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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
VOLUME I
Armando Righetto Antonio Sérgio FerraudoProfessores do Instituto Politécnico de Ribeirão Preto da Instituição Moura Lacerda
IBEC — Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. 1981
r
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Agradecemos:
ÀENCYCLOPAEDIA BRITANNICA DO BRASIL PUBLICAÇÕES LTD A., que gentilmente nos cedeu as fotos de Newton e Leibniz e os textos correspondentes.
ÀSILVIO JOSÉ VITORINO, pela produção da capa.
ÀISABEL REGINA GONÇALVES DE OLIVEIRA,ANDRÉA RAMPANIMARIA ALICE SA VIOLIGONÇAL VES eSUELY SABADINI,pelo trabalho realizado com os filmes.
Caro leitor,
Eu e o Ferraudo somos espiritualistas. Acreditamos na prevalência do espirito sobre a matéria.Para nós as características do homem são a lealdade e a honestidade. Os conhecimentos são acréscimos sempre bem-vindos. Daí afirmarmos que o homem não se caracteriza pela grandeza do gênio, mas pela alteza do caráter e este se forma no coração.Aprendamos a agradecer a Deus por tudo que nos tem sido concedido:
Obrigado, Meu Deus, pelos dias e pelas noites que me tendes permitido distinguir.
Obrigado, Meu Deus, pelo pão que não deixastes faltar em minha mesa.
Obrigado, Meu Deus, pelas mãos que me destes e que tendes estendido a levantar os que estão tombados.
Obrigado, Meu Deus, pela minha audição e pela minha palavra que, unidas, procuram construir o bem somente o bem.
Obrigado, Senhor, pelo perdão que me ensinastes.
Obrigado, Meu Deus, pelas minhas fraquezas que me permitem sentir a minha insignificância.
Obrigado, Meu Deus, pelos irmãos que me destes e a certeza de tê-los juntos a mim nas minhas necessidades.
Obrigado, Muito Obrigado, SENHOR
Todos os direitos reservados segundo a legislação em vigor.
ClP-Brasil. Catalogação-na-Fonte Câmara Brasileiro do Livio, SP
Righetto, Armando, 1924-R427c Cálcuio diferencial e integral / Armando Righetto, Antonio Sérgio Ferraudo.v .l- — São Paulo : Instituto Brasileiro de Edições Científicas, 1981.
1. Cálculo diferencial 2. Cálculo integral I. Ferraudo, Antonio Sérgio,1950- II. Título.
17. CDD-517.218. -515.3317. -517.3
81-1069 18. -515.43
índices paia catálogo sistemático:
1. Cálculo diferencial: Matemática 517.2 (17.) 515.33 (18.)2. Cálculo integral: Matemática 517.3 (17.) 515.43 (18.)
IBEC — Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. , Av. Santo Amaro, 823 — CEP 04505 .São Paulo - SP
Ferraudo e eu, Armando, dedicamos este livro às nossas esposas, respectivamente Elyane e Lourdes.
NEWTON
Físico, astrônomo e matemático inglês, Sir Isaac Newton nasceu em Woolsthorpe, Lincolnshire, a 25 de dezembro de 1642 e morreu em Kensington, Middlesex, a 20 de março de 1727. Formou-se pelo Trinity College de Cambridge (1665).
Seus conhecimentos matemáticos e o poder do seu raciocínio impressionam fundamente o matemático Isaac Barrow; mas o próprio Newton colocava a matemática numa posição secundária, instrumental, a merecer-lhe a atenção na medida em que se revelasse fecundada para a solução de problemas levantados pelas mecânica celeste: donde já ter sido chamado pragmatista anterior ao pragmatismo. Nesse sentido, somente pesquisa novos métodos na medida em que os já conhecidos se revelam insuficientes. Mas, mesmo assim, é profunda a
LEIBNIZ
Filósofo e matemático alemão, Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig a 19 de julho de 1646 e morreu em Hannover a 14 de novembro de 1716.
Descobridor dos princípios de cálculo diferencial, ao mesmo tempo que Newton, Leibniz julgava possível a criação de uma linguagem científica universal (characteris- tica univenalis), que, complementada por um sistema dedutivo e simbólico (ars com- binatoria), pudesse substituir a argumentação discursiva pelo cálculo, em todos os campos do saber. Seu método seria o da análise do infinito, a partir do princípio de continuidade, pelo qual só pode algo passar de um estado a outro mediante um número infinito de intermediários, e toda a realidade é plenamente relacionada em suas partes.
NOTAS EXPLICATIVAS
Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcançar certos objetivos.
Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores em quase todas as áreas: Social, Humana e principalmente as Tecnológicas.
Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indispensáveis para um bom curso de Engenharia, de Física, de Estatística, de Medicina e de Computação.
Os dois volumes são ricos em exercícios resolvidos e propostos. Estes, com respostas e, quando necessário, com sugestões para sua resolução.
0 primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano, com 4 ou 6 horas aula semanais.
Cálculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: números reais, funções, limites, derivadas e diferenciais. Cálculo II, no segundo termo letivo, com a mesma duração: integrais indefinidas e as técnicas de integração, integrais definidas, cálculo de áreas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas.
0 segundo volume poderá ter alterada a ordem dos assuntos.Sugerimos, para Cálculo III, funções de várias variáveis, derivadas parciais,
diferenciais e equações diferenciais, com modelos matemáticos aplicados à Biologia. Para o Cálculo IV: estudo de máximos e mínimos, derivadas direcionais, integrais de linha, integrais duplas e triplas e séries.
Outros assuntos, como cônicas, quádricas, vetores, números complexos e funções hiperbólicas, são tratados nos livros de Geometria Analítica e Vetores e Números complexos e funções hiperbólicas de autoria do Armando Righetto.
Procuramos familiarizar o aluno com o pensamento matemático e a manipular modelos por métodos matemáticos.
Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos formaram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestões.
OS AUTORES Ribeirão Pietoj maio de 1981
XIV CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Capítulo 5
Diferencial...................................................................................................... 149Conceito. Aplicações. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
PARTE II
Capítulo 6
Integrais Imediatas............. ........................................ .................................... 169Conceito de Integração. Integral Indefinida. Propriedades. Integrais Imediatas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 7
Integração por Partes..................................................................................... 229Generalidades. Fórmula. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 8Integração de Funções Racionais Fracionárias............................................ 239Decomposição de Frações. Integração de Funções Racionais Fracionárias. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 9
Substituição de Variáveis............................................................................. 267Substituição de Variáveis por Variáveis Trigonométricas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 10
Integral Definida............................................................................................ 283Integral Definida. Cálculo de Âreas Planas. Cálculo de Volumes de Sólidos de Revolução. Comprimento de Arcos. Âreas de Superfícies de Revolução. Momentos - Raio de Giração. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Apêndice........................................................... .............................. ......................... 361
PARTE I
revolução que introduz no campo da matemática. Basta lembrar que antes dele não se tinha conhecimento do. cálculo integral. É, ainda, com Newton que assume feição precisa o cálculo diferencial, embora não se possa deixai de referir a valiosa contribuição de Fermat e Descartes.
Newton retira o carátei de mero pressentimento às relações entre o cálculo diferencial e o cálculo integral, fazendo surgir o cálculo infinitesimal. Em sua obra, o cálculo infinitesimal surge sob duas formas, uma das quais, o método dos fluxos, decorrente da outra - o método das primeiras e últimas razões. Em tomo da prioridade da descoberta do cálculo infinitesimal levantar-se-ia, mais tarde, acirrada polêmica entre Newton e Leibniz, ou, mais precisamente, entre os adeptos de um e outro.
Está historicamente provado ter havido coincidência de conclusões, alcançadas simultânea e independentemente, pelos dois cientistas. Se, cronologicamente, Newton pode ter chegado àquele resultado em primeiro lugar, também é certo que Leibniz se mostra mais feliz no capítulo das notações, criando símbolos -que, por comodidade de emprego, ainda hoje são utilizados.
As idéias de continuidade e de plenitude (impossibilidade do vazio) estão relacionadas no mecanismo dinâmico de Leibniz, em que se destacam a noção de força e a noção de conatus, criada por Hobbes e entendida como movimento infinitamente pequeno. No entanto, a concepção do universo como um plenum contínuo baseia-se nos dois princípios fundamentais do racionalismo leibniziano: o princípio da razão suficiente e o princípio de perfeição.
Fotos e textos reproduzidos da Encyclopaedia Britannica, respectivamente, páginas 8069 e 6719, edição 1976, com permissão da Encyclopaedia Britannica do Brasil Ltda.
ÍNDICE
PARTE I
Capítulo 1Números Reais.................................................................................................Definições. Representação Gráfica dos Números Reais. Valor Absoluto de um Número Real. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Funções Elementares...................................................................... ...............Definição de Função. Gráfico de uma Função Real. Funções Monótonas. Funções Pares e Impares. Funções Elementares Principais. Composição de Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Limite de uma Variável. Limite de uma Função. Limites Laterais. Propriedades Operatórias dos Limites. Limites Infinitos. Limites no Infinito. Infinitamente Pequeno. Formas Indeterminadas. “Limites Básicos". Continuidade de Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Derivadas...........................................................................................................Definições. Álgebra das Derivadas. Derivada das Funções Básicas. Interpretação Geométrica da Derivada. Equações da Tangente e da Normal. Derivada de Funções Compostas. Derivadas Sucessivas. Derivada de Funções Inversas. Derivada de Funções na Forma Paramétrica. Regra de L'Hospital. Interpretação Física da Derivada. Estudo da Variação das Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 2 V v a iifJ k
Capítulo 3Limites
Capítulo 4
1
NÚMEROS REAIS
O que distingue o homem não é a grandeza do gênio, mas a alteza do caráter.
1.1 - DEFINIÇÕES
D[ Todo número que pode ser colocado na forma onae p e q são números
inteiros (q # 0), é chamado NÚMERO RACIONAL.
Assim sendo, todo número inteiro é racional, pois podemos escrever 2 4
2 = -j-; —4 = —y . De um modo geral, se m é inteiro, podemos escrever sempre
■y- (racional).
Representaremos o conjunto dos números racionais pela letra Q.
D2 Se um número não é racional dizemos que ele é irracional.
Representaremos o conjunto dos irracionais por Qc.
Da definição temos: Q n Qc =
Os números racionais e irracionais formam os números reais, que são de grande utilidade no estudo da matemática, em particular, na análise.
Representaremos o conjunto dos números reais pela letra IR.
Da definição temos: Q U Qc = IR
1.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS NÚMEROS REAIS
Representaremos os números reais através de uma reta, relacionando cada ponto desta a um número real e vice-versa.
Procederemos assim:Tomando um ponto da reta, relacionamos o zero; à sua direita os números
positivos e à esquerda os números negativos.
' +
4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5-----1---------- 1------1----1-----------1----------1---------- 1---------- 1-----1-----1-------- H -----------1---------- j-----
V-39 i - sf*2
ORDEM EMIR
D4 Um número real a é maior (>) que um número real b, quando a diferença a - b for positiva. Assim:
a > b a - b > 0temos
Geometricamente se a > b então o ponto a se localÍ7* i direita de b.
Exemplos:
E! 4 > 1 pois 4 - 1 = 3 (positiva)
0 1 2 3 4
b a
Ej - 3 > - 5 pois - 3 - ( - 5 ) = 2 (positiva)
b a ----------- 1 i I------- 1------- 1------- 1-----------
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0
Usaremos as seguintes notações:
b < a (b é menor que a)
a > b (a é maior ou igual que b)
b < a (b é menor ou igual que a)
1.3 - VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO R EA L
O valor absoluto (ou módulo) de um número real x , que representaremos por |jf|, é definido por:
x se x > 0
— x se x < 0
Exemplos:
Ei |5| = 5, pois 5 > 0
E2 1-51 = - ( - 5 ) = 5, pois - 5 < 0
Geometricamente |x| é a distância do ponto x à origem (ponto 0) na reta real. Nos dois últimos exemplos temos:
I5| = | - 5 | = 5
- 5 0 5
'---------V-------- ''-------- v---------'5 unidades 5 unidades
Analogamente, se desejamos a distância de dois pontos a e b na reta real, indicaremos por:
rife — a|, distância de a até b
| j a - b\, distância de b até a.
É óbvio que \b - a\ = |a - b\.
Propriedades
Sejam a, b e c números reais. Então:
Pi kl > 0 e |a| = 0 se e somente se, a = 0
P2 |a|2 = a2
P3 |a| = V ?
P4 \ab\ = |a||fe|
= M a, jz o) -|fc|
— ( c ? 0
P7 |a + b\ < |a| + | 6 | .
P6 | a - f e | > | | a | — |fe||
P, |x| < a e a > 0 < •> - a < x < a
NÚMEROS REAIS 5
\ P10 W > a e a > 0 <—■ ■■•> x < - a M x > a
Demonstraremos duas delas; as demais ficam a cargo do leitor.
P4 \ab\ = V (ab)1 = V a2b2 = y /à 2 y /b 2 =3 |a||í>|
De fato \ab\ = |a| |6 |
6 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 ■■ ■> \a + í>| .= |a| + 2 ab + |è |2.
Como aè < |aft| = |a| |6 | temos
\a + b\2 < |a |J + 2 |a| |Z>| + \b\2, daí
Ia + b\2 < (|a| + |6|)J. Portanto:
|a + 6 | < |a| + |fc|
1.4 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
PRi Reescreva as desigualdades seguintes, de modo que apenas x fique entre os sinais de desigualdade.
a) - 1 < 3jc - 4 < 6 b) 3 < 2x + 1 < 9
Solução:
a) Somando 4 a cada um dos membros obtemos 3 < 3 x < 10. Em seguida,
multiplicamos cada um dos membros por y e obtemos:
b) Analogamente: 3 < 2x + 1 < 9 ■ - > 2 < 2x < 8 ■■>
= í > 1 <ac < 4
PR2 Calcule:
a) 13- 7 | - 1 -8 1 b) 1 1 -5 - 3 | - 1 - 4 - 5 1 1
Solução:
a) 1 3 -7 1 —1—81 = 1—41 — 8 = 4 — 8 = —4
b) 11-5 - 3| - 1 -4 - 5| | = 11-81 - | - 9 | | = |8 - 9| = | - 1 | = 1
NÚMEROS REAIS
PR3 Determine os números que satisfazem às igualdades:
a) |jc — 4| = 3 b) |—x - 7| = 8
Solução:
' x - 4 = 3 =
a) | x - 4 | =
x = 7
- (x - 4) = 3 > —x + 4 = 3
Resp.:
b) I—x — 7| = 8
Solução:
| -x -7 | =
x = 1 v x = 7
- x - 7 = 8
ou
x = —15
_ ( _ * -7 ) = 8 — > x = 1
Resp.: x = l v x = —15
PR4 jDetermine os intervalos reais tais que:
a) |x| < 4 c) |x| > 4
b) |x - 3| < 2 d) |2x - 4| > 2
Solução:
a) Por P9 temos: |x| < 4 = = :
b) Também por P9 temos
- 4 < x < 4
x = 1
c) Por Pio temos: |x| > 4
- 3 < 2 -------> 1 < x < 5
x < — 4 V x > 4
d) Também por Pi0 temos: |2x — 4| > 2
2x — 4 < — 2 =
=> 2x - 4 > 2 v
o> x < 1 v x > 3
PRj Prove que: |x + y\ > |x| - \y\.
Prova:
x = x + y - y = ^ > |x| = |(x + y ) - _y|< lx + y\ + \ - y \ .
Mas | - y | = |y|. Então:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
|x| < |x + y\ + |yl > U| - \y\ < |x + y|. Portanto:
\x + y \ > \x\ - |y|
Qual o intervalo solução da inequação — 3 < x 2 — 5 < 4?
Solução:
Somando 5 a todos os membros temos 2 < x 2 < 9 .Como y /x 2 = |jc| (propriedade P3), temos:
\ Í 2 < V x 2 < \ Í 9 e portanto: V 2 < \ x \ < 3
Achar w = |x - 3| — \x + 5| — \ - x — 4|, sendo 1 < x < 3.
Solução:
{x - 3 < Q = = > \x - 3| = - { x - 3)
x + 5 > 0 -------> |x + 5| = x + 5
- x - 4 < 0 ------- > \ - x — 4| = —(-X - 4)
Desse modo: w = — (x — 3) — (x + 5) — [—( - x — 4)] onde
w = —x + 3 — x — 5 — x — 4.Portanto: w = — 3x — 6
I* - 21 =
Resolver a equação: \x — 2\ — 7 = 4x.
Solução:
x - 2, se x — 2 > 0
—(jc ^-2), se x - 2 < 0
19 caso : \x — 2\ = x - 2.
Então: x - 2 - 7 = 4x = > - 3 x = 9 = :
Fazendo a verificação temos:
1 -3 - 2| - 7 = 4 (— 3) = > | - 5 | - 7 = - 1 2
x — — 3
Concluímos que
=> 5 - 7 = - 1 2 (falso).
não é solução da equação dada.jc = - 3
29 caso : |x — 2| = — (x — 2)
Então: - ( x - 2) - 7 = 4x ■——> - x + 2 - 7 = 4 x
NÚMEROS REAIS 9
- x - 4x = 5 => — 5x = 5 x = - 1
Fazendo a verificação temos:
1-1 — 2| — 7 = 4 (— 1) = => 1-31 - 7 = - 4=> 3 — 7 = —4 (verdade).
Concluímos que x = — 1 é solução da equação dada.
Portanto: S = {— 1}
Resolver a desigualdade: |2x — 3| > 4 .
Solução:
2x — 3, se 2x — 3 > 0
\2x — 3| = < ou
—(2x — 3), se 2x — 3 < 0
19 caso : \2x — 3| = 2x — 3.
Então: 2x — 3 > 4
29 caso: I2x - 3| = - ( 2 x - 3).
Então: - ( 2 x — 3) > 4
— >
=> 2 x - 3 < - 4 => 2x < - 1
x 2Fazendo a união dos dois casos temos:
S = { * e i R \ x < ~ j V x > ~ )
Graficamente temos:
Resolvemos este problema usando a definição de módulo. Faremos novamente este problema usando a propriedade 10 ou seja:
\2x — 3| > 4 se e somente se
=> 2x < - 1 = :2x - 3 « - 4
v
2x - 3 > 4 = => 2x > 7 X>\
Desse modo temos
S = { x € l R | x < - y V X > y }
10 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PRio Resolver a equação: 2 |x — 5| + |x -r 3| = + 5.
Solução:
As raízes de (x — 51 e (x — 3) são 5 e 3 respectivamente: Temos 3 casos a analisar:
19 caso 29 caso 39 caso\3 /--------------- \ 5 /A r
19 caso : x < 3 =>
x - 5 < 0 -------> |x — 5| = - x + 5A
x - 3 < 0 = > |x - 3| = - x + 3
2 (— x + 5) + ( - x + 3) = + 5 8* ~ 3
29 caso : 3 < x < 5x — 5 < 0 - > |x — 5| = - x + 5
x — 3 > 0 = = > |x — 3| = x — 3
=> 2 (— x + 5) + (x — 3) = + 5 = x = 2
39 caso : x > 5
x - 5 > 0 - ■■■■ > |x — 5| = x — 5
x - 3 > 0 = > |x - 3| = x - 3
=> 2 (x - 5) + (x - 3) = 5 = x = 6
gO valor x = 2 não satisfaz a equação, somente os valores x = — e x = 6
(verifique):O
Portanto: S = { y , 6}
^ 1 . 5 - PROBLEMAS PROPOSTOS
PPi Reescreva as desigualdades fazendo com que somente x permaneça entre os sim s de desigualdade:
NÚMEROS REAIS 11
Resps.: a) — ; 114
b ) 0 < x < 1
d) 47 > 15.x + 2 > 3 2
2 2 / '
c) —2 < x < — l e) 9 < |jc| < 144
d) 2 < x < 3 f) 35 < x < 7
=> — a < x < a.
=> x < —a ou x > a.
PP2 Prove que: |x| < a e a > 0 <=
PP3 Prove que: \ x \ > a e a > 0 <=
PP4 Calcule:
a) 13 — 7 — 5| — |—7 - 4| c) I —1—4 — 91 — I —6 | — 2|
b) | - 3 | + | - 5 | - 1 - 8 1 - 1 - 7 - 3 1 d ) - 1 - 4 - | 6 - 3 | + 2 0 - 1 - 1 5 - 3 1 1 Resps.: a) - 2; b) - 10; c) 21; d) - 5.
PP5 Resolva as equações:
a) \x — 3| = 7
b) - \x - 5| = 3
c) \2x - 7| = 15
d) |3x — 4 |2 = 36
e) I— 5x — 3| = 15x
Resps.: a) {-4 ,1 0 }
j\ r 2 10.3" ’ T
f) 3 Ijc - 5| - 2x = 10
! ~ 3* + 2l + 5 = 2*
-1
0
4
x 2 — 4X
\x2 - 4 |
j) |x2 — 1| = 8.
b) não tem solução. f) {1, 25}
c) { - 4 , 11}
0 (1.4}
j) {±3}
g ) { T }
h) {±1, ±4}
PP6 Determine os intervalos reais tais que:
12 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
a) |x - 3| > 2
b) |x — 8| < 5
c) |5* + 2 | > 3
Resps.: a) x < 1 v x > 5
b) 3 < x < 13
c) x < - 1 v X > -j-
d) \x + 1| < 4
3 4> i
d) — 5 < * < 35
e) x < - v x > —
PP7 Determine o intervalo solução das inequações:
a) — 2 < 25.x2 - 3 < 9 7
Resps.: a) y < |x| < 2
PP8 Resolva as equações:a) 312 — x| - |x - 4 | = 4
Resps.: a) { - 1 ,^ - }
b) 1 < 2x 3 — 15 < 39
b) 2 < x < 3
b) 4 |x - 1| - 5 |2 x - 4 | = 2
h U 7 13 ,b) {J> T }
PP9 Ache a (x ) e P(y) onde
a) a(x) = |x - 7| + |x + 2| - |2x - 13| para 2 < x < 6
b) 0Cy) = l>” — 41 — \ l y — 14| — |3 — y\ para - 2 < > > < 2
Resps.: a) a (x) = 2x — 4 b) 0( y) = 7y - 13
PPio Resolva a equação |x |2 + |x| — 6 = 0.
Resp.: {±2}
PPU Determine o intervalo solução da inequação 2 < |x — 51 < 4.
Resp.: 1 < x < 3 V 7 < x < 9
PPi2 Resolver as inequações:a) |x — 11 < |x + 11
Resp.: x > 0b) |x — 3| > |x — 1|
Resp.: x < 2.
2FUNÇÕES ELEMENTARES
Deixe que o amor e a paz lhe possam clarearo caminho para o alto.
2.1 - DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Sempre que pudermos associar todo elemento x (variável independente) de um conjunto X com um único elemento y (variável dependente) de um outro conjunto Y, daremos a essa associação o nome de função de X em Y e denotaremos por y = f ( x ) que se lê, y é igual à / de x.
Diremos também que x é o argumento da função y.A seguinte notação também pode ser usada:
f : X -------- * Y
* ---------* / ( * )
O conjunto X é chamado “Domínio da função f ” e denotaremos por D(f). O conjunto Y é chamado “Contra-Domínio da função f ” e denotaremos por
CD(f).O conjunto formado pelos elementos y 6 Y associados à x E X pela função f
é chamado “Conjunto Imagem da função f ” e denotaremos por Im (j)
Exemplo: Temos: D(f ) = X, CD (f) = Y e
Im(f) = {yu y i , yJ■
X Y
Observação: Nos preocuparemos daqui por diante, a não ser quando especificado, com funções reais de uma variável real cujo domínio e imagem são os números reais.
2.2 - GRAFICO DE UMA FUNÇÃO REAL
O gráfico das funções reais é o conjunto de todos os pontos (x, y ) do plano cartesiano onde x está no domínio e y é a imagem de x segundo a definição da função /.
Os zeros (ou raízes) de uma função são os pontos onde f ( x ) = 0 . Graficamente, são os pontos da curva (gráfico de f ) onde intercepta o eixo x.
14 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Exemplos:
Fig. 2.1. Gráfico de y = x*. Fig. 2.2. Gráfico de y = f .
Nota: Como vimos, pela definição de função, a cada x do domínio é associado um único y como imagem. Assim, toda reta paralela ao eixo y deverá interceptar o gráfico da função / em no máximo um ponto.
Exemplo: O gráfico abaixo não define uma função, pois temos pelo menos uma reta paralela ao eixo y que intercepta a curva em dois pontos.
y
Fig. 2.3.
FUNÇÕES ELEMENTARES 15
ATENÇAO
As funções definidas até aqui são chamadas de “funções unívocas".Quando a cada x associarmos mais que um y, daremos a essa associação o
nome de “função plurívoca”.Nas Figuras 2.1 e 2.2 temos exemplos de “funções unívocas”, enquanto
que na Figura 2.3 temos exemplo de função plurívoca.Daqui por diante ficará implícito (a não ser quando especificado) que ao
dizermos função estaremos nos referindo ao subconjunto de pontos da curva plurívoca a qual a define como uma função unívoca.
Exemplo: A curva de y 1 = x (parábola) é definida nos pontos onde y = ± Vrx, x > 0. Assim y 2 = x é uma função plurívoca (Fig. 2.4).
Queremos esclarecer ao prezado leitor que quando dissermos simplesmente função à y 2 — x estaremos nos referindo ao subconjunto da curva y — + \ [ x (parte positiva), o qual a define como uma função unívoca (Fig. 2.5).
Omitiremos, portanto, a palavra unívoca.
Daremos, agora, algumas definições importantes:
Dl, O domínio de uma funçãoy = f ( x ) é o conjunto de to d o so sx G Í tais que a função dada existe (campo de existência)
Exemplos:
E! Seja a função y = x 2 (Fig. 2.1).Note que sempre existirá y e IR pois todo x €E IR possui quadrado. Então:
D ( f ) = ( i £ R } .
E2 Já a função y = \ f x só existirá se x > 0, pois os números negativos não possuem raiz quadrada. Assim,
x
Fig. 2.4. Fig. 2.5.
D ( f ) = { x e R | j c > 0 } .
16 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
anterior, e nem para x = 0 , pois a divisão não é definida quando o divisor é zero. Deste modo:
D(f ) = {x GRIjc > 0}
Dlj Quando em uma função / , Im(f ) — CD (f) dizemos que / é uma função “so b re je to ra Em outras palavras: todo y G Y é imagem de pelo menos um r 6 I
Dl 3 Quando em uma função / todo y E I m( f ) estiver associado a um único elemento de X dizemos que f é uma função “injetora" ou “biunívoca”.
DU Se / for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora dizemos q u e /é uma função bijetora
Exemplos:
/ é uma função injetora pois todo y E Im( f ) está associado a um único x £ X, mas não é sobrejetora pois y s Im( f ) ou seja I m( f ) # CD(f).
f é uma função sobrejetora pois Im(f ) = CD(f) mas não é injetora pois y i está associado a x t e x2 de X.
FUNÇÕES ELEMENTARES 17
A função f é bijetora pois Im( f ) = CD(f) (sobrejetora) e todo y G Im( f ) está associado a um único x £ X (injetora)
Função Inversa
Dls A função f: X ------ *• Y bijetora admite sempre uma função inversa a qualdenotamos por f~H Y ------ *■ X. Esta função associa todo elemento de Ycom um único elemento de X para o qual f ( x ) = y.
Notação: se y = / (x) =bl,*etora> x = f ~ xiy).
Exemplos:
Ex A função /: IR------ *• R definida por y = 2 x — 3 (Fig. 2.6) possui para todox e IR uma única imagem y e IR e ainda I m( f ) = IR sendo assim / bijetora
v + 3e portanto admite inversa dada por x = — (Fig. 2.7).
Fig- 2.6. Fig. 2.7.
Nota: Na construção do gráfico da inversa, invertemos os eixos.
18 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Se colocaimos os gráficos um sobre o outro temos:
Fig. 2.8.
Os gráficos das funções / e /"* gozam da propriedade de serem simétricos em relação às bissetrizes dos quadrantes ímpares (Fig. 2.8).
Ej A função /: R ------ *■ R definida por y = x 2 não admite inversa, pois x 2 == y e R + e assim Im( f ) = R + C IR. Porém se y = x 2 estiver definida por exemplo de R +-------> R então admitirá inversa dada por x = \ f y .
Observação: Existe uma regra prática para obtenção da função inversa sem que façamos a irversão dos eixos. Trocamos na função y = / ( * ) dada, y por x e x por y , obtendo assim x = f ( y ) . Nesta expressão, expressamos y obtendo y = /■ '(* ).
Exemplo: No exemplo anterior temos y = 2 x — 3. Trocamos y por x ex + 3x por y, obtendo x = 2y — 3. Agora isolamos/ obtendo 2 y = x + 3 o u / = —-—.
Esta função é a inversa de / = 2 x — 3 sem que façamos a inversão dos eixos. Como aplicação, o leitor deverá plotar estes gráficos no sistema xy, devendo obter o mesmo gráfico da Figura 2.8.
2.3 - FUNÇÕES MONÕTONAS
Seja e x 2 pontos de um intervalo. Então, se nesse intervalo:
1. x i < x i ■ . f ( x i) < / ( * 2) (função monótona estritamente crescente) (Fig. 2.9).
FUNÇÕES ELEMENTARES 19
2. < x 2 > f (*i) < / ( x 2) (função monótona não decrescente) (Fig. 2.10).3. x , < x 2 •> f ( x i ) > f (x3) (função monótona estritamente decrescente)
(Fig. 2.11).4. < x 2 - —> f ( x O > f ( x j) (função monótona não crescente) (Fig. 2.12).
y 1
.V2
Á
!
a b x
Fig. 2.10.
K
Fig. 2.11. Fig. 2.12.
Exemplos:
1. A função linear f ( x ) = 3 * é monótona estritamente crescente em todos os reais, pois x t < x 2 (reais) nos leva a f ( x i) < f ( x 2).
Em particular: 1 < 2 ------/ ( 1 ) = 3 < / ( 2 ) = 6 (Fig. 2.13).
2. A função quadrática y = x 2(x 6 ]R_) é monótona estritamente decrescente pois Xi < x 2 ——-> / ( x t) > / ( x 2) (Fig. 2.14). Em particular — 2 < — 1 —>_ > / ( - 2) = 4 > / ( - l ) = l .
Uma condição necessária para que toda função tenha inversa é que ela seja monótona estritamente crescente ou monótona estritamente decrescente, pois nestes casos as funções sempre são bijetoras. Ver Fig. 2.9, 2.11, 2.13 e 2.14. A inversa também e monótona estritamente crescente ou decrescente.
20 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Fig. 2.13.
2.4 - FUNÇÕES PARES E IMPARES
Quando f ( x ) = f ( - x ) dizemos que / é uma função par e quando / ( - * ) = = - / (jc) dizemos que/ é ímpar.
O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo y e o gráfioo da função ímpar é simétrico em relação à origem o.
Exemplos:
E! A função y — 1*1 é uma função par pois:
f ( x ) = 1*1 = l-jcl = / ( - * ) (Fig. 2.15)
Ej A função y = (x 0) é uma função ímpar pois:
/ ( - * ) = z ; = - 7 = - / ( * ) (Fig. 2.16)
Fig. 2.15. .y = IxlNote a simetria com o eixo y.
Fig. 2.16. y = — (x * 0)
Note a simetria com a origem O.
FUNÇÕES ELEMENTARES 21
2.5 - FUNÇÕES ELEMENTARES PRINCIPAIS
2.5.1 - FUNÇAO LINEAR
A função y = ax + b, (a ¥= 0) de R ------* IR é chamada função linear tendocomo gráfico uma reta. Os parâmetros a e b são chamados respectivamente coeficiente angular e coeficiente linear da reta.
O parâmetro a mede a inclinação da reta com o eixo x e o parâmetro b é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.
2.5.2 - FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função y = ax2 + bx + c, (a ¥= 0) de R ------*■ R é chamada função quadrática, cujo gráfico é uma parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo x.
Quando a > 0 a concavidade da parábola é para dma e quando a < 0 a ooncavidade é para baixo. As intersecções oom o eixo x são as soluções da equação ax2 + bx + c = 0 .
Temos então os seguintes casos a considerar:
22 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
eixo de simetria
As soluções de ax2 + bx + c = 0 são obtidas da fórmula
_ b ± V~Ã2 a onde A = b — 4 ac
0 vértice da parábola é o ponto mais alto ou mais baixo, dado por:
f = ( - A _ A1 2a ’ 4a
Exemplo: Seja a função quadrática y = x 2 - 6x + 8 .
(Raízes) x 2 - 6jt + 8 = 0 -->
= = > A = (— 6)2 — 4 (1)(8) =
=> A = 36 - 32 => A = 4
Assim,
_ - ( - 6 ) ± V4~
6 ± 2
©
(Vértice) V= ( - = >
= > K = ( 3 , - l )
FUNÇÕES ELEMENTARES 23
2.8.3 - FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função y = ax de IR------ ► IR*, (a e ]R) onde a > 0 e a =£ 1 chama--se "função exponencial de base a”.
Se a > 1 a função exponencial é monótona estritamente crescente.Se 0 < a < 1 a função exponencial é monótona estritamente decrescente. Esta função intercepta o eixo y sempre no ponto (0,1) pois para x =
= 0 =■■> y = a = 1, qualquer que seja o valor de a.
2.5.4 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função exponencial é monótona estritamente crescente ou decrescent' sendo por isso inversível. A sua inversa é a função logarítmica definida de1RÍ-------* IR por y = logfl x (y é igual a logaritmo de x na base a) onde a > 0ea ^ 1. Temos 2 casos a considerar:
Se a > 1 a função logarítmica é monótona estritamente crescente.Se 0 < a < 1 a função logarítmica é monótona estritamente decrescente.
Ver Figuras 2.17 e 2.18.
2.6 - COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
Consideremos / e g funções reais tais que y = f ( x ) e z = g( y) conforme diagrama r
24 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Chamamos função composta de g com / a função g o f definida por z = = S l/C*)]- O símbolo “o” indica composição de funções.
y
Nota: A função g o f só é definida se o domínio da função g coincide com o contradomínio da função /.
Ej Sendo f (x) = 3x — 1 e g(x) = 4 x , então:
a) ( g° f ) ( x ) = gí f (x)] = g[3x - 1] = 4 (3 x - 1) = 12x - 4b) ( f °g) ( x ) = /k ( x ) ] = / [ 4 x ] = 3 (4x) - 1 = 1 2 x - 1
Notamos, portanto, que g o f ¥= f o g (a composição de funções não é comutativa).
Ej Sendo <p (jc) = x + 3 e \p (x) = x y então:a) ( <f> o ^)(x) = </> hp (x)] = <t>[xy ] = x y + 3
b) (í// o 0)(x) = 0 [0 (x)] = [x + 3] = (x + 3Y
c) o ^)(x ) = ^ (*)] = ^ [x>] = (xy Y = x y2
d) (0 o </>)(x) = $ [0 (x)] = 0 [x + 3 ] = x + 3 + 3 = x + 6
2.7 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
PR, Sendo f ( x ) = x 2 + x - 6, calcule:
a ) / ( l ) d ) / ( + 3)
Exemplos:
b) / ( — 1)
c) mSolução:
a) / ( 1 ) = l 2 + 1 - 6 = - 4b) / ( — 1) = (— l )2 + ( - 1) — 6 = — 6
c) /(O ) = O2 + 0 - 6 = - 6
d) / ( 3 ) = 32 + 3 - 6 = 6
FUNÇÕES ELEMENTARES 2i
0 f f (2) = 0
[ / ( 4 ) = 14
Assim / Í2) + A - 2 ) = h 4 = i 1 2 3 /(4 ) 42 21
Dar o domínio das seguintes funções reais:
a) / ( x ) = V (* - 4)(x + 3) c) h (x) =
Xare sen —
log(x - . 1)
i.\ _ _ yj~2x x 2 - 3x + 2_ d ) j; - log- 7 T l — -
Solução:
a) (x — 4)(x + 3) > 0 (condição de existência do radicando com índice par no radical)
Mas (x — 4)(x + 3) > 0 quandox — 4 > 0 A x + 3 > 0
ou
x — 4 < 0 A x + 3 < 0
Assim-
x < 4 A x < - 3 x < - 3
D( f ) = {x e IRlx < - 3 V x > 4}
Graficamente teremos:
T m
X < — 3
Verificação:
Tomemos 3 valores: x = 5 > 4, x = — 6 < — 3 e x = 2 entre —3 e 4.
/ ( 5 ) = V (5 — 4)(5 + 3) = \ fH (valor definido)
/ ( —6) = V (— 6 — 4)(— 6 + 3) = V 30 (valor definido)
/ ( 2 ) = V (2 — 4)(2 + 3) = V — 10 (valor não definido)
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
O X > 0 (7)
:> X 2 > 9 = > n /x * > \Í9 = > |x| > 3 = = >
= > (x < — 3 v x > 3) (g)
Fazendo a intersecção de 0 com © temos: x > 3.
£ fe ) = { x G R l x > 3 }
Graficamente temos:
I
II
I n II
Cy Façamos arc sen— = 0 => sen 0 = J
=> - 2 < x < 2
ct : x — 1 > 0 X > 1
Fazendo C t O C2 temos:
D (h) = {x e IR I 1 < x < 2}
Oi) x 2 - 3x + 2 . „- 1) (condição de existência do
logaritmando)
+ 1 _______2 + + + + + +•Vi —? ?
y i -fl
V i - - 1++++++ iyi
> 0 > 0
D(y) = { x e i R l - 1 < x < 1 V x > 2}
Lembrete: Sinal da função quadrática y — ax1 + bx + c (a # 0) com raízes x , e xa
FUNÇÕES ELEMENTARES 27
Mesmo sinal de x i ----------------------H *2 Mesmo sinal de “a” H--------------------
Sinal contrário de “a”
Sina/ da função linear y = ax + b (a ^ 0) com raiz
Mesmo sinal de “a”Sinal contrário de “a” *1 —I—
PR3 Construir o gráfico da função y = x 3 + 1.
Solução:
X y- 2 - 7
3 192 8
- 1 0
0 1
1 2
3 352 8
2 9
PR4 Construir o gráfico da função y = \2x — 41.
y
2 X
28 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
19 caso: y = 2 x —4 para 2 x — 4 > 0 ou x > 2
29 caso: y = — 2 x + 4 para 2 x — 4 < 0 ou
O gráfico é então a união dos 2 casos acima.
PRS Construir o gráfico da função:
f ( x ) =
x 3 se x < 0
2 x se 0 < x < 2
4 se x > 2
Solução: O gráfico da função / ( x ) é a união dos gráficos individuais que a compõem.
a) Gráfico de / ( x ) = x 3 se x < 0 (ver Fig 2.2).
b) Gráfico d e /(x ) = 2x se 0 < x < 2
c) Gráfico de / ( x ) = 4 se x > 2
FUNÇÕES ELEMENTARES 29
Portanto, o gráfico de f { x ) ty x 6 R é:
PR6 Prove que: f . (X + ^ + / ( x — ^ = / ( x ) onde f ( x ) = x + 2. y l f ( x y ) + f ( - x y ) \
Prova:
f ( x + y ) = x + y + 2
f ( x - y) = x - y + 2
í f(xy) = xy + 2
= > f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 (x + 2)
\ f ( ~ x y ) = - x y + 2=> f ( x y ) + f ( - x y ) = 4
Assim:y . + 30+/(*->>) = 2^ + 2) = x + 2 = m2 l / ( ^ ) + / ( - * / ) ] y 4
PR7 Prove que a função a (x ) = <£(*) + $ (—x) é par.
30 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Prova:
«(-■*) = M - x ) + 0 [ - ( - * ) ] = <t>(-x) + </>(x) == <t>{x) + <t>(-x) = a (x)
Como ct(— x) = a(x) temos que a é uma função par.
PRS Prove que a função f (x) = —2 x + 4 é monótona estritamente decrescente. Prova:
Se < x 2 então — 2 x t > —2 x 2 > — 2 x x + 4 > —2 x a + 4
Assim: x t < x 2 —- - > f ( x t) > / ( x 2) Portanto a função/(x) = — 2x + + 4 é monótona estritamente decrescente.
PR, Dado / ( 2 x + 5) = x — 2, calcule /(x ) .
Solução: Seja 2x + 5 = t ------ > 2 x = t — 5 = > x = 1
2.8 - PROBLEMAS PROPOSTOS
PP, Seja a função real definida por / ( x ) = x 3 + 2x2 — 4. Determine:
Assim /(r ) = t—~ - 2 = > f ( t ) = t~ ~ -
JÇ _ ÇDonde concluímos que / (x) = — -—
a) /(O)
b ) / ( 2)
c ) / ( - 3 )
e) / ( V 2)
f) / ( x + h)
Resps.: a) —4
b) +12
c) - 1 3 -
e) 2 \ [ 2
0 x 3 + (3/i + 2)x2 + (3 /i2 + 4/i)x + /i3 + 2/i2 - 4
FUNÇÕES ELEMENTARES 31
PP2 Construir o gráfico das seguintes funções:a) y = 3 x 2 - 18jc + 24
b ) / = 2 fcx + l para k = 0 , 1, 2 , - 1, - 2 , - 3, y
c ) y = I3jc - ll d ) y = - x 3
e) y = 2X
«-(irg ) / = l3xlh) / = I—x + 4l
i) y = log (x + 1)
1j) / =
k) y =
1 - x 2x - 1 x + 2
PP3 Dê o domínio das seguintes funções:a) y =
b)>> =
a) y = V x - 3
4x + 5
c) / = \ / x + 2
9 — x
e) y = log^x + y j
0 v = V x 2 — 16
_ / 3 x 43x +_2
Resps.: a) x > 3b) x # — 5c) R
d) x ^ ± 3
h)jr =v/2 - V r r T
i)> = logv/ f i |
j) / = are sen
■ - 4: - 1
2 x x + 4
k) y = arc sen log —
1) / = arc tg (x + 3)
• » r - J U R- x - 2
4x + 3
n) Jog -------^ ! ± 2 -----------x 2 - ( s / l + l ) x + s / l
e) X > ~ J 0 JÍ < - 4 V x > 4
g) X < r y V X > l
h) 1 < X < 5
i) x < 1 v x > 4
j) _ i < x < 4
k ) y < x < 2 0
32 CÁLCULO DIFERENCIAI. E INTEGRAL
7T — 3
m) x < — 1 v 1 < * < 2 v x > 3
n ) - V 2 < x < 1 v V 2 < x < v " 3
PP4 Sendo f ( x ) = arc sen (£n x), calcule:
a) fWti l O / K V V 1 ]
n \^" 5 7T | v ÍT 3 7T/ta/w.: a) -g* ou h)— ou
PPS Sendo £ (x) = 3 x 5 — 2x4 + x3 — x2 + 1 calcule:
a) A(x) = - | b ( í ) + s ( - x ) ] b) m (x) = - g ( x ) - g ( - x )
Resps.: a) h (x) = ( x 2 -y^ j(x2 + 1)
b) m(x) = 2 x2(2 x2 + l ) - 2
PP6 Identifique se as funções abaixo são pares ou ímpares:
a ) /(x ) = x 2 - 3 d ) / ( x ) = J rx 3
b) / ( x ) = Ixl e) / ( x ) = lo g (y 1 + x 2 + x)
c) f ( x ) = j ( a - x - ax ) f) / ( x ) = 3x + 2
Resps.: a) par d) ímpar
b) par e) ímpar
c) ímpar f) nem par nem ímpar
FUNÇÕES ELEMENTARES 33
PP7 Prove que, s e / ( x ) é uma função exponencial ( f ( x ) = ax , a > 0) e os números * i, x 2 e x-j formam uma P.A., então os n ú m ero s/(x ,) ,/( x2) e / ( x 3) formam uma P.G.
PP8 Forme a função linear onde / ( 3 ) = 4 e / ( — 2) = — 1.Resp : f (x) = x + 1
PP9 Forme a função quadrática onde / ( —2) = 2, / ( l ) '= 3 e / ( 2 ) = 1.
D _ 7 2 1 , 23Resp.: f ( x ) = - y 2 ~4* T
PP„ Usando o método prático, determine a inversa das funções:
a) / ( * ) = x - 4 e) y = arc tg 8x
c) y = e*x
d) y = lo g y
f) y = V * 3 — 1
g) y - 3SX
Resps.: a) x + 4
f) >/** + 1
c) j í n x
d) 3 • 10*
3 _ 2xPP 12 Sendo / (x) = ■ — , prove que:
trM-wc*)PP13 Sendo f (x) — 3X e g (x) = x + 4, determme:
a) f ° gb ) í ° /
Resps.: a) 81 • 3*
c ) / o /
d)
b) 3X + 4 d) jc + 8
34 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PP14 Sendo: T(a) = 2 a — . Calcule:
Resp.:
T o T o T
2a - 21 16
2 -f" x 2 x 4* 3 PP15 Determine (g o / ) ' 1 onde f ( x ) = —-— e g(x) = ---- ----- usando o método
prático para a determinação inversa.
D 15x — 13 Resp.:----- -------
PP16 Prove que a função g(x) = é monótona estritamente decrescente.
PPi7 Prove que a função h(x) = x 2, h: R _------ *■ IR é monótona estritamentedecrescente.
PP is Prove que a função f ( x ) = log^x é monótona estritamente decrescente.8
PPi9 Seja: f ( x ) = 3 x + 3,^(jc) = 2 x — 1 e h(x) = x 2 + 1. Determine:
a ) f ° g ° h c ) g o h o fb ) f o h o g d ) h o g o f
Resps.: a) 6 h c) 18xJ + 36x + 19b) 3 (4 x 2 - 4 x + 3) d) 2(18x2 + 30x + 13)
PP20 Calcule f ( x ) onde f ( 2 x ^ = x — 8 .
Resp.: f (x) =
4
4x - 19
PP2i Calcule g (x) onde g \}J'-x — 35
Resp.: g(x) = 10x3(5 x 3 + 6)
PP22 Verifique o problema anterior.
= 2x - 18
P P 2 3 Prove que, sendo T(x) = 2X, então
4 T(x - 1) 4- T(x + 1) - 8 T(x - 2) = 2 T(x)
FUNÇÕES ELEMENTARES 35
.1 )= — x j X7
PP24 Sendo f ( x ) = y / x 4 + 1, prove que:
PP25 Sendo = / ( y ) ’ calcu'e / ( 0 sendo y ¥* 0 e / ( y ) # 0.
Resp.: 1
PP26 Sendo/ (x + y) = f ( y ) + / ( x ) , calcule/(0).
Resp.: 0
PP27 Sendo f(? fx y ) = / ( 2 V^c)/ (V y) onde x > 0, y > 0 Resp.: 1
PP28 Sendo f (x) = e * '2, prove que:
f ( x ) f ( y ) = f ^ ± y l
, calcule / ( 2).
LIMITES
Rearticule a fé nos companheiros que sí desviaram do rumo. Se algum deles se marginaliza, auxilie-o a reajustar-se na trilha certa.
3.1 - LIMITE DE UMA VARIÁVEL
Consideremos uma variável x capaz de assumir uma sucessão de valores de seu domínio:
* i, * 2» -*3» * ■ ■) x n - 2) * n -i5 x n> ■ * • de modo que o módulo da diferença x — a se tome menor que um número S, tão pequeno quanto desejarmos,
|jc - a\ < S
Diremos, então, que a variável x tem para limite a ou x tende para a.Escrevemos lirn x = a ou x -*■ a e lemos: o limite de x é igual a a ou x
tende para a.Para indicar que o limite da variável l é a constante a, podemos fazê-lo das
seguintes formas:
l im x =<7 ou x -*■ a ou | x - a | < 5 ou — f> < x - a < & .
Exemplo: 1
Suponhamos que a variável x assuma valores de seu domínio representados pela dízima periódica 1,999 . . .
Tomemos a constante 2 e façamos as diferenças
Assim, por menor que seja S, podemos ter
I* - 2 | < 6
1,9 - 2 = - 0,11,99 - 2 = - 0,011,999 - 2 = - 0,0011,9999 - 2 = - 0,0001
38 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
bastando tomar na variável x um número suficiente de períodos e teremos lim x — 2.
O exemplo acima nos mostrou uma variável tendendo ao seu limite por valores inferiores ao seu limite.
Vejamos outros exemplos: Um em que a variável vai tender ao seu limite por valores superiores e outro ora por valores superiores, ora inferiores ao seu limite.
Ej Seja a variável x assumindo os valores de seu domínio 2,1; 2,01; 2,001; 2,0001;...Consideremos a constante 2 e formemos as diferenças:
bastando tomar um número suficiente de zeros.
3 3 3 3E2 5 = 3 — — + “ — — + — + . . cujas parcelas estão em P.G. de razão
2 ’
2,1 - 2 = 0,12,01 - 2 = 0,012,001 - 2 = 0,0012,0001 - 2 = 0,0001
Por menor que seja ô, poderemos ter:
\x - 2 | < 8
O lim S
lim 5 = - ^ —r
4
2lim 5 = - | ------= 4 — 2 = 2
4 4
Se considerarmos os valores sucessivos de S teremos:
3 3S3 = 3 - y + > 2 e assim por diante.
As somas tendem para 2 ora por valores superiores, ora por valores inferiores
LIMITES 39
3.2 - LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Seja a função f ( x ) = x 2 definida para todo x real. Anaíisemos o comportamento de f ( x ) quando x assume valores próximos de 2 , porém, diferentes de 2.
Para isto consideremos os 2 quadros a seguir:
(I)
(II)
Notemos que quanto mais x se aproxima do valor 2 a função f ( x ) se aproxima do valor 4 tanto em (I) quanto em (II).
Podemos tornar f ( x ) tão próximo de 4 quanto desejarmos, contanto que façamos x suficientemente próximo de 2 .
Notemos também que quanto mais aproximamos x do valor 2 as diferenças |jc — 2| e | f ( x ) — 4| se tomam suficientemente pequenas.
Estas diferenças suficientemente pequenas são representadas na análise matemática por 5 e e. (ô > 0 e e > 0)
Na Figura 3.1 podemos observar que se desejarmos a diferença \ f (x) - 4| < e (escolhido) devemos encontrar um ô(e) tal que a diferença \x — 2| < 6 . Assim:
0 < \x - 2| < S = > l f ( x ) - 4| < e
e quando isto acontece dizemos que o limite da função f ( x ) , para x tendendo ao valor 2 é 4. Em símbolos:
x - 2 X / ( * ) f ( x ) - 4
- 0,2- 0,1- 0,01- 0,001- 0,0001
1,81,91,991,9991,9999
3,243,613,96013,99603,9996
-0 ,7 6-0 ,3 9-0 ,0399-0 ,0 0 4-0 ,0004
x - 2 X / ( * ) / ( * ) - 4
0,10,010,0010,0001
2,12,012,0012,0001
4,414,04014,00404,0004
0,410,04010,00400,0004
lim x 2 = 4.X->2
40 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Fig. 3.1.
Com isto podemos estabelecer a seguinte definição:
Uma função y = /(* ) , tende para um limite b, quando a variável * tende para a, se, a um número positivo e, arbitrariamente pequeno, corresponde um número positivo 5 tal que para
U - a | < ô e x # a — —> \y - b\ < e
Representamos por lim f ( x ) = b x-*a
Fig. 3.2.
LIMITES 41
Graficamente dizemos que / ( x ) tende a b (Fig. 3.2) se todos os pontos de f ( x ) correspondentes a todos os pontos x cuja distância até o ponto a é inferior a S, estão contidos num intervalo de raio z delimitado pelas retas y = b + e e y = b — e.
Exemplos:
E, Provemos que lim (3x — 4) = 2.X-+2
Prova:
Devemos provar que dado £ > 0 arbitrário, podemos achar S > 0 tal que 1(3x — 4) —2 l < e quando |x - 2| < 6 .Mas,
|(3x — 4) — 2| = |3x — 6| = 3 |x — 2| < 36.
Escolhendo 5 = -j temos
|(3x — 4) — 21 < e e portanto Um (3x — 4) = 2X->2
x _4Provemos que lim -------x~
X-+2 X — 2
Prova:
= 4.
Devemos provar que dado e > 0 arbitrário, podemos achar 5 > 0 tal que x 2 — 4x - 2
Mas,
x 2 — 4x — 2
Escolhendo 5 = e temos:
x 2 — 4
< e quando |x — 2| < S.
= |x + 2 - 4 | = |x - 2 | < 5 .
x2 — 4< e e portanto Um
x->2 x — 2= 4.
3.3 - LIMITES LATERAIS
Nos quadros (I) e (II) aproximamos x do valor 2. Porém no quadro (I) os valores são inferiores a 2 e no quadro (II) os valores são superiores a 2.
No primeiro caso dizemos que x tende a 2 pela esquerda e no segundo caso x tende a 2 pela direita e representamos respectivamente por:
Um / ( x ) = 4 e Um f ( x ) = 4X-»2" X-* 2+
42 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Definiçctes
D! Se f ( x ) tende ao limite bj quando x tende a a para valores x < a, dizemos que &i é o limite à esquerda da função f{ x ) no ponto a e representaremos por:
lim /( x )
D2 Se /(x ) tende ao limite b2 quando x tende a a para valores x > a, dizemos que b2 é o limite à direita da função / ( * ) no ponto a e representaremos por:
lim / ( x ) = b2 x-*a*
TEOREMA 1:
Seja f ( x ) definida num intervalo aberto 1 — {a}.
lim f ( x ) = b se, e somente se, lim f ( x ) = lim / ( x ) = b x->a x-*a~ x-*a*
Demonstração:
lim / ( x ) - b = o ( V e > 0 , 3 6 > 0 | 0 < | x - a | < 6
| / ( x ) - b\ < E)
=> (V e > 0 , 3 S > 0 | - 6 < x - a < 0 ou 0 < x - a < 8
— > | f (x ) - b | < e)
V e > 0 , 3 6 > 0 | - ô < j c - a < 0 = > I /O ) - bl <e <= => lim f ( x ) = b
x->a_
V e > 0 , 3 6 > 0 | 0 < x - a < 5
< > lim /( x ) = bx-*a*
=> |/ ( x ) - b\ < c
Exemplos:
I y |E i Consideremos a função / ( x ) = — V x G IR*,
lim / ( x ) = lim = lim —— = — 1X XX-+Q~ X-+Q~ X-* 0
lim / ( x ) = lim = lim — = 1 x —* o+ x-+a*x x-+o+,x
Logo lim f ( x ) # lim /( x ) e portanto não existe lim f(x ) .x->o+ x->o
Note que os limites laterais existem, porém não são iguais.
Consideremos a função
1 — x2 se x < 3
f (x) = i 0 'se x = 3
x — 2 se x > 3 Calculemos lim /(x ):
3“lim / ( x ) = lim (1 - x 2) = lim [1 — (3 — h)2] =
X-*3~ x-*3~ h-* olim [1 — 9 ■+■ 6h - h2] = lim (— 8 + 6h — h2) = — 8 h-> o h-o
Nota: Substituímos x por 3 — h que é um número menor que 3 e, como h -* 0, então, 3 — h é próximo de 3.
Calculemos
lim / ( x ) = lim (x — 2) = lim [(3 + h) — 2] = lim (1 + h) = 1X->3+ x-*3+ h-* o h-+o
Neste cálculo x foi substituído por 3 + h que é um número maior que 3, mas próximo de 3.Não existe lim /(x ) , pois lim / ( x ) i= lim /(x )
X —*3 X-*3" X->3+
Seja a função
r2x + 4 se x < 1
8x — 2 se x > 1
LIMITES 43
/ ( * ) =
Temos:
lim /( x ) = lim (2x + 4) = lim [2(1 — h) + 4] = lim (6 - 2h) = 6 x-»i- x-+l" ft-»o h-*o
lim / ( x ) = lim (8x — 2) = lim [8(1 + h) - 2] = lim (6 + h) — 6 x-*x+ x -n + A->o
Existe lim / ( x ) e é igual a 6, pois i -* i
lim /( x ) = lim /(x ) = 6 x -n - x-»i+
x2 — 4x 4- 4Determine lim ----- ----------- .x - í - x 2 - 4
44 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Solução:
lifflX2 - 4 x 4- 4 = H (2 - ti)2 - 4 (2 - ti) 4- 4
r x 2 - 4 A ™ (2 — A )2 — 4
4 — 4/z 4- h2 — 8 4- 4h + 4 .. h2 .. h------------- ---------- -----------------= l im —-----------= l im -- -------
4 — 4h 4- h — 4 o /i — 4h h->o h 4
J L =o.- 4
x 2 - 4x 4- 3x -n 4
Solução:
x 2 - 4x 4- 3 = Um (1 4- h)2 — 4(1 + ti) + 3 = 6* + 5 f t -o(l +/ i )2 - 6 ( 1 + / í )4- 5
^ 4- 2ft 4- /i2 — 4 — 4ft 4- 3 = Um h2 - 2h = T + 2ft 4- ft2 - 6 - 6A 4- 5 *_<, A2 - 4A
h(h ~ 2) _ H h — 2 - 2 J_ r , * - 4 - 4 2
3.4 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES
Sejam /(* ) e * (* ) fur*Ções Umitadas:
P, Um ^ ^ constante.x-*a
P U m [/(JC) 1 í W ] = ton / ( * ) 1 ton g(x)L „ x-*a x-+aX -+Q
P, Um [ /(* ) * í W 1 = 11111 llm g(-x>x-*a *-*a x ^ a
P4 Um A • / ( * ) = ^ • Um A *)
Um /(x )P Hm ZÍÍÍ = (Um £ (x ) # 0)
P6 lim [/(x)]" =tlim /(x)]n
LIMITES 45
P7 lim [ / ( x ) F (JC> = [ lim / ( x ) ] Um*w , se os limites forem finitos.X -*fl X ->fl
P8 lim logft / ( x ) = log* lim / ( x ) , ò € IR, 0 < £> =£ 1 e lim / ( x ) > 0X -» « X -* fl X -»fl
Exemplo: Usando as propriedades operatórias vamos determinar
lim ' V J r r - x-
Resolução:
a) limr —1----- - lim V 2x + x3 / lim (2x + x3)
V 2 x + x 3 x->i Vx _>i x + 2 lim (x + 2) lim (x + 2)
X -> 1 x-*i
/lim 2x + lim x 3 /2 lim x + ( lim x )3 ____V x —1____ x->i _ V x-»i____ x—> 1 ___ v 2 + l _ v 3
lim x + lim 2 lim x + lim 2 1 + 2 3X -* 1 x - > l JC-*1 X - * l
b) lim (x + 4) = 5x->\
Então Um U 2- x- + f Y * = / V ã > = V 3x-1 \ * + 2 / V 3 ) 27
3.5 - LIMITES INFINITOS
Definições
Dt Seja / ( x ) uma função definida em um intervalo aberto I - {a}. Dizemos que quando x se aproxima de a ,/(x ) cresce üimitadamente se, para qualquer número M positivo, existir 5 > 0 tal que se |x - a\ < 5 então /( x ) > M e escrevemos:
Um / ( x ) = + °° x-*a
D2 Seja / ( x ) uma função definida em um intervalo aberto I - {cr}. Dizemos que a função / ( x ) decresce iUmitadamente quando x se aproxima de a se, para qualquer número M < 0, existir S > 0 tal que se |x - a\ < 6 então / ( x ) < M e escrevemos:
lim / ( x ) = — °°x-»a
46 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Observação: Os símbolos ±°° não são números.
Fig. 3.3.
Exemplo: Seja f ( x ) = * + 12 ‘
Note que quando x -*■ 2+ a curva cresce infinitamente ou seja:
.. x + 1lim -------- = °°
Quando x -*■ 2 ' a curva decresce infinitamente ou seja:
lim Jt + 11 x — 2
Nota: A reta x = 2 é a assíntota vertical de f ( x ) .
3.6 - LIMITES NO INFINITO
Definições
Dt Seja f ( x ) uma função definida num intervalo aberto (a, °°). Diz-se que, quando x cresce ilimitadamente, f ( x ) tem um limite A se, V e > 0, 3 N > 0 tal que se x > N então | f{ x ) — A\ < e e escrevemos:
lim f ( x ) = AJC-+ + “
D2 Seja f ( x ) uma função definida num intervalo aberto ( - a). Diz-se que, quando x decresce ilimitadamente, f ( x ) tem um limite A se, V e > 0, 3 N < 0 tal que se x < N então |/ (x ) — A \ < e e escrevemos:
lim f { x ) = A x-*- ~
x *4" 1Na Fig. 3.3 podemos ver que quando x cresce ilimitadamente f { x ) = —— —
tem um limite igual a 1, pois, para e > 0 , 3 A r > 0 t a l que para x > N então |/ ( x ) - 1| < e e por isso:
x *4" 1lim — — x - 1 (este limite é exatamente a assíntota horizontal de f ( x ) ) .
LIMITES 47
TEOREMA 2
Se lim / ( x) = + °°, então lim , , . x->a x-*a J\x)
= 0 .
Demonstração:
Por hipótese lim f ( x ) = então existem M > 0 e 6 > 0 tal que se x-*a
0 < |jc - a\ < 6 então / ( x ) > M.
Mas f ( x ) > M > 0 < = > |/ (x ) | > M <= 1f i x ) < F
1
< 6 , então
Escolhendo e = temos V e > 0, 3 6 > 0 tal que se 0 < \x - a|
1/ ( * )
1
- 0 < e e portanto
lim . / ( * )
= 0
Este teorema é válido também para x -*■<*>.
TEOREMA 3
Se lim / ( x) = - <*>, então lim ~ - r = 0 x-*a x-*a J \ x )
Demonstração análoga à anterior.Este teorema é válido para x
TEOREMA 4
Se lim / ( x ) = 0, então lim x-*-a x-^a / w
= + oo
Demonstração:
Por hipótese lim /(x ) = 0, então ] e > 0 e 5 > 0 tais que |x - a\ < 6
onde |/ (x ) | < e.Mas
|/ (x ) | < E < = >1
/(* ) > f
48 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Escolhendo M = — vem V Aí > 0, 3 8 > 0 t a l que se |x — a\ < Ô, então
1/( * )
> M e portanto lim x->a
1/(* )
Este teorema é válido para x -*■ <*>.
TEOREMA 5
Consideremos a função polinomial
então:
b) lim / ( x ) = lim anx nx -» - <*> X-» — *>
a) lim f ( x ) = lim anx n X-.00 x-*~
Demonstração:
a) lim /(x ) = lim (a0 + fljx + a2x 2 + . . . + a„x").X-><”
limx —°°
I a° + +a„xn anx n - y a„xn ~2
+ . . . + 1
MaS ““ ( 7 1 ” + + + • • • + 1 ) = 1 (Teorema 2)x —*°° \ GfjX üf ix
e portanto
lim /(x ) = lim anx nX -» “ X - » “
De maneira análoga demonstramos b.
TEOREMA 6
Se / ( x ) - a0 + a ,x + a2x 2 + . . . + anx n, an ¥= 0 e
h (x ) = b0 + biX + b2x 2 + . . . + bmx m, bm ¥= 0
então:
Um = lim ^ - x "
Se n > m
Se n = m
Se n < m
=> ±
=> 0
A demonstração por ser idêntica ao teorema 5 fica a cargo do leitor.
LIMITES 49
Exercícios
Calcule os limites seguintes:
E, lim (3 x2 + 4x + 8)
Resolução:
lim (3xs + 4x + 8) =5 lim 3 x 2 = «X~*°° X-*°o
Ej lim (5.x3 - Ax1 — 8jc + 4)
Resolução:
lim (5 jc3 - 4x2 — Sx + 4) = lim 5jc3 = —c
5x — 4E3 Um — — ------x-K» Ax — 2x — 8
Resolução:
Sx - 4 t.6 5 T.6 „lim — --------------- = Um — - = lim - — = 0X-»» 4 x — 2x — 8 x~*m Ax x~*
3.7 - INFINITAMENTE PEQUENO
Definição: Diz-se que a = a(jc) é um infinitamente pequeno quando x -*■ a ou x -*■ °° se
Um <*(*) = 0 ou Um a(jc) = 0 x -+a x-*°°
Exemplos:
Et A função a = (x — 2)J é um infinitamente pequeno quando x -*■ 2, pois,
Um a O ) = lim (x — 2)J = 0X-*1 X-+2
3E2 A função a = — é um infinitamente pequeno quando x -*• <*>, pois,
3 T.6Um a(x) = Um — = 0
x-*«o x-*°° x
Da definição de limite resulta que para a (x ) ser um infinitamente pequeno deve-se ter:
V t > 0 , 3 6 > 0 tal que para todos os x satisfazendo a desigualdade \x - a\ < 5 se tem |a (x)| < e.
Propriedades:
P i A soma algébrica de dois infinitamente pequenos é um infinitamente pequeno.
Demonstração:
Seja ji(x) = <*(*) + 0(x).
Por hipótese, a (x) e (3 (x) são infinitamente pequenos e assim:
l « W I < f e I J W K y .
Logo:
Im(x)I = |a (x) + 0(x)| < |ot(x)| + |/3(x)| < y + y = e >
isto é, | ( j c) | < e e portanto n (x ) é um infinitamente pequeno.
De maneira análoga demonstra-se o caso lim a(x ) = 0, lim P(x) = 0.x-*°°
P2 .0 produto de um infinitamente pequeno a = a(x) por uma função limitada / = /(a ) é um infinitamente pequeno quando x -*■ a (ou x -*■ °°).
A demonstração fica a cargo do leitor.
3.8 - FORMAS INDETERMINADAS
Ao calcularmos o limite de uma função em um ponto dado, acontece muitas vezes que nesse referido ponto a função não é definida, obtendo resultados nas formas:
0 OO•q- ou — que são chamados formas indeterminadas mais freqüentes.
Por exemplo:
lim ——r~r = -—V , , (forma indeterminada)x-+-i * + 1 - 1 + 1 0
lim r ~ ~ ~ ~ = (forma indeterminada) jc-»» x — 1
50 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
LIMITES 51
Uma indeterminação não significa a inexistência do limite, apenas nada podemos dizer por enquanto.
Para sairmos das indeterminações acima usaremos operações algébricas elementares de modo a substituir as funções em estudo por outras equivalentes que possuam limites determinados no referido ponto.
Nos dois últimos exemplos temos:
,■ X 2 — 1 (x + 1)(jc — 1) „hm - - - -j- = lim ^ ---- 1 = lun (x - 1) = - 2•* T 1 X~+ - l V-* T X -+ -1
3 + — + 4 -Un 3 + 2 , 3
x -
Exemplos:
x 3 — &x ■+■ 3 E, Calcule lim —
x-m x s - 2x + 1
Substituindo diretamente temos:
x 3 — 4 x + 3 0lim —— ------- - = — (nada podemos afirmar inicialmente)x-+i x — 2x + 1 u
Dividindo o numerador e o denominador por (x — 1) temos:
lim + lim — F + t - W - l ) _____ =x ^ i x — 2x + 1 x ^ t (x + x + x + x — l) (x — 1)
X2 + X - 3 1hmi x 4 + x 3 + xJ + x — 1 3
Calcule lim ^ ~ ' f * ■ x — 3
Substituindo diretamente temos
\/~x — \/~3 0lim ----------r— = — (nada podemos afirmar inicialmente)
x -*3 x — 3 u
Quando temos o limite de uma função irracional deste tipo multiplicamoso numerador e o denominador por (n/jT + \ Í 3 ) . Assim:
lim = lim (V * r - .y ã ) .( ^ +/ 3 ) =x-+3 x 3 x-*3 (x — 3 )( \/x + \ /3 )
* " --------- (* > 3> ^ - l i -x->3 (x - 3 ) ( v x + V 3 ) X - 3 v x + -s/3 2 y / 3 6
Observação: Um estudo mais completo sobre indeterminações é visto no capítulo seguinte.
52 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
3.9 - "LIM ITES BÁSICOS"
® ün, * « £ = i ^ V
Provemos geometricamente: M Seja o círculo de raio unitário com centro
O. Assim definido temos
ÕÃ = ÕN = 1.
Prolonguemos OA até encontrar a perpendicular por_N (extremo de ÕN) em M. Façamos AB paralelo à MN.Desse modo temos:
Área A OAB < Área do setor OAN < Área AOACV.
* a a n sen x cos x Are a A OAB - -------------
Área do setor OAN = - y
í a nt,™ tgx se*1 *Are a A OMN = ~ ~ = --------2 2 cos jc
r . _ sen x cos x . x . sen xTemos entao ------------- < — < ---------.2 2 2 cos x
Multiplicando todos os termos desta desigualdade por sen x
sen jc cos x. sen jc 1 ou COSJC < ------- < COS JC
Mas lim cosjc = limX - * 0 X -+ 0 cos JC= 1.
Assim 1 < lim ------ < 1 e portanto:
LIMITES 53
.. senx hm ------ = 1v-*n X
sen 4 jcExemplo: Calculemos Um ---------
Façamos 4x = n . Assim se x -* 0 então 4x -*■ 0 ou n -*■ 0.Logo
sen 4 x .. 4 sen 4x sen 4 x . sen u im ------- - = hm — -------= 4 Um — ------ = 4 hm ------- =UmX -> 0 ■* X-I-O
= 4 - 1 = 4
4x 4 x
<D limX-+oo v * /
Demonstraremos no Capítulo IV.
Exemplos:
E[ Calcular Um 1 — 1 Y
Temos
Um ( 1 — — ) = Um " / «-<-
1 + (- 1)
E2 Calcular Um*-►«>
Temos
UmX->“
= lim
l)
Jf + 1
X + 1
= lim
UmH Ï
E3 Calcular Um (1 + x ) l /x. x-*o
Façamos a substituição x = — . Então:
Um (1 + x )vx = Um (l + — = eX-+0 y-+oo \ y )
54 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
® Se a > 0, então
ax - 1lim --------- = Sn ax —*o x
Demonstração:
Para a = l o limite se verifica diretamente.
Para 0 < a ¥= 1 temos:
Fazendo a substituição tf* — 1 = ai vem:
ax — 1 = n ------> ax = li + 1 -----> Sn ax = Sn(^í + 1)
- > x Sn a = £n(#i + 1) = = > x = + ^ v Sn a
Assim,
ax — 1 _ n ____ ^ a1 — 1 _ fj Cng* _ £n(n + 1) > x ^Sn(/u + l)
Sn a
e como * -» 0 -> n -*■ 0, vem:
a* - 1 .. //Sntf r n i r 1 lim -------- = lim -tt—,—t —tt = IBn aJ lim -----------------x~*o x n~*o 1 ) n->o i . E n(p i + 1)
= [Sn tf] lim ---- -— ----- rrr = — ~— --------—-r= Sn tf/i-*o Sn(fi + 1) Sn [lim ( m + 1)
n~+o
e2X _ 1Exemplo: Calcule lim ----------
X-+0 x
Resolução:
lim — —— = lim —------- Sn e = 2 Sn e = 21
3.10 - CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Uma função /(x ) é contínua no ponto a quando preenche as condições:
Existe e é definida no ponto a;Existe lim f ( x ) e é igual a /(tf);
x-»a+
LIMITES 55
E existe lim _/(x) e é igual a f(a ).
1. No ponto 1 - > / ( 1) = I~ 2 = ~T~ ~ 1
Quando f ( x ) não for contínua em x = a dizemos que ela é descontínua neste ponto.
Se uma função for contínua cm todos os pontos de uma região D (ou de um intervalo) diremos que ela é contínua nesta região (ou neste intervalo). Geometricamente dizemos que uma função f ( x ) é contínua quando não há quebra em seu gráfico.
x *4" 1Estudemos a função f ( x ) = —-----— no ponto x = 5.
Ela é descontínua no ponto x = 5, pois f ( x ) não é definida neste ponto. Observemos que
D ( f ) = [x E IR I jc * 5}
Exemplos:
Ej Os gráficos abaixo ilustram funções descontínuas em a.
O a x O a x O a
0 ) lim f ( x ) *f ( a) (II) f ( x) não está definida (III) ^ lim /(x )x~*a em a. x-+a
56 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
E2 Estude a descontinuidade da funçao y = --------- — no ponto x = 0.1 + 2
1. /(0 ) =1 + 2
t/0 -------•> a função não é definida para x = 0.
62. lim -— ** = lim ------^ = lim0+ 1 + 2 1'* a-*o 1 + 2 1/(0+a) h-+ o 1 + 2 1'* 1 + 2 1/0
= — = 0 .
3- lim -— = lim = lim0 - 1 + 2 1'* o 1 + 2 1 / ( 0 ' A) a - o I + 2 - 1" ' 1 + 0
= 6
No ponto x = 0 há um salto igual
1 0 - 6 1 = 6
Teoremas importantes:
T, Se as funções f ( x ) e g (x) forem contínuas, então serão contínuas as funções
f ( x ) ±g(x) , f ( x ) • g(x) e com g (x ) + 0.
Tj As funções polinomiais são contínuas em todo intervalo finito.
T3 Se y = / ( * ) for contínua em x = a e z = g (y j for contínua em y = b e se* = /(a), então, a função z = £ [ /(* ) ] é contínua em * = a.
3.11 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
Calcule o valor dos seguintes limites:
x* - 2 PR, Um - ■X --2 x 3
Solução:
x 4 - 2 ( - 2 ) 4 — 2 7 lim ----- -— = -— -— ;— = — -TX - . - 2 X 3 ( — 2 ) 4
x 3 - 3 x2 + x - 1 PR2 lim -
x —- l
LIMITES
Solução:
x 3 - 3x2 + x — 1 j
= ( - D 2 - 2 ( - l ) - 4Um * 3 ; + £ - 1 _ ( - 1 ) 3 - 3 ( ^ l ) 2 + ( - ! ) - ! .
PR3 lim Xx - f - i x 2 + 3x + 2
Solução:
.. x 1 — 1 (x + l) (x — 1) x — 13 , + 2 ' « T , <* + » < * + 2) " i ? . , 7 + 2 '
“ ' “ I = _ 2
PR4 lim
- 1 + 2
(x - h)3 - x 3’ 4 --------------T T
ft—o h
Solução:
.. (x - h)3 - x 3 .. x 3 — 3 hx2 -I- 3h2x - h3 - x 3lim ---------£-------- = lim ------------------ r-------------------- -ft—o n f t- o "
ft —o ft—o.. h ( - 3 x 2 + 3hx - h2) .. . . , , _ ,= lim —---------- ------------- - = lim (—3* + 3 ftx - ft2) =
l)x —í
Solução:
2(x2 + je + 1) — 6lim ( ------ T ----- ------ I = limx - i V * " 1 x 3 - i y x - i x 3 - 1
= lim 2 i ! + 2 x - 4 = Um _ A ( x - l ) ( x + 2) = x —l x — 1 x - 1 C* — !)(■* + x + 1)
= lim^ L ± 2L =2x - i * + x + 1
57
6
- 3 x 2
58 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Pr6 Um i ^ .7 4 ) + y ^ ix -n x — 2
Solução:
(x 2 - 4) + V-*3 - 8 um -
- iim + 2) (x — 2) 4- V (x - 2 )(x2 + 2* 4- 4)_ r- 7 x - 2
D_ .. x 2 - 3x + 1 PR7 limx-*°° 4 x 2 + 1
Solução: an
x 2 - 3x 4- 1 x 2 7lim ------ ---------- = lim — - = —x->°° 4 x 2 4- 1 x-*~4x 4
porque n = m = 2 (teorema 6 do 3.6).
PR8 lim s *x->-~ V * 5 + 7
Solução:
lim s~7 - = lim — . - - ; .......=*■*“ V * + ? i j x * ( l + ^
- lim ^— = - = lim ——r - ----- = 1
PR9 lim V 7
*-►“ -v/x + vGc + v*"
Solução:
Usando a propriedade P6 e depois dividindo todos os termos por x temos:
lim —7 • Yp - - = lim / ------- /-■- ■ - -i =x-+~> V x + V * + Vx~ x + v * + V x
LIMITES 59
PR 10 lim
Jx^-oc x + y /x + VT J j + J \_ , / T
= V T = i
y /3 - x - 14 - * 2
Solução:
Multiplicando o numerador e o denominador por (V 3 — x + 1) temos:
h í & l . » d ^ T T T -h q .x->2 4 — x X-+2 (4 - x ) ( V 3 - * + 1)
= lim --------------- ^ --------------- ---* - 2 (2 - x ) ( 2 + x ) ( y / 3 - x + 1)
= lim ------------- \ -------= -3-x->2 (2 + x ) ( V 3 ^ 7 + 1) 8
PRn lim ( y f x — y ja + x)
Solução:
lim ( V T - V J T 3 Í )= lim ( V F - =x-<-~ ( v x + V a + x)
= lim * - ( * + * ) = ^ - = 0 » - " v / í + y / a + x 0 0
PR12 Se /"(x) = 3x2 — 2, achar lim-- "3 _ O npKor lim / ( x + A) - /(* )fc-»o ^
Solução:
f ( x + ti) = 3 (x + h)2 — 2 = 3x2 + 6fcx + 3 A2 - 2
Assim
f ( x + t i ) - f ( x ) = lim 3 x 2 + 6hx 4- 3/i2 — 2 — 3x2 + 2 = A-*o h h-*o h
6 hx + 3 ti1 .. . . , ,= lim -------r------= lim (6x 4- 3 ti) = 6xh-> 0 * A-*o
60 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PRis lim* - i 2x 3 — 3x 2 + 4 x - 3
Solução:
Substituindo diretamente temos então, dividimos o numerador e o deno
minador da fração por x — 1 pois x -*■ 1 .
x 3 + 4x2 - x - 4 _ ( x - l) (x 2 + 5 x + 4) _ x 2 + 5x + 4 2x3- 3 x 2 + 4 x - 3 ( x -1 ) (2 x 2 - x + 3) ~ 2 x 2 - x + 3
Logo
x 3 + 4 x 2 - x - 4 x 2 + 5 x + 4 5lim —-------- -------------- = lim — -------------= —-x-n 2x3 - 3x2 + 4x - 3 x-n 2x2 - x + 3 2
PR 14 lim 3x — 27
« V 3 F - 3
Solução:
Substituindo diretamente temos , mas podemos fazer a substituição x = y 3
e daí:
M £ n 2L = lta2L l 27=lim 0^ W J _ 3Z ± 9) =x-m \ x — 3 y~* 3 y > - > 3 y ~ 3
= lim (y2 + 3y + 9) = 27>-3
2x + V * 3 - 4jc2 + 2PR15 lun -------- Tn r ^ J ' ~X - » v r - 1
Solução:
, 2x + V x 3 —4x* + 2 ,, +lim -------- 3 -------- = lim ---------- -prr------ r-=T--- L
' /^ T
2 x + x Y / l 2 + \ 3/ l
= l im ------------ * * = l im -------— = 3
LIMITES 61
__ sen 4xPR is lira -— ;r—
x-*o sen 3x
Solução:
.. . sen 4x sen 4xlim 4x —------------ hm —-------^ sen 4x _ * x - ” 0 4JC _ 4 4 x-»o _ 4
sen3x .. sen3x 3 .. sen 3x 3* 0 lim 3* — — hm3X-*-0 ^ X 3 X -+ 0 3 X
.. sen u , pois lim -------= 1Í. - 0 **
__ .. sen Ttx PR i7 hm -— 5 — sen 3nx
Solução:
Façamos x = // + 1. Se x -+ 1 -------> n -*■ 0 e daí
sen££L = lim senff(p + l) = ^ sen(nii + n).JÍU1, sen3jrjf sen3ir(/i + l) sen (3iru + 37t)
sen nx sen tt/i • cos n 4- sen n • cos nulim ----------= hm -------— ------ -— ------- ----------£----x _¥l sen3nx M_ 0 sen 3 7 T/í • cos 3rr 4* sen 3 7 T • cos 3 7t/í
1~7f*i-sen nu
.. sen7rx — sen7r/i nulim -----r— = lim ------- r---- = hm -=---------- 5 ----x_¥l sen 3nx M _ > 0 — sen 3 7t/í 3~n tsen 3 nu3 7rp i
lim sen 7Tfj... sen?rx _ J_ irji-»o 1 _ 1
sen 3ttjc 3 ^ sen 3 nu 3 * 1 33nfi~*0 37r/i
pR sen (a + x) — senax-^o ■*
Solução: Transfoimemos em produto
f i \ ■> f a + x - a \ ( a + x + a \ sen (a + x) - sena = 2 sen I —— ----- ) 0 0 8 1 ------- — " 1 =
. x 2a + x = 2 sen -v cos2 2
62 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Assim,
» x 2 a + x/ i \ 2 sen — cos — - — .. sen (a + jr) — sen a 2 2 lim ---- ------------------- = lim ------- ------------ -—X - K ) X X ~ * 0 X
X / x \ = 1sen / sen— \
= Um —- — cos — y — =! Um --------- ;Um cos a Xx-+o x 2 • # x • 2
\2 2
.. 2 a + x ------= hm cos — =— = cos a
PR19 lim (1 4-cosx)3sec*x-+—2
Solução:
Façamos a mudança de variável cos x = ~ onde se x -> y
Assim:
Üm(l + cosx)3sec* = Um (1 + cos*)““ * = Um (l + —
JLYUm (1 + ■ iV-)
PRjo Um3x 4- 4 \ x + 1
20 V 3x + 2
Solução:
3x 4 2
= Um ( 1 ^ 4 4 +
JC—►«>
2
3x + 2 4- 2 \ x +l 3x + 2
x+l= Um I 1 +x^ „ \ 3x +2 3x 4- 2/ x
Façamos a mudança da variável 3x 4- 2 = /i. Quando x -* ■*> = - > n -*■ °° e então:
2 \ * +1i 1 T íx-tco
3x + 2
Ü m ( 1 + 3 x + 2
M-2
= Um ( 1 4 - - X 3
LIMITES 63
PR21 Se lim f ( x ) existe, prove que é único. x-*a
Prova:
Suponhamos lim f ( x ) = e lim f ( x ) = b2 j:—<i x->o
Por hipótese, dado e > 0, podemos achar 8 > 0 tal que:
l / ( x ) - 6 , | < y quando \x - a\ < 5
I f ( x ) - b2\ < — quando |x - a\ < S
Mas
l*i - = l* i - / ( * ) + / 0 0 - b 2\ < |6 , - / ( * ) ! + I / W - 6,1 <
o que quer dizer, |6 , — &2| é menor que qualquer número positivo; ou seja zero. Assim 6 , = b2.
PR22 Sendo lim f { x ) — A t lim g(x) = B, prove que: x -*a x-+a
a) lim \ f ( x ) + £ 0 )] = A + B x^rn
Prova:
I t /O ) + í W l - (A + B)\ = 1[/(jc) - A] + [*(*) - S]| <
Por hipótese, dado e > 0 podemos achar 5 , > 0 e 52 > 0 tais que:
\ f ( x ) - A \ < Y se | x - a | < 6 ,
\ g ( x ) - B \ < Y se |jc - a| < ô2
64
PR23
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Logo:
I [ /(* ) + £(*)] - 04 + £)l < y + y = e
se 0 < \x - a\ < 5 onde 6 = min (6 ,, S2)
b) lim —, = 4 - se B ± 0 x-+a S ( x ) B
Prova:
Por hipótese, dado e > 0, 6 t > 0 tal que:
|g (x ) - B\ < y 5 2e se |jc — «| < .
Mas lim g{x) = B ¥= 0, 3 52 > 0 tal que: x-+a
lg(x)| > y \B\ quando |jc - a\ < ô2. Assim: 1 J_
_ lg(*) - B\1 1 í W - Bí W B g( x )B
B2 e
1*1 !*(*)! \b \ ^ \ b \
sempre que 0 < \x — a\ < 5 onde 6 = mín (fij, 82)
= e
2x4 — 6x3 ~f" x2 + 3 Verifiquemos se / ( x ) = --------- -— j------------ é contínua no ponto x = 1.
Solução:
/ ( D - 2 .—
logo não é contínua em x = 1.Mas como x = 1 anula o polinómio 2x4 — 6x3 + x 2 + 3 resulta que ele é divisível por x — 1.
2 x 4 - 6x 3 + x2 + 3 X - 1
—2x4 + 2x3 2x3 - 4x2 - 3x - 3- 4x3 + x2 + 3
4x3 — 4x2
- 3x2 + 33x2 - 3x
- 3x + 33x — 3
0
„ _ . . . (2x3 — 4 x 2 - 3x — 3)(jc— f)- 3 - Entao, / ( x) = --------------^ ^ — — ' = 2x — 4x — 3x — 3
lim f ( x ) = lim (2x3 - 4 x 2 - 3x - 3) = - 8 = / ( l )X —1 X->1
Quando istq acontece dizemos que em x = 1 a descontinuidade é removível e passamos a definir a função através de duas sentenças.Assim:
{— 8 para x = 1
2x4 - 6 x 3 + x 2 + 3 ---------- 3~ i ----------- Para * * 1
PR24 Demonstre que f ( x ) = \ J x — 3 é contínua no intervalo 3 < x < 7.
Demonstração:
Se a é um ponto tal que 3 < a < 7, então
lim f ( x ) = lim y / x — 3 = V a — 3 = f (a) x->a x-*a
e como
lim y / x - 3 = lim V 3 + h - 3 = lim V /T = 0 = /(3 ) eX — 3+ h ->o o
lim y /x — 3 = lim y / l — h — 3 = lim V 4 - h = \/4~ = 2 = x -* i~ h-*o h-*o
= /(7 )
concluímos que f ( x ) é contíriua no intervalo considerado.
PRJ5 Calcule lim (1 + ax)b/x. x-*o
Solução:
Vimos que lim (1 + = e. Então, comparando notamos *-»o
LIMITES 65
1lim (1 + ax)axI ->0
ab= eab
i_x -iPRjt Calcule lim 3
X-+1-
Solução: Substituamos x por um inferior a 1, 1 — h por exemplo:
66 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
i ;___ -Um 3 * -' = Um = Um 3 h = Um -
x-*l~ h-+o h-* o ft-* o3
= -1- = i - = o3 0 0 CX)
PR27 Sendo Um pX + C,X +- 4- = 2, determine p e q.X-+ +oo ^
Solução:
anComo x -> + °° e o Umite é t— = 2, necessariamentebm
Qfl Qn = m = 1 — - > p = 0 e ■=-— = - - = 2 =
PR28 Determine a sabendo-se que Um ( l — —) sen ax = 5.X-tQ \ x /
Solução:
' " ' sen axUm (l — — )! t - o l X JUm (1 — — ) sen ax = lim sen ax — Um
_ .. asenax f .. senax\ -= 0 - Um ----------= - a Um ---------- = 5x-*o a x \ a x -* o a x J
------- = 1
Então, - a = 5 --- > a = — 5.
3 m* - 1PR29 Calcule Um ——------ .„ i nx i x-*o J — i
Solução: Vimos que
a* - 1 „Um -------- = ín a,x-*o x
podemos, então, escrever
3 - 13mx _ j mx
Um ——------ = Um --------- —-------= Um■ nnx | „ í/ix i ->nxo i — 1 X-*0 — 1 x-*o i"X — — —
LIMITES 67
lim3 mx _ j
_ m x-*-o mx _ fn £n 3 _ m_n 3 nx _ 1 n 8n 3 n
lim —-------* - 0 n x
PR Calcule lim e* + sen* - l Calcule üm gn(1+Jc)
Examinemos o quociente indicado e preparêmo-lo:
.. e* + sen x - 1 e * - l + s e n x™ 0 _ « n ( l + x ) - XT 0 Bn(l + *) ~
v x ex — 1 + sen x = lim — • — õ ?i ' I \—
x-+o •
— 1 . a ii _ .. (ex — 1) -f sen x 8n ( l + x ) £ . g n(1+Jc)
+ lim; limx ^ ° x 8n(l + *) *-
sen x
= lim ex - l 1
0 x • j « n ( l + x)
sen xx-*o x
.. i . . . senum ---- ----------—— + lim ----x -o 8n( l + x Y ,x x->o x
• lim — -— -——— = Kn e • 7p -----1- 1 • rp— = 1 + 1 = 2*-+0 Kn(l + x)1/* ßne ßne
PR31 Calcule lim v /1 + x x->o
Solução:
lim ^ 1 + x = li:x->o
x = lim (1 + x ) 3x =X-»0
lim (1 + x ) x.X-+0
Então, lim 1 + x = e3 — s f êJC-+0
PR32 Calcule lim (1 - atgx) cotgjcx~*o
Solução:
lim (1 - a igx)cotgx = lim 1 “-----= lim ——---------- —X -*-0 JC-K) tg X JC->0 t g x
68 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
. a te* - 1 lim (1 — a gx) cotg x = - lim — --------- = - fin aX-+0 JC-K)
pt senx cos x _ >PR33 Calcule lim
x -+0 sen 2x
Solução:
-«senxcosx _ 1 „3-sen2* _ ilim ----------=------- - = Um ex >0 sen 2x sen 2x
gísenix _ 1= 3 lim —;----- -— - = 3 «n e = 3
x-*o 3sen2jc
3.12 - PROBLEMAS PROPOSTOS
PPi Usando a definição de Umite prove que:
a) lim (jc - 4) = 2 c) Um (x 2 - 2x - 1) = 7X->6 X-»4
b) Um (3 jc — 2) = 10 /— „d) Um vGr" 3 - 1
9 - jc 6
Calcule os limites seguintes:
PP2 Um (5 jc3 - 2x — 4) Resp.: — 1 jc —»1
PP3 Um (3 jc4 - 2 jc3 - 4 x2 + 2 jc + 1) Resp: 0 jt-»-i
PP4 Um (2 jcs - jc3 + 10) Resp.: - 4 6X - + - 2
PP .. , / 2 x 3 + 2x2 + 8Um ’ / — r— ------ — Resp.: 2x-+2 V x "t* 2 jc — 4
PP6 Um x — 5
x-+s V3 + x
PP7 Umx 2 - 16
x-*4 x 2 — 5x + 4
Resp.: 0
p 8Resp.: y
LIMITES69
PP8 lim 4 ^ - Lx-*i x 2 - 1 Resp.: 2
PP, lim ~ ~ l x + 10x - 2 x 2 - x - 2 Resp.: - 1
PP10 l i m - ï ^ ix -.2 x — 2 Resp.: 12
PP„ lim ~ ~ 6* 2 + 5x-*-i x — 1 _ Resp.:- 4
PPU lim — 7 ^ + *. 1jc-o 4x 3 - 2 x R e s p . : - -
PP13 lim - i ** ~ l xx - i x 2 - 3x + 2 Resp.:- 4
PP„ lim ( f L ± A T ^h -to ft Resp.: 4 x 3
PP1S lim jx - o •* Kesp.: y
PPi6 lim 3 x4 ~ 2 x 3 + 2x2 - x - 2x-+i x 3 — jc2 -f- 2jc — 2 Resp.: 3
.3
PP,7 lim - 4- ~ 2 x + 4 10x-*-2 X4 + 3* - 10 Resp : ~ 2 9
PP18 lim 1x ~*6 x — 6 «esp..- —
PP„ Um*-*o x . Resp.:
6
VT2
PPJ0 Um 1 ^ /U L ja:-+-2 x 2 — 4 Resp.: — —
Io
PP2I Um ~ 3 ~ 311111 —~~ — — 4x- 3 V 2 x - 2 - 2 Resp.: —
70 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DD r 3 — V 5 + X PP22 hm -------x-*4 1 — y/ 5 — x
.. y /x2 + m PP23 lim *-*<
PP24 lim
um —. ^ -------x-*o v x 2 + q 2 — q
y / x - 3X~>9 x - 9
P P 2 5 U m 1
X -> 1 V x — I
x — 8PP26 Um-5-— ------
*-►8 yj X — 2
PP2i Um (y/x + 2 - y / x )
PP28 Um [ Vx( x + 4) - x]
PP29 lim3x2 - 4x + 5
x + 4
DD r 3* 2 - 4x + 3 PP 30 lim — — - . ------x-,» 3x3 + 8xJ + 4x — 5
P P 3 1 Um 5x3 + 4x2 — 5
PP 32 Um 3xs + 2x3 + 5lil ----I-------- -----------------*— « 5x + 4x3 + 2x + 1
PP33 Um (—4x3 + 2x + 4)
P P 3 4 Um y ------x-»~ v r + 1
PP 3 5 Um x (y /x 2 + 2 - x)
Resp.:
Resp.: — m
Resp.: ~- o
Resp.: ~
Resp.: 12
Resp.: 0
Resp.: 2
Resp.: 00
Resp.: 0
Resp.: 0
Resp.: -y
Resp.: °°
Resp.: 1
Resp.: 1
LIMITES
72 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
FP«, Ita ( l + | ) <’
PP” «■
PP5, lim I -------- 1 Æesp..—f n um ( * ^ 1 Y
PPS2 lim ( 1 + —
P P 5 3 limUm fe lY +*x -> -\ x + 4 j
X-+00
' 2X2 + 1
Resp.: ex
Resp.: e~6
pp“-gstpp" R ^ - : e'
" " í " . ^ **>•• 3
3“ - 1P P 5 s r „ ~ * — R e s p - 2 j n 3
Resp: y
"■“ S-ofer * ~ f£ f
PPsl í ” *«p .: e2
PPé2 x™ I T T ’ Resp: e5
LIMITES 73
PP 6 3 lim
PP64 lim \J 1 — 2xX - K )
PP6s Umx-*o
£n(l + x )2
log (1 + jc) 3PP66 Um
X-+0 x
pp67 um i “ 0 + 4*>*x~*o x
PP68 Verifique se a função definida por:
x 2 — 3 se x < 2
5 - 2x se x > 2 é contínua em x = 2.
Resp.: 3° Ín3
Resp.: e~2
Resp.: 2
Resp.: 3 log e
Resp.: 8
/ ( * ) =
Resp.: sim
PP69 Verifique se as funções definidas a seguir são contínuas nos pontos especificados:
a) f ( x ) =5 se x > 0
(
3 se x < 0 no ponto x = 0. Resp. : não
b ) / ( * ) = '
27x — 3
3 se x = 3 no ponto x = — 2.
x 2 - 6x + 8 se x > 2c) / ( * ) =
x 2 + x - 6 se x < 2 ,em x = 2.
d) / ( * ) =Jt3 — 6 se x < 2
x 2 — 2 se x > 2
no ponto x = 2 .
Resp.: não
Resp.: sim
Resp.: sim
74 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
3x — 8 se x > 5
e) f ( x ) = • 7 se x = 5
jc2 — 18 se x < 5
no ponto x = 5.
x3 - 1
f) /(* ) = ( * - l ) 3
, 3
no ponto x = 1.
1
g) /O ) = l * - l l
1
no ponto x = 1.
se x i= 1
se x = 1
se x ^ 1
se x = 1
Resp.: sim
Resp.: não
Resp.: não
senx
h ) / ( x ) =1 se x = 0
no ponto x = 0. Resp.: sim
PP70 Determine a para que a função seja contínua no ponto especificado:
' x 2 - 1
a) / ( * ) =se x 1
x - 1
a se x = 1
no ponto x = 1. Resp.: a = 2
C) / ( * ) =
V x ^ 3 - 1 se x > 4
se x < 4
x - 4
2 x - a
no ponto x = 4.
x 2 — 3x + 2 se x < 1
x 2 — 5x + a se x > 1
no ponto x = 1.
x 3 - 2x + 1
Resp.: a = 15
Resp.: a = 4
d) / ( * ) _ i x 3 + 5x — 6se x < 1
3x2 — 2x + a se x > 1
no ponto x = 1. Resp.: a = —-g-
4DERIVADAS
Alegre os infinitos muros tristes das infinitas moradas tristes.
4.1 - DEFINIÇÕES
D, Sejam x t e x 2 dois valores bem próximos de uma variável x e y , = f (x t ) e y 2 = / (*2) os valores da função y — f ( x ) correspondentes a x, e x 2 respectivamente.
Chamamos de acréscimo da variável x à diferença Ajc = x 2 — x , e acréscimo da função y à diferença Ax = y 2 - y , ou Ay = f ( x 2) — f ( x i ) onde f ( x i ) e f ( x 2) são chamados respectivamente de valor inicial e valor acrescido da função y.
D2 Chamamos de Razão Incremental R I ou Razão dos Acréscimos ao quociente:
Exemplo: Sejam y = x 2 — 4, x , = 1,2 e x 2 = 1,3.
Xi - 1,2 temos = —2,56
x2 - 1,3 temos y 2 = —2,31
Assim:Ax = x2 - X! = 0,1
^ y = y i - y \ = 0,25
Ax X2- X ]. valor acrescido da função — valor inicial da função
valor acrescido da variável — valor inicial da variável
Utilizando a disposição seguinte podemos escrever R.l. de uma forma geral.
76 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Valor inicial Valor acrescido
Variável X x + Ax
Função f (x ) / ( x + Ax)
Então:
r r - f ( x + A*) - (x + Ax) -
f (x )—^ ouX
p j _ f ( x + A x ) - f ( x ) Ax
D a Derivada de uma função
Seja y = / ( x ) definida e contínua num intervalo E. Chama-se derivada da função y à função y ' onde
supondo existir o limite.Usaremos também as seguintes notações para indicar a derivada da
função y: / '(* ) , [/(* )]
Exemplos:
Ej Consideremos a função / ( x ) — x 2 — 3 e calculemos a sua derivada. Temos:
f ( x + Ax) = (jc + Ax)2 _ 3,
assim:
_ ,• í(* + Ax)2 - 3] - (x2 - 3) _ / (x) = hm —------- - WZ----- -------- L =Ò X -> 0 n x
= limAx->0
x 2 + 2 x A x + (Ax)2 - 3 — x 2 + 3 _ Ax
= lim (2x + Ax) = 2xAx-*o
Portanto,
f \ x ) = 2 x
DERIVADAS 77
E2 Seja y = e calculemos y ' . Temos,
/ ( x + Ax) = 12 (x + Ax) ’
1 1 x — (x + A x)
' = lim W E M Z M = üm _2*(* + **) =Ax-»o Ax Ax->0 A x
Ai ™ 2 x ( x + A x ) 2 x 2 ’
portanto,
y = 2 x 2
D4 Derivada de uma função em um ponto x 0
Seja y = f ( x ) uma função definida e contínua em um intervalo considerado. Então
, / (* o + & x ) - f ( x 0)y* o = lim -----------ã í -----------AX-*0
é a derivada da função y em um ponto x 0 supondo que exista o limite.
Exemplo:
E, Consideremos a função f ( x ) = 3x2 — 2x + 1 e calculemos a derivada de / (x) no ponto x 0 = 2. Temos:
f ( x o + Ax) = / ( 2 + Ax) = 3(2 + Ax)2 - 2(2 + Ax) + 1 e
/ '(2 ) = lim / ( 2 + ~ f ( 2) =Ax-»0 ^X
lim [3(2 + Ax)2 - 2 ( 2 + Ax) + l ] - 9 _
= um 3 (Ax)2 + 10 Ax = jjjh (3 + 10) = 10A* Ax-*oAx-*o
Portanto:
/ ' ( 2 ) = 1 0
Podemos também primeiramente encontrar f \ x ) e depois, por substituição, f ' ( x 0).
E2 No Exemplo E, da Definição D3, se quisermos a derivada de / ( x ) = x 2 — 3 no ponto x0 = — 1, temos:
Como f ' ( x ) = 2 x então / ' ( - 1) = 2 ( - 1) = — 2.
Ds Derivada em um intervalo
Uma função y = f ( x ) é derivável em um intervalo se possui derivada em todos os pontos desse intervalo.
D 6 Derivadas laterais
As expressões
» _ .• / ( * + Ax) —/( x ) , f ( x + A x ) - f ( x )y (♦)= to» +— -------A;: ■ ■■ e ^(-) = ton -------Kx
Ax-K) AX-+0 a x
são chamadas respectivamente derivada à direita e derivada à esquerda da função y = f ( x ) num ponto x qualquer.
D7 Uma função f (x) tem derivada em um ponto x 0 se e somente se
/(+ )(*o) = /( - ) ( * o )
ou seja, as derivadas à direita e esquerda são iguais no ponto x 0-
Exemplo: Consideremos a função y = lx + 11 e calculemos y ' ^ (— 1)e / ( - ) ( - ! ) :
78 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Ax-*0+1-1 + Ax + ll - 1-1 + ll _ ,
/ « - , ( - . ) = li» - A - , ) -Ax-*<T
_ .. 1-1 + A x + l l - 1-1 + ll— lim ----------------t------------------- = —1Ax-*o" ^ x
Como ./(+)(— 1) # >»(_)(— 1) concluímos que nesse ponto a função dada não possui derivada (ver Fig. 4.1).
TEOREMA
Se uma função f ( x ) é derivável em um ponto x0, então ela é contínua nesse ponto.
DERIVADAS 79
DemonstraçãoSendo Ax 0 podemos escrever:
w , » /(* o + A x ) - / ( x 0) „ / ( x 0 + A x ) ~ / ( x 0) = ------------ ^ -------------- A x .
Como / (x) é derivável em x0 vem
lim l/(xo + Ax) — f (x0)l = f \ x ) ' lim Ax = 0,Ax-»0 Ax-*o
donde resulta:
lim [ /(x 0 + A x ) - / ( x 0)] = 0 ou lim / ( x 0 + Ax) = / ( x 0)Ax—o AX—0
sendo/(x) contínua em x 0.A recíproca nem sempre é verdadeira, ou seja, / ( x ) ser contínua em x 0 não
implica ter derivada aí nesse ponto. No último exemplo, vimos que y = lx + ll não tem derivada em x 0 = — 1, porém é contínua para qualquer outro valor de x. Veja Figura 1.
x
Fig. 4.1. Gráfico de y = |x + II.
Observação: Nos pontos de descontinuidade uma função não tem derivada.
4.2 - ÁLGEBRA DAS DERIVADAS
TEOREMA 1
Se f ( x ) e g(x) são funções tendo derivadas f \ x ) e g‘(x) respectivamente, então / ( x ) ± g(x) tem derivada e
l/(x )± g (x )] ' = /'(x )± *'(*)■
Prova
80 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Façamos/ ( x ) ± ^ ( j c ) = h ( j c ) . Então:
h \ X) = um M * .+ y - * t o =A x -0 A X
= limAx-»0
= lim ax->o
[ f i x + Ax) ± #(x + Ax)] - l/(x ) ± g (x)] _ Ax
/( x + Ax) - / (x ) ± g(x + Ax) - g(x)Ax Ax
= um / ( * + - / ( * > ± um jT(x + Ax) - g ( x ) AX-» 0 Ax AX-*0 Ax
= / ' t o ± * ' ( * ) .
Portanto: l/(x) ± g(x)]' = f ' ( x ) ± g'(x)
TEOREMA 2
Prova
Seja / ( x ) uma função tendo derivada /'(x ) e K uma constante real. Então,
[Kf{x)] '= Kf'(.x).
lK f (x )Y = lim - t t * + ~ =Ax->0 Ax
= K to i í* + y - / w =A X -0 A X
= * / ' t o -
Portanto, I í / ( x ) 7 « «:/*(*)
TEOREMA 3
Então,
Prova
Sejam / ( x ) e #(x) funções tendo derivadas /'(x ) e ^'(x) respectivamente.
l / t o * g(x)H = / ' t o • í t o + /(x ) • g'(x).
[f(x )g (x )] = lim + Ax)g(* + Ax) - / t o g t o = Ax- 0 Ax
DERIVADAS 81
= lim/ ( x + Ax )g (x + Ax) - f ( x ) g ( x + Ax) + /(* )g -(x + A x)- f ( x ) g ( x )
Ax
= lim Ax-»0
f ( x + Ax) - / ( x) Ax g(x + A x ) + f ( x ) g(x + Ax) - g ( x )
Ax
= lim / ( ? .+ ^ ^(x 4 - Ax) + /(x ) Um + =Ax-*0 A x-*0 Ax-»0 ,
= /'(* )? (* ) + /(*)*'(*)■
Portanto, I f W í C x ) ! 1 = / ' ( * ) í W + / ( * ) í ' ( x )
TEOREMA 4
Então,Sejam / ( x ) e g(x) funções tendo derivadas f ' ( x ) e g'(x) respectivamente.
/ ( * )g(.x)
' - g(x) f ' (x) - f ( x ) g ' { x ) [g(x)Y
para g(x) ^ 0.
/ (* )*(*)
= limAx-*-o
/ ( x + Ax) f ( x ) g(x + Ax) g(x) _
Ax
f ( x + Ax) f ( x ) t / ( x) / ( * )= lim
AX->0g(x + Ax) g(x + Ax) g(x + Ax) £ (x) _
Ax
1
= limAX->0
= UmAx-*o
gpc + Ax) {f ( x + Ax) - / ( x ) ] + / ( x ) 1 1.g (x + Ax) g(x)
1g(x + Ax)
Ax
l f ( x + A x ) - / ( * ) ] + / ( * ) g(x) - g ( x + Ax)g(x + Ax)g(x)
Ax
1
= limAx->0
= lim
g(x + Ax) (f(x + A x)- / ( * ) ] / t og(x + Ax)g(x) [g(x + A x )-g (x ) l
Umàx-+o g ( x + A x) Ax- * 0
Ax
f ( x + Ax) - f ( x ) Ax
— lim / t o g (x + Ax) - g ( x ) _Ax-*o g( x + &x)g(x)
Um - Ax-+o Ax
82 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
g (x ) f(pc) [ / ( l ) ] 2 ' 8 W
- g ( x ) f \ x ) - f ( x ) g ' { x ) \g(x)V
[ /(* ) ! ' _ £<*) f ' {x) - / ( * ) g'(x)[*(*) fe(*)l2
Portanto:
g(x) * 0.
RESUMO:
Sejam u = / ( x ) , v = g(x) e K constante real.
1 (u + v)' = u' ± v ' 3 (uv)' = uv' + u v
2 ( * « ) '= * « ' 4 J = ,
4.3 - DERIVADA DAS FUNÇÕES BÁSICAS
1 f ( x ) = K ( K constante). Logo:
/ ( x + Ax) = K e /~(x + A*) - / ( * ) = =A x A*
f ' i x ) = Jta ZfeLt-^ ) -/ W . = 0Ax-<-0
e portanto:
2 /O ) = x. Logo:
f í \ _ 1- (* + A* ) — */ (x) = lim i------7T7 ------= 1A x -o ajc
e portanto:
x' = 1
0
3 f ( x ) = x n, n GZ+. Temos:
DERIVADAS 83
\ _ >■ (* + &x) - * f (x) = lun v--------j f ---------AX—0
= limAX—O
( J )**(A4: )«+(J )x- « ( A * ) ‘ .
Ãx
+ . . . + (
A x
Ax= lim -
Ax-*0
( ” ) x " - + g ) x " - 2(A x ) + . . . cA x
+ ( " ) x 0(A x )n- ‘ lV»/__________J. _ n\ vn -1 _ „^n-t
A x x = nx
e portanto:
(x71)' = nxn~l
4 y = sen x
jy = limAx.-o
= limAx->o
sen (x + A x ) — sen x A x
^Ax^ ^2x + A x\ 2 sen J cos - J
A x
sen= lim m
Ax. A x lim cosAx-*0 ( ^ )
~2~ 2
= 1 • cos ( — l = cos X<fh y = cos x
S y = cos x -> y ' = — sen x prova análòga à anterior:
6 y = tg x
Como y = tgx = podemos aplicar o teorema 4 com os dois
últimos resultados. Assim:
84 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
= cos*(cos x) - sen x (— sen x) cos2* + sen2x
y — see jc
7 y — cotg jc y -----cossecx (prova análoga à anterior).
8 y ~ loga x, (x > 0 e 0 < a ^ 1)
lpgg (* + Ax) - logg xy — limA X -+ 0 A x
~ lim à 7'oga 1 +A * - 0 £SX
= limA* 07 t e x lo &‘ l 1 + T - j =
Ax
lim logü■* &X-+0 j i + ¥ r -
;7 lo8 a Um . •* A x - o \
(i + **)** = JC /
- J logae,
como loga e - -— temos, fina
y = x fina
9 Em particular, se y = finjc temos:
1y =
Jcfin e
10 y = ax
Se y = ax temos:
DERIVADAS 85
Assim:
3 -----“ Ti— ou - ^ - = y9 .n ady y m a dxdx _ 1 dy
e portanto:
y ' - ax £n a
11 Em particular, se y = ex temos:
y = ex £n e,
portanto:I __ Xy = e
Temos: sen^ — x. Assim, = cosy ou ~ = —-— . Mas
= y / T ^dy
x 1 e portanto:dx cos y ' cosy
y =
v T ^(Ixl < 1).
13 y — arc cos jc >
anterior).
14 y = arctgoc
Temos:
y =s / T ^ x *
(prova e considerações análogas à
tg y = x, donde — = sec2y ou — = ——dxdy see x
Mas
see 2y = 1 + tg 2y
e portanto:
y =1 + x 2
86 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
15 y - arc cotg x . > y = 1 + X.2
Podemos criar uma tabela com estes resultados:
1 y = K então y' = 0
2 = jc então y = 1
3 y = x n n £ Z + então y' = ror" ' 1
4 y = senjc então y ' = cosjc
5 >> = cos x então y = — senx — -
6 >>=tgx então y = sec2jc
7 _y = cotgjc então y' — - cossec2x
8 y — loga j ( ( j ( > O e O < s ^ l ) então y = —~—JC Kn a
9 y=£nJC então y ' = —x
10 y = ax então y = a * 2na
1 1 y = ex então y' = e*
1 2 >> = arc senx então y — ~7 =*~ fV I - x
13 y = arc cos jc então y = ~t— ■V 1 — x
14 y = arc tg jc então y = —-—-1 + JC
15 y = arc cotg .x então y = ---- r1 + JC
4.4 - IN T E R P R E T A Ç Ã O G E O M É T R IC A D A D E R IV A D A
Uma reta, como sabemos, possui inclinação constante. O mesmo não acontece em relação a uma curva onde a inclinação em um referido ponto da curva é dado pela tangente a ela nesse ponto.
DERIVADAS 87
y y = f (x)
x
Fig. 4.2.
Procuremos então a inclinação da curva y = f ( x ) (Fig. 4.2) num ponto genérico P. 4—►
A inclinação da reta PQ é dada por:
( Se fizermos o ponto Q se aproximar de P sobre a curva dada, a inclinação de PQ vai se aproximar da inclinação da reta tangente à curva no ponto P. Neste
supondo que exista o limite. Este limite é a derivada da função y = / ( x ) no ponto P e portanto a derivada da função y - f ( x ) no ponto P é a inclinação da reta tangente (ou coeficiente angular) nesse ponto.
A equação da tangente a uma curva em um ponto M (x 0, y 0) é dada por:
Chama-se normal da curva em um ponto jc0, a reta que é perpendicular à tangente passando por esse ponto.
Da geometria analítica sabemos que, para duas retas serem perpendiculares em um ponto x , devemos ter:
= um / ( * + A*) - / ( * ) A r - * 0
4.5 - EQUAÇÕES DA TANGENTE E DA NORMAL
y - y o = / ' ( * o)(* - *o)
onde resulta a equação da normal em x.
88 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
y - y o = 7 '(*o )(x - x 0)
Exemplo: Calculemos a equação da tangente e da normal à curva y = x 2 noponto (1,1). Como/(x) = x 2 ---- > f ' (x) = 2x onde / ' ( l ) = 2.
Assimy — 1 = 2(x — 1) ou
é a equação da tangente no referido ponto. Logo, a equação da normal à curva em (1,1) é dada por:
y - 1 = - -j(x - 1) ou
Fig. 4.3. Gráfico da tangente da noifnal à curva y = x 1 no ponto (1, 1).
4.6 - DERIVADA DE FUNÇÕES COMPOSTAS
Consideremos as funções y = f (u ) , u = g(v) e v = h(x) tendo derivadas dy du dvd ü ’ ~dv e ~dx resPectlvamente-
Se Au e Ai» não são nulos podemos escrever o quociente da seguinte
maneira:
DERIVADAS 89
A / _ Aj> Aw AvA x A u Av A x
onde y, u e v são funções de x.
r A u = > 0Logo, se Ax = > 0 temos:
Assim:
Av = > 0
Ay _ Ay Au Avlim -r- = hm — hm — hm — ou
Ax-»o A x Ax-+o Ax-i-o A v a x - k > A x
dy_ du dvdx du dv dx
REGRA DA CADEIAo que nos leva a dizer:
“A derivada da função composta / = f {glh(x)]} é o produto das derivadas das suas componentes.”
Fazendo uma extensão nesta fórmula, temos a derivada da composta para n funções deriváveis.
Exemplos: Derivemos as funções dos 3 exemplos seguintes:
1. y = ( 2 x 2 — 2)*
Funções Componentes: potência e quadrática. Então:
^ = 4 ( 2x2 - 2)3 • 4 x = 16x( 2x2 - 2)3
2. / = sen3(5x + 2)
Funções Componentes: potência do seno, seno e arco. Então:
^ = 3 [sen2(5x + 2)] • [cos(5x + 2)] • 5 =
= 15 sen2(5 x + 2) cos(5x + 2)
3. y = Sn \ / x 2 — 2
Preparemos inicialmente a função:
y = i n (x2 — 2 )2 = y £n(x2 — 2)
Funções Componentes: logarítmica e quadrática. Então:
90 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Seja y = f ( x ) definida em um intervalo. A derivada f ' ( x ) é também uma função neste intervalo. Se /'(x) for também derivável, a sua derivada é denominada
4.7 - DERIVADAS SUCESSIVAS
Exemplo: Consideremos a função y = 5x4 - 2 x 3 4- 6 x 2 — 2x — 8. Então,
~ *20 (derivada de 4? ordem)
^ l = ^ y = = 0dx5 dx6 ' "
4.8 - DERIVADA DE FUNÇÕES INVERSAS
Consideremos a função y = f ( x ) derivável e inversível. A derivada da função inversa x = f ~ x(y) é dada por:
20x3 — 6 x 5 + 12x — 2 (derivada de 1? ordem)
(derivada de 2? ordem)
(derivada de 3? ordem)
d x = J _ dy dy
dx
onde ¥= 0.dx
Exemplo: Sendo y = (senx) + £n x temos — = (cos x) + j = -■ + X1 +XCOSX
Portanto,
dx xdy 1 + x cos x
DERIVADAS 91
4.9 - DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS
Quando x e y se relacionam implicitamente através da equação F(x, y) = 0 dy
a derivada é obtida do seguinte modo:
1. derivamos F(x, y) em relação a x tomando y como função de x.
. . , d F ( x , y )2 . igualamos — ^ a zero.
dy3. isolamos ^ na igualdade anterior.
Exemplo: Sendo x* — 3 xy + y 2 = 0 calcu lem os^ . Temos: F{x, y) =
= x4 — 3 x y + y 2 onde
í í f c J W - , ( , £ ♦ , ) * „ £ .
Igualando a zero temos:
+ , ) + 2 r f - ° o»
4 x 3 - 3 x - 3 y + 2y ^ = 0 ou dx dx
(2y - 3 x ) & = 3 y - 4 x 3
e portanto:
d>> _ 3 y - 4 x 3 dx 2 y - 3x
4.10 - DERIVADA DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA
Sejam as funções y = f ( t ) e x - g(t) definidas, deriváveis e ainda x admite
inversa. Aplicando a regra da cadeia encontramos ou seja:
Assim:
92 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
dy _ f \ t ) dx g ( t )
lg \t) * 0]
Exemplos:
1 Seja x = a (t — cos í) e y = 2 — sen t .Então: g{t) = a (t - cos t) e / ( f ) = 2 - sen f.
dy _ f \ t ) _ —cos t dx g'(t) a ( l + s e n í )
2 Seja x = a cos t e y = b sen t.Assim: g(t) = a cos t e f ( t ) = 6 sen f. Logo:
dy _ b cos t b dx — a sen t a cotg t
4.11 - REGRA DE L'HOSPITAL
Sejam f { x ) e g(x) funções deriváveis. Se /(« ) = 0 e g(a) = 0 ou /(a ) = °° e g (a) = °° então,
x-*alim —V-í = lim ■ , , ,x-*a £ W x-*a g W
supondo a existência deste limite e g'(x) ¥= 0. A regra de L’Hospital também pode ser aplicada quando x ------>
Exemplo: Usando a regra de L’Hospital, calculemos os seguintes limites:
.. x 2 — 4 E, I n n - ^ y
X-+2
Substituindo diretamente temos —, assim:
DERIVADAS 93
lim
Substituindo diretamente temos assim:
.. 1 —cosx senx .lim ------------= hm -------- = 0sen x ^ ^ q cos x
x3 + 3x + 4 2 x 3 — 5
ooSubstituindo diretamente temos —, assim:o o ’
x 3 4- 3x + 4 3 x 2 -t- 3 (aplicando novamente a regraton -----------------= lun --------— , .
2x3 — 5 6x de L Hospital vem)
.. 6 x 1' J T . T Ü ‘ 1
Podemos também aplicar esta regra nas formas indeterminadas 0 * °° —fazendo-se uma adaptação necessária (transformação em quociente) recaindo
0 00 em — ou — .0 00
lim ( —----------x-oVtgx senx,
Substituindo diretamente temos 00 — Fazendo a transformação em quociente e depois aplicando a regra de L’Hospital temos:
l i m [ J ---------M = lim ^ °SJt 1sen x / sen x
C O SX — 1= limX - - 0 senx
_ .. - s e n x _= hm --------- - 0
lim (x - 3) tg ^X -* 3 °
Substituindo diretamente temos 0 • Fazendo a transformação em quociente e depois aplicando a regra de L’Hospital temos:
94 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
tfia -_ 6 6 _ 6 , 7rx 6-----— um -------— -------- lim sen — = ------*-*-3 sec2 — n x ~*3 n
6
Usando transformação logarítmica nas formas indeterminadas 1“ , 0o,o , 0 °°
00 recaímos em — ou — podendo aí usar a regra de L’Hospital.
i_E6 lim (1 + senx)senx
*-*o
Substituindo diretamente temos 1“ . Lembrando que e ína = a temos:i —!—
lim (1 + sen jc)5“«"* = lim e «n<i+senx)senx =X-*-0 X -+ 0
1= lim 2n(i + sen x )sen*
lim ex~*° x-*o
Calculemos primeiramente A = lim fin(l + senx)sênx.i-*o
COS X4 - ®n(l + senx) _ 1 + senx .. 1A - lim ------------------- = lim ------------- --- lim ------------- = 1*_»<, senx x_>0 cosx x _ 0 l + senx
Então:i
lim (1 + senx)senx = lim e — eX->0 j x->0
Observação: Demonstrárenios agora o limite básico (Cap. 3):
lim ( l + * J = e*x -
Demons tração:
( K \ x tn f .+K' f lim 211(1+ ^ ^l i m f l H---- 1 = lim e \ * / = lim '
X -*°° ' X / X - » “
Calculemos A = lim £n ( l + — . Temos:. \ x )
A = lim x 8n
í K\£n 1 + r )í 1 + ,1 = lim — \ x /—\ XJ JÇ-+00 1
DERIVADAS 95
—1___ ( Z Ã .i + £ U 2
= lim - 1„2
= AT lim1 + *
= K
Assim, lim (l + — ) = lim e'4 = eK x^ \ x j x^ m
Em particular, se K = 1 temos:
lim Rr-x-+» \ x j
Nota: Agora estamos em condição de provar que y = K x n tem derivada y ' = = K n x n ~' para qualquer n real.
Prova:Sendo y = K xn entao, í n y = Kn K xn ou 2n.y = 8n íf + ní nx.Derivando os dois membros desta equação, supondo y função de x, temos:
i L - 1j£— — n —y
e portanto
n — ou v '= n y x ~ l = n k x nx~l y . x
y ' = Knx"~ l
para qualquer valor de n.
4.12 - INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA
Consideremos a Figura 4, onde o espaço s depende do tempo f, isto é, x = f ( t )
Como sabemos através da física, a velocidade média de um corpo noAs
intervalo de tempo A t é dada por: Vm = — . Se fizermos Aí muito pequeno
(A t ------* 0) teremos a velocidade do referido corpo num instante í, denominadovelocidade instantânea, a qual é dada por:
„ = u™ M = l i m ./ ( r + A 0 - / ( / ) = gAf—0 Af—0 Aí dt
Portanto, a velocidade instantânea de um corpo num referido instante f nada mais é do que a derivada da função s = / ( f ) .
96 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Exemplo: Sendo a lei do movimento uniformemente acelerado
z t f so = 0 s = s0 + W + t t 2 e <
2 (>'„=2
calcule a velocidade de um móvel que obedece esta lei no instante í = 4 segundos. Supor s em metros.
Resolução:
s = 2 í + 4 í2 • Assim v = = 2 + gí.2 dt
Para í = 4 seg. temos v = 2 + 9,8 ■ 4. Portanto: v = 41,2 m/seg.
Se o movimento não é uniforme temos, em dois instantes distintos, duas velocidades distintas, ou seja, haverá uma variação na velocidade. Em física a
A vaceleração média é dada por: am = onde a aceleração instantânea, de maneira
análoga à velocidade instantânea, é dada por a = lim = onde v = 4 ,-0 Aí *
Então a = = ou seja, a derivada de segunda ordem da função
s = / ( í ) exprime exatamente a aceleração do movimento.
Exemplos:
E, Um objeto se move de modo que no instante í a distância é dada por s = 3 f4 — 2 í. Qual a expressão da velocidade e da aceleração desse objeto?
dvt a — — ou sejaComo vimos v = ^ ou seja v = 12 f - 2
a = 36 í
DERIVADAS 97
E2 Uma partícula se move segundo a função s = 2 f 4 + 8 í3. Em que instante sua aceleração é nula? (tempo em segundos)
Como vimos:
a = ^ = -J-(8r3 + 2 4 í2) = 24 í2 + 48 f d t1 dt
Igualando a zero temos os instantes em que a aceleração é nula. 2 4 12 +
, t = — 2 não é possível.+ 4 8 í = 0:
E3 Achar a velocidade e a aceleração no instante t = 3 seg. onde s — 3 t 3 —— 2 f2 + 2 í + 4 é a função que informa a posição (em metros) de um corpo no instante t.
dsTemos: v = — = 9 í2 — 4 í + 2 onde, no instante t = 3 seg., a velo-
cidade vale v = 71 m/seg. d se a = —- = 18 f — 4 onde, no instante t= 3 seg.,
d t2
a aceleração vale a = 50 m/seg2
4.13 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES
4.13.1 - FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES COM O USO DE DERIVADAS
Vejamos as Figuras 4.5 e 4.6.
Fig. 4.6. (Função decrescente)
Na Fig. 4.5 tg a > 0 e na Fig. 4.6 tg a < 0 donde enunciamos o seguinte: Seja y = f{ x ) uma função contínua em la, b] e derivável em (a, b).
Se
Exemplos:
98
/ '(x ) > 0 então f ( x ) é estritamente crescente em [a, b]
f \ x ) < 0 então / (x) é estritamente decrescente em [a, 6]
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
E, Já vimos graficamente que a função y — x 2 é decrescente para x < 0 e crescente para x > 0. Analisemos pela derivada.
Temos: y ' = 2x. De fato, y > 0 se 2 x > 0 ou
se 2x < 0 ou
e ÿ < 0
Assim, y — x 2 é crescente para x > 0 e decrescente para x < 0.
E2 Determinemos as regiões em que a função / ( * ) = x 3 - 3 x cresce e decresce.Temos: f '(x ) = 3x2 — 3. Analisemos a região de positividade e negati-
vidade desta função:
/'(* ) > 0 f '(x ) < 0 f ’(x) > 0
- 1 + 1
Assim, f ( x ) é estritamente crescente para x < — 1 v x > l e estritamente decrescente para — 1 < x < 1.
Façamos a construção do gráfico de f ( x ) para uma melhor compreensão.
As raízes de / (x) são 0, — \ f 3 e + \ / 3 .
Parafx = - l , / ( — 1) = 2
, * = 1, / ( 1 ) = - 2
Portanto, o gráfico de /(x ) será:
Fig. 4.7.
Determinemos os intervalos em que / (x) é crescente ou decrescente sendo
/ ( x ) = i £ + x 3 - y - 3 * + 4.
Temos: /'(x ) = x 3 + 3 x2 — x — 3 = (x — IX* + IX* + 3)
y\ y-i y 3Analisemos os intervalos em que f ' ( x ) é positiva ou negativa.
DERIVADAS 99
- 3 - 1
y \ __2
y i -
y 3 -
y \ * y i • ^3 -
Para —3 < x < — 1 a função f '{x ) > 0, e portanto f ( x ) é estritamente crescente nesse intervalo.
Para x > 1 também f '( x ) > 0, e portanto / ( x ) é estritamente crescente nesse intervalo.
Para — 1 < x- < 1 a função /'(x ) < 0, e portanto / ( x ) é estritamente decrescente nesse intervalo.
Para x < — 3 a função f '( x ) < 0, e portanto f (x) é estritamente decrescente nesse intervalo.
4.13.2 - MÁXIMO E MÍNIMO DE FUNÇÕES
Definições
D[ Dizemos que uma função / ( x ) tem um mínimo local em x 0 se existir um ’ intervalo aberto / contendo x0 tal que f ( x ) > / ( x 0).
Dj Djzemos que uma função / ( x ) tem um máximo local em x 0 se existir um intervalo aberto I contendo x 0 tal que / ( x ) < / ( x 0).
Fig. 4.8. x 0 e x , são respectivamente pontos de máximo e mínimo locaL x 0 e x , são chamados também pontos extremos nos intervalos considerados. f ( x 0) e / (* ,) são chamados valores extremos da função /(x) nos intervalos considerados.
100 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
D3 Quando / ( x ) > f ( x 0) em todo o domínio de / ( x ) dizemos que x 0 é um ponto de mínimo absoluto e / ( x 0) o menor valor que / ( x ) assume.
D 4 Quando f ( x ) < f ( x 0) em todo o domínio de / ( x ) dizemos que x 0 é um ponto de máximo absoluto e / ( x 0) o maior valor que / ( x ) assume.
Na Fig. 4.9, cada um dos pontos x ,, x 3 é um ponto de mínimo local e cada um dos pontos x 2, x 4 é um ponto de máximo local enquanto na Fig. 4.10, x 0 é um ponto de máximo absoluto onde f ( x 0) é o maior valor que a parábola/(x) assume.
Analisemos o valor da derivada de uma função nos pontos de máximo e mínimo.
Observando a Fig. 4.11 temos em x0 e x , pontos de máximo local e mínimo local, respectivamente. As inclinações das retas que tangem a curva exatamente em x 0 e x , são nulas pois estas tangentes são paralelas ao eixo x e, portanto, devemos ter f ' ( x 0) = f ' ( x i ) = 0 , ou seja, a derivada de uma função é nula nos pontos extremos.
DERIVADAS 10 f
A TENÇA O
Sendo f ' ( x 0) = 0 não podemos garantir que x 0 é um ponto de máximo ou de mínimo local. A Fig. 4.12 exemplifica tal fato.
TEOREMA DO VALOR MÉDIOs
Seja f ( x ) uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo ( (a, b). Então, existe um ponto jc0 E. (a, b) tal que
b — a
Demonstração
A equação da reta A B é dada por y - f ia ) = _ a) oub - a
y =_ f ( b ) - f (a ) (x - a) + f (a )
Geometricamente temos:
/ ( * ) - f ia )
102 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Mas
* ( * ) - / ( * ) -
g(a) = f ia ) -
gib) = f i b ) -
b - a
f i b ) - f ia ) b - a
f i b ) - m
(x - a) + f{a ) (D
(a - a) + /(a ) = 0 e
(6 - a) + /(a ) = 0.b - a
temos desta forma dois casos a considerar:
19 caso: g ix ) = 0 no intervalo [a, 6], onde g'(x) = 0 no intervalo (a, b).
19 caso: g ix ) tem um máximo local ou um mínimo local entre a e b.
Seja g (x 0) este extremo. Em ambos os casos g '(x0) = 0.
Segundo (D temos:
g' (X o )= f (X o). m ^ M = 0
e portanto
b — a
Este resultado quer dizer que sendo f ( x ) contínua em [a, b] e derivável em (a, b) existe um ponto x0 e (a, b) tal que a reta tangente à f ( x ) no ponto (x0, f i x o)) é paralela à reta determinada pelos pontos A e B (Fig. 4.13) por terem a mesma inclinação.
Vejamos um exemplo:Seja/(x) = x 2 onde 0 <jc < 2 e encontremos um ponto x 0 que satisfaça o
teorema do valor médio.Temos f i x ) = x 2 onde f '( x ) = 2x.
Pelo teorema do valor médio 2x = 0U Se a’ 2 x = Y ° nde
. Portanto o ponto (1, 1) é o ponto procurado (veja Fig. 4.14).
4.13.3 - DETERMINAÇÃO DOS MÁXIMOS E MÍNIMOS
C.N. Seja f i x ) uma função definida e derivável no intervalo (a, b).Como vimos anteriormente a derivada de uma função nos pontos
extremos é nula portanto os possíveis valores extremantes são raízes da
DERIVADAS 103
Fig. 4.14.
função derivada de f( x ) . Esta é a condição necessária para a existência dos pontos de máximo e mínimo.
Por exemplo, os possíveis extremos da função f ( x ) = x4 — 2 x 2 + 2 são as raízes da equação f '( x ) = 4 x 3 — 4 x ou seja 0 e 1. Mas esta condição não é suficiente para garantir qual deles é o máximo ou o mínimo ou ainda se não são extremos.
Uma certeza nós temos, nenhum outro ponto, fora 0 e 1, poderá ser um extremo.
Daremos agora a condição suficiente para a determinação do máximo ou do mínimo de uma função.
CS, Um ponto x0 G (a, b) é um ponto de máximo local de uma função f ( x ) se existir um intervalo / contendo x 0 tal que f ( x ) é estritamente crescente à esquerda de x0 e estritamente decrescente à direita de x0 no intervalo considerado (Fig. 4.15).
Fig. 4.15. Fig. 4.16.
104 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
CS2 Um ponto x0 £ (a, b) é um ponto de mínimo local de uma função / (x) se existir um intervalo / contendo x0 tal que / ( x ) é estritamente decrescente à esquerda de x0 e estritamente crescente à direita de x 0 no intervalo considerado (Fig. 4.16).
CS3 Um ponto x0 e (a, b) não é um extremo de uma função f ( x ) se existir um intervalo / contendo jc0 tal que / (x) é sempre estritamente crescente ou decrescente no intervalo considerado.
O problema se resume então em analisar o sinal da derivada /'(*)■ Então conforme 4.13.1, temos:
Resumo
f \ x ) muda de sinal + para - (máximo local) f '(x ) muda de sinal — para + (mínimo local) f '(x ) não muda de sinal (não tem extremo)
Exemplos:
E! Verifiquemos se f ( x ) = x 3 — 3 x + 1 tem extremos: /'(x ) = 3 x 2 — 3.
Igualando a zero vem 3 x 2 — 3 = 0 onde
da função derivada.
x = ± l . Analisemos agora o sinal
- 1 + 1/'(* ) +
Notamos que no ponto — 1 a função /'(x ) muda de sinal + para —, sendo portanto — 1 um ponto de máximo local e no ponto + 1 f '( x ) muda de sinal - para +, sendo portanto + 1 um ponto de mínimo local (ver Fig. 4.17).
Fig. 4.17.
DERIVADAS 105
E2 Consideremos a função f ( x ) = x4 — 8x2 + 2:
Temos /'(x ) = 4 x 3 — I6 x = 4 x ( x 2 — 4). Igualando a zero temos os possíveis valores extremantes.
4 x (x 2 - 4) = 0 onde x = 0 V x = ± 2
Estudemos o sinal de f '(x ):
- 2 0 2
4x - + +'
x2 - 4 + - - +
f '( x ) - + - +
Notamos que — 2 é um ponto de mínimo local, 0 é um ponto de máximo local e 2 é um ponto de mínimo local.
Resposta: (— 2, — 14) e (2, —14) são pontos de mínimo local e (0, 2) é um ponto de máximo local no gráfico de f (x).
4.13.4 - DETERMINAÇÃO DOS MÁXIMOS E MÍNIMOS COM O USO DA DERIVADA SEGUNDA
TEOREMA
Seja / ( x ) uma função contínua e derivável até segunda ordem em (a, b) onde f '( x ) e /" (x ) são também contínuas em (a, b). Seja x„ € (a, b) tal que f ' ( x 0) = 0. Então,
a) se f " ( x 0) < 0, x 0 é ponto de máximo local de /(x ) .
b) se f " ( x o) > 0, x 0 é ponto de mínimo local de / (x).
Demonstração:a) A função /" (x) é, por hipótese, contínua e ainda f " ( x 0) < 0 em (a, b). Então
existe um intervalo aberto I contendo x0 no qual f" (x ) < 0.Como / ”(xo) < 0 temos que f '( x ) é estritamente decrescente em / e como
f ' ( x 0) = 0 concluímos que em I , à esquerda de x 0 temos f '( x ) > 0 e à direita de x 0 f '( x ) < 0. Portanto x 0 é um ponto de máximo local.
De maneira análoga demonstramos b).
Exemplos:
Ej Consideremos novamente a função / ( x ) = x 4 — 8x2 + 2.
Temos: /'(x ) = 4 x 3 — 16x e f" (x ) = 12x2 — 16.
106 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
As raízes de f '(x ) = 0 são 0, — 2 e + 2. Substituindo esses valores em /" (x ) vem:
/"(O) — — 16 < 0 > (0 é um ponto de máximo local)2) = 12(—2)2 - 16 = 32 > 0 - > (—2 é um ponto de mínimo local)
f" (2 ) = 12(2)2 — 16 = 32 > 0 — -> (2 é um ponto de mínimo local)
x 3Ej Consideremos a função / (x) = — — 2 x2 + 3 x + 1.
Temos: f ' ( x ) = x 2 - 4 x 4- 3 e f" (x ) = 2 x — 4.As raízes de f '(x ) = 0 são 1 e 3. Assim:
f " ( 1) = —2 < 0 . —> 1 é um ponto de máximo local./" (3) = 2 > 0 ------> 3 é um ponto de mínimo local.
7para x = 1 = > ^máx = j e para x = 3 = > _ymín = 1.
Este teorema nada afirma quando f " ( x 0) = 0. Daremos a seguir um teorema mais geral que evitará impasses.
Seja f ( x ) uma função derivável com derivadas sucessivas também deriváveis em um intervalo aberto (a, b). Seja x0 G (a, b) tal que f \ x 0) = = f" (x o ) = . . . = f^n~l\ x o) = 0 e f*n)(xo) ^ 0 então:a) Se n é par e f^n\ x 0) < 0, x 0 é ponto de máximo local de / .
b) Se n é par e f^n\ x 0) > 0, x 0 é ponto de mínimo local de / .c) Se n é ímpar, x 0 não é ponto de máximo nem de mínimo local de /.
jc5 3 8Exemplo: Consideremos a função f ( x ) = — — — xA + — x 3 + 3 x 2 — 9 x + l .
Temos:
f \ x ) = x4 - 6x3 + 8x2 + 6 x - 9
f" (x ) = 4 x 3 - 18xs + 16x + 6
/'" (x) = 12xJ — 36x + 16
f m (x) = 24x - 36
/ w (x) = 24
/ (n)(x) = 0 V n > 5.
As raízes de f '(x ) = 0 são —1, 1 e 3.
/ ' ( — 1) = 0; f ' \ — 1) = —32 < 0 ---- > (— 1 é um ponto de máximo local)./ ' ( I ) = 0; /''(1 ) = 8 > 0 ------ > (1 é um ponto de mínimo local)./'(3 ) = 0 ;/''(3 ) = 0;/'"(3) = 16 # 0 - — > (3 não é ponto extremo).
DERIVADAS 107
Consideremos uma curva y = / ( jc) no plano cujo gráfico é o de uma função unívoca e derivável.
Definições:
D, Dizemos que a curva tem a sua concavidade voltada para cima num intervalo (ff, b) se todos os pontos da curva se encontram acima da tangente em qualquer ponto desta curva no intervalo considerado (Fig. 4.19).
D2 Dizemos que a curva tem a sua concavidade voltada para baixo num intervalo (a, i ) se todos os pontos da curva se encontram abaixo da tangente em qualquer ponto desta curva no intervalo considerado (Fig. 4.18).
4.13.5 - CONCAVIDADE
Fig. 4.18. Concavidade para baixo. Fig. 4.19. Concavidade para cima.
D3 Seja / (x) contínua e derivável até segunda ordem em (a, b).
a) /" (* ) > 0, o gráfico da curva de f (x) tem concavidade para cima em («, 6).
b )/" (x ) < 0, o gráfico da curva de / ( jc) tem concavidade para baixo em (a, b).
Exemplos:
E, Consideremos a função f ( x ) = x 2 — 2 x + 1. Então,/'(x) = 2* — 2 e /"(x) = 2 > 0.
yPortanto a curva de f ( x ) tem sem
pre concavidade voltada para cima para qualquer valor de x .
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Consideremos a função f ( x ) = x 3. Então, f '( x ) = 3 x 2 e f" (x ) = 6x.
J 6 x > 0 — > x > 0 (concavidade voltada para cima).
6 x < 0 > x < 0 (concavidade voltada para baixo).
Consideremos a funçao y = sen x e analisemos a concavidade no intervalo tO, 2n],
Temos: /'(* ) = cos x e f ”(x) = - sen x.
í - s e n x < 0 < > senx > 0 <— > 0 < x < n \ - s e n x > 0 <■■-■■ > senx < 0 < > tt < x < 2 tt
Portanto no intervalo (0, n) a curva tem concavidade voltada para baixo e no intervalo (jr, 2ir) a curva tem concavidade voltada para cima.
Chama-se ponto de inflexão ao ponto onde a curva muda a sua concavidade de cima para baixo ou vice-versa (Fig. 4.20).
DERIVADAS 109
a) b) c)
Fig. 4.20. Nos tiês casos x0 é ponto de inflexão.
TEOREMA 1
Seja f ( x ) deiivável até 39 ordem em um intervalo I. Se f " ( x 0) = 0 e f " '(xo) ^ 0. então x a é abscissa de um ponto de inflexão.
Observação: A condição necessária para x0 ser abscissa de um ponto de inflexão do gráfico de f ( x ) é anular /"(*)• Porém nem todas as raízes de f" (x ) = 0 são abscissas de pontos de inflexão. Quando f" ( x 0) = f " '( x 0) = 0, nada podemos concluir usando o que foi estudado até aqui.
Exemplos:
Ei Consideremos a função f ( x ) = x 3 — 3 x 2 — 9 x + 9. Temos: f ' ( x ) ~ 3 x 2 —— 6 x — 9, f" (x ) = 6 x — 6 e f" '(x ) = 6 ^ 0 . A raiz de/''(*) = 0 é 1 e como f " '( x ) = 6 V x temos que 1 é abscissa do ponto de inflexão no gráfico de f ( x ) .
O ponto de inflexão é (1, —2).
E2 Consideremos a função f ( x ) = x - senx. Temos: f'(x ) = 1 — cos x ;f" (x ) = = senx; f" '{x) — cos ac. A raiz de f" (x ) = 0 é x = K it e == cos Kn = ± 1 ^ 0. Logo jc = ATir são as abscissas dos pontos de inflexão os quais são da forma (Kit, Ku).
4.13.6 - ESQUEMA G ERA L DO ESTUDO DAS FUNÇÕES
O estudo das funções resume-se em determinar:
1. O domínio da função.
2. Os pontos de descontinuidade.
3. Os intervalos em que a função cresce ou decresce.
4. Os pontos de máximo e mínimo (local e absoluto).
110
para cima ou para baixo e
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
5. Os intervalos onde a curva tem concavidade voltada os pontos de inflexão.
6. Esboçar o gráfico de /(x ) .
- 1
x 3 x 2Exemplo: Estudemos a função / (x) = — — — — 2x + 1.
1 D = R .
2 Não há pontos de descontinuidade.
3 f '( x ) = x 2 — x — 2. As raízes de /'(x ) = 0 são - 1 e 2. ; ~
f ( x ) é estritamente crescente para x < — 1 v x > 2. f (x) é estritamente decrescente para — 1 < x < 2.
4 f '(x) = x2 — x - 2 e f" (x ) = 2x — 1.
f " ( — 1) = —3 < 0 - - > (— 1 é ponto de máximo local). /" (2 ) = 3 > 0 > (2 é ponto de mínimo local).
Na curva os extremos são ( - 1, e ^2,
=> x > y (concavidade voltada para cima).
=> x < y (concavidade voltada para baixo).
1
f"(pc) = 2* - 1 i
2x - 1 > 0
2x - 1 < 0
2x - 1 = 0 => x = — (abscissa do ponto de inflexão)
' i __ Li 2 ’ 12
DERIVADAS 111
Esta função não possui nem máximo nem mínimo absoluto.
4.14 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
PRi Usando a definição de derivada determine f ' ( x ) onde
/ ( * ) = 2 x 2 - x .
Resolução:
PR2 Calcule a derivada da função f ( x ) = x8 \ / x .
Solução: Inicialmente, quando possível, devemos preparar a função dada para depois calcular a derivada, ou seja:
-L 12
f ( x ) = x*x 2 = x 2 ,
limAx-*o
[2(x + Ax)2 - (x + Ajc)] — (2 x 7 - x) Ax
limAx-*o
.. (4jc — l)A x + 2(Ax)2 lim ---------------- t-------------------
lim (4* - 1 + 2 Ax) = 4 x — 1Ax-*0
assim:
v2 _ 1PR 3 Calcule f \ x ) onde / ( x ) = £n-—------.
x + 5
Resolução:
f( x ) = fin 4 — - = ín (x2 - 1) - 2n (x 2 + 5),x + 5
assim:
x 2 — 1 x 7 + 5 (x2 - l)0e2 + 5)2x 2x 12.x1 2 jc
PR4 Calcule ~ onde v = arc cotg ; + - dx ' ° 1 — x
112 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
1 XResolução: Componentes: u = ----- - e arc cotg u.
dy dy du dx du dx
1 - X
1 (1 - X ) - ( - ! ) ( ! + x ) _u2 + 1 (1 - x f
(1 + x)2( 1 - X ) 2
1
+ 1 0 - x ) 2(1 4- x)2 + (1 - x)2
X 2 + 1
PRS Calcule ^ onde y = sen3(4x + 2)2.
Resolução: Componentes: f u = 4 x + 2
sen y = w
y = w3
Logo
d z = dz dwd1 du=; 3wi c0s v 2 u 4 =dx dw dv du dx
= 3 • sen2(4x + 2)2 • ccs(4x + 2)2 • 2 (4 x + 2) • 4 =
= 24(4x + 2) sen2(4x + 2)2cos(4x + 2)2
PR6 Sendo f ( x ) = £n —-----~ r calcule f '(x ).(x + 2)
Resolução:
f ( x ) = 8n(x - 2)4 - £n(x + 2)3 = 4 £n(x - 2) - 3 £n(x + 2)
Logo:
/'(* ) =x + 14
x — 1 dyPR 7 Sendo y = £n sen --------- calculex dx
X — 1Resolução: Componentes------- = u, sen u = v, y = £n v.
dy _ dy dv du _ í\_ dx dv du dx (cos u) ( x - x
V X2
+ 1
DERIVADAS 113
X - 1, sen--------V (COIL z i ) . ( J 5) . . ± Colg£ z J
PR« Sendo y = \ í x 7——1- sen4x cossx calcule 4^-.1 + x dx
Resolução: Usando logaritmo temos:
i n y = y Sn x + £n (1 — x) — £n (1 + x) + 4 £n senx + 5 £n cosx
Como y é função de x temos:
1 dy _ 1 1 1 , . .- -f- = ------ -------- --- —— + 4 cotg x - 5 tg xy dx 3 x 1 —x l + x
onde
dy f 3 j 1 x 4 5 \ ( 1 1 1"7" = V x ;— sen*x cos5x - ------------------ -—:—- +dx \ v 1 + x / \ 3 x 1 — x 1 + x
+ 4 cotg x — 5 tg x
_3_
PR» Sendoy = 2 x x 4 calcule-^-.
Resolução:
3_£n;y = £n 2 + x 4 £nx.
Logo,
I Ã - Í 1 + 3 g n * ____ , d y _ x í ( 1 3 £n x, dx X + 4 — * V V I 4 V 7
d'y dxPR10 Calcular - f - e — onde dx dy
‘y — ~x cos(xy)
Resolução:
\dy _a) — - - x sen (*>0 (x & + y j + cos (xy)
=> ^ = - x 2sen (xy) ^ - xy sen (xy) + cos (xy)
114 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
> ^ + x 2sen (xy) ^ = cos (xy) — xy sen (xy) =-■■ >
" > 11 + x 2 sen (xy)] ^ = cos (xy) — xy sen ( x y ) ------ >
dy _ cos (xy) — xy sen (xy) dx 1 + x 2sen(xy)
b) 1 = - x sen (xy) y 0 - + x + cos (xy) ~
dx=> (xy sen (xy) - cos (xy)) — = - 1 - x2 sen (xy) = >
dx 1 + x2 sen (xy)dy cos (xy) - xy sen (xy)
dyPRii Calcular -f- onde dx
4at 4 atf2 + 2 f2 + 2
Resolução:
dy _ (r2 + 2)8af — 4af2(2 1) _ 16ar d t (f2 + 2)2 (f2 + 2)2
dx _ (r2 4- 2)4a - 4af(2f) _ 8a - 4af2 * (f2 + 2)2 (í2 + 2)2
Logo
dy 16 afdy __ d t _ (t 4- 2)2 _ 16at _ 4 f dx dx 8a - 4af2 8a - 4 af2 2 - f2
dí ( /2 + 2)2
K d3yPRi2 Sendo y = ——, calcular — , .x n dx3
d£ _ - K nxn~‘ _ -K /i dx *2" *"+‘
Resolução:
DERIVADAS 115
d2y _ K n{n + l ) x n _ K njji + 1) dx2 (xn+l)2 x n+2
d 3y = - K n { n + l)(n + 2)xn + l = -ATn(n + l)(n + 2) dx3 (xn+2)2 x n+3
PR13 Sendo x 2 4- 3 xy — 4 x + y 2 = 0 calcule
Resolução:
d2y
dx2'
2 x + 3 f x & + y^j - 4 + 2 y =dx
- - - - - > 2x + 3 x ^ + 3 j — 4 + 2 v ^ - = 0 -->dx ' dx
= > (3x + 2y) ^ = 4 - 3>- - 2x = >
_____^ dy _ 4 - 3 y — 2 x> dx 3 x + 2y
Logo,
dx2 (3x + 2>02
#, , ( - 5 > - S ) f 5 , - 1 2
dx2 (3x + 2^)2
dysubstituindo o valor de - f - encontrado vem: dx
+ 5 ^ - 1 2d y _dx2 (3 jc + 2> 0 2
cPy _ 30xy — 40x 4- lOx* + lOjy2 — 32dx2 ... (3jf + 2y)3
PR i4 Achar a equaçffo da tangente e da normal no ponto M(a, b) à parábola y = K x2.
Resolução:
116 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
logo:
y - b = 2aK (x - a) = > 2a K x - y + (b - 2aJK) = 0
(eq. da tangente)
o coeficiente angular da reta normal à parábola no ponto (a, b) vale1
PR1S Verifique o teorema do valor médio para /( * ) = 2 x2 — l x + 12 em [1,6].
Verificação:
/(* ) = 2 * 2 - l x + 12 no intervalo [1, 6]
Como 1 < 3,5 < 6 está verificado o teorema.
PR16 Se /'(*) > 0 em todos os pontos de (a, b), prove que f ( x ) é estritamente crescente.
Prova: Sejam < x 2 pontos quaisquer de (a, b). Pelo teorema do valor médio, para Xi < jc0 <
y — b = - 2^ (x - a) > x + 2aKy — (a + 2abK) = 0
(eq. da normal)
/'(* o)
:> 4*o = 14 —- ■> x 0 = 3,5
Então f ( x 2) — f ( x i) > 0 — —> f ( x 2) > f ( x 0 ; logo f ( x ) é estritamente decrescente.
PR17 Calcular o valor dos limites usando a regra de L’Hospital.
a) l i m i ^x-+o x
ovv a .. wo a— -— = lim ------7----- =3 x x-*o 6 x
sen 2 xsec2x cos4 *
■ — litn *-►0
2 cos4 * cos 2* + 4 sen 2* cos3 * sen * 6 cos8 *
13
DERIVADAS 117
b) lim x 3e ' 3x x —+°°
lim x 3e~3x = lim = lim = x->~ x ^ ~ 3 e
= lim = lim — = 0x-+oo 3 e
c) lim (l -rT
- M r
=> lim Enj» = lim
> finy = 2 x £n ( 1 —
v * / -
*)■
= lim x — 4 x
2 jc 2x
= —8 lim x — 4 = - 8 lim £n.y = —8
Mas
, 4 \ 2* „ Hm ta ylim (1 — ) = lim e y = lim ex~*°° =
= lim e~ — e .X-+o»
8 Um projétil é lançado (no vácuo) com uma velocidade inicial V0 sob um ângulo $ segundo a horizontal. Qual o valor do ângulo y para que o alcance da trajetória seja máximo.
Resolução: Seja R o alcance da trajetória o qual é dado por
R = —— (g é a aceleração da gravidade)
Como R é função de y temos;
dR 2 Vq— = -------- COS 2 tfd<p g
dRFazendo = 0 encontramos um valor de que pode ser um
máximo ou seja:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
2 V,0 Tfcos 2^ = 0 > cos 2 \p = 0 = = > 2 </> = — ir
= > * = 4
Analisemos agora se = — é ponto de máximo
d 'R 4F„’ _ ____ _ 4Ko2 *sen =
d ip j j i g 2 4
4 Kn< 0
d^RComo — - < 0 temos que para o alcance R do projétil ser máximo devemos
d*p
ter
j Qual a área do retângulo de área máxima inscrito num círculo de diâmetro20 V~2 cm?
Resolução: A função a maximizar é a área do retângulo ou seja
A = xy
A equação do círculo é x 2 + y 2 = 800 - -■ -> y = V 800 — x 2. Logo
A = x V 800 — x 2 > = —
+ \/8ÕÕ - x* - --=>
dx s / m Q - x 2
2 d / l „ - 2 x 2 + 8 0 0* y/S0Q - x2 '
Fazendo = 0 temos os possíveis pontos de máximos locais ou seja:
DERIVADAS 119
— 2 x 2 + 800\ /8 Õ 0 — x
—= > 2 x 2 = 800
= 0 -------> —2 x 2 + 800 = 0
x — 20
Analisemos se x = 20 é de fato máximo.
^ _ (^ õ õ 3 7 x - 4 , ) - ( - 2 x - + r n l j j g r ? )
dx2 800 - x2
onde
= - 4 < 020
e portanto x = 20 é ponto de máximo para a função A .Se x = 20 = > y = V 800 — x 2 = 20, logo x = 20 cm e y - 20 cm.
Quadrado cuja área vale 400 cm2.
Entre os cilindros de revolução de volume constante, qual o de superfície total máxima ou mínima?
A função é a superfície total St = 2irxy + 2 roe2. E o vínculo é o volume (constante) V = rocV
A função S t apresenta 2 variáveis.VEntSn Ha rnnttantp tiranmi y — , que substituído em St nOS dará:
JTX
S t = 2 wx • ——- + 2 nx2 > St = + 2 wx2JTX x
S , = 2 V x - 1 + 2n x2
Derivando: Sf = — 2 Kx"2 + 4 jrx.
120 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Igualando a zero =
Resolvendo:
— 2 V 4- 4 iw 3 = 0;
- 2 V => —^ + 4 i r x = 0
2 JT => X ~ 2n
Experimentemos este resultado na função derivada segunda:
S" = 4 Vx3 + 4 ir ------- > S't' = — + 4n
S't'= Jr r + 4 n - => S',' = 8n + 4 ir> 0.„ „ . 4 FX 2ff
A superfície total é mínima e seu valor é
^ 2 tt
Sf_ , . =
2w
bJ ± _(2 tt)2
= 2 ^ 2 i r V 2 + \ / 2 7tK2 - = > S , , = 3 V 2 ^ 2 *min v v »min v
PR21 Uma parede de 27 dm de altura está a 8 dm de uma casa. Ache o comprimento da escada mais curta que atinge a casa, se sua outra extremidade repousa sobre o solo exteriormente à parede em relação à casa.
triângulos DBF e ABC ■■ í 8 4 -* r=o — = ------- •. Logo,y x 6
DERIVADAS
8 + x „ (8 + x) V 2 7 2 + x 2---------- nu 2 = i ’ ------------------
X
Derivando, vem:
d idx
Mdx
Xx - (8 + x) V 272 + x 2
272 4- x2 + (8 + x )xnA ^ T x2
x - (8 4- x) v /2 7 2 4 x2
rfg _ (272 4- x 2 4- 8x 4- x 2)x - (8 4- x)(272 4- x2) dx x 2 V 2 7 2 4-x2
dfi _ 272x 4- 2x3 4- 8 x 2 - 8 • 272 - 8 x 2 - 272x - x3 dx x 2 v / 27í 4-x2
cffi _ x 3 - 8 • 272 dx x 2 V 272 4- x2
Igualando a zero
v 3 _ O . 972, 7= = 0 = > x3 - 8 • 272 = 0 = > x 3 = 8 • 27
x V 27 4- x
Então,
x = v /8 • 272
x = 2 • 32 - -> x = 18 dm
Substituindo em y = V 272 4- x2, vem:
y = \ /2 7 2 4- 182
y = nAL053 = V 81 • 13
y = 9 V l3
Calculemos £ em £ = v •
K = 9 v 0 3 - ^
9 • 26 • V T3 18
£ = 13 \/T 3 dm
122 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PRm Uma janela normanda se compõe de um retângulo sobremontado por um semicírculo. Sendo dado o perímetro, pede-se a altura e a largura da janela, quando a quantidade de luz recebida é máxima.
Façamos o perímetro dado igual a
2p = 2 x + 2 y + l f - ®
A função é a área da janela:
7TV2S = + 2 xy
Tiremos y de (T)
2 p — 2 x — nx
_ 2p — x (2 + n)
Substituamos em S :
v.2s - ' f + P
2p - x (2 + jt) iS = — + 2 p • x — 2 x 5 - nx2
S = 2px — 2 x 2 — nx’2
Derivemos:
dS _ „ .= 2 p — 4 x — TTXdx
Igualemos a zero:
2p — 4 * — irx = 0
2 p — x (4 + n) = 0
2 Px —----—4 + 7T
O problema não admite mínimo, dispensemos a derivada 2?. Calculemos y:
y =-2P - m (2 + 7f) _ 8p + 2p?r - 4p - 2p >r
~> y 2(4 + jr)
DERIVADAS 123
y =
Portanto
4 P2(4 + n) 4 + rr
____ 2p4 + ir
A área é máxima quando o raio do semicírculo é igual à altura.
3 Uma caldeira cilíndrica tem uma capacidade de 1.000 dm3. 0 custo do material da parede lateral é de 200 cruzeiros o dm2 e das bases 300 cruzeiroso dm2. Calcule qual o raio para que a caldeira tenha custo mínimo.
fy
L
A função é o custo e o vínculo é a capacidade constante 1.000 dm3. Vínculo:
irx2y = 1.000
Função: Custo das bases + Custo lateral
2 B = 2 ttx2 = > Cb = 2 r o c 2 • 300
iSg = 2 n x y -------> Cg = 2irxy • 200
C = 600 ttjc2 + 400 nxy
Tiremos o valor de y no vínculo: y = * . Substituindo em C, vem:7TX
■C =-600inc2fx*
C = 600 mc2 +400.000
n • dC 1 onn 400.000Derivemos: — = 1.200 i r x ----------—dx v
1 2 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Igualando a zero:
L2o o „ - Í 22£oo = 0x 2
, 1.000 „3 j w -------- — = 0
3irx3 - 1.000 = 0
3 _ í.ooo3 n
mV 3 7T
10* = 3 7 = dm
PRi4 Qual o número cujo excesso sobre seu quadrado é o maior possível?Sejam x o número e x 2 seu quadrado. O excesso é E = x - x 2. Deri-
vemos:
Igualando a zero > 1 — 2 x = 0
1* = 2n - - 1 U numero e —.
PR2S Qual o número que aumentado de seu inverso dá uma soma mínima?
Sejam x e — o número e seu inverso. A soma
S = x + - x
Derivando, vem:
d S = _ J _ dx x 2
Igualando a zero — > l — L = q.x 2
x 2 - 1 = 0
x = ±1
DERIVADAS 125
d 2S J_X3
A derivada 2? é — - = — Experimentando para dbr ~3
X = 1 * > 4 - l > 0 .d x2
portanto, mínimo.O número é 1.
s Uma vaca está amarrada em uma corda perfeitamente inextensível em um grosso pilar de base quadrada por meio de uma argola. Se a vaca puxar a corda como indica a figura, qual será o ângulo formado pela corda com o pilar?
O comprimento da corda é a constante K, pois, a mesma é inextensível:
K = 3a + 2x + u
e
y = z 4- u ------> u = y - z
Eliminemos ou: K = 3a + 2 x + y — z.
y = K — 3a — 2 x + z
Porém, z = x sen a. ,Então,
_>> = £ — 3a — 2 x + x s e n a
=> x =Também tem osy = x cos a
„ a a , a sen ay = K — 3 a ------------(-^--------cos a 2 cos a
y = K — 3a — a s e c a + — tga
2 cos a • Logo,
Derivando
da = —a sec a tg a +-=■ sec2 a (só admite máximo)
126 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Igualando a zero:
- a sec a tg a + y see a = 0
- tg a + — see a = 0
sec a = 2 tg a
1 _ „ sen a , 1= 2 ------- > 1 = 2 sen a —> sen a = —cos a cos a 2
1a = are sen —
a = 30°
4.15 - PROBLEMAS PROPOSTOS
Calcular a derivada das seguintes funções
PPj y = 5 x 3 - 2 x 2 + x — 4
Resp.: y ' = 15x2 — 4x + 1
PP2 y = 4 x 8 - 7 x 3 - 4 x + 8
Resp.: y ' = 3 2 x 7 — 21 x 2 — 4
PP3 y = x 4 - 4 - - + 2
J?esp.: >>' = 4 x 3 + H—~ x x
* 4 2xPP4 y = a + b m + n
4 x 3 6 x 2Resp.: y ' =a + b m + n
pp5 3 ^ - 3 = -V x
2 3üesp.. =5 V * 3 4 \ / ^ ? 3 x l f x 2
DERIVADAS
_2_ _1_PP6 y = 3 x 3 - 4 x 4 - 2
Resp.: y ' = ir _ 4_ 2 ______ l _
2x 3 x 2 4x4PP7 y = - - - — + ■
PP8 >- = (1 - 2 x )(2 x - 4)
Kesp.: y = — 8x + 10
PP, y = (3x2 - 5 )(2x3 - 4x)
Resp.: y ' = 30x4 - 66x2 + 20
PP10 y = (4 x 2 + 2x - 3)(5x2 — 8x + 4)
Resp.: y ' = 80x3 — 66x2 — 30x + 32
nn x + 2PPU y = -
Resp.: y =
2x - 4
■x2 - 4x(x2 - 2x - 4)2
PPu /(O = (2 í - 4)(3 í2 - 2)Resp.: f ' ( t ) = 1 8 í 2 - 2 4 í - 4
PP ia / « = r"1- 2^ - 4 + t)
Resp.: f \ t ) = (2m - 6 )f2m' 7 + (m -
PPi4 y = 3 senx + 4 cosx
Resp.: y = 3 cosx - 4 senx
128 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PPi6 y = x3 V * 3
Resp.: y' = ~ x 2 ^
PP 17 y = COtgX - tg*
Resp.: y ' = —
PP is y =
sen2 2x
sen x + cos x sen x — cos x
2Resp.: y ' = —
x
1 — sen 2 x
PPi» y = x tg x
Resp.: y ' = — ~ + tg jc cos X
PP20 y — x arc tg x
Resp.: y ' — —------ 4- arc tgx 2 + 1 6
PPji y = arc sen x + arc cos x
Resp.: y ' = 0
PP22 y = x 2 arc cotg x
Resp.: y = 2 x arc cotg x — ■
PPj3 y = (1 — x 2) are cos x
x 2 - 1Resp.: y = r - _ 2x arc cos x
V 1 — x
PP24 y = x 4 £n x
Resp.: y ' = x 3(l + 4£nx)
PP2i y = (2x - 4)exResp.: y ' = ex (2 x - 2)
DERIVADAS 129
PPjí y = —e*
2 x *
n , 2x3(4 - x)Resp.: y = ----- --------- -e
PPj7 / (0 = e* sen f/?esp.: / '( /) = ef(sen t + cos f)
£n x
D i 1 — £n x2 Resp.: y = -------------
PP29 y = ex cos x +£n jc
Resp.: y ' = ex ( cos* — sen* — 1 - giur1 jc(£nx)2
Derive as seguintes funções compostas
PP30 y = (1 + 3* + 4jc2)3
R esp .:y '= 3(1 + 3 x + 4 x 2)2(3 + Sx)
PPji y = ( x 2 + l ) 5
Resp.: y ' = 10x(x2 + l)4
PP32 y = 4 e 2x
Resp.: y ' = 8e2x
PP33 y = sen 2x + tg4x
Resp.: y = 2 cos 2* + 4 sec2 4*
ppM y = esx-kn(x2- 2)
Resp.: y = esx 2xx 2 - 2
+ £n(x2 - 2)5
PP 3s y = cos e*x
Resp.: y ' = - 4 e * x sen e4x
L
130 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
p P 36 y = l / 2 x 2 - S x
pp37 / ( * ) = sen2(4x2 - 5)
Resp.: f ' ( x ) = 8x sen (8.x2 — 10)
PP38 /( s ) = sen2s - cos2s Resp.: f \ s ) = 2 sen 2 s
PP39 / ( * ) = 1/tg4 6 x
Resp.: /'(x ) = 8 see2 6x \ / t g 6 x
pp4o /(* ) = sen2 4 x see 6 x 3
Resp.: f '(x ) = 2sec 6 x 3(9x2sen2 4 x tg 6 x 3 + 2sen8x)
PP42 y = ^/x2 + X + I
PP44
(2x2 + 3x - 4)(x + 4)
PP45 y = COS (lo g x )
Resp.: y ' = — sen (log x)x 8n 10
DERIVADAS 131
pp46 y = sen (cos x)Resp.: y ' = — sen x cos (cos x)
__ V x 2 + 1 — xPP47 ^ = fin . 2
V x + 1 + x
2Resp.: y = —V x 2 + 1
PP48 j, = e * » «
.Resp.: y ' = 2> cos 2x
PP49 y = 8*2-3*
/?esp..' >•' = y ( 2 x - 3) £n 8
1 - exPPso y = tg — ^
1 + e*
„ , - 2 e *Kesp.: y =(1 + exy \ ( \ - e3 cos 1
1 + e'
PP51 y = (arc cos x)2
— 2 are cos xResp.: y ' =v ^ T T ?
pp» / = sen (4 x 3 — 2x + 4) + sec 3 x
Resp.: y ' = 2 (6 x 2 — 1) cos (4 x 3 — 2x + 4) + 3 tg 3x sec 3x
PP53 y = arctg ex*+1
2x e*2 + l ResP-' y = 7“ —^27“1 + e
PP54 y = x sen2x 3
Resp.: y = 3x3 sen 2x3 + sen2x 3
PPss y = (arcsenVx)2, _ are sen \ f xResp.: y
V x - x 2
1 3 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PP56 y = sen3*
Resp.: y ' =■V tg23x sec 3 jc
PPj7 y = sen2[Cn(4x - 1)]
.4 s e n j ín ( 4 ^ - _ l^ ! 4 x - 1
PP58 y = í n V x 2 - 2x + 1
2Resp.: y =3(x - 1)
PP59 y = finsec4(6x — l )2
Resp.: y - 48 (6 * - 1) tg(6 jc - l )2
D 1 sec2x Resp.: y -1 - tg2x
PPíi y — ex in senx
Resp.: y ' = e*(cotgx + Snsenx)
PP62 y = x m esenx
1 f m + x cosx Resp.: y = y [
Achar a derivada ■— das funções implícitas y seguintes:
PP68 xA - 2 y + 5 = 0
R e s p , ^ = 2 X*
PPM x2 + 2xy - y 2 = 0
ReSp .:& . = y ± 2 Ldx y - x
__ 4 2x — y ' - ~ x T y
dy 3 y dy 2 - y 4Resp.:-y- - — -------- *—z--------- ° u ~r~ — ----- ;--------2-----
dx 4 y 3(x 4- y ) 2 + 3 x dx 4 xy i + 5/ + i
PP71 ey 4- ex - xy = 2
„ dy y - ex
PP 72 J + sen (xy) = 1
dy _ _ y [y2 cos (xy) + 1]eSP” dx x [yi cos _ j]
PP73 x 3 + y 3 - 4<xxy = 0
dy 4ay - 3x2Resp.: - f - = — ---------
dx 3y - 4ox
PP74 /m4x 2 + y 2x 3 - x y4 = 5
dy y 4 — 2m 4x — 3 y 2x2Resp.: - f - = ---------------------- 7----dx 2yx - 4xy
PP 75 y 2senx 4- x2seny = —2
dy y 2cosx + 2xsenyResp.: - j- = - -------------------------
ox 2 ys e nx 4 -x^cosy
PP76 Knxy + exy = x
d dy y yResp.: - f - = -------— — ------dx 1 + Xy e xy *
Encontre onde as funções seguintes são dadas sob a forma paramétrica:
PP77 x = b cos41 e y = a sen4 í
r. dy a ,ResP-: t e = — b * '
PP78 x = í4 e y = 4 í2 - 2 f 4- 1
n dy 8 1 - 2Resp.:-*- = ----- —dt 4 f 3
la t a2 Bn t* = i T 7 e y T ~
DERIVADAS 133
134 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Re . dy = a ( l + r 3)* ( l - « n f ' ) _ dx 7(1 — 2 t3) t e t
PP8o x = a t sen t e y = b t cos t
dy = 1 / cos t - t sen tdx a \ sen t + t cos t,
PPsi y = V t 2 + 1 e x —t2
n dy í 4Resp.:~f- = — ----------- ------dx ( / + 2 ) v / ? T 1
PP82 y = e '4t e x = e2t
R esp .:& = —2e~6t
PP83 Prove que a função y representada na forma paramétrica pelas equações x = t2 e y = é satisfaz a equação:
dy + ( d y \ 2 = 2x y + y 2 >/lc > ^ > 0 dx \ d x j Ax \ f x
dyPP84 Achar quando t = 0, onde:
x = e1 sen t e y = e* tg t
R e* p .:% = 1
Derivadas de diferentes ordens
d2yCalcule — sendo:
dx2
PP85 y = 4 x 3 - 2 x J + 4 x - 1
d 2yResp.: —^ = 24 x - 4 dx2
PP86 y = 8x® — 4 x 5 + 8x3 - 6
R e s p . : ^ - = 240x 4 - 80x3 + 48x dx2
DERIVADAS 135
pp87 y ~ —X 1
4
d2y _ 24 Resp.: = —
dx1 x*
PP88 >> = mx2 + nx + c
Resp.: = 2m
PPg9 y = 2n 1x - 2
r d2y 1Resp.: — . — ---------—dx (x - 2)
PP»o y = x 2ex
R e s p .: ^ z = (x2 + 4x + 2)ex dx2
PP91 ^ = x sen 2x
d?vResp.: —=7 = 4 cos 2x - 4x sen 2x dx2
PP, + 1 * n y -
cPy = 8 (x 4- 2) dx2 (x - l )4
d3yCalcule —t sendo: dx3
PP,3 >> = x 4 - 2 x 3 - 4 x J - Sx 4- 4
R e s p . : ^ r = 12(2x - 1) dx*
PP„ y = 8 e 2x 1*
PP95 7 = sen x — cos x
*zd x3
Resp. : — = — (senx 4- cosx)
PP96 y = 2n x 2
R e s p , & = - 1 dx3 x 3
PP97 y = ex sen * + x cos *
Resp.: — = 2e*(cos* - sen*) + * sen * - 3cos* dx3
PP»s y = y /x + 3 * 4
R e s p . : ^ = - .3 + 72x d*3 &x2 y /x
d6vCalcule —=7 onde:
d*6-
136 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PP99 .y = sen* + cos*
É Ldx
Resp.: - j - j = —(sen* + cos*)
PP 100 y = x 1
R e s p . : ^ - = 7!* d*6
PP101.K = a*3 + ta 2 + c
dVdx6
Resp.: = 0
PP.«^ = ín (* + 1)
_ dV -1 2 0Resp.: —=7 = ----------,d*6 (* + l)6
PP103 ^ = sen2*
d6j> _ dx
Resp.: —4 = 32 cos 2*
d2 vCalcule — - das funções seguintes representadas na forma paramétrica:
dx
PP 104 x = e e y = 2 r + 3 í
d V 1 — 4 r
DERIVADAS 137
d d2y 1Resp.: =
PP10Jjc = 2n(r + 1) e y — £n(f2 - 1)
dx1 (í - l )2
PP106 x = 4 sen t e >> = 2 cos f
Resp.: = - 4 sec21 dx2 2
PP107x = e~at e y = eal
Resp.: ^ = - 2ae2at
PPio8x = 2(3 — senf) e > = 5(2 — cosi)
Resp.: — = - 4 sec2 í dx 2
PP109X = 4 f 2 e ,y = arctgf
„ d2y 3 f2 + 1Resp.:—*7 = ------ -—-------- -
dx1 8 í (í + 1)
PPiio* = cos 2 í e y = sen2 í
d2j> _ ' dx2
R esp .: — - = 0
PPU1 Mostre que a função y = sen x + cosx satisfaz a equação diferencial
dx dx3
PPU3 Mostre que a função >> = x e x satisfaz a equação diferencial
1 d3y l dy _ fX2 dx3 2 dx
PP lI3 Mostre que afunçao = e* cosx satisfaz a equação diferencial
d2y dy dx2 dxd2y dy x—- — - f- + y = - e sen x
d2yCalcule das funções seguintes, representadas na forma implícita por:
PPll4 > 2 + 2x - 4 = 0
c 1Resp.:-± = - —cbr y 3
PPm x2 + y 2 = 4
d2}> 4 R e s p .: - f- = - —
d x í y J
PPno*3 + 5xy - 2x - 4> = 0
^ p„ . j V = 2 ( 1 2 x + 2 5 y - 1 0 ) dx2 (5x - 4)2
13 8 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PP117X = WX + 6
dx2 4,y3
P P iis ^ = X +
P dx2 (1 - e-v)3
Calcule -j- j das funções seguintes, representados na forma implícita por:db: dy
PP„, 2x2 — 4 y — 6 = 0
„ d2x 1 Resp.: — = - — djy* xs
PP120 x — }» = £nx
d2x - xResp.:
dy2 (x - l ) 3
PPiit x1 + / = a2d2x
Resp.:— .=dy2
PPiíj x3 + 4 = 8^1» ■O 16Resp.: — = - —
a vL x A
PP123 xy - y = x
DERIVADAS 139
Escreva a equação da tangente e da normal às curvas seguintes nos pontos
(n — 4 )x — Or + 4~)y + ff \p 2 = 0
PP1M x 2 + 2 y — y 2 = l no ponto (2, 3).
Resp.: x — y + 1 = 0 e x + . y — 5 = 0
PPI30 2 xy — x 3 + y — 5 no ponto (1, 2).
Resp.: x + 3 y — 7 = 0 e 3x — y — 1 = 0
PP131x 6 — y 4 + 2 x 2y = 2 no ponto (1, 1).
Resp.: 5 x — y — 4 = 0 e x + 5y — 6 = 0
Aplicações Físicas
PP132 Um corpo se desloca sobre um plano inclinado através da equação s = = 512 — 2 1 (s em metros e t em segundos). Calcular a velocidade e a aceleração desse corpo após 2 segundos da partida.
Resp.: v = 18 m/seg e a = 10 m/seg2
pedidos:
PP124J' = \ f x no ponto cuja abscissa vale x = 4.Resp.: x — 4 y + 4 = 0 e 4 x + y — 18 = 0
PPi2s y = 3 x 2 — 4 x + 3 no ponto (1, 2).
Resp.: y — 2x = 0 e x + 2y — 5 = 0
/?esp.: 2 x + j ' + y = 0 e x — 2 ^ —■^■=0
PP 127y = ín x no ponto de intersecção com o eixo x.
Resp.: x — y — 1 = 0 e x + y — 1 = 0
ifPP128 x = t cos t, y = t sen t para / = —.
140 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PP133 llm corpo é abandonado do alto de uma torre de 40 m de altura através da equação y = 6 f2 — 2. Achar sua velocidade quando se encontra a 18 m do solo onde y é medido em metros e t em segundos.Resp.: V = 24 m/seg
PP 134 Uma partícula se move segundo a equação s = t3 — 2 t2 + 5 1 — 1 (s em m e (em seg.). Em que instante a sua velocidade vale 9 m/seg.?
Resp.: t = 2 seg
PP ]35 Dois corpos tem movimento em uma mesma reta segundo as equaçSes Si = f3 + 4 t2 + t — 1 e s2 = 2 t3 — 5 12 + t + 2. Determine as velocidades e posições desses corpos quando as suas acelerações são iguais considerando s em metros e t em segundos.
Resp.: Vi = 52 m/seg, st = 65 m, V2 = 25 m/seg e s2 = 14 m
PP 136 Uma partícula descreve um movimento circular segundo a equação d = = 2 tA — 3 12 — 4 (6 em rádianos). Determine a velocidade e a aceleração angulares após 4 segundos.
Resp.: w = 488 rd/seg e a = 378 rd/seg2
3 1 — 7PP 137 Um móvel descreve uma trajetória segundo a equação s = ■ ^ (s em
cm e t em seg.). Qual é a sua velocidade e aceleração após deslocar 2 cm?
Resp.: y = Y2 a = ~ ^ 9 cm',se81
Calcular 0 valor dos limites seguintes usando a regra de LHospital. x3 - 2 x 2 + 1PP ias lim
x_tl 2 x — 3 x + 1
Resp.: — y
4 x 2 + 2 x + 3X-+00
Resp.: 2
senx
Ppi39 lim2x 4- 3x
PP i4o limjj.,0 1 - cos*
Resp.: «o
DERIVADAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DERIVADAS 143
PPi" JS ( í l ; - r = - í )Resp.: °°
PP 160 lim (cossec x — cotgjc) x-*o
Resp.: 0
PP16i lim x xx-*o
Resp.: 1
x— ( A x \ Ax PP 162 Prove que a) lim (1 + sen x )x = e e b) lim ( 1 H------] = e.
X-I-O h x - > 0 \ x 1
\senxPPi63 lim ( 4
Resp.: 1
„„ i ~ ‘ + i Vpp'“ í ” l 2 í n ;
Resp.: e~2
PP 165 lim
Resp.: e~l
PP 166 lim x 1 *
Resp.: e~
jc->i z2
Resp.: — n
PP 168 lim are sen x cotg xx-*o
Resp.: 1
PP169 lim v /x 2 *-►«>
Resp.: 132
PP170 lim (cos 2x)x x->o
Resp.: e~b
PP171 lim x cotgx x->o
Resp.: 1
Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescentes ou decrescentes.
PP 172 y = x2 — 2 x — 3
Resp.: x > 1 crescente e x < 1 decrescente
PPi73 y = - x 2 - x + 12
Resp.: x < — y crescente e x > — y decrescente
PP 174 y = (* - 4)2i?esp.: x > 4 crescente e x < 4 decrescente
PP i7s y = (* + 2)3.Resp.: sempre crescente
144 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Resp.: x < 4 crescente e x > 4 decrescente
PPiti y = x £nxResp.: 0 < x < e~* decrescente e x > e~l crescente
PP 178 y = 3e*2- s* +6
Resp.: x > y crescente e x < - j decrescente
PP 179 y = 2x — senxAesp.; sempre crescente
DERIVADAS 145
PPi8oy = *3 - 9 x 2 + 15x - 5Resp.: x < 1 V x > 5 crescente e 1 < x < 5 decrescente
PP,81y = 2 x 3 - 15x2 + 24x + 4
Resp.: x < 1 v x > 4 crescente e 1 < x < 4 decrescente
Resp.: —1 < x < 2 crescente e x < — 1 v x > 2 decrescente
Calcule os extremos locais das funções:
PPisa-H = x 3 - 6 x J + 9x + 4
í máximo (1, 8)Resp.: <
mínimo (3, 4)
PP 184 y = 2x3 + 18x2 + 48x + 5
f máximo: (—2, —35)Resp.: <
mínimo: (—4, —27)
PPiss-V — ~ * 3 + 6 x 2 - 12x + 4 Resp.: não tem extremos
PP186y = 2x2 - 4x - 4
Resp.: mínimo: (1, —6)
PP 187y = — 5x5 + 10x - 5
Resp.: máximo (1,0)
PP 188y = X5 - J X3 + 20x - 4
Resp. :
PP 189 y = - x 4 + 2xJ
J (1, 1) e (— 1, 1) máximo Resp.: <
[(0, 0) mínimo
146 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
mínimo
PP191J' = * + —
Resp.: <
Determinar os pontos de inflexão das curvas dadas por:
P P m /to = x* - S x 3 4- 18jc2 4- 16jc — 5
Resp.: (1, 22) e (3, 70)
PP194/ W = x 3 — 6 x 2 + 2x
Resp.: (2, —12)
PP195/ W = * 3 - 3 x J - 9 x 4- 9
Resp.: (1, —2)
P P i í í / t o = e~*2
PP,97/ W = ( ^ + 1)3 Resp.: ( —1,0)
PPi9s / W = senxResp.:(Kn, 0), K = 0, 1 , 2 , . . .
PP.99/ ( * ) =
DERIVADAS 147
PP 200 /M = K - \/ x - m Resp.: (m, K)
PP201 / (•*) — y/~x+ ~ 2
Resp.: ( —2, 0)
Determinar os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
PP202 y ^ x 1
í x < 0 voltada para baixo Resp. : <
I x > 0 voltada para cima
PP 203 y = 5 + JC2Resp.: V x a concavidade é sempre voltada para cima
PP204y = —4 x 2 - 3jc + 4
Resp.: V x a concavidade é sempre voltada para baixo
PP2os/(x ) = x 4 — 8jc3 + 18x2 + I6 x — 5
1 < x < 3 concavidade para baixoResp.: s
x < 1 v x > 3 concavidade para cima
PP 206 /*00 = * 3 - 6 x 2 + 2 x
PP207 f ( x ) = x e *
PP208/ W = (.x - K )3 + 2b, K > 0
í x > K concavidade para cima Resp.: <!
y x < K concavidade para baixoResp.:
Estudar o comportamento e construir o gráfico das funções:
148 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PP 20»/ W = X 4 — X + 8
PP210/W = 3jc3 - l x
PP211 /(*) = 3x4 + 4 x 3 + 6 x 2 — 8
PP212 f ( x ) = ~ ^
PP214/W = x 3 - 6 x 2 + 12x + 5
PP2.5 f ( x ) = e-*2
PP216/ W =x l
PP218 / ( * ) = x sen x
5DIFERENCIAL
Cada qual abrange a paisagem de acordo com o degrau em que se coloca.
5.1 - CONCEITO
Seja y - f ( x ) uma função contínua e derivável no intervalo [a, b].Sua derivada no ponto P de abscissa x e [a. b] será
f ' ( x ) = lim - ^ = t g x .Ax -*■ o
Chamamos diferencial da função y = f( x ) ao produto da sua derivada f'Qc) pelo acréscimo da variável livre Ax.
dy = f ' ( x ) • Ax
Recordemos a interpretação geométrica da razão incremental e da derivada num ponto, figura 1.
Do triângulo retângulo PMQ tiramos
- f f - w . d )
Sendo o ângulo a o limite do ângulo (3, quando Ax -> 0, podemos escrever que tg/3 = tg a + J?.
Substituindo em (1) ; >
A v— -> = tg a + T? ou A y = (tg a) • Ax + t) • Ax,
150 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
mas tg a = / ' (x), logo
A y = f ' ( x ) • A x + T) l \x
Ainda, da figura, tiramos
M Q = M N + NQ
— MNSendo MQ = A y e -==■ = tg a • MN = (tg a) • PM
MN = f ' ( x ) • A x M N = f ' ( x ) • A x = dy.
Substituindo na (3) :
A y = f ' ( x ) • A x + N Q
(2)
(3)
(4)
Comparando (2) e (4) concluímos que NQ = t] Ax.Assim, vemos que o acréscimo A y da função difere da diferencial dy de um
infinitésimo NQ = n Ax, onde rj -*■ 0 quando Ax -*• 0.Então, podemos concluir que
A y = . dy , + ' vAx parte parte
principal secundária
e que A y = dy.
Calculemos a diferencial da função identidade y = x.
Como = 1 dx dy = 1 • dx ou dy = 1 • Ax :•
DIFERENCIAL 151
dx = Ax
Podemos, generalizando, considerar, indiferentemente, a diferencial de uma função y = c) como sendo
dy = / ' ( * ) • Ax ou dy = / ' ( x ) • dx
5.2 - APLICAÇÕES
5.2.1 - CÁLCULO DA DIFERENCIAL
Achamos a diferencial de uma função determinando, primeiramente, suafunção derivada. ________
Calcule a diferencial da função y = V 2 x 2 — 3.
Solução: Sua função derivada é:
i 2 x , 2 xdxv = —. — — - - > dv - — _ ■
V 2 x 2 - 3 V 2 x J - 3
5.2.2 - CÁLCULO DE ERROS
Sabemos que o erro absoluto cometido na medição de uma grandeza é a diferença entre dois valores da mesma grandeza, portanto, ea = x 2 - * 1 = Ax — dx,
Cj dxisto é, a sua diferencial. O erro relativo é z r = — = — e erro percentual
ep = 100 • — .H x
O erro absoluto cometido na função y = / ( x ) é, conseqüentemente, Ay.Na prática fazemo-lo igual a dy.
Exemplos:
E] Determine o erro absoluto cometido na avaliação da área de um quadrado, cujo lado mediu 10 cm com um erro de 0,02 cm.
Solução: A área do quadrado nos é dada por A = x2, portanto o erro absoluto nela cometido será:
dA = 2 xdx
152 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
De acordo com os dados do problema x = 10 cm e dx = 0,02 cm,o que nos dará dA = 2 • 10 • 0,02 = 0,4 cm2.
E2 Determine o erro relativo cometido na avaliação do volume de um cubo, cujo erro cometido na medida da aresta foi de 2%.
Solução: A função é o volume do cubo,
Então, V = x 3
O erro absoluto cometido no volume é:
d V = 3 x 2dx
O erro relativo é obtido dividindo-se o erro absoluto dV pelo volume V, logo
5.2.3 - CÁLCULOS APROXIMADOS
Vimos que Ay = f (x + Ax) - f(x ) ou f ( x + A*) = f (x ) + Ay
Substituindo Ay pelo seu valor dy + tjAx, vem:
f ( x + Ax) = f ( x ) + dy + rjàx
Se desprezarmos rjAx, infinitésimo de 2? ordem, resulta
d V 3 x 2dx „ dx~ 3 tx
Mas, 100 • — = 2 xdx o — 2
100x
f i x + Ax) a s /(* ) + dy
expressão que nos permite o cálculo aproximado.
Exemplos:
E, Determine o valor aproximado de v' 26,008.
Solução:
1. Fórmula: f ( x + Ax) = f ( x ) + dy
2. Substituição de f : \ / x + A x s l / V + dy
3. Determinação de dy\
dy = 1__Ax = = > \ / x + Ax = \ f x H----- j^ = A x (1)3-V*2 3 ^ ?
4. Adaptição ao exercício:
x + Ax = 26,008x = 2 7 (o valor mais próximo de x + Ax
— : _ _ q 992 <lue admite raiz cúbica exata)
DIFERENCIAI. 153
Substituindo em (1), vem:
V 26,008 a l /H T + ^ . - (-0 ,9 9 2 ) 3 I / W 2
1V 26,008 s 3 + y y j (—0,992)
V 26,008 s 3 - 0,037
V 26,008 s 2,963
Calcule o valor aproximado de tg 46°.
Solução:
1. Fórmula: / ( x + Ax) = /(x ) + dyI V.
2. Substituição de f : tg(x + Ax) = tgx + dy (1)
3. Determinação de dy:
dy = sec2x • Ax > tg(x + Ax) = tg x + sec2 x Ax
4. Adaptação ao exercício:
x + Ax = 46° x- = 45°
= ^ = > Ax = I o = - ^ — = 0,017 180°
Substituindo em (1):
tg46° = tg 45° + (sec245°) • 0,017
tg 46° = 1 + 2 - 0,017
tg 46° s 1,034
Ache o valor aproximado do volume de uma parede cilíndrica de altura 10 dm, cujo raio interno mede 5 dm e o externo 5,25 dm:
154 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Solução: 0 volume procurado é a diferença entre o volume do cilindro de raio 5,25 dm, (x + Ax), e o volume do cilindro de raio 5 dm, x, portanto,
V = f ( x + Ax) — /(x ) a dy
V = dy, mas y = irx2h volume do cilindro, logo
V = 2-nxh • Ax = > V s*2 ir • 5 • 10 -(5,25 - 5) = 25 7rdm3
E4 Prove que V T + ã = 1 + — para a bem pequeno.
Solução: Vimos que f ( x + Ax) = / ( x ) + dy. Adaptando a fórmula ao exercício, vem:
1 Ax
Mas,
2 s f 7
x + Ax = 1 + à e, por ser a bem pequeno,
(D
x = 1
= > Ax = a
Substituindo em (1), vem:
1xATT7s VT+ — 2 ^ 1
v T + ã as 1 + -
5.2.4 - DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Dada a função y = /(x ) contínua e derivável no intervalo [a, b ] sua diferenciaé:
dy = f i x ) dx
DIFERENCIAL 155
Chamamos diferencial de segunda ordem duma função à diferencial da diferencial desta função:
d(dy) = <Py
Então, d1 y = d \f' (x) • dx]
<Py = f " ( x ) • dx2
Da mesma forma concluiremos que a diferencial de 3? ordem é d 3y = = f ' " ( x ) d x 3, e assim sucessivamente.
Exemplos:
Eí Determine a diferencial de 2? ordem da função y
- 1 < x < 1.
Solução: Preparemos a função:
= Cn/ r
y = 2n = T ín (i + * ) _ x )
Determinemos as funções derivadas de primeira e segunda ordem:
1 1
y
y
y =
2 ( 1 + x ) 2(1 - x )
1 - x + l + x 1
( - D
ou2 ( l + x ) ( l - x ) 1 - x 2
= (1 - x 2) ' 1 > y " = - ( 1 - x 2) ’2 • (—2v)
2x(1 - x 2)2
Então,
d2y = 2xdx (1 - x 2)2
E2 Determine a diferencial de 3 ordem da função y = x • cos x.
Solução: y = x • cosx é do tipo / = u • v > y = u v + v'u. Façamos:
= > u = 1U = X
V = COS X => v = — sen x
Então, y = cos jc — x sen x Da mesma forma, tiramos
com
156 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
y = — sen x — sen x — * cos x ou
y " = — 2 sen* — x cos* e
y " - —2 cos* — cos* + * s e n * ------> y " = * sen * — 3 cos*
Logo, d 3y = (* sen* — 3 cos*) • d*3
5.2.5 — DIFERENCIAL DE ARCO
Fig. 5.2.
Seja £ = ÃP, segmento da curva C, imagem da função y = /(* ), contínua e derivável no intervalo [a, 6], Figura 2; com A [a, /(a)] e P{x, y).
Atribuindo a * o acréscimo A x , y sofrerá o acréscimo Ay e £ o acréscimoA£.
A£A razão de variação média de A£ em relação a A * será
D , A£ A£ AcPodemos escrever -r— = - — • —— A * A * Ac
A£ = A£ _ Ac A * Ac A*
Do triângulo PMQ -
Substituindo na (1)
> Ac = \/ (A * )2 + (Ay)2
_A£ _ A£ f \/(A *)2 + (Ay) A * Ac A*
ou
A £ _ A £ _ / (A * )2 + (A y)2 A* Ac V (A *)2 \A x j
(D
DIFERENCIAL 157
Ac - 0Tomando limite, quando Ax -*■ 0 -------> A£ -+ 0, teremos:
I A.y->-0
_ A J à . l ) 1á x -* 0 AJC -* o A c \ ^ x /
.. A í .. A« .. lim -r— = lim - 7— • lim Ax
Aplicando a definição de derivada e as propriedades dos limites, resultaráem:
^ = 1 • / dx V l + ( II»Ax -»■ 0
f - Z T T W d í = V 1 + O')2 dx
5.2.6 - CURVATURA
5.2.6.1 — Curvatura de uma circunferência
Seja a circunferência de centro C e raio R .Seu comprimento é 2 n R e o arco correspondente ao ângulo cêntrico Aa
terá o comprimento R • Aa.A partir do ponto P, dando ao arco um acréscimo A í, a inclinação a da
tangente à circunferência no ponto P sofre o acréscimo Aa.
158 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AaA vanação neste caso, constante, denomina-se curvatura da circun-
Aaferência e é indicada por K = -ttt-Aí
Como A£ = R Aa => —— = R > K = — , que é constante. KAa
5.2.6.2 — Curvatura de uma curva qualquer
AttPor definição, a curvatura média é Km =
A curvatura num ponto qualquer é dada por
K = Um Km = limAx -*•<> Ax -*-0
do.Logo, a curvatura num ponto é K = — que podemos escrever:
0 )
Como / = tg a -------> a = arctg ( / ) = - >
DIFERENCIAL 159
£ = / T T W
Substituindo (2) e (3) na (1), obteremos:
ny
(3)
y/ 1 + O')2K =
[1 + O')2!3(4)
0 raio de curvatura, sendo o inverso da curvatura, tem por expressão
* = l ! ± ^ , co m y ' * o .y
Nota: Nas estruturas, em geral, a deformação é pequena, o que leva a a ser pequeno e, conseqüentemente, y ' muito pequeno.
viga
viga deformada
Nestas condições a curvatura (com aproximação suficiente) é dada porrs ltK = y .
Exemplo: Determine a curvatura da curva y = x 2 no ponto (0,0).
Solução: De
y = x 2 > y ' = 2 x e y " = 2
Substituindo na fórmula (4) -—> K =
1[1 + 4 x2]3/2
;. No ponto (0,0
=> K = 2 e R = y .
5.3 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
PR! O raio de um círculo mediu 40 cm com um erro máximo de 0,05 cm. Dê os erros absoluto e percentual cometidos na área calculada pela fórmula A = irR2.
Solução: Vimos que o erro absoluto é, na prática, a diferencial. Então:
dA = 2jt R d R
dA = 2 rr • 40 • 0,05
dA = 4 7T cm2
dAO erro relativo e o percentual:
100 = 100 - ~ ; d R = 100 • 2 •A n R 1 R
100 ”T = 200' ^4<r= 0,25%
PRj Determine o erro absoluto cometido no cálculo do volume de uma esfera,
V = y-7ri?3, cujo raio mediu 10 dm, com erro de 0,02.
Solução: O erro procurado é:
d V = 4 ir R * d R (1)
Sendo R = 10 dm e = 0,02 > dR = 0,02 • R = 0,2 dm, substi- i R
tuindo em (1) — — > d V = 4 jt • 100 • 0,2 = 80ff dm3.
PR 3 Prove que o erro relativo da raiz cúbica de um número é 1/3 do erro relativo deste número.
Solução: Seja o número x.
O erro relativo nele cometido é — e o erro relativo cometido na sua raiz cúbica é
1
d ^ [ Ã = l l [ I . d x ____ 1 rf*.V ? 3 v ?
d ( \ / x ) 1 dx
PR4 Determine a diferencial da função .y = eKn(sen34*)
Solução: Preparemos a função. Aplicando a definição de logaritmo, vem:
£n.y = 2n(sen34 x ) ------ > y = sen34x
Como dy = y dx, determinemos y .
y — 3 sen24 x • cos 4 x • 4 ou
y = 12 sen24 x • cos 4 x
que nos dá
160 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
dy = 12 sen24x • cos 4 x dx
DIFERENCIAL 161
PR s Determine a diferencial de 2? ordem da função y = chx + shx.
Solução: Preparando a função dada — >
ex 4- e~x . ex - e~x= > , = ----- — + ----- j ------ ou
x > x a Xy = e — —> y = e — > y = e .
Então d 2y = ex • dx2.
PR6 Determine a diferencial da função /(x ) = £n (£nx).
Solução: Calculemos f ' (x ) .
Se f{x ) = £n(£nx) = > f ’(x) = ^
^ g°>PR 7 Determine a diferencial do arco da curva >> = \ f x * .
Solução: Sendo d í = V 1 4- (_y')2 cfcc, determinemos y .
Como y = x3/2 - > / = - j x 1/2.
Então, d í = ^ / l + - j x dx.
d£ = y V 4 + 9 x dx.
PR8 Calcule o valor aproximado de cos 60° 30'.
Solução:
f ( x + Ax) = f ( x ) + dy 4. \
=> cos(x + Ax) s c o s x - senx • Ax (1)
Sendox = 60°
— ■> u\J 1 , o 1 3T= > A x-= 30 ~ ~ 2 " = T ' T8Õ
Ax = - j ' 0,0174 = 0,0087.
Substituindo em (1), vem:
cos 60° 30' = cos 60° - sen 60° • 0,0087
cos 60° 30' 0,0087
cos 60° 30' “ 0,5 - 0,0075 = 0,4925.
162 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PR, Mostre que, para h bem pequeno,
cos (x + h) = cos x — h • senx.
Solução: De f ( x + Ax) s f ( x ) + dy, tiramos
cos(x + Ax) = cosx — senx • Ax. (1)
Então, x + Ax = x + h > Ax = h.Substituindo em (1), resulta em
cos (x + h) = cos x - h senx.
PRio Calcule o valor aproximado de (4,998)2.
Solução: De f ( x + Ax) = /(x ) + dy, tiramos
(x + Ax)2 — x 2 + 2 x * Ax (1)
Logo, x + Ax = 4,998 x = 5
~ > Ax = —0,002.
Substituindo em (1) >
= > (4,998)2 s 52 + 2 • 5 • (-0 ,002)
= > (4,998)2 s 25 - 0,02 = i >
(4,998)2 a 24,98.
PRn Calcule a diferencial do arco da curva y = are sen yfx.
Solução: Sendo d 9. = \J 1 + (y')1 dx, achemos y .Como
/— i 1 1 y = arc sen V x ------- > y = , —— ------ ouV 1 - (V * )2 2 sT*
1 1 1y = -y / 1 - X 2 y / x 2 y / X - X2
Substituindo na fórmula de d í , resulta em
d l = J 1 + . . ‘ — dx4 (x - x 2)
DIFERENCIAL 163
, , - L / U r i l - y *
PRn Determine a curvatura, no ponto (0,0), da curva y = 2 y/~x.
Sabemos que a curvatura K = ^ + (y')7 ]3/2'
Determinemos as funções derivadas 1? e 2?.
y ' = 2 1
" 1 - 3 /2 1v = -----x — _________y 2
Substituindo em K
y ' = x - ' n
K = - 2 x \ f x 2 x \ f x
1 + 1 + -
K = 2 x \ f x (x + 1)3/2
2-x-^fx- (x + 1)3/2
K = - 12(x + 1)3/2
Para x = 0 > K = —2 • l 3
_1_2 '
5.4 - PROBLEMAS PROPOSTOS
PPi Determine as diferenciais das funções:
a) y = sen2*
Resp.: dy = sen 2 x • dx
. . / I + xb )- > ' " V T - í
164 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Resp.: dy = -------- ,(1 - X ) y / l - X 2
c) y = Cnx*
Resp.: dy = £n ex • dx
d ) y = esenx
Resp.: dy = escnx • cosx • dx
e) y = a ^ m x
Resp.: dy = m a secmx • see m x • tg m x • £na • dx
Resp.: dy = (sen x + cos x) dx
) en n + ««>■£V * V I - senx
Resp.: dy = - dx— = see x dx cos x
PP2 Determina as diferenciais de 2? ordem das funções:
a) y = Sntgjc
Resp.: d 2y = —4 cosec 2 x • cotg 2 x • dx2
n / l + sen xb)j' = Cn / - ------------V 1 — sen xsen;2,. - v .Resp.: d y = see x • tg x d x
\ * x + m c) y = arctg •1 - m x
Resp.: d 2y =,2 2 x d x 2(1 + X2)2
PP3 Calcule o erro percentual cometido no volume de um cubo cuja aresta foi medida com erro de 0,01.
Resp.: 3%
PP4 Calcule, usando diferencial, o volume da coroa esférica de raio exterior2,5 cm e espessura 0,5 cm.
Resp.: 8 w cm3
DIFERENCIAL 165
PP5 Ache o erro percentual cometido no diâmetro de uma esfera para que o erro do volume seja da ordem de 3%.
Resp.: 1%.
PP6 Determine a capacidade aproximada de um cilindro de raio R, altura h e cuja parede tem espessura dR.
Resp.: 2 v R • dR
PP7 Calcule o valor aproximado de sen 59°.
Resp.: 0,8583
PP8 Calcule o valor aproximado de tg 45° 4' 30".
Resp.: 1,0026
PP9 Calcule o valor aproximado de \[99.
Resp.: 9,95
PPio Prove que para h bem pequeno ^ = 1 — h.
PPii Calcule o valor aproximado de V 1,002.Resp.: 1,001
PPu Determine a diferencial do arco da curva y = \ f x .
ex + e~xPP i3 Determine a diferencial do arco da curva / = ------------
e* + é~x „Resp.: d i - -------— - dx
PPi4 Determine a diferencial do arco da curva y = x (finx — 1).
Resp.: d i = \ J 1 + (Snx)1 dx
PP15 Determine a diferencial do arco da curva / = — 8n1 — cos x1 + cosx
Resp.: d S. = \J 1 + cosec2x dx
PP16 Determine a curvatura da curva y = x 2 - 5 j c + 4n o ponto x = y .
Resp.: K = 2
PP17 Determine a curvatura da curva y = 2n / j + sen:t no ponto x =-7-.V 1 - senx r 4
Resp.: K
PP is Determine o raio de curvatura da curva y = 8n x no ponto x = V"8.
Resp.:R \ f l .
PP 19 Determine o raio de curvatura da curva x i n + y ' n = aín no ponto (a, 0).
Resp.: R = 2 a
166 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARTE II
6INTEGRAIS IMEDIATAS
Aprendamos a trabalhar e a servir. Servir é fazer luz.
6.1 - CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
Antidiferencial ou Integral:
Sejam as funções:
a) y = x 2 + 1
b ) y = x 2 - 10
c ) y = x 2 + C
Suas diferenciais são:
a) dy = 2xdx
b) dy = 2xdx
c) dy = 2xdx
Notamos que as funções dadas diferem apenas no termo constante e têm a mesma diferencial. Dada, portanto, a diferencial dy = 2xdx podemos encontrar as infinitas funções que a produziram, através da relação inversa.
Assim, dizemos que a integral indefinida de dy = 2xdx é y = x 2 + C e representaremos por
y = \ l x d x — x 2 + C.
A integração é a operação que nos dá a função quando conhecemos sua diferencial.
Se chamarmos de d a relação que leva a função à sua derivada e de d-1 a relação inversa de d, então d '1 leva a derivada às infinitas funções correspondentes.
170 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Assim, Figura 1 :
A: todas as funções têm derivada contínua em [a, b\
B: função contínua em [a, b]Fig. 6.1.
O problema direto do cálculo consiste em determinar a direção quando se dá a curva (função).
curva: y = F(x) => direção: a = tg a =
O problema inverso já consiste na determinação da curva quando se tem a direção.
direção: a , dy -> curva: de a = —f - dx -> dy = adx
=> y = J adx = F (x) + C
6.2 - INTEGRAL INDEFINIDA
Então, f f (x) dx = F (jc) + C é chamada integral indefinida, pois a constante C, constante de integração, pode assumir infinitos valores. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial.
F (x) + C é a solução geral F (x) + 10 é uma solução particular e
C = 10 é obtido pela fixação de uma condição inicial.Na integral indefinida jf(x)<±c, a função f(jc) (que deve ser uma função
derivada) chama-se integrando.
INTEGRAIS IMEDIATAS 171
6.2.1 - SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO
Determine a equação da família de curvas sabendo-se que o declive da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro da abscissa do ponto considerado.
O declive a da tangente à curva é a derivada da função (curva) no ponto considerado, logo:
dydx
dyDe acordo com o problema a = 2x > = 2x e dy = Ixdx .
Integrando:
| dy = | 2 xdx
y = x 2 + C
Para C = - 4
Para C = 0
Para C = 2
> y = x 2 — 4
-> y = x 2== > y = x 2 + 2
Representemos graficamente estas funções, Figura 2.
A constante C de integração é F (0), isto é, a altura onde a curva interceptao eixo dos y.
No problema anterior, determine a curva da família que passa pelo ponto (1, 3).
A equação da família ê y = x 2 + C.Da condição fixada =----- > y = 3 e x = 1, então:
3 = 1 + C ----= > C = 2,
portanto a curva é a parábola / = x 2 + 2.
172 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
6.3 - PROPRIEDADES
Pi Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do sinal de integral. Assim:
fa • f(x)<±c = a ff(jc)dx
P2 A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destas diferenciais. Assim:
\{du + dv - d t) = \du + j dv - \dt
A integral de soma é igual à soma de integrais
Exemplos:
Et [4 xdx = [2 • 2 xdx = 2 J2 xdx = 2 x 2 + C
E j |(3a:2 + 4 x 3 — € )d x = | 3 x 2dx — \4x*dx — 6 \dx =
Ct + C 2 + C3
= x 3 + C! - x* + C2 - 6x + C3 = - x * + x 3 - 6x + C
6.4 - INTEGRAIS IMEDIATAS
O problema da integração não é fácil, mas não pode, por isso, ser ignorado. A integral definida o facilita bem.Mas, procuremos tornar o estudo da integral indefinida menos difícil, meto-
dizando-o.Organizemos uma tabela de integrais indefinidas, as mais familiares, cujos
resultados são obtidos imediatamente.As integrais 1 e 2 serão as das propriedades Pi e P2, as demais iremos
determinando e acrescentando à tabela.
TABELA I
1 Jadx = a \dx
2 \{du + dv - dt) = \du + ^dv - f dt
INTEGRAIS IMEDIATAS 173
x"+1Seja a função y = - + C, com n # — 1.
Diferenciando (relação d) — > dy = dx
Integrando membro a membro, vem:
Jdy = [x”dx = fjc"dx
Substituindo y pelo seu valor, fica:
Vejamos a (3):
=> dy = x dx
(x"dx = -^ jT f + C> (3)
Notemos que em
\ ® n d ®
a diferencial é a diferencial da base da potência integrando.
A integral |(2x )3dx tomar-se-á imediata se pudermos substituir dx por d (2x). Comparemos
|(2x)3í£t e f(2x)3d(2x)
A diferencial d (2x) - 2 dx, portanto, a 2a integral é o dobro da primeira. Podemos igualá-las dividindo a 2? por 2:
2dx
f(2. x fd x = \ f(2x)3 d(2x) = + C = ^ + C
Nota: A integral proposta seria efetuada de modo mais fácil se desenvolvêssemos a potência. Neste caso é mais simples, noutros . . .
)(3jc + í y d x
Apliquemos a regra acima.
Vejamos a diferença em valor entre
f(3x + l)7dx e \(3x + l ) 7d(3x + 1)
Basta analisarmos a diferencial d(3x + 1).
Assim: d ( 3 x + 1) = 3 dx
Logo a 2? integral é o triplo da 1? ->
3 dx1 / ^
= > J(3jc + 1 y d x = - j J(3jf + \ )nd (3 x + 1) =
= 1 (3jc + 1>8 + r3 ' 8 c
f(3x + l)7dx = 1)8 + C
Bem mais fácil do que desenvolver a sétima potência do binômio (3jc + 1 ). Não usaremos a substituição para que você, leitor, compreenda melhor o
mecanismo da integração.
Exemplos:
Ej Integre / = f(8x3 — 6 x 2 + 5 x — \r + x \ f x — T)dx.x 3
Preparemos a integral I.
Temos a integral de soma, de P2 e Pt >
174 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
= > / = 8 f x 3dx - 6 \ x 2dx + 5 \ x d x - \ x ' 3dx + | x 3/í£ic
- 2 J dx
v 4 „ 3 „ 2 „ - 2 „ 5 /2/ = 8 — - 6 — + 5— - —— + —— - 2x + C
4 3 2 - 2 5_2
. , 5vJ 1 2 x2 y/xI = 2x* - 2x3 + ~ ~ + — ■ + -----s---- --- 2x + C
2 2 x 2 5
E2 Integre / = J(3\/jc - 2 )(3 \ f x + 2 )dx
Preparemos a integral:
/ = |(3 y /x — 2) (3 y/x + 2)dx — \(9x — 4)dx
I = 9 j x d x — 4 |dx = — 4x + C
E3 Integre I =J- X<*Xy /x2 — 4
Preparemos a integral I.
I = f ( x 2 — 4 Y in x d x
Teremos uma integral do tipo (3) se pudermos substituir dx por d (x2 — 4). Basta diferenciarmos d (x 2 — 4) = 2 xdx.Na integral / temos xdx. Falta apenas o fator 2. Multipliquemos e dividamos por 2.Então:
INTEGRAIS IMEDIATAS 175
2 xdx
I = J(x2 - 4)~1/2xdx = Y J(x2 - 4y 1/2d (x2 - 4)
integral de potência ou (3)
4r + c _ > / = y ^ + c
T
Passemos ao estudo da (4):
I = Jdx
Caso particular de J x ndx, sendo n = 0, logo
x 0+1< * = Õ T T + c = * + c
Idx = x + C
Nossa tabela já está assim constituída:
1 / adx = a Jdx
2 J(<2u + dv - dt) = Jdu + jdv — jdf
+ 13 I x ndx = —T-r- + C, n — 1 J «4 -1
4 Jdx = x + C
Estudemos J ~ > caso em que n = —1.
Consideremos a função y = 8nx + C.
Diferenciando > dy = — dx.JC
• ’ dxIntegrando membro a membro > Jdy = J~^~-
No 19 membro a integral equilibra a diferencial e vem:
y = j -y - e como ^ = (n * + C, teremos
(4)
176 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
5f— = i n x + C■ X (5 )
Como extensão, podemos considerar
,-udx n---- = finu + CJ u (5-A)
u
Assim, f = £n(jc2 + 1) + C1 x 2 + 1 '
u
Exemplos:
E( Integre / / = x A - 3x2 + x + 2 ^ x 2 - 2
Qualquer que seja a integral proposta, devemos analisá-la, tendo em mente a tabela das imediatas.A integral I do exercício proposto não se aproxima das 4 primeiras integrais estudadas.Trata-se de uma fração xacional, cujo grau m do numerador supera o grau p do denominador.Para m > p ou m = p, efetuamos a divisão.Assim:
x 4 - 3x2 + x + 2 x 2 — 2
—x* + 2x2 X 2 — 1
- x 2 + X + 2
>
- 2
x
Então, I = d x = J V - 1 + - ~ - ) dx x — 2
Temos a integral de soma, da (2) resulta:
A derivada do denominador é 2x. Se multiplicarmos numerador e denominador por 2, a fração não se alterará e o numerador passará a ser a derivada do denominador.
INTEGRAIS IMEDIATAS 177
Analisemos a 3? parcela:
/ = 4 - + C , - x + C2 + ^ - /-2 j x* - 2
u
/ = y - + C , - J C + C a + y £ n ( * 1 - 2) + C3
3 Cl + Çj + chI = — x + -y-Sn (x2 — 2) + C ( x > \ Í2 ou í < - V 2 )
Ao invés de usarmos
f — = 2nx + C para x > 0,
/dx— = £n(— x) + C para x < 0 ou
J ~ = 8n IjcI + C para x ¥= 0,
/dx— = £njc + C porque estamos sempre supondo funções
definidas. Não usaremos o sinal de módulo.
T . T í-sen2x ,Integre I = | — -— dx ' sen x
Em se tratando de fração, analisemos se o numerador é ou pode ser a deri-u dx
vada do denominador, isto é, verifiquemos se a integral é do tipo f ^ .
A função derivada da função sen2 * é 2 sen x cos x = sen 2x. Então:
178 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Diferenciando => dy = dx => dy = a dx
Integrando membro a membro — > fdy = faxdx, com
fdy = y - —> y = f a xdx o
Se a = e, vem:
f a xdx = + C J £n a
J e xdx = ex + C
(6)
(7)
Notemos que na (6) e na (7) a diferencial é diferencial do expoente.
f a ® d ( x ) = + C e f e ® d ® = ex + C
Exemplos:
Ej Integre / = f e 3xdx
Esta integral será imediata se tivermos d(3x), o que obteremos multiplicando e dividindo por 3, pois d(3x) = 3 dx.Então:
3 dx
/ = f e 3xd x = Y f e 3xd ( 3 x ) = - j e 3x + C
E2 Integre 1 = fesenx • cos x d x
A integral I será imediata se pudermos escrevê-la fe d (sen x). Vejamos:
cos xdx
f e senx d (senx) = /
Logo:
f e senxcos xdx = fesenxd(senx) = e senx + C
E3 Integre fex • x d x
Como vimos, será integral imediata se pudermos escrever
INTEGRAIS IMEDIATAS 179
Analisemos:
2f e x d(x2) = Jex • 2xdx
EntSo, a integral propostad<x2)
f e x • xdx = ~ j e x • 2 x d x = -Í- f e x dÇx2) = y e * + C
E4 Integre I = J ■ dx
Efetuemos a divisão:
rax - a-1 = 1 -
Desdobremos em duas integrais:
í a'
Preparemos a segunda integral
/= fdx - fa~2xdx
I = x - —2 J a 2xd ( - 2 x )
1 a 2x / = * + - “ ---- + C2 Una
I = x + 2 £na + C
Seja a função y = — cos x + C
Diferenciando > dy = sen x • dx
Integrando membro a membro:
f d y = j sen xdx
J sen x • dx — y
J sen xdx = — cosx + C (8)
Notemos que na (8) a diferencial é diferencial do arco:
Jsen (x) d (x) = - cos x + C
180 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Exemplos:
E! Integre / = / sen 3 x d x
A integral I não é imediata, pois, o arco é 3jc e a diferencial dx. Preparemos a integral:
E2 Integre I = f x • sen 3x2dx
A integral I tomar-se-á imediata se pudermos escrevê-la sob a forma
/ = f sen3x1d (3 x 2)
Analisemos:
d ( 3 x 2) = 6 x d x
Vemos que na integral proposta I figuram o xdx, faltando o 6, então:
Nesta integral a diferencial é a diferencial do arco
/cos (x) d(x) = sen x + C
Exemplo:
Integre I = j cos2 x d x
Analisando a integral, deparamos que não é imediata, pois o cosx está elevado ao quadrado. Somos levados a substituir cos2 x por 1 — sen2 x, mas esta substituição transfere a dificuldade cos2 x para sen2 x. Logo, este não é o caminho indicado.
Da trigonometria sabemos que cos2 x = * ^°S 2*
Então:
/ = y J ó x sen 3jc2d* = y J sen 3 x 2d{3 x 2) = — ^-cos3x2 + C
9 A integral f cos x d x fica determinada imediatamente, respondendo à pergunta: Qual a função cuja derivada é cos x l
Então:
J cos xdx = senx + C (9)
INTEGRAIS IMEDIATAS 181
r r 2 j f 1 + cos 2x , I = I cos xdx = J ------ --------<±c
=> / = y Jdx + - | - jcos @
/ =_y + “| -----1" jcos 2 x d ( 2 x )
_ x ^ sen 2x2 4 L
10 Seja a integral J t g x d x
Podemos escrever f tg x d x = f -sel--x- dxJ ° ■’ COSJC
Transformamos o integrando em fração.A divisão nos levaria ao ponto de partida tgjc. Analisemos, então, se o
numerador é ou pode ser a derivada do denominador:
u = cos x
Logo,
=> u = — sen x
f tg x d x = í senx dx = — f-— dx = — £ncosx + C J J COSJC J nns y
— sen jcCOS X
I tg x dx = — £n cos x + C
Nota:
ou
ftg (x) d(x) = — £n cos x + C
f tg x d x = — i n + C = — (£n 1 — £n secx) + C
:io)
ftg (x) d(x) = £n secx + C (10)
11 Seja a integral fcotgxdx
f cotg (x) d (x) = f dx = £n sen x + C
182 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
fc o tg x d x = in se n x + C (11)
12 A integral /sec2 (x) d(x) é imediata, pois, sec2 x é a derivada de tgjc. Então:
fsec2xd x = tg x + C
(sec2 x d x = tg jc + C (12)
13 A integral J cosec2 @ d(x) também é imediata, pois, cosec2 x é a derivada da função — cotg x.
f cosec2 x dx = - cotg x 4- C (13)
:> tg x = sec2 x - 1
Exemplos:
Ei Integre / = ftg2x d x
Sabemos que 1 + tg2 x = sec2 x
Substituindo, I = f (sec2 x - 1 )dx, aplicando (2)
/ = f sec2x d x - fd x
I = t g x - x + C
E2 Integre f e tl}X • sec2 x d x
Confrontando a integral proposta com as integrais imediatas já estudadas, vamos concluir que se pudermos escrevê-la sob a forma
f e tgx d (tgx),
teremos a integral imediata (7).
sec2 xdx
J e tgx • sec2 x d x = f e t s x ’ d ( t g x ) = e t g x + c
14 Vimos que a derivada da função sec x é sec x • tgjc, então:
Jsec @ tg @ d(x) = secx + C
/ s e c * tgjccfoc = secx + C (14)
15 Da mesma forma:
f cosec @ cotg (x) d(x) = — cosec jc + C
INTEGRAIS IMEDIATAS 183
f cosec x cotg x dx cosec x + C (15)
Exemplos:
Ej Integre fsecxdx
Esta integral não é imediata, pois não se enquadra nem na (12) f sec2 xdx e nem na (14) f secx tgxdx.
Vamos solucioná-la fazendo-a recair na (5) / U <X- = £n u + C.■' uAssim:
r , r secx(secx + tgoc) , f s e c x d x = / ( x Kc x + tgx] > dx
' \ s r , r sec x + secx • tgx ,/sec x d x = / --------------—------— dx■’ ■ sec jc + tg x
fs e c x d x = fin (sec x + tg x) + C
Ej Integre f cosec x d x
, r cosec x (cosec x + cotg jc) ,cosec x d x = / ---------- ------- :----------- dxcosec x + cotg x
, r cosec x + cosec x • cotg x ,cosec x d x = / ------------------ ;------------- s— dxcosec x + cotg jc
f cosec x d x = — Sn (cosec jc + cotg jc) + C
x16 Seja a função y = arcsen— + C, com a > x.
Diferenciando: dy = — ■ • — dx ou
*
184 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
dy =• — dx = —; -
a V a2 - x 2 -*■— dx
dy =dx
y / ã ^ V 2
Integrando membro a membro
f d y = f *
y=J /
v j —
dx
d(x) x— ----- _ arcsen------h Cy /a 2 - ® 2 a
fdx j . .= arcsen----- 1- C
a\J a1 - x 1(16)
Exemplos:
Ei Integre I = f dx
será do tipo (3) se a diferencial for a
J y / 16 - 4 x 2
Integrais deste tipo devem ser analisadas, inicialmente, como integrais do tipo (3),
A integral I = / — ■ = = = = ■J y / 16 - 4 * 2
diferencial de 16 — 4 x 2.Vejamos,
d (16 - 4 x 2) = - Z x d x
Na integral proposta I falta o fator x, o que não permite a adaptação. Analisemos, então, se recai na (16).Assim:
/ = / -dx___________ = f _____
y j 16 - 4jc2 V 4 2 - (2 jc)2
Será arcsen se pudermos substituir dx por d(2x).
dx
INTEGRAIS IMEDIATAS 185
®dx
I = f . * = f d (2 x ) - 1 - - n ^ + c V 1 6 - 4 x 2 V I / • V 4 2 - ( 2 j c ) 2 2 4
r 1 • * , / - ./ = — arcsen — + C
E2 Integre / = J x d xV 4 —
Analisemos, primeiramente, como integral de potência:
d (4 — Jt2) = — 2xdx
A presença do x no integrando nos permite escrevê-la
Q ) x d x
I = f v B ? = w f ( 4 - x2r ' ,2d(4- x2)1 (4 — x 2) l/22 J_ C
2
/ = _ v /4 - X2 + C
E3 Integre / = / —V 5 - 3 - 2
Não pode ser integral de potência porque não apresenta o fator x no integrando, portanto, é arcsen.
V 5 - 3jc2 V ( y / l ) 2 - ( V 3 x ) 2
= À f d ( y / í x)V ( ^ 5 ) 2 - (V 3 * )2
r _ J v / j í1 7=- arcsen — -=r + CV 3 v^5
1 X17 Seja a função >> = — arctg — + C.
Diferenciando:
186 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
dy — — ■ a -dx1 + -
dy =
a
dx
dy =
J _ ________
f ' d1 + x2
dxa2 + x 2
Integrando membro a membro:
dxfd y = / •
7 - /
a2 + x2
dxa2 + x2
Então:
/• d(x) 1 . x - „ / ——M —- = — arctg— I- C J a + (x) 8 a
/dx = — arctg — + C
a2 + x4 a a(17)
Exemplos:
dxi, Integre / = / —
Analisemos a fração. Não admite divisão, m < p.I
Não é do tipo — , pois, a derivada do denominador é 2x. Vejamos, então,
se se trata de arctg.
/ = /' <** = /•-_____5 + x2 -, (V 5 )2 + ® 5
I~irm*ví+CEj Integre I = j -
2 xd x16 + x4
Análise: m < p —> Não admite divisão
INTEGRAIS IMEDIATAS 187
D ( 16 + x A) = 4jc3 - > Não é do tipo
Examinemos a possibilidade de arctg:
I x d x
I = í 2xdx _ ,■ 2xdx _ r d (xy i V* ■'aí J. J .16 + J 42 +(.x2)2 42 + ( @ )2
1 X/ = ^arctg — + C
Integre I = f——■ x 2 + ■4 jc + 9
Análise: m < p ------- > Divisão, não.I
D (x2 + 4x + 9) = 2x + 4 > — , não.u
O trinômio x 2 + 4 x + 9 é infatorável, pois A < 0.
Exame de arctg:
dx r dx1= f 5 --------- = f-•’ „ 2 _ L A _____L A _L C ■’ !
= /
x 2 + 4x + 4 + 5 ’ (x2 + 4 x + 4) + ( V 5 )2
9
dx(x + 2)3 + (V ? )2
dx
f d (x + 2)_________ 1_ x + 2 , „■f dV5 )2 + ( x + 2 ) 2 V J 3 1 0 8 v i
TABEtA II Integraú Imediatas
1 Jadx = a f d x
2 J(du + dv - dt) = fd u + f d v - Jd t
3 J ® n d(x) = - ^ Y + C, n * —1
188 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
4 j d x = jc + C
5 f ^ = S n x + C e / ^ = £ n „ + CJC J u
6 1
7 j e ® d ® = e x + C
8 /sen ® d ® = — cosjc + C
9 1 cos ® d ® = sen jc + C
10 Jtg ® <f ® = — 2n cos jc 4- C = 8n sec jc + C
11 J cotg ® d ® = £nsenjf + C = — £n cosec x + C
12 Jsec2 ® d ® = tgjc + C
13 /cosec2 ® d ® = — cotg jc + C
14 J sec ® tg ® d ® = secx + C
15 Jcosec ® cotg ® d ® = — cosec jc + C
16 í - aresen + C, a > jc J V a2 - ® 2 a
17 r <*(*) 1 , * . ^1 — h rrr = — arctg-----1- CJ a2 + ® 2 a a
6.5 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
PRi Integre I = f x 2 (7 — 4 x 3)*dx
Resolução:
Poderíamós desenvolver a potência indicada e o resultado multiplicar por x2, recaindo na integral de uma soma.Analisemos, porém, a possibilidade da integral de potência. A diferencial deve ser a diferencial da base da potência
d (7 — 4jc3) = —12 jc 2 dx
Na integral proposta falta, apenas, o fator —12.Entío,
I
I = f x 2 (7 - 4 x 3)8dx = - J 2 f - 12x2 (7 - 4x3) 8dx
INTEGRAIS IMEDIATAS 189
/ = - / ( 7 “ 4x3) 8 d c T ^ Í I 3)
1 (7 - 4 x 3)9 Í 2 ---------9------ + C
_ (7 - 4x3)108
PRj Integre / = f y / x 4- 4 dx
Resolução:
Análise: d(x + 4) = dx - - > potência
dx
I = /V jc + 4 dx = / ( x + 4 )1/2d(x + 4) = + 34) - + C
/ = - y (x + 4) y /x + 4 + C
PR3 Integre / = f y / x ~ (x2 - 3x + 1 — y fx )dx
Resolução:
Efetuemos o produto, lembrando que yfx~ = x 1/2, então:
/ = / ( x s/2 - 3x3/í + x i/2 - x ) d x
/ = / x 5/2dx - 3 f x 3/2dx + f x i n dx - f x d x
y 7 /2 5/2 v 3/2 „ 2/ = —— __ 3 —— -f —------ — + c
7 5 3 2
,2. _ 2 x 3 y fx _ 6x2 Vx~ 2 x \Zx~ _ x_7 5 3 2 C
do t * r r 2 cos xdx PR4 Integre / = J -y / T + sen x
Resolução:
Análise: Potência: d (1 + senx) = cos x dx — > É potência
190 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
l _ j —2cosxd x j | - ( i + senx)"1/2 cosxdxV l + sen jc
cosjtdx
1 = 2 f ( l + senx)_l/2 d ( l + senx)
C[ _ 2 O + sens)1/2 +
2
/ = 4 V 1 + sen x + C
PRS Integre 1 = f tg3x • sec2 xd x
Resolução:
Potência: d (tgjf) = sec2 x d x -> é potência
/ = / t g 3 x sec2 xdx = / t g 3 x d ( tg x ) = + C
Regra R , : “Todas as vezes que um ou mais fatores do integrando for derivada da base do outro fator, teremos a integral de potência.”
No exemplo dado,
sec2 x é a derivada da tg x.
PR6 Integie 1 = J sec4 jc • tgxcfcc
Resolução:
1 = /sec4 x • tgxdx = f sec3 x • sec x tg x dx
derivada da sec*
Pela regra dada acima
secx tg xdx
I = f sec3 x • d (sec jc) = ^ *- + C
PR7 Integre I = f dxcos x
Resolução:
/ = f cos'4x • sen xdx
Análise: A derivada de cosx é — sen x = = > potência
I = fcos~4 x • senxdx = — / cos'4 x (— senx)dx
— sen xdx
INTEGRAIS IMEDIATAS 191
/ = — l— + C3 cos3 x
PR 8 Integre / = f ,sen x ^ cos x
Resolução:
. r sen4 x , r sen4 x ,I = I ---- z— dx = / ---- ----------- — dx■ cos X ' cos X • COS2 X
I = ftg4 x • sec2 xdx = f t g 4 x d ( t g x )
d (tg x)
, - Jsr L + c
d o I * r ( 1 + s e n 2 x jPR9 Integre I = / ------- -------dxcos x
Resolução:
Análise: m = p — > divisão
. r l + sen2 x , r ( 1 sen2„ , . / = J ------- r------dx = J — — + — — ] dxCOS X \ cos X COS
/ = J (sec2 x + tg^x)dx = I (2 sec2 x - l)dx
sec2x — 1
7 = 2 fsec2 xdx - J dx
/ = 2 t g x - x + C
, #3 _ 9^2 _Lt _ iPR io Integre I - / ------------—---------dt
V i
192 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Resolução:
Análise: Denominador monómio — > divisão
1 = f t m ~ dt = ~ 2f3/i + ~ r i n )d t
/ = jt^dt - 2ft3l2dt + J'tindt - f r indt
,7 /2 f.S/2 *3/2 ,1 /2I = —=----- 2 - 4 - + - V - — — r~ + C
f i n *5/29 i ___
*3/2 4. i ___ t l n
~ 2 5 + 3 12 2 2 2
__ . xdxPR a Integre / = J
V 4 - x2
Resolução:
Análise: d (4 — x 2) = — 2xdx > potência
/ = / = / ( 4 - x 2) - |/2xdxV 4 - x 2
ou, multiplicando e dividindo por - 2:
d(4r x2)
/ = —L 1(4 — x2) - 1/2 (-2 x )d x = —j f ( 4 - x2) ' 1/7d ( 4 — x 2)
1 (4 — x2)m 1 ~ 2 ]_ L
2
/ = _ v^4 - x 2 + C
PRi2 Integre 1 = 1 ^\ / 4 - x2
Resolução:
Análise: Potência: d (4 — x 2) = — 2xdx = > não, porque falta fator— 2x no numerador do integrando.
É Arcsen porque é do tipo / —,
INTEGRAIS IMEDIATAS 193
I = I — , *** = / / . d ® = = arcsen■— + C• V 4 - x 2 • V 22 - © 2 2
PRX3 Integre /= / / -4 * cfac, com —4<jc<4 .
Resolução:
Preparemos a integral /.
4 - jc j ,• \ / 4 - jf ,7 7 — = -■ - -dbc4+JC • V 4 T 7
/ = f ^ E Z ' ^ E I dx = f ,V 4 + Jc • \ /4 - jc ' V (4 + Jt)(4 - jc)
/ = f .4 * dx ' V 1 6 - X 2
Desdobremos em duas integrais:
V l6 - x2 \ / l 6 - x2
À semelhança dos exercícios PRl2 e PRn a integral (T) é potência.
- 2 xdxx 17 = 4 arcsen —----- — / ( 16 - x2)_1/2 d(16 - x 2)
x , 1 (16 - x 2)1'2' T x X
X
7 = 4 arcsen 4 + V l6 — x 2 + C4
PR , 4 Integre / = J x x + 2 dx
d
arcsen e a
194 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Análise:
m > p => divisão = > jc3 - x + 2
- J C 3 + JC2
- JC + 2- x 2 + x
X - 1
x 2 + X
Então:
/ = f ( x 2 + x +X - 1
-) dx
1 = j x 2dx + fx d x + 2 'ldx
x - 1dx
T - * l - 4-JÍÍ-J--7 f d (xL ~ 3 2 ■' x - 1
/ = y + y + 2 f i n ( x - 1) + C
/ = T + T + Èn(jc_1)2+C
PR is Integre / = ) tg2 xd x
Preparemos a integral
/ ■ I (see2 x — 1) dx
I = f sec2 xdx - I dx
I = tgx - x + C
(expoente par)
PR )6 Integre 1 = f t g 3 xdx
Preparemos a integral
1 = f tg2 x ■ tgxdx (expoente ímpar)
1 = 1 (see2* - l)tgxcix
I = f tgx • see2 xdx - J tgxdx
1 = J t g x d ( t g x ) — f tg x d x
T ___ ^ X . _ ----- . . J_ / " I
PR i7 Integre 1 = f sen2 2xdx
Como o expoente do seno é par, substituímos
2 „ 1 - cos4x . /■ 1 — cos 4x sen 2x = ----- ------ - = = > / = / ------ -------
INTEGRAIS IMEDIATAS
I = \ I dx - - i - / cos 4x dx
x sen 4x2 8
PR is Integre / = / sen3 xdx
O expoente é ímpar, preparemos a integral.
= f sen2 x • senxcix
= / ( I — cos2 x) sen xdx
* - d (cos x)
= [sen x d x — f cos2 x • sen x d xJ • \____________/Ri
= — cos x + I cos2 xd(cos x)
= — COS X + ■ + C
PR 19 Integre / = f x • sec4x2 íi>c
A integral fsec (x) d(x) = fin(secx + tgx) + C
Preparemos a integral:
8 jccfcc
I = I x s e c 4 x 2dx =-r- jsec 4 x 2 t /(4 x 2)
I = -g-£n(sec4x2 + tg 4 x 2) + C
PR20 Integre / = j sen4 xdx
Como o expoente é par, vem:
/ = f sen4xdx = f sen2* • sen2xe£c = fsen2x ( l
I = f sen2 xdx - f sen2 x cos2 xdx
® ®
Integremos a @
a r 1 j f 1 ~ cos 2x , 1 f , 1 A = Jsen* xdx = J ------- ------ dx = — J d x — y
A = -y - -y • y /co s 2 x d(2x)
A _ x sen 2x , ^^ ~ 2 -------4
196 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Integremos a (B)
B = /"sen2 x cos2 xdx /4 sen2 x cos2 xdx
(2 sen* cos x)2
D l r 2 - j 1 r l - cos4x ß = - 4- / sen2 2xdx = — J ------------- dx
x sen 4x T 32~
B = ^ - - + C 2
Como I = A - B
T x sen2x . x , sen4x „-------+ C i ~ T + ^ 2 ~ - C2
. 3x sen 2x sen4x . „ , n1 = — — 4- + 32 + C onde C — C1 -
■ * r /' / 1 + sen x ,PR21 Integre I = / -j----------- - dx''V 1 — sen x
Preparemos a integral
, /■ v T + sen x V 1 + senx ,/ = J • ----------- dx
V 1 — sen x V 1 + sen x
— cos2 x)dx
(cos 2x ^x
INTEGRAIS IMEDIATAS 197
r r 1 + sen x , r 1 + sen x ,I = I . ==• dx = I ------------- dx
V 1 — sen5 x ' cosxI
- U
• 'co sx J cosx
u
I = /sec x d x - Sn coax
/ = Sn (sec x + tg x) — Sn cos x + Sn C
1 = Sn ^(sec x + ^ *) ou / = £n C(sec x + tgx) • sec xcosx
PR 22 Integre / = /senóx • cos 2xdx
No integrando temos o produto de um seno por um co-seno.Se os arcos fossem iguais, teríamos a integral de potência ou de seno.Da fórmula trigonométrica
. p + q p — q , „2 sen ■ - - y ■ cos = sen p + sen q, fazendo
^ 2 = 6x e ^ 2 ^x > p = 8x e q = 4x, vem:
2 sen 6 x cos 2 x = sen 8x + sen 4x
sen 6x cos 2 x = y (sen 8x + sen 4x)
Então:
/ = I sen 6 x cos2xdx = y - /(sen 8x + sen 4x)d x
/ = y Jsen 8 xdx + y j sen 4 xdx
/ = y • y /sen 8x d ( 8x) + - - • y Jsen 4xd (4x)
_ cos 8 x cos4x16 8 C
PR23 Integre / = J sen (mx) • cos(nx) • d x
Temos o produto de um seno por um co-seno de arcos distintos. Usemos a fórmula trigonométrica que transforma este produto em soma.
198 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
„ p + q P - q ,2 sen r 2 cos 2 = sen p + sen <7
sen P * g cos P — = "-(sen p + sen q) (1)
Façamos:P + <7ÍL~YL = m x f p + q = 2 m x
E— J L = n x [ p - q = 2 nx
somando membro a membro f> 2p = 2(m + n)x ------>
> p = (m + n)x
subtraindo membro a membro -------> 2q = 2(w - n)x ->
- > q = (m - n)x
Substituindo na (T)
sen(mx) • cos(njc) = y [sen(m + «)x + sen (m - h)x]
Substituindo na integral I ■ - ■ >
I = — f [sen (m + n )x + sen(m - n)x]dx, que é integral de soma.
Logo:
/ = -y /[se n (m + rí)x]dx +-^-/[sen(w - «)jc]dx
Teremos duas integrais de seno se prepararmos convenientemente a diferencial dx, pois
/sen @ d(x) = — cos x + C
Então:
(m + n) dx1 _ 1
m(m - n )dx
1 = — • — ;— f[sen(w + n)x] d(m + «)x + 2 m + n J
+ 4"’ — "— I [sen(m - ri)x]d(m - n)x2 m — n J
cos(ffi + n)x cos(ffi - n)x , _2 (m + n) 2 (m - n)
INTEGRAIS IMEDIATAS 199
Temos o produto de dois co-senos de arco., diferentes. Da trigonometria tiramos
PR 2 4 Integre / = / cos (wjjc) cos (nx) dx
que transforma o produto de dois co-senos em soma. Se fizermos
decorrerão
p = {m + n)x e q = (m - n)x
e a fórmula trigonométrica ficará:
2 cos (mx) cos (nx) = cos (m + n)x + cos (m - n)x
Substituindo na integral / o produto pela soma, vem:
transformável na soma de duas integrais de co-senos.
. p + q p - q ,2 • cos r ■ cos — = cos p + cos q
e
/ =
1 =
Preparemos as diferenciais
(m + n) dx
2 m + n J [cos (m + n ) x ] d (m + n) x +
-— J [cos (m - n )x ]d (m - n )x
(m - n) dx
2 ( m + n ) 2 (m — n)
PR2s Integre I = J cos 4x cos 3xdx
200 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Basta aplicarmos a fórmula do PR24
_ sen(4 + 3)x sen(4 - 3 )s 2(4 + 3) 2(4 - 3)
T sen7x senx 1 ~ 14 2 C
PR26 Integre 1 = 1 sen(mx) • sen(nx)dx
Temos o produto de dois senos.Da trigonometria tiramos
. p + q p - q— 2 sen ^ sen - ■ ^ - - = cos p — cos q
ou
p + q p - q 1 , .sen ■ ■ sen = — 2~(cos P ~ cos <V
Considerando as substituições feitas no PR23, vem:
I = - - i- J [ c o s (m + n ) x — cos(m - n)x]dx
I = - -y |[cos(m + n)x]dx +-^-f[cos (m - ri)x\dx
1 = ~ T ’ m + n J [cos(m + n) x 1d[(jn + m)x] +
+ ~ 2 • ' n J [cos(m - n)x]d[(m - n)x]
_ _ sen(m + ri) x sen (m - n )x2 { m + n ) 2 (m - n)
PR27 Integre I = l ~' e
Parece-se com a integral
f e ® d ® = e x + C
De fato: / = fe~x dx
Preparemos a diferencial
/ = _ fe © d { - x )
/ = - - ! r + C e
PR28 Integre / = f faw x
Desenvolvamos o quadrado da diferença
. ,■ a — 2 V ã x + xI = I ----------- -=------dx\ / x
INTEGRAIS IMEDIATAS 201
I = - e~x + C ou
Efetuemos a divisão, pois, o denominador é o monómio x 1'2.
/ = f ( a x - u l - 2Vfl" + x U2)dx
I = a f x - 1,2dx - 2\T a [dx + f x ' /2dx
„ 1 /2 3 /2I = a —j— — 2 \ f ã • x H— — + C
T ~2
I = 2 a \ f x - 2 x V ã + + c
PR 29 Integre I = I x + 1-----dx■ x 2 + 2x + 3
Análise:
Fração com m < p = ■ - > não admite divisão.
Derivada do denominador — > D ( x 2 + 2x + 3) = 2x + 2I
é do tipo — , basta multiplicar e dividir o numerador por 2.
Então:IU
r 1 r l x + 2 ,/ = T :---------- dx2 J x 2 + 2x + 3
/ = y 8n(x2 + 2x + 3) + C
/ = Cn n/ x 2 + 2x + 3 + C
__ r x2dxPR 30 Integre / = / —= =V * 3 + 1
Analisemos a possibilidade da / (x) nd (x)
A d(x3 + 1) = 3x2dx, portanto, a presença do x 2 no numerador, admite a preparação.
/ = y f ( x 3 + 1)-1/2 • 3 x 2dx
3 x2dx
/ = j-f(x3 + l)-l/2dõ^M)
1 (x3 + l ) 1'2 1 3 J_
2
i = -f -V*3 + i + c
PR 31 Integre / = / x 2 V 1 + x dx
Na forma que está, não podemos transformar em integral de potência. Façamos a integração por artifício de cálculo (substituição)
.— ---- f ----- > dx = 2tdtSe V 1 + x = t > 1 + x = t •< ,
> x — t — 1
Substituindo em /
/ = J \ t 2 - l ) 2 • t • I t d t
I = / ( r 4 - 2 r2 + 1) 2r2dí
/ = / ( 2 f 6 — 4?4 + 2 t2)d t Integral de soma
I = 2 I t 6dt - 4 [t*dt + 2 }'t2dt
2 f 7 4 f 5 2 f 3
Voltando à variável x [t = V 1 + x ou f = (1 + x )1/2]
•e4Jr + 2 PR32 Integre / = / — <íx
202 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
/ = y (1 + x)7/2 - - y (1 + x)s/2 + y ( l + x )3/2 + C
INTEGRAIS IMEDIATAS 203
Efetuemos a divisão:
/ = I ( - — + — - ] dx1 ' e3X e3X
I = I(ex + 2 • e~3x)dx Integral de soma
I = lexdx + 2 fe~3xdx Integrais de exponenciais
-3 dxI = ex + 2 • [e~3x 7 ( ^ 3 x )
I = ex —-j-e~3x + C
í = ex - + C 3e3X
r ex - 1PR 33 Integre I = / — ------dx' e + 1
Análise: A fração pode ser desdobrada, assim: u
/ = ----- dx - f — 1— dx■ ex + 1 •' ex + 1
ut
A primeira integral é do tipo — , pois D(ex + 1) = ex , então:
I = 8n(ex + 1) - /' — -— dx ' e + 1
IU y,A 2? integral seria do tipo — se tivesse e no numerador. Portanto, somemos
e subtraiamos ex ao numerador.
/ = Sn(e* + 1) - \ ‘ ' / ~1 + - e*
+ 1u
I = En(eJt + 1) — / - + dx + / — ----- dxex + 1 ■ e* + 1
u
/ = ín (e x + 1) - /dx + 2n(e* + 1)
/ = 2 En (ex + 1) - x + C
/ = - x + Sn (ex + l )2 + C
204 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
-4X _ 2X I iPR 34 Integre I = / --------- —-------- dx
a
Análise: O denominador é monómio, efetuemos a divisão.
/ = / (a2x — 1 + a~lx )dx Integral de soma
I = f a2Xdx - /dx + f a ~ 2xdx
Preparemos as diferenciais
I = Y f a 2xd (2 x ) - f d x + — f a ~ lx d ( - 2 x )
a2x a- 2xI = ------- * - ^ — + C2 £n a 2 Sn a
2PR 35 Integre I = J e3x • xd x
Análise: A integral I é do tipo j e ® d ( x ) , pois o fator x do integrando permite a adaptação da diferencial para d ( 3 x 2) = 6 xdx.
d(3x2)
1 = ^ y l 'e3x2 © x d x
e33*2 / = -^ -r-+ C
PR 35 Integre / = J -— dx
Análise: A fração pode ser desdobrada era duas.
I = f U - ^ - ) d x
/ = [ È L - C ^ d xJ X J X
I = Enx - í ' 4 ü n x ( ^ l\ x y
/ -= Enx — 4 f ü n x • d (S n x )
INTEGRAIS IMEDIATAS 205
/ = £n x — 2 £n2 x + C
PR 31 Integre / = J'einx ~
Análise: Preparemos a diferencial.
/= J e in X ( ~ ^ ) = J e in x d ( & n x )
I = e en* + C
PR38 Integre 1 = _/«*** sec2 xdx
Análise: Preparemos a diferencial
/ = f a ^ Ç séc2 xdx) = J a tsx d ( tgx)
/ = + C £na
r dx PR 39 Integre I = f eVx
Análise: Devemos transformar dx em d (V x ) .
Sendo d (V x ) = —y=- dx e como / = (2) J 6,— uvi v w i u v ; i — v^r/ / .—2 \/x ' © V 7
I = 2 /e N/7d(\/T)
/ = 2 e ^ * + C
P R 4o Integre I = f ( e x/n + e~x/n)dx
Desdobremos em duas integrais
/ = f e x ,ndx + fe~x,n dx
Preparemos as diferenciais
' x sI = n .fex / n d ( ~ j - n f e - xln d
206 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
/ = ne* + C
I = n(e x m ~ - x i n ) + C
PR<, Integre / = / - f -
Análise:
1 dx1= 1 £n x
u
—> / = fin(finx) + C
PR42 Integre I = f &n e2xdx
Preparemos a integral dada.
/ = f 2 xdx = x 2 + C
PR43 Integre / = / -„Sn sen x
tg X■ dx
Preparemos a integral, aplicando a propriedade dos logaritmos
y = e&nx => y = x
f 8n senx _ senjCj então:
sen jctgx sen x dx
cos x
I = f cos x d x = senx + C
Nota: Para fugirmos ao emprego da propriedade dos logaritmos, prepararíamos a diferencial. ,Assim:
1 = f t 2n senx d (£n sen x)
De fato:
d (Bn sen x) = —-— • cos xdx = cotg xdx = - r ~ senx 0 tgx
Então: / = eEnsen* + C ou / = senx + C.
Análise: O sen 2x = 2senx cos x nos permite substituir sen 2xdx por
d ( 1 + sen2 jc ) = 2 sen jc • cos xdx
Então: / = /(I + sen2 jc) 1 /3 c/ ( 1 + sen2 jc )
/ = 0 + sen 2x )4'3 + c 4
3
I = (1 + sen2 j c ) V 1 + sen2 x + C
INTEGRAIS IMEDIATAS
PR 44 Integre I — f 1 4- seri x sen 2xdx
207
PR4S Integre / = /r sen jc
tg4*dx
r = f - -dx
l — j cos4 jc • sen xdx
Pela regra R , da pág. 2 8 ------ > / = — / cos4 x d (cos jc)
/ = + C
PR 46 Integre / j' sen 6 jc cos 7 jc dx
Da fórmula da pág. 38, PR23 — - >
/ =
cosx
cos 1 3 jc cos(—jc) 26 2 + C
. _ cos 1 3 jc cos jc , ^
26 2 ~
PR47 Integre / = f x4 - * 3 + 3jc
jc + 3dx
Análise: m > p => divisão
3 x
- JCj c 3 + 3 jc
3 jc
X 2 + 3
JC — JC
Então: I = I f x 2 - x H— — 'idx •'V x 2 + 3 J
Decompondo na soma de integrais -
208 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
=> / = f x 2dx - f x d x + 3 f — -------dx' x + 3
D (x2 +3) = 2xU
f _ X 3 X 2 1 r © Xi = -5-------+ 3 • — --------- dx
3 2 (D ■’ x 2 + 3
/ = - 4 - ^ - + 4 fin(Jc2+3) + C
PR48 Integre / = / dx
Podemos escrever / = qUe Jq tipo /■1 + tgx n r ■'
dxx
Logo,
/ = En(l + tg x ) + C
PR 49 Integre / = ./■4x - 5x + 1d x
Análise: m = p = > divisão
4 x 2 - 5x + 1-4x2 + 4
5x + 5
1
4 + — 5x + 5 x 2 - l
Logo, / = / 4 - 5 x - 1 dx
/ = 4 fdx - 5 / * 1
/ = 4 x — 5 f —^-T•' X + 1
(x + l) (x - 1)
dx
dx
= fin x + C
d (x + 1)
INTEGRAIS IMEDIATAS 209
x + 1
/ = 4 x — 5 8n (x + 1) + C
I = 4 x — 5 í
PR só Integre / = f ■ ^' V 9 - 4 x 2
Análise: não é potência, pois, d (9 - 4x2) = —8 xdx. Falta, portanto, no integrando o fator x.Será arcsen se substituirmos dx por d (2x).Assim:
/ = 1 f d (2 x )2 ‘ V 32 — (2 jc)2
/ = y arcsen -y - + C
PR5! Integre / = / .* ^ - dxV 5 - x 2
Podemos decompô-la em duas integrais.
I = f r dx — 2 j ,2' V 5 - x 2 ' y / T — x ‘
| 1 | potência | 2 | arcsen
Q ] = / ( 5 - x 1Y i n x d x = - j K j l S - x 7y u ï ( - 2 ) x d x
[ 0 = - y / ( 5 - j c 2)"1/2d (5 - x 2)
[ T ] = - f ( L ^ + Cl = _ V ^ + C l
2
|T | = /- ^ = arcsen — + C^ J V ( V s ) 2 - ^ V ?
Como / = Q ] — 2 [2 ] > / = — V 5 — x 2 — 2 arcsen * + CV 5
dx
210 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PR52 Integre / = JV - 8 + 6x - x
Vejamos se o radicando pode ser escrito sob a forma de diferença de 2 quadrados
I = fV (D — (T) — 8 + 6x - x2 V 1 - 9 + 6x - x2
W . y , * ......... „ = / - *V 1 — (9 — 6x + x 2) V l 2 - (3 - x)2
Se substituir dx por
d ( 3 - x )d (3 — x) = - dx -----> I = - j -V l 2 - (3 - x)2
/ = — arcsen (3 — x) + C
PR 53 Integre / = i ^
Será arcsen se pudermos substituir dx por d (ex ) = 2 x • e* dx
1 r 2 x e x* dx2Preparemos: / = ■!•/ / ^
2 V 3 2 - (e* )
7 = "T/ " / d = "7 “ “ e11 ^T" + c 2 V 32 — («**)’ 2 3
__ , , . r 2 secx tgxdx PR 54 Integre / = J 6 r
V 4 — sec x
Podemos escrever imediatamente
1 = 2 f d & c x l ,ogo:V 22 — (sec x)
/ = 2 a r c s e n ^ + C
_ _ T i r r 2 sec2 x tg x ,PR55 Integre / = ] ,— dxV 4 — sec x
Difere do P R 54 no expoente da sec x.
Não teremos arcsen e sim integral de potência, pois,
d ( 4 — sec2 jc) = — 2 sec x • sec x • tg xd x
Então:
/ = — _/(4 — sec2 x ) - in d ( 4 — sec2 jc )
J = _ ( 4 - sec2 jc )1/2 + c
T
I = — 2 y / 4 — sec2 x + C
INTEGRAIS IMEDIATAS 211
. r /• 2x*dx PR 56 Integre / = / — ,V 9 — 2 JC
Quando o expoente do denominador for diferente de 1, devemos analisar primeiramente a possibilidade l ( x ) n d ( x ) .Então:
d ( 9 - 2 jc6 ) = - 1 2 j c 5 d x
Na integral dada temos o numerador 2 x 7dx, concluímos não ser integral de potência.
d ®Analisemos a possibilidade /•s/a2 - © 2
3x /T x 2 dx
r x2dx 2 f d ( y / 2 x 3)
' y j 3 1 — ( V T jc3 ) 2 3 n / 2 ' y / i 1 — ( \ / 2 jc3 ) 2
3/ = — — arcsen — -— + C
3>/2 3
PRn Integte i = - \ — j=È= V 4 jc -
Transformemos o radicando na diferença de 2 quadrados. Assim:
/ = / *V © — (4) + 4 jc - jc2
212 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
dx dx
V 4 - ( 4 - 4 x + x 2) V 2 2 - (2 - x)2-dx
_ r d (2 - x )
/ = — arcsen
V 22 - (2 - x)2
2 - x•+ C
PRs8 Integre 1 = J * 1 dx 16 + x 1
Podemos decompô-la na soma de duas integrais. Então:
T í 2x r dx1 = J 7T~. i ^ + I16 + x2
I = Sn(16 + x2) + /■
16 + x 2
42 + @ 2
/ = Cn(16 + x2) + - j arctg^- + C
PR 59 Integre / = f
:vamos
' = /
dx' 17 + 8x + x 2
Escrevamos o denominador sob a forma de soma de 2 quadrados
dx _ r dx1 + 16 + 8x + x2 • 1 -K4 + x)2
17
dx
r d (4 + x) = l 2 + (4 + x)2
PR60 Integre / = /3 x + 2x — 1
x2 + 4
arctg (4 + x) + C
dx
Análise: m = p ------- > divisão
3 x 2 + 2x — 1— 3 x 2 - 12
2x - 13
x2 + 4
Então, substituindo,
/ = í 13+ 2* ~ 13 1 dx x + 4
IU
INTEGRAIS IMEDIATAS 213
1 = 3 fdx + [ -2.XdX - 13 / *x 2 + 4 *' x 2 + 4
u
d ®I = 3x + Sn(x2 + 4) - 13 /'
•' 2a + ® 2
/ = 3x + £n(x2 + 4) - — arctgy + C
- . . r sec2x d x PR 6, Integre / = / —- — —■ 9 + tg x
Análise: O denominador é a soma de 2 quadrados. rf(tgs)
sec2 xdx __1_ Ag*/ = f - r - = -fa rctg ^ + C3 + (tgx) 3 V 3 /
.A r r exc/x In“ *“ ' =
Análise: O denominador é a soma de 2 quadrados.
e* d x 1 ex
" J (VTÜ)2 + (e*)5 “ VIÕ 7 ^ +
PR 63 Integre / = / cos X<ÍX 4 + sen2 x
Podemos escrever / — /
d (sen x)
cos x d x 4- ícan2 + (sen x)
, 1 sen xT arc g 2
PR M Integre / = f - f * ---- 1 1 + sen x
(
214 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Análise: O denominador não é soma de 2 quadrados, não teremos, então, arctg.Preparemos, usando o conjugado do denominador.
= f-(1 — sen x)
(1 + senx)(l — senx), r 1 — senx , dx = I ---------- -— dx
1
1 — sen2 x
senx dx
i sen x see x - 1dxcos x cos x
= fsec2 xdx - I secx • tgxdx
= tg x — sec x + C
__ . . r 2 sen x d xPR 65 Integre 1 = / ------- -----—
4 + 3 cos x
Preparemos a soma de 2 quadrados no denominador.
—\ZTsen xdxS~
sen x d x1 - 2 f
d (V 3 cos x)
22 + (V 3 cosx)2 \ /3 ' 22 + ( \ f i cosx)
. 2 1 V 3 cosxTf ’ ~2 arc g 2V 3 V 3 cosx
/ = - — arctg-------- — + C
PRjs Integre / sen" u cosm udu
19 caso: Onde f f lo u n é inteiro ímpar.Suponhamos m ímpar
/ sen” u cosm udu = / sen” u cosm_l u cos udu, com m — 1 par.
Podemos escrever:m -1
/sen” u cos”1 udu = f sen" u (cos 2 u)2 cos udu
Permutando os expoentes ■ >m -i
> f sen" u cos”1 udu = / sen" u (cos2 u) 2 cos udum - 1
/sen” u cosm udu = f sen” u (1 — sen2 u) 2 cos udu
Efetuando o produto, poderemos desdobrar em 2 integrais:
/ sen" u cosm udu = j sen" u cos udu — / (soma de termos envolvendo
INTEGRAIS IMEDIATAS 215
sen u) cos u du
Como d (sen u) = cos udu recairemos ao tipo / vkdv.
PR 6-, Integre / = / sens x cos4 xdx (Aplicação do PR66)
Sigamos a dedução: 0 expoente ímpar é o expoente do seno, então:
/ sens x cos4 x d x = / sen4 x • sen x cos4 x d x
Isens jc cos4 x d x —
I sens x cos4 xdx
• sen5 x cos4 x d x =
Isen5 x cos4 x d x =
I (sen2 j c ) 2 cos4 x • sen jc dx
I ( 1 — c o s 2 jc) 2 c o s 4 x s e n jc dx
1(1 — 2 c o s 2 jc + cos4 j c ) c o s 4 jc senjcdx
Icos4 x sen x d x — 2 /cos6 jc senjc dx +
+ /cos8 x senjcdc
— sen x dx
I sen5 x cos4 x d x = — / cos4 jc d (cos j : ) + 2 / cos6 j cd (cos jc )
— / cos8 x d ( c o s j c )
/sen5 x cos4 x d x = — cos5 jc , 2 cos7 jc cos9 JC+ C
PR 68 Integre I = / SCn Z dz
Façamos
, ,-sen2 z' , dz = / ---- — sen z az
/ = / cos 2 2 (J - cos2z) s e a jd z
Efetuando o produto, vem:
/ = I cos-2 z sen z dz — /senzdz
- sen z dz
I = — I cos-2 z d (cos z) + cos z
216 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
, COS 1 zI = -------- 1— + cos z + C
I = —------H cos z + C ou / = see z + cos z + Ccos z
PR69 Integre I = /sen” u cos"1 udu com n e m inteiros pares.
Lembremos que sen u cos u = sen 2u,
, 1 — cos 2u sen u = -------------
2 1 + cos 2 u cos u = ------
Faremos 7 = / (sen2 «)"/2 (cos2 «)m/2 du
Substituindo sen2 u e cos2 « >
1 — cos 2 u \ nn ( \ + cos 2« m/2, r 1 - COS \ / 1 -I- COS ZU V , / = . / ( ------- 2 ) [ -------— > dU
Desenvolvendo as potências e os produtos teremos / cos 2 udu
PR 70 Integre / = /cQS6 x d x
Sigamos as considerações feitas no problema anterior.
I = f cos6 x d x = I (cos2 x)3dx
. c ( \ + cos 2 x \ 3 ,I = f { ----- 2------) *
I = + "l" cos 2* +-^- cos2 2x + -5- cos3 2 x ) dx
2 dx
I = [dx + - | - y fcos2xd (2x) + - /cos2 2xdx +-^- /cos3 2xdx
I = 4 + ^ sen 2* +•§• dx + Y /cos2 2x • cos 2xdx8 i6 8 J 2
/ = Y + ^ sen2 * + - ^ / í i c + -^/cos4ji:dx +
INTEGRAIS IMEDIATAS 217
+ j / (1 — sen2 2x) cos 2xdx
/ = + sen 2x + / cos 4 x d (4 x) +-^- /cos2xdx
— „■ / sen2 2x • cos 2 xdxO •
/ = + T^sen 2x + -^r sen4x + 4 - • 4 / cos 2x d (2.x) — -3- • lo 16 64 o Z ■ o
2 cos 2* dx
• — / sen2 2 * d (sen 2x)
. _ 5jc 3sen2x 3 sen 4* sen 2x sen3 2x Tó 16 64 16 _ 48
. _ 5x , sen 2x 3 sen 4x sen3 2x 16 4 64 ~ 48
PR7j Integre 1 = j sen2 2x cos4 2x dx
Solução:
Podemos escrever
I = /sen2 2x(cos2 2x )2 dx
r r( 1 — cos 4*^ (1 + cos4x \ 2 , / = ■/ -------7------- -------õ------ ^
, r( 1 c o s 4 x \ / 1 , cos4x . cos2 4 x \ ,l = í ( t — r ( 4 + — + - 4 — ] ^
1 . cos 4 * , cos2 4 x cos4 jc cos2 4 x/= ç l + ç o m +8 4 8 8 4v________ _________y
cos 4x • cos2 4x , , dx8
/ = -- [dx + —Jicos 4xdx - ^ /cos2 Axdx — /cos4x • cos24xdx
I = +-|- - j /c o s4 x d (4x) - j f 1 + ^°S 8X dx -
- y /cos 4x (1 — sen2 4x)dx
218 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
r x , sen4* 1 r , 1 1 „ t /„ ^1 = ~8 + 32 _ 16 ldx ~ 16 ’T -/C0S*x d i *x) ~
4 cos 4xdx
— -g- • / cos 4jc d (4x) + f sen2 4x d (sen 4jc)
. _ x , sen 4x x sen 8x sen 4x . sen3 4 x _8 32 16 “ 128 32 96~
r _ x sen 8x . sen3 4x16 128 96 C
6.6 - PROBLEMAS PROPOSTOS
Integre:
r x 2dx PPi f
' V 16 — 4x3
Resp.: — 16 — 4jc3 + CO
Resp.: - v Ç + C
PP 3 f ( - J ~ X 2V X -----7=^)dx
1 3 , 3 / - 2 / -5esp .:----- — - - n r r v J í - t ^ v i + C
2x 10 3
PP4 / ( 3 x + l ) 2dx
19Resp.: 4-(3x + l ) 3 + C
PP; f (2 x 2 + 5)s x d x
Resp.: - ^ O - x 2 + 5)6 + C
PP 6 Ixd x
INTEGRAIS IMEDIATAS
- x 2 - 1
Resp.: fin c V jc2 — 1
. sec^xdx J t g x
Resp. ; ín C ■ tg jc
PP8 /cos4 jc senjcdx
„ c o s 5 jc . _ Resp.;--------------h C
PP9 j tg4 3 jc ■ sec2 3 xdx
Resp, ^ + C
PPio Jcotg3 xd x
Resp.: — - °-f - x - — fin sen x + C
„„ . /1 + cos jc ,PP,1 / ------------dx
J v 1 — COS JC
„ n c • senjc „ C „Resp.: fin----------- ;---------- ou fin -—--------- ou fin C(1cosec x + cotg x 1 + cos x
PPi2 J senSjc • senx<2x
n sen 6x , sen 4x , _Resp.: — — g C
PP i3 J'tg3 4xdx
Resp.: j tg2 4jc + j fin (cos 4*)' + C
PPjd J tg4 3 xd x
Resp, - £ | * + * + C
PP is J tê 3 2xdx
Resp, + fin V cos 2x + C
219
cosx)
220 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
D sen 12x , sen 8x , _ R , , p : -------24 16
PPJ6 /sen 10x • sen 2xdx
PPi7 / ( V ã - y / x ) 2 dx
4 x y/ãx x 2 Resp.: a x -------- ---- + — + C
Resp.: - y + x 2 V x2 + 3 V x + C
PP» f ( - J + + 2 dxx ‘ x V x
Resp.: — --------^ + 2 x + Cx V^
dx
Resp.: 6 Vx - - + C
PP21 / ^ dx
Resp.: Y Cn2 x + C
pp22 J V x ( V ã - V x ) 2dx
2 a x V x , r 2 x 2 V x Resp.:---- z-------- x v a + ------ z—
PP f x * ^PP23 - L / X
i?esp.: - jV a 4 + x4 + C
+ C
221
PP24 f — iX —J (a + bx)3
R esp .:------------í--------- + C2 b (a + bx)2
PP f x d x25 (a + bx2) 3
R esp .:------------- -— — + C4 b(a + bx2)
PP /• ~ x 7dx26 (a + b x 3) 2
Resp.: ---- -— 1-----— + C3 b (a + b x 3)
PP27 Jx(a + bx3)2dx
Resp.: - + C
PP28 / * ■ (5 + 3 x 2f d x
(5 + 3jc2)9 , „Resp.: ------~4 + C
PP29 f x 2 l / 7 - 4 x 3dx
Resp.: - ^ -(7 - 4x3)6/s + C
PP3o / V 1 + 2 sen x cos xdx
5esp .:-^ (l + 2 sen x ) 3'2 4- C
PP31 / x " ' 1 \ / a + b x n dx
Resp.: (a + b xn) 312 + C
PP32 f~~ X + 3) Wr
INTEGRAIS IMEDIATAS
5esp.; 2 \ / x 2 + 3 jc + C
PP3
PP*
P P 3 5
PPM
PP 37
PP 38
PP39
P P 4 0
222
PP41
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
/■ + 1 ,/ — / dx■ V *3 + 3x
Resp.: ~"\/jc3 + 3* + C
J x V l + x d x
Resp.: y ( l + x )2 v '1 + x —-^-(1 + x) \^1 + * + C
f — — * *a + èe*Resp.: -^-ín (o + Z»ex) 4- C
r sen x ,------------ dxJ 1 — cosx
Resp.: £n(l — cosx) + C
r see2 x ,/ , , — :— dx J a + b • tgx
Resp.: ~ h \ ( a + b • tgx) + C
r2x + 3 ,/ t t t ^Resp.: 2x - £n (x + 2) + C
+ 1
5esp.: — - x + 3ín(jc + l) + C
>' JC + 4 ^ 2 7 + 3 ^
Resp.: -y 4- £n (2* + 3) + C
f - T j = = = d xV 6 - 5jc
flesp.: - \ / ( 6 - 5x2)2 + C
INTEGRAIS IMEDIATAS 223
f f «
Resp.: — £n2 x 4- C
PP43 f e seax cosxdx
Resp.: e%enx + C
PP44 f-e2xdx
■' e2X+ l
Resp.: 611 V e 2* + 1 + C
PP45 f ( e x/a - e -x,af d x
Resp.: ~ ( e 2JC/a - e~2x'a) - 2 x + C
PP“ =- ~ [ í i ? ^ 1 + « J m * J , t i x ,
Resp-: x - ^ Bn +a^ + c Z I \\< £
P P 4 7 f ~ - d x
Resp.: — X + C
„„ rKn(jc + 1)pp» / T h 4
tep.: i í Í ( | ± J l + c
- Á x .
k\ ( £
o l L ci/x _ | _ 3 la * * J H ax
^ 1 , J x rz-
Í m,0
P P 49 /JCíft
p p 50 / T
Æesp.: J2n Vjc2 + 1 + C
3dx+ 2x
Resp.:— i.n ( l + 2x) + C
224 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Resp.: Sn Vjc2 — 4x + 2 + C
pp52 f í L z J Ú l d x
X2Resp.: Cnx — 2x + - y + C
„2PP53 fxe~ X <£t
Resp-: - — ^ T + C 2 ex
PP54 f \ 0 ~ 2xdx
IO-2XAesp- - W m + C
PP55 f x 2 - e lx3dx
Resp.: ± e 2x3 + CO
PP56 /cos3 xdx
D sen3 jc fiesp.: sen x -------------1- C
P P 5 7 ftg* xdx
Resp.: — tgjc + x + C
PP58 /sen5 xdx
n 1 2 3 C0SSX , _Kesp.; — cos jc + - y cos j c ---------------1- C
•'V sen2 x — 1
Jíesp.: Sn (sec x ) + C
PP60 /tgJc • cos x d x
Resp.: — cosx + C
INTEGRAIS IMEDIATAS
n_ r senx • sen2xJ /— 4---- ■;— 2—d*V sen x — 4 sen x
Resp.: 2 Vsen2 x — 4 + C
pp« / - x *V l 6 - 4jt4
1Resp.: — arcsen— + C
a/ÜPP63 f / ^ ^ d x
Resp.: 5 arcsen^- — y/25 — ;
r x 2dx “ 64 J
v T jr1Resp. : — are sen — + C
pp65 / - xZdx\ /9 - x 4
Resp.: - y V 9 - x4 + C
PP66 /x V 1 — £n2 x
Resp.: arcsen(ínx) + C
2 + C
r x e x 2 d x
pp» rT T 7 ^1 v-2Resp.: — aictg e + C
226 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
pp* fjzíh*2V T Í (2x - 3) V IT
Resp.: n ~ arctg -------- —-------- + C
17 + 3 jc2
4 \^ 5 Í xV 51 „Resp.: — — arctg — —— + C
P P 72 f sen5 4 x cos3 4 x d x
sen6 4x sen8 4 x , „ResP': _ _ --------------- + c
PP73 /sen1 5x cos2 5xdx
„ cos3 5x 3 cos5 5x . 3 cos7 5x cos9 5x , R a p . : — ------------25-----+ — 35-------------- 45
PP74 f sen4 2x cos5 2 xd x
sen5 2x 2 sen7 2x sen9 2x Resp, — ------------- - _ + _ _ + C
P P 7 5 f cos8 3x sen3 3 xdx
+ + c
ws, / —'í*J sen x
Resp.: —y co sec3* + cosecx + C
INTEGRAIS IMEDIATAS 227
/• 1 x 1 X ,PP 18 I sen -J cos'1 - j d x
x s e n 2 x ReSp.: T - — j r + C
PP79 I sen4 ax dx
„ 3x sen2ax , sen4ax , _ ^ ; T — 4 5 - + - 3 2 5 " + c
P P so / ( 2
Resp.
sen x )2 dx
9x-T— 4 cos x sen 2x
+ C
( ( J f r ò í2* ) - C£n œ r > [ i y ) ( i î K - íc tf) fc j* ,\
J \ n J *x: (ß> (Z*) oU - j (£o(l r & A ~ [ l* ) cIk z
z M m U ^ ) - / iC w V ^ OoL.
G
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*> 4 ,
: A ü Í 2 f ) G , + c e , 2 ^ ] -V C ,
; _ L fllM.(z*l + A . [Xm CmJ . L fr C z ^ i \ C
- i ^L^ S - v ^ t a
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U^' /ím Í 2- ^
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Z C t o ^
+ £
7INTEGRAÇÃO POR PARTES
Erga-se do chão frio da inércia para o calor do movimento reconstrutivo.
7.1 - GENERALIDADES
Aplicamos a técnica de integração por partes, geralmente, às integrais em cujos integrandos figuram produtos, funções trigonométricas, funções exponenciais ou funções logarítmicas.
Assim, f x ex dx; f x 2 sen x dx; /(arctg x)dx , f [£n(x2 + l)]dx são integrais às quais aplicamos a integração por partes.
Estas considerações deverão ser aplicadas na análise da integral.
7.2 - FORMULA
Como aplicamos a integração por partes quando no integrando da integral temos um produto, partamos da função produto, y = u • v.
Diferenciando:
dy = v d u + udv
Integrando membro a membro, resulta:
fdy = Jvdu + fu d v
y = fvdu + J udv
Mas, y = uv , logo:
«v = Jvdu + Judv
fu d v = uv - Jvdu
(Fórmula para a Integração por Partes)
(F.I.P.)
Exemplos:
Ej Integre I = Jx • ex dx.Análise: Verificamos que no integrando figuram função produto e função exponencial. Tentemos, portanto, a integração por partes.
1 . F.I.P. Judv = uv — Jvdu
2. Escolha de u e de dv.Escolhemos o dv em primeiro lugar, pois deve ser uma diferencial de integração imediata.No exercício, xdx e e*dx satisfazem a cor.dição para a escolha do dv, porém uma delas deverá ser uma má escolha.Façamos: dv = xdx > u = ex .Da escolha: u = ex — > du = ex dx
dv = xdx > v = fxdx = x 2.
Nota: Consideraremos a constante de integração no final do exercício.
3. Substituição da fórmula
judv = uv — Jvdu
j e x • xdx = ex • x2 — J x 2 • ex dx
Notamos que a integral resultante é mais complicada que a proposta. Concluímos que fizemos uma má escolha.
Tentemos a outra escolha:
1. Fórmula: \udv = uv - Jvdu
2. Escolha: u = x = s > du = dxdv = ex dx -- > jd v = Jex dx > v = ex
3. Substituição na fórmula:
Jx • exdx = x ex - fex dx
~J'x • ex dx = x ex - ex + C
J x ■ e x dx = ex (x - 1) + C
7.3-PR O B LEM A S RESOLVIDOS
PR] Integre/ = Jx sen xdx.Análise: Temos no integrando um produto e a presença de função trigonométrica. Tentemos a integração por partes.
1. F.I.P.: fudv = uv - fvdu
2. Escolha: u = x du = dxdv = sen x dx > v = J sen x dx = — cos x
230 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
X 2Nota: Não escolhemos dv = x d x ■ - -> v =— , o que tornaria a integral
final mais complicada, portanto, seria uma má escolha.
3. Substituição na fórmula:
fx sen x dx = - x cos x 4- / cos x dx
jx sen x d x = - x cos x + senx + C
PR2 Integre / = f x 3 • ex dx.Análise: Temos no integrando um produto. Na escolha de dv, é recomendável tomarmos dv = ex dx, quenão é diferencial de integração imediata. Só o seria se tivéssemos dv = e i - s d (x^) .Preparemos a integral:
I = j x 2 • x • ex* dx
1. F.I.P.: (udv = uv — fvdu
2. Escolha: u = x 2 - - > du = 2 x d xI x d x
dv = x e x~dx —- > v = - j (e*2dx2
3. Substituição na fórmula;
f x 2 • x • ex*dx = x 2 ex2 - y /e** • 2 x d x
f x 3 • ex2dx = ^ ~ j----- y j e * 2d (x2)
1 Y
X2
x 3ex2dx = ^ - ( x 2 - 1) + C
PR 3 Integre I — f x (sen x - cos x 2) d x .Desdobremos na soma de 2 integrais:
J — fx sen x dx — fxxx)sx2dx
/ = (D - (2)
As integrais (T) e (2) apresentam produtos no integrando, mas nos compor
taremos diferentemente. Estes comportamentos distintos são as dificuldades do cálculo integral.
INTEGRAÇAO POR PARTES 231
Façamos:
( D - / * sen x dx é o PR,, à pág.
(D = - x cosx + sen x + C,
(2) = f x cosx1dx
Não integraremos por partes, porque o x é absorvido na diferencial: d(x2) = 2 xd x .Então:
2 x d x
(D = 7 / cos © d ©
(2) = "j sen x2 + C2
Como / = (D — ( 2 ) ------- >
> / = - x cosx + senx +C , — senx2 - C2
. . senx2 . „/ = - x cos x + sen x - — ------h C
PR4 Integre / = /fin x 3dxNotamos no integrando a presença da função logarítmica. Apliquemos a integração por partes, preparando, porém, a função
/ = 3/finxcfc
1. F.I.P.: fudv = uv — fv d u
2. Escolha: Neste caso a escolha é única
u = En x > du = — x
dv — dx —> v = [dx = x
3. Substituição na fórmula
f i n x d x = x finx -•' J -x~
/fin x d x = x fin x - x + C,
Portanto,
/ = 3xfinx - 3 x + C
232 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PR5 Integre / = j£ n (x 2 + 1 )dx .Temos o mesmo caso anterior.
1. F.IP.: fudv = uv - jvdu
2. Escolha: u = £n (x2 + 1) —> du = — — • 2 x • dxx + 1
dv = dx > v = fdx = x
3. Substituição na fórmula
/ = x £n (x2 + 1) — f x • —r -1-— ' 2 x d x x 2 + 1
I = x í a ( x 2 + l ) - 2 f ^ — dx ' x + 1
Efetuemos a divisão (m = p).
INTEGRAÇÃO POR PARTES 233
X 2 x 2 + 1- X 2 - 1 1
1- 1 X 2 + 1
Então:
/ = x £n(x2 + 1) - 2 f ( l -
I = x £n (x2 + 1) - 2 fdx + 2 f — -— dx J ■' x 2 + 1
v V --------------
arc tg
/ = x £n (x2 + 1) — 2 x + 2 arc tgx + C
PR6 Integre / = /S n (£nx)
1. F.I.P.: fudv = uv - fvdu
2. Escolha: u = £n (£n x) > du = ' — dxt t ! X X
dx f d xdv = — — > v = / — = fin xX ' X
3. Substituição na fórmula:
f t n (£n x ) ~ = (£n x) • £n (£n x) - f ü t x . • • j dx
J y
fUn (£n x) — = (£n x) • £n (£n x) — £n x + C
I = f in (£n x) — = (£nx) [£n (£nx) - 1 ] + C
234 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PRi Integre / = J arc sen x dxTemos no integrando função trigonométrica. Apliquemos a integração por partes.
1. F.I.P.: Judv = uv - Jvdu2. Escolha (no caso, única):
u = arc sen x — > du = , 1 dx' y f T ^ r
dv = d x -------> v = x
3. Substituição na fórmula:
/arcsenxdx = xarcsenx - l x ‘1 - = dx J J s / l - x 2
— I x d x1 f ^ A
J arc sen x dx = x arc sen x — —y J( 1 - x 2) ' 1/2d ( l — x 2)
l ( l - x 2)1/2/ = / arc sen x dx = x arc sen x + —----------------1- C
T/ = x arc sen x 4- V 1 — x 2 + C
PRS Integre / = J arctg 3x d x
1. F.I.P.: ju d v = uv — Jvdu
2. Escolha: u = arctg 3x > du = ------------ — - • 3 dx6 1 + 9x
dv = dx > v = x
3. Substituição na fórmula:
jarctg 3 x d x = x arctg 3 x - j x • ^ 2 • 3 dx
X dxJarctg 3xdx = xa rctg 3 x — 3 2
A derivada de 1 4- 9 x 2 é 18 x.
1 18.x("are tg 3 x dx = x arc tg 3x — 3 • -75- / ---------- dxJ 6 18 ■' 1 + 9 x2
/ = x arctg 3x — -g-£n (1 + 9 x 2) + C
PR9 Integre 1 = J x n ín xd x , com n ¥= — 1.
1. F.I.P.: fudv = uv - \vdu
2. Escolha: u = £nx du = — dxxrn + i
d v = x ndx v = / x n dx = , , ■■' n + 1
3. Substituição na fórmula:
yíi+i , y« + i 1l (Z nx )xn dx = — — £nx - / —— r ’ — dx v n + 1 •' n + 1 x
v-rt + 1 1lxn in x d x = —r-rCn — -——- / x n dx J n + 1 n + 1 J
yH+1 1 v”+1í x ” í n x d x = — — r 2n x -------- 7-7- • — — - + CJ n + 1 n + 1 n + 1
xn+1 ! 1 \/ = - t t « n * - — írr + Cn + 1 \ n + 1/
PR10 Integre / = lx2 cosxdx.
1. F.I.P.: Judv = uv - Jvdu
2. Escolha: u = x 2 ■■■■> du = 2xdxdv = cosx dx > v = /cos x dx = sen x
3. Substituição na fórmula:
/x2cosxdx = x2senx — Jsenx • 2 xdx
I x2 cos x dx = x2 sen x - 2 fx sen xdx
A integral final também pode ser resolvida pela integração por partes como Fizemos noTR^ pág. , fx sen x d x = —x cosx + senx + C,.
Então, / = x2 sen x + 2 x cos x — 2 sen x + C.
PRU Integre 1 = fsec3xdx.Façamos I = f secx • sec2xdx.Tentemos a integração por partes:
1. F.I.P.: f u d v - u v - J v d u
INTEGRAÇÃO POR PARTES 235
Preparemos a integral final
2. Escolha: u = secx > du = sec x tg x dxdv = sec2x d x --=> v = /sec2xdx = tg x
3. Substituição na fórmula:
fsec x • sec2 x dx = sec x • tg x — /tg x • sec x • tg x dx
fsec3x d x = secx tgx — /secx • tg2 x dx
fsec3x d x = secx tgx — / secx(sec2x — l)dx
fsec3x d x = secx tgx — /sec3xdx + /se c x dx
ín(secx + tgx) + Ci Transpondo — fsec3x d x do 29 para o 19 membro.
2 / sec3x dx = secx tgx + £n(secx + tgx) + C,
/ = fsec3x d x secx tgx + y 2 n (se c x + tgx) + C
7.4 - PROBLEMAS PROPOSTOS
Integre:
PPi fx • e 'x dx
Resp.: - e ~ x (x + 1) + C
PP2 /xcosxdx
Resp.: x sen x + cos x + C
PP3 fx 3senx2dx •
„ x2cosx2 , senx2 , _Resp.: - -----------+ — — + C
PP4 fUnxdx
Resp.: x ü n x - x + C
PP5 /arcsen2xdx
236 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Resp.: x are sen 2 x + -~n/ 1 — 4x2 + C
PP6 jarctgxdx
• tr> v _Resp. :x are tg x - -íp £ n (l + x2) + C
INTEGRAÇÃO POR PARTES
PP7 fx (cos x — sen x2) dx
Resp.: x sen x + cos x + — cos x 2 + C
PP8 fx fin x dx
Resp .:^- ^Cnx — j ^ + C
PP9 fx3 fin x d x
ResP - ^ r ( fin* + c
PP10 f ( in x — sen 3 x • sen 2 x )d x
„ , , senx , se n 5 í . .Resp.:x (S.nx - 1) - —y + ■ ■ + C
ppn f(x2 e*3 - x 3 Hn x)dx
Resp:£T - T (9nx +Í) + c
PPn jcosec3 x dx
8INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONARIAS
Erga a esperança de quantos se acham tombados ofertando e recolhendo a seiva da vida -o Amor.
8.1 - DECOMPOSIÇÃO DE FRAÇÕES
Na integração de funções racionais depararemos com integrais cujos resultados serão alcançados mediante a decomposição da fração integrando numa soma de outras frações.
Estudemos, pois, a decomposição de frações em frações parcelas.A decomposição a que nos referimos só é possível se o denominador da
fração for fatorável.Para efeito didático, façamos o estudo em 4 casos principais:
I — “Os fatores do denominador são todos distintos e do 19 grau.”
Exemplos:
El Seja a fração —--------------x — 4 x - 5
Devemos analisar, primeiramente, a possibilidade da divisão.( m — Q
No nosso exemplo -í > m < p , não admite divisão.[ P = 2
Então, fatoramos o denominador
f Xi = - 1x* _ 4 X _ 5 = o = > J = >1 * 2 = 5
= > x 2 — 4 x + 3 = (x t l)(x - 5)
240 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Notamos que o denominador se compõe de 2 fatores diferentes, ambos do primeiro grau, o que nos leva à decomposição da fração dada na soma de duas outras, cujos denominadores serão os fatores componentes e os numeradores de grau uma unidade inferior ao grau do denominador correspondente, (no nosso caso os numeradores serão constantes, grau zero, porque os denominadores são de grau 1).
6 6 A BxJ _ 4 X _ 5 (x + l)(x - 5) x + 1 x - 5
V____________________________ _ _____________________________ /V
Eliminemos os denominadores, o mmc é (x + l)(x — 5), logo:
6 = A (x - 5) + B (x + 1)
6 = A x - 5 A + B x + B
(> = (A + B)x — 5 A + B Da identidade dos dois
0 6
A + B — 0 1? - 2amembros - > = = = > 6A = —6 -> A -----1
— 5/4 + B = 6
Substituindo em A + B = 0 > — 1 + 5 = 0 -------> B = 1.
Então, a fração —-------------- = - —— + *xj - 4 x - 5 * + 1 x — 5
JÇ 3 ^ JÇ ^ ^Decomponha a fração F = -----------------em frações parcelas
x + 3x
x 3 — 4x + 6 x 2 + 3x- x 3 - 3 x 2
x — 3— 3x2 - 4x + 6+ 3x2 + 9x
5x + 6
x 2 + 3x xJ + 3x
Façamos a decomposição de F i :
_ _ 5x + 6 5 x + 6 A B 1 x2 + 3 x ~ x (x + 3 ) “ x x + 3
V_______________ _ ___________________ /
mmc = x (x + 3)
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES-RACIONAIS FRACIONÁRIAS 241
5 x + 6 = A (x + 3) + Bx
5 x + 6 = A x + 3 A + Bx
5x + 6 = (j4 + B )x + 3A :>
5 6
A + B = 5 = > 2 + 5 = 5 :-------> 5 = 3
3 A = 6 = > A = 2
_ 5x + 6 ^ 2 31 x2 + 3x * * + 3
Logo, F = x — 3 + — +x x + 3
II — “Os fatores do denominador são todos do 19 grau, mas com repetição.”
Exemplos:
E, Decomponha a fração
F = **x—_ i — _ em frações parcelas, x + 2x + x y
f m = 2< ----- > m < p — > não admite divisão.\ p = 4
Fatores o denominador:
x4 + 2 x 3 + x2 = x 2(x2 + 2x + 1) = x2(x + l)2
O primeiro fator é x, do 19 grau e repetido duas vezes e o 29 fator (x + 1), também do 19 grau e repetido duas vezes.
Nota: O fator é x , o expoente 2 é o grau de repetição do fatõr. 0 mesmo ocorre com (x + L)2: x + 1 é Jator do 19 grau, o expoente 2 é o grau de repetição do fator x + 1.
Então, F =x 4 + 2 x 3 + x2 x2(x + l)2 x2 x (x + l)2 x + 1
mmc = x 2 (x + 1 )2
Eliminando os denominadores >
242 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
6x2 - l = jB + D )x3 + Ç A + 2 B + C + D )x 2 + (2 A + B )x +A = = >
0 6 o - T
=>
B + D = 0 => 2 + D = 0 D = - 2
A + 2 B + C + D = 6
- 1 + 4 + C — 2 = 6 C = 5
2 / 1 4 - 5 = 0 => - 2 + fi = 0
F = 6 x 2 - 1 x4 + 2 x 3 + x2
A = - 1
U * - +
^ = - i
E2 Decomponha a fração F = 3 4
x2 * (x + l)2 x + 1
2x3 + 6 x 2 - x - 22
m = 3
P = 3
2x3 + 6 x 2 — x — 22 — 2 x 3 — 4 x 2 + 8x + 16
x + 2 x 2 - 4 x - 8
> m = p -> admite divisão
x + 2 x 2 — 4x — 8
F =
2x2 + 7x — 6
2x3 + 6x2 - x - 22 X3 4- 2x2 — 4x — 8
= 2 +• 2x + 7x - 6 x 3 + 2 x 2 — 4x —
Fatoremos o denominador de F , f ’í
x 3 + 2x2 — 4 x — 8 = x2(x + 2) — 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 4)
(x + 2)(x - 2)
x 3 + 2x2 - 4x - 8 = (x + 2)2(x - 2)
Os dois fatores são do primeiro grau, porém o fator x + 2 está repetido------->
=>Fj = •2x + 7x - 6
x 3 + 2x2 - 4x - 8 (x + 2)2 x + 2 x - 2
mmc = (x + 2 )2(x — 2)
2x2 + 7x - 6 = A (x - 2) + B (x + 2)(x - 2} + C(x + 2)2
x2 - 4 x2 + 4 x + 4
2x2 + 7 x - 6 = A x - 2A + 5x2 - 4 5 + Cx2 + 4 Cx + 4 C
2x2 + 7x - 6 = (5 + Q x 2 + (A + 4 C),x - 2 / 1 - 4 5 + 4 C
25 + C = 2
,4 + 4 C = 7
, - 2 X — 4 5 + 4 C = —6
0 sistema
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 243
2 9 X 2 + 3?^ _ 4B + 12C = g = -4=>
: 4 c> - 5 + 3 C = 2
ficareduzido a
I 5 + C = 2
1 - 5 + 3C = 2=> 4C = 4 C = 1
De 5 + C = 2 =í> 5 + 1 = 2
De A + 4 C = 7 => X + 4 = 7
3 1 1Então, Fj = -------- — H----- r~x + ■
e F = 2 +
(x + 2 f x + 2 x - 2
3 ■■+----- T-TT + - 1(x + 2)2 x + 2 x - 2
5 = 1
A = 3
III — “Nem todos os fatores do denominador são do 19 grau, porém sem repetição”.
Exemplos:
3x - 5E i Decomponha a fração F = —------- ---------x _ 2 x 5 x
em frações parcelas.
m < p não admite divisão.Fatoremos o denominador:
x 3 — 2 x 2 + 5x = x ( x 2 - 2x + 5)
x 2 - 2x + 5 = 0 => A = 4 — 20 < 0, infatorável,-como vemos os fatores do denominador são x, do 19 gcau, e x 2 — 2x + 5 do 29 grau. O numerador correspondente ao denominador x será a constante A (grau zero),
...mas o.numerador coirespondente n x2 — 2 x + 5 serã 5x + C (grau um).
Então, F = 3x — 5 3x - 5x — 2x + 5x x(x — 2x + 5) *
= A + Bx + C2x + 5
mmc = x (x 2 — 2x + 5) 3x — 5 = A ( x 2 — 2x + 5) + (5x + Q x
3x — 5 = i4x2 — 2 A x + 5 A + 5x2 + Cx
3x - 5 = (A + B ) x 2 + ( - 2 A + Q x + 5A
244 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
D e'
0
A + B = 0
- 2 A + C = 3
[ 5A = - 5 -
- 5
A = - 1
B = 1
D e - 2 A + C = 3 C = 1
x 3 - 2 x + 5 x x x - 2x + 5
E j Decomponha a fração F = x 4 + x + 2X 3 + X
em frações parcelas.
m = 4
P = 3=> m > p => admite divisão.
x 4 + x + 2 X 3 + X
- x 4 - X 2
- X 2 + X + 2 X
_ X 2 - X - 2r — X ■ -
X 3 + X
Fi
Façamos a decomposição de Fj
F i = - ■ x - 2 x2 - x - 2 .4 , fix + Cx 3 + x vx ( x 2 + l ) * x2 + l
Vmmc = (x2 + 1)
x2 - x - 2 = A (x2 + 1) + (flx + Q x
x 2 — x — 2 = i4x2 + y4 + 5 x 2 + Cx
x2 — x — 2 = 04 + B ) x 2 + C x + A
1 - l —2
( A + B = 1 = > - 2 + 5 = 1 = > B = 3
De | C = - 1
[ a = - 2
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 245
Então:
„ x 2 - x - 2 2 , 3 x - 1F\ = -----:-------- = — + — --------
x 3 + x x x 2 + 1
F = x - t - - + 3 x 1x x 2 + 1
, 2 (3x - l)F = x + --------------- '* x 2 + 1
IV — “Nem todos os fatores do denominador são do 19 grau, porém com a repetição de alguns.”
Exemplos:
_ „ , , _ „ 6 x 2 + 16x — 8E! Decomponha a fraçao F = ------ --------- -—x — 8 x
m = 2— -> m < p > não admite divisão.
p = 5
Fatoremos o denominador:
x s - 8 x 2 = x 2(x3 - 8) = x 2{x - 2)(x2 + 2 x + 4) =
diferença A < 0de 2 cubos
o fator x do 19 grau, repetido 2 vezes, os fatores x — 2, do 19 grau, e x 2 + 2 x + 4, do 29 grau, sem repetição.
P _ 6 x 2 + 16x — 8 6 x 2 + 16x — 8 6 x 2 + 16x — 8x2(x3 - 8) x2(x - 2)(x2 + 2 x + 4)
Dx + Ex 2 ' x ' X - 2 ' x *+ 2x + 4
= A + A + c + D x + E
aimc = x 2(x — 2)(x2 + 2 x + 4)
Nota: O denominador x2 e o fator x, do 19 grau, repetido 2 vezes, se x2 é do 19 grau, seu numerador deve ser do grau zero, portanto, uma constante.
6 x 2 + 16x - 8 = A ( x - 2)(x2 + 2 x + 4) +
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
+ B x {x - 2)(x* + 2 x + 4 \ + Cx2(x2 + 2 x + 4) +
x 3 - 8
+ (Dx + E ) x 2{x - 2)
x 3 - 2 x 2
6x2 + l 6 x - 8 = A x 3 - 8 A + Bx4 - 8Bx + CxA + 2C x3 + 4Cx2 +
+ Dx4 - 2 D x3 + E x3 - 2 Ex2
6x2 + 16x - 8 = (£ + C + D )x 4 + (4 + 2C - 2D + E)x 3 +
o o-+ ( 4 C — 2 E )x 2 - 8Bx - 8 A
6 16
B + C + D = 0
i4 + 2 C —2D + £ ’ = 0:
4 C — 2 E s= 6
-8
C + D = 2
=> 2 C — 2D + 2í = — 1
4C - 2 E = 6
- 8 5 = 16
—8 4 = - 8
' C + D = 2
D H 2 C — 2£> + F = — 1
4C — 2 E = 6
1? - 2?
£ = - 2
1? X 2 + 2? J 4 C + F - 3 ia _ 2?> \ 4 C - 2 f = 6 "
E = - 13 £ = - 3 = >
D e4 C — 2£’ = 6 = > 4C + 2 = 6 -------> 4C = 4 = > C = 1
De fl + C + £> = 0 - 2 + 1 + D = 0;
x - 1
D = 1
1 2Então: F = — —— I--------— +
x 2 x x - 2 x i + 2 x + 4
Decomponha a fração F = + x 3 - 2x + 7
m = 4 p = 4 ‘
(x + l ) (x3+ 1).
í> m = p —-> admite divisão
X4 + X3 ~ 2 x + 1x* + x 3 + x + 1
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 247
x4 + x 3 — 2x + 7 x4 + x 3 + x + 1- X 4 - x 3 - X - 1
— 3x + 6 1
e - r : ? 3 , 6 -X* + X J + X + 1V_____________ ________________J
Fi
Façamos a decomposição de F x fatorando seu denominador:
3x — 6 3x — 6Fi —X 4 + X 3 + X + 1 (x + l)(x + 1)
3 x — 6 3 x — 6
F ,=
(x + l)(x + l)(x 2 - x + 1) (x + l f ( x 2 - X + 1)
B
A < 0
3x - 6 A + ■ - + ■ Cx + D(x + l)2(x2 - X + 1) (x + l)2 x + l x 2 - X + 1
mmc = (x + 1 )2(x2 - x + 1)
3x — 6 = A ( x 2 — x + 1) + B (x + l)(x2 — x + 1) +
x 3 + 1
+ (Cx + D)(x + l ) 2
x2 + 2x + 1
3x - 6 = A x 2 - A x +A + B x3 +B + Cx3 + 2 C x2 + C x+D x2 + 2Dx +D
3x - 6 = (B + Q x 3 + (A + 2 C + D )x2 + ( - A + C + 2 D )x +
2? + 3& ( B + C = 0
3a _4a a 3 C + 3 D = 3
{ - B + 2 C = 6
l í + 3?
3 C + 3D = 3
De 3 C + 3D = 3 = = > 6 + 3D = 3 ------>
De 5 + C = 0 -------> 5 + 2 = 0 ~ ^ = > lg = - 2
Z> = - 1
248 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
D e A + B + D = - 6 => A - 2 - 1 = - 6 A = - 3
Logo, = —3 x — 6 2 2 x - l
x* + x 3 + x + 1 (x + l)2 X + 1 x 2 - x + \
F = l -2 2x - 1
F = 1 + 3 . + 2
(x + l ) 2 * + 1 x 2 - x + 1
2x - 1( x + 1 )5 * + 1 X 1 - X + 1
8.2 - INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
A integração das funções racionais fracionárias poderá recair em integrais do tipo
f— dx = ín u + C ■' u
r d* 1 * x A. n— - = — arctg— + C■' a2 + x 2 “ a
ou
dx = a integral de soma de frações
Seja a integral / = f ^ -a2 - x 2
Análise:
f m = 019) < ■> m < p > não admite divisão
\ p = 2I
29) D(a2 — x 2) = —2 x d x não é do
39) . — „ não é a diferencial de—arctg— a —x a 16 a
49) a2 —x 2 é fatorável.
Façamos a decomposição da fração -y——r
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
1 1a2 _ X2 (a + *)(<* — x ) a + x a - X
mmc = (a + x)(a — x)
1 = A (a — x) + B (a + x)
1 = aA - A x + aB + Bx
1 = Ç—A + B)x + aA + aB >
1
í - A + B = 0
=> A =
aA + aB = 1
12 a
A = B
=> aA + aA = 1 => 2aA = 1
249
e também B = — .2a
Então, a fração
1_1_2a | 2a __ 1___ L _ + . 1 1
a2 —x 2 a + x a —x 2 a a + x 2 a a - x
A integral
dx r í 1 1 . 1 1/ = / -
2 a •' a + *
u
_____ L - + i ______2a a + x 2a a —x
0 _ v'1 r I dx
dx
2a- a — x
V/ = y ^ 2 n ( « + x) Q y ^ 2 n (a — x) + C
I [®n (a + x ) — 2n (a - x)] + C
/ = ^ - e n £- ^ + c2a a - x
8.3 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
250 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PRi Decomponha a fração em frações parcelas.
3 x 3 + 6 x2 - 18x + 2F = -
Solução:Análise:
x 3 + 2x2 - 4 x - 8
m = 3„ ------- > m = p > admite divisão.
p = 3
3 x 3 + 6x2 — 18x + 2 x3 + 2x2 — 4 x — 8- 3 x 3 - 6 x 2 + 12x + 24
- 6x + 26 3
r-3 e 6' - 26x 3 + 2 x 2 - 4 x - i
F\
6x — 26Façamos a decomposição de F, = „V x + 2 x - 4 x — 8
Fatoremos o denominador x 3 + 2 x 2 — 4x — 8.
x3 + 2 x 2 - 4 x ^ -8 = x2(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 4) =
= (x + 2)(x + 2)(x - 2)
diferençade
2 quadrados
Logo,
6x — 26Fi = '
x 3 + 2 x 2 — 4 x — 8
6x - 26 A , B , CH----- —— T*
(x + 2)2(x - 2 ) (x + 2 )2 x + 2 x - 2V____________________________ y
mmc = (x + 2)2(x — 2)
6x - 26 = A ( x - 2) + B(x + 2)(x - 2) + C(x + 2)2
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 251
1? X 4 + 3«B + C = 0
A + 4C = 6
- 2 A - 4 5 + 4 C = - 2 6
l ? x 4 + 3 ^ f — 2.4 + 8 C = — 26 ia + 2? ■ 2
4 + 4C = 6í> 1 6 C = - 1 4
=> C = - 1416 C = - T
Defi + C = 0 => B = —C -
De A + 4 C = 6 = > ^ - 4 - t = 6 A 2 = 6
F , =
=> ^ = 6 +- A 2
19
(x + 2)2 * + 2 X - 2
1 9 . 72 (x + 2)2 8(x + 2) 8 (x — 2)
F = 3 — 19 .+ 7. 2(x + 2)2 8(x + 2) 8 (x — 2)
19 7F = 3 —2 (x 4- 2)2 8(x + 2) 8(x — 2)
PRj Decomponha em frações parcelas a fração
F = ____ __________x 3 — 2 x 2 - 4 x + 8
Análise:
' m = 1
p = 3não admite divisão
Fatorando o denominador >
= > x 3 - 2x2, - 4 x + 8 = x2(x - 2) - 4(x - 2) = = (x - 2)(x2 - 4) = (x - 2)(x - 2)(x + 2)
252
F =
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
4x — 8 _______ 4jx---- i yx 3 — 2 x 2 — 4 x + 8 -í*— -2H* — 2)(x + 2)
4=> F = _____________ = ^ t _ + _ A _
(x - 2)(x + 2) x - 2 x + 2*__________________________________ /
mmc = (x - 2)(x + 2)
4 = .4 (x + 2) + 5 (x — 2)
4 = A x + 2 A + B x — 2 B
4 = ( A + B ) i + 2 A - 2 B
0 4
A + 5 = 0 = i > B = - A
= > 2>4 + 2A = 4 =
4x — 8 1 1
2/1 - 2 5 = 4
F =
A = 1
x3 — 2 x 2 — 4 x + 8 x - 2 x + 2
PR 3 Decomponha em frações parcelas a fração
2x + 16x 3 - 6 x 2 + 1 2 x - 8
m = 0
P = 3= > m < p =í> não admite divisão e
x 3 — 6 x 2 + 12 x — 8 = (x — 2)3 “Fator x — 2 do 19 grau e repetido 3 vezes. Então,
F = ■ 2 x + 16 2 x + 16 B— 6x2 + 12x — 8 (x - 2)3 (x - 2)3 (x - 2)2 * - 2
mmc = (x — 2)3
2x + 16 = A + B (x - 2) + C(x - 2)2
x2 - 4x + 4
2x + 16 = /l + 5x - 2 B + Cie2 - 4 C x + 4C
2 x + 16 = Cx2 + ( g - 4 C ) x - h i4 — 2 5 + 4 C = = >
0 2 ' 16
C = C
5 - 4 C = 2 = > 5 = 2
4 - 2 5 + 4 C = 16 = > . 4 - 4 + 0 = 16
/ I = 2 0
F =
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
2x + 16 20 , 2x 3 — 6x2 + 12x — 8 (x - 2 )3 (x - 2 )2
dxIntegre / = J-
A — UAnálise:
19) m < p > não admite divisão
29) D (x 2 — a2) = 2 x não é do tipo J ~ l x -
39) . ^ , não é a diferencial de — arctg— x 2 - a 2 a 6 a
49) Façamos a decomposição da fração —r—x — l
1 1 A , Bx1 — a2 (* + a)(x — a) x + a
mmc = (x + a)(x - a)
Eliminando os denominadores
1 = A (x - a) + B(x + à)
1 = A x — aA + Bx + aB
1 = (A + B)x + ( -a A + aB) = >
0 1
A + B = 0 A = - B
-aA + aB = 1 => 4- aB + aB = 1
=> 2aB = 1B = 2~a e i A = - — 2a
L ogo,-
Então,
2aI
2ax + o x — à '
254 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
I = ~ ^ - S n ( x + a) + v - £ n (x - a) + C2 a 2 a
I = yj j [2n (x - .a ) — 2n (x + a)] + C
I = ^ - S n ^ ^ - + C 2a x + a
PRS Integre/ = J-
Solução: Análise:
1 x + 3 x + 4dx.
19)m — 2
p = 3m < p => não admite divisão
t
29) D (x3 — x) = 3 x 2 — 1 > não é do tipo f ~ d x
39) Tentemos a decomposição da fração.
O denominador fatorado é x 3 - x = x (x2 - 1) = x (x + l)(x - 1). Então,
„ 7x2 + 3x + 4 7 x1 + 3 x + 4 A , B , Cr = --------- ------ ;---------= —7------;—7T7--------7T = ----H---------;—T + '
X 3 - X x ( x + l ) ( x - l ) X X + l X — 1v_________________________________ /V
mmc = x ( x + l)(x — 1)
Eliminando os denominadores, vem:
7x2 + 3 x + 4 = 4 ( x + l)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 1)
7x2 + 3x + 4 = A x í - A + Bx2 - Bx + Cx2 + Cx
7x2 + 3x + 4 = ( / l + B + Q x2 + ( -B + Q x - A
A + B + C = 7
- B + C = 3
- i 4 = 4 = í >
Somando as 3 equações > 2 C = 14 ■ ■■ ■ > C = 7
De —B + C = 3 = = > —B + 7 = 3 = = > - f i = —4 = = > B = 4
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
Então:
_ I x 1 + 3x + 4 4 . F = ------------------- -----------h 4 + . 7
X X + 1 X — 1
Substituindo na integral I -
= = > / = / ( - 1 + - 4 - + - Z -J \ X X + 1 X — 1
dx
/ = —4 / — + 4 + 7J x- • 'x + l - 'x — 1
/ = - 4 £nx + 4 8n (x + 1) + 7 2n (x - 1) + C
I = gn + 1j - + C
f / + * 3 - 8 j Integre/ = J ^ _ g dx.
Solução:Análise:
19)wj = 4
p = 3=> »1 > p
X4 + X3 - 8 x 3 - 8
- x 4 + 8x x + 1
x 3 + 8x - 8- x 3 + 8
8x
admite divisão
Substituindo em I ■
> I = x + 1 + 8xx — 8
/ = f x d x + Jdx + / • 8x x3 - 8
■dx
7 - ^ + * + /8x
x 3 - 8-dx
Analisemos a fração 8x
19) D (x 3 — 8) = 3 x 2 > não é do tipo—
29) O denominador é fatorável e é a diferença de 2 cubos, portanto, do tipo a3 - b3 = (a — b)(a2 + ab + b2).
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
F = 8 x8 x _x 3 - 8 (x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) * - 2 ' x 2 + 2 x + 4
A Bx + C
mmc = (x — 2)(x2 + 2x + 4)
Eliminando os denominadores —- >
=> 8x = 4 (x2 + 2x + 4) + (Bx + Ç)(x - 2)8x = A x 2 + 2 A x + 4 A + Bx2 - I B x + Cx - 2 C
8 x = (A + B )x 2 + (2A - 2B + Q x + 4 A - 2 C
0 8 0
, 4 + 5 = 0 = ;
2A —2B + C = i
4 A — 2C = 0
í 4A + C = 8 _
[ 4 A - 2 C = 0 _
De 4 A - 2 C = 0
B = - A
3C = 8 -
2 CA =
C=-,
=>A=-=-2 3 a - t
F = 8x
^ = ~ T4_3
8
x 3 — 8 x - 2 x 2 + 2 x + 4
„ 4F = — ■ 13 x — 2 3 x3 + 2x + 4
Substituindo em (1)
/ = T + x +i
3 x — 2 3 x2 + 2 x + 4 /dx
r X . , 4 r dx I = -r- + x + — /9 VX - 2
- f -3 x — 2 3 x2 + 2 x + 4dx
j x 2 , 4 . , 4 f x - 2/ = - y + X + y £n (x — 2 ) —-r-J-3 x2 + 2x + 4
dx (2)
jç_2Analisemos a integral I— --------------dx.
V 4 - 2 x 4 - 4
19) D (x2 4- 2 x 4-4) = 2x 4- 2
29) x2 4- 2 x 4- 4 é infatorável, porque Ax < 0.I
Tentemos a preparação para o tipo l — dx.
/'-----* ~ 2---- = i - 2) (ic = -L /'— 2 x ^ -4 __j x 2 + 2 x + 4 2 • jt1 + 2 jc + 4 2 J x2 + 2 x + 4 ’
porém o numerador deve ser 2x + 2, portanto somemos e subtraiamos 6.
r x - 2 1 , - 2 x - ' l í ó - 6 , 1 ,-(2x + 2) — 6 ,~i---------- =-r- /-------:------------dx = — í-1------------dx' x2 4- 2 x 4- 4 2-' x + 2x + 4 2 •' 4- 2 x 4 - 4
/• x — 2 1 r 2x + 2 j dx./^ y : ^ , ** = t H I „ - , : d» - 3 , / -
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 257
x2 4-2x 4- 4 2-' x 2 4 - 2 x 4 - 4 ’ x 2 4 -2x 4-4
x — 2 j 1 „ , „ <• dxf , *---- ----- dx = -^2n(x2 4- 2x 4- 4) - 3 /x2 4 - 2 x 4-4 2 ' x2 4 - 2 x 4 - 4
Tentemos a transformação de x2 4- 2 x 4- 4 na soma de 2 quadrados, fazendo4 = 14-3 .
x — 2 . 1 „ , , . „ , , / • dxf: + 2x + 4) - 3 /■x2 4- 2 x 4- 4 2 x2 4 - 2 x 4 - ! 4- 3
d ( x 4 M )
* 2 dx =-y fin (x2 4- 2x 4- 4) — 3 f - ^J x 2 + 2 x + 4 2 •> (V 3 )2 4- (x 4- l ) 2
4 * + 2 ~ /+ 4 * = T : <*’ + 2 * + 4» - 3 ' 7 T + c '
! \7 ' + 2V + 4 * 4 & + 2 * + 4> ~ ^ ^ + C'
Substituindo na (2), pág. , >
I = y -4 - x (x — 2) —-|-£n (x2 4- 2x 4- 4) 4-
258 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PR7 Integre / = f - x3 - 7 x 2 + 12x - 4 x 2 - 7 x + 12
dx.
Solução:Análise:
19)m = 3
P = 2m > p => admite divisão
x — 7 x + 12* — 4 -X3 + 7 x 2 — 12x
- 4
x — 7 x + 12
Substituindo, vem:
/ = r x -x 1 - 7 x + 12
[ = í x d x - f — ------J J x 2 - 7
r = x - f -
x + 12
-dx
fite
-dx
X s — 7 x + 12
Fatoremos o denominador x 2 — 7x + 12, já que sua derivada é 2x — 7.
(D
F =4
1 x + 12 v(x - 3)(x - 4) x - 3 x - 4
mmc = (x — 3)(x — 4)
Eliminando os denominadores
4 = A (x - 4) + 5 (x - 3)
4 = <4x — 4 A + Bx - 3 5
4 = (i4 + 5 )x - 4 i 4 - 3 5
0 4
A + 5 = 0 = > 5 = - ,4
- 4 /1 - 3 5 = 4 = = > - 4 A + 3 / 1 = 4 = o
F =
=> - A = 4
4
/I = - 4 5 = 4
x2 — 7 x + 12
Substituindo em (1)
4 +■ 4x — 3 x - 4
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 259
/ = * - - x — 4 dx
, A r dx A r dxI = X + 4 / ------ r - 4 / -------—J x - 3 J X - 4
/ = x + 4 ín (x - 3) - 4 2n (x - 4) + C
I = x + 4 | + C x - 4
Integre / = J-
Solução: Análise:
2 x + 7x 3 - x 2 + x - 1
dx
19)m = 1
p = 3=> m < p -> não admite divisão
29) D (x 3 — x 2 + x — 1) = 3 x 2 — 2 x + 1 não é do tipo / ~ d x
39) Tentemos a decomposição da fração.
2x + 7 2x + 7 2 x + 7F =■ x2 + x - 1 x (x - 1) + (x - 1) (x - l) (x 2 + 1)
2x + 7 A + Bx + C( x - l ) ( x 2 + l ) x - 1 x 2 + 1
mmc = (x - l) (x 2 + 1)
Eliminando os denominadores
2 x + 7 = ^ ( x 2 + 1) + (Bx + Q (x - 1)
2 x + 7 = A x 2 + A + Bx2 — Bx + Cx — C
2 x + 7 = (A + B )x 2 + ( - B + Q x + A — C
0 ' 2 "
, ,A ■■+-£-= Q
- B + C = 2 = ^ = > 2 A = 9 ~ ^= =>
A — C = 1
A = -
De A + 5 = 0 — > B = — A > B — — y
Dt A — C = 1 = = > C = A — 7 = = > C = - | - 7 -------> C = - y
260 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
9_ __9 _5_2x + 7 2 , 2 X 2
r = —---------------------- = --------7 + -x J — x2 + x - 1 x — 1 x 2 + 1
Substituindo em I
í 9 9x + 5 ’
2x2 + l
Idx
r — 9 r dx 9 r x 5 r dx2 ^ - 1 2 ^ + 1 ^ 2 - f x * + i
/ = | £n( x - ! ) - § • 1 / - ^ d x - A arctgx
/ = - | í n ( x - 1) ^-2n(x2 + 1) —|-arctgx + C
P R 9 Integre 1=1 . ^ -------- dx.x — 4x + 3 *
Solução:Análise:
í m = 119) •{ ■ > m < p - — > não admite divisão
= 3I
29) £>(x3 — 4 x 2 + 3x) = 3x2 - 8x + 3 > não é do tipo
39) Tentemos a decomposição da fração.
2x — 6 2x — 6 2x — 6F =x 3 — 4 x 2 + 3x x (x 2 - 4 x + 3) *(* - 1)(* - 3)
2
x (x - lH*-=-3)-
2x - 6 2 =J4 5x 3 — 4 x 2 + 3x * ( * - 1 ) * x 1
mmc = x (x — 1)
2 = A (x — 1) 4- Bx
2 = A x - A + Bx
2 = (A + B )x - A = = >
0 2
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS
> - 2 + 5 = 0 5 = 2
F =4 x 2 + 3x x x - 1
Substituindo em /
X X — 1dx
dx/ = - 2 f — + 2 / ,•' x - x — 1
/ = - 2 2nx + 2 8n(x - 1) + C
/ = 2 2n^-;1^ + C
Integre / = / — -
Solução:
dx
De sen 2x = 2 senx cosx = > senx = 2 sen—c o s = 2 -------2 2 xcos „
s> sen x = 2
e de cos 2 x = cos2x - sen2x — > cos x = cos2y — sen2j
=> cos x = cossen —2x 2 2x
2X x 2 X 2 X=> cos x = cos — — tg — • cos —
cosx = cos'1— 1 -
=> cosx =
262 CÃLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Façamos
Resulta:
xtg - z = y
19) — = arctg (y); x = 2 arc tg O)
2Ç) senx =
3°) cosx =
2 y1 + y 2
1 - y 2
2 dy 1 + y 2
1 + y 2
Substituindo na integral proposta, vem:
2 dy1
T T = > 7 = / '/ = /1 + /
2dyi + y
1 +i + ^ i + y
„ | J Í L■ 2 / + 2 y
‘ - í - r ty + y
Façamos a decomposição da fração
1 1 A , By2+ y y(y + i) y y + \
mmc = y ( y + 1)
Eliminando os denominadores, vem
1 = A y + A + By
1 = (A + B )y + A
0 TA = 1
A + B = 0 = > B = - A =
1 _ 1 1y 2 + y y y - 1
Substituindo:
Então,
/ = / ( --- ------------—- 'W j ' + l
dy = f * L - ( - È L -y 3 y J y + 1
INTEGRAÇAO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 263
/= £ n > ' — 2 n ( y + l ) + C ou / = Cn —y—- 4- Cy 4 1
xSubstituindo^ por vem:
x
/ = / - dX---------- = Rn— + CJ 1 + sen x — cos x , , xl + tg-j
PRn Integre/ = / - 7— ——— dx, com p2 - 4q < 0. x 4 px 4- q
Solução: Como p2 — 4 <7 = A < 0 , o denominador é infatorável, portanto, procuremos um artifício para conseguirmos a integral.Devemos separar o numerador em duas parcelas: uma parcela constante e outra que, a menos de uma constante é a derivada do denominador. A derivada do denominador é 2 x 4- p. Como temos ax no numerador, multipliquemos e dividamos o numerador por dois, então:
, ,• ax 4 b , l , - 2 a x + 2 b ,1 = 1 —-------------d x = — -------------- dxx 2 4- px + q 2 • x 2 + px 4- q
. 1 ,-2ax + ap - a p + 2b ,I = ^ r J ------- ---------- - ---------dx
2 J x 2 + px + q
1 = 1 ra (2 x + p) + (2b - ap) ^2 x 2 4 px + q
a_ r _ 2 x _ + p _ J_ ,■ (2 b — ap)2 J x 2 + px + q 2 J x 2 + px + q
L 0n x x x 2 b - a p dxx 2 + px + q
2 b — ap r_______ dx
I = — 2n(x2 + p x 4 q ) 4 ----- 2 ^ } 2
/ = - Cn (x2 + px 4 q) 4 ■ ,2 2 7 I P2
soma de 2 quadradosf L \ , 2b — ap r dxI Kn (x l + px + q) 4 -----^ J —
dx
t 0 n r 2 1 , \ , 2 b — abI = 2 Kn (x2 4 px 4 <7) 4- — ------ *+f)r + u *
264 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
' - § M * ’ + ,» + «>+ 7 í J ^ T “ c g - ^ t t j + c
Este resultado constitui uma fórmula de integração para todas as integrais
do tipo f - — dx, com p2 — 4q < 0.‘ x + px + q
PR12 Integre / = / , *— ----- dx.J x 2 + 2 x + 3
Notemos que o discriminante do trinômio x2 + 2 x 4- 3 é
A = 4 — 12 = —8 < 0
Apliquemos a fórmula deduzida no PRU
I= ^ rS .n (x 2 + px + q) + 2, b = ap arctg + C2 V — p V 4<7 — p
Façamos a = 1, b = - 3 , p = 2e<7 = 3na fórmula:
/ = -^ 2n (x2 + 2 x + 3 ) + - 7 6 ~ 2 - arctg-y ;C + = + C2 V I 2 - 4 v 12 — 4
/ = 4 - fa (x2 + 2x + 3) 4- — a r c t g 2* * 3 + C2 2 \ f 2 6 2 \ [ 2
A solução sem a fórmula já a mostramos no PR6, pág. , cap. VII e segueo mesmo processo da dedução do PRn .
. r x — 3 , 1 ,• 2 x - 6 , 1 ;• 2 x 4 - 2 —2 — 61 = — --------------d x — ---------------dx = — / — ------------------dxJ x 2 + 2 x + 3 2 x 2 + 2 x + 3_ x 2 4- 2 x + 3
D{x2 4- 2 x 4- 3) = 2 x 4- 2. 1 ,• 2 x 4- 2 , 8 ,• dx /= -= - l-r --------------dx -2 J ->.2 v x 1 2^
/= 4 - « n ( x 2 4- 2x 4- 3) — 4
/ = - 8n (x2 4- 2 x 4- 3) - 4 /'----------^ -----——2 ■, (x + l) ! + (v^2)2
/ = -y£n (x2 4- 2x 4- 3) ——prarctg * 4- C* V 2 v 2
8.4 - PROBLEMAS PROPOSTOS
2 x 1 + 4 x + 8
INTEGRAÇAO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS 265
PPj Decomponha em frações parcelas a fração
Resp.: 2 +
x 2 - 4 x + 3
19 7x — 3 jc — 1
I6 x - 20PP2 Decomponha em frações parcelas a fração
D 5 1 . 11 3Resp.: -
x 4 - 6 x 3 + 8 x 2'
2 x 2 8 ( * - 4 ) 2 (ac — 2)
PP3 Decomponha a fração X + em frações parcelas.x 3 + 9x
, 1 28x — 30Resp.: x + -r— -------- --------3* 3 (x + 9)
5 x 2 _3PP4 Decomponha a fração —------- em frações parcelas.
x 3 — x3 , 1 , 1 Resp.:—H---- — - + ■X X + 1 X — 1
x 3 + 7x2 — 6x — 2 x 3 — 9 x 2 — x + 9
31 , 1
PP5 Decomponha a fração —------------------em frações parcelas.
Resp.: 1 +2(x - 9 ) 2(x + 1)
x 3PP6 Integre J y y y d x .
Resp..--y ~ ^ 2 + x — fin(x + 1) + C
r , - 2 dxPP 7 Integre
■’ x 2 - 5 x + 7 '
D 4 > /3 * 2 > /3 x _ 5 V"3 , ^ Resp.; —?— arc tg —------ =----- -— + C
PP8 Integre J
3 6 3
2 dx
2 1 4Resp.:— S. n (x — 2) — —£n (x2 + 1) ——arc tg x 4- C
PP9 Integre f ■ X---- ----- dx.* x 2 - 6 x + 1 0
Resp.: ín (x2 — 6 x + ] 0) + 2 are tg (x — 3) + C
266 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
nr. t /• 16* — 20 ,
PP'" In,eEr' ! *•- +
fieip.■ ín x + Cn(jt - 4) - y S n (x — 2) + C
_n y ,• 2x2 + 4x + 8 PP ii Integre / — ---------------
x2 + 4x + 3
/?esp..' 2x + 19 Sn (x - 3) - 7 8n (x - 1) + C
. ,■ 4x - 8 PP 12 Integre f-
• x 3 - 2 x 2 - 4x + 8
Resp.: ín ^ — 4 + C x + 2
, ,■ 2x + 7PP!3 Integre f — ------— --------- d x .
x 3 - x 1 + x - 1
/?esp..'yín(x — 1) —^-2n(x2 4- 1) — -arctgx + C
r 4 x 2 — 6x + 1 ,PP14 Integre I —---------------- dx.• x2 — 6x + 4
Resp.: 4x + 9 £n(x2 - 6 x + 4) -I— ^ ^ £ n —---- —— ^7=- + C2 V 3 (x — 3) + \ / 3
PP15 Integre /18 dx
■' x4 — 2 x3 + x2
5esp.: - — - - ü - + 36 2n — + Cr X X - 1 X - 1
PP16 Integre f 2 * ^ dx.• x z — 4x + 3x
i?esp.: 2 £n —---- - + C
9SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
A estrada para cima chama-se Caridade.
9.1 - SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS POR VARIÁVEIS TRIGONOMÉTRICAS
Este método é aplicado, geralmente, às integrais, cujos integrandos contém fator do tipo (a2 ± x 1"f'ín ou {x2 ± a2)*1/2 que não recaem em potência ou
xarc • sen— . a
Vejamos alguns exemplos:
E! Integre/ = f - T = = = .' V" + *
Análise:
1. Não recai em potência porque d (a2 + x 2) = 2 xdx.x
2. Nao recai em arc sen— porque no radicando figura a soma de 2 quadrados
e não a2 — x 2.
3. Tentemos a substituição de variável. Tomemos um triângulo retângulo auxiliar. A \Ja2 + x2 é a medida da hipotenusa, enquanto a e x são as medidas dos catetos.
Marquemos o ângulo oposto ao cateto variável com a nova variável a.
Do triângulo retângulo auxiliar = = >
268 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
— = tg a > x = a tg a dx = a sec2 a da
y/a2 + x '■• = cos a => \ J a2 + x 2 = —a
cos a
y / a2 + x 1 = a sec a
Substituindo em I
. r _ r dx ra sec2uda=> 1 ~ J /—5—;— t = / ------------- = / sec a da
y /a + x 2 a seca ■'
1= 9 .n (sec a + tg a) + C,
Voltemos à variável x.
Vimos, da figura, y /a2 + x 2 = a sec a
Substituindo em (1)
(D
_ y / a2 +=> sec a = ----- - ----- e tg a —~ -
W 'dx
-= £n
/ = £ nx + y /a 2 + x 2
\ / a 2 + x ‘ , x+ ~a + C‘
+ C,
/ = £n (x + y / a 2 + x 2) - £n a + C,V----- V----- '
C
1 ~ f ~ / 2 = 211 (* + V a 2 + x 2) + C V » + r
abcE2 Integre / = / -V r - a2
A análise nos levará às mesmas conclusões do exercício Ej.
SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 269
Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.Notemos que a V x 2 — a2 é a medida de um dos catetos, por ser a raiz quadrada da diferença de 2 quadrados, x é a medida da hipotenusa e a a medida do outro cateto.Marquemos o ângulo a oposto ao cateto de medida variável.Do triângulo retângulo tiramos
s / x 2 - a2tga y / x 2 — c2 = a tg a
e a = x cos a => x = cosx dx = a sec a tgadx
Substituindo em I, vem
j r dx _ r a se c a tg a d aJ 3 ~ ■' a tga
' = /
\ /~x2 — a2
dx■ = /"sec a da = in (sec a + tg a) + C,
s ! x 2 — t.Porém, sec a = — e tg a = -
a a
/ = /, * L = =ilJ ± + y Ç ï l' y j x 2 — a2 \ a a
+ C,
Simplificando
/ = / -
=>
dx
Integre I = J s / a 2 + x 2 dx.
= En (x + s / x 2 - a2) + C
Solução: Tomemos o triângulo retângulo auxiliar seguindo as recomendações anteriores:
Da figura tiramos:
270 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
— = tg a > x = a tg a ; dx = a see2 a da
= = = = = cos a > \ / a 2 + x 2 =\J a2 + x cosa \ / a 2 + x 2 = a sec a
Substituindo em I
I = f \ / a 2 + x 2 dx = f a sec a • a sec2 a da
I = a2/ sec3 a da
Conforme vimos na integração por partes
r 3 1 1J sec a da = — se c a tg a + — £n(seca + tga) + Ct2 -------- e>- ■ 2
Entío, I = f \ f a2 + x 2 dx = a2
Voltemos à variável x.
Da figura > sec a =
sec a tg a + fin (sec a + tg a) +
\ J a2 + x 2
i r / 2 . 2 A fl2 s la 2 + x 2 x a2 n ( y /a 2 + x 2 x \ I = J s / a 2 + x?dx = - • - — ----- 8n [ - — ---------------------+— ) + C,
/ = f \ / a 2 + x 2 dx a2 + x 2 + — 2n (x + \ / a 2 + x 2) + C
E4 Integre I = / \J a 2 — x 2 dx.Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.
Da figura, tiramos:
x = a sen a —> dx = a cos a da
Substituindo na I
I = j y / a2 — x 2 dx = [a cos a • a cos a da
r 2 r 2 j 2 /'l + cos 2 a ,/ = a / cos a da = a / ---------------da
2 2
I = y - [da cos 2 a da
/ = -y- a + y - - y /cos 2 a d (2 a )
SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 271
/ = y - a + y sen 2 a 4- C, (1)
JC XDa figura tiramos sen a = — — > a = arc sen— e a a
sen 2 a = 2 sen a cos a = 2- \ / g 2 — x 2 2 xI x y-j— = —r V a
Substituindo na (1)
/ = f y j a2 — x 2dx = -y - • arcsen-^- + y • —y s /ã 2*—1c2 + C
I = J y / a 2 - x 2 dx = — arc sen^ + y \ / a2 — + C
Es Integre 1 = 1 y / x 2 — a2 dx.Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.
Da figura tiramos:
a = x cos a => x = cos a => x = a sec a
dx = a sec a tg a da
y / x 2 - a2 L r 3----- 2—----------- = tg a > V x — a = a tg a
Substituindo em I
272 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
= f y / x 2 - a d x = f a tg a • a sec a tg ada
= a2/sec a • tg2 ada, mas tg2 a = sec2 a — 1.
Logo, / = a2/sec a (sec2 a — l)d a
= a2fsec3ada — a2/sec ada
— a2 • £n (sec a + tg a) + C,y s e c a t g a + -y£n(seca + tga)
—~2 sec a tg a + — £n (sec a + tg a) — a2 £n (sec a + tg a) + C\
2 2 = - 2~sec a tg o — y £n (sec a + tg a) + Q (1)
Do triângulo x y / x 1 - a2=> sec a = — e te a = —-----------a aSubstituindo em (1)
i r * y/x2 - a2I = J v x - a dx = — — ------------2 a a2 '
2 \ a a + C,
/ = / \ J x 2 - a2 dx = y / x 2 — a2 - £n (jc + y / x 2 — a2) + C
9.2 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
PRi Integre / = f -dx
(4 — x 2)3/2
Solução: Podemos escrever
dx' = / (4 - x 2)312 (V 4 - x2)3
cfx
Não é potência, nem arc sen.Tentemos a substituição de variável. Tomemos o triângulo retângulo auxiliar. A y / 2 2 —x 2 é a medida de um dos2 catetos, 2 é a medida da hipotenusa e x a medida do outro cateto, que se opõe ao ângulo a.
SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
Do triângulo retângulo tiramos:
x = 2 sen a ------ > dx = 7 cos a da e \ / 4 — x 2 = 2 cos a
Substituindo em I
/ = f , = f i c a d a = I , • _ * = _ = 1 / s e c 2 a d a
J (-^4 — x 2)3 8 cos a 4^ cos a 4
/= - ^ t g a + C,
Da figura tiramos —j = = = tg a V 4 - r
Substituindo em (1) ■■>
=> / = 7dx
(4 - x2)3/2 4 V 4 - x 2•+ C
Integre I = / 7= X= dx.6 J y /1 6 + X 2
Podemos desdobrar soma de duas integrais.
' = 3 / - 7 = T = f - / - * *V 1 6 + x2 v t ó t :
® © Façamos 1 = 3 • 0 — (2) .
Integramos (T) = / —7— ■ - W J V 1 6 + X 2
Usemos o triângulo retângulo auxiliar.
Da figura
tg a = > x = 4 t g a c/x = 4sec2 acfa
274 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
=> 4 = V 16 + X2 cos a => \ / 16 + x 2 = -
•v/16 + x 2 = 4 sec a
Substituindo na (T)
(D = J S4 se = / sec 01 = (sec <* + tg °0 + Ci
Mas, ainda da figura, tiramos
V 16 + x 2sec a = ------ --------4 e tga = —
CD = /dx : = fin
\ / 16 +4 - * l r c -
® . l n £ i 4 ± z v
(T) = 2 n (x + V 1 6 + JC2) - 2n4 + Cj
(D = «n (x + V 16 + x 2) + C2
Integremos a (2) = / ^
0 x no numerador permitirá escrever
2 x d x
(2) = y / ( 1 6 + x 2) - I/2d ( 1 6 + x 2)
(2) = V 16 + x 2 + C3
Substituindo (I) e (2) na /
' = /3 - x
V 16 + ■*fdx = 3 £n (x + \ / 16 + x2) — \ / l 6 + x 2 + C
PR 3 Integre / = fdx
x \ / x 2 - a‘"2 \Jx2 - a2Usemos o triângulo retângulo auxiliar
a
SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 275
Da figura => a = x cos a
x = a sec a dx = a sec a tg ada
\ J x 2 - a1 e ------------ - = tg a -> s / x 2 — a2 = a tg a
Substituindo na I
/ =' x V
dx
r dx r a sec a ta ac/a 1= J -----— ■ = J --------------- -— = — dcc
x \ J x 2 - a ^ a s e c a - a t g a a-7
/ - / = — a + C (1)
Da figura
Substituindo na (1)
W
=> x = a sec a > sec a = - => a. = arc sec — a
dx 1 x , „---- 7= = = = — arc sec— h Cx x —a a a
dx'n,eB" , - ' / 7 ? T 4 ÏPreparemos a integral
' = / -y dxv V + 4x + 4 - 4 ■' s / ( x + 2)2 - 22 V (* + 2)2 - 22= / -
d(x + 2)
Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.
Da figura
2 = (x + 2) cos a > (x + 2) = cos a
=> (x 4- 2) = 2 sec a > d (x + 2) = 2 sec a tg a d a
276 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
V (x + 2)2 - 22 ...= tga v/(* + 2)2 - 2 2 = 2 tg a
r r d(x + 2) /• 2 seca tga da ,• ,7 = / , , = / ----- ------------ = / secada
J s / ( x + 2) - 2 J 2tg« ■'
I = 8n (sec a + tg a) + C(
Mas, da figura, resulta
x + 2 _ V (x + 2)1 - 22 _ s / x 1 + 4xsec a =
Substituindo na I
dx
e tga =
w - V x 2 + 4x
/= f ___ v/ í r + 4 x
= £n(x + 2 + ^ + 4 7 )+Ci
^ = £n (x + 2 + V * 2 + 4x) - En 2 + C,
1 = f —j = = = = í n ( i + 2 + s / x 2 + 4x) + C• V * + 4x
. PRS Integre / = / -dx
(a2 4- x2)5'2 'Preparemos a integral /
/ = r =7 (n/ ? T ^ ) 5 •
Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.
Da figura tiramos
x = a tg a ----- > dx = a sec2 a da
SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 277
a = \ J a2 + x 2 cos a - > Va2 + x 2 =cos a
y/a2 + x2 = a sec a
Substituindo na I
dx_ r ax r asec,2 ada(V a2 + x2)5 a5 sec5 a
= - 7 f~'~f ~ = ~T /cos3ada ~4' sec3a a4 -'/ cos a cos2 ada = J cos a (1 — sen2a)da
= — Icosada — f sen2 a • cos a da a4' a*Jcos a da
= — sen a — - J sen2 a d (sen a)
1 sen3 a+ C,
Da figura
Então,
/ = /
=> sen a =
dx( \ / a2 + x 2)5 a4 V a 2 + *2 3 a4 (V a2 + *2)3
+ C
/ 2 2*PR6 Integre / = f a dx.
x4Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.
Da figura ►— = cos a x =0 Jt = cos a
278 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
T _ C a tg a ' a sec a • tg a da á á
Substituindo na I
da
. 1 rsec a — 1/ = — J - ----- j----- da
a sec a
1 sec a 1J = _ V J — 3— da — — í — da ■
a sec a a • sec a
/ = ~ /cos ada — f cos3adaa2 •' a •
r 1 1 r 2 ^/ = — sen a ---- - í cos a • cos a daa2 a2 •
/ = ~ sen a — \r /cos a (1 — sen2 a)da a a •
I = - y sen a — y jeos ada + -^-/sen2a cos a da
/ = — sen a — y sen a + 4r / sen2ad(sen a) a a a •
r 1 sen3 a , „/ = - r • — r— + C,
Da figura tiramos sen a =
Substituindo na (1)
V * 2 - a2
i = / ' / * ' ~ a2 dx = - L Os / j í Z Z ) !
PR 7 Integre I = /" ■
3 a2+ C
dxx 2 V * 2 + 4
Tomemos o triângulo retângulo auxiliar.
(D
Da figura: > x = 2 tg a o> dx = 2 see2 a d a
SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 279
- = cos a
Substituindo na /
dx
W S T *
W • = /
cos a = V * 2 + 4 V x2 + 4 = 2 sec a
2 sec2 a da' x 2 V * 2 + 4 ' 4 tg2 a • 2 sec a
. 1 rseca 1 r dacos a • sen a
cos a da. 1 r d a 1 r c o s a d a 1 ,• .■/ = 4 ' / ^ r = T - ' ^ r - = 7 . / sen 2«^ (sen a)sen a
/ = l s e n ^ a + c4 - 1
/ = -1
4 sen a + C (D
Da figura — —> sen a =
Substituindo na (1)
dx
y / x 2 + 4
w - x 2 + 4 4 .V * 2 + 4
9.3 - PROBLEMAS PROPOSTOS
Integre:
PP, í dx' x \ / 25 + x2
1 „ 5 + V25 + x 2 „J?esp.: — — Cn----------------------1- C
5 x
PP?dx
' x \ / * 2 - 41 X
/?esp. arcsec- -H- C
280 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PP 3 / * x dx J x2 s / x 2 - 16
„ s / X -16 1 a: , „Resp.: —— -------------7 arc see — + C4x 4 4
r 2x 4- 1PP4 ./ / „ j dX
V 9 — 4 x 2
V 9 — 4x2 ,1 2x,„ Aesp.; -------+ —aresen - y 4- C
r dx______5 ' s / - 8 4- 6 x - x 2
Resp.: arc sen (x — 3) 4- C
dx(16 - 4 x 2)
PP6 f- 2 \3 /2
Resp.: ------, X 4- C16 V 16 — 4x
pp, /■ *x 2 s / 4 x 2 - 9
s/ 4 x 2 - 9Resp-. 9x----- + C
■*. / 7 *■ '(V P T T )3
Resp. : . = - 4- C V *2 4- 1
PP, / -í£t
V * 4 - 9 x 2
1 Xi?esp.: — arc sec - j 4- C
y f x ^
Resp.: £n (x 4- s / x 2 - 1) 4- C
SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
ppn f ^ X\ “' to
Resp.: y / x 2 - a2 - a • arcsec— + C
pp,. / - *' X 4 y / x 2 + 1
D ( 2 * 2 — 1 ) y / x 2 + 1 /?esp.; i-----------i-X----------+ c3 x
pp f * l d x P P ' 3 j y / T ^ T 2
1 X V 1 - 2Resp.:yarcsen x ------ ------------h c
10INTEGRAL DEFINIDA
Se sabemos que o Senhor habita em nós, aperfeiçoemos a nossa vida, a fim de mani- festá-Lo.
10.1 - INTEGRAL DEFINIDA
Introdução
Seja y = f ( x ) uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Tomemos nesse intervalo os pontos x0, x lt x 2, x 3, . . . , x„_2, x n_lt x„ tais que a = x 0 < < x , < x 2 < X 3 < . . . < x „ _ 2 < x n - i < x n ~ b, Figura 1.
Fig. 10.1
Estes pontos estabelecem uma partição do intervalo fechado [a, b\, decom-pondo-o nos subintervalos [x0, x j , [x ,, Xj], [x2, x 3], [x/_,, x ,]..........[-*71-3 “ x n - 2 1» [*n-2. [* n -i, x n \ cujos comprimentos x t - x 0 = AiX,x 2 — x j A2x, •. ■, Xj x /_ , — A /x ,. . . , Xfi _i x n _2 A ^ _ ixex /l — xw — = A„x. Portanto, de modo geral:
284 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
A,x = X( - Xi_,, i = 1, 2, 3 , . . . , n
0 maior dos comprimentos Atx, A2jc, A 3x ..........A„x é chamado norma dapartição.
Tomemos, para cada índice i um ponto a,- 6 X/] e consideremos o valor yi = /(<*,-) da função neste ponto.
Se multiplicarmos cada valor /(a /) pelo comprimento do correspondente subintervalo teremos as áreas dos retângulos de base A,-x e altura /(<*/).
sendo e um número positivo arbitrário, tão pequeno quanto se desejar, então:
lim £ /(<*/) A,x = £Afx-o ,=1(n-voo)
0 número £ diz-se integral definida da função f { x ) no intervalo [a, £>].
A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico da curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x ~ b.
No nosso caso
= / ( a ,) • Ai*, A 2 = / ( a 2) • A2x......... A n = / ( a„) • A„x.
Somemos estas áreas:
n£ /(a ,)A ,x = / ( a 1)A 1i + / ( a 2)A2i + / ( a 3)A 3/ + . . . +i= 1 + /(<*„) A„ a
nA soma ^ /(a,*) A/x aproxima-se de um número real C, tal que
i=i
Esta integral é indicada pelo símbolo
f ( x ) d x = lim £ /(<*<) A,-x = £A/JC-*0 f= 1
f ( x ) d x = Área da superfície AabB.
INTEGRAL DEFINIDA 285
Teoremi Fundamental do Cálculo Integral — Teorema de Barrow
Seja a função y = f ( x ) definida e contínua no intervalo fechado [a, b \ Seja a curva C da Figura 2 a imagem gráfica da função considerada.
Tomemos o ponto genérico P(x, y ) £ C,
Fig. 10.2
Chamemos S a área da superfície limitada pela curva, pelo eixo dos x e pelas ordenadas dos pontos A e P.
Para cada x, a área A aRP = AaxP assume valor diferente. Esta área é, portanto, uma função de x , S = S(x).
Se atribuirmos a x o acréscimo Ax, resultarão para y o acréscimo Ay e para S o acréscimo A S.
Facilmente verificamos na figura que
A p r T v < Á p r t q < A URTq
y • Ax < AS < ( y + Ay)Ax
Dividindo por Ax ^ AS ^ . .= > y < j ^ < y + ^ y
Tomando-se o limite, para Ax -> 0, obteremos
A Slim v < lim —— < lim ( v + A v)A x - 0 A x - 0 Ax->0
E, pelo Teorema do confronto, vem:
AShm —— = yAx-*-o Ax
AS dSMas, lim -7— - -3— A x - o Ax dx
dS= > T x = y dS = y d x (D
Mas
286 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
S = S ( x ) = S ax = f ( x ) d x = y d x= ( X f ( x ) d x = í Ja J a
Substituindo na (I) - > d| j y dx | = y dx
Integrando membro a membro ------ > y d x
onde
= J y dx,
d jj* j = j y d x + Cx e fydx = F ( x ) + C2
[EntSo, j y d x + C\ = F (x ) + C2
C
£y d x = F (x ) + C2 - C
(2)
restando-nos calcular o valor de C. Para tanto deveremos fixar uma condição inicial.
Façamos x = a ------- > S(á) = 0, pois para x = a a superfície A a x Preduz-se ao segmento A a. Daí
S(a) = f y d x = F ( a ) + C Ja
0 = F(a) + C
C = —F(a)
Substituindo na (2) —> f yd x = F(x) - F(a)
INTEGRAL DEFINIDA 287
ç»Façamos x = b 5 (6 ) = A abB e y d x = F(b~) — F(a)
Habitualmente, indicamos
*b[ yd* = [F(x))ba = F(b) - F(a)
Ja
que é a expressão do Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
“A Integral Definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral indefinida, obtidos para x = b e x = a, respectivamente.”
Exemplos:
> 3
Ei Calcule J 3 x 2dx
Como [3x 2dx = x 3 + C.
. 4
E2 Calcule
Tiramos j 3x2dx = [x 3]* = 33 - ( - 1)3 = 27 + 1 = 28
/•4
Sendo [2 — = 2 f — = 2 i n x + CX J X
Resulta', j = ftínJtT j = 7 í n 4 - 2 8n 1 = 2 2n 4 = Kn 16Ji x " X '
E3 Calcule I cos xdxf :
288 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
A integral indefinida fc o sx d x = senx + C
Logo
7T /" 21 cosxdx =
rrí 1 T sen jc1 7T
= sen — — sen1 * L -»-* 2 V 2/2
E4 Integre4dx
Jo 4 + * 2
Determinemos a integral indefinida
4 / * = 4 / _ * _ - 4 4 a r c t g 4 + C J 4 + x 2 J 22 + x 2 2 6 2
Então,
í 4dx 2 2 0 = 2 arctg — 2 arctg == 2 [ arctg ^
4 + J f 2 L 2
= 2 arctg(l) - 2 arctg(O) = 2 » - ^ - 2 * 0 = y
10.2 - CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS
10.2.1 - Seja y = f ( x ) > 0, diferenciável no intercalo fechado [a, b], Figura 3.
Como vimosA í x
h f b " sa = I yd x = Um £ / ( “«') A'xJa i = i
INTEGRAL DEFINIDA 289
A área da superfície limitada pelo gráfico da curva y = /(x ) , pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = fcé obtida pela integral definida
S = í y d x Ja
onde y d x é a área de um retângulo elementar.Admitamos que a superfície, cuja área desejamos, seja limitada pelo gráfico
da curva y = /(x ) , pelo eixo dos y e pelas retas y = a e y = b, Figura 4.
A área do retângulo elementar é xAy — xdy. Então,
S bc = J| x d y
Exemplos:
E! Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 + 2, pelo eixo dos x e pelas retas x = — 1 e x = 2.
Comecemos a resolução do problema pela representação gráfica
para x = - 2 —— > y - 4 + 2 = 6
para x = - 1 —— > y - 1 + 2 = 3
para x = 0 - — > y - 0 + 2 = 2
para x = 1 - — > y - 1 + 2 = 3
para x = 2 —— > y - 4 + 2 = 6
290 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL,
Marcamos um retângulo elementar com base i j eixo que limita a superfície, cuja área queremos calculai. No nosso caso ydx.0 limite da soma dos infinitos retângulso elementares vdx, contidos no [—1, 2] nos será dado por
1,5 = 1 yd x e como y = x + 2 => S =- í *
+ 2 )dx
A integral indefinida
f (x 2 + 2) dx = f x 2dx + 2 /d x = ^ + 2x + C
0 que nos dá
LS = (x2 + 2)dx = x J
t + 2 x2 8 1 = ^ + 4 - 4 - 2 = -i 3 3
7 -LO 13 2= 7 T
E2 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x~ — 2, pelo eixo dos y e pelas retas y = 1 e y = 3.
X3 - 2.
X
- 2 - 1 0
- 1 - 3
0 - 2
1 - 1
2 6
Marquemos a superfície 5 , e um retângulo elementar xdy.
xdy (D
Da funçâto >> = x 3 — 2 o x3 = y + 2 ^ x = (y + 2 )1/3
INTEGRAL DEFINIDA 291
Substituindo em (T) :
S ] = j ( y + 2 ) l,3dy = J
_ [0 < + 2)4/3'
3 dy
( y + 2)1/3 d ( y + 2) =
_4L 3
5 i =_f (54/3 — 3 4/s) = - | ( 5 ^ 5 - 3 V l ) u 2
10.2.2 - Seja y = f ( x ) < 0 no [a, b], Figura 5.
y
odx y d x
A área procurada 5* é o módulo da •b
integral definida I ydx , pois sendoíy < 0, o produto y d x é também negativo.
Exemplos:
Ej Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 — 4, pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = 2.
Comecemos pela representação gráfica:
y- 3
- 2
- 1 0
1
23
5
0
- 3
- 4
-■3
0
5
2Marquemos a superfície S Q e um retângulo elementar ydx .
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Então, y d x , como y = x ‘
Sendo
vem,
H fI
S o = f í * * “ 4) *I Jo
f ( x 2 - 4)dx = — 4x + C
So =
1m*
l
2
1 oo
1 ) - 0 163 0 \3 / 3
16 2 = T U
Nota: Como o produto y • dx pode ser negativo, a representação gráfica é indispensável.
Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3 - 6 x 2 + 8x, pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 4.
Representemos graficamente a função e marquemos a superfície cuja área desejamos e o retângulo elementar ydx.
0
3
0
- 3
0
Notamos que no subintervalo [1, 2] temos y > 0 e no subintervalo [2, 4] temos y < 0.Não poderemos, portanto, calcular a área usando apenas uma integral.
Assim, y d x + ydx
INTEGRAL DEFINIDA
Como y = x 3 — 6x2 + Sx
293
H' r(jc3 - 6 x2 + 8x )d x + | (x 3 — 6 x 2 + 8x)dx
e / ( x 3 - 6xJ + 8x)dx = ~ - 2 x 3 + 4 x2 + C.
Então,
* ; = - 2x3 + 4x22
+ - 2x3 + 4x24
. 4 1 . 4 2
s* = (4 - 16 + 16) - J - 2 + 4) + 1(64 - 128 + 64) -
- ( 4 - 1 6 + 16)1
5 4 = 4 - Z + |_ 4 |
5 : = 8 - f = f „ 2
Observação Importante:
(O.I.) A integral definida muda de sinal quando permutamos entre si os limites de integração.
De fato: íí
f { x ) d x = F { b ) - F ( a )
f ( x ) d x = F(a) - F (6) = - [F (6) - F (a)]
Comparando r f ( x ) d x = - J* /(x )d x
Recurso que substitui a uso do módulo.
* 4
Assim: í (x 3 — 6 x J + 8x)dx- r
(x3 - 6x2 + 8x)dx
E3 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = - x2 + 8x — 7, pelo eixo dos x e pelas retas x = 5 e x = 8.
294 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Representemos graficamente a curva y = — x 2 + 8x — 7.
y- 7
0
9
0
- 7
Marquemos a superfície cuja área desejamos calcular, bem como os elementos de áieaydx.
A área S = S s7 + Sf
.7 *8S = I y d x + I yd x
ou, conforme O.I.
r r= I y d x + I ydx
S = Jf ( - X 2 + 8x - l ) d x + ( - x 2 + 8x - 7)dx
A integral indefinida
J(—x 2 + 8* — 7 )dx = - — + 4jc2 — 7jc +
Então
INTEGRAL DEFINIDA 295
S =X 3
- 4 r - + 4x2 - l x7
+ - 4 - + 4x2 - 7*3 S 3
s = + 196 “ 49) - + 100 ~ 35) +
+ + 1 9 6 - 4 9
„ 9 8 70 98 883 3 3 3
_ _ 28 10 38 ,S = T + T = T U
512 + 256 - 56
E4 Calcule a área da superfície limitada por um ciclo da ciclóide
x = d - sen 6
y = 1 - cos 6
íSabemos que S = | yd x . No nosso caso
y = 1 — cos 6 e dx = (1 — cos 8)dd
Então
• 2it pin — I (1 _ nr\c (1 _ nr\c //fl = I /" 1 _ O r»r\e fl 4- í-íJ
*27T
.
'“iXJo
- 4 /•'O
(1 — cos 0)(1 - COS0)d0 - í (1 — 2cos0 + cos J0)dÔ
5 = | ,[ 1 - 2 cos + 1 + °°s2<? ) d6
(2 — 4 cos 6 + 1 + cos 26) d8
(3 - 4 cos 6 + cos 2 0)d6
296 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
*2ir .2tr m2S = I dd - 2 COS d d6 + ~ í
2 Jo Jo 4 Jo
s. ![»]•;- , [ « „ « ] : ' + i
cos 26 d (26)
sen 262ir
0
í - f . 2 .
iS = 3 7T2 u2
Es Calcule a área do laço da curva y 2 = x4(2 + x).
Da figura concluímos que
• < y d x
De y = x4(2 + x)
. 0
=> y = x* V 2 + x
x2 V 2 + x dx
Determinemos f x 2 \ / 2 + x dx. Façamos
V 2 + x = t ------- > 2 + r — f2 ^ Y — f2 0
dx = 2 íd f
Então,
f x 2 V Y + ~ d x = f(t2 - 2)2 • í • 2fd/ = 2/(í4 - 4r2 + 4)f2dí f x 2 vT+Tdx = 2/(f6 - 4r4 + 4r2)dr
f x 2 V 2 + 7 d x = - J -fs + | f 3 + C
Determinemos os limites de integração para a variável í.
De t = V 2 + :
INTEGRAL DEFINIDA
para jc = 0 — > t = V T
297
para x = — 2 f = 0
- £V 2 + jc dx = 2 - t 1 - — t 5 + - í 37 5 3
5 =:= 2 \ j • 8 V 2 - y . 4 V ^ + j . 2 V 2
S = 2 V 2 ( ^ - f + f * = f l ^
10.3 - CÁLCULO DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Estudamos um processo para o cálculo de áreas de superfícies planas. A nossa curiosidade nos leva a estabelecer um processo para o cálculo de volume de sólidos de revolução. »
Veremos que o processo para o cálculo de volume é mera extensão do processo estudado para cálculo de áre .s.
Pois 0 volume procurado poderá ser pensado como uma soma de Riemann, isto é,
V = lim ^ ti [/(a,-)pA,-xAjc, - o f=1
quando o eixo de revolução e uma fronteira da superfície girada for o eixo dosx.
Se for o eixo dos y , então, V — ir I x 2dy. Vejamos:3 , V = ir j x 2dy.
Seja a função y = f ( x ) diferenciável no intervalo fechado [a, i ] . Consideremos a imagem gráfica da função a curva C, e P(x, y) G C.
O arco AP, a eixo dos x e as ordenadas aA e xP determinam a superfície 5, tal que, S = >p(x).
Se atribuirmos a x o acréscimo Ax, y e S sofrerão, respectivamente, os acréscimos Ay e AS.
Nivelemos as ordenadas xP e (x + Ax)R, obteremos os pontos Q e T, sendo QR = Ay.
Façamos a superfície A abB girar ao redor de Ox numa revolução completa.
298 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
A superfície A a b B gerará o sólido A Á B 'B de volume V procurado, a superfície elementar P x(x + Ax)Q = AS gerará o volume elementar AF = volume do sólido PP’R'R, o retângulo P x(x + Ax)Q gerará o cilindro PP'Q'Q e o retângulo 7x(x + Ax)R gerará o cilindro TT'R'R.
Se compararmos o volume elementar A F e os volumes dos cilindros, notaremos que
V P P 'Q 'Q < & V < V T T 'R 'R O)
Como o cilindro PP'Q'Q tem altura Ax e raio y, seu volume Vpp'Q'Q — n y 2A x e como o cilindro TT'R'R tem altura A x e raio y + Ay , seu volume Vj f r r — = i t (y + Ay )2 • Ax.
Substituindo em (D
n y2Ax < A V < ir(y + A y)2 A x
Dividamos tudo por A x => *y2 < ^ < * ( y + Ay)2
Tomando-se o limite para Ax ->• 0, vem:
AFlim ny 2 < lim -r— < lim ir(y + Ay)2 Ax->-o Ax-*o A* Ax->o
A V d VPelo teorema de confronto e lembrando que lim -r— = - j— resulta em
A X —►O Ax dx
d V , t e =lry 6 d V = v y dx , volume elementar
O volume V do sólido AA'B'B será V"J*Jay 2dx
INTEGRAL DEFINIDA 299
Exemplos:
E, Calcule o volume do sólido gerado pela superfície limitada pela curva y = x 2 e pelas retas y = 0, x = 1 e x = 3, quando esta superfície dá um giro completo ao redor do eixo Ox.
Façamos a representação gráfica da função e marquemos a superfície com um retângulo elementar.
X 2 X - i 0 1
y i 0 1
O retângulo elementar de área y d x gerará um cilindro elementar de volume n y 2dx, pois seu raio é y e a altura dx. Então, o volume procurado
- r y 2 dx.
Substituindo y por x
. 3
=> V = ir x A dx = ir
F = y (243 - l ) u 3
„ 242 7T 3V = ■—-—- uJ
Ej Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da superfície limitada pela curva x = \[y~e pelas retasx = 0 , y = 1 e y = 2, quando a superfície dá um giro completo ao redor de Oy.
Representação gráfica:
x = v y =
O elemento de área é o retângulo x dy que gerará o cilindro elementar de volume 7tx2dy.
X 0 i 2
y 0 i 4
Então " P dy
300 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Substituindo x por \ f y vem:
"f y d y = t
t r i l i 1 J 7Í 3K = t [ 4 - 1 ] = — u3
Volume de sólido oco
Seja calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo dos x da superfície limitada pelas curvas
y = 4 x - 7 x 2 e y = 2x - x 2.
Representação gráfica das curvas
y = 4 x — 2x5 y = 2 x - x 2
X y Jt y
0 0 0 01 2 1 i2 0 2 0
O elemento de área é o retângulo da figura, que gerará um anel circular elementar, ficando oco o sólido gerado.
O volume do anel circular elementar é a diferença entre os volumes dos cilindros:
n y i dx - iry2 dx = i t ( y 2 - y ^ )d x e
V = n J ( y ? - y i ) d x
INTEGRAL DEFINIDA 301
r . . rJ 0
F = 7T í (16x2 - Jo
•'O
[(4jc - 2x2)2 - (2x -
16x3 + 4x4 — 4x2 + 4x3 - x4)dx
V = ir | (12jc2 - 12x3 + 3x4)dx .'o
= 3 , rJo
(4x2 - 4x3 + x4)dx
r - 3 . f ô
V = 3ir 160 - 240 + 96 15
= *T"
10.4 - COMPRIMENTO DE ARCOS
Seja y = f ( x ) contínua e derivável no intervalo fechado [a, b\. Queremos determinar o comprimento do arco AB.
I
Façamos a partição do intervalo fechado [a, è] em n partes pelos pontos
x o = a> x i> x 2 ...........x i - 1> XU • • ■ i x n - 1> x n = b
Obteremos sobre a curva os pontos
A = P0, P i , P2,
e daí sub-aicos e cordas.
302 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
í - l l Pi, 1 to II
Sub-arcos Cordas
^ õ > , = > P o P i
P ? 2 - ^ P 1P 2
P i - , P i ----------- > P i - i P i
P f i - \P n -— > P n - \ P n
O comprimento do arco
à $ = i =  P 1 + í & 1 + . . . + í t t i + -- + Q Ín = W l + P ^ 2 +
ou seja (D
Arco Pj iPj ampliado.
A (X
Da figura do arco ampliado
Pi-iPi = A / c = V (A jx)2 + ( A ,^ ) 2
INTEGRAL DEFINIDA 303
Pi-iPi = M i x y ■*fêy
í ' - f ' ■ v / H S 7 a,j
Mas
A/x~ = tga = / > « ) — > = V l + [ / ’t f A / x
__________Substituindo na ® > C= ^ V 1 + [ / '(a /) ]2A,x
i=i
Tomando-se o limite para A/x -*• 0 ou n -*■ °°.
6 = lim £ V 1 + [ /'(a ,) ]2A/x n - ~ f=1 i /X -Q
Exemplos:
Ej Determine o comprimento da circunferência de raio R.
O comprimento da circunferência é
rR£ = I V 1 + (j ,')2cíx
Jo
x 2 + y 2 = R 2.
(D
e y = -2x
2 \ / K 2 - x 2 V i? 2 - x 2
304 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Substituindo em (T):
'•‘[./"wh*
- r / K p '
« - 4 r - r ^ =J. d x = 4 Rx
arc sen — K
Rfi = 4 R ( arc sen — arc sen £ j= 4 /? (a rc
R
o
sen 1 — arc sen 0) £ o
II
'"o1 > fi = 2 * R\2 /
E2 Calcule o comprimento do arco da curva
y = 2 12
JC = 1 + 4f
Sabemos que fi ■í
para x € [1;1 + 4 \ /J ]I
l+4>/3
v l + (>')2dx, mas a curva foi dada pelas suas
equações paramétricas, então:
dy, dy dt A t a a a*y = -4- = -r~ = —r = t e d x = 4 d t ' dx dx 4
dt
Os limites de integração deverão ser substituídos pelos correspondentes valores de t, então:
De x = 1 + 4 t > t = e para x = 1 ■> t — ^ - = 0
para jc = 1 + 4 \ Í 3 ■> í = ^ " =
Substituindo em í
INTEGRAL DEFINIDA 305
=e> £ = J V l + t 2 4 d t ou £ = 4 j V 1 4- t 2 dt
No Cap. VIII, pág. 4, exercício E3, vimos que
./V l + t 2dt = Y V l + t2 + j £n(f + V l + í 2) + C
Logot
£ = 4 y V T + 7 7 + ~ l n ( t + V l + í J )
C = 4 | V l +3 +-| 8n(>/3 + V l + 3 ) - y V l +0
£n (0 + Vl +0)L v.________ __________/
£ = Y [3 • 2 + £n(2 + V3)J
£ = 12 + 2£n(2 + V3) ---- ~> £ = 12 + £n(2 + V 3 ) J
10.5 - ÁREAS DE SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO
A área da superfície de »evolução do arco P0Pn de uma curva y = f ( x ) contínua ao redor de um eixo do seu plano é o limite da soma das áreas geradas
p e lo sa rco s ÍÇP,, P^?i, . . . , PÍ~^?i,. . . , P„_lPn ao girarem ao redor do eixo, quando n -*■ \
306 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
No seu giro ao redor de Ox ele gera uma superfície cilíndrica elementarn
2jr/(a,)A ,e e S = lim 2rr £ /(a ,) A,-8
Tomemos o arco Pí- \P í -
o
= 2tt íx nS = 2tt |
como d í = V 1 + ( y ' ) 2d< (Cap. V, 4.2.5, pág. 8).
y V i + ( / y d *a
Se o arco da curva girar ao redor do eixo Oy
rdS = 2jt j x V l + (x ')2dy
Exemplos:
Ei Calcule a área da superfície gerada pela revolução ao redor do eixo Ox do arco da curva y 2 = 2x, de x = 0 a x = 4.
De y 2 - 2 x — > y = \ f l x e / = —V 2jc
INTEGRAL DEFINIDA 307
Logo,
S = 2* I
s ' 2 ' í Æ y ^ 4
íí 4
5 = 2ff • ~ (2x + l ) 1/2d(2x + I) Jo
(2x + l ) 3
S = 2n I \ / 2 x + 1 d*
S = n32 Jo
S = j n (V9* - V I»)
S = j n(27 - 1)
C 52 2T iru
E2 Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo Oy, doarco da curva y — \ f x de y — 0 a y = 2.
Representação gráfica:
De V = \ / xX 0 1 8
y 0 1 2
A área procurada nos é dada, neste caso, por
■S = 2tt í x V l + { x f d yJo
De y = \ f x > x = y 3 e x = 3.y2.
Substituindo na (1) > S = 2tt J _y3 \ / l +Jo
S - f 6 í ( 1 + 9 / )'0
308 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
(1)
36 3c(y
4) i / s í ( r + 7 / )
5 = — 18
(1 + 9 / ) 3/222
S = ^ [1 4 5 V Í 4 5 - l )u 2
10.6 - MOMENTOS - RAIO DE GIRAÇÃO
10.6.1 - MOMENTO DE UMA ÁREA PLANA
Chamamos momento Me de uma área plana em relação a um eixo (e) ao produto da área pela distância de seu baricentro ao eixo.
Se a área for uma área composta de várias outras, seu momento em relação a um eixo será a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao mesmo eixo.
Nota: Em ambos os casos a distância do baricentro ao eixo é tomada com sinal.
Exemplos:
Ej Determine os momentos em relação ao eixo dos x da área plana limitada pela curva y 2 = x + 4, no 29 quadrante.
Solução:
19 passo — Fazemos um esboço da área, tomando um retângulo elementar.
29 passo — Montamos o produto da área elementar pela distância do seu baricentro ao eixo.
39 passo — Fazemos a soma dos infinitos produtos, através da integral definida.
INTEGRAL DEFINIDA 309
29) Área do retângulo é - x A y
O baricentro é o ponto , y"j e o momento em relação ao eixo dos.
é, por definição, (—* Ay) • y.
39 ) M X = - f xy d yJ o
De y 2 = x + 4
Substituindo =
> x = y 2 - 4.
2
( y 1 - 4 ) y d y=>MX = íMy
- ÍcV3 - 4y )d y
= ~ 2y2
Mx = - [ 4 - 8 ]
Mx = 4
No exercício anterior, determine o momento em relação ao eixo dos y.
19 passo — O esboço gráfico já está feito e a área elementar é a mesma ( - * A y).
29 passo — 0 produto da área elementar pela distância de seu baricentro
ao eixo Oy é x ( - x Ay).
39 passo — A somã é My .
310 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
My = - y í Jo
De y 2 = x + 4 => x = y 2 4.
Substituindo = > My = - í (>2 - 4 Jo
t 2= - { ( / - 8 / + 16)<fy
Jo
1 / 8 /
M,
My = - i t - f + 16^
Í ( t - t + 32
1 96 - 320 + 480 My = ~ l ' ---------15---------
JWy =12815
Determine os momentos em relação aos eixos coordenados da área plana limitada pela curva y = 4x x 2, no 19 quadrante.
a) Determinação do momento em relação ao eixo x, Mx .
19 passo — Esboço gráfico
y = 4x — x 2
4 x - x 2 = 0
x = 0x (4 - jc) = 0
x = 4
A átea elementar é ydx .
29 passo — 0 produto da área elementar pela distância de seu baricentroy
ao eixo Ox é -y • (ydx).
39 passo — A soma é Mx .
Mx = \ j y2dxComo y — 4* - x 1 — - > Mx = ^ í (4x - x 1)2 dx
- i f f/o
INTEGRAL DEFINIDA 311
P 4
Mx = -z I (16x2 - 8x3 + xA) dx
1 | l 6 * 3 „ 4 + x ^
* 0Mx = Í r \ ± - - 2 x * + ~2 L 3 5
1 fL9_24 . 10242 V 3Mx = x ( - 512 +
1 512 2562 ' 1 F " T T
b) Determinação do momento em relação ao eixo dos y , My .
Aproveitando o 19 Passo da primeira parte do exercício, tiramos a área elementar ydx.
29 passo — O produto da área elementar pela distância de seu baricentro ao eixo Oy, é x (y d x ) .
39 passo — A soma é My .
312 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
256 , My = -----64
w _ 64My ~ 3
10.6.2 - BARICENTRO DE UMA AREA PLANA
Seja uma superfície de área A e baricentro G (x, y ) .Da definição de momento de uma área plana em relação a um eixo, tiramos
Mx = A y e My = A x
Mx _ My (M y Mxe conseqüentemente, y = e x = — , logo G( —
Exemplos:
Ei Determine as coordenadas do centro de gravidade G (x, y ) da área da superfície dada na figura abaixo.
My MxSabemos que x = e y = - j - .
A área A é a soma das áreas dos retângulos marcados na figura:
i 4 = 2 X 5 + 6 X 2 + 2 X l + 2 X 5
A = 3 4 u 2
O momento de uma área composta em relação a um eixo é a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao mesmo eixo.Assim:
Mx = 10 X (2,5) + 12 X 1 + 2 X (2,5) + 10 X (2,5)
Mx = 6 7
INfEGRAL DEFINIDA 313
e My = 1 0 X 1 + 1 2 X 5 + 2 X 5 + 1 0 X 9
My = 170
_ 170 _ 67Log°, x = w = 5 e y = - .
Determine o baricentro da área limitada pela curva y = — e pela reta>» = x.
Queremos x e y .
19 passo - Façamos o esboço gráfico: x2
0J_22
Nota: A ordenada do baricentro da área elementar é a média aritmética das ordenadas extremas.
29 passo — Calculemos A:
A J y d x = I ( y r - y c)d x0 •'O
- f ( - íA
- 1 4 2 2 , - 2 ~ T = t u
39 passo — Calculemos Mx e My :
O elemento de área tem área ydx.Para calcularmos o Mx , comecemos multiplicando a área ( y r — y ò ) ^ pela distância de seu baricentro ao eixo dos x .Assim,
314 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[ (» - y c)dx] - j ( yr + yc)
Logo,
My
M,
•'O
-*r«'OJC + -T- ) X ---- — ) dx
<£c
-2 3 20
1 / 8 8 \ 1 16 8" * = 2 V T ' T y = 2 ' 15 = Ts
Para calcularmos o My , comecemos multiplicando a área (y r - y c)dx pela distância de seu baricentro ao eixs dos y.Assim:
[Or - y c)dx]x
Logo,
- f (‘ - T
■ f
jcdxM,
Mv
« . - ' T - T
» / - T
49 passo — Calculemos x e ,y através das fórmulas:
2- My 1x = T = T =
INTEGRAL DEFINIDA 315
10.6.3 - MOMENTO DE INÉRCIA DE AREAS PLANAS
Chamamos momento de inércia Ie de uma área plana em relação a um eixo (e) ao produto da área pelo quadrado da distância de seu baricentro ao eixo (e) de referência.
Exemplos:
E, Determine o momento de inércia do retângulo de base b e altura a em relação ao lado a.
Momento em relação ao lado a:
19 passo - Esboço gráfico
Consideremos o retângulo dado apoiado sobre os eixos coordenados e tomemos o elemento de área de modo que sua dimensão infinitesimal se apóie no outro eixo.A área elementar é a dx.
29 passo — Indiquemos o produto úa área elementar pelo quadrado da distância de seu baricentro ao eixo Oy, suporte de a, (a d x)x2
39 passo - Tomemos a soma dos infinitos produtos (adx)x2 entre 0 a b.
Ia = Í ax2dx = [x3]* = y - = a • b • b2 = j A b 2J o
Se não respeitarmos as recomendações acima para a tomada da área elementar, deveremos tomar para o momento de inércia de uma área retangular
316
e 2
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
— do produto da área pelo quadrado do comprimento do outro lado.
(Conclusão Importante: Cl)
J 0
4fJ 0
(bdy)b2
b3dy
I„ = y • 62
Ia = j X . Z>2
Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos _v da área limitada pela curva y = 4 — x 1 e o eixo dos jc.
19 passo — Representação gráfica e área elementar:
y = 4 - x 1
4 - jc2 = 0
x = ±2
X y
— 2 00 42 0
O elemento de área será tomado com a dimensão infinitesimal no eixo dos x e sua área y dx.
29 passo — Produto da área elementar pelo quadrado da distância de seu baricentro ao eixo dos y .
( y d x ) • x 2
39 passo — Soma dos infinitos produtos:
INTEGRAL DEFINIDA 317
- í .
=2 íx 2y d x
x 1yd x (em virtude da simetria da curva).
Como y = 4 — x 2 = > / , = x 2(4 - x 2)dx
■*r•'o (4x2 - *4)<ix
2 I 3 5
, 64 _ 128l y ~ L ' 15 " 15
_ 12815
Se considerássemos o retângulo elementar com a dimensão infinitesimal nc eixo Oy, o produto elementar para a. obtençío, do Iy seria
(xdy)x2 (Exercício Ej, pág. 30, C.I.)(•4
- * í *•'Ox 3dy
Como y = 4 — x 2 — > x = ^ 4 ”
318 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
■ f f J 0(4 - y f 2 dy
_ 2 f
3 Jo(4 — y ) in d (4 — y )
r _ 2 (4 — y)sr - = - l 5 ( ° - 25) = 15
E3 Determine o momento de inércia em relação a cada um dos eixos coordenados da área limitada pela curva y = sen x, desde jc = 0 a x = ir e pelo eixo dos*.
Determinemos o momento em relação ao eixo dos y. A área elementar é ydx.O produto ( y d x )x 2 e
- fI v = I x 2yd x
- fJox 2 sen x dxe como y = sen x Iy
Integrando por partes,
f x 2 sen xdx = 2 cos x + 2 x s e n x - x 2 cosx + C
Jox 2 sen xdx = [2 cos x + 2 x sen x — x 2 cos x]nQ
INTEGRAL DEFINIDA 319
Iy = (2 • cosjr + 2ttserur — 7r2 cos7r) — (2 cos0 + 2 ■ 0 • sen0 - 1 0 - 1 1
— O2 cos O)
Iy = - 2 + 7T2 - 2
Em relação ao eixo dos x:
1
Iy = ff2 — 4
Tomamos y da área e multiplicamo-lo pelo quadrado da distância ao outro
lado: y 2 (CX, pág. 30)
<-i[Joy 3dx
Como y = sen x,
sen3xdx = — cos x + — cos3xJo
I x - J COS 7T + y COS3 7r j - ( — COS 0 + y COS3 0
1)
E4 Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos _y, da área limitadax2no 19 quadrante pela curva y = — e pela reta x — y = 0.
^ = T X - J = 0
y = x
JC X 7
•Kc 0 0 0 0
2 1 4 44 4
O momento pedido é em relação ao eixo dos y. Façamos, então, a partição do eixo dos x.A área elementar ( y r - y c)dx.O produto pelo quadrado da distância é
[ ( » - y c)d x ] x 2
320 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
10.6.4 - RAIOS DE Gl RAÇÃO
Chamamos raio de giração ao número positivo R definida pela relação
/ e = A R 2
Exemplo: No exercício anterior determine o raio de giração.
64Além do momento ly — - y , calcularemos a área A.
INTEGRAL DEFINIDA 321
Então, se
o R = J - V ã õ .
10.7 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
- 4PR! Calcule I arcsenxdx.r
Integremos, primeiramente, a integral indefinida /arcsenxdx. Vimos na integração por partes que
Jaicsenxdx — xarcsenx + V 1 — x 2 + C
Então
J
V ã s/T
arcsen xdx = xarcsenx + V l - x 2 o L Jo
£í 2 w f V 2 y f l í 2~\I arcsenx d x = I — arcsen — — I- / 1 — I -
4
— (0 • arc sen 0 + V 1 — 0)
A
l ’ “ ■ » * * - + ^ r - > - }r ( í + *
íPRj Calcule
Como
/ í n x * = / í n x d(Knx) = y ( £ n x ) 2 + C
322 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
vem,
T o * 1J t 2 n x y = 2
Jf‘ ín, f . i ( l = - 0 = ) . i
' = y[(8ne)2 - (g rU )2]1 T T
PR 3 Calcule | \ fx d x .fComo
„3/2f \ f x d x = f x l/2dx = + C = — JC >/jT + C
vem,
r \ f x d x = i = | ( 9 V 9 - 1V T ) = | ( 2 7 - 1) = y
PR4 Calcule a área da superfície limitada pela curva jí = 3_y — _y2-e pela reta x =0.Representemos graficamente a curva, marquemos a superfície cuja área queremos calcular.
0
22
0
O retângulo elementar tem área x d y com x > 0, então,
f>3 y3
(3y - y 2)dy- f — f J 0 •'o
INTEGRAL DEFINIDA 323
Sendo
p / - / ) * - ¥ - 4 + c
vem,
S = 3 z ! _ z i2 3
= 27 _ _9 2 o 2 2 U
PR 5 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = 4x — x 2 e pela reta y = x.
Façamos os gráficos da curva e da reta e marquemos a superfície S.
y = 4 x — x 2 y = x
X y- 1 - 50 02 44 05 - 5
02
=> x 1 — 3x = 0
Calculemos o ponto de intersecção
f y = 4 x - x 2P < > x = 4 x - x 2
[ y = x
x = 0
x = 3
Notamos na figura que o elemento de área tem por base dx e por altura a diferença das ordenadas da curva e da reta, logo sua área é (y c — y r) dx e a área procurada
S = í (^c - » ) d x = í (4x - X2 - x)dx «'o •'o
■ f
(3x - x J) dx
324 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
A integral indefinida
f ( 3 x - x 2)d x = ^ - - ? - + C.
Então,
5 = 3x2 3
PRé Calcule a área do círculo de raio R.
27 27 27 9 2 o 2 3 6 ~ 2 U
A área do círculo limitado pela circunferência x 2 + y 2 = R 2 é igual a 4 vezes a área do setor circular S%.
Então 5 = 4S i
Um elemento de área de S , é o retângulo de área ydx.
r R r REntão, 5 i = I y d x e 5 = 4 5 , = 4 I y d x
De x 2 + y 2 = R 2 tiramos y = V /? - x 2 (apenas y > 0)
rRLogo, substituindo, 5 = 4 I \ / R 1 - x 1 dx
J o
Integremos j \ / R 7 — x 2 dx
Esta integral foi estudada no Capítulo VIII, pág. 4, exercício E4.
f y /a 2 - x 2 dx = arc sen — + ^ \Ja2 - x 2 + C L a 2
No nosso caso
f y / R 2 - x 2 dx = arc sen -§ + 4 \ J R 2 - x 2 + C L K. L
'NTEGRAL DEFINIDA 325
5 = 4
5 = 4
R x , x ------2— arc sen — + — v R — xR 2
arcsen-^ +
c * R2 15 = 4 - — arc sen 1
5 = 2 * ’ - §
5 = nR 2\i2
x 2 V2PR7 Determine a irea da elipse — + = 1.
u b
Do mesmo modo que no exercício anterior, a área desejada 5 é igual a 45,.
5 = 4 S i e o retângulo elementar tem área yd x , o que nos dá
■ í5 , = y d x
Logo
y d x
De ^ + 4 = 1 a 62
=> è2*2 + a2jy2 = a2 ô2
► y = 4 < « 2 - * 2)
(o
=> y = — \ / a 2 - x2
Substituindo em (1)■ ' - * í
(> -> 0 )
V a 2 - x 2dx
326 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Mas
J\/a2 —x l dx = -y arc sen y + ^ V a2 - * 2 + C (Exercício ant.)
a-=• arc sen .2 a 2
S = —a I a•'o
„ 4Z>[a2 a , a n ------j a2 0 , 0 n — ~S = — — arcsen — + — va^ - a - — arc sen — + — v a — 0
r. 4 b a 2 S = — • — arc sen 1 a 2
5 = 26a • j
S = irabu2
Notemos que a área do círculo é um caso particular da elipse: quando a — b = R.
PR8 Determine a área de um trapézio de bases b e B e altura h.
Seja o trapézio OPQR referido no referencial cartesiano xOy.
Daí,
CHS = I ydxJ o
A reta que limita a superfície OPQR tem por equação y = ax + b, o que nos dá
INTEGRAL DEFINIDA 327
- çJ o(ox + b)dx
Como j(ax + b)dx = + bx + C, resulta
S =ax . . — + b x ah2 + bh (D
B - bNotemos, porém, que a = tg a. Do triângulo RTQ tiramos tg a = -—^
B - bportanto, a = — ^— .
Substituindo na (1):
„ _ B - b h\S - ~ Y ~ - T + bh
S =
S =
Bh — bh + 2bh 2
Bh + bh
s = u2
Fórmula conhecida da Geometria
PR9 Determine a área da superfície limitada pela curva y = 3 x2 — 4x + 1, pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 2.
As raízes de y = 3x2 — 4x + 1 são
Marquemos graficamente a superfície:
1
x =
■ rLogo, 5 = yd x .
328 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
- ÍComo y = l>xí — 4x + 1 > S = | (3x 2 — 4x + l)d x e sendo
/(3 x 2 - 4x + l)d x = x 3 — 2x2 + x + C
= > S = [x3 - 2x2 + x] \ = (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 2 u2
PRio Calcule a área da superfície limitada pela curva y = a2x — x 3, pelo eixo dos x e pelas retas x = — ã e x = a.
As raízes de y = a2 • x - x 3 são:
a2x - x 3 = 0
' x = 0
=> x = ±ax(a2 x2) = 0
a1 - x2 = 0
X
- a 0
a 3 a3~ 2 8
0 0
a 3a32 8
a 0
Dada a simetria da curva, as duas superfícies assinaladas têm a mesma área.
Logo, S = 25 ,.
5i = f ydxJ o
5 - 2 í (a2x — x 3)dxJo
A integral indefinida
n2r2 Í4J(a2x - x 3)dx = - ~ + C
INTEGRAL DEFINIDA 329
o que nos dá
S = 2a x ‘
2 ~ 4
S = 2 => S = U2
PRU Determine a área da superfície limitada pela curva y = el i n x , pelo eixo dos x e pelas retas x — 1 e x = 2.
A função y = eí in x preparada equivale y = x 1. Seu gráfico é o da figura abaixo.
y = x-x dx
Mas, l x 7dx = — + C
8 1 7 2 , 3 3 3 U
PR12 Calcule [ M dx.
Determinemos a integral indefinida:
V i - x v T
Vi + x V T
í ^ - f v é p - f -vT
-dx
/ /
V l - x 2
d(l - x2)
+ JCdx = are sen
1 - x1 + x
= arc sen x + -y / (1 - x2) ' 1/2rf(l - x 2)
330 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
J — 7^ dx = arc sen x + V l — x 2 + C
Logo,
f y w .j 0dx = [arcsenx + \J 1 — x 1 ] * = [arcsen 1 +\/1 — 1 ] —
= [arcsen 0 + \ / l — 0]
f / w ,J 0
PR13 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 + 1, pelo eixo dos x e pelas retas x = - 2 e x = 3.
Representação gráfica: X y- 1 20 11 2
O elemento de área da superfície S é 0 retângulo marcado de área yd x ,
com y > 0 , então:
. 3
-JL2 — I ydx, como y = x + 1 ------ 1> S - w : (x2 + 1 )dx
A integral indefinida \{x2 + 1 )dx = — + x + C o que nos dá
INTEGRAL DEFINIDA 331
3S - 2 =
X\T
PR 14 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3 - 4 e pelas retas y = 0, x = - 2 e x = 1.
Representação gráfica:
X 7
- 2 - 1 2
- 1 - 5
0 - 4
1 - 3
2 4
O elemento de área da superfície dada é y d x , com y < 0, então:
- £ydx
ou permutando os limites de integração:
(x3 — 4)dx- r
Como / (x3 - 4) dx = — - 4x + C,
■ — 4x4 - 4
5 = 1 2 + ^ = f u,4 4
332 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PR1S Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3 — x e pelas retas y = 0, x = - 2 e x = 2.
Representação gráfica:
y
X - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
7 - 2 4 - 6 0 0 0 6 24
Notamos que no elemento de área da superfície dada, yd x , o fator y ora é positivo, ora negativo.
Dada a simetria da curva, podemos calcular as áreas nos intervalos [0, 1] e [1, 2] e tomá-lo em dobro.
S = 2 (50l + S ? )
- 2 (] [ 4- J
“2(Í
= 2 ^ (x 3 -x )< £ t + J (x 3 — x ) d x ]
Como J (x 3 - x )d x + C
o5 = 2
5 = 2 - I + I4 2
4 - 2 - i + i* 4 2
INTEGRAL DEFINIDA 333
s=2(í + 2+i)S . 2 . - | - 5 u >
PR16 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = 6x - 3 x 2 e y = 2 x - x 2.
y = 6x - 3 x2 X y y = 2x - x 2 X 76x - 3x2 = 0 - 1 - 9 2x - x2 = 0 - 1 - 3
2x — xJ = 0 0 0 x (2 — x) = 0 ---- > 0 0
x (2 - x) = 0 — 1—-> 3f x = 0
1 12 0 2 u
YX II O 3 - 9 \ x = 2 3 - 3
| x = 2
0 elemento de área y d x tem o y diferença dos y da curva mais alta e mais baixa, y = y i - y 2.
Então
■ fO i - y i )d x = >
> S = (6x — 3x2 — 2x + x 2)d x = = >■í- f> S = (4x — 2x 2)dx
334 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
9 x*Como l(4x - 2x 2)dx = 2 x 2 ------— + C resulta
S = 2 x 2 ----- —
16S = 18 - y ) - 0
* = i u28
PR,7 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 e pela reta y = 4.
Representação gráfica:
X y- 1 i
0 0
1 i
O elemento de área é
CVr ~ y c)dx = (4 - x 2)dx
Então
i*2)dx
Como /(4 — x 2)dx = 4 x - y + C >
=>5 = 2 4x - — 3 32 2= T U
PRjg Calcule a área da superfície limitada pela curva y — x 2 e pela reta y —x + 2.
Representação gráfica:
Aproveitemos os dados do problema PR17 na representação da curva.
INTEGRAL DEFINIDA 335
0 elemento de área é (y r - y c)dx = (x 4- 2 — x 2)dx.
Então,
- £(x + 2 - x 2)dx
I X^S = t + 2 , - t
5 = < 2 + 4 - í J - ( t - 2 + Í
PR i; Calculedx
y / x 2 - 4usando a substituição dos limites de integração.
Façamos a substituição da variável x e, conseqüentemente, a substituição dos „limites, de integraçãio.
Da figura => 2 = x cos a => x =cos a
336 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
A substituição da variável nos leva a substituir os limites de integração. Assim, de
x = 2 sec a ■■
para x = 4
para x = 2
=> see <*j = 42
2=> sec a, = —
=> ot2 = arc sec 2
=> sec a = -j
ir=> «2 = T
=> a, = arcsec I a, = 0
r 4 z*1 r -j dx _ j 3 2 se ca tg a d a _ I 3 daJj x 2 \ / x 2 - 4 J0 4 sec2 a • 2 tg a 4 J0 sec a
- 7T1 f T = I cos a a a
Jo
r 1 V x 2 - 4 4= -j I sen a| = -j (sen — sen 0) =
1 / V 3
r dx
4 V 2
V i
- 0
x 2 y /x 2 — 4
PR20 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = 4x - x 2 e y — x 2.
Representação gráfica:
y = 4 x - x 2 — --- > 4x - x2 = 0 y = x 2
X y
OII'h'1X
X y
- 1 - 5x = 0 e x = 4 - 1 1
raiz 0 0 0 0
média 2 4 1 1
raiz 4 0
5 - 5
y 2 = 2x - 2 = > X > 0
INTEGRAL DEFINIDA 337
y = x — 5
X 1 3 5,5 x 0 3
0 ± 2 ±3 y - 5 - 2
Os pontos de intersecção da curva e da reta são
y 2 = 2x - 2
y = x — 5= > (x - 5)2 = 2x - 2
=> x 2 - 10x + 25 - 2x + 2 = 0 => x 2 - 12x + 27 = 0
=> y = 3 - 5 = - 2
=>.>’ = 9 — 5 = 4
Xi = 3
Xj = 9
O elemento de área no caso presente deve ser do tipo xd y , isto é (xr - x c)dy. Se tomado do tipo y d x teremos que calcular duas integrais definidas nos intervalos [1, 3] e [3, 9], pois a área da superfície ABCé limitada pela curva
y 2 = 2x — 2 --------> y x = + V 2x — 2 e y 2 = — \Í2 x
e a área da superfície CBD é limitada por y = V 2 x — 2 e a reta y - x — 5.
Então:
= j" (xr - x, ) dy 0 )
Como a reta é y = x — 5
y 2 = 2x - 2 > x c =
=> xr = y + 5 e a curva é
_ / + 2
338 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Substituindo na (1) => S - i (y + 5 - J j - l ) d y
S =
S
y2 y3 Í - - Í - + 4,4
- 2
S = - y = 18u2
PR21 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = 4x — x 2 e y = x 2
x
4* — x2
Da figura concluímos, diretamente, que as curvas se interceptam nos pontos (0 ,0) e (2,4).Esta determinaçío deve ser feita através do sistema de equações
y = 4x - x 2
y = x 2
=> x 2 = 4x - x 2 = > 2x2 — 4x = 0 ■ - - - > x 2 — 2x = 0 = >
x = 0 = > y = 0 = > (0, 0)
x = 2 —> y = 4 =- > (2, 4)
No cálculo da área, a partição do intervalo neste exercício poderá indiferentemente, ser feita no intervalo [0, 2] C Ox ou no L0, 4] C Oy.
^ > x ( x - 2 ) = 0
• 2
No 19 caso o elemento de área é ( y t — y ^ d x e S = I - y 2)dx.
INTEGRAL DEFINIDA 339
*»4No 29 caso o elemento de área é (x 2 - x t)d y e S = I (x 2 — x ^ d y .
= Í (J'!J 0
- fJo
É evidente que no 19 caso a solução se torna mais fácil.
Então,
- i
í
2
(4x - x 2 — x 2)dx
2■2 \S = (4x — 2x2)dx
S = | 2*2 - ¥ I—-¥-4-*PR22 Calcule o volume da esfera gerada
redor de um dos eixos de rotação.
-=> V = 2rr I* }>2íit Jo
Mas de x 2 + y 2 = A2 tiramos >> = y pelo seu valor, vem
la rotação do semicírculo de raio R ao
O setor BOA girando ao redor de Ox gerará um hemisfério.O elemento da área do setor BOA é o retângulo ydx.
O volume da esfera V = 2 Vx.
Como
[ RF, = 7T J y 2dx — >Jo
(D
V i?2 — x2, y > 0 e substituindo em (1)
340 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
V = 2ir I" (R * - x 2)dx
PRj3 Determine o volume do cone reto de revolução de raio R e altura h.
Sabemos que o cone de revolução é gerado por um triângulo retângulo dando um giro completo ao redor de um dos catetos.Através de uma reta que passa pela origem, y = ax, obteremos o triângulo retângulo desejado OAB.
O elemento de área é o retângulo de área yd x e o cilindro elementar terá o volume n y2dx.Logo,
y y = ax
X
hV = 7T
como y = ax, vem:
INTEGRAL DEFINIDA 341
- f * 0a2x 2dx = a2n x
3
V = a2n
Do triângulo OAB
v R2 h3
k = i 4 ! í u>
Calcule o volume do tronco de cone reto de revolução de altura h e raios das bases r e R.
O referido sólido é gerado por um trapézio retângulo que gira ao redor da altura.
= ax + r
Tomemos a reta y = ax + r referida no referencial cartesiano xOy. A superfície AOBC é o trapézio necessário. Tem bases r e R e altura h. O retângulo elementar de área y d x gerará o cilindro elementar de volume n y2dx.
342 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Então:
•'Oy 2dx.
Substituindo y > V" fJo
(ax + r)2dx
V = n í (a2x 2 Jo
+ 2 arx + ^ d x
V = ir\a2^ + arx2 + r*x
V = ir ( a2 — + arhí1 + r2 h 0 )
Mas do triângulo ADC
Da (1) vem:
ui
=> a = tg a =
F = 7T (R ~ rY , R - r .2 , fc* 3 + A + r / i
K = ir (KJ - 2Rr + r * ) j + (Rr - r2)* + r2*
Colocando — em evidência:
K = y [i?2 - 2Kr + r2 + 3(Rr - r2) + 3 r2]
V = y (i?2 - 2Rr + r2 + 3flr -J r ^ + ^ r * )
7 = y (fl2 + t-2 + Kr)u}
PR25 Determine o volume do elipsóide de revolução gerado pelo giro ao redor dox 2 y 2
eixo Ox da superfície elíptica limitada pela elipse ~~T + ^ = *'
INTEGRAL DEFINIDA 343
V = 2 V l
-rV = 2 n I y 2dx (1)
De 4 r + ^ - r = l ------- > b2x 2 + a2y 1 = a2 b2 =----- >a2 b2
2 2 2 1.2 u2 2 2 b ( t i — X> a * y ‘ = a b* - b l x * > y 1 = — i i
Substituindo na (1) — V = 2 ir I — (a2 - x 2)dxr.*=2’ í f (a2 — x2) dx
V = 2n \a2x - ~ a
V = 2jt 4 a
3a2x - jc3
„ „ Z?2 3a3 - a 3 „ ò2 2a3r - 2 « 7 . — j -------- 2 " 7 ' —
F = —irab2 u3
Se o giro for ao redor de Oy ■ = - > K = —na2b. Verifique
PR26 Determine o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor de Ox, da superfície limitada pela curva y = 4 x - x 2 e pela reta y = 2x.
Representação gráfica:
344 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
curva
y = 4x - x 2 4x - x 2 = 0
jc(4 - x) = 0OIIH
X
x = 4
y0 02 44 0
reta
y = 2x
y04
O sólido gerado é oco, pois o elemento de área gerará um anel circular elementar n ( y 2 - y 2)dx. Então
í O'«?-Jo
y?)dx
substituindo o y da curva e o ^ d a reta, vem
V - n ( [(4* - x 2f - (2x)2 ] dxJo
V = 1 r í (16xs - 8x3 + x* - 4x2)dx Jo
INTEGRAL DEFINIDA 345
PR27 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor do eixo Oy, da superfície limitada pela curva y = x* e pelas retas y = 0 e x = 2.
Sólido oco:
O anel circular elementar tem volume
ff(x? - X*)dy
mas, xr = 2 e x c = s fy
Então,
/*8V = n I (2J - s fy í )dy
J 0
V = n 1 (4 — y )dy *0
K = i r | 4 7 - - | / /3
V = ir ( 3 2 - - f V s *
V = ir ( 3 2 3 2 j
K = ;r 160 - 96
v 64 37 = y f f u ’
PR28 Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela superfície limitada pela
curva y = — j—- , pelas retas y — 0, x — — 1 e x = 1, girando ao redor do1
eixo Ox.
346 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Representação gráfica:
1 * - 2 - 1 0 1 2
y 1 + x 2 „ 1 1 1 1 15 2 2 5
0 elemento de área é y d x o volume elementar iry2dx, logo:
V = ir | y*dx" £
C 1= TÍ I ------- dx
ou, o que é mais fácil,
V-' = 2?r ------L - 5 dxJo (1 +*1)2Façamos x = tga -------> dx = sec2a d a
os limites de integração serão a = arctg x, logo para
x = 1 — > a = arc tg 1 = -T
para
x = 0 > a = arc tg 0 = 0.
Substituindo na (1) — ----> V . 2 ,j » o +
arfa
(D
tg2 a )2
INTEGRAL DEFINIDA 347
=> V
z í[ sec2a d a „ |
= 2 * J 0 ^ r = 2 " ] 0 ;
n n
=> V = 2n I cos2 a d a = \ n I - •'o »0
+ cos2 a ~ 1
da
1 P=> V = ir\ I da + — I cos 2ad(2a) I
V = ir ^ — 0 + (sen -y — sen 0)
PR29 Calcule o comprimento do arco da curva y = - y para x ê [ - 1 , 1 ].
=> - 1
0
1
348 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Como y =
= j V 1 + { y ' f d x ou 2 = 2 j* V l + (y ')2dx
= 2 I V l + x 2 dx mo
=> ÿ = X - > 2 :
Substituição da variável:
Da figura tiramos
x = tga
dx = see2 adoí
Vl + x 2■\/1 + X 1 = cos a
v l + x2 = sec a
Substituição dos limites de integração:
De x = tga -■ > a = arctgx
para x - 0 > a = arc tg 0 -------> a = 0
para x = 1 - > a = arc tg 1
Substituindo na (1):
n-> a ~ 4
rrrí = 2 sec a • sec2 a
nr
2 = 2 I see3 a da = 2
d a
— see a tg a + 2 n (see a + tg a)
(D
2 = sec^-tg-j + 2n(sec— + tg — ) - see OtgO - £n(sec 0 + tg 0)
2 = —,L • 1 + 2n ( -~ + l ) - 2n(1 + 0)\ Í 2 \ V 2 J '----- v---- '
2 = \ [ 2 + 2n (V T + 1) unidades.
INTEGRAL DEFINIDA 349
PR30 Calcule o comprimento do arco y = Snsecx no intervalo fechado j O, “ -j.
■n
í8 = I y / l + ( y ' f d x (1) 0
Determinemos y
1y = secx
=> y = tgx
secx • tgx
Substituindo em (1) = > 8 = I V 1 + tg2x d x = I seexd x•'o •'0
8 = [8n(secx + tgx)]
8 = 8n ^sec ^ + tg j — 8n (see 0 + tg 0)
B = 8 n (V 2 + l ) - 8 n ( l + 0)
8 = 8 n (V T + 1) unidades.
PR3i Calcule o comprimento do arco da curva x A - xy = 1 de x = 1 a x = 2.
Como sabemos
■ í8 = I V l + ( y ') 2dx
De x 4 - 24xy + 48 = 0 — > y =x4 + 4 8
24 xx 3 2
então,
, x 2 2 , x 4 - 16
Substituindo em £:
350 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
' - U '
- V -
'-r
■ f t
64x4
64x4 + x 8 - 32x4 + 25664x4
dx
V x 8 + 32x4 4- 256 8x2
dx = r v ( x 4 + 16)2 Ji 8x2 dx =
dx
- ( M1 24 x
e = - 2 + i Z3 24 => £ = -^7 unidades. 24
PR32 Ache o comprimento da curva
r*
para f e [0, VT]' = 3
X = 2
Sabemos que
rb£ = f V l + ( / ) 2<&
Ja
Determinemos y :
dy_, dy d t t 2
y = ^ = ^ = T = Í d t
dx = ídí
(D
INTEGRAL DEFINIDA 351
Substituindo na (1):
£ = I V l + í 2 td t•'O
/•>/? 1,dt o + Í í )i / í d ( r r 7 ?)
• 0
£ = -2(1 + t 2)
>/s
o
V?£ = { [ (1 + r2) 3
£ = j [ ( l + 3 )3/2 — (1 + 0 ) 3
£ = -j (8 — 1) = - j unidades.
PR 33 Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo dos x, do arco da curva
y = 2 t
X = 4 + 2r
A área nos será dada por
b
de t = 0 a t = 2.
S = 2ir í y V 1 + ( / ) 2 dx Ja
Determinemos y e dx\
dy, dy d t 2 , , „ ,
y = -r~ ~~T~ = T = 1 e dx = 2 d t dx dx 2dt
Substituindo na fórmula (1):
- 2 , f J 0
2 f V l + 1 • 2df
(D
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
S = 2 tt • 4 V 2 td t0
S = 4ttV 7 [ í j ]J
S = 4n V T ( 4 - 0 )
|S — 1Ó7T \/TU j
Calcule a área da superfície gerada pela revolução ao redor do eixo Oy, do arco da curva y = x 2 de y = 0 a y = 2.
Como a rotação se dá ao redor de Oy, a área será calculada pela fórmula
De y = x 2 - —> x = Vy" e x =
Então,
INTEGRAL DEFINIDA 353
5 = [ s f è - V I7 ]
S = | ( 2 7 - 1 ) = ^
S = T » 5
0 momento é em relação ao eixo dos x. Façamos a partição do eixo dos y.
PR 35 Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos x da área limitada pela curva x = 4y - y 2 e pelo eixo dos y . Calcule o raio de giração.
4 y - y 2 = 0 X y0II1 0 0
011 4 2
y = 4 0 4
Área elementar xdy.
Produto da área pelo quadrado da distância do baricentro ao eixo dos x , (xd y )y7.
Ix = I y 2xdy
Como x = 4y - y 2.
1* = I y \ 4 y - y 2)dy- i
" í(4^3 -
1.024= 256 -
0 ->
I x =256
5
354 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Como a área A (4y - y 2)dy
A =
Entío, de
IX = A - R 2 256 _ 32 d2 ~5~ ~ T
R = ou R = y s/3Õ.
10.8 - PROBLEMAS PROPOSTOS
íPP! Calcule I senóx cos 2xdx.
R e s p .: j
ir
rJoPP2 Calcule | cos x cos 5x dx.
1Resp.: -
/>PP 3 Calcule I x 2 V 1 + x dx Sugestão: Faça \ f \ + x = t.
Resp.: — 105
PP4 Calcule I x 2 \J 7 — 4 x 3 dx
INTEGRAL DEFINIDA 355
PP5 CalculeJo V *3 + 1f 2 x 2dx
PP6 Calcule
Resp. :
Resp.: (Sn 2)u2
PP8 Determine a área do trapézio limitado pela reta x 4- y - 10 = 0, pelo eixo dos x e pelas ordenadas de x = 2 e x = 8.
Resp.: 30 u2
PP? Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3, pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = 4.
Resp.: 64 u2
PP10 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 3, pelo eixo dos y e pelas retas y = 0 e y = 8.
Resp.: 12 u2
PPU Calcule a área da superfície limitada pela curva x y = 4, pelo eixo dos x e pelas retas x = b e x = a.
PP12 Calcule a área da superfície limitada pela curva x V 4 - x2 - 2y = 0, pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = 2.
Resp.: j u 2
PP!3 Calcule a área da superfície limitada pela curva y — ^ — , pelo eixo dosV x + 4
x e pelas retas x = 0 e x - 5.
Resp.: 20 u2
PPu Calcule a área da superfície limitada pela curva y — x 2 — 9 e pelas retas y = 0, x = 2 e x = 4.Resp.: 6 u2
PP15 Calcule a área da superfície limitada pela curva y — 4 x — x 2 e pelo eixo dos x.
32 ,Resp.: - y u
PPi6 Calcule a área da superfície limitada no 19 quadrante pela curva y = s f x e pelas retas ^ = 0, ^ = 2 e * = 0.
Resp.: y u 2
PP17 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = 4x - 2jc2 e y = 2x - x 2.
Resp.: y u 2
PP)8 Calcule a área da superfície limitada por y = sen x e pelas retas x = y e
356 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Resp.: y u 2
PP19 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = x 2 e y = \ f x .
Resp.: y u2
PP20 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas x = 8y — 4y 2 e x = 2y - y 2.
Resp.: 4u2
PP2i Calcule a área da superfície limitada pela parábola y = 6x - x 2 e pela reta y = 2x.
INTEGRAL DEFINIDA 357
PPI2 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x 2 — 8x + 7 e pelas retas y = Q , x = 2 z x — 9.
Resp.: 48 uJ
PP23 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = 8n x e pelas retas x = e e y = 0.
/Jesp.: 1 u2
PP25 Calcule a área da superfície limitada pelas curvas y = x 2 — Ax e y = x 3 —- 6 x2 + 8x.
d 71 2 Resp.: ~2~ uU
PP26 Calcule a área de um dos “gomos” limitados pelas curvas y = sen x e y = cos x.
Resp.: 2 \ / 2 u 2
PP27 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor do eixo Ox, da superfície limitada pela curva y — x 2 e pelas retas y = 0 e x = 2.
PP28 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor do eixo Ox, da superfície limitada pela curva y = 4 — x 2 e pela reta y = 0.
P P 2 9 Calcule o volume do sólido que se obtém pela rotação, ao redor do eixo dos x, da superfície limitada pela curva y = x 2 + 1 e pela reta y = 5.
PP30 Calcule o volume do sólido que se obtém pela revolução, ao redor do eixo Ox da superfície limitada pela curva y = x 2 e pela reta AB, com A ( — l, 1)
PP24 Calcule
Resp.: -y iru3
e 5 (3 , 9).
358 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
D 1.088 3Resp.: —j j — iru
PP31 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, ao redor de Ox, da superfície limitada por
- x para x < 0y =
x 2 para x > 0e y = 4
D 1.024 3 Resp.: - jg 7T u
PP32 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, ao redor de Ox, da superfície limitada por
Í 3 x - 2 y =< 2 para 1 < x < 2
Resp.: 7tu3
PP33 Calcule o comprimento do arco y = 1 — £n cossec x para x 6
Resp.: £n(\A 2 + l)u
PP 34 Calcule o comprimento do arco da curva
7T TT_4 ’ 2
y = 1 + 2 t
x = 3 + tcom t < 0,
1
Resp.: 1 u
PP35 Calcule o comprimento do arco da curva y = — no intervalo x € [0, 2 \[2 ) .
Resp.: 12 + y £ n (3 + 2 > /2)u
PP* Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo Ox de um laço da curva x* — 4 x 2 + 32 y 2 = 0.
Resp.: k u2
PP37 Calcule a área do elipsóide gerado pela revolução, ao redor de Ox, da elipse
1.
( 4 yj~3
X 2 V2 — +■*-= 1 16 4
Resp.: 8 it ■ n + l u
INTEGRAL DEFINIDA 359
PPm Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo Oy, do
Resp.: 8 n u 2
PP39 Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo Ox, do arco da curva
f x = 5 sen3 0< , desde 0 = 0 a 0 = ir[ y = 5 cos3 0
Resp.: 607TU2
PP40 Determine o raio de giração em relação ao eixo dos y da área limitada pela curva y = 4 — x 2 e pelo eixo dos x.
2Resp.: — \/~5
PP41 Determine o centróide (baricentro) da área plana limitada pela curva y = = 4 x — x 2 e pelo eixo dos x.
PP42 Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos y da área limitada pela curva y = 9 — x 2 e pela reta y = 0.
APÊNDICE
FORMULÁRIO
LOGARITMO
1) log„b = c < = = > sc = í i ( 0 < a ^ 1 e 6 > 0 , a e J reais)
2) al0«a* = 6
3) log aab = b
4) loga (AB) = \ogaA + [ o g aB ( .A > 0 e B > 0)
5) loga— = loga>i - loga B {A > 0 e B > 0)
6) logaA c = c loga A (A > 0, c real)
7) loga V~b = loga b lln logab (n E N * , b > 0)
8) loga b = j0g (b > 0 , 0 < a = £ l , 0 < c # l ) (mudança de base)
Observação: Quando a = e os logaritmos sãfo denominados “logaritmos na base e” ou logaritmos neperianos onde e é o número irracional 2,718281 . . .
BINÓMIO d e n e w t o n
(* + «)"= apx n ~p +
362 CALCULO DIFERENCIAL EINTEGRAL
°/ VI/ \ y \PjTermo Geral
- O
(x + a y = Xp=o ' P '
TRIGONOMETRIA
1) sen2 x + cos2 x = 1
sen x2) tgx =
cos X3) cotgx = -------sen x
14) secx = cosx
15) cossecx = sen x
6) tg2x + 1 = sec2x
7) 1 + cotg2x = cossec2x
8) sen 2x = 2senx cosx
9) cos 2x = cos2x - sen2*
10) cos2x = (1 + cos 2x)
11) sen2x = - ^ ( l - c o s 2 x )
12) tg 2 x = í 2_ 2tg x 1 - tg2x
13) sen 3 a = 3 sen a - 4 sen3 a
APÊNDICE 363
14) cos 3 a = 4 cos3 a — 3 cos a
15) cos (a + b) = cos a cos b — sen a sen b
16) sen (a + b) = sena cos b + sen b cosa
17) cos (a - b) = cos a cos & + sen a sen 6
sen (a - 6) = sen a cos b - sen b cos a
18)
19)
TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
20)
21)
22)
23)
a + è a - 6 cos a + cos b = 2cos — — cos — -—
cos a — cos b =
a + i a - b sen a + sen b = 2 sen — — cos — - —-
„ a - b a + b sen a — sen b = 2 sen — -— cos — - —
ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS
1) Retângulo: A r = b • h
2) Triângulo:
3) Trapézio:
4) Losango:
A t ■=b • h
A Tr =
=d, • d2
364 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
5) Circulo: A c = irR2
6) Setor circular: •^setor —<xR2
ÍR2
7) Segmento circular:ß 2
^seg = - y (a - sen a)
(a em radianos) ou
(2 é o comprimento do arco)
(a em radianos)
8) Coroa circular: ^ coroa — { R 2 — f 2)
VOLUMES
1) Paralelepípedo:
2) Prisma:
Vp = a • b • c
V - B • h (B é a área da base)
3) Pirâmide:
4) Cilindro:
5) Cone
V = j B ■ h
V = irR2h
V = j vR 2h
6) Esfera: V = j n r *
SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO
1) Área lateral do prisma: A l = 2p • a (2p é o perímetro da secção e a é medida da aresta lateral)
2) Área total do prisma: A j = A i + 2 B A f — 2pa + 2 B
3) Área lateral do cilindro: A i = 2 irrh
APÊNDICE 365
4) Área total do cilindro: A f = 2nr(h + r)
5) Área lateral do cone:
6) Área total do cone:
A l = nrg
A j = ?ir(f + r)
7) Área superficial da esfera:
VOLUME DE TRONCO DE:
1) Prisma triangular: V = B
A = 4 ff/-2
a + b + c
2) Pirâmide com bases paralelas:
3) Cone de bases paralelas:
V = - j [ B + sfB b + b)
nhV = [R2 + R r + r2)