sec2xdx = tg x

fsec x • sec2 x dx = sec x • tg x — /tg x • sec x • tg x dx

fsec3x d x = secx tgx — /secx • tg2 x dx

fsec3x d x = secx tgx — / secx(sec2x — l)dx

fsec3x d x = secx tgx — /sec3xdx + /se c x dx

ín(secx + tgx) + Ci Transpondo — fsec3x d x do 29 para o 19 membro.

2 / sec3x dx = secx tgx + £n(secx + tgx) + C,

/ = fsec3x d x secx tgx + y 2 n (se c x + tgx) + C

Integre:

PPi fx • e 'x dx

Resp.: - e ~ x (x + 1) + C

PP2 /xcosxdx

Resp.: x sen x + cos x + C

PP3 fx 3senx2dx •

„ x2cosx2 , senx2 , _Resp.: - -----------+ — — + C

PP4 fUnxdx

Resp.: x ü n x - x + C

PP5 /arcsen2xdx

Resp.: x are sen 2 x + -~n/ 1 — 4x2 + C

PP6 jarctgxdx

• tr> v _Resp. :x are tg x - -íp £ n (l + x2) + C

INTEGRAÇÃO POR PARTES

PP7 fx (cos x — sen x2) dx

Resp.: x sen x + cos x + — cos x 2 + C

PP8 fx fin x dx

Resp .:^- ^Cnx — j ^ + C

PP9 fx3 fin x d x

ResP - ^ r ( fin* + c

PP10 f ( in x — sen 3 x • sen 2 x )d x

„ , , senx , se n 5 í . .Resp.:x (S.nx - 1) - —y + ■ ■ + C

ppn f(x2 e*3 - x 3 Hn x)dx

Resp:£T - T (9nx +Í) + c

PPn jcosec3 x dx

8INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONARIAS

Erga a esperança de quantos se acham tombados ofertando e recolhendo a seiva da vida -o Amor.

8.1 - DECOMPOSIÇÃO DE FRAÇÕES

Na integração de funções racionais depararemos com integrais cujos resultados serão alcançados mediante a decomposição da fração integrando numa soma de outras frações.

Estudemos, pois, a decomposição de frações em frações parcelas.A decomposição a que nos referimos só é possível se o denominador da

fração for fatorável.Para efeito didático, façamos o estudo em 4 casos principais:

I — “Os fatores do denominador são todos distintos e do 19 grau.”

Exemplos:

El Seja a fração —--------------x — 4 x - 5

Devemos analisar, primeiramente, a possibilidade da divisão.( m — Q

No nosso exemplo -í > m < p , não admite divisão.[ P = 2

Então, fatoramos o denominador

f Xi = - 1x* _ 4 X _ 5 = o = > J = >1 * 2 = 5

= > x 2 — 4 x + 3 = (x t l)(x - 5)

Notamos que o denominador se compõe de 2 fatores diferentes, ambos do primeiro grau, o que nos leva à decomposição da fração dada na soma de duas outras, cujos denominadores serão os fatores componentes e os numeradores de grau uma unidade inferior ao grau do denominador correspondente, (no nosso caso os numeradores serão constantes, grau zero, porque os denominadores são de grau 1).

6 6 A BxJ _ 4 X _ 5 (x + l)(x - 5) x + 1 x - 5

V____________________________ _ _____________________________ /V

Eliminemos os denominadores, o mmc é (x + l)(x — 5), logo:

6 = A (x - 5) + B (x + 1)

6 = A x - 5 A + B x + B

(> = (A + B)x — 5 A + B Da identidade dos dois

A + B — 0 1? - 2amembros - > = = = > 6A = —6 -> A -----1

— 5/4 + B = 6

Substituindo em A + B = 0 > — 1 + 5 = 0 -------> B = 1.

Então, a fração —-------------- = - —— + *xj - 4 x - 5 * + 1 x — 5

JÇ 3 ^ JÇ ^ ^Decomponha a fração F = -----------------em frações parcelas

x + 3x

x 3 — 4x + 6 x 2 + 3x- x 3 - 3 x 2

x — 3— 3x2 - 4x + 6+ 3x2 + 9x

5x + 6

x 2 + 3x xJ + 3x

Façamos a decomposição de F i :

_ _ 5x + 6 5 x + 6 A B 1 x2 + 3 x ~ x (x + 3 ) “ x x + 3

V_______________ _ ___________________ /

mmc = x (x + 3)

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES-RACIONAIS FRACIONÁRIAS 241

5 x + 6 = A (x + 3) + Bx

5 x + 6 = A x + 3 A + Bx

5x + 6 = (j4 + B )x + 3A :>

A + B = 5 = > 2 + 5 = 5 :-------> 5 = 3

3 A = 6 = > A = 2

_ 5x + 6 ^ 2 31 x2 + 3x * * + 3

Logo, F = x — 3 + — +x x + 3

II — “Os fatores do denominador são todos do 19 grau, mas com repetição.”

Exemplos:

E, Decomponha a fração

F = **x—_ i — _ em frações parcelas, x + 2x + x y

f m = 2< ----- > m não admite divisão.\ p = 4

Fatores o denominador:

x4 + 2 x 3 + x2 = x 2(x2 + 2x + 1) = x2(x + l)2

O primeiro fator é x, do 19 grau e repetido duas vezes e o 29 fator (x + 1), também do 19 grau e repetido duas vezes.

Nota: O fator é x , o expoente 2 é o grau de repetição do fatõr. 0 mesmo ocorre com (x + L)2: x + 1 é Jator do 19 grau, o expoente 2 é o grau de repetição do fator x + 1.

Então, F =x 4 + 2 x 3 + x2 x2(x + l)2 x2 x (x + l)2 x + 1

mmc = x 2 (x + 1 )2

Eliminando os denominadores >

6x2 - l = jB + D )x3 + Ç A + 2 B + C + D )x 2 + (2 A + B )x +A = = >

0 6 o - T

B + D = 0 => 2 + D = 0 D = - 2

A + 2 B + C + D = 6

- 1 + 4 + C — 2 = 6 C = 5

2 / 1 4 - 5 = 0 => - 2 + fi = 0

F = 6 x 2 - 1 x4 + 2 x 3 + x2

A = - 1

U * - +

^ = - i

E2 Decomponha a fração F = 3 4

x2 * (x + l)2 x + 1

2x3 + 6 x 2 - x - 22

2x3 + 6 x 2 — x — 22 — 2 x 3 — 4 x 2 + 8x + 16

x + 2 x 2 - 4 x - 8

> m = p -> admite divisão

x + 2 x 2 — 4x — 8

2x2 + 7x — 6

2x3 + 6x2 - x - 22 X3 4- 2x2 — 4x — 8

= 2 +• 2x + 7x - 6 x 3 + 2 x 2 — 4x —

Fatoremos o denominador de F , f ’í

x 3 + 2x2 — 4 x — 8 = x2(x + 2) — 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 4)

(x + 2)(x - 2)

x 3 + 2x2 - 4x - 8 = (x + 2)2(x - 2)

Os dois fatores são do primeiro grau, porém o fator x + 2 está repetido------->

=>Fj = •2x + 7x - 6

x 3 + 2x2 - 4x - 8 (x + 2)2 x + 2 x - 2

mmc = (x + 2 )2(x — 2)

2x2 + 7x - 6 = A (x - 2) + B (x + 2)(x - 2} + C(x + 2)2

x2 - 4 x2 + 4 x + 4

2x2 + 7 x - 6 = A x - 2A + 5x2 - 4 5 + Cx2 + 4 Cx + 4 C

2x2 + 7x - 6 = (5 + Q x 2 + (A + 4 C),x - 2 / 1 - 4 5 + 4 C

25 + C = 2

,4 + 4 C = 7

, - 2 X — 4 5 + 4 C = —6

0 sistema

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 243

2 9 X 2 + 3?^ _ 4B + 12C = g = -4=>

: 4 c> - 5 + 3 C = 2

ficareduzido a

I 5 + C = 2

1 - 5 + 3C = 2=> 4C = 4 C = 1

De 5 + C = 2 =í> 5 + 1 = 2

De A + 4 C = 7 => X + 4 = 7

3 1 1Então, Fj = -------- — H----- r~x + ■

e F = 2 +

(x + 2 f x + 2 x - 2

3 ■■+----- T-TT + - 1(x + 2)2 x + 2 x - 2

III — “Nem todos os fatores do denominador são do 19 grau, porém sem repetição”.

Exemplos:

3x - 5E i Decomponha a fração F = —------- ---------x _ 2 x 5 x

em frações parcelas.

m < p não admite divisão.Fatoremos o denominador:

x 3 — 2 x 2 + 5x = x ( x 2 - 2x + 5)

x 2 - 2x + 5 = 0 => A = 4 — 20 < 0, infatorável,-como vemos os fatores do denominador são x, do 19 gcau, e x 2 — 2x + 5 do 29 grau. O numerador correspondente ao denominador x será a constante A (grau zero),

...mas o.numerador coirespondente n x2 — 2 x + 5 serã 5x + C (grau um).

Então, F = 3x — 5 3x - 5x — 2x + 5x x(x — 2x + 5) *

= A + Bx + C2x + 5

mmc = x (x 2 — 2x + 5) 3x — 5 = A ( x 2 — 2x + 5) + (5x + Q x

3x — 5 = i4x2 — 2 A x + 5 A + 5x2 + Cx

3x - 5 = (A + B ) x 2 + ( - 2 A + Q x + 5A

A + B = 0

- 2 A + C = 3

[ 5A = - 5 -

A = - 1

D e - 2 A + C = 3 C = 1

x 3 - 2 x + 5 x x x - 2x + 5

E j Decomponha a fração F = x 4 + x + 2X 3 + X

em frações parcelas.

P = 3=> m > p => admite divisão.

x 4 + x + 2 X 3 + X

- x 4 - X 2

- X 2 + X + 2 X

_ X 2 - X - 2r — X ■ -

X 3 + X

Façamos a decomposição de Fj

F i = - ■ x - 2 x2 - x - 2 .4 , fix + Cx 3 + x vx ( x 2 + l ) * x2 + l

Vmmc = (x2 + 1)

x2 - x - 2 = A (x2 + 1) + (flx + Q x

x 2 — x — 2 = i4x2 + y4 + 5 x 2 + Cx

x2 — x — 2 = 04 + B ) x 2 + C x + A

1 - l —2

( A + B = 1 = > - 2 + 5 = 1 = > B = 3

De | C = - 1

[ a = - 2

Então:

„ x 2 - x - 2 2 , 3 x - 1F\ = -----:-------- = — + — --------

x 3 + x x x 2 + 1

F = x - t - - + 3 x 1x x 2 + 1

, 2 (3x - l)F = x + --------------- '* x 2 + 1

IV — “Nem todos os fatores do denominador são do 19 grau, porém com a repetição de alguns.”

Exemplos:

_ „ , , _ „ 6 x 2 + 16x — 8E! Decomponha a fraçao F = ------ --------- -—x — 8 x

m = 2— -> m não admite divisão.

Fatoremos o denominador:

x s - 8 x 2 = x 2(x3 - 8) = x 2{x - 2)(x2 + 2 x + 4) =

diferença A < 0de 2 cubos

o fator x do 19 grau, repetido 2 vezes, os fatores x — 2, do 19 grau, e x 2 + 2 x + 4, do 29 grau, sem repetição.

P _ 6 x 2 + 16x — 8 6 x 2 + 16x — 8 6 x 2 + 16x — 8x2(x3 - 8) x2(x - 2)(x2 + 2 x + 4)

Dx + Ex 2 ' x ' X - 2 ' x *+ 2x + 4

= A + A + c + D x + E

aimc = x 2(x — 2)(x2 + 2 x + 4)

Nota: O denominador x2 e o fator x, do 19 grau, repetido 2 vezes, se x2 é do 19 grau, seu numerador deve ser do grau zero, portanto, uma constante.

6 x 2 + 16x - 8 = A ( x - 2)(x2 + 2 x + 4) +

+ B x {x - 2)(x* + 2 x + 4 \ + Cx2(x2 + 2 x + 4) +

x 3 - 8

+ (Dx + E ) x 2{x - 2)

x 3 - 2 x 2

6x2 + l 6 x - 8 = A x 3 - 8 A + Bx4 - 8Bx + CxA + 2C x3 + 4Cx2 +

+ Dx4 - 2 D x3 + E x3 - 2 Ex2

6x2 + 16x - 8 = (£ + C + D )x 4 + (4 + 2C - 2D + E)x 3 +

o o-+ ( 4 C — 2 E )x 2 - 8Bx - 8 A

B + C + D = 0

i4 + 2 C —2D + £ ’ = 0:

4 C — 2 E s= 6

C + D = 2

=> 2 C — 2D + 2í = — 1

4C - 2 E = 6

- 8 5 = 16

—8 4 = - 8

' C + D = 2

D H 2 C — 2£> + F = — 1

4C — 2 E = 6

1? - 2?

£ = - 2

1? X 2 + 2? J 4 C + F - 3 ia _ 2?> \ 4 C - 2 f = 6 "

E = - 13 £ = - 3 = >

D e4 C — 2£’ = 6 = > 4C + 2 = 6 -------> 4C = 4 = > C = 1

De fl + C + £> = 0 - 2 + 1 + D = 0;

1 2Então: F = — —— I--------— +

x 2 x x - 2 x i + 2 x + 4

Decomponha a fração F = + x 3 - 2x + 7

m = 4 p = 4 ‘

(x + l ) (x3+ 1).

í> m = p —-> admite divisão

X4 + X3 ~ 2 x + 1x* + x 3 + x + 1

x4 + x 3 — 2x + 7 x4 + x 3 + x + 1- X 4 - x 3 - X - 1

— 3x + 6 1

e - r : ? 3 , 6 -X* + X J + X + 1V_____________ ________________J

Façamos a decomposição de F x fatorando seu denominador:

3x — 6 3x — 6Fi —X 4 + X 3 + X + 1 (x + l)(x + 1)

3 x — 6 3 x — 6

(x + l)(x + l)(x 2 - x + 1) (x + l f ( x 2 - X + 1)

3x - 6 A + ■ - + ■ Cx + D(x + l)2(x2 - X + 1) (x + l)2 x + l x 2 - X + 1

mmc = (x + 1 )2(x2 - x + 1)

3x — 6 = A ( x 2 — x + 1) + B (x + l)(x2 — x + 1) +

x 3 + 1

+ (Cx + D)(x + l ) 2

x2 + 2x + 1

3x - 6 = A x 2 - A x +A + B x3 +B + Cx3 + 2 C x2 + C x+D x2 + 2Dx +D

3x - 6 = (B + Q x 3 + (A + 2 C + D )x2 + ( - A + C + 2 D )x +

2? + 3& ( B + C = 0

3a _4a a 3 C + 3 D = 3

{ - B + 2 C = 6

l í + 3?

3 C + 3D = 3

De 3 C + 3D = 3 = = > 6 + 3D = 3 ------>

De 5 + C = 0 -------> 5 + 2 = 0 ~ ^ = > lg = - 2

Z> = - 1

D e A + B + D = - 6 => A - 2 - 1 = - 6 A = - 3

Logo, = —3 x — 6 2 2 x - l

x* + x 3 + x + 1 (x + l)2 X + 1 x 2 - x + \

F = l -2 2x - 1

F = 1 + 3 . + 2

(x + l ) 2 * + 1 x 2 - x + 1

2x - 1( x + 1 )5 * + 1 X 1 - X + 1

8.2 - INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

A integração das funções racionais fracionárias poderá recair em integrais do tipo

f— dx = ín u + C ■' u

r d* 1 * x A. n— - = — arctg— + C■' a2 + x 2 “ a

dx = a integral de soma de frações

Seja a integral / = f ^ -a2 - x 2

Análise:

f m = 019) < ■> m não admite divisão

\ p = 2I

29) D(a2 — x 2) = —2 x d x não é do

39) . — „ não é a diferencial de—arctg— a —x a 16 a

49) a2 —x 2 é fatorável.

Façamos a decomposição da fração -y——r

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

1 1a2 _ X2 (a + *)(<* — x ) a + x a - X

mmc = (a + x)(a — x)

1 = A (a — x) + B (a + x)

1 = aA - A x + aB + Bx

1 = Ç—A + B)x + aA + aB >

í - A + B = 0

=> A =

aA + aB = 1

=> aA + aA = 1 => 2aA = 1

e também B = — .2a

Então, a fração

1_1_2a | 2a __ 1___ L _ + . 1 1

a2 —x 2 a + x a —x 2 a a + x 2 a a - x

A integral

dx r í 1 1 . 1 1/ = / -

2 a •' a + *

_____ L - + i ______2a a + x 2a a —x

0 _ v'1 r I dx

2a- a — x

V/ = y ^ 2 n ( « + x) Q y ^ 2 n (a — x) + C

I [®n (a + x ) — 2n (a - x)] + C

/ = ^ - e n £- ^ + c2a a - x

PRi Decomponha a fração em frações parcelas.

3 x 3 + 6 x2 - 18x + 2F = -

Solução:Análise:

x 3 + 2x2 - 4 x - 8

m = 3„ ------- > m = p > admite divisão.

3 x 3 + 6x2 — 18x + 2 x3 + 2x2 — 4 x — 8- 3 x 3 - 6 x 2 + 12x + 24

- 6x + 26 3

r-3 e 6' - 26x 3 + 2 x 2 - 4 x - i

6x — 26Façamos a decomposição de F, = „V x + 2 x - 4 x — 8

Fatoremos o denominador x 3 + 2 x 2 — 4x — 8.

x3 + 2 x 2 - 4 x ^ -8 = x2(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 4) =

= (x + 2)(x + 2)(x - 2)

diferençade

2 quadrados

6x — 26Fi = '

x 3 + 2 x 2 — 4 x — 8

6x - 26 A , B , CH----- —— T*

(x + 2)2(x - 2 ) (x + 2 )2 x + 2 x - 2V____________________________ y

mmc = (x + 2)2(x — 2)

6x - 26 = A ( x - 2) + B(x + 2)(x - 2) + C(x + 2)2

1? X 4 + 3«B + C = 0

A + 4C = 6

- 2 A - 4 5 + 4 C = - 2 6

l ? x 4 + 3 ^ f — 2.4 + 8 C = — 26 ia + 2? ■ 2

4 + 4C = 6í> 1 6 C = - 1 4

=> C = - 1416 C = - T

Defi + C = 0 => B = —C -

De A + 4 C = 6 = > ^ - 4 - t = 6 A 2 = 6

=> ^ = 6 +- A 2

(x + 2)2 * + 2 X - 2

1 9 . 72 (x + 2)2 8(x + 2) 8 (x — 2)

F = 3 — 19 .+ 7. 2(x + 2)2 8(x + 2) 8 (x — 2)

19 7F = 3 —2 (x 4- 2)2 8(x + 2) 8(x — 2)

PRj Decomponha em frações parcelas a fração

F = ____ __________x 3 — 2 x 2 - 4 x + 8

Análise:

' m = 1

p = 3não admite divisão

Fatorando o denominador >

= > x 3 - 2x2, - 4 x + 8 = x2(x - 2) - 4(x - 2) = = (x - 2)(x2 - 4) = (x - 2)(x - 2)(x + 2)

4x — 8 _______ 4jx---- i yx 3 — 2 x 2 — 4 x + 8 -í*— -2H* — 2)(x + 2)

4=> F = _____________ = ^ t _ + _ A _

(x - 2)(x + 2) x - 2 x + 2*__________________________________ /

mmc = (x - 2)(x + 2)

4 = .4 (x + 2) + 5 (x — 2)

4 = A x + 2 A + B x — 2 B

4 = ( A + B ) i + 2 A - 2 B

A + 5 = 0 = i > B = - A

= > 2>4 + 2A = 4 =

4x — 8 1 1

2/1 - 2 5 = 4

x3 — 2 x 2 — 4 x + 8 x - 2 x + 2

PR 3 Decomponha em frações parcelas a fração

2x + 16x 3 - 6 x 2 + 1 2 x - 8

P = 3= > m não admite divisão e

x 3 — 6 x 2 + 12 x — 8 = (x — 2)3 “Fator x — 2 do 19 grau e repetido 3 vezes. Então,

F = ■ 2 x + 16 2 x + 16 B— 6x2 + 12x — 8 (x - 2)3 (x - 2)3 (x - 2)2 * - 2

mmc = (x — 2)3

2x + 16 = A + B (x - 2) + C(x - 2)2

x2 - 4x + 4

2x + 16 = /l + 5x - 2 B + Cie2 - 4 C x + 4C

2 x + 16 = Cx2 + ( g - 4 C ) x - h i4 — 2 5 + 4 C = = >

0 2 ' 16

5 - 4 C = 2 = > 5 = 2

4 - 2 5 + 4 C = 16 = > . 4 - 4 + 0 = 16

/ I = 2 0

2x + 16 20 , 2x 3 — 6x2 + 12x — 8 (x - 2 )3 (x - 2 )2

dxIntegre / = J-

A — UAnálise:

19) m não admite divisão

29) D (x 2 — a2) = 2 x não é do tipo J ~ l x -

39) . ^ , não é a diferencial de — arctg— x 2 - a 2 a 6 a

49) Façamos a decomposição da fração —r—x — l

1 1 A , Bx1 — a2 (* + a)(x — a) x + a

mmc = (x + a)(x - a)

Eliminando os denominadores

1 = A (x - a) + B(x + à)

1 = A x — aA + Bx + aB

1 = (A + B)x + ( -a A + aB) = >

A + B = 0 A = - B

-aA + aB = 1 => 4- aB + aB = 1

=> 2aB = 1B = 2~a e i A = - — 2a

L ogo,-

Então,

2ax + o x — à '

I = ~ ^ - S n ( x + a) + v - £ n (x - a) + C2 a 2 a

I = yj j [2n (x - .a ) — 2n (x + a)] + C

I = ^ - S n ^ ^ - + C 2a x + a

PRS Integre/ = J-

Solução: Análise:

1 x + 3 x + 4dx.

19)m — 2

p = 3m não admite divisão

29) D (x3 — x) = 3 x 2 — 1 > não é do tipo f ~ d x

39) Tentemos a decomposição da fração.

O denominador fatorado é x 3 - x = x (x2 - 1) = x (x + l)(x - 1). Então,

„ 7x2 + 3x + 4 7 x1 + 3 x + 4 A , B , Cr = --------- ------ ;---------= —7------;—7T7--------7T = ----H---------;—T + '

X 3 - X x ( x + l ) ( x - l ) X X + l X — 1v_________________________________ /V

mmc = x ( x + l)(x — 1)

Eliminando os denominadores, vem:

7x2 + 3 x + 4 = 4 ( x + l)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 1)

7x2 + 3x + 4 = A x í - A + Bx2 - Bx + Cx2 + Cx

7x2 + 3x + 4 = ( / l + B + Q x2 + ( -B + Q x - A

A + B + C = 7

- B + C = 3

- i 4 = 4 = í >

Somando as 3 equações > 2 C = 14 ■ ■■ ■ > C = 7

De —B + C = 3 = = > —B + 7 = 3 = = > - f i = —4 = = > B = 4

Então:

_ I x 1 + 3x + 4 4 . F = ------------------- -----------h 4 + . 7

X X + 1 X — 1

Substituindo na integral I -

= = > / = / ( - 1 + - 4 - + - Z -J \ X X + 1 X — 1

/ = —4 / — + 4 + 7J x- • 'x + l - 'x — 1

/ = - 4 £nx + 4 8n (x + 1) + 7 2n (x - 1) + C

I = gn + 1j - + C

f / + * 3 - 8 j Integre/ = J ^ _ g dx.

Solução:Análise:

19)wj = 4

p = 3=> »1 > p

X4 + X3 - 8 x 3 - 8

- x 4 + 8x x + 1

x 3 + 8x - 8- x 3 + 8

admite divisão

Substituindo em I ■

> I = x + 1 + 8xx — 8

/ = f x d x + Jdx + / • 8x x3 - 8

7 - ^ + * + /8x

x 3 - 8-dx

Analisemos a fração 8x

19) D (x 3 — 8) = 3 x 2 > não é do tipo—

29) O denominador é fatorável e é a diferença de 2 cubos, portanto, do tipo a3 - b3 = (a — b)(a2 + ab + b2).

F = 8 x8 x _x 3 - 8 (x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) * - 2 ' x 2 + 2 x + 4

A Bx + C

mmc = (x — 2)(x2 + 2x + 4)

Eliminando os denominadores —- >

=> 8x = 4 (x2 + 2x + 4) + (Bx + Ç)(x - 2)8x = A x 2 + 2 A x + 4 A + Bx2 - I B x + Cx - 2 C

8 x = (A + B )x 2 + (2A - 2B + Q x + 4 A - 2 C

, 4 + 5 = 0 = ;

2A —2B + C = i

4 A — 2C = 0

í 4A + C = 8 _

[ 4 A - 2 C = 0 _

De 4 A - 2 C = 0

B = - A

3C = 8 -

2 CA =

=>A=-=-2 3 a - t

F = 8x

^ = ~ T4_3

x 3 — 8 x - 2 x 2 + 2 x + 4

„ 4F = — ■ 13 x — 2 3 x3 + 2x + 4

Substituindo em (1)

/ = T + x +i

3 x — 2 3 x2 + 2 x + 4 /dx

r X . , 4 r dx I = -r- + x + — /9 VX - 2

- f -3 x — 2 3 x2 + 2 x + 4dx

j x 2 , 4 . , 4 f x - 2/ = - y + X + y £n (x — 2 ) —-r-J-3 x2 + 2x + 4

dx (2)

jç_2Analisemos a integral I— --------------dx.

V 4 - 2 x 4 - 4

19) D (x2 4- 2 x 4-4) = 2x 4- 2

29) x2 4- 2 x 4- 4 é infatorável, porque Ax < 0.I

Tentemos a preparação para o tipo l — dx.

/'-----* ~ 2---- = i - 2) (ic = -L /'— 2 x ^ -4 __j x 2 + 2 x + 4 2 • jt1 + 2 jc + 4 2 J x2 + 2 x + 4 ’

porém o numerador deve ser 2x + 2, portanto somemos e subtraiamos 6.

r x - 2 1 , - 2 x - ' l í ó - 6 , 1 ,-(2x + 2) — 6 ,~i---------- =-r- /-------:------------dx = — í-1------------dx' x2 4- 2 x 4- 4 2-' x + 2x + 4 2 •' 4- 2 x 4 - 4

/• x — 2 1 r 2x + 2 j dx./^ y : ^ , ** = t H I „ - , : d» - 3 , / -

x2 4-2x 4- 4 2-' x 2 4 - 2 x 4 - 4 ’ x 2 4 -2x 4-4

x — 2 j 1 „ , „ <• dxf , *---- ----- dx = -^2n(x2 4- 2x 4- 4) - 3 /x2 4 - 2 x 4-4 2 ' x2 4 - 2 x 4 - 4

Tentemos a transformação de x2 4- 2 x 4- 4 na soma de 2 quadrados, fazendo4 = 14-3 .

x — 2 . 1 „ , , . „ , , / • dxf: + 2x + 4) - 3 /■x2 4- 2 x 4- 4 2 x2 4 - 2 x 4 - ! 4- 3

d ( x 4 M )

* 2 dx =-y fin (x2 4- 2x 4- 4) — 3 f - ^J x 2 + 2 x + 4 2 •> (V 3 )2 4- (x 4- l ) 2

4 * + 2 ~ /+ 4 * = T : <*’ + 2 * + 4» - 3 ' 7 T + c '

! \7 ' + 2V + 4 * 4 & + 2 * + 4> ~ ^ ^ + C'

Substituindo na (2), pág. , >

I = y -4 - x (x — 2) —-|-£n (x2 4- 2x 4- 4) 4-

PR7 Integre / = f - x3 - 7 x 2 + 12x - 4 x 2 - 7 x + 12

Solução:Análise:

19)m = 3

P = 2m > p => admite divisão

x — 7 x + 12* — 4 -X3 + 7 x 2 — 12x

x — 7 x + 12

Substituindo, vem:

/ = r x -x 1 - 7 x + 12

[ = í x d x - f — ------J J x 2 - 7

r = x - f -

x + 12

X s — 7 x + 12

Fatoremos o denominador x 2 — 7x + 12, já que sua derivada é 2x — 7.

1 x + 12 v(x - 3)(x - 4) x - 3 x - 4

mmc = (x — 3)(x — 4)

4 = A (x - 4) + 5 (x - 3)

4 = <4x — 4 A + Bx - 3 5

4 = (i4 + 5 )x - 4 i 4 - 3 5

A + 5 = 0 = > 5 = - ,4

- 4 /1 - 3 5 = 4 = = > - 4 A + 3 / 1 = 4 = o

=> - A = 4

/I = - 4 5 = 4

x2 — 7 x + 12

Substituindo em (1)

4 +■ 4x — 3 x - 4

/ = * - - x — 4 dx

, A r dx A r dxI = X + 4 / ------ r - 4 / -------—J x - 3 J X - 4

/ = x + 4 ín (x - 3) - 4 2n (x - 4) + C

I = x + 4 | + C x - 4

Integre / = J-

Solução: Análise:

2 x + 7x 3 - x 2 + x - 1

19)m = 1

p = 3=> m não admite divisão

29) D (x 3 — x 2 + x — 1) = 3 x 2 — 2 x + 1 não é do tipo / ~ d x

2x + 7 2x + 7 2 x + 7F =■ x2 + x - 1 x (x - 1) + (x - 1) (x - l) (x 2 + 1)

2x + 7 A + Bx + C( x - l ) ( x 2 + l ) x - 1 x 2 + 1

mmc = (x - l) (x 2 + 1)

2 x + 7 = ^ ( x 2 + 1) + (Bx + Q (x - 1)

2 x + 7 = A x 2 + A + Bx2 — Bx + Cx — C

2 x + 7 = (A + B )x 2 + ( - B + Q x + A — C

0 ' 2 "

, ,A ■■+-£-= Q

- B + C = 2 = ^ = > 2 A = 9 ~ ^= =>

A — C = 1

De A + 5 = 0 — > B = — A > B — — y

Dt A — C = 1 = = > C = A — 7 = = > C = - | - 7 -------> C = - y

9_ __9 _5_2x + 7 2 , 2 X 2

r = —---------------------- = --------7 + -x J — x2 + x - 1 x — 1 x 2 + 1

Substituindo em I

í 9 9x + 5 ’

2x2 + l

r — 9 r dx 9 r x 5 r dx2 ^ - 1 2 ^ + 1 ^ 2 - f x * + i

/ = | £n( x - ! ) - § • 1 / - ^ d x - A arctgx

/ = - | í n ( x - 1) ^-2n(x2 + 1) —|-arctgx + C

P R 9 Integre 1=1 . ^ -------- dx.x — 4x + 3 *

Solução:Análise:

í m = 119) •{ ■ > m não admite divisão

29) £>(x3 — 4 x 2 + 3x) = 3x2 - 8x + 3 > não é do tipo

2x — 6 2x — 6 2x — 6F =x 3 — 4 x 2 + 3x x (x 2 - 4 x + 3) *(* - 1)(* - 3)

x (x - lH*-=-3)-

2x - 6 2 =J4 5x 3 — 4 x 2 + 3x * ( * - 1 ) * x 1

mmc = x (x — 1)

2 = A (x — 1) 4- Bx

2 = A x - A + Bx

2 = (A + B )x - A = = >

> - 2 + 5 = 0 5 = 2

F =4 x 2 + 3x x x - 1

Substituindo em /

X X — 1dx

dx/ = - 2 f — + 2 / ,•' x - x — 1

/ = - 2 2nx + 2 8n(x - 1) + C

/ = 2 2n^-;1^ + C

Integre / = / — -

Solução:

De sen 2x = 2 senx cosx = > senx = 2 sen—c o s = 2 -------2 2 xcos „

s> sen x = 2

e de cos 2 x = cos2x - sen2x — > cos x = cos2y — sen2j

=> cos x = cossen —2x 2 2x

2X x 2 X 2 X=> cos x = cos — — tg — • cos —

cosx = cos'1— 1 -

=> cosx =

262 CÃLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Façamos

Resulta:

xtg - z = y

19) — = arctg (y); x = 2 arc tg O)

2Ç) senx =

3°) cosx =

2 y1 + y 2

1 - y 2

2 dy 1 + y 2

1 + y 2

Substituindo na integral proposta, vem:

T T = > 7 = / '/ = /1 + /

2dyi + y

1 +i + ^ i + y

„ | J Í L■ 2 / + 2 y

‘ - í - r ty + y

Façamos a decomposição da fração

1 1 A , By2+ y y(y + i) y y + \

mmc = y ( y + 1)

Eliminando os denominadores, vem

1 = A y + A + By

1 = (A + B )y + A

0 TA = 1

A + B = 0 = > B = - A =

1 _ 1 1y 2 + y y y - 1

Substituindo:

Então,

/ = / ( --- ------------—- 'W j ' + l

dy = f * L - ( - È L -y 3 y J y + 1

INTEGRAÇAO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 263

/= £ n > ' — 2 n ( y + l ) + C ou / = Cn —y—- 4- Cy 4 1

xSubstituindo^ por vem:

/ = / - dX---------- = Rn— + CJ 1 + sen x — cos x , , xl + tg-j

PRn Integre/ = / - 7— ——— dx, com p2 - 4q < 0. x 4 px 4- q

Solução: Como p2 — 4 <7 = A < 0 , o denominador é infatorável, portanto, procuremos um artifício para conseguirmos a integral.Devemos separar o numerador em duas parcelas: uma parcela constante e outra que, a menos de uma constante é a derivada do denominador. A derivada do denominador é 2 x 4- p. Como temos ax no numerador, multipliquemos e dividamos o numerador por dois, então:

, ,• ax 4 b , l , - 2 a x + 2 b ,1 = 1 —-------------d x = — -------------- dxx 2 4- px + q 2 • x 2 + px 4- q

. 1 ,-2ax + ap - a p + 2b ,I = ^ r J ------- ---------- - ---------dx

2 J x 2 + px + q

1 = 1 ra (2 x + p) + (2b - ap) ^2 x 2 4 px + q

a_ r _ 2 x _ + p _ J_ ,■ (2 b — ap)2 J x 2 + px + q 2 J x 2 + px + q

L 0n x x x 2 b - a p dxx 2 + px + q

2 b — ap r_______ dx

I = — 2n(x2 + p x 4 q ) 4 ----- 2 ^ } 2

/ = - Cn (x2 + px 4 q) 4 ■ ,2 2 7 I P2

soma de 2 quadradosf L \ , 2b — ap r dxI Kn (x l + px + q) 4 -----^ J —

t 0 n r 2 1 , \ , 2 b — abI = 2 Kn (x2 4 px 4 <7) 4- — ------ *+f)r + u *

' - § M * ’ + ,» + «>+ 7 í J ^ T “ c g - ^ t t j + c

Este resultado constitui uma fórmula de integração para todas as integrais

do tipo f - — dx, com p2 — 4q < 0.‘ x + px + q

PR12 Integre / = / , *— ----- dx.J x 2 + 2 x + 3

Notemos que o discriminante do trinômio x2 + 2 x 4- 3 é

A = 4 — 12 = —8 < 0

Apliquemos a fórmula deduzida no PRU

I= ^ rS .n (x 2 + px + q) + 2, b = ap arctg + C2 V — p V 4<7 — p

Façamos a = 1, b = - 3 , p = 2e<7 = 3na fórmula:

/ = -^ 2n (x2 + 2 x + 3 ) + - 7 6 ~ 2 - arctg-y ;C + = + C2 V I 2 - 4 v 12 — 4

/ = 4 - fa (x2 + 2x + 3) 4- — a r c t g 2* * 3 + C2 2 \ f 2 6 2 \ [ 2

A solução sem a fórmula já a mostramos no PR6, pág. , cap. VII e segueo mesmo processo da dedução do PRn .

. r x — 3 , 1 ,• 2 x - 6 , 1 ;• 2 x 4 - 2 —2 — 61 = — --------------d x — ---------------dx = — / — ------------------dxJ x 2 + 2 x + 3 2 x 2 + 2 x + 3_ x 2 4- 2 x + 3

D{x2 4- 2 x 4- 3) = 2 x 4- 2. 1 ,• 2 x 4- 2 , 8 ,• dx /= -= - l-r --------------dx -2 J ->.2 v x 1 2^

/= 4 - « n ( x 2 4- 2x 4- 3) — 4

/ = - 8n (x2 4- 2 x 4- 3) - 4 /'----------^ -----——2 ■, (x + l) ! + (v^2)2

/ = -y£n (x2 4- 2x 4- 3) ——prarctg * 4- C* V 2 v 2

2 x 1 + 4 x + 8

INTEGRAÇAO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 265

PPj Decomponha em frações parcelas a fração

Resp.: 2 +

x 2 - 4 x + 3

19 7x — 3 jc — 1

I6 x - 20PP2 Decomponha em frações parcelas a fração

D 5 1 . 11 3Resp.: -

x 4 - 6 x 3 + 8 x 2'

2 x 2 8 ( * - 4 ) 2 (ac — 2)

PP3 Decomponha a fração X + em frações parcelas.x 3 + 9x

, 1 28x — 30Resp.: x + -r— -------- --------3* 3 (x + 9)

5 x 2 _3PP4 Decomponha a fração —------- em frações parcelas.

x 3 — x3 , 1 , 1 Resp.:—H---- — - + ■X X + 1 X — 1

x 3 + 7x2 — 6x — 2 x 3 — 9 x 2 — x + 9

31 , 1

PP5 Decomponha a fração —------------------em frações parcelas.

Resp.: 1 +2(x - 9 ) 2(x + 1)

x 3PP6 Integre J y y y d x .

Resp..--y ~ ^ 2 + x — fin(x + 1) + C

r , - 2 dxPP 7 Integre

■’ x 2 - 5 x + 7 '

D 4 > /3 * 2 > /3 x _ 5 V"3 , ^ Resp.; —?— arc tg —------ =----- -— + C

PP8 Integre J

2 1 4Resp.:— S. n (x — 2) — —£n (x2 + 1) ——arc tg x 4- C

PP9 Integre f ■ X---- ----- dx.* x 2 - 6 x + 1 0

Resp.: ín (x2 — 6 x + ] 0) + 2 are tg (x — 3) + C

nr. t /• 16* — 20 ,

PP'" In,eEr' ! *•- +

fieip.■ ín x + Cn(jt - 4) - y S n (x — 2) + C

_n y ,• 2x2 + 4x + 8 PP ii Integre / — ---------------

x2 + 4x + 3

/?esp..' 2x + 19 Sn (x - 3) - 7 8n (x - 1) + C

. ,■ 4x - 8 PP 12 Integre f-

• x 3 - 2 x 2 - 4x + 8

Resp.: ín ^ — 4 + C x + 2

, ,■ 2x + 7PP!3 Integre f — ------— --------- d x .

x 3 - x 1 + x - 1

/?esp..'yín(x — 1) —^-2n(x2 4- 1) — -arctgx + C

r 4 x 2 — 6x + 1 ,PP14 Integre I —---------------- dx.• x2 — 6x + 4

Resp.: 4x + 9 £n(x2 - 6 x + 4) -I— ^ ^ £ n —---- —— ^7=- + C2 V 3 (x — 3) + \ / 3

PP15 Integre /18 dx

■' x4 — 2 x3 + x2

5esp.: - — - - ü - + 36 2n — + Cr X X - 1 X - 1

PP16 Integre f 2 * ^ dx.• x z — 4x + 3x

i?esp.: 2 £n —---- - + C

9SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS

A estrada para cima chama-se Caridade.

9.1 - SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS POR VARIÁVEIS TRIGONOMÉTRICAS

Este método é aplicado, geralmente, às integrais, cujos integrandos contém fator do tipo (a2 ± x 1"f'ín ou {x2 ± a2)*1/2 que não recaem em potência ou

xarc • sen— . a

Vejamos alguns exemplos:

E! Integre/ = f - T = = = .' V" + *

Análise:

1. Não recai em potência porque d (a2 + x 2) = 2 xdx.x

2. Nao recai em arc sen— porque no radicando figura a soma de 2 quadrados

e não a2 — x 2.

3. Tentemos a substituição de variável. Tomemos um triângulo retângulo auxiliar. A \Ja2 + x2 é a medida da hipotenusa, enquanto a e x são as medidas dos catetos.

Marquemos o ângulo oposto ao cateto variável com a nova variável a.

Do triângulo retângulo auxiliar = = >

— = tg a > x = a tg a dx = a sec2 a da

y/a2 + x '■• = cos a => \ J a2 + x 2 = —a

y / a2 + x 1 = a sec a

Substituindo em I

. r _ r dx ra sec2uda=> 1 ~ J /—5—;— t = / ------------- = / sec a da

y /a + x 2 a seca ■'

1= 9 .n (sec a + tg a) + C,

Voltemos à variável x.

Vimos, da figura, y /a2 + x 2 = a sec a

Substituindo em (1)

_ y / a2 +=> sec a = ----- - ----- e tg a —~ -

-= £n

/ = £ nx + y /a 2 + x 2

\ / a 2 + x ‘ , x+ ~a + C‘

/ = £n (x + y / a 2 + x 2) - £n a + C,V----- V----- '

1 ~ f ~ / 2 = 211 (* + V a 2 + x 2) + C V » + r

abcE2 Integre / = / -V r - a2

A análise nos levará às mesmas conclusões do exercício Ej.

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 269

Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.Notemos que a V x 2 — a2 é a medida de um dos catetos, por ser a raiz quadrada da diferença de 2 quadrados, x é a medida da hipotenusa e a a medida do outro cateto.Marquemos o ângulo a oposto ao cateto de medida variável.Do triângulo retângulo tiramos

s / x 2 - a2tga y / x 2 — c2 = a tg a

e a = x cos a => x = cosx dx = a sec a tgadx

Substituindo em I, vem

j r dx _ r a se c a tg a d aJ 3 ~ ■' a tga

\ /~x2 — a2

dx■ = /"sec a da = in (sec a + tg a) + C,

s ! x 2 — t.Porém, sec a = — e tg a = -

/ = /, * L = =ilJ ± + y Ç ï l' y j x 2 — a2 \ a a

Simplificando

/ = / -

Integre I = J s / a 2 + x 2 dx.

= En (x + s / x 2 - a2) + C

Solução: Tomemos o triângulo retângulo auxiliar seguindo as recomendações anteriores:

Da figura tiramos:

— = tg a > x = a tg a ; dx = a see2 a da

= = = = = cos a > \ / a 2 + x 2 =\J a2 + x cosa \ / a 2 + x 2 = a sec a

Substituindo em I

I = f \ / a 2 + x 2 dx = f a sec a • a sec2 a da

I = a2/ sec3 a da

Conforme vimos na integração por partes

r 3 1 1J sec a da = — se c a tg a + — £n(seca + tga) + Ct2 -------- e>- ■ 2

Entío, I = f \ f a2 + x 2 dx = a2

Voltemos à variável x.

Da figura > sec a =

sec a tg a + fin (sec a + tg a) +

\ J a2 + x 2

i r / 2 . 2 A fl2 s la 2 + x 2 x a2 n ( y /a 2 + x 2 x \ I = J s / a 2 + x?dx = - • - — ----- 8n [ - — ---------------------+— ) + C,

/ = f \ / a 2 + x 2 dx a2 + x 2 + — 2n (x + \ / a 2 + x 2) + C

E4 Integre I = / \J a 2 — x 2 dx.Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura, tiramos:

x = a sen a —> dx = a cos a da

Substituindo na I

I = j y / a2 — x 2 dx = [a cos a • a cos a da

r 2 r 2 j 2 /'l + cos 2 a ,/ = a / cos a da = a / ---------------da

I = y - [da cos 2 a da

/ = -y- a + y - - y /cos 2 a d (2 a )

/ = y - a + y sen 2 a 4- C, (1)

JC XDa figura tiramos sen a = — — > a = arc sen— e a a

sen 2 a = 2 sen a cos a = 2- \ / g 2 — x 2 2 xI x y-j— = —r V a

Substituindo na (1)

/ = f y j a2 — x 2dx = -y - • arcsen-^- + y • —y s /ã 2*—1c2 + C

I = J y / a 2 - x 2 dx = — arc sen^ + y \ / a2 — + C

Es Integre 1 = 1 y / x 2 — a2 dx.Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura tiramos:

a = x cos a => x = cos a => x = a sec a

dx = a sec a tg a da

y / x 2 - a2 L r 3----- 2—----------- = tg a > V x — a = a tg a

Substituindo em I

= f y / x 2 - a d x = f a tg a • a sec a tg ada

= a2/sec a • tg2 ada, mas tg2 a = sec2 a — 1.

Logo, / = a2/sec a (sec2 a — l)d a

= a2fsec3ada — a2/sec ada

— a2 • £n (sec a + tg a) + C,y s e c a t g a + -y£n(seca + tga)

—~2 sec a tg a + — £n (sec a + tg a) — a2 £n (sec a + tg a) + C\

2 2 = - 2~sec a tg o — y £n (sec a + tg a) + Q (1)

Do triângulo x y / x 1 - a2=> sec a = — e te a = —-----------a aSubstituindo em (1)

i r * y/x2 - a2I = J v x - a dx = — — ------------2 a a2 '

2 \ a a + C,

/ = / \ J x 2 - a2 dx = y / x 2 — a2 - £n (jc + y / x 2 — a2) + C

PRi Integre / = f -dx

(4 — x 2)3/2

Solução: Podemos escrever

dx' = / (4 - x 2)312 (V 4 - x2)3

Não é potência, nem arc sen.Tentemos a substituição de variável. Tomemos o triângulo retângulo auxiliar. A y / 2 2 —x 2 é a medida de um dos2 catetos, 2 é a medida da hipotenusa e x a medida do outro cateto, que se opõe ao ângulo a.

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS

Do triângulo retângulo tiramos:

x = 2 sen a ------ > dx = 7 cos a da e \ / 4 — x 2 = 2 cos a

Substituindo em I

/ = f , = f i c a d a = I , • _ * = _ = 1 / s e c 2 a d a

J (-^4 — x 2)3 8 cos a 4^ cos a 4

/= - ^ t g a + C,

Da figura tiramos —j = = = tg a V 4 - r

Substituindo em (1) ■■>

=> / = 7dx

(4 - x2)3/2 4 V 4 - x 2•+ C

Integre I = / 7= X= dx.6 J y /1 6 + X 2

Podemos desdobrar soma de duas integrais.

' = 3 / - 7 = T = f - / - * *V 1 6 + x2 v t ó t :

Integramos (T) = / —7— ■ - W J V 1 6 + X 2

Usemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura

tg a = > x = 4 t g a c/x = 4sec2 acfa

=> 4 = V 16 + X2 cos a => \ / 16 + x 2 = -

•v/16 + x 2 = 4 sec a

Substituindo na (T)

(D = J S4 se = / sec 01 = (sec <* + tg °0 + Ci

Mas, ainda da figura, tiramos

V 16 + x 2sec a = ------ --------4 e tga = —

CD = /dx : = fin

\ / 16 +4 - * l r c -

® . l n £ i 4 ± z v

(T) = 2 n (x + V 1 6 + JC2) - 2n4 + Cj

(D = «n (x + V 16 + x 2) + C2

Integremos a (2) = / ^

0 x no numerador permitirá escrever

2 x d x

(2) = y / ( 1 6 + x 2) - I/2d ( 1 6 + x 2)

(2) = V 16 + x 2 + C3

Substituindo (I) e (2) na /

' = /3 - x

V 16 + ■*fdx = 3 £n (x + \ / 16 + x2) — \ / l 6 + x 2 + C

PR 3 Integre / = fdx

x \ / x 2 - a‘"2 \Jx2 - a2Usemos o triângulo retângulo auxiliar

Da figura => a = x cos a

x = a sec a dx = a sec a tg ada

\ J x 2 - a1 e ------------ - = tg a -> s / x 2 — a2 = a tg a

Substituindo na I

/ =' x V

r dx r a sec a ta ac/a 1= J -----— ■ = J --------------- -— = — dcc

x \ J x 2 - a ^ a s e c a - a t g a a-7

/ - / = — a + C (1)

Da figura

Substituindo na (1)

=> x = a sec a > sec a = - => a. = arc sec — a

dx 1 x , „---- 7= = = = — arc sec— h Cx x —a a a

dx'n,eB" , - ' / 7 ? T 4 ÏPreparemos a integral

' = / -y dxv V + 4x + 4 - 4 ■' s / ( x + 2)2 - 22 V (* + 2)2 - 22= / -

d(x + 2)

Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura

2 = (x + 2) cos a > (x + 2) = cos a

=> (x 4- 2) = 2 sec a > d (x + 2) = 2 sec a tg a d a

V (x + 2)2 - 22 ...= tga v/(* + 2)2 - 2 2 = 2 tg a

r r d(x + 2) /• 2 seca tga da ,• ,7 = / , , = / ----- ------------ = / secada

J s / ( x + 2) - 2 J 2tg« ■'

I = 8n (sec a + tg a) + C(

Mas, da figura, resulta

x + 2 _ V (x + 2)1 - 22 _ s / x 1 + 4xsec a =

Substituindo na I

e tga =

w - V x 2 + 4x

/= f ___ v/ í r + 4 x

= £n(x + 2 + ^ + 4 7 )+Ci

^ = £n (x + 2 + V * 2 + 4x) - En 2 + C,

1 = f —j = = = = í n ( i + 2 + s / x 2 + 4x) + C• V * + 4x

. PRS Integre / = / -dx

(a2 4- x2)5'2 'Preparemos a integral /

/ = r =7 (n/ ? T ^ ) 5 •

Da figura tiramos

x = a tg a ----- > dx = a sec2 a da

a = \ J a2 + x 2 cos a - > Va2 + x 2 =cos a

y/a2 + x2 = a sec a

Substituindo na I

dx_ r ax r asec,2 ada(V a2 + x2)5 a5 sec5 a

= - 7 f~'~f ~ = ~T /cos3ada ~4' sec3a a4 -'/ cos a cos2 ada = J cos a (1 — sen2a)da

= — Icosada — f sen2 a • cos a da a4' a*Jcos a da

= — sen a — - J sen2 a d (sen a)

1 sen3 a+ C,

Da figura

Então,

=> sen a =

dx( \ / a2 + x 2)5 a4 V a 2 + *2 3 a4 (V a2 + *2)3

/ 2 2*PR6 Integre / = f a dx.

x4Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.

Da figura ►— = cos a x =0 Jt = cos a

T _ C a tg a ' a sec a • tg a da á á

Substituindo na I

. 1 rsec a — 1/ = — J - ----- j----- da

a sec a

1 sec a 1J = _ V J — 3— da — — í — da ■

a sec a a • sec a

/ = ~ /cos ada — f cos3adaa2 •' a •

r 1 1 r 2 ^/ = — sen a ---- - í cos a • cos a daa2 a2 •

/ = ~ sen a — \r /cos a (1 — sen2 a)da a a •

I = - y sen a — y jeos ada + -^-/sen2a cos a da

/ = — sen a — y sen a + 4r / sen2ad(sen a) a a a •

r 1 sen3 a , „/ = - r • — r— + C,

Da figura tiramos sen a =

Substituindo na (1)

V * 2 - a2

i = / ' / * ' ~ a2 dx = - L Os / j í Z Z ) !

PR 7 Integre I = /" ■

3 a2+ C

dxx 2 V * 2 + 4

Da figura: > x = 2 tg a o> dx = 2 see2 a d a

- = cos a

Substituindo na /

W S T *

W • = /

cos a = V * 2 + 4 V x2 + 4 = 2 sec a

2 sec2 a da' x 2 V * 2 + 4 ' 4 tg2 a • 2 sec a

. 1 rseca 1 r dacos a • sen a

cos a da. 1 r d a 1 r c o s a d a 1 ,• .■/ = 4 ' / ^ r = T - ' ^ r - = 7 . / sen 2«^ (sen a)sen a

/ = l s e n ^ a + c4 - 1

/ = -1

4 sen a + C (D

Da figura — —> sen a =

Substituindo na (1)

y / x 2 + 4

w - x 2 + 4 4 .V * 2 + 4

Integre:

PP, í dx' x \ / 25 + x2

1 „ 5 + V25 + x 2 „J?esp.: — — Cn----------------------1- C

' x \ / * 2 - 41 X

/?esp. arcsec- -H- C

PP 3 / * x dx J x2 s / x 2 - 16

„ s / X -16 1 a: , „Resp.: —— -------------7 arc see — + C4x 4 4

r 2x 4- 1PP4 ./ / „ j dX

V 9 — 4 x 2

V 9 — 4x2 ,1 2x,„ Aesp.; -------+ —aresen - y 4- C

r dx______5 ' s / - 8 4- 6 x - x 2

Resp.: arc sen (x — 3) 4- C

dx(16 - 4 x 2)

PP6 f- 2 \3 /2

Resp.: ------, X 4- C16 V 16 — 4x

pp, /■ *x 2 s / 4 x 2 - 9

s/ 4 x 2 - 9Resp-. 9x----- + C

■*. / 7 *■ '(V P T T )3

Resp. : . = - 4- C V *2 4- 1

PP, / -í£t

V * 4 - 9 x 2

1 Xi?esp.: — arc sec - j 4- C

y f x ^

Resp.: £n (x 4- s / x 2 - 1) 4- C

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS

ppn f ^ X\ “' to

Resp.: y / x 2 - a2 - a • arcsec— + C

pp,. / - *' X 4 y / x 2 + 1

D ( 2 * 2 — 1 ) y / x 2 + 1 /?esp.; i-----------i-X----------+ c3 x

pp f * l d x P P ' 3 j y / T ^ T 2

1 X V 1 - 2Resp.:yarcsen x ------ ------------h c

10INTEGRAL DEFINIDA

Se sabemos que o Senhor habita em nós, aperfeiçoemos a nossa vida, a fim de mani- festá-Lo.

10.1 - INTEGRAL DEFINIDA

Introdução

Seja y = f ( x ) uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Tomemos nesse intervalo os pontos x0, x lt x 2, x 3, . . . , x„_2, x n_lt x„ tais que a = x 0 < < x , < x 2 < X 3 < . . . < x „ _ 2 < x n - i < x n ~ b, Figura 1.

Fig. 10.1

Estes pontos estabelecem uma partição do intervalo fechado [a, b\, decom-pondo-o nos subintervalos [x0, x j , [x ,, Xj], [x2, x 3], [x/_,, x ,]..........[-*71-3 “ x n - 2 1» [*n-2. [* n -i, x n \ cujos comprimentos x t - x 0 = AiX,x 2 — x j A2x, •. ■, Xj x /_ , — A /x ,. . . , Xfi _i x n _2 A ^ _ ixex /l — xw — = A„x. Portanto, de modo geral:

A,x = X( - Xi_,, i = 1, 2, 3 , . . . , n

0 maior dos comprimentos Atx, A2jc, A 3x ..........A„x é chamado norma dapartição.

Tomemos, para cada índice i um ponto a,- 6 X/] e consideremos o valor yi = /(<*,-) da função neste ponto.

Se multiplicarmos cada valor /(a /) pelo comprimento do correspondente subintervalo teremos as áreas dos retângulos de base A,-x e altura /(<*/).

sendo e um número positivo arbitrário, tão pequeno quanto se desejar, então:

lim £ /(<*/) A,x = £Afx-o ,=1(n-voo)

0 número £ diz-se integral definida da função f { x ) no intervalo [a, £>].

A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico da curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x ~ b.

No nosso caso

= / ( a ,) • Ai*, A 2 = / ( a 2) • A2x......... A n = / ( a„) • A„x.

Somemos estas áreas:

n£ /(a ,)A ,x = / ( a 1)A 1i + / ( a 2)A2i + / ( a 3)A 3/ + . . . +i= 1 + /(<*„) A„ a

nA soma ^ /(a,*) A/x aproxima-se de um número real C, tal que

Esta integral é indicada pelo símbolo

f ( x ) d x = lim £ /(<*<) A,-x = £A/JC-*0 f= 1

f ( x ) d x = Área da superfície AabB.

INTEGRAL DEFINIDA 285

Teoremi Fundamental do Cálculo Integral — Teorema de Barrow

Seja a função y = f ( x ) definida e contínua no intervalo fechado [a, b \ Seja a curva C da Figura 2 a imagem gráfica da função considerada.

Tomemos o ponto genérico P(x, y ) £ C,

Fig. 10.2

Chamemos S a área da superfície limitada pela curva, pelo eixo dos x e pelas ordenadas dos pontos A e P.

Para cada x, a área A aRP = AaxP assume valor diferente. Esta área é, portanto, uma função de x , S = S(x).

Se atribuirmos a x o acréscimo Ax, resultarão para y o acréscimo Ay e para S o acréscimo A S.

Facilmente verificamos na figura que

A p r T v < Á p r t q < A URTq

y • Ax < AS < ( y + Ay)Ax

Dividindo por Ax ^ AS ^ . .= > y < j ^ < y + ^ y

Tomando-se o limite, para Ax -> 0, obteremos

A Slim v < lim —— < lim ( v + A v)A x - 0 A x - 0 Ax->0

E, pelo Teorema do confronto, vem:

AShm —— = yAx-*-o Ax

AS dSMas, lim -7— - -3— A x - o Ax dx

dS= > T x = y dS = y d x (D

S = S ( x ) = S ax = f ( x ) d x = y d x= ( X f ( x ) d x = í Ja J a

Substituindo na (I) - > d| j y dx | = y dx

Integrando membro a membro ------ > y d x

= J y dx,

d jj* j = j y d x + Cx e fydx = F ( x ) + C2

[EntSo, j y d x + C\ = F (x ) + C2

£y d x = F (x ) + C2 - C

restando-nos calcular o valor de C. Para tanto deveremos fixar uma condição inicial.

Façamos x = a ------- > S(á) = 0, pois para x = a a superfície A a x Preduz-se ao segmento A a. Daí

S(a) = f y d x = F ( a ) + C Ja

0 = F(a) + C

C = —F(a)

Substituindo na (2) —> f yd x = F(x) - F(a)

ç»Façamos x = b 5 (6 ) = A abB e y d x = F(b~) — F(a)

Habitualmente, indicamos

*b[ yd* = [F(x))ba = F(b) - F(a)

que é a expressão do Teorema Fundamental do Cálculo Integral.

“A Integral Definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral indefinida, obtidos para x = b e x = a, respectivamente.”

Exemplos:

Ei Calcule J 3 x 2dx

Como [3x 2dx = x 3 + C.

E2 Calcule

Tiramos j 3x2dx = [x 3]* = 33 - ( - 1)3 = 27 + 1 = 28

Sendo [2 — = 2 f — = 2 i n x + CX J X

Resulta', j = ftínJtT j = 7 í n 4 - 2 8n 1 = 2 2n 4 = Kn 16Ji x " X '

E3 Calcule I cos xdxf :

A integral indefinida fc o sx d x = senx + C

7T /" 21 cosxdx =

rrí 1 T sen jc1 7T

= sen — — sen1 * L -»-* 2 V 2/2

E4 Integre4dx

Jo 4 + * 2

Determinemos a integral indefinida

4 / * = 4 / _ * _ - 4 4 a r c t g 4 + C J 4 + x 2 J 22 + x 2 2 6 2

Então,

í 4dx 2 2 0 = 2 arctg — 2 arctg == 2 [ arctg ^

4 + J f 2 L 2

= 2 arctg(l) - 2 arctg(O) = 2 » - ^ - 2 * 0 = y

10.2 - CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

10.2.1 - Seja y = f ( x ) > 0, diferenciável no intercalo fechado [a, b], Figura 3.

Como vimosA í x

h f b " sa = I yd x = Um £ / ( “«') A'xJa i = i

A área da superfície limitada pelo gráfico da curva y = /(x ) , pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = fcé obtida pela integral definida

S = í y d x Ja

onde y d x é a área de um retângulo elementar.Admitamos que a superfície, cuja área desejamos, seja limitada pelo gráfico

da curva y = /(x ) , pelo eixo dos y e pelas retas y = a e y = b, Figura 4.

A área do retângulo elementar é xAy — xdy. Então,

S bc = J| x d y

Exemplos:

E! Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 + 2, pelo eixo dos x e pelas retas x = — 1 e x = 2.

Comecemos a resolução do problema pela representação gráfica

para x = - 2 —— > y - 4 + 2 = 6

para x = - 1 —— > y - 1 + 2 = 3

para x = 0 - — > y - 0 + 2 = 2

para x = 1 - — > y - 1 + 2 = 3

para x = 2 —— > y - 4 + 2 = 6

290 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL,

Marcamos um retângulo elementar com base i j eixo que limita a superfície, cuja área queremos calculai. No nosso caso ydx.0 limite da soma dos infinitos retângulso elementares vdx, contidos no [—1, 2] nos será dado por

1,5 = 1 yd x e como y = x + 2 => S =- í *

+ 2 )dx

A integral indefinida

f (x 2 + 2) dx = f x 2dx + 2 /d x = ^ + 2x + C

0 que nos dá

LS = (x2 + 2)dx = x J

t + 2 x2 8 1 = ^ + 4 - 4 - 2 = -i 3 3

7 -LO 13 2= 7 T

E2 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x~ — 2, pelo eixo dos y e pelas retas y = 1 e y = 3.

X3 - 2.

- 2 - 1 0

- 1 - 3

Marquemos a superfície 5 , e um retângulo elementar xdy.

xdy (D

Da funçâto >> = x 3 — 2 o x3 = y + 2 ^ x = (y + 2 )1/3

Substituindo em (T) :

S ] = j ( y + 2 ) l,3dy = J

_ [0 < + 2)4/3'

( y + 2)1/3 d ( y + 2) =

5 i =_f (54/3 — 3 4/s) = - | ( 5 ^ 5 - 3 V l ) u 2

10.2.2 - Seja y = f ( x ) < 0 no [a, b], Figura 5.

odx y d x

A área procurada 5* é o módulo da •b

integral definida I ydx , pois sendoíy < 0, o produto y d x é também negativo.

Exemplos:

Ej Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 — 4, pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = 2.

Comecemos pela representação gráfica:

2Marquemos a superfície S Q e um retângulo elementar ydx .

Então, y d x , como y = x ‘

S o = f í * * “ 4) *I Jo

f ( x 2 - 4)dx = — 4x + C

1 ) - 0 163 0 \3 / 3

16 2 = T U

Nota: Como o produto y • dx pode ser negativo, a representação gráfica é indispensável.

Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3 - 6 x 2 + 8x, pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 4.

Representemos graficamente a função e marquemos a superfície cuja área desejamos e o retângulo elementar ydx.

Notamos que no subintervalo [1, 2] temos y > 0 e no subintervalo [2, 4] temos y < 0.Não poderemos, portanto, calcular a área usando apenas uma integral.

Assim, y d x + ydx

INTEGRAL DEFINIDA

Como y = x 3 — 6x2 + Sx

H' r(jc3 - 6 x2 + 8x )d x + | (x 3 — 6 x 2 + 8x)dx

e / ( x 3 - 6xJ + 8x)dx = ~ - 2 x 3 + 4 x2 + C.

Então,

* ; = - 2x3 + 4x22

+ - 2x3 + 4x24

. 4 1 . 4 2

s* = (4 - 16 + 16) - J - 2 + 4) + 1(64 - 128 + 64) -

- ( 4 - 1 6 + 16)1

5 4 = 4 - Z + |_ 4 |

5 : = 8 - f = f „ 2

Observação Importante:

(O.I.) A integral definida muda de sinal quando permutamos entre si os limites de integração.

De fato: íí

f { x ) d x = F { b ) - F ( a )

f ( x ) d x = F(a) - F (6) = - [F (6) - F (a)]

Comparando r f ( x ) d x = - J* /(x )d x

Recurso que substitui a uso do módulo.

Assim: í (x 3 — 6 x J + 8x)dx- r

(x3 - 6x2 + 8x)dx

E3 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = - x2 + 8x — 7, pelo eixo dos x e pelas retas x = 5 e x = 8.

Representemos graficamente a curva y = — x 2 + 8x — 7.

Marquemos a superfície cuja área desejamos calcular, bem como os elementos de áieaydx.

A área S = S s7 + Sf

.7 *8S = I y d x + I yd x

ou, conforme O.I.

r r= I y d x + I ydx

S = Jf ( - X 2 + 8x - l ) d x + ( - x 2 + 8x - 7)dx

J(—x 2 + 8* — 7 )dx = - — + 4jc2 — 7jc +

Então

S =X 3

- 4 r - + 4x2 - l x7

+ - 4 - + 4x2 - 7*3 S 3

s = + 196 “ 49) - + 100 ~ 35) +

+ + 1 9 6 - 4 9

„ 9 8 70 98 883 3 3 3

_ _ 28 10 38 ,S = T + T = T U

512 + 256 - 56

E4 Calcule a área da superfície limitada por um ciclo da ciclóide

x = d - sen 6

y = 1 - cos 6

íSabemos que S = | yd x . No nosso caso

y = 1 — cos 6 e dx = (1 — cos 8)dd

Então

• 2it pin — I (1 _ nr\c (1 _ nr\c //fl = I /" 1 _ O r»r\e fl 4- í-íJ

'“iXJo

- 4 /•'O

(1 — cos 0)(1 - COS0)d0 - í (1 — 2cos0 + cos J0)dÔ

5 = | ,[ 1 - 2 cos + 1 + °°s2<? ) d6

(2 — 4 cos 6 + 1 + cos 26) d8

(3 - 4 cos 6 + cos 2 0)d6

*2ir .2tr m2S = I dd - 2 COS d d6 + ~ í

2 Jo Jo 4 Jo

s. ![»]•;- , [ « „ « ] : ' + i

cos 26 d (26)

sen 262ir

í - f . 2 .

iS = 3 7T2 u2

Es Calcule a área do laço da curva y 2 = x4(2 + x).

Da figura concluímos que

• < y d x

De y = x4(2 + x)

=> y = x* V 2 + x

x2 V 2 + x dx

Determinemos f x 2 \ / 2 + x dx. Façamos

V 2 + x = t ------- > 2 + r — f2 ^ Y — f2 0

dx = 2 íd f

Então,

f x 2 V Y + ~ d x = f(t2 - 2)2 • í • 2fd/ = 2/(í4 - 4r2 + 4)f2dí f x 2 vT+Tdx = 2/(f6 - 4r4 + 4r2)dr

f x 2 V 2 + 7 d x = - J -fs + | f 3 + C

Determinemos os limites de integração para a variável í.

De t = V 2 + :

INTEGRAL DEFINIDA

para jc = 0 — > t = V T

para x = — 2 f = 0

- £V 2 + jc dx = 2 - t 1 - — t 5 + - í 37 5 3

5 =:= 2 \ j • 8 V 2 - y . 4 V ^ + j . 2 V 2

S = 2 V 2 ( ^ - f + f * = f l ^

10.3 - CÁLCULO DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

Estudamos um processo para o cálculo de áreas de superfícies planas. A nossa curiosidade nos leva a estabelecer um processo para o cálculo de volume de sólidos de revolução. »

Veremos que o processo para o cálculo de volume é mera extensão do processo estudado para cálculo de áre .s.

Pois 0 volume procurado poderá ser pensado como uma soma de Riemann, isto é,

V = lim ^ ti [/(a,-)pA,-xAjc, - o f=1

quando o eixo de revolução e uma fronteira da superfície girada for o eixo dosx.

Se for o eixo dos y , então, V — ir I x 2dy. Vejamos:3 , V = ir j x 2dy.

Seja a função y = f ( x ) diferenciável no intervalo fechado [a, i ] . Consideremos a imagem gráfica da função a curva C, e P(x, y) G C.

O arco AP, a eixo dos x e as ordenadas aA e xP determinam a superfície 5, tal que, S = >p(x).

Se atribuirmos a x o acréscimo Ax, y e S sofrerão, respectivamente, os acréscimos Ay e AS.

Nivelemos as ordenadas xP e (x + Ax)R, obteremos os pontos Q e T, sendo QR = Ay.

Façamos a superfície A abB girar ao redor de Ox numa revolução completa.

A superfície A a b B gerará o sólido A Á B 'B de volume V procurado, a superfície elementar P x(x + Ax)Q = AS gerará o volume elementar AF = volume do sólido PP’R'R, o retângulo P x(x + Ax)Q gerará o cilindro PP'Q'Q e o retângulo 7x(x + Ax)R gerará o cilindro TT'R'R.

Se compararmos o volume elementar A F e os volumes dos cilindros, notaremos que

V P P 'Q 'Q < & V < V T T 'R 'R O)

Como o cilindro PP'Q'Q tem altura Ax e raio y, seu volume Vpp'Q'Q — n y 2A x e como o cilindro TT'R'R tem altura A x e raio y + Ay , seu volume Vj f r r — = i t (y + Ay )2 • Ax.

Substituindo em (D

n y2Ax < A V < ir(y + A y)2 A x

Dividamos tudo por A x => *y2 < ^ < * ( y + Ay)2

Tomando-se o limite para Ax ->• 0, vem:

AFlim ny 2 < lim -r— < lim ir(y + Ay)2 Ax->-o Ax-*o A* Ax->o

A V d VPelo teorema de confronto e lembrando que lim -r— = - j— resulta em

A X —►O Ax dx

d V , t e =lry 6 d V = v y dx , volume elementar

O volume V do sólido AA'B'B será V"J*Jay 2dx

Exemplos:

E, Calcule o volume do sólido gerado pela superfície limitada pela curva y = x 2 e pelas retas y = 0, x = 1 e x = 3, quando esta superfície dá um giro completo ao redor do eixo Ox.

Façamos a representação gráfica da função e marquemos a superfície com um retângulo elementar.

X 2 X - i 0 1

y i 0 1

O retângulo elementar de área y d x gerará um cilindro elementar de volume n y 2dx, pois seu raio é y e a altura dx. Então, o volume procurado

- r y 2 dx.

Substituindo y por x

=> V = ir x A dx = ir

F = y (243 - l ) u 3

„ 242 7T 3V = ■—-—- uJ

Ej Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da superfície limitada pela curva x = \[y~e pelas retasx = 0 , y = 1 e y = 2, quando a superfície dá um giro completo ao redor de Oy.

Representação gráfica:

x = v y =

O elemento de área é o retângulo x dy que gerará o cilindro elementar de volume 7tx2dy.

X 0 i 2

y 0 i 4

Então " P dy

Substituindo x por \ f y vem:

"f y d y = t

t r i l i 1 J 7Í 3K = t [ 4 - 1 ] = — u3

Volume de sólido oco

Seja calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo dos x da superfície limitada pelas curvas

y = 4 x - 7 x 2 e y = 2x - x 2.

Representação gráfica das curvas

y = 4 x — 2x5 y = 2 x - x 2

X y Jt y

0 0 0 01 2 1 i2 0 2 0

O elemento de área é o retângulo da figura, que gerará um anel circular elementar, ficando oco o sólido gerado.

O volume do anel circular elementar é a diferença entre os volumes dos cilindros:

n y i dx - iry2 dx = i t ( y 2 - y ^ )d x e

V = n J ( y ? - y i ) d x

r . . rJ 0

F = 7T í (16x2 - Jo

[(4jc - 2x2)2 - (2x -

16x3 + 4x4 — 4x2 + 4x3 - x4)dx

V = ir | (12jc2 - 12x3 + 3x4)dx .'o

= 3 , rJo

(4x2 - 4x3 + x4)dx

r - 3 . f ô

V = 3ir 160 - 240 + 96 15

10.4 - COMPRIMENTO DE ARCOS

Seja y = f ( x ) contínua e derivável no intervalo fechado [a, b\. Queremos determinar o comprimento do arco AB.

Façamos a partição do intervalo fechado [a, è] em n partes pelos pontos

x o = a> x i> x 2 ...........x i - 1> XU • • ■ i x n - 1> x n = b

Obteremos sobre a curva os pontos

A = P0, P i , P2,

e daí sub-aicos e cordas.

í - l l Pi, 1 to II

Sub-arcos Cordas

^ õ > , = > P o P i

P ? 2 - ^ P 1P 2

P i - , P i ----------- > P i - i P i

P f i - \P n -— > P n - \ P n

O comprimento do arco

Ã $ = i = Â P 1 + í & 1 + . . . + í t t i + -- + Q Ín = W l + P ^ 2 +

ou seja (D

Arco Pj iPj ampliado.

Da figura do arco ampliado

Pi-iPi = A / c = V (A jx)2 + ( A ,^ ) 2

Pi-iPi = M i x y ■*fêy

í ' - f ' ■ v / H S 7 a,j

A/x~ = tga = / > « ) — > = V l + [ / ’t f A / x

__________Substituindo na ® > C= ^ V 1 + [ / '(a /) ]2A,x

Tomando-se o limite para A/x -*• 0 ou n -*■ °°.

6 = lim £ V 1 + [ /'(a ,) ]2A/x n - ~ f=1 i /X -Q

Exemplos:

Ej Determine o comprimento da circunferência de raio R.

O comprimento da circunferência é

rR£ = I V 1 + (j ,')2cíx

x 2 + y 2 = R 2.

e y = -2x

2 \ / K 2 - x 2 V i? 2 - x 2

Substituindo em (T):

'•‘[./"wh*

- r / K p '

« - 4 r - r ^ =J. d x = 4 Rx

arc sen — K

Rfi = 4 R ( arc sen — arc sen £ j= 4 /? (a rc

sen 1 — arc sen 0) £ o

'"o1 > fi = 2 * R\2 /

E2 Calcule o comprimento do arco da curva

y = 2 12

JC = 1 + 4f

Sabemos que fi ■í

para x € [1;1 + 4 \ /J ]I

l+4>/3

v l + (>')2dx, mas a curva foi dada pelas suas

equações paramétricas, então:

dy, dy dt A t a a a*y = -4- = -r~ = —r = t e d x = 4 d t ' dx dx 4

Os limites de integração deverão ser substituídos pelos correspondentes valores de t, então:

De x = 1 + 4 t > t = e para x = 1 ■> t — ^ - = 0

para jc = 1 + 4 \ Í 3 ■> í = ^ " =

Substituindo em í

=e> £ = J V l + t 2 4 d t ou £ = 4 j V 1 4- t 2 dt

No Cap. VIII, pág. 4, exercício E3, vimos que

./V l + t 2dt = Y V l + t2 + j £n(f + V l + í 2) + C

£ = 4 y V T + 7 7 + ~ l n ( t + V l + í J )

C = 4 | V l +3 +-| 8n(>/3 + V l + 3 ) - y V l +0

£n (0 + Vl +0)L v.________ __________/

£ = Y [3 • 2 + £n(2 + V3)J

£ = 12 + 2£n(2 + V3) ---- ~> £ = 12 + £n(2 + V 3 ) J

10.5 - ÁREAS DE SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO

A área da superfície de »evolução do arco P0Pn de uma curva y = f ( x ) contínua ao redor de um eixo do seu plano é o limite da soma das áreas geradas

p e lo sa rco s ÍÇP,, P^?i, . . . , PÍ~^?i,. . . , P„_lPn ao girarem ao redor do eixo, quando n -*■ \

No seu giro ao redor de Ox ele gera uma superfície cilíndrica elementarn

2jr/(a,)A ,e e S = lim 2rr £ /(a ,) A,-8

Tomemos o arco Pí- \P í -

= 2tt íx nS = 2tt |

como d í = V 1 + ( y ' ) 2d< (Cap. V, 4.2.5, pág. 8).

y V i + ( / y d *a

Se o arco da curva girar ao redor do eixo Oy

rdS = 2jt j x V l + (x ')2dy

Exemplos:

Ei Calcule a área da superfície gerada pela revolução ao redor do eixo Ox do arco da curva y 2 = 2x, de x = 0 a x = 4.

De y 2 - 2 x — > y = \ f l x e / = —V 2jc

S = 2* I

s ' 2 ' í Æ y ^ 4

íí 4

5 = 2ff • ~ (2x + l ) 1/2d(2x + I) Jo

(2x + l ) 3

S = 2n I \ / 2 x + 1 d*

S = n32 Jo

S = j n (V9* - V I»)

S = j n(27 - 1)

C 52 2T iru

E2 Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo Oy, doarco da curva y — \ f x de y — 0 a y = 2.

De V = \ / xX 0 1 8

y 0 1 2

A área procurada nos é dada, neste caso, por

■S = 2tt í x V l + { x f d yJo

De y = \ f x > x = y 3 e x = 3.y2.

Substituindo na (1) > S = 2tt J _y3 \ / l +Jo

S - f 6 í ( 1 + 9 / )'0

36 3c(y

4) i / s í ( r + 7 / )

5 = — 18

(1 + 9 / ) 3/222

S = ^ [1 4 5 V Í 4 5 - l )u 2

10.6 - MOMENTOS - RAIO DE GIRAÇÃO

10.6.1 - MOMENTO DE UMA ÁREA PLANA

Chamamos momento Me de uma área plana em relação a um eixo (e) ao produto da área pela distância de seu baricentro ao eixo.

Se a área for uma área composta de várias outras, seu momento em relação a um eixo será a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao mesmo eixo.

Nota: Em ambos os casos a distância do baricentro ao eixo é tomada com sinal.

Exemplos:

Ej Determine os momentos em relação ao eixo dos x da área plana limitada pela curva y 2 = x + 4, no 29 quadrante.

Solução:

19 passo — Fazemos um esboço da área, tomando um retângulo elementar.

29 passo — Montamos o produto da área elementar pela distância do seu baricentro ao eixo.

39 passo — Fazemos a soma dos infinitos produtos, através da integral definida.

29) Área do retângulo é - x A y

O baricentro é o ponto , y"j e o momento em relação ao eixo dos.

é, por definição, (—* Ay) • y.

39 ) M X = - f xy d yJ o

De y 2 = x + 4

Substituindo =

> x = y 2 - 4.

( y 1 - 4 ) y d y=>MX = íMy

- ÍcV3 - 4y )d y

= ~ 2y2

Mx = - [ 4 - 8 ]

Mx = 4

No exercício anterior, determine o momento em relação ao eixo dos y.

19 passo — O esboço gráfico já está feito e a área elementar é a mesma ( - * A y).

29 passo — 0 produto da área elementar pela distância de seu baricentro

ao eixo Oy é x ( - x Ay).

39 passo — A somã é My .

My = - y í Jo

De y 2 = x + 4 => x = y 2 4.

Substituindo = > My = - í (>2 - 4 Jo

t 2= - { ( / - 8 / + 16)<fy

1 / 8 /

My = - i t - f + 16^

Í ( t - t + 32

1 96 - 320 + 480 My = ~ l ' ---------15---------

JWy =12815

Determine os momentos em relação aos eixos coordenados da área plana limitada pela curva y = 4x x 2, no 19 quadrante.

a) Determinação do momento em relação ao eixo x, Mx .

19 passo — Esboço gráfico

y = 4x — x 2

4 x - x 2 = 0

x = 0x (4 - jc) = 0

A átea elementar é ydx .

29 passo — 0 produto da área elementar pela distância de seu baricentroy

ao eixo Ox é -y • (ydx).

39 passo — A soma é Mx .

Mx = \ j y2dxComo y — 4* - x 1 — - > Mx = ^ í (4x - x 1)2 dx

- i f f/o

Mx = -z I (16x2 - 8x3 + xA) dx

1 | l 6 * 3 „ 4 + x ^

* 0Mx = Í r \ ± - - 2 x * + ~2 L 3 5

1 fL9_24 . 10242 V 3Mx = x ( - 512 +

1 512 2562 ' 1 F " T T

b) Determinação do momento em relação ao eixo dos y , My .

Aproveitando o 19 Passo da primeira parte do exercício, tiramos a área elementar ydx.

29 passo — O produto da área elementar pela distância de seu baricentro ao eixo Oy, é x (y d x ) .

39 passo — A soma é My .

256 , My = -----64

w _ 64My ~ 3

10.6.2 - BARICENTRO DE UMA AREA PLANA

Seja uma superfície de área A e baricentro G (x, y ) .Da definição de momento de uma área plana em relação a um eixo, tiramos

Mx = A y e My = A x

Mx _ My (M y Mxe conseqüentemente, y = e x = — , logo G( —

Exemplos:

Ei Determine as coordenadas do centro de gravidade G (x, y ) da área da superfície dada na figura abaixo.

My MxSabemos que x = e y = - j - .

A área A é a soma das áreas dos retângulos marcados na figura:

i 4 = 2 X 5 + 6 X 2 + 2 X l + 2 X 5

A = 3 4 u 2

O momento de uma área composta em relação a um eixo é a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao mesmo eixo.Assim:

Mx = 10 X (2,5) + 12 X 1 + 2 X (2,5) + 10 X (2,5)

Mx = 6 7

INfEGRAL DEFINIDA 313

e My = 1 0 X 1 + 1 2 X 5 + 2 X 5 + 1 0 X 9

My = 170

_ 170 _ 67Log°, x = w = 5 e y = - .

Determine o baricentro da área limitada pela curva y = — e pela reta>» = x.

Queremos x e y .

19 passo - Façamos o esboço gráfico: x2

Nota: A ordenada do baricentro da área elementar é a média aritmética das ordenadas extremas.

29 passo — Calculemos A:

A J y d x = I ( y r - y c)d x0 •'O

- f ( - íA

- 1 4 2 2 , - 2 ~ T = t u

39 passo — Calculemos Mx e My :

O elemento de área tem área ydx.Para calcularmos o Mx , comecemos multiplicando a área ( y r — y ò ) ^ pela distância de seu baricentro ao eixo dos x .Assim,

[ (» - y c)dx] - j ( yr + yc)

-*r«'OJC + -T- ) X ---- — ) dx

-2 3 20

1 / 8 8 \ 1 16 8" * = 2 V T ' T y = 2 ' 15 = Ts

Para calcularmos o My , comecemos multiplicando a área (y r - y c)dx pela distância de seu baricentro ao eixs dos y.Assim:

[Or - y c)dx]x

- f (‘ - T

jcdxM,

« . - ' T - T

» / - T

49 passo — Calculemos x e ,y através das fórmulas:

2- My 1x = T = T =

10.6.3 - MOMENTO DE INÉRCIA DE AREAS PLANAS

Chamamos momento de inércia Ie de uma área plana em relação a um eixo (e) ao produto da área pelo quadrado da distância de seu baricentro ao eixo (e) de referência.

Exemplos:

E, Determine o momento de inércia do retângulo de base b e altura a em relação ao lado a.

Momento em relação ao lado a:

19 passo - Esboço gráfico

Consideremos o retângulo dado apoiado sobre os eixos coordenados e tomemos o elemento de área de modo que sua dimensão infinitesimal se apóie no outro eixo.A área elementar é a dx.

29 passo — Indiquemos o produto úa área elementar pelo quadrado da distância de seu baricentro ao eixo Oy, suporte de a, (a d x)x2

39 passo - Tomemos a soma dos infinitos produtos (adx)x2 entre 0 a b.

Ia = Í ax2dx = [x3]* = y - = a • b • b2 = j A b 2J o

Se não respeitarmos as recomendações acima para a tomada da área elementar, deveremos tomar para o momento de inércia de uma área retangular

— do produto da área pelo quadrado do comprimento do outro lado.

(Conclusão Importante: Cl)

(bdy)b2

I„ = y • 62

Ia = j X . Z>2

Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos _v da área limitada pela curva y = 4 — x 1 e o eixo dos jc.

19 passo — Representação gráfica e área elementar:

y = 4 - x 1

4 - jc2 = 0

x = ±2

— 2 00 42 0

O elemento de área será tomado com a dimensão infinitesimal no eixo dos x e sua área y dx.

29 passo — Produto da área elementar pelo quadrado da distância de seu baricentro ao eixo dos y .

( y d x ) • x 2

39 passo — Soma dos infinitos produtos:

- í .

=2 íx 2y d x

x 1yd x (em virtude da simetria da curva).

Como y = 4 — x 2 = > / , = x 2(4 - x 2)dx

■*r•'o (4x2 - *4)<ix

2 I 3 5

, 64 _ 128l y ~ L ' 15 " 15

_ 12815

Se considerássemos o retângulo elementar com a dimensão infinitesimal nc eixo Oy, o produto elementar para a. obtençío, do Iy seria

(xdy)x2 (Exercício Ej, pág. 30, C.I.)(•4

- * í *•'Ox 3dy

Como y = 4 — x 2 — > x = ^ 4 ”

■ f f J 0(4 - y f 2 dy

3 Jo(4 — y ) in d (4 — y )

r _ 2 (4 — y)sr - = - l 5 ( ° - 25) = 15

E3 Determine o momento de inércia em relação a cada um dos eixos coordenados da área limitada pela curva y = sen x, desde jc = 0 a x = ir e pelo eixo dos*.

Determinemos o momento em relação ao eixo dos y. A área elementar é ydx.O produto ( y d x )x 2 e

- fI v = I x 2yd x

- fJox 2 sen x dxe como y = sen x Iy

Integrando por partes,

f x 2 sen xdx = 2 cos x + 2 x s e n x - x 2 cosx + C

Jox 2 sen xdx = [2 cos x + 2 x sen x — x 2 cos x]nQ

Iy = (2 • cosjr + 2ttserur — 7r2 cos7r) — (2 cos0 + 2 ■ 0 • sen0 - 1 0 - 1 1

— O2 cos O)

Iy = - 2 + 7T2 - 2

Em relação ao eixo dos x:

Iy = ff2 — 4

Tomamos y da área e multiplicamo-lo pelo quadrado da distância ao outro

lado: y 2 (CX, pág. 30)

<-i[Joy 3dx

Como y = sen x,

sen3xdx = — cos x + — cos3xJo

I x - J COS 7T + y COS3 7r j - ( — COS 0 + y COS3 0

E4 Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos _y, da área limitadax2no 19 quadrante pela curva y = — e pela reta x — y = 0.

^ = T X - J = 0

JC X 7

•Kc 0 0 0 0

2 1 4 44 4

O momento pedido é em relação ao eixo dos y. Façamos, então, a partição do eixo dos x.A área elementar ( y r - y c)dx.O produto pelo quadrado da distância é

[ ( » - y c)d x ] x 2

10.6.4 - RAIOS DE Gl RAÇÃO

Chamamos raio de giração ao número positivo R definida pela relação

/ e = A R 2

Exemplo: No exercício anterior determine o raio de giração.

64Além do momento ly — - y , calcularemos a área A.

Então, se

o R = J - V ã õ .

- 4PR! Calcule I arcsenxdx.r

Integremos, primeiramente, a integral indefinida /arcsenxdx. Vimos na integração por partes que

Jaicsenxdx — xarcsenx + V 1 — x 2 + C

Então

V ã s/T

arcsen xdx = xarcsenx + V l - x 2 o L Jo

£í 2 w f V 2 y f l í 2~\I arcsenx d x = I — arcsen — — I- / 1 — I -

— (0 • arc sen 0 + V 1 — 0)

l ’ “ ■ » * * - + ^ r - > - }r ( í + *

íPRj Calcule

/ í n x * = / í n x d(Knx) = y ( £ n x ) 2 + C

T o * 1J t 2 n x y = 2

Jf‘ ín, f . i ( l = - 0 = ) . i

' = y[(8ne)2 - (g rU )2]1 T T

PR 3 Calcule | \ fx d x .fComo

„3/2f \ f x d x = f x l/2dx = + C = — JC >/jT + C

r \ f x d x = i = | ( 9 V 9 - 1V T ) = | ( 2 7 - 1) = y

PR4 Calcule a área da superfície limitada pela curva jí = 3_y — _y2-e pela reta x =0.Representemos graficamente a curva, marquemos a superfície cuja área queremos calcular.

O retângulo elementar tem área x d y com x > 0, então,

f>3 y3

(3y - y 2)dy- f — f J 0 •'o

p / - / ) * - ¥ - 4 + c

S = 3 z ! _ z i2 3

= 27 _ _9 2 o 2 2 U

PR 5 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = 4x — x 2 e pela reta y = x.

Façamos os gráficos da curva e da reta e marquemos a superfície S.

y = 4 x — x 2 y = x

X y- 1 - 50 02 44 05 - 5

=> x 1 — 3x = 0

Calculemos o ponto de intersecção

f y = 4 x - x 2P < > x = 4 x - x 2

[ y = x

Notamos na figura que o elemento de área tem por base dx e por altura a diferença das ordenadas da curva e da reta, logo sua área é (y c — y r) dx e a área procurada

S = í (^c - » ) d x = í (4x - X2 - x)dx «'o •'o

(3x - x J) dx

f ( 3 x - x 2)d x = ^ - - ? - + C.

Então,

5 = 3x2 3

PRé Calcule a área do círculo de raio R.

27 27 27 9 2 o 2 3 6 ~ 2 U

A área do círculo limitado pela circunferência x 2 + y 2 = R 2 é igual a 4 vezes a área do setor circular S%.

Então 5 = 4S i

Um elemento de área de S , é o retângulo de área ydx.

r R r REntão, 5 i = I y d x e 5 = 4 5 , = 4 I y d x

De x 2 + y 2 = R 2 tiramos y = V /? - x 2 (apenas y > 0)

rRLogo, substituindo, 5 = 4 I \ / R 1 - x 1 dx

Integremos j \ / R 7 — x 2 dx

Esta integral foi estudada no Capítulo VIII, pág. 4, exercício E4.

f y /a 2 - x 2 dx = arc sen — + ^ \Ja2 - x 2 + C L a 2

No nosso caso

f y / R 2 - x 2 dx = arc sen -§ + 4 \ J R 2 - x 2 + C L K. L

'NTEGRAL DEFINIDA 325

R x , x ------2— arc sen — + — v R — xR 2

arcsen-^ +

c * R2 15 = 4 - — arc sen 1

5 = 2 * ’ - §

5 = nR 2\i2

x 2 V2PR7 Determine a irea da elipse — + = 1.

Do mesmo modo que no exercício anterior, a área desejada 5 é igual a 45,.

5 = 4 S i e o retângulo elementar tem área yd x , o que nos dá

■ í5 , = y d x

De ^ + 4 = 1 a 62

=> è2*2 + a2jy2 = a2 ô2

► y = 4 < « 2 - * 2)

=> y = — \ / a 2 - x2

Substituindo em (1)■ ' - * í

(> -> 0 )

V a 2 - x 2dx

J\/a2 —x l dx = -y arc sen y + ^ V a2 - * 2 + C (Exercício ant.)

a-=• arc sen .2 a 2

S = —a I a•'o

„ 4Z>[a2 a , a n ------j a2 0 , 0 n — ~S = — — arcsen — + — va^ - a - — arc sen — + — v a — 0

r. 4 b a 2 S = — • — arc sen 1 a 2

5 = 26a • j

S = irabu2

Notemos que a área do círculo é um caso particular da elipse: quando a — b = R.

PR8 Determine a área de um trapézio de bases b e B e altura h.

Seja o trapézio OPQR referido no referencial cartesiano xOy.

CHS = I ydxJ o

A reta que limita a superfície OPQR tem por equação y = ax + b, o que nos dá

- çJ o(ox + b)dx

Como j(ax + b)dx = + bx + C, resulta

S =ax . . — + b x ah2 + bh (D

B - bNotemos, porém, que a = tg a. Do triângulo RTQ tiramos tg a = -—^

B - bportanto, a = — ^— .

Substituindo na (1):

„ _ B - b h\S - ~ Y ~ - T + bh

Bh — bh + 2bh 2

Bh + bh

s = u2

Fórmula conhecida da Geometria

PR9 Determine a área da superfície limitada pela curva y = 3 x2 — 4x + 1, pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 2.

As raízes de y = 3x2 — 4x + 1 são

Marquemos graficamente a superfície:

■ rLogo, 5 = yd x .

- ÍComo y = l>xí — 4x + 1 > S = | (3x 2 — 4x + l)d x e sendo

/(3 x 2 - 4x + l)d x = x 3 — 2x2 + x + C

= > S = [x3 - 2x2 + x] \ = (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 2 u2

PRio Calcule a área da superfície limitada pela curva y = a2x — x 3, pelo eixo dos x e pelas retas x = — ã e x = a.

As raízes de y = a2 • x - x 3 são:

a2x - x 3 = 0

' x = 0

=> x = ±ax(a2 x2) = 0

a1 - x2 = 0

a 3 a3~ 2 8

a 3a32 8

Dada a simetria da curva, as duas superfícies assinaladas têm a mesma área.

Logo, S = 25 ,.

5i = f ydxJ o

5 - 2 í (a2x — x 3)dxJo

n2r2 Í4J(a2x - x 3)dx = - ~ + C

o que nos dá

S = 2a x ‘

S = 2 => S = U2

PRU Determine a área da superfície limitada pela curva y = el i n x , pelo eixo dos x e pelas retas x — 1 e x = 2.

A função y = eí in x preparada equivale y = x 1. Seu gráfico é o da figura abaixo.

y = x-x dx

Mas, l x 7dx = — + C

8 1 7 2 , 3 3 3 U

PR12 Calcule [ M dx.

Determinemos a integral indefinida:

V i - x v T

Vi + x V T

í ^ - f v é p - f -vT

V l - x 2

d(l - x2)

+ JCdx = are sen

1 - x1 + x

= arc sen x + -y / (1 - x2) ' 1/2rf(l - x 2)

J — 7^ dx = arc sen x + V l — x 2 + C

f y w .j 0dx = [arcsenx + \J 1 — x 1 ] * = [arcsen 1 +\/1 — 1 ] —

= [arcsen 0 + \ / l — 0]

f / w ,J 0

PR13 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 + 1, pelo eixo dos x e pelas retas x = - 2 e x = 3.

Representação gráfica: X y- 1 20 11 2

O elemento de área da superfície S é 0 retângulo marcado de área yd x ,

com y > 0 , então:

-JL2 — I ydx, como y = x + 1 ------ 1> S - w : (x2 + 1 )dx

A integral indefinida \{x2 + 1 )dx = — + x + C o que nos dá

3S - 2 =

PR 14 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3 - 4 e pelas retas y = 0, x = - 2 e x = 1.

- 2 - 1 2

- 1 - 5

O elemento de área da superfície dada é y d x , com y < 0, então:

- £ydx

ou permutando os limites de integração:

(x3 — 4)dx- r

Como / (x3 - 4) dx = — - 4x + C,

■ — 4x4 - 4

5 = 1 2 + ^ = f u,4 4

PR1S Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3 — x e pelas retas y = 0, x = - 2 e x = 2.

X - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

7 - 2 4 - 6 0 0 0 6 24

Notamos que no elemento de área da superfície dada, yd x , o fator y ora é positivo, ora negativo.

Dada a simetria da curva, podemos calcular as áreas nos intervalos [0, 1] e [1, 2] e tomá-lo em dobro.

S = 2 (50l + S ? )

- 2 (] [ 4- J

“2(Í

= 2 ^ (x 3 -x )< £ t + J (x 3 — x ) d x ]

Como J (x 3 - x )d x + C

o5 = 2

5 = 2 - I + I4 2

4 - 2 - i + i* 4 2

s=2(í + 2+i)S . 2 . - | - 5 u >

PR16 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = 6x - 3 x 2 e y = 2 x - x 2.

y = 6x - 3 x2 X y y = 2x - x 2 X 76x - 3x2 = 0 - 1 - 9 2x - x2 = 0 - 1 - 3

2x — xJ = 0 0 0 x (2 — x) = 0 ---- > 0 0

x (2 - x) = 0 — 1—-> 3f x = 0

1 12 0 2 u

YX II O 3 - 9 \ x = 2 3 - 3

| x = 2

0 elemento de área y d x tem o y diferença dos y da curva mais alta e mais baixa, y = y i - y 2.

Então

■ fO i - y i )d x = >

> S = (6x — 3x2 — 2x + x 2)d x = = >■í- f> S = (4x — 2x 2)dx

9 x*Como l(4x - 2x 2)dx = 2 x 2 ------— + C resulta

S = 2 x 2 ----- —

16S = 18 - y ) - 0

* = i u28

PR,7 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 e pela reta y = 4.

X y- 1 i

O elemento de área é

CVr ~ y c)dx = (4 - x 2)dx

Então

i*2)dx

Como /(4 — x 2)dx = 4 x - y + C >

=>5 = 2 4x - — 3 32 2= T U

PRjg Calcule a área da superfície limitada pela curva y — x 2 e pela reta y —x + 2.

Aproveitemos os dados do problema PR17 na representação da curva.

0 elemento de área é (y r - y c)dx = (x 4- 2 — x 2)dx.

Então,

- £(x + 2 - x 2)dx

I X^S = t + 2 , - t

5 = < 2 + 4 - í J - ( t - 2 + Í

PR i; Calculedx

y / x 2 - 4usando a substituição dos limites de integração.

Façamos a substituição da variável x e, conseqüentemente, a substituição dos „limites, de integraçãio.

Da figura => 2 = x cos a => x =cos a

A substituição da variável nos leva a substituir os limites de integração. Assim, de

x = 2 sec a ■■

para x = 4

para x = 2

=> see <*j = 42

2=> sec a, = —

=> ot2 = arc sec 2

=> sec a = -j

ir=> «2 = T

=> a, = arcsec I a, = 0

r 4 z*1 r -j dx _ j 3 2 se ca tg a d a _ I 3 daJj x 2 \ / x 2 - 4 J0 4 sec2 a • 2 tg a 4 J0 sec a

- 7T1 f T = I cos a a a

r 1 V x 2 - 4 4= -j I sen a| = -j (sen — sen 0) =

1 / V 3

x 2 y /x 2 — 4

PR20 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = 4x - x 2 e y — x 2.

y = 4 x - x 2 — --- > 4x - x2 = 0 y = x 2

OII'h'1X

- 1 - 5x = 0 e x = 4 - 1 1

raiz 0 0 0 0

média 2 4 1 1

raiz 4 0

y 2 = 2x - 2 = > X > 0

y = x — 5

X 1 3 5,5 x 0 3

0 ± 2 ±3 y - 5 - 2

Os pontos de intersecção da curva e da reta são

y 2 = 2x - 2

y = x — 5= > (x - 5)2 = 2x - 2

=> x 2 - 10x + 25 - 2x + 2 = 0 => x 2 - 12x + 27 = 0

=> y = 3 - 5 = - 2

=>.>’ = 9 — 5 = 4

Xi = 3

Xj = 9

O elemento de área no caso presente deve ser do tipo xd y , isto é (xr - x c)dy. Se tomado do tipo y d x teremos que calcular duas integrais definidas nos intervalos [1, 3] e [3, 9], pois a área da superfície ABCé limitada pela curva

y 2 = 2x — 2 --------> y x = + V 2x — 2 e y 2 = — \Í2 x

e a área da superfície CBD é limitada por y = V 2 x — 2 e a reta y - x — 5.

Então:

= j" (xr - x, ) dy 0 )

Como a reta é y = x — 5

y 2 = 2x - 2 > x c =

=> xr = y + 5 e a curva é

_ / + 2

Substituindo na (1) => S - i (y + 5 - J j - l ) d y

y2 y3 Í - - Í - + 4,4

S = - y = 18u2

PR21 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = 4x — x 2 e y = x 2

4* — x2

Da figura concluímos, diretamente, que as curvas se interceptam nos pontos (0 ,0) e (2,4).Esta determinaçío deve ser feita através do sistema de equações

y = 4x - x 2

y = x 2

=> x 2 = 4x - x 2 = > 2x2 — 4x = 0 ■ - - - > x 2 — 2x = 0 = >

x = 0 = > y = 0 = > (0, 0)

x = 2 —> y = 4 =- > (2, 4)

No cálculo da área, a partição do intervalo neste exercício poderá indiferentemente, ser feita no intervalo [0, 2] C Ox ou no L0, 4] C Oy.

^ > x ( x - 2 ) = 0

No 19 caso o elemento de área é ( y t — y ^ d x e S = I - y 2)dx.

*»4No 29 caso o elemento de área é (x 2 - x t)d y e S = I (x 2 — x ^ d y .

= Í (J'!J 0

É evidente que no 19 caso a solução se torna mais fácil.

Então,

(4x - x 2 — x 2)dx

2■2 \S = (4x — 2x2)dx

S = | 2*2 - ¥ I—-¥-4-*PR22 Calcule o volume da esfera gerada

redor de um dos eixos de rotação.

-=> V = 2rr I* }>2íit Jo

Mas de x 2 + y 2 = A2 tiramos >> = y pelo seu valor, vem

la rotação do semicírculo de raio R ao

O setor BOA girando ao redor de Ox gerará um hemisfério.O elemento da área do setor BOA é o retângulo ydx.

O volume da esfera V = 2 Vx.

[ RF, = 7T J y 2dx — >Jo

V i?2 — x2, y > 0 e substituindo em (1)

V = 2ir I" (R * - x 2)dx

PRj3 Determine o volume do cone reto de revolução de raio R e altura h.

Sabemos que o cone de revolução é gerado por um triângulo retângulo dando um giro completo ao redor de um dos catetos.Através de uma reta que passa pela origem, y = ax, obteremos o triângulo retângulo desejado OAB.

O elemento de área é o retângulo de área yd x e o cilindro elementar terá o volume n y2dx.Logo,

y y = ax

hV = 7T

como y = ax, vem:

- f * 0a2x 2dx = a2n x

V = a2n

Do triângulo OAB

v R2 h3

k = i 4 ! í u>

Calcule o volume do tronco de cone reto de revolução de altura h e raios das bases r e R.

O referido sólido é gerado por um trapézio retângulo que gira ao redor da altura.

= ax + r

Tomemos a reta y = ax + r referida no referencial cartesiano xOy. A superfície AOBC é o trapézio necessário. Tem bases r e R e altura h. O retângulo elementar de área y d x gerará o cilindro elementar de volume n y2dx.

Então:

•'Oy 2dx.

Substituindo y > V" fJo

(ax + r)2dx

V = n í (a2x 2 Jo

+ 2 arx + ^ d x

V = ir\a2^ + arx2 + r*x

V = ir ( a2 — + arhí1 + r2 h 0 )

Mas do triângulo ADC

Da (1) vem:

=> a = tg a =

F = 7T (R ~ rY , R - r .2 , fc* 3 + A + r / i

K = ir (KJ - 2Rr + r * ) j + (Rr - r2)* + r2*

Colocando — em evidência:

K = y [i?2 - 2Kr + r2 + 3(Rr - r2) + 3 r2]

V = y (i?2 - 2Rr + r2 + 3flr -J r ^ + ^ r * )

7 = y (fl2 + t-2 + Kr)u}

PR25 Determine o volume do elipsóide de revolução gerado pelo giro ao redor dox 2 y 2

eixo Ox da superfície elíptica limitada pela elipse ~~T + ^ = *'

V = 2 V l

-rV = 2 n I y 2dx (1)

De 4 r + ^ - r = l ------- > b2x 2 + a2y 1 = a2 b2 =----- >a2 b2

2 2 2 1.2 u2 2 2 b ( t i — X> a * y ‘ = a b* - b l x * > y 1 = — i i

Substituindo na (1) — V = 2 ir I — (a2 - x 2)dxr.*=2’ í f (a2 — x2) dx

V = 2n \a2x - ~ a

V = 2jt 4 a

3a2x - jc3

„ „ Z?2 3a3 - a 3 „ ò2 2a3r - 2 « 7 . — j -------- 2 " 7 ' —

F = —irab2 u3

Se o giro for ao redor de Oy ■ = - > K = —na2b. Verifique

PR26 Determine o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor de Ox, da superfície limitada pela curva y = 4 x - x 2 e pela reta y = 2x.

y = 4x - x 2 4x - x 2 = 0

jc(4 - x) = 0OIIH

y0 02 44 0

y = 2x

O sólido gerado é oco, pois o elemento de área gerará um anel circular elementar n ( y 2 - y 2)dx. Então

í O'«?-Jo

substituindo o y da curva e o ^ d a reta, vem

V - n ( [(4* - x 2f - (2x)2 ] dxJo

V = 1 r í (16xs - 8x3 + x* - 4x2)dx Jo

PR27 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor do eixo Oy, da superfície limitada pela curva y = x* e pelas retas y = 0 e x = 2.

Sólido oco:

O anel circular elementar tem volume

ff(x? - X*)dy

mas, xr = 2 e x c = s fy

Então,

/*8V = n I (2J - s fy í )dy

V = n 1 (4 — y )dy *0

K = i r | 4 7 - - | / /3

V = ir ( 3 2 - - f V s *

V = ir ( 3 2 3 2 j

K = ;r 160 - 96

v 64 37 = y f f u ’

PR28 Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela superfície limitada pela

curva y = — j—- , pelas retas y — 0, x — — 1 e x = 1, girando ao redor do1

eixo Ox.

1 * - 2 - 1 0 1 2

y 1 + x 2 „ 1 1 1 1 15 2 2 5

0 elemento de área é y d x o volume elementar iry2dx, logo:

V = ir | y*dx" £

C 1= TÍ I ------- dx

ou, o que é mais fácil,

V-' = 2?r ------L - 5 dxJo (1 +*1)2Façamos x = tga -------> dx = sec2a d a

os limites de integração serão a = arctg x, logo para

x = 1 — > a = arc tg 1 = -T

x = 0 > a = arc tg 0 = 0.

Substituindo na (1) — ----> V . 2 ,j » o +

tg2 a )2

z í[ sec2a d a „ |

= 2 * J 0 ^ r = 2 " ] 0 ;

=> V = 2n I cos2 a d a = \ n I - •'o »0

+ cos2 a ~ 1

1 P=> V = ir\ I da + — I cos 2ad(2a) I

V = ir ^ — 0 + (sen -y — sen 0)

PR29 Calcule o comprimento do arco da curva y = - y para x ê [ - 1 , 1 ].

=> - 1

Como y =

= j V 1 + { y ' f d x ou 2 = 2 j* V l + (y ')2dx

= 2 I V l + x 2 dx mo

=> ÿ = X - > 2 :

Substituição da variável:

Da figura tiramos

x = tga

dx = see2 adoí

Vl + x 2■\/1 + X 1 = cos a

v l + x2 = sec a

Substituição dos limites de integração:

De x = tga -■ > a = arctgx

para x - 0 > a = arc tg 0 -------> a = 0

para x = 1 - > a = arc tg 1

n-> a ~ 4

rrrí = 2 sec a • sec2 a

2 = 2 I see3 a da = 2

— see a tg a + 2 n (see a + tg a)

2 = sec^-tg-j + 2n(sec— + tg — ) - see OtgO - £n(sec 0 + tg 0)

2 = —,L • 1 + 2n ( -~ + l ) - 2n(1 + 0)\ Í 2 \ V 2 J '----- v---- '

2 = \ [ 2 + 2n (V T + 1) unidades.

PR30 Calcule o comprimento do arco y = Snsecx no intervalo fechado j O, “ -j.

í8 = I y / l + ( y ' f d x (1) 0

Determinemos y

1y = secx

=> y = tgx

secx • tgx

Substituindo em (1) = > 8 = I V 1 + tg2x d x = I seexd x•'o •'0

8 = [8n(secx + tgx)]

8 = 8n ^sec ^ + tg j — 8n (see 0 + tg 0)

B = 8 n (V 2 + l ) - 8 n ( l + 0)

8 = 8 n (V T + 1) unidades.

PR3i Calcule o comprimento do arco da curva x A - xy = 1 de x = 1 a x = 2.

Como sabemos

■ í8 = I V l + ( y ') 2dx

De x 4 - 24xy + 48 = 0 — > y =x4 + 4 8

24 xx 3 2

então,

, x 2 2 , x 4 - 16

Substituindo em £:

' - U '

■ f t

64x4 + x 8 - 32x4 + 25664x4

V x 8 + 32x4 4- 256 8x2

dx = r v ( x 4 + 16)2 Ji 8x2 dx =

- ( M1 24 x

e = - 2 + i Z3 24 => £ = -^7 unidades. 24

PR32 Ache o comprimento da curva

para f e [0, VT]' = 3

Sabemos que

rb£ = f V l + ( / ) 2<&

Determinemos y :

dy_, dy d t t 2

y = ^ = ^ = T = Í d t

dx = ídí

£ = I V l + í 2 td t•'O

/•>/? 1,dt o + Í í )i / í d ( r r 7 ?)

£ = -2(1 + t 2)

V?£ = { [ (1 + r2) 3

£ = j [ ( l + 3 )3/2 — (1 + 0 ) 3

£ = -j (8 — 1) = - j unidades.

PR 33 Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo dos x, do arco da curva

y = 2 t

X = 4 + 2r

A área nos será dada por

de t = 0 a t = 2.

S = 2ir í y V 1 + ( / ) 2 dx Ja

Determinemos y e dx\

dy, dy d t 2 , , „ ,

y = -r~ ~~T~ = T = 1 e dx = 2 d t dx dx 2dt

Substituindo na fórmula (1):

- 2 , f J 0

2 f V l + 1 • 2df

S = 2 tt • 4 V 2 td t0

S = 4ttV 7 [ í j ]J

S = 4n V T ( 4 - 0 )

|S — 1Ó7T \/TU j

Calcule a área da superfície gerada pela revolução ao redor do eixo Oy, do arco da curva y = x 2 de y = 0 a y = 2.

Como a rotação se dá ao redor de Oy, a área será calculada pela fórmula

De y = x 2 - —> x = Vy" e x =

Então,

5 = [ s f è - V I7 ]

S = | ( 2 7 - 1 ) = ^

S = T » 5

0 momento é em relação ao eixo dos x. Façamos a partição do eixo dos y.

PR 35 Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos x da área limitada pela curva x = 4y - y 2 e pelo eixo dos y . Calcule o raio de giração.

4 y - y 2 = 0 X y0II1 0 0

011 4 2

y = 4 0 4

Área elementar xdy.

Produto da área pelo quadrado da distância do baricentro ao eixo dos x , (xd y )y7.

Ix = I y 2xdy

Como x = 4y - y 2.

1* = I y \ 4 y - y 2)dy- i

" í(4^3 -

1.024= 256 -

I x =256

Como a área A (4y - y 2)dy

Entío, de

IX = A - R 2 256 _ 32 d2 ~5~ ~ T

R = ou R = y s/3Õ.

íPP! Calcule I senóx cos 2xdx.

R e s p .: j

rJoPP2 Calcule | cos x cos 5x dx.

1Resp.: -

/>PP 3 Calcule I x 2 V 1 + x dx Sugestão: Faça \ f \ + x = t.

Resp.: — 105

PP4 Calcule I x 2 \J 7 — 4 x 3 dx

PP5 CalculeJo V *3 + 1f 2 x 2dx

PP6 Calcule

Resp. :

Resp.: (Sn 2)u2

PP8 Determine a área do trapézio limitado pela reta x 4- y - 10 = 0, pelo eixo dos x e pelas ordenadas de x = 2 e x = 8.

Resp.: 30 u2

PP? Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3, pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = 4.

Resp.: 64 u2

PP10 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3, pelo eixo dos y e pelas retas y = 0 e y = 8.

Resp.: 12 u2

PPU Calcule a área da superfície limitada pela curva x y = 4, pelo eixo dos x e pelas retas x = b e x = a.

PP12 Calcule a área da superfície limitada pela curva x V 4 - x2 - 2y = 0, pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = 2.

Resp.: j u 2

PP!3 Calcule a área da superfície limitada pela curva y — ^ — , pelo eixo dosV x + 4

x e pelas retas x = 0 e x - 5.

Resp.: 20 u2

PPu Calcule a área da superfície limitada pela curva y — x 2 — 9 e pelas retas y = 0, x = 2 e x = 4.Resp.: 6 u2

PP15 Calcule a área da superfície limitada pela curva y — 4 x — x 2 e pelo eixo dos x.

32 ,Resp.: - y u

PPi6 Calcule a área da superfície limitada no 19 quadrante pela curva y = s f x e pelas retas ^ = 0, ^ = 2 e * = 0.

Resp.: y u 2

PP17 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = 4x - 2jc2 e y = 2x - x 2.

Resp.: y u 2

PP)8 Calcule a área da superfície limitada por y = sen x e pelas retas x = y e

Resp.: y u 2

PP19 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = x 2 e y = \ f x .

Resp.: y u2

PP20 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas x = 8y — 4y 2 e x = 2y - y 2.

Resp.: 4u2

PP2i Calcule a área da superfície limitada pela parábola y = 6x - x 2 e pela reta y = 2x.

PPI2 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 — 8x + 7 e pelas retas y = Q , x = 2 z x — 9.

Resp.: 48 uJ

PP23 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = 8n x e pelas retas x = e e y = 0.

/Jesp.: 1 u2

PP25 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = x 2 — Ax e y = x 3 —- 6 x2 + 8x.

d 71 2 Resp.: ~2~ uU

PP26 Calcule a área de um dos “gomos” limitados pelas curvas y = sen x e y = cos x.

Resp.: 2 \ / 2 u 2

PP27 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor do eixo Ox, da superfície limitada pela curva y — x 2 e pelas retas y = 0 e x = 2.

PP28 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor do eixo Ox, da superfície limitada pela curva y = 4 — x 2 e pela reta y = 0.

P P 2 9 Calcule o volume do sólido que se obtém pela rotação, ao redor do eixo dos x, da superfície limitada pela curva y = x 2 + 1 e pela reta y = 5.

PP30 Calcule o volume do sólido que se obtém pela revolução, ao redor do eixo Ox da superfície limitada pela curva y = x 2 e pela reta AB, com A ( — l, 1)

PP24 Calcule

Resp.: -y iru3

e 5 (3 , 9).

D 1.088 3Resp.: —j j — iru

PP31 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor de Ox, da superfície limitada por

- x para x < 0y =

x 2 para x > 0e y = 4

D 1.024 3 Resp.: - jg 7T u

PP32 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, ao redor de Ox, da superfície limitada por

Í 3 x - 2 y =< 2 para 1 < x < 2

Resp.: 7tu3

PP33 Calcule o comprimento do arco y = 1 — £n cossec x para x 6

Resp.: £n(\A 2 + l)u

PP 34 Calcule o comprimento do arco da curva

7T TT_4 ’ 2

y = 1 + 2 t

x = 3 + tcom t < 0,

Resp.: 1 u

PP35 Calcule o comprimento do arco da curva y = — no intervalo x € [0, 2 \[2 ) .

Resp.: 12 + y £ n (3 + 2 > /2)u

PP* Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo Ox de um laço da curva x* — 4 x 2 + 32 y 2 = 0.

Resp.: k u2

PP37 Calcule a área do elipsóide gerado pela revolução, ao redor de Ox, da elipse

( 4 yj~3

X 2 V2 — +■*-= 1 16 4

Resp.: 8 it ■ n + l u

PPm Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo Oy, do

Resp.: 8 n u 2

PP39 Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo Ox, do arco da curva

f x = 5 sen3 0< , desde 0 = 0 a 0 = ir[ y = 5 cos3 0

Resp.: 607TU2

PP40 Determine o raio de giração em relação ao eixo dos y da área limitada pela curva y = 4 — x 2 e pelo eixo dos x.

2Resp.: — \/~5

PP41 Determine o centróide (baricentro) da área plana limitada pela curva y = = 4 x — x 2 e pelo eixo dos x.

PP42 Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos y da área limitada pela curva y = 9 — x 2 e pela reta y = 0.

APÊNDICE

FORMULÁRIO

LOGARITMO

1) log„b = c < = = > sc = í i ( 0 < a ^ 1 e 6 > 0 , a e J reais)

2) al0«a* = 6

3) log aab = b

4) loga (AB) = \ogaA + [ o g aB ( .A > 0 e B > 0)

5) loga— = loga>i - loga B {A > 0 e B > 0)

6) logaA c = c loga A (A > 0, c real)

7) loga V~b = loga b lln logab (n E N * , b > 0)

8) loga b = j0g (b > 0 , 0 < a = £ l , 0 < c # l ) (mudança de base)

Observação: Quando a = e os logaritmos sãfo denominados “logaritmos na base e” ou logaritmos neperianos onde e é o número irracional 2,718281 . . .

BINÓMIO d e n e w t o n

(* + «)"= apx n ~p +

362 CALCULO DIFERENCIAL EINTEGRAL

°/ VI/ \ y \PjTermo Geral

(x + a y = Xp=o ' P '

TRIGONOMETRIA

1) sen2 x + cos2 x = 1

sen x2) tgx =

cos X3) cotgx = -------sen x

14) secx = cosx

15) cossecx = sen x

6) tg2x + 1 = sec2x

7) 1 + cotg2x = cossec2x

8) sen 2x = 2senx cosx

9) cos 2x = cos2x - sen2*

10) cos2x = (1 + cos 2x)

11) sen2x = - ^ ( l - c o s 2 x )

12) tg 2 x = í 2_ 2tg x 1 - tg2x

13) sen 3 a = 3 sen a - 4 sen3 a

APÊNDICE 363

14) cos 3 a = 4 cos3 a — 3 cos a

15) cos (a + b) = cos a cos b — sen a sen b

16) sen (a + b) = sena cos b + sen b cosa

17) cos (a - b) = cos a cos & + sen a sen 6

sen (a - 6) = sen a cos b - sen b cos a

TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO

a + è a - 6 cos a + cos b = 2cos — — cos — -—

cos a — cos b =

a + i a - b sen a + sen b = 2 sen — — cos — - —-

„ a - b a + b sen a — sen b = 2 sen — -— cos — - —

ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS

1) Retângulo: A r = b • h

2) Triângulo:

3) Trapézio:

4) Losango:

A t ■=b • h

A Tr =

=d, • d2

5) Circulo: A c = irR2

6) Setor circular: •^setor —<xR2

7) Segmento circular:ß 2

^seg = - y (a - sen a)

(a em radianos) ou

(2 é o comprimento do arco)

(a em radianos)

8) Coroa circular: ^ coroa — { R 2 — f 2)

VOLUMES

1) Paralelepípedo:

2) Prisma:

Vp = a • b • c

V - B • h (B é a área da base)

3) Pirâmide:

4) Cilindro:

5) Cone

V = j B ■ h

V = irR2h

V = j vR 2h

6) Esfera: V = j n r *

SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO

1) Área lateral do prisma: A l = 2p • a (2p é o perímetro da secção e a é medida da aresta lateral)

2) Área total do prisma: A j = A i + 2 B A f — 2pa + 2 B

3) Área lateral do cilindro: A i = 2 irrh

APÊNDICE 365

4) Área total do cilindro: A f = 2nr(h + r)

5) Área lateral do cone:

6) Área total do cone:

A l = nrg

A j = ?ir(f + r)

7) Área superficial da esfera:

VOLUME DE TRONCO DE:

1) Prisma triangular: V = B

A = 4 ff/-2

a + b + c

2) Pirâmide com bases paralelas:

3) Cone de bases paralelas:

V = - j [ B + sfB b + b)

nhV = [R2 + R r + r2)

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