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Fenômenos
de
Transporte
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Fenômenos de Transporte – 01/2008
1
Disciplina: Fenômenos de Transporte
Cursos: Engenharia de Controle e Automação
Engenharia Elétrica
Prof a.: Mara Nilza Estanislau Reis
1º semestre 2008
Objetivos: - Aprender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de
Calor;
- Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso;
- Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas;
- Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos;
- Analisar as maneiras através das quais o calor é transmitido.
Ementa:
Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e
Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies
Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade.
Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de
Massa: Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite,
Aplicações.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
2
Índice
1. Introdução a Mecânica dos Fluidos.................................................................. 12
1.1. Definição............................................................................................. 12
1.2. Objetivo............................................................................................... 12
1.3. Aplicação............................................................................................. 12
2. Definição de um Fluido..................................................................................... 12
2.1. Introdução........................................................................................... 12
2.2. A Hipótese do Contínuo...................................................................... 13
2.3. Princípio da Aderência........................................................................ 13
3. Métodos de Análise........................................................................................... 14
3.1. Sistema................................................................................................ 14
3.2. Volume de Controle............................................................................ 14
4. Dimensões e Unidades...................................................................................... 14
4.1. Introdução............................................................................................ 14
4.2. Sistemas de Dimensões....................................................................... 14
4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 15
5. Propriedades Físicas dos Fluidos...................................................................... 16
5.1. Peso Específico.................................................................................... 16
5.2. Volume Específico.............................................................................. 17
5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 17
5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta........................................... 18
5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico.................................................. 19
5.5.1. Condições Isotérmicas............................................................. 19
5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................ 19
5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 19
6. Campo de Velocidade....................................................................................... 20
7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 21
7.1. Regime Permanente............................................................................. 21
7.2. Regime Transiente............................................................................... 21
7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 21
8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 21
8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 21
Fenômenos de Transporte – 01/2008
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8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 22
8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente............ 23
8.4. Campos de Tensão............................................................................... 26
9. Viscosidade....................................................................................................... 27
9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)............................................. 27
9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)............................................................... 29
9.3. Número de Reynolds: (Re) ................................................................. 29
9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 30
10. Pressão............................................................................................................ 32
10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 34
11. Fluidoestática.................................................................................................. 34
11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos........................................ 35
11.2. Pressão Manométrica........................................................................ 37
11.3. Pressão Absoluta............................................................................... 38
11.4. O Barômetro de Mercúrio................................................................. 38
11.5. Aplicação para a Manometria............................................................ 39
11.6. Tipos de Manômetros........................................................................ 41
11.6.1. Manômetros de líquido.......................................................... 41
11.6.2. Manômetros metálicos.......................................................... 43
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 43
12.1. Princípio de Arquimedes................................................................... 44
13. Fluidodinâmica................................................................................................ 47
13.1. Sistema.............................................................................................. 47
13.2. Volume de Controle.......................................................................... 48
13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para
Volume de Controle................................................................................... 48
13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um
Volume de Controle Arbitrário.................................................................. 49
13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 50
13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica.................................... 51
13.5. 1a Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volume de Controle............. 53
13.6. Equação de Bernoulli........................................................................ 55
13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais......................... 57
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13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli...... 57
13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli..................................... 59
13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 59
13.6.2.2. Medidores de Vazão............................................... 60
13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 62
13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 63
13.6.2.2.3. Placa de Orifício...................................... 65
13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação............................. 68
13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga............. 68
13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos
Reais.................................................................................................. 69
13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 70
13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas..................................... 70
13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 74
13.8. Potência Fornecida por uma Bomba................................................. 81
14. Transferência de Calor.................................................................................... 86
14.1. Introdução.......................................................................................... 86
14.2. Modos de Transferência de Calor..................................................... 86
14.2.1. Condução............................................................................ 86
14.2.2. Convecção.......................................................................... 87
14.2.3. Radiação............................................................................. 87
14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor............................................. 88
14.3.1. Condução............................................................................ 89
14.3.2. Convecção.......................................................................... 92
14.3.3. Radiação............................................................................. 93
15. Condução........................................................................................................ 96
15.1. Introdução à Condução...................................................................... 96
15.2. Propriedades Térmicas da Matéria.................................................... 97
15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle....................... 98
15.4. Equação da Difusão de Calor............................................................ 101
15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 101
15.4.2. Coordenadas Cilíndricas..................................................... 104
15.4.3. Coordenadas Esféricas....................................................... 104
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15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial........................ 105
15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente......................... 108
15.5.1. Parede Simples.................................................................. 108
15.5.2. Resistência Térmica........................................................... 109
15.5.3. Parede Composta................................................................ 113
15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo....................................... 116
15.5.5. Resistência de contato........................................................ 116
15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas
Radiais – Cilindro....................................................................................... 119
15.6.1. Distribuição de Temperatura.............................................. 119
15.6.2. Parede Cilíndrica Composta............................................... 122
15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento......................................... 125
15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente –
Sistemas Radiais – Esfera............................................................... 129
15.8. Condução com Geração de Energia Térmica........................ 130
15.8.1 Condução com Geração de Energia Térmica -
Parede Plana....................................................................... 130
15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica –
Sistemas Radiais................................................................. 133
16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas......................... 134
16.1. Introdução.......................................................................................... 134
16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 136
16.3. Balanço de Energia para uma Aleta.................................................. 137
16.4. Aletas com área da seção transversal constante................................ 138
16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 143
17. Condução Transiente....................................................................................... 146
17.1. Introdução.......................................................................................... 146
17.2. Método da Capacitância Global........................................................ 146
18. Convecção....................................................................................................... 148
18.1. Fundamentos da Convecção.............................................................. 148
18.2. As Camadas Limites da Convecção.................................................. 160
18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica......................................... 151
18.2.2. As Camadas Limites de Concentração.................................. 152
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18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 153
18.4. A Camada Limite Térmica................................................................ 156
EXERCÍCIOS RECOMENDADOS..................................................................... 158
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................. 159
Apêndice A........................................................................................................... 160
Apêndice B............................................................................................................ 164
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Figuras
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. 12
Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de
uma Força de Cisalhamento Constante.
13
Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas ∞ 13
Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 14
Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 14
Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. 20
Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. 22
Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 22
Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. 28
Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. 30
Figura 11 - Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 31
Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 33
Figura 13 – Fluida em Repouso. 34
Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. 35
Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. 37
Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 38
Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. 39
Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 39
Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. 40
Figura 20 – Manômetro de Líquido. 41
Figura 21 – Manômetro de Líquido. 42
Figura 22 – Manômetro de Líquido. 42
Figura 23 – Tubo de Bourdon. 43
Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 43
Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. 43
Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 47
Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 48
Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 48
Figura 29 – Escoamento Unidimensional. 52
Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento 58
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Unidimensional em um Duto.
Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes
Delgadas. 59
Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o
volume de controle usado para análise. 60
Figura 33 – Tubo de Venturi. 62
Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot. 63
Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. 64
Figura 36 – (a) Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão –
Placa de orifício. (b) Placa de Orifício. 66
Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. 68
Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido
Real. 69
Figura 39 - Ábaco de Moody. 72
Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa. 73
Figura 41 – Valores aproximados de k. 74
Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e
Aço. 75
Figura 43- Redução de Área – Bocal. 77
Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 78
Figura 45 – Válvula de gaveta. 79
Figura 46 – Válvula Globo. 80
Figura 47 – Válvula de Retenção. 80
Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. 81
Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima. 83
Figura 50 - Transferência de calor. 86
Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da
energia provocada pela atividade molecular. 87
Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção
natural. (b) Convecção forçada. 87
Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88
Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88
Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana. 89
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9
Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. 91
Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies. 94
Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria. 97
Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). 102
Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas). 104
Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas). 105
Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 108
Figura 63 – Circuito Térmico. 111
Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 113
Figura 65 – Circuito térmico equivalente. 114
Figura 66 – Parede Composta. 116
Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta. 116
Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato. 117
Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco. 119
Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica
Composta. 121
Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. 124
Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta. 125
Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2. 128
Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica. 129
Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor.
(a) Condições de contorno assimétricas. (b) Condições de contorno
assimétricas. (c) Superfície adiabática no plano intermediário.
131
Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. 134
Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de
Calor. 132
Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de
Calor. 132
Figura 79 – Trocadores de Calor com tubos aletados. 133
Figura 80 – Configurações de Aletas. 133
Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. 134
Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante. 139
Figura 83 – Eficiência de aletas. 144
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Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retang. b) Anulares. 146
Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. 147
Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a
diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por
convecção.
148
Figura 87 - Transferência convectiva de Calor. 148
Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana. 149
Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. 151
Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. 152
Figura 91 – Camada Limite. 153
Figura 92 – Camada Limite Térmica. 156
Figura A1 – Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos 166
Figura A2 – Viscosidade Cinemática de Alguns Fluidos à Pressão Atm. 167
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Tabelas
Tabela 1 – Sistemas de Unidades. 15
Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. 16
Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. 71
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 76
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão. 76
Tabela 6 – Coeficiente de Perda de Carga para Redução Suave da Seção. 77
Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e
Conexões 78
Tabela 8 – Valores de h (W/m².K) 92
Tabela 9 – Equações de Taxa 96
Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas 96
Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob
condições de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos
interfaciais
118
Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas 118
Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos 163
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1. Introdução a Mecânica dos Fluidos
1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que
regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso
(Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica).
1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o
meio produtor de trabalho.
1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas),
aeronaves, automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de
residências, edifícios comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina,
etc.
2. Definição de um Fluido 2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de
uma tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1).
Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas
quais a matéria existe.
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante.
A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu
comportamento. Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado
entre as duas placas, o bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No
regime elástico do material, ao cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma
original. Repetindo a experiência para um fluido, ele se deformará continuamente,
enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele (fig.2b).
Fenômenos de Transporte – 01/2008
13
Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força
de Cisalhamento Constante.
1a Situação:
Figura 2a
Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio
estático.
2a Situação:
Figura 2b
Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de
equilíbrio estático.
2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem
o fluido é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se
o fluido como uma substância que pode ser dividida ao infinito.
2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície
sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato;
não há deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3)
Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
14
3. Métodos de análise 3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema
separam-no do ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas,
calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 .
Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro.
3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário),
a fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5.
Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo.
4. Dimensões e unidades 4.1. Introdução
Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias
(básicas) e secundárias (derivadas)).
Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões.
4.2. Sistemas de Dimensões
Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática,
que, traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”.
Exemplo:
200 at2
1Vxx ++=
( ) ( ) ( ) ( )22 tt
L2
1tt
LLL ×+×+=
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15
4.3. Sistema de Unidades
Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento,
etc.). Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960,
instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram
definidas 7 grandezas básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente
elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades.
A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as
grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de
unidades. No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento,
temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária.
SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica),
quantidade de matéria e intensidade luminosa.
Técnico inglês: F(força), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura).
Tabela 1 – Sistemas de Unidades. SISTEMA
DE
UNIDADES
MASSA COMPRI-
MENTO
TEMPO TEMPE-
RATURA
CORRENTE
ELÉTRICA
QTE DE
MATÉRIA
INTENSI-
DADE
LUMINOSA
SI Kg m s K A mol cd
ABSOLUTO g cm s K
TÉCNICO utm m s K
INGLÊS slug ft s R
INGLÊS
TÉCNICO
lbm ft s R
Força: 2sm1kg1N =
Força: 2scm1g1dina =
Massa fts1lbf1slug
2
=
No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as
diferentes grandezas.
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A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos
pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa.
Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia.
Fator
Multiplicativo
Prefixo Símbolo
109 Giga G
106 Mega M
103 Kilo k
10-1 Deci d
10-2 Centi c
10-3 Mili m
10-6 Micro µ
10-9 Nano n
10-12 Pico p
5. Propriedades físicas dos fluidos
5.1. Peso especifico: (γ)
É o peso do fluido contido em uma unidade de volume.
γ: Peso específico [F/L3]
∀=
Wγ W: Peso da substância [F]
][L fluido do Volume: 3∀
ggmmg ργ =∀
=∀
=
Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3)
DIM: [F / L3]
Fenômenos de Transporte – 01/2008
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5.2. Volume específico: (ν)
Inverso da massa específica.
υ: Volume específico [L3/M]
ρυ 1
=∀
=m
ρ: Massa específica ou densidade
absoluta [M/L3]
Unidades: (m3 / kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm)
DIM: [L3/ M]
5.3. Densidade relativa: (δ,d ou SG)
Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma
substância de referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o
ar. Quando se trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância
de referência seja a água.
δ: Densidade relativa [adimensional]
ref
SGdρρδ === ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3]
ρref.: Massa específica ou densidade absoluta da
substância de referência [M/L3]
δ=d = SG=padrãofluido
fluido ρ
ρ = padraãofluido
fluido γ
γ
DIM: [1]
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5.4. Massa específica ou densidade absoluta: ( β )
Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida
em uma unidade de volume.
ρ: Massa específica [M/L3]
∀=
mρ m: Massa do fluido [M]
][L fluido do Volume: 3∀
Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3)
DIM: [M / L3]
A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua
temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com
alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis.
Na Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns
fluidos, a 20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variação da
massa específica da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm.
5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico: (β)
Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por
unidade de volume.
β: Módulo de elasticidade volumétrico
∀∀∆∆−
=/Pβ ∆P: Variação de pressão [F/L2]
][L Volume de Variação:∆ 3∀
][L Volume: 3∀
O sinal negativo indica que um aumento de pressão corresponde a uma redução de
volume.
Unidades: (N/m2; kgf / m2 ; lbf / ft2)
DIM: [F / L2]
Fenômenos de Transporte – 01/2008
19
Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a
medida da variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de
compressibilidade de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases,
o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compressão.
5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante
P.V. = constante P1V1 = P2V2
12
21
PP
VV
=
P.dV + V.dP = 0
P.dV = - V.dP
PPdP
VdV
=
−=
β
5.5.2. Condições adiabáticas:
P.Vk = constante
k = Cp / Cv
P1.V1k = P2.V2
k
Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0
P.k.dV + V.dP = 0
kPkPdP
VdV
=
−=
β
5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C)
Inverso do módulo de elasticidade volumétrico.
β1
=C C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F]
β: Módulo de elasticidade volumétrico
[F/L2]
Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf)
DIM: [L2/F]
Fenômenos de Transporte – 01/2008
20
6. Campo de velocidade
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume
de fluido ∀ mostrado na Fig. 6.
Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto.
A velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do
volume infinitesimal ∀δ que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão.
O campo de velocidade, Vr
, é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa
representação do campo de velocidades é dada por:
( )tzyxVV ,,,rr
=
O vetor velocidade, Vr
, pode ser expresso em termos de suas três componentes
escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e
w, o campo de velocidades pode ser escrito como:
kwjviuV ˆˆˆ ++=r
,
onde: ( ) ( ) ( )tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu ===
Exemplo: Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine:
(a) As dimensões de cada campo de velocidade
(b) Se está em regime permanente ou não
(1) [ ]iaeV bx ˆ−=r
(2) jbxiaxV ˆˆ2 +=r
Fenômenos de Transporte – 01/2008
21
(3) jbxiaxV ˆˆ −=r
(4) ( ) jbyitaxV ˆˆ 2−+=r
(5) ( ) ( )kzyxaV ˆ13
2122 +=
r
Resolução:
(1) Unidimensional ( ( )xVVrr
= ), regime permanente ( )tVVrr
≠ .
(2) Unidimensional ( ( )xVVrr
= ), regime permanente ( )tVVrr
≠ .
(3) Bidimensional ( )yxVV ,rr
= , regime permanente ( )tVVrr
≠ .
(4) Bidimensional ( )yxVV ,rr
= , regime não permanente ( )tVVrr
= .
(5) Tridimensional ( )zyxVV ,,rr
= , regime não permanente ( )tVVrr
= .
7. Regime permanente e transiente 7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento,
não variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é:
0=∂∂
tη , onde η representa uma propriedade qualquer do fluido.
7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo.
7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o módulo e o sentido do
vetor velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas
espaciais, através de toda a extensão do campo.
8. Escoamentos uni, bi, tridimensional. Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o
número de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades.
8.1. Escoamento unidimensional:
Exemplo:
Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção
transversal constante mostrado na Fig. 7.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
22
Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional.
A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela
equação:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
max 1Rruu
Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é
unidimensional.
8.2. Escoamento bidimensional:
Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o
canal é considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será
idêntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de
velocidades é função somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é,
portanto, bidimensional.
Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
23
8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente:
Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter
uma representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de
linhas de tempo, de trajeto, de emissão e de corrente.
Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem
marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta
linha é chamada de linha de tempo.
Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em
movimento. Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado
instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia
de exposição prolongada do seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula
é uma trajetória.
Por outro lado, poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e
identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam
por aquele ponto. Após um curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas
fluidas identificáveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado
por um local fixo no espaço. A linha em que une as partículas fluidas, num ponto fixo
no espaço, é definida como linha de emissão.
As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que,
num dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo.
Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo,
não pode haver escoamento através delas.
No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece
constante com o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um
instante a outro. Isto implica que uma partícula localizada numa determinada linha de
corrente permanecerá sobre a mesma. Além disso, partículas consecutivas passando
através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e,
subseqüentemente permanecerão nela. Então num escoamento permanente, trajetórias e
linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no campo de escoamento.
A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for
transiente. Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não
coincidem.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
24
Exemplo:
Considere o campo de escoamento ∧∧→
−= jbiaxtV , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As
coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1)
no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s.
Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos
instantes t = 0, 1 e 3 segundos.
Resolução:
Partindo do princípio dtdxu = e
dtdyv = , então:
dtdxaxtu == , ∫∫ =
tx
x
dtatx
dx
0
.0
2
0 21ln at
xx
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ e
22
1,021
0 3 tatexexx =∴=
e também, bdtdyv == , ∫∫ =
ty
y
bdtdy00
, tybtyy 310 +=∴+=
ty
ex t
313
21,0
+== Região a ser plotada no plano xy.
Temos que uv
dxdy
s
= .
Logo:axtb
dxdy
= .
Aplicando equações diferenciais temos: x
dxatbdy
x
x
y
y∫∫ =
00
ou ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
00 ln
xx
atbyy .
Substituindo os valores de a, b, x0 e y0, ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
3ln151 x
ty .
Para t=1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
3ln151 xy
t=2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
3ln5,71 xy
t=3 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
3ln51 xy
Fenômenos de Transporte – 01/2008
25
Exemplo:
O campo de velocidade ∧∧→
−= jbyiaxV , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como
representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as
linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro
quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0).
Resolução:
A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por:
uv
dxdy
=
Para ∧∧→
−= jbyiaxV , façamos u = ax e v = -by, logo:
xayb
uv
dxdy
.
.−==
Para resolvermos esta equação diferencial, separamos as variáveis e integramos:
∫∫ −=x
dxab
ydy
∴+−= cxaby lnln c = constante
∴+=−
cxy ab
lnlnln ln c = constante
Fenômenos de Transporte – 01/2008
26
Portanto: ab
cxy−
=
Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente
são obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c.
Como a = b = 1 sec-1, então 1=ba , e a equação das linhas de corrente é dada por:
xccxy == −1 ou
ycx =
Para c = 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y.
• A equação xcy = é a equação da hipérbole.
• As curvas estão mostradas para diferentes valores de c.
8.4. Campo de Tensão
Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da
mecânica dos meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um
meio através de um contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e
distribuídas por todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças
gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de campo.
A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por dVgρ ,
onde ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da
gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é gρ por unidade de volume e
g por unidade de massa.
O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as
forças atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de
Fenômenos de Transporte – 01/2008
27
tensões seria a região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de
toda extensão do material.
Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de
tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo
tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um
tensor de 2ª ordem.
Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , xAδ , e tomando o
limite quando xAδ se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão
mostradas abaixo:
x
z
x
y
x
x
AF
AF
AF
xxx A
xy
A
xy
A
xx
δδ
δδ
δδ
δδδ
τττ limlimlim000 →→→
=∴=∴=
Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica
o plano no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O
segundo índice indica a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma
convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu
sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos.
9. Viscosidade 9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)
Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou
seja, a dificuldade do fluido em escoar.
Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior
move-se a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
28
Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido.
A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por:
dAydFx
AyFx
Ayyx ==→ δ
δτδ 0lim
A taxa de deformação é igual a:
dtd
tt
αδδα
δ=
→0lim
A distância entre os pontos M e M’é dada por:
tVl δδδ = (a)
Para pequenos ângulos, δαδδ yl = (b)
Igualando-se (a) e (b),
dydu
dtd
yu
t=⇒=
αδδ
δδα
Para fluidos Newtonianos, a tensão tangencial é proporcional à taxa de deformação, ou:
dydu
dydu
yxyx µττ =⇒∝ .
A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ.
DIM: [F.t / L2= M/L.t]
Unidades: (N.s/m2 ; kgf.s /m2 ; lbf.s /ft2)
Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições
normais.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
29
Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo,
glicerina e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação
da mesma tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à
deformação muito maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa.
A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O
comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig.
A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura,
enquanto que os líquidos apresentam comportamento inverso.
9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)
Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.
ν: Viscosidade cinemática [L2/t]
ρµυ = µ: Viscosidade dinâmica [Ft/L2]
ρ: Massa específica ou densidade absoluta
[M/L3]
DIM: [L2/t]
Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s)
Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stokes, sendo 1 Stokes =
1cm2/s.
9.3. Número de Reynolds: (Re)
Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas.
Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido.
Re: Número de Reynolds [adimensional]
ρ: Massa específica ou densidade absoluta
[M/L3]
µρ **
Re LV= V*: Velocidade do fluido [L/t]
L*: Comprimento característico [L]
Fenômenos de Transporte – 01/2008
30
µ = Viscosidade dinâmica [F.t/L2]
DIM: [1]
O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele
determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no
interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar
para turbulento é 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Deve-
se ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, à velocidade e ao
comprimento característico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a
velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para
escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre e L*, o
comprimento da placa.
Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds.
Como a viscosidade absoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água,
para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham
comportamentos semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina
deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da água.
9.4. Tipos de escoamento:
- Escoamento laminar ( em tubulações Re 2300≤ )
- Escoamento turbulento (Re > 4000)
Fenômenos de Transporte – 01/2008
31
Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos.
O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro
chamado número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do
escoamento (V ) pela velocidade do som (S) do meio.
SVMa =
Exemplo:
Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um
mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo
com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque
necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se
encontra na folga anular, em (Pa.s)
Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão
de cisalhamento:
dydu.µτ =
Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual
possamos trabalhar:
Mecânica dos Fluidos
Fluido não viscoso µ = 0
Fluido viscoso µ ≠ 0
Compressível Incompressível Ma < 0,3
Laminar Re ≤ 2300
Turbulento Re > 4000
Fenômenos de Transporte – 01/2008
32
smru
sradrrotrrot
rpsW
13,1
/6,125..2.2020..21
20
max ==
⎩⎨⎧
→→→
=
ω
ππ
60..230
.
max
max
max
ndu
dnu
ruou
π
πω
=
=
=
Devemos calcular agora a área de contato entre o fluido e o material:
26
33
10.39,3
10.60.10.18
..
mA
A
LDA
−
−−
=
=
=
π
π
Pelo torque, podemos tirar a força:
NF
F
rF
rF
4,010.90036,0
.
3
=
=
=
=
−
ττ
Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia
à força:
2
3
3
.0208,0
13,1.10.39,310.2,0.4,0
msN
dudy
AF
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
−
µ
µ
µ
, onde y
udydu max=
10. Pressão Força exercida em uma unidade de área.
P: Pressão [F/L2]
AFP = F: Força [F]
A: Área [L2]
Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2 = psi; mmHg)
DIM: [F / L2]
Fenômenos de Transporte – 01/2008
33
A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um
escoamento só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a
pressão pode ser relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão:
TRnP =∀
Onde: n: quantidade de matéria [mol]
R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K
DIM: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
TkmolLF..
.
T: temperatura absoluta do gás [T]
Se, ao invés do número de moles, for considerada a massa m do gás, a equação
pode ser reescrita na forma:
mRTP =∀
Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases
através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema
Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns.
MMRR =
A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição
padrão ou “standard”.
A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser
calculada da maneira mostrada a seguir:
Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
34
A pressão na superfície do fluido é igual a P0.
A força na superfície do fluido é dada por AP0
A força exercida pela coluna de fluido é devida ao seu peso:
( ) ghAgAhgmgFfluido ρρρ ==∀==
A força na base do recipiente é, então, obtida como a soma da força na superfície do
fluido e do peso da coluna de fluido:
ghAAPF
FFF fluidoerfície
ρ+=
+=
0
sup
A pressão na base do recipiente é dada pela razão entre a força e a área da base:
AFF
AFP fluidoerfície +== sup
ghPA
ghAAPP ρρ+=
+= 0
0
Para condições pré-fixadas, P0, ρ e g são constantes.
Assim, a pressão é função apenas da altura da coluna de líquido h.
10.1. Lei de Pascal:
“No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”.
Figura 13 – Fluido em Repouso.
11. Fluidoestática É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso.
A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um
problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da
distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
35
11.1. A equação básica da estática dos fluidos:
Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças
de superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças
desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o
caso das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força
de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é
a força gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas
fronteiras de um meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só
poderão estar presentes forças normais à superfície (por definição, o fluido é a
substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento sem se deformar). A única força
de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão.
Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig.
14.
dx
dy
dz
y
x
z
Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal.
A força total atuando no elemento é dada por:
SSC FdgdmFdFdFdrrrrr
+=+= .
A força líquida de pressão é dada pela soma da força de pressão em cada uma das faces
do elemento. A força de pressão atuando na face esquerda do elemento é:
jdzdxdyyPpFd L
ˆ.2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=r
A força de pressão na face direita é dada por:
( )jdzdxdyyPpFd R
ˆ.2
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=r
Fenômenos de Transporte – 01/2008
36
A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do
elemento,
( ) jdzdxdyyPpidzdydx
xPpidzdydx
xPpFd S
ˆ.2
ˆ.2
ˆ.2 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=r
( ) ( )kdydxdzzPpkdydxdz
zPpjdzdxdy
yPp ˆ.
2ˆ.
2ˆ.
2−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++
dzdydxkzPj
yPi
xPFd S ..ˆˆˆ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−∂∂
−=r
A força total é dada, portanto, por:
dzdydxkzPj
yPi
xPgdmFdgdmFd S ..ˆˆˆ.. ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−∂∂
−+=+=rrrr
Como
dzdydxddm .... ρρ =∀= ,
( ) ∀∇−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−∂∂
−+= dPgdzdydxkzPj
yPi
xPgdzdydxFd rrr
...ˆˆˆ..... ρρ
A 2ª Lei de Newton estabelece que:
admFd rr.=
Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas
as forças deve ser zero. Assim,
( ) 0. =∇− Pgrρ
Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares,
0=+∂∂
− xgxP ρ 0=+
∂∂
− ygyP ρ 0=+
∂∂
− zgzP ρ
Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor
gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z
apontado para cima )ˆ( kgg −=r , as equações podem ser reescritas como:
0=∂∂
xP 0=
∂∂
yP 0=
∂∂
zP
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois
pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15).
Fenômenos de Transporte – 01/2008
37
Conclusões:
1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer,
situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à
mesma pressão;
2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna
fluida (Equação Fundamental da Hidrostática);
3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn =
Px, ou seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da
orientação (Lei de Pascal).
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois
pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles -
Equação Fundamental da Hidrostática (Fig.15).
Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático.
Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As
maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado.
Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas.
Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são
denominadas pressões manométricas ou efetivas.
11.2. Pressão Manométrica:
Pressão medida tomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm).
Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. =
760 mmHg
ghPP CB ρ+=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
38
A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos.
Se P>Patm, Pman > 0
Se P<Patm, Pman < 0
Se P=Patm, Pman = 0
11.3. Pressão Absoluta:
Pressão medida a partir do zero absoluto.
manatmabs PPP +=
ou
atmabsman PPP −=
A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras
equações de estado é a pressão absoluta.
Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica.
11.4. O Barômetro de Mercúrio:
A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor
de pressão atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto
peso específico (geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório
contendo o mesmo fluido. No processo de inversão do tubo, o mercúrio desce, criando
vácuo na parte superior do tubo, como mostrado na Fig. 17.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
39
Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio.
hghPghP
PghPP
PPPP
atm
A
E
EA
AA
atmA
γρρ
ρ
==∴==
+===
vácuo0
repouso) em fluido mesmo no altura (mesma isobáros pontos '
Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida
de mercúrio. mmHgatmmmHgh 7601760 =⇒=
11.5. Aplicação para a Manometria:
( )
γρ
ρ
121212
1212
PPg
PPzz
zzgPP−
=−
=−
−=−
Uma variação na elevação é equivalente a uma variação de pressão.
Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
40
1) ( )5445 zzgPP m −=− ρ
2) ( )4334 zzgPP g −=− ρ
3) ( )3223 zzgPP a −=− ρ
4) ( )2112 zzgPP o −=− ρ
Agrupando as equações acima temos:
( ) ( ) ( ) ( )5443322115 zzgzzgzzgzzgPP mgao −+−+−+−=− ρρρρ
Exemplo:
1) Determine a pressão manométrica no ponto “a”, se o líquido A tem densidade
relativa dA= 0,75, e o líquido B, dB=1,20. O líquido em volta do ponto “a” é
água e o tanque à esquerda está aberto para a atmosfera.
Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes.
Resolução:
Para calcular a pressão no ponto´´a´´, devemos calcular a diferença de pressão
do ponto em aberto (Patm), até chegar em ´´a´´.
Primeiramente faremos algumas transformações para simplificar os cálculos:
1 pol = 25,4 mm
36 pol = 0,914 m
15 pol = 0,381 m
10 pol = 0,254 m
5 pol = 0,127 m
P1
Patm
P2P336pol
dB=1,20
dA=0,75
Fenômenos de Transporte – 01/2008
41
Calculamos as diferenças de pressão:
PaPa
PhgPa
hgPPa
PaP
hgSGPPhgPP
PaP
hgSGPPhgPP
PaP
hgSGPhgPP
oh
oh
Apadãof
A
Bpadãof
B
atmBpadrãof
atmBatm
81,831.707,340.5.254,0.81,9.10.1
3..
..3
07,340.5127,0.81,9.75,0.10.147,274.63
...23..32
47,274.6381,0.81,9.20,1.10.160,759.102
...12..21
60,759.10914,0.81,9.20,1.10.11
...1..1
3
34
34
3
32.
32
3
21.
21
3
1.
1
2
2
=+=
+=
=−
=−=
−==−
=−=
−==−
==
==−
−
−
−
−
−
−
−
−
ρ
ρ
ρρ
ρρ
ρρ
Temos então como pressão no ponto “a”´:
PaPa 81,831.7=
11.6. Tipos de Manômetros:
11.6.1. Manômetros de líquido: São tubos transparentes e curvos, geralmente em
forma de U, que contêm o líquido manométrico. Para medição de altas pressões,
utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores
pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como água ou óleo.
Figura 20 – Manômetro de Líquido.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
42
BA
BatmB
AatmA
BA
ppghppghpp
hh
=+=+=
=
ρρ
Figura 21 – Manômetro de Líquido.
BbatmB
AaatmA
BA
ghppghpp
pp
ρρ
+=+=
=
Figura 22 – Manômetro de Líquido.
AaBbmanC
BbatmB
AaCA
BA
ghghpghpp
ghpppp
ρρρρ
−=+=+=
=
,
Fenômenos de Transporte – 01/2008
43
11.6.2. Manômetros metálicos: São instrumentos usados para medir as pressões dos
fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que
cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações
industriais.
Figura 23 – Tubo de Bourdon. Figura 24 – Manômetro de Diafragma.
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de
uma força igual ao peso do volume do fluido deslocado.
As densidades dos líquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de
flutuação de um densímetro.
Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua denomina-se
empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em
repouso.
Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático.
O empuxo vertical no cilindro elementar de volume ∀d é dado por:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
44
( ) ( )( ) ∀=−=
+−+=−=
gddAhhgdFdAghPdAghPdF
dAPdAPdF
atmatm
ρρρρ
12
12
12
O empuxo total é obtido integrando-se dF, ou seja,
∫∫ ∀=∀== ggddFF ρρ
12.1. Princípio de Arquimedes:
“Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um
empuxo vertical de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado
pelo corpo.”
O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido.
Corpo Imerso:
E = peso do volume de fluido deslocado
gW
gE
corpocorpo
corpofluido
∀=
∀=
ρ
ρ
Corpo Flutuante:
E = peso do volume de fluido deslocado
gW
gE
corpocorpo
deslocadofluido
∀=
∀=
ρ
ρ
Fenômenos de Transporte – 01/2008
45
Situações Possíveis:
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:
corpofluido
WEρρ =
=
• Corpo Afunda
fluidocorpo
EWρρ >
>
• Corpo Fica Parcialmente Imerso
corpofluido
WEρρ >
>
O ponto de aplicação do empuxo é chamado Centro de Flutuação ou de Carena (C).
Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
46
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.
• Corpo Afunda
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.
• Corpo Fica Parcialmente Imerso
O centro de flutuação está localizado abaixo do centro de gravidade do corpo.
Quando o corpo está em equilíbrio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o corpo
for afastado da condição de equilíbrio, pode ocorrer uma das seguintes situações:
• Corpo imerso
Fenômenos de Transporte – 01/2008
47
Se for aplicado um afastamento θ do equilíbrio no corpo, ele permanecerá na nova
posição. Assim, E e W estarão sempre na mesma linha de ação. Nesta situação, o corpo
está em equilíbrio indiferente.
• Corpo flutuante
Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso.
Se o corpo for inclinado de um pequeno ângulo ∆θ (Fig. 26b), o volume da parte de
fluido deslocado irá se alterar, provocando uma mudança na posição do centro de
flutuação do corpo, que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' irá
interceptar a linha de simetria do corpo no ponto M, chamado Metacentro.
Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haverá um momento
restaurador, que tenderá a retornar o corpo para a sua posição de equilíbrio inicial. Neste
caso, o corpo se encontra em equilíbrio estável.
Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tenderá a afastar
o corpo ainda mais da posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo está em
equilíbrio instável.
13. Fluidodinâmica
Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de
controle, figuras 27 e 28.
13.1. Sistema:
Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou
móveis, mas não se verifica transporte de massa através deles.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
48
Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro.
13.2. Volume de Controle:
Volume arbitrário do espaço, através do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do
volume de controle é denominado Superfície de Controle. A superfície de controle pode
ser real ou imaginária, e pode estar em repouso ou em movimento.
Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo.
13.3. A relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de
controle:
As leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre
quando há uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos
problemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-
se a formulação de volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite
que as leis da Mecânica sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma
propriedade extensiva arbitrária qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds
estabelece que:
∫ ∫∀
∀==)( )(sistemamassa sistema
ddmNsistema ηρη
(N) é uma propriedade extensiva (varia diretamente com a massa). Exemplo: massa.
(η) é uma propriedade intensiva (independente da massa). Exemplo: temperatura.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
49
∫∫ •+∀∂∂
=∀ SCCsistema
AdVdtdt
dN ηρηρ
Onde:
.sistdtdN : é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva arbitrária do
sistema.
∫∀
∀∂∂
C
dt
ηρ : é a taxa de variação com o tempo, da propriedade extensiva arbitrária, (N),
dentro do volume de controle.
η: é a propriedade intensiva correspondente a N (η=N por unidade de massa).
∀dρ : é um elemento de massa contido no volume de controle.
∫∀
∀C
dηρ : é a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida no volume de
controle.
∫ •SC
AdVηρ : é a vazão líquida em massa, da propriedade extensiva, N, saindo pela
superfície de controle.
AdV •ρ : é a vazão em massa através do elemento de área Ad .
AdV •ηρ : é a vazão em massa da propriedade extensiva, N, através da área Ad .
nV rr• : é o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal à área.
13.4. Equação da continuidade (de conservação da massa) para um volume de
controle arbitrário:
Se este teorema for aplicado à equação de conservação da massa,
MNsistema = 1==dmdMη
( )∫∫ •+∀∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∀SC
Csistema
dAnVdtdt
dM rrρρ
Como a massa não varia no interior do sistema,
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
sistemadtdM
Fenômenos de Transporte – 01/2008
50
( ) 0=•+∀∂∂
∫∫∀SC
CdAnVd
trr
ρρ
Onde:
θcosunV =•rr
Deve ser ressaltado que o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de área
é dado por:
θcos. AdVAdVrrrr
= , onde θ é o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor normal à área.
Como o vetor normal à área é sempre perpendicular a ela, apontando para fora, uma
entrada de tubulação tem θ = 180° e uma saída de tubulação tem θ = 0°
Na entrada de uma tubulação, unV −=•rr
, e, na saída, unV =•rr
Para um volume de controle fixo,
( ) ∑∑∫ −=•entradasaídaSC
uAuAdAnV ρρρrr
Como o volume de controle é fixo,
0=−+∀⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∑∑∫∀
entradasaídaC
uAuAddtd ρρρ
ou
0=−+∀⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∑∑∫∀
entradasaídaC
mmddtd
&&ρ
13.4.1. Casos especiais:
Em algumas situações, é possível simplificar a equação de conservação da massa.
Para escoamento em regime permanente, não há variação das propriedades do
escoamento com o tempo. Assim, a equação é escrita como:
0=•∫SC
AdVρ
Ou, para um escoamento com um número finito de entradas e saídas, esta equação é
dada por:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
51
0=− ∑∑entradasaída
mm && , lembrando que o produto escalar dentro da integral é positivo para
saídas e negativo para entradas.
Para um fluido incompressível, a massa específica não varia com o tempo ou com a
posição. Assim, a equação de conservação da massa pode ser escrita como:
( ) 0=•+∀∂∂
∫∫∀SC
CdAnVd
trr
ρρ
saídaentrada ρρ =
A integral de ∀d em todo o volume de controle é simplesmente o volume. Como ele
não varia ao longo do tempo, a equação de conservação da massa para fluidos
incompressíveis é dada por:
0=•∫SC
AdV
Definindo-se a vazão volumétrica Q por:
∫ •=SC
AdVQ
a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas
e saídas, como:
0=− ∑∑entradasaída
A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a magnitude da
velocidade média em uma seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica e a área
da seção, ou:
∫ •==SC
AdVAA
QV 1r
13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica:
Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por
apenas uma coordenada espacial s, função do tempo, ou seja, por s(t).
Fenômenos de Transporte – 01/2008
52
Figura 29 – Escoamento Unidimensional.
Seja m a massa fluida ocupando a área A no instante de tempo t:
∀= ρm&
A vazão mássica, definida como sendo a taxa de variação da massa com o tempo, é dada
por:
( )dt
ddtdmm ∀
==ρ
&
Aplicando-se a regra da cadeia,
( )dt
ddtdmm ∀
==ρ
&
Mas:
( ) AudtdsAAs
dtd
dtd
===∀
Assim:
dtduAm ρρ ∀+=&
DIM: [M/t]
Para escoamento incompressível, 0=dtdρ .
uAm ρ=&
A vazão volumétrica, ou a taxa de variação do volume com o tempo, é dada por:
uAdtdQ =∀
=
DIM: [L3/t]
A vazão mássica e a vazão volumétrica podem ser relacionadas pela expressão: Qm ρ=&
Fenômenos de Transporte – 01/2008
53
13.5. 1a Lei da Termodinâmica aplicada ao volume de controle:
A primeira lei da Termodinâmica é uma afirmação da conservação da energia. Sua
formulação para sistema é:
..
..
sistsist dtdEWQ =−
Onde: .
Q : é a taxa de transferência de calor trocada entre o sistema e a vizinhança. A
convenção de sinais adotada estabelece que a taxa de calor é positiva quando o calor é
adicionado ao sistema. .
W : é a taxa de trabalho realizada pelo sistema (convencionada positiva) ou pelo meio
sobre o sistema (negativa).
E: é a energia total do sistema, dada por:
∫∫∀
∀==)()( sistemasistemaM
deedmE ρ
e = é a energia intensiva, dada pela soma entre a energia interna, a energia cinética e a
energia potencial do sistema (por unidade de massa).
ugzVe
UmgzmVE
++=
++=
2
21
2
2
As formulações para sistema e volume de controle são relacionadas por:
∫∫ •+∀∂∂
=∀ SCCsistema
AdVdtdt
dN ηρηρ
∫ ∫∀ ∀
∀==C sistema
ddnNsistema)(
ηρη
A fim de deduzir a formulação para volume de controle, da primeira lei da
termodinâmica, estabelecemos:
N = E
N = η. M
dmdE
=η
η=e
∫∫ •+∀∂∂
=−∀ SCC
sistema AdVedet
WQr
ρρ..
no instante t0:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
54
Csist
WQWQ∀
−=−..
.
..
O termo .
W tem um valor numérico positivo quando o trabalho é realizado pelo volume
de controle sobre o meio que o cerca. A taxa de trabalho realizado sobre o volume de
controle é de sinal oposto ao realizado pelo volume de controle.
outroscisalnormaleixo WWWWW.....
+++=
∫ •=SC
normal AdVpW.
∫∫∫ •+∀∂∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++•+−
∀ SCC
outroscisal
SC
eixo AdVedet
WWAdVpWQ ρρ....
( )∫∫ •++∀∂∂
=−∀ SCC
AdVpedet
WQr
ρρ..
AdVugzVdet
WQSCC
rr&& •⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++∀
∂∂
=− ∫∫∀
ρρυρ2
2
Sendo: ρ
υ 1=
É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina.
Para maiores informações, recomenda-se consultar os livros de Mecânica dos Fluidos
sugeridos. Na equação, eixoW.
é qualquer taxa de trabalho de eixo (potência) realizado
sobre ou pelo volume de controle, outrosW.
é qualquer taxa de trabalho não considerada,
como trabalho produzido por forças eletromagnéticas.
Exemplo: Ar entra em compressor a 14 psia, 80ºF com velocidade desprezível e é
descarregado a 70 psia, 500ºF, com velocidade de 500 pés/s, se a potência fornecida ao
compressor for 3200 hp e a vazão em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferência
de calor.
Resolução: Para calcular a taxa de transferência de calor precisamos recorrer à
seguinte fórmula:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
55
AdVugzVdet
WQSCC
rr&& •⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++∀
∂∂
=− ∫∫∀
ρρυρ2
2
Levando agora em consideração as duas superfícies de controle e o regime
permanente:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−=− 1222
22
2221111
21
111 22υρυρ pugzVAVpugzVAVWQ &&
Colocando a vazão mássica em evidência
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−+
−=− 11221212
21
22
2υυ ppuuzzgVVmWQ &&&
h = entalpia específica = u + pυ
( ) ).(() 1211122212 TTCpupuhhh p −=+−+=∆=− υυ
01 =V 21 ZZ =
OBS.: Cp é tabelado, Rlbm
BtuCpar ⋅⋅= 24,0 e
RlbmftlbfRar ⋅
⋅= 3,53
s
ftlbfHP ⋅⋅= 5501 e ftlbfBtu
⋅=778
1
T (ºR) = 460 + T (ºF)
Substituindo os parâmetros acima na equação (A) temos:
( ) WTTCVmQ p&&& +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅+⋅= 12
22
2
( )s
BTU,s
lbmRlbm
BTU,sftQ 7122612053995923990
2500
02
22
−⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⋅⋅+⋅=&
s
BTUQ 6.
10.49,2−=
13.6. Equação de Bernoulli:
Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento
em regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com
apenas uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode
ser simplificada.
AdVugzVdet
WQSCC
rr&& •⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++∀
∂∂
=− ∫∫∀
ρρυρ2
2
(A)
Fenômenos de Transporte – 01/2008
56
Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de
trabalho realizadas, a equação se reduz a:
AdVugzVWQSC
rr&& •⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=− ∫ ρρυ
2
2
Chamando a entrada da tubulação de (1) e a saída da tubulação de (2), e considerando
que, em uma dada seção, a energia interna (u), a pressão e a distância vertical (z) não se
alteram, a equação pode ser dada por:
( )( ) ( ) 11
21
22
22
22221111
2222
AdVVAdVVmugzmugzWQAA
rrrr&&&& •⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++−++=− ∫∫ ρρυρυρ
No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva.
( ) 11
21
22
22
111212
1222
dAVVdAVVmuugzgzWQAA
•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−+−=− ∫∫ ρρυρυρ &&&
Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que:
VdAVVdAV
AA
ραρ ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22
22
Onde:
α: é o fator de correção da energia cinética
Pode-se escrever a equação da energia de uma forma mais compacta:
mVVppuugzgzWQ &&&⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−+−=−
22
21
1
22
2121212 ααυυ
Para escoamento em regime turbulento, α é aproximadamente igual à unidade. Para
escoamento em regime laminar, α = 2.
Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−+−=−
22
21
1
22
2121212VVppuugzgz
mW
mQ ααυυ
&
&
&
&
Reescrevendo-se a equação,
( )mQuu
mWVpgzVpgz
&
&
&
&−−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 12
22
222
21
111 22αυαυ
Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia
mecânica por unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo .
mW&
representa a potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido
Fenômenos de Transporte – 01/2008
57
(Hs) e o termo .
12 )(mQuu&
−− representa a conversão irreversível de energia mecânica na
seção (1) em energia térmica não desejada e a perda de energia por transferência de
calor.
13.6.1. A Equação de Bernoulli para fluidos ideais:
Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais se pode desprezar os efeitos
de atrito (fluidos ideais), têm que: .
12 )(mQuu&
=−
A equação de Bernoulli pode ser dada então por:
sHVpgzVpgz =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
22
22
222
21
111 αυαυ
Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se
conserva. A equação é dada por:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
22
22
222
21
111VpgzVpgz αυαυ
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ HVpgz
2
2
αυ constante Equação de Bernoulli para fluidos ideais
A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível
em regime permanente é constante.
13.6.1.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli:
Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento
por meios gráficos. Cada termo na equação de Bernoulli, na forma apresentada tem
dimensões de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais
são:
:g
Pρ
Energia de Pressão por unidade de peso do fluido ou carda devida à pressão
estática local.
z: Energia de Posição por unidade de peso do fluido ou carga de elevação.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
58
gV2
2
α : Energia Cinética por unidade de peso do fluido ou carga devida à pressão
dinâmica local.
H: Energia Total por unidade de peso do fluido ou carga total do escoamento.
Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva.
A energia total por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha
energética representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de
Bernoulli, a altura da linha energética permanece constante para o escoamento sem
atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica
representa a soma das alturas de carga devidas à elevação e à pressão estática. A
diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica representa a altura
de carga dinâmica (de velocidade).
Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento Unidimensional em um
Duto.
Linha Energética: g
Vgpz
2
2
++ρ
Linha Piezométrica: g
Pzρ
+ .
Fenômenos de Transporte – 01/2008
59
13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli:
13.6.2.1. Teorema de Torricelli:
Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante,
contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício
lateral.
Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas.
A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a:
gVz
gP
gVz
gP
21
11
22
22 ++=++
ρρ
Para escoamento turbulento, assume-se α1 = α2 = 1
A equação da Continuidade estabelece que a vazão volumétrica seja constante, ou seja,
2211 VAVAQ ==
No entanto, 21 AA >> . Pode-se considerar, portanto, 01 =V .
Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, atmPPP == 21 .
Além disso, hzz =− 21
Portanto,
gVh2
22=
ghV 22 =
Teorema de Torricelli: “A velocidade de um líquido jorrando por um orifício através de
uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma
altura h.”.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
60
13.6.2.2. Medidores de vazão:
Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem
diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em
duas classes: instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos
mecânicos medem a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os
dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma
corrente fluida, como mostra na fig. 32 para um bocal genérico.
Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de
controle usado para análise.
A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de
uma zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A
corrente principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma
vena contracta na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do
tubo. Na vena contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima.
A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da
equação de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação de massa. A
equação de Bernoulli estabelece que
gVz
gP
gVz
gP
22
21
111
22
222 α
ρα
ρ++=++
Como z1 = z2, a equação se reduz a:
gV
gP
gV
gP
22
21
11
22
22 α
ρα
ρ+=+
Assim, considerando-se escoamento turbulento, α1= α2 = 1 e:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
61
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=−
21
2221 2
VVPP ρ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=− 2
2
21
22
21 12 V
VVPP ρ
As velocidades 1V e 2V podem ser relacionadas através da equação de conservação de
massa,
2211 AVAV =
Ou
1
2
2
1
AA
VV
=
Assim,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−
1
222
21 12 A
AVPP ρ
A velocidade teórica (ideal) 2V é, portanto, dada por:
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
2
1
2
212
1
2
AA
PPV
ρ
A vazão volumétrica teórica é dada, portanto, por:
22 AVQ =
( )2
2
1
2
21 .
1
2A
AA
PPQ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
ρ
No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da
vazão através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando
a vena contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser
considerados uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes
quando os contornos medidos são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de
pressão influencia a leitura da pressão diferencial.
A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico tal
que:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
62
( )td AC
AA
PPQ ..
1
22
1
2
21
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
ρ
Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área
da garganta, e não a área do escoamento na seção 2.
São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão,
medidos com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na
entrada do medidor.
13.6.2.2.1. Tubo de Venturi:
O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medição da vazão ou da
velocidade em uma tubulação. Consiste em uma redução da seção do escoamento,
provocando um aumento de velocidade e uma queda na pressão. Em geral, os medidores
são fundidos e usinados com pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho
de projeto. A perda de carga total é baixa. Dados experimentais mostram que os
coeficientes de descarga variam de 0,98 a 0,995 para altos números de Reynolds
(maiores que 2.105). Por isso, C= 0,99 pode ser usado para medir a vazão em massa
com cerca de 1% de erro. Para menores números de Reynolds, a literatura dos
fabricantes deve ser consultada.
A diferença de pressão entre um ponto no escoamento e um ponto no
estrangulamento é medida através de um líquido manométrico, como mostrado na fig.
33.
Figura 33 – Tubo de Venturi.
Aplicando-se a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (fluido A),
2
222
1
211
22z
gV
gPz
gV
gP
AA
++=++ρρ
Fenômenos de Transporte – 01/2008
63
No entanto, z1 = z2
gV
gP
gV
gP
AA 22
222
211 +=+
ρρ
Falta ainda relacionar as velocidades 1V e 2V à vazão mássica ou à vazão volumétrica.
A equação da continuidade estabelece que, para fluidos incompressíveis:
2211 AVAVQ ==
Ou:
2
112
22
11
AA
VV
AQV
AQV
=
=
=
Igualando-se as expressões P1 e P2 e substituindo-se as expressões para as velocidades,
chega-se a:
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
−⋅⋅=
1
22
2
1
211
AA
PPAQ
Aρ
13.6.2.2.2. Tubo de Pitot:
Assim como o tubo de Venturi, o tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para a
medição de vazão ou a velocidade de um escoamento. Podem ser utilizadas 2
configurações. Na primeira (Fig. 34), um tubo é inserido no escoamento. Ao entrar no
tubo, a velocidade do fluido é reduzida a zero, sem atrito. Aplicando-se a equação de
Bernoulli:
Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
64
2
222
1
211
22z
gV
gPz
gV
gP
++=++ρρ
Mas: z1 = z2
2V =0
Assim,
gP
gV
gP
ρρ2
211
2=+
ou:
2
2112 VPP
=−ρρ
As pressões podem ser relacionadas às alturas do fluido:
P1 = Patm+ 1ghρ
P2 = Patm+ 2ghρ
Substituindo-se na equação de Bernoulli,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
gPPgV
ρ12
1 2
( )121 2 hhgV −=
Na segunda configuração, é inserido um fluido manométrico, no qual será lida a
diferença de cotas (Fig. 35). Aplicando-se a equação de Bernoulli ao fluido A,
Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico.
2
222
1
211
22z
gV
gPz
gV
gP
AA++=++
ρρ
Fenômenos de Transporte – 01/2008
65
Mas: z1 = z2
2V =0
Assim,
gP
gV
gP
AA ρρ2
211
2=+
ou:
2
2112 VPP
AA
=−ρρ
As pressões nos pontos 1 e 2 podem ser relacionadas através das seguintes expressões:
PC = P1+ 1ghAρ
PD = P2+ 2ghAρ
Mas,
)( 21 hhgPP BDC −+= ρ
Assim,
ghhPP BA ))(( 2112 −−=− ρρ
A velocidade do escoamento é dada, então, por:
A
BA hhgVρρρ ))((2 21
1−−
=
13.6.2.2.3. Placa de orifício:
A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a
sua geometria é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais
desvantagens são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga. As tomadas de
pressão podem ser posicionadas em diversos locais. Como a localização das tomadas
influencia o coeficiente de descarga, valores consistentes devem ser selecionados de
manuais. A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com
tomadas de canto (fig.36) é: 5,2
75,0
81,2
Re71,91184,00312,05959,0 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
DlD
DlD
DlDC t
Dl
tt
Fenômenos de Transporte – 01/2008
66
Figura 36 (a) – Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de
orifício.
Equações de correção similares estão disponíveis para placas de orifícios com tomadas
de flange e com tomadas de pressão D e D/2.
Figura 36 (b) – Placa de Orifício.
A1 = área da seção reta do tubo.
A3 = área da seção reta à entrada do orifício (montante).
A2 = área da seção reta à saída do orifício (jusante).
Aplicando a equação de Bernoulli entre A1 e A2, temos:
2
222
1
211
22Z
gVpZ
gVp
++=++γγ
(1)
Porém, a área na seção reta na “vena contracta” será multiplicada por um fator CC
chamado coeficiente de contração, então:
02 ACA C= (2)
Fenômenos de Transporte – 01/2008
67
Assim sendo,
0211 ACVAVQ c== (3)
Cortando Z1 e Z2 na equação (1) e substituindo (3) em (1), temos,
20
22
21
21
22 )AC(gQP
gAQP
c
+=+γγ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=− 2
120
2
2
2111
2 AACgQhh
C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=− 2
120
2
20
221
2
21 2 AACACA
gQhh
C
C
( )2120
221
21
20
2
2 hhgACA
AACQC
C −⋅−
=
( )212
1
02
2
1
120
2
2
1
hhg
AAC
AAAC
Q
C
C
−⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
( )212
1
02
0 2
1
hhg
AAC
ACQ
C
C −⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
Para obtermos a vazão real, devemos considerar o coeficiente de velocidade “CV”
responsável pelas perdas por atrito e choques no orifício, então:
( )212
1
02
0 2
1
hhg
AAC
ACCQ
C
CV −⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= (4)
Definimos o coeficiente de forma do orifício “C” como sendo a relação:
2
1
021 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
AAC
CCC
C
CV (5)
A equação (4) pode ser escrita:
( )210 2 hhgCAQ −= (6)
Fenômenos de Transporte – 01/2008
68
13.6.2.2.4. Pressão de estagnação:
É obtida quando um fluido em movimento é desacelerado até a velocidade zero
por meio de um processo sem atrito.
Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática.
=++ zg
VP2
2
γ constante
gVPP2
20 +=
γγ
onde:
P0: é a pressão de estagnação
00 =V
z0 = z
P: pressão estática (é a pressão termodinâmica, é aquela pressão que seria medida por
um instrumento movendo-se com o escoamento).
gVPP2
20 =−γ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
γPPgV 02
13.7. Equação de Bernoulli para fluidos reais – perda de carga:
pHg
Vzg
Pg
Vzg
P∆+++=++
22
21
11
22
22
ρρ
Este último termo é denominado perda de carga, (∆HP) que é a energia por unidade de
peso do líquido, dissipada em forma de calor devido à viscosidade e ao desvio de massa
pelos acessórios e, quando turbulento o regime de escoamento, pela rugosidade.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
69
13.7.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli para fluidos reais:
Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real.
:g
Pρ
Energia de Pressão por unidade de peso do fluido.
:z Energia de Posição por unidade de peso do fluido.
:2
2
gV Energia Cinética por unidade de peso do fluido.
:pH∆ Perda de Carga entre os pontos 1 e 2.
A perda de carga ( )pH∆ depende da rugosidade (ε) e do comprimento (L) da tubulação
e da presença de acessórios e conexões no sistema. A perda de carga total é, portanto, a
soma da perda de carga contínua ( )pCH∆ , devida ao atrito do escoamento com as
paredes ao longo da tubulação, com a perda de carga local ( )pLH∆ , devida à perda de
pressão pelo atrito do escoamento com os acessórios e conexões, mudanças de área e
outros.
PLPCP HHH ∆+∆=∆
A perda de carga unitária é definida como sendo a razão entre a perda de carga e
o comprimento da tubulação:
LHJ P∆
=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
70
A perda de carga entre duas seções quaisquer do escoamento pode ser calculada
através de relações empíricas que dependem principalmente do regime de escoamento e
da rugosidade relativa do duto.
13.7.2. Tipos de perda de carga:
13.7.2.1. Perdas de carga contínuas: ocorre nos trechos retos.
gV
DLfHPC 2
2
=∆
onde: L é a distância percorrida pelo fluido entre as 2 seções consideradas, DIM: [L].
D é o diâmetro do duto, DIM: [L].
V é a velocidade média do fluido, DIM: [L/t].
g é a aceleração da gravidade, DIM: [L/t2].
f é o coeficiente de atrito.
O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito.
Basicamente, ele depende da rugosidade (ε) e do diâmetro da tubulação (D), da
velocidade média do escoamento ( )V e das propriedades do fluido (ρ e µ). Através da
análise dimensional, obtém-se que o fator de atrito é função de 2 adimensionais: a
rugosidade relativa (k/D ou ε/D) e o número de Reynolds.
O adimensional de Reynolds, ou Re é dado por:
υµρ DVDV
==Re
O número de Reynolds caracteriza o regime de escoamento:
2100Re ≤ , o escoamento é laminar.
Se 4000Re2100 << , o escoamento está na faixa de transição.
4000Re ≥ , o escoamento é turbulento.
O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares,
o fator de atrito pode ser calculado por:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
71
Re64
=f
Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais
complicada. A expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= 5,05,0 .Re
51,27,3
/log21f
Df
ξ
No entanto, a expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por
um procedimento iterativo. Miller sugere um valor inicial para o fator de atrito(f0), dado
por: 2
9,00 Re74,5
7,3/log25,0
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
Df ξ
Substituindo-se o resultado da equação de Miller na equação de Colebrook,
pode-se determinar um valor para o fator de atrito com cerca de 1% de erro.
Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram
determinados experimentalmente para uma série de valores de Re e de (k/D ou ε/D) e
sumarizados em um ábaco (Fig.38), denominado Ábaco de Moody.
Moody apresenta também uma tabela (Tab.3) para determinação da rugosidade
absoluta (ε) em tubos, para alguns materiais comuns de engenharia.
Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia.
Material Rugosidade ε (mm)
Aço rebitado 0,9 a 9
Aço comercial 0,046
Concreto 0,3 a 3
Ferro fundido 0,26
Ferro fundido asfaltado 0,12
Ferro galvanizado 0,15
Madeira 0,2 a 0,9
Trefilado 0,0015
Fenômenos de Transporte – 01/2008
72
Figura 39 - Ábaco de Moody.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
73
Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
74
13.7.2.2. Perdas de carga localizadas:
Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma
série de acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao
passar por estes obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão
diminuída. As perdas de carga locais foram determinadas experimentalmente e
modeladas segundo duas equações diferentes.
1o método: Método direto
( )g
VkHPL 2
2
∑=∆
k: é o coeficiente de perda local (característica do acessório – Fig. 41)
Figura 41 – Valores aproximados de k.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
75
2o método: Método dos comprimentos equivalentes
Consiste em transformar o acessório em trecho reto com o mesmo diâmetro e
material.
gV
DL
fH ePL 2
2
=∆
Le: é o comprimento equivalente da tubulação (Fig. 41)
A perda de carga total é:
PLPcP HHH ∆+∆=∆
Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço.
A entrada do escoamento em tubos pode causar uma perda de carga
considerável, se for mal projetada. Na Tab. 4, são apresentadas 3 geometrias básicas
de entradas. Para saídas, o coeficiente de perda local vale 1,0.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
76
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos.
Toda energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento
descarrega de um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim,
para uma saída submersa, o coeficiente de perda é igual a α, não importando a
geometria.
Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este
caso, a Tab. 5 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de área
AR (razão entre a menor e a maior área da contração ou expansão).
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão.
Para uma expressão abrupta, o coeficiente de perda de carga pode ser modelado pela
equação:
K = (1-RA)2
Fenômenos de Transporte – 01/2008
77
As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pala instalação
de um bocal ou um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo
utilizado para a redução gradual da seção do escoamento (Fig.43). A Tab. 6 apresenta os
coeficientes de perda de carga para bocais, para diferentes razões de área e para
diferentes ângulos θ.
Figura 43 – Redução de Área – Bocal.
Tabela 6 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção
Kcontração θ
A2 / A1 10º 15º - 40º 50º - 60º 90º 120º 150º 180º
0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26
0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41
0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43
As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem
de diversas variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um
aumento da pressão estática do escoamento (redução da velocidade média), o
coeficiente de perda é comumente apresentado em termo de um coeficiente de
recuperação de pressão, CP:
21
12
21 V
PPCPρ
−=
O coeficiente de perda é dado por
PCAR
K −−= 211
Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de
recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados.
211
ARCPi −=
PPi CCK −=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
78
A Fig. 44 apresenta os coeficientes de carga para difusores, em função do ângulo total
do difusor.
Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor.
Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de
perda por (U2/2g). No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas
velocidades diferentes; a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser
usado o maior valor de velocidade.
As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser
escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para
cada um dos acessórios, são mostrados na Tab. 7.
Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões.
Acessórios Le/D
Válvula Gaveta 8
Válvula Globo 340
Válvula Angular 150
Válvula de Esfera 3
Válvula Globo de Retenção 600
Válvula Angular de Retenção 55
Fenômenos de Transporte – 01/2008
79
Válvula de pé com Crivo Guiado 420
Válvula de pé com Crivo Articulado 75
Cotovelo Padrão de 90º 30
Cotovelo Padrão de 45º 16
Curva de Retorno – 180º 50
Tê Padrão: Escoamento Principal 20
Tê Padrão: Escoamento Lateral 60
Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de
fluidos em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem
desmontagens para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma
grande variedade de tipos de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a
realizar, das propriedades físicas e químicas do fluido considerado, da pressão e da
temperatura do escoamento e da forma de acionamento pretendida.
As válvulas de gaveta (Fig.45) são válvulas mais empregadas para escoamento de
líquidos. Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do
escoamento através do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o
volante é girado, a válvula desliza para baixo na seção.
Figura 45 – Válvula de gaveta.
As válvulas de esfera são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito usadas
para ar comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por meio
de uma esfera, possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O
comando é, em geral, manual, com auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se
aplicam, a casos em que se pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar
totalmente a passagem do fluido.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
80
As válvulas globo (Fig. 46) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja
extremidade existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do
fluido por orifício. Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com tampão da
vedação do orifício em qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga,
mesmo com abertura máxima.
Figura 46 – Válvula Globo.
As válvulas de retenção (Fig.47) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há
a tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela
diferença de pressão provocada.
Figura 47 – Válvula de Retenção.
Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas da carga
localizadas. Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da
literatura, proposta por Fox e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como
dados representativos para algumas situações comumente encontradas. Para válvulas, o
projeto irá variar significativamente, dependendo do fabricante. Sempre que possível, os
Fenômenos de Transporte – 01/2008
81
valores fornecidos pelos fabricantes deverão ser utilizados para a obtenção de dados
mais precisos. Além disso, como as perdas de carga introduzidas por acessórios e
válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos cuidados tomados durante a
fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos, por exemplo, poderão
causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas.
13.8. Potência fornecida por uma bomba Se for necessário transportar um fluido de um ponto a outro situado em uma posição
mais elevada, pode-se utilizar uma bomba. A bomba fornecerá ao fluido uma
quantidade de energia por unidade de peso do fluido Hman.
Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba.
Aplicando-se a equação de Bernoulli para fluidos reais entre os pontos 1 e 2,
pman Hg
Vg
PzHg
Vg
Pz ∆+++=+++22
222
2
211
1 ρρ
A potência real da bomba, ou seja, a potência que a bomba fornece ao fluido é dada por:
manB QHN γ=
Onde: γ: é o peso específico do fluido ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
3LFDIM
Q: é a vazão volumétrica através da bomba ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
tLDIM
3
Fenômenos de Transporte – 01/2008
82
Hman: é a energia por unidade de peso do fluido fornecida pela bomba (altura
manométrica). É a energia fornecida a cada kgf de líquido para que partindo do
reservatório inferior atinja o reservatório superior, vencendo a diferença de pressão
entre os reservatórios, a altura de desnível geométrico e a perda de carga [ ]LDIM .
No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida
pela bomba para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por
dissipação por atrito no interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como
sendo a razão entre a energia disponível para o fluido e a energia disponível para a
bomba, ou seja, a razão entre a potência real da bomba e a sua potência ideal.
idealpotênciarealpotência
=η
A unidade de potência, no SI, é o W (J/s). Uma unidade bastante utilizada é o
cavalo-vapor (cv), sendo 1 cv = 736W = 75 kgfm/s e 1 hp = 746W = 76 kgfm/s, ou seja,
1 hp = 1,014 cv
Nm= η
γ manQH
Exemplo: Um conjunto elevatório esquematizado na figura abaixo trabalha nas seguintes
condições:
- Vazão = 100 l.s-1
- Material = Ferro fundido
- Rendimento total = 75%
- Diâmetro da tubulação de recalque = 200 mm
- Diâmetro da tubulação de sucção = 250 mm
- s
mOH
26
2 10.1 −=µ
Determinar:
a) Perda de carga na linha de sucção em (m).
b) Perda de carga na linha de recalque em (m).
c) Altura manométrica em (m).
d) Potência da bomba de acionamento em (cv).
Fenômenos de Transporte – 01/2008
83
Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima
Resolução: Para calcularmos os itens acima, iremos dividir em dois blocos: Sucção e
Recalque.
a) Sucção: (Antes da bomba)
*Acessórios na sucção: - 1 válvula de pé e crivo = 65,0 m
- 1 curva de 90º = 3,0 m
Le = 65 m + 3 m
AVQ ×=
( ) 23S
3
m102504
Vs
m100,0 −××π
×=
sm037,2VS =
* Cálculo do número de Reynolds:
υ=
µρ
=DVDVRe
s
m101
m25,0sm037,2
Re 26−×
×=
5101,5Re ×=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
84
* Obtenção do fator de atrito:
Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento
se caracteriza turbulento.
Depois de consultado a tabela de rugosidade relativa ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =ε 00104,0D
e o
ábaco de Moody, obtemos o fator de atrito de f = 0,0205.
* Cálculo da perda de carga na sucção usando o método do comprimento
equivalente:
( )g2
VD
LeLfH2
SS ×
+×=∆
( ) ( )2
2
3S
sm81,92s
m037,2
m10250m3655,40205,0H
××
×++
×=∆ −
m257,1Hs =∆
b) Recalque: (Depois da bomba)
*Acessórios no Recalque: - 1 válvula de retenção = 25,0
- 1 curva de 90º = 2,4
- 1 registro gaveta = 1,4
Le = 25,0 m + 2,4 m + 1,4 m
AVQ ×=
( ) 23R
3
m102004
Vs
m100,0 −×π
×=
sm183,3VR =
* Cálculo do número de Reynolds:
υ
=µ
ρ=
DVDVRe
s
m101
m2,0sm183,3
Re 26−×
×=
51037,6Re ×=
* Obtenção do fator de atrito:
Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento
se caracteriza turbulento.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
85
Depois de consultado a tabela de rugosidade relativa ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =ε 0013,0D
e o
ábaco de Moody, obtemos o fator de atrito de f = 0,0215.
* Cálculo da perda de carga na sucção:
( )g2
VD
LeLfH2
RR ×
+×=∆
( ) ( )2
2
3R
sm81,92s
m183,3
m102m4,24,125360215,0H
××
×+++
×=∆ −
m597,3HR =∆
m854,4m597,3m257,1HHH RST =+=∆+∆=∆
c) Cálculo da altura manométrica:
* Pela equação de Bernoulli temos:
Perdasg
VPHg
VPman ++=++
22
222
211
γγ
P1+ 1V 2/2.g + Hman = P2+ 2V 2/2.g + perdas ( TH∆ )
P1man=0 ; P2man=0 ; Z1=0 ; Z2=21 m ; V 1=0 ; V 2= V R =3,18m/s
( )m584,4m21
sm81,92s
m183,3H
2
2
man ++×
=
m1,26Hman =
d) Cálculo da potência da bomba:
* Rearranjando a equação de Bernoulli temos:
η
γ manm
QHN =
* Substituindo os valores teremos:
750
1261010010133
33
,
m,sm
mkgf
HQN manm
××××=
η××γ
=−
s
m.kgfNm 3480= s
mkgfvc .75..1 =
.v.c,Nm 446=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
86
14. Transferência de Calor
14.1. Introdução
Sempre que existir um gradiente de temperatura no interior de um sistema ou dois
sistemas a diferentes temperaturas colocadas em contato, haverá transferência de
energia por calor.
A transferência de calor é o trânsito de energia provocado por uma diferença de
temperatura, no sentido da temperatura mais alta para a mais baixa.
Figura 50 - Transferência de calor.
Os processos de transferência de calor devem obedecer às leis da Termodinâmica:
1a Lei da Termodinâmica: A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas
transformada de uma forma para outra.
2a Lei da Termodinâmica: É impossível existir um processo cujo único resultado seja
a transferência de calor de uma região de baixa temperatura para outra de temperatura
mais alta.
14.2. Modos de Transferência de Calor:
Os diferentes processos através dos quais o calor é transmitido são chamados modos. Os
modos de transferência de calor são: condução, convecção e radiação.
14.2.1. Condução:
Transferência de calor que ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou
um fluido. É um processo pelo qual o calor flui de uma região de temperatura mais alta
para outra de temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou
entre meios diferentes em contato físico direto. A energia é transferida através de
comunicação molecular direta, sem apreciável deslocamento das moléculas.
Calor T1 > T2
S1 S2
Fenômenos de Transporte – 01/2008
87
Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da energia
provocada pela atividade molecular.
14.2.2. Convecção:
Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento,
quando estiverem em temperaturas diferentes. É um processo de transferência de
energia através da ação combinada de condução de calor, armazenamento de energia e
movimentação da mistura. É importante principalmente como mecanismo de
transferência de energia entre uma superfície sólida e um fluido.
Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção natural. (b)
Convecção forçada.
14.2.3. Radiação:
Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma
temperatura finita. É a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma
temperatura não nula. O calor radiante é emitido por um corpo na forma de impulsos, ou
quantas de energia.
T1
T2
qc
T1
Tar
CONVECÇÃO NATURAL
qc
T1
Tar
CONVECÇÃO FORÇADA
Fenômenos de Transporte – 01/2008
88
Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças.
A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida
pelos corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são
excitados e retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste
processo, emitem energia na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão
resulta de variações nos estados eletrônicos, rotacional e vibracional dos átomos e
moléculas, a radiação emitida é usualmente distribuída sobre uma faixa de
comprimentos de onda. Estas faixas e os comprimentos de onda representando os
limites aproximados são mostrados na Fig. 54.
Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças.
14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor:
Equações de Taxa
qT
Tviz
Fenômenos de Transporte – 01/2008
89
Todos os processos de transferência de calor podem ser quantificados através da
equação de taxa apropriada. A equação pode ser usada para se calcular a quantidade de
energia transferida por unidade de tempo.
A taxa de energia é denotada por q, e tem unidade de (W – Watt) no sistema
internacional. Outra maneira de se quantificar a transferência de energia é através do
fluxo de calor, "q , que é a taxa de energia por unidade de área (perpendicular à direção
da troca de calor). No sistema internacional, a unidade do fluxo é (W/m2).
14.3.1. Condução
Equação de taxa: Lei de Fourier
dxdTkqcond −="
onde "cond
q : Fluxo de calor por condução na direção x (W/m2)
k: Condutividade térmica do material da parede (W/m.K)
calor de fluxo do direção na ra temperatude Gradiente :dxdT (K/m)
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área
perpendicular à direção da transferência de calor,
dxdTkAqcond −=
O sinal negativo aparece porque o calor está sendo transferido na direção da
temperatura decrescente. A lei de Fourier se aplica a todos os estados da matéria
(sólidos, líquidos e gases), desde que estejam em repouso.
Seja a transferência unidimensional de calor em uma parede plana (Figura 55).
Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
90
Considere que, na parede mostrada na figura 55, a superfície em x = 0 se encontra a
uma temperatura T1 e a superfície em x = L se encontra a T2. A transferência de calor é,
portanto, unidimensional (direção x). Para regime permanente sem geração interna de
calor, pode-se considerar que a distribuição de temperaturas no interior da parede é
linear. Assim, o gradiente de temperatura pode ser dado por:
LTT
dxdT 12 −=
O fluxo de calor é dado por:
LTk
LTTk
LTTkqcond
∆=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= 2112"
A taxa de condução de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo pela área
perpendicular à direção da transferência de calor, é dada por:
Aqq condcond"=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=L
TTkAqcond21
Utilizando a analogia com circuitos elétricos, pode-se definir a resistência térmica à
condução Rt,cond a partir da resistência elétrica R.
iVVR 21 −=
condcondt q
TTR 21,
−=
kALR condt =,
onde: Rt,cond. = resistência térmica à condução de calor (W/K)-1
Exemplo: 1) Uma parede de concreto, área superficial de 20 m2 e espessura de 0.30 m, separa uma
sala de ar condicionado do ar ambiente. A temperatura da superfície interna da parede é
mantida a 25ºC, e a condutividade térmica do concreto é 1W/m.K. Determine a perda de
calor através da parede para as temperaturas ambientes internas de – 15 ºC e 38 ºC que
correspondem aos extremos atingidos no inverno e no verão.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
91
Resolução: Para calcularmos a perda de calor através da parede devemos utilizar a
equação que rege a lei básica de transferência de calor referente à condução térmica em
uma parede plana:
LTTAkqcond
21.. −=
Substituindo os valores em relação à temperatura de –15ºC temos a condução
térmica como:
( )
Wqm
CCmKm
Wq
LTTAkq
cond
cond
cond
26673,0
º15º25.20..
1
..
2
21
=
−−=
−=
Substituindo em relação à temperatura de 38ºC temos:
Wqm
CCmKm
Wq
LTTAkq
cond
cond
cond
8673,0
º38º25.20..
1
..
2
21
−=
−=
−=
14.3.2. Convecção
Equação de taxa: Lei de Resfriamento de Newton
Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor.
( )∞−= TThq sconv
"
onde: ".q conv : Fluxo de calor por convecção (W/m2)
h: Coeficiente convectivo de calor (W/m2K)
Ts: Temperatura da superfície (K)
T∞: Temperatura do fluido (K)
A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Aqq convconv"=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
92
( )∞−= TThAq sconv
A Tab. 8 apresenta valores típicos do coeficiente de convecção h:
Tabela 8 – Valores de h (W/m².K)
Gás Líquido
Convecção Natural 5-25 50-1.000
Convecção Forçada 25-250 50-20.000
Ebulição ou Condensação 2.500-100000
A resistência térmica à convecção é dada por:
convconvt q
TTR 21,
−=
hAR convt
1, =
onde: Rt,conv. = resistência térmica à convecção de calor (W/K)-1
Exemplo: 1) Um circuito integrado (chip) quadrado com lado w = 5 mm opera em condições
isotérmicas. O chip está alojado no interior de um substrato de modo que suas
superfícies laterais e inferior estão bem isoladas termicamente, enquanto sua superfície
superior encontra-se exposta ao escoamento de uma substância refrigerante a T∞ = 15ºC.
A partir de testes de controle de qualidade, sabe-se que a temperatura do chip não deve
exceder a T= 85ºC. Se a substância refrigerante é o ar, com coeficiente de transferência
de calor por convecção correspondente de h= 200 W/m2.K. Determine a potência
máxima que pode ser dissipada pelo chip.
Resolução: Para calcular a potência máxima dissipada pelo chip temos que calcular
o fluxo de transferência de calor gerada pelo sistema, levando em consideração a
temperatura máxima à qual o chip pode atingir:
2
2
sup
000.14"
).º15º85(.
200"
)("
mWq
KKm
Wq
TThq
conv
conv
conv
=
−=
−= ∞
Fenômenos de Transporte – 01/2008
93
Calculamos agora a potência máxima utilizando o valor acima encontrado:
( )W35,0Pq
m10.5.mW14000q
A.''qq
maxconv
2232conv
convconv
==
=
=
−
14.3.3. Radiação
Lei de Stefan-Boltzmann
A radiação com comprimento de onda de aproximadamente 0,2 µm a 1000 µm é
chamada radiação térmica e é emitida por todas as substâncias em virtude de sua
temperatura.
O fluxo máximo que pode ser emitido por uma superfície é: 4"
srad Tq σ=
onde: q”rad: Energia emitida por unidade de área da superfície (W/m2)
Ts: Temperatura absoluta da superfície (K)
σ: Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8W/m2K4)
Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um radiador ideal
ou um corpo negro. Um corpo negro pode ser definido também como um perfeito
absorvedor de radiação. Toda a radiação incidente sobre um corpo negro
(independentemente do comprimento de onda ou da direção) será absorvida. Embora
um corpo negro não exista na natureza, alguns materiais se aproximam de um corpo
negro. Por exemplo, uma camada fina de carbono preto pode absorver
aproximadamente 99% da radiação térmica incidente.
A quantidade de energia liberada de uma superfície como calor radiante depende da
temperatura absoluta e da natureza da superfície. Uma superfície capaz de emitir esta
quantidade de energia é chamada um irradiador perfeito ou “corpo negro”.
O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um
corpo negro à mesma temperatura e é dado por: 4"
srad Tq εσ=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
94
onde: ε é a emissividade da superfície. Esta propriedade indica a eficiência de emissão
da superfície em relação a um corpo negro ( )10 ≤≤ ε . A Tabela A.5 (Apêndice A)
apresenta a emissividade de alguns materiais comuns, a 300 K.
Outra propriedade radiativa importante é a absortividade α, que indica a eficiência de
absorção da superfície.
A taxa líquida na qual a radiação é trocada entre duas superfícies é bastante complicada,
dependendo das propriedades radiativas das superfícies e de seu formato. Um caso
especial que ocorre com freqüência envolve a troca líquida de radiação entre uma
pequena superfície a uma temperatura Tsup e uma superfície isotérmica bem maior que a
primeira, que a envolve completamente (Figura 57).
Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies.
Considerando-se a superfície menor cinzenta ( )αε = , o fluxo radiativo líquido pode ser
dado por:
( )44"vizsrad TTq −= εσ
A taxa líquida de troca de calor é:
( )44vizsrad TTAq −= εσ
onde: A: Área da superfície menor
Ts: Temperatura da superfície menor
Tviz.: Temperatura da superfície maior
Manipulando-se a equação anterior, pode-se escrever a taxa líquida como:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
95
( )( )( )22vizsvizsvizsrad TTTTTTAq ++−= σε ou
( )vizsrrad TTAhq −=
onde:
( )( )22vizsvizsr TTTTh ++= εσ
Assim, a resistência térmica à radiação é dada por:
rad
vizsradt q
TTR −=,
AhR
rradt
1, =
onde: Rt,rad. = resistência térmica à radiação de calor (W/K)-1
Deve ser ressaltado que o resultado independe das propriedades da superfície maior, já
que nenhuma parcela da radiação emitida pela superfície menor seria refletida de volta
para ela.
As superfícies mostradas na Fig. 57 podem também, simultaneamente, trocar calor por
convecção com um fluido adjacente. A taxa total de transferência de calor é dada,
portanto, pela soma da taxa de calor por radiação com a taxa de calor por convecção.
convrad qqq +=
Exemplo: 1) Uma superfície com área de 0,5 m2, emissividade igual a 0,8 e temperatura de 150ºC
é colocada no interior de uma grande câmara de vácuo cujas paredes são mantidas a
25ºC. Determine a taxa de emissão de radiação pela superfície?
Resolução: Para calcular a taxa de emissão de radiação devemos utilizar a fórmula
referente à radiação para uma superfície:
( ) ( )
2rad
4442
8rad
sup4
rad
mW22,1452''q
K273150Km
W1067,58,0''q
T..q
=
+×××=
=
−
σε
A Tab. 9 apresenta um resumo das equações de taxa dos diferentes modos de
transferência de calor.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
96
Tabela 9 – Equações de Taxa
Taxa Fluxo
Condução dxdTKAqcond −=
dxdTK"q cond −=
Convecção ( )∞−−= TThAq sconv ( )∞−= TTh"q sconv
Radiação ( )vizsr TTAhqrad −= ( )T vizT sq rad44" −= εσ
15. Condução 15.1. Introdução à Condução
A Lei de Fourier é uma lei fenomenológica, ou seja, desenvolvida a partir de fenômenos
observados, e não deduzida a partir de princípios fundamentais.
Para a condução unidimensional, dxdTkqcond −="
O fluxo de calor é uma grandeza vetorial, dado por:
TkkzTj
yTi
xTkq ∇−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−= ˆˆˆ"
onde ∇ é o operador gradiente.
kqjqiqq zyxˆˆ" """ ++=
onde: zTkq
yTkq
xTkq zyx ∂
∂−=
∂∂
−=∂∂
−= """
A Tab.10 apresenta, para os três sistemas de coordenadas cartesianas, a lei de Fourier.
Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas.
Sistemas de
coordenadas
Lei de Fourier Forma compacta
Cartesianas ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−= kzTj
yTi
xTkq ˆˆˆ" kqjqiqq zyx
ˆ"ˆ"ˆ"" ++=
Cilíndricas ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−= kzTjT
ri
rTkq ˆˆ1ˆ"
φ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−= kzTjT
ri
rTkq ˆˆ1ˆ"
φ
Esféricas ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
−= kTr
jTr
irTkq ˆ
sen1ˆ1ˆ"
θθθ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
−= kTr
jTr
irTkq ˆ
sen1ˆ1ˆ"
θθθ
Fenômenos de Transporte – 01/2008
97
15.2. Propriedades térmicas da matéria:
A condutividade térmica (K) apresenta a capacidade de um corpo de transferir calor. Ela
depende da estrutura física da matéria, a níveis atômico e molecular. Conforme
mostrado na figura 58, em geral, a condutividade térmica de um sólido é maior que a de
um líquido que, por sua vez, é maior que a de um gás. No sistema internacional, a
unidade de k é (W/m.K).
Para uma taxa de calor fixa, um aumento na condutividade térmica representa uma
redução do gradiente de temperatura ao longo da direção da transferência de calor. Esta
tendência se deve, em grande parte, às diferenças de espaçamento intermolecular nos
estados da matéria. A Figura 58 apresenta valores da condutividade térmica para alguns
materiais, a 300 K.
Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
98
O produto ρcp, comumente chamado de capacidade calorífica, mede a capacidade de um
material de armazenar energia térmica. Uma vez que substâncias que possuem
densidade elevada são tipicamente caracterizados por reduzidos calores específicos,
muitos sólidos e líquidos, que são considerados meios bons para o armazenamento de
energia possuem capacidades caloríficas de magnitude apreciável. Ao contrário, devido
às suas baixas densidades, os gases são muito pouco adequados para o armazenamento
de energia térmica. No sistema internacional, a unidade de ρcp é (J/m3.K).
A difusividade térmica (α) é definida como sendo a razão entre a condutividade
térmica e a capacidade calorífica:
pckρ
α =
onde k é a condutividade térmica e pcρ é a capacidade calorífica.
Ela mede a capacidade do material de conduzir a energia térmica em relação à sua
capacidade de armazená-la. Materiais com valores elevados de α responderão
rapidamente a mudanças nas condições térmicas a eles impostas, enquanto materiais
com valores reduzidos de α responderão mais lentamente, levando mais tempo para
atingir uma nova condição de equilíbrio. No sistema internacional, a unidade de α é
(m2/s).
Em geral, os sólidos metálicos têm maiores difusividades térmicas, enquanto os sólidos
não metálicos apresentam menores valores desta propriedade.
15.3. Conservação de energia em um volume de controle
Em qualquer instante, de tempo (t) e intervalo de tempo (∆t), deve haver um equilíbrio
entre todas as taxas de energia.
- Num instante (t): a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica entram num
volume de controle, mais a taxa com que a energia térmica é gerada no interior do
volume de controle, menos a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica
deixam o volume de controle, devem ser iguais à taxa de aumento da energia
armazenada no interior do volume de controle.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
99
- Num intervalo de tempo(∆t): a quantidade de energia térmica e a energia mecânica
que entra num volume de controle, mais a quantidade de energia térmica gerada no
interior do volume de controle, menos a quantidade de energia térmica e a energia
mecânica que deixa o volume de controle, devem ser iguais ao aumento na quantidade
de energia armazenada no interior do volume de controle.
dtdEEEEE ac
acefgaf ==−+ &&&&
a equação acima pode ser utilizada em qualquer instante de tempo. A forma alternativa,
que se aplica a um intervalo de tempo (∆t), é obtida pela integração da equação ao longo
do tempo:
acefgaf EEEE ∆=−+
Em palavras essa relação diz que as quantidades de energia que entram e que são
geradas atuam em favor do crescimento da quantidade de energia acumulada no interior
do volume de controle, enquanto a energia que sai atua diminuindo a quantidade de
energia armazenada.
Os termos relativos à entrada e saída de energia são fenômenos de superfície. Ou seja,
eles estão associados exclusivamente aos processos que ocorrem na superfície de
controle e são proporcionais a sua área. Uma situação comum envolve a entrada e a
saída de energia por meio da transferência de calor por condução, convecção e ou
radiação. Em situações que envolvem o escoamento de um fluido através da superfície
de controle, os termos também incluem a energia transportada pela matéria que entra e
sai do volume de controle. Essa energia pode compreender as formas interna, cinética e
potencial. Os termos de entrada e saída podem também incluir as interações referentes
ao trabalho que ocorre nas fronteiras do sistema.
O termo da geração de energia está associado à conversão de uma outra forma de
energia qualquer (química, elétrica, eletromagnética, ou nuclear) em energia térmica.
Esse é um fenômeno volumétrico. Ou seja, ele ocorre no interior do volume de controle
e é proporcional a magnitude do seu volume. Por exemplo, uma reação química
exotérmica pode estar acontecendo, convertendo energia química em térmica. Nesse
caso, o efeito a ser computado é um aumento na energia térmica da matéria no interior
Fenômenos de Transporte – 01/2008
100
do volume de controle. Outra fonte de energia térmica é a conversão de energia elétrica
que ocorre devido ao aquecimento resistivo quando se passa uma corrente elétrica
através de um material condutor. Isto é, se uma corrente elétrica I passa através de uma
resistência R no interior do volume de controle, energia elétrica é dissipada a uma taxa
igual a I².R, que corresponde à taxa na qual a energia térmica é gerada (liberada) no
interior do volume de controle. Embora esse processo possa ser alternativamente tratado
como se houvesse a realização de trabalho elétrico no sistema (entrada de energia), o
efeito líquido continua sendo a criação de energia térmica.
O armazenamento ou acúmulo de energia também é um fenômeno volumétrico, e
variações no interior do volume de controle podem ser devido a mudanças nas energias
internas, cinética e ou potencial do seu conteúdo. Portanto, para um intervalo de tempo
∆t, o termo relativo ao armazenamento de energia, ∆ Eac, pode ser igualado a soma ∆U
+ ∆KE + ∆PE. A variação na energia interna, ∆U, consiste em um componente sensível
ou térmico, que leva em consideração os movimentos de translação, rotação e ou
vibração dos átomos/moléculas que compõem a matéria; um componente latente, que
está relacionado às forças intermoleculares que influenciam as mudanças de fase entre
os estados sólido, líquido e gasoso; um componente químico, que compreende a energia
armazenada nas ligações químicas entre os átomos; e um componente nuclear, que
representa as forças de coesão existentes nos núcleos dos átomos.
Exemplo: 1) Um equipamento eletrônico possui um dissipador de potência agregado à sua
estrutura. Tal dissipador está em um ambiente cuja temperatura do ar, à qual passa por
suas aletas, é de T∞ =27ºC e sua área é de 0,045m2. Qual o coeficiente convectivo de
calor do ar (h), cuja temperatura da vizinhança e da superfície são, respectivamente,
Tviz.= 27ºC e Tsup= 42ºC e a emissividade è de 0,8. A potência dissipada pelo
equipamento é de 20 W.
Resolução: Para calcular o coeficiente convectivo do ar devemos utilizar a equação
que rege a lei de conservação de energia em um volume de controle:
acefgaf EEEE ∆=−+
Fenômenos de Transporte – 01/2008
101
Como o equipamento não gera energia e o termo referente ao armazenamento de
energia não varia com o tempo, temos:
0=− efaf EE
Identificando os termos acima em parâmetros de convecção e radiação temos:
.convrad.ef
af
qqE
PE
+=
=
Substituindo os valores temos:
( ) ( )300315045,0.300315045,0.10.67,5.8,0
)(.)(
20
448
.sup4
.4
.sup
−+−=
−++=
=
−
∞
hE
TTAhTTAE
WE
ef
vizef
af
εσ
Substituindo os termos acima na equação :
( ) ( )
KmWh
h
h
EE efaf
.35,24
675,056,320
300315045,0.300315045,0.10.67,5.8,020
2
448
=
−=
−+−=
=−
15.4. Equação da Difusão de Calor
15.4.1. Coordenadas cartesianas
Um dos objetivos principais da análise da condução de calor é determinar o campo de
temperaturas em um meio, ou seja, a distribuição de temperaturas em seu interior. Assim,
pode-se determinar o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou em sua
superfície utilizando-se a lei de Fourier. Para se determinar a distribuição de temperaturas,
considere o volume de controle infinitesimal de dimensões dx, dy e dz mostrado na figura
59. gE& e aE& representam, respectivamente, a geração interna de calor e o acúmulo de
energia que podem existir no volume de controle e qx , qy e qz são as taxas de calor por
condução nas três direções.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
102
Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas).
Fazendo-se um balanço de energia no volume de controle
( ) ( ) dxdydztTcdxdydzqqqqqqq
EEEE
pdzzdyydxxzyx
agse
∂∂
=+++−++
=+−
+++ ρ&
&&&&
q& : Taxa de geração de energia por unidade de volume do meio (W/m3)
tTcp ∂∂ρ : Taxa de variação de energia térmica do meio, por unidade de volume (W/m3)
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor nas 3 direções coordenadas,
dzzqqqdy
yq
qqdxxqqq z
zdzzy
ydyyx
xdxx ∂∂
+=∂
∂+=
∂∂
+= +++
Assim,
dxdydztTcdxdydzqdz
zqqdy
yq
qdxxqqqqq p
zz
yy
xxzyx ∂
∂=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++∂
∂++
∂∂
+−++ ρ&
dxdydztTcdxdydzqdz
zqdy
yq
dxxq
pzyx
∂∂
=+∂∂
−∂
∂−
∂∂
− ρ&
Fenômenos de Transporte – 01/2008
103
As taxas qx , qy e qz podem ser determinadas utilizando-se a Lei de Fourier,
dxdyzTkqdxdz
yTkqdydz
xTkq zyx ∂
∂−=
∂∂
−=∂∂
−=
( ) ( ) ( ) dxdydztTcdxdydzqdzq
zdyq
ydxq
x pzyx ∂∂
=+∂∂
−∂∂
−∂∂
− ρ&
dxdydztTcdxdydzqdzdxdy
zTk
zdydxdz
yTk
ydxdydz
xTk
x p ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
− ρ&
dxdydztTcdxdydzqdxdydz
zTk
zdxdydz
yTk
ydxdydz
xTk
x p ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
Dividindo-se pelo volume infinitesimal dxdydz,
tTcq
zTk
zyTk
yxTk
x p ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
Muitas vezes, no entanto, é possível operar com versões simplificadas desta equação,
adotando-se algumas hipóteses:
• Condutividade térmica constante (k constante):
tT
kc
kq
zT
yT
xT p
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂ ρ&
2
2
2
2
2
2
ou
tT
kq
zT
yT
xT
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2 &
onde: pc
kρ
α = = difusividade térmica do material (m2/s)
• Regime Permanente ( )0=∂∂
tT :
0=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ q
zTk
zyTk
yxTk
x&
• Condução unidimensional de calor em regime permanente, sem geração
interna de calor:
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
dxdTk
dxd
Fenômenos de Transporte – 01/2008
104
Neste caso,
constanteconstante == xqdxdTk
Em condições de transferência de calor unidimensional em regime permanente, sem
geração interna de energia, o fluxo de calor é constante na direção da análise.
15.4.2. Coordenadas Cilíndricas
Efetuando-se uma análise similar à realizada para coordenadas cartesianas, pode-se
escrever a equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas e esféricas. Seja o
volume de controle em coordenadas cilíndricas mostrado na Figura 60.
Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∇−= kzTjT
ri
rTkTkq ˆˆ1ˆ"
φ
zTkqT
rkq
rTkq zr ∂
∂−=′′
∂∂
−=′′∂∂
−=′′φφ
tTcq
zTk
zTk
rrTkr
rr p ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
φφ&
2
11
15.4.3. Coordenadas Esféricas
Seja o volume de controle em coordenadas esféricas mostrado na Figura 61.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
105
Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∇−= kTr
jTr
irTkTkq ˆ
sen1ˆ1ˆ"
φθθ
φθθ φθ ∂∂
−=′′∂∂
−=′′∂∂
−=′′T
rkqT
rkq
rTkqr sen
tTcqTk
rTk
rrTkr
rr p ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
θθ
θθφφθ&sen
sen1
sen11
2222
2
15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial
A solução das equações que governam problema depende ainda das condições físicas
que existem nas fronteiras do meio (condições de contorno) e, quando a situação for
dependente do tempo, também das condições que existem em um certo instante inicial
(condição inicial). Como a equação da condução de calor é uma equação de Segunda
ordem nas coordenadas espaciais, são necessárias 2 condições de contorno para cada
coordenada espacial que descreve o sistema. Como a equação é de primeira ordem no
tempo, basta apenas uma condição inicial. As figuras a seguir mostram as 3 espécies de
condições de contorno comumente encontradas na transferência de calor. Elas ilustram a
situação para um sistema unidimensional, especificando a condição de contorno na
superfície x = 0, com a transferência de calor ocorrendo na direção dos x positivos.
1) Temperatura da Superfície Constante – condição de Dirichlet
sTtT =),0(
Fenômenos de Transporte – 01/2008
106
2) Fluxo de Calor Constante na Superfície –condição de Neumann
)0("
0x
x
qxTk =∂∂
−=
a) Fluxo de Calor Diferente de Zero
"
0S
x
qxTk =∂∂
−=
b) Fluxo de Calor Nulo (Parede Isolada ou Adiabática)
00
=∂∂
=xxT
3) Condição Convectiva na Superfície
( )[ ]tTThxTk
x
,00
−=∂∂
− ∞=
Exemplo: 1) Uma longa barra de cobre com seção reta retangular, cuja largura W é muito maior
que sua espessura L, encontra-se com a sua superfície inferior em contato com um
sorvedouro de calor de tal modo que a temperatura ao longo de toda a barra é
aproximadamente igual à do sorvedouro, Td = 30ºC. De repente uma corrente elétrica é
passada através da barra, e uma corrente de ar, com temperatura T = 15ºC e coeficiente
convectivo h = 10 W/m2.K, é soprada por sobre a sua superfície superior. A superfície
inferior continua mantida a Td. Obtenha a equação diferencial e as condições inicial e de
contorno que poderiam ser usadas para determinar a temperatura da barra em função da
posição e do tempo.
Resolução: Para obtermos a equação e as condições de contorno e inicial devemos
primeiramente fazer algumas considerações:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
107
* Uma vez que W>>L, os efeitos causados pelas superfícies laterais são
desprezíveis, e a transferência de calor no interior de barra é basicamente
unidimensional na direção do eixo do x.
* Taxa volumétrica de geração de calor uniforme, .q .
* Propriedades físicas constantes.
A distribuição de temperatura é governada pela equação de calor:
tTcq
zTk
zyTk
yxTk
x p ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
.
Para as considerações do problema de transferência de calor unidimensional com
propriedades físicas constantes, a equação se reduz a:
tT
kq
xT
∂∂
=+∂∂
α1
.
2
2
A condição de contorno para a superfície inferior sendo esta mantida em um
valor constante em relação ao tempo, temos:
( ) CTtT d º30,0 ==
A condição de contorno em relação à superfície superior da barra será:
( )[ ]∞=
−=∂∂
− TtLThxTk
Lx
,.
A condição inicial é inferida a partir do reconhecimento de que, antes da
mudança das condições, a barra encontrava-se a uma temperatura uniforme Td,
sendo:
( ) CTxT d º300, ==
Fenômenos de Transporte – 01/2008
108
15.5 Condução Unidimensional em Regime Permanente
15.5.1. Parede Simples
Seja uma parede plana separando dois fluidos em temperaturas diferentes (Figura 62).
Considere a condução unidimensional de calor através da parede, em regime
permanente, sem geração interna. A temperatura é função somente de uma coordenada
espacial (no caso x) e o calor é transferido unicamente nesta direção. A transferência de
calor ocorre por convecção do fluido quente a T∞1 para a superfície da parede a Ts1 em x
= 0, por condução através da parede e por convecção da superfície da parede em x = L a
Ts2 para o fluido frio a T∞2 .
Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana .
A determinação da distribuição de temperaturas no interior da parede é feita através da
solução da equação de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equação é dada por:
Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cartesianas:
tTcq
zTk
zyTk
yxTk
x p ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
Hipóteses:
• Condução unidimensional ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ =∂
∂=∂∂ 0z
Ty
T
• Sem geração interna ( )0=q&
• Regime permanente ( )0=∂∂
tT
A equação se reduz, então, a
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
dxdTk
dxd
Considerando-se a condutividade térmica do material constante,
Fenômenos de Transporte – 01/2008
109
02
2
=dx
Tdk ou 02
2
=dx
Td
Integrando-se 2 vezes em x,
1CdxdT
= 21 CxCT +=
Para se determinar as constantes de integração C1 e C2, aplicam-se as condições de
contorno:
( ) 1,0 STT = ( ) 2,STLT =
Pode-se então determinar as constantes de integração:
LTT
C 1,S2,S1
−= 1,2 STC =
Assim,
( ) 1,1,2,
SSS Tx
LTT
xT +−
=
Na condução unidimensional, em regime permanente, numa parede plana, sem geração
de calor e com condutividade térmica constante, a temperatura é uma função linear de x.
A taxa de calor por condução no interior da parede é dada pela lei de Fourier:
( )2,1, SSx TTLkA
dxdTkAq −=−=
O fluxo de calor é dado por:
( )2,1,"
SSx
x TTLk
Aqq −==
Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a taxa e o fluxo de calor são constantes.
15.5.2. Resistência Térmica
Da mesma maneira que uma resistência elétrica se opõe à passagem de corrente em um
circuito, uma resistência térmica se opõe à passagem de calor. Definindo-se a resistência
como sendo a razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferência,
conclui-se que a resistência térmica assume a forma:
qTRt
∆=
Assim, para a condução unidimensional através de uma parede plana :
Fenômenos de Transporte – 01/2008
110
kALR condt =.,
Para a convecção:
hAR convt
1., =
Para a radiação:
AhR
rradt
1., =
Onde ( )( )22∞∞ ++= TTTTh ssr εσ
Deve-se ressaltar que as resistências térmicas à convecção e à radiação assumem a
mesma forma para qualquer sistema de coordenadas, variando-se apenas a expressão
utilizada para a área. No entanto, a resistência à condução assume diferentes expressões
para os diferentes sistemas de coordenadas.
No exemplo da parede plana, toda a energia transferida do fluido quente para a
superfície é conduzida através da parede e, por sua vez, para o fluido frio, ou seja, a taxa
de calor é constante.
Pode-se fazer um balanço de energia entre os fluidos quente e frio,
21 convcondconvx qqqq ===
Aplicando-se as equações de taxa apropriadas,
( ) ( ) ( )2,2,22,1,1,1,1 ∞∞ −=−=−= TTAhTTLkATTAhq SSSSx
Reescrevendo-se a equação anterior,
( ) ( ) ( )Ah
TT
kAL
TT
Ah
TTq SSSS
x
2
2,2,2,1,
1
1,1,
11∞∞ −
=−
=−
=
Utilizando-se o conceito de resistência térmica,
( ) ( ) ( )2
2,2,2,1,
1
1,1,
conv
S
cond
SS
conv
Sx R
TTR
TTR
TTq ∞∞ −
=−
=−
=
Pode-se então fazer um circuito térmico, análogo a um circuito elétrico, com a forma
Fenômenos de Transporte – 01/2008
111
Figura 63 – Circuito Térmico.
Pode-se, da mesma forma, fazer um circuito térmico equivalente, em função da
diferença global de temperatura, definindo-se a resistência térmica total Rtot.
totx R
TTq 2,1, ∞∞ −
=
Como as resistências térmicas condutivas e convectivas estão em série,
21 convcondconvtot RRRR ++=
AhkAL
AhRtot
21
11++=
onde:
T∞,1- T∞,2 = diferença de temperatura global (K).
Rtot = Resistência térmica total (K/W).
Exemplo: 1) Uma casa possui uma parede composta com camadas de madeira,
isolamento à base de fibra de vidro e gesso, conforme indicado no desenho. Em um dia
frio de inverno, os coeficientes de transferência de calor por convecção são de he=60
W/m2.K e hi=30 W/m2.K. A área total da superfície da parede é de 350 m2.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
112
a) Para as condições dadas, determine uma expressão para a resistência térmica
total da parede, incluindo os efeitos da convecção térmica nas superfícies interna
e externa da parede.
b) Determine a perda total de calor através da parede.
Resolução:
a) Para calcular a expressão para a resistência térmica total da parede devemos
utilizar a seguinte fórmula que rege a resistência térmica, levando em
consideração as camadas da parede.
AhAkL
AkL
AkL
AhR
em
m
f
f
g
g
itotal .
1....
1++++=
b) Para determinar a perda total de calor através da parede devemos utilizar uma
fórmula que relaciona a temperatura das extremidades com a resistência térmica
total.
total
e,i,
RTT
q ∞∞ −=
Calculando a resistência total temos:
Isolamento à base de fibra de vidro (28Kg/m3), kf
Compensado de Madeira, km Camada de gesso kg
Exterior
he, T∞e= -15ºC
Exterior Exterior Interior
hi, T∞,i= 20ºC
20mm 10010mm
Lg Lf Lm
Rconv,i RCond1 RCond2 RCond3
T∞,i T4 T1 T2 T3
Rconv,e
T∞,e
Fenômenos de Transporte – 01/2008
113
WKR
R
hkL
kL
kL
hAR
AhAkL
AkL
AkL
AhR
total
total
em
m
f
f
g
g
itotal
em
m
f
f
g
g
itotal
310.3,8
601
12,002,0
038,01,0
17,001,0
301
3501
111
.1
....1
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=
++++=
Determinando agora a perda total de calor através da parede:
( )
W86,4216q103,8
1520q
RTT
q
3
total
e,i,
=×−−
=
−=
−
∞∞
15.5.3. Parede Composta
Seja a condução de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede
composta, constituída por materiais de espessuras e condutividades térmicas diferentes
(Figura 64).
Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana.
A taxa de transferência de calor qx é dada por:
tot
S
CC
SS
BB
SS
AA
SSSx R
TT
Ah
TT
AkL
TT
AkL
TT
AkL
TT
Ah
TTq 4,1,
4
4,4,4,3,3,2,2,1,
1
1,1,
11∞∞∞∞ −
=−
=−
=−
=−
=−
=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
114
onde AhAk
LAk
LAk
LAh
RRC
C
B
B
A
Attot
21
11∑ ++++==
No exemplo anterior, desprezaram-se as trocas de calor por radiação entre as superfícies
da parede e os fluidos. Ao se considerar estas trocas, o fluxo total de calor entre a
superfície e o fluido seria dado como a soma dos fluxos de convecção e radiação. A
resistência térmica à radiação seria inserida no circuito térmico associada em paralelo à
resistência à convecção, já o potencial (∆T) entre a superfície e o fluido seria o mesmo.
O circuito térmico para a parede constituída por apenas um material é:
Figura 65 – Circuito térmico equivalente.
Muitas vezes, é mais conveniente trabalhar com um coeficiente global de transferência
de calor U.
TUAqx ∆=
onde:
)(mcalor de trocade Área :A
(K) ra temperatude global Diferença :Tm
Wcalor de ncia transferêde global eCoeficient:U
2
2
∆
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
K
ARU
tot
1=
Exemplo: 1) A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com
condutividade térmica conhecida, kA= 20 W/m.K e kC= 50 W/m.K, e também
espessura de LA= 0,30m e LC= 0,15m. O terceiro material B que se encontra
entre os materiais A e C, possui espessura LB= 0,15m, mas sua condutividade
térmica é desconhecida.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
115
Em condições de regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na
superfície externa do forno de Tsup,e= 20ºC, uma temperatura na superfície interna de
Tsup,i= 600ºC e uma temperatura do ar no interior de forno de T∞= 800ºC. O coeficiente
de transferência de calor por convecção no interior do forno é igual a 25 W/m2.K. Qual
é o valor de kB?
Resolução: Para calcular o valor de kB, devemos primeiro calcular o valor da
resistência total do circuito térmico:
AAAAh
TTRTT
R
RTT
RTT
RTT
RTT
RTT
RTT
RTT
RTq
i
convextitotal
conv
i
total
exti
Ccond
extCB
Bcond
CBBA
Acond
BA
conv
i
total
exti
térmicax
156,0200
2,31
200.25
780
600800.1).20800().(
.int,
,
.
int,.,
.
.,
.
,,
.
,int
.
int,,
===−
−=
−
−=
−=
−
−=
−=
−=
−=
−=
∆=
∞
∞
∞∞
∞∞
Encontramos agora a condutividade térmica kB pela soma das resistências:
KmWk
k
k
kAA
AAkAAA
RRRRR
B
B
B
B
B
CcondBcondAcondconvtotal
.53,1
098,015,0
15,0003,0015,004,0156,0
5015,015,0
203,0
2511156,0
.5015,0
.15,0
.203,0
.251156,0
....
=
=
+++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
+++=
+++=
15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo Seja a parede composta apresentada na Figura 66.
Rconv1 RCondA RCondB RCondC
T∞,i Text Tint TAB TBC
Fenômenos de Transporte – 01/2008
116
Figura 66 – Parede Composta.
Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta.
Se for adotada a hipótese de transferência unidimensional de calor, pode-se representar
o circuito térmico de uma das maneiras mostradas na Figura 67. No caso (a), supõe-se
que as superfícies normais à direção x são isotérmicas e, no caso (b), que as superfícies
paralelas a x são adiabáticas. As taxas de calor são diferentes em cada caso,
representando um intervalo dentro do qual está a taxa real de transferência de calor.
15.5.5. Resistência de contato
É importante reconhecer que, em sistemas compostos, a queda de temperatura
nas interfaces entre os vários materiais pode ser considerável. Essa mudança de
temperatura é atribuída ao que é conhecido como resistência térmica de contato, Rt,c.
Seu efeito é mostrado na figura abaixo. Para uma área de superfície unitária, a
resistência térmica de contato é definida pela expressão:
X
BAct q
TTR"
" ,−
=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
117
Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato
A existência da resistência de contato se deve principalmente aos efeitos da
rugosidade da superfície. Pontos de contato se entremeiam com falhas que são, na
maioria dos casos, preenchidas com ar. A transferência de calor é, portanto, devida à
condução de calor através da área de contato real e à condução e/ou radiação através das
falhas. A resistência de contato pode ser vista como duas resistências térmicas em
paralelo: aquela que se deve aos pontos de contato e aquela que está vinculada às falhas.
Tipicamente, a área de contato é pequena e, sobretudo no caso de superfícies rugosas, a
principal contribuição para a resistência térmica de contato é fornecida pelas falhas.
Para sólidos cujas condutividades térmicas são superiores à do fluido presente
nas falhas (fluido interfacial), a resistência de contato pode ser reduzida pelo aumento
da área dos pontos de contato. Tal aumento pode ser obtido por um acréscimo na
pressão de contato ou na junção e/ou pela redução da rugosidade das superfícies de
contato. A resistência de contato também pode ser reduzida pela seleção de um fluido
com elevada condutividade térmica para preencher as falhas. Nesse sentido, a ausência
de um fluido nas falhas (vácuo na interface) elimina a condução de calor através da
falha, contribuindo para a elevação da resistência de contato.
O efeito de carga ou pressão em interfaces metálicas pode ser visto na tabela 10,
que apresenta uma faixa aproximada de resistências térmicas em condições de vácuo. O
efeito da presença de um fluido nas falhas na resistência térmica de contato em uma
interface de alumínio é mostrado na tabela 11.
A contrário da tabela 10, muitas aplicações envolvem o contato entre sólidos
diferentes, e/ou uma ampla variedade de materiais intersticiais (enchimentos) tabela 11.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
118
Qualquer substância intersticial que preencha as falhas entre as superfícies em contato e
cuja condutividade térmica exceda a do ar irá causar uma redução na resistência de
contato. Duas classes de materiais são bastante adequadas para este propósito são os
metais macios e as graxas térmicas.
De forma distinta das interfaces anteriores, que não são permanentes, muitas
juntas são aderidas definitivamente. Devido às resistências interfaciais entre o material
da superfície original e o da junta de ligação, a resistência térmica real do contato
excede o valor teórico, calculado a partir da espessura L e da condutividade térmica k do
material da junta. A resistência térmica dessas juntas permanentes também é afetada de
maneira adversa por vazios e rachaduras que podem se formar durante a fabricação da
peça ou como resultado de ciclos térmicos que ocorram durante a sua operação normal.
Resistência Térmica, RHt,c × 104 (m2.K/W)
(a) Vácuo na Interface (b) Fluido Interfacial
100 kN/m2 10000 kN/m2 Ar 2,75
6 a 25 0,7 a 4,0 Hélio 1,05
1 a 10 0,1 a 0,5 Hidrogênio 0,720
1,5 a 3,5 0,2 a 0,4 Óleo de Silicone 0,525
Pressão de Contato
Aço Inoxidável
Cobre
Magnésio
Alumínio 1,5 a 5,0 0,2 a 0,4 Glicerina 0,265
Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob condições
de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos interfaciais.
Interface RHt,c × 104 (m2.K/W)
Chip de silício / alumínio esmerilhado com ar
(27 a 500 kN/m2)
0,3 a 0,6
Alumínio / alumínio, com folha de índio
(~100 kN/m2)
~0,07
Aço inoxidável / aço inoxidável, com folha de índio
(~3500 kN/m2)
~0,04
Alumínio / alumínio, com revestimento metálico
(Pb)
0.01 a 0.1
Alumínio / alumínio, com graxa Dow Corning 340 ~0.07
Fenômenos de Transporte – 01/2008
119
(~100 kN/m2)
Aço inoxidável / aço inoxidável com graxa Dow Corning
(~3500 kN/m2)
~0,04
Chip de silício / alumínio, com 0,02 mm de epóxi
0,2 a 0,9
Latão / latão, com 15 µm de solda à base de estanho 0,025 a 0,14
Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas
15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais –
Cilindro
Com freqüência, em sistemas cilíndricos e esféricos há gradientes de temperatura
somente na direção radial, o que possibilita analisá-los como sistemas unidimensionais.
Seja um cilindro oco cuja superfície interna se encontra exposta a um fluido quente e a
superfície externa, a um fluido frio (Figura 69). Considere a transferência de calor
unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior do cilindro.
Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco
15.6.1. Distribuição de Temperatura Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cilíndricas
tTcq
zTk
zTk
rrTkr
rr p ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
φφ&
2
11
Fenômenos de Transporte – 01/2008
120
Hipóteses:
• Condução unidimensional ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ =∂
∂=∂∂ 0z
TTφ
• Sem geração interna ( )0=q&
• Regime permanente ( )0=∂∂
tT
Após serem feitas as simplificações, a equação se reduz a:
01=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
drdTkr
drd
r
constante constante =⇒= rqdrdTkr
Considerando-se a condutividade térmica k constante,
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
drdTr
drd
rk
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
drdTr
drd
Integrando-se uma vez em r,
1CdrdTr = ou
rC
drdT 1=
Integrando-se outra vez em r,
( ) 21 ln CrCrT +=
Aplicando-se as condições de contorno
( ) 11 sTrrT ==
( ) 22 sTrrT == ,
pode-se obter as constantes de integração C1 e C2
( )21
211 /ln rr
TTC ss −= ( ) 2
21
2122 ln
/lnr
rrTTTC ss
s−
−=
Assim,
( ) 2221
21 ln/ln s
ss Trr
rrTT
T +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
A taxa de transferência de calor é dada por:
drdTrLk
drdTkAqr )2( π−=−=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
121
Onde: A=2πrL é a área normal à direção da transferência de calor.
( )12
21
/ln2
rrTT
Lkq ssr
−= π
O fluxo de calor é dado por:
drdTkqr −="
( )12
21
/ln"
rrTT
rkq ss
r−
=
A taxa de calor, portanto, é constante para qualquer posição radial (não depende do raio
r), o que não acontece com o fluxo de calor, que é função de r.
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
drdTKr
drd
02
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
Lq
drd r
π
( ) 0=rqdrd
A taxa de calor é, portanto, constante no interior da parede do cilindro.
A resistência térmica à condução para sistemas radiais é dada por:
r
sscond q
TTR 21 −=
( )Lk
rrRcond π2/ln 12=
Exemplo: 1) Uma barra cilíndrica, de diâmetro 12 mm, possui um revestimento isolante de
espessura 20 mm. A temperatura no interior e na superfície do cilindro são
respectivamente 800 K e 490 K. Determinar a perda de calor por unidade de
comprimento do cilindro, sendo que o isolante térmico é silicato de cálcio (k= 0,089
W/m.K).
( )21
21
/ln1
rrTT
rdrdT ss −
=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
122
Resolução: Para determinar a perda de calor por unidade de comprimento do
cilindro devemos utilizar a fórmula que rege a taxa de transferência de calor:
( )
mW
Lq
KKKm
WLq
rrTTLkq
r
r
ssr
16,118
10.610.26ln
490800..
089,0..2
/ln2
3
3
12
21
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
−=
−
−π
π
15.6.2. Parede Cilíndrica Composta
Considere a condução unidimensional de calor, em regime permanente, sem geração
interna, através de uma parede cilíndrica composta, como mostrado na Figura 70.
Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta.
A taxa de calor é constante através do cilindro. Assim,
2
14
3
43
2
32
1
21
1
1141
conv
s
cond
ss
cond
ss
cond
ss
conv
s
totr R
TTR
TTR
TTR
TTR
TTR
TTq ∞∞∞∞ −
=−
=−
=−
=−
=−
=
onde:
( ) ( ) ( )44
342312
11 21
2/ln
2/ln
2/ln
21
LhrLkrr
Lkrr
Lkrr
LhrRR
CBAttot πππππ
++++==∑
Definindo: AR
Utotal
1=
T∞4,h4 T∞1,h1
Fenômenos de Transporte – 01/2008
123
Utilizando-se a definição do coeficiente global de transferência de calor,
( ) ( )4141 ∞∞∞∞ −=∆=−= TTUATUATTAUq iir
U = coeficiente global de transferência de calor (W/m2.K)
∆T= diferença global de temperatura (K)
A = área de troca de calor (m2)
Se U for definido em termos da área da superfície interna do cilindro A1 = 2πr1L, tem-se
que:
44
1
3
41
2
31
1
21
1
1 1lnlnln11
hrr
rr
kr
rr
kr
rr
kr
h
U
CBA
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
Esta definição é arbitrária. O coeficiente global de transferência de calor pode ser
definido em termos de A4 ou qualquer uma das outras áreas intermediárias.
totii R
AUAUAUAUAU 144332211 =====
Exemplo: 1) Vapor escoando em um tubo longo, com paredes delgadas, mantém a sua parede a
uma temperatura de 500 K. O tubo é coberto por uma manta de isolamento térmico
composta por dois materiais diferentes, A e B. Suponha existir entre os materiais uma
resistência térmica de contato infinito. A superfície externa está exposta ao ar onde T∞ =
3000 K e h = 25 W/m.K. Qual é a temperatura na superfície externa TsupB?
Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas.
TsupA
TsupB
Tsup1 T∞ ; h
kA=5W/m.K
kB=0,25W/m.K
Fenômenos de Transporte – 01/2008
124
Resolução: Para calcularmos a temperatura na superfície externa TsupB, devemos
utilizar a seguinte fórmula referente à taxa de calor:
Para obtermos o resultado devemos primeiramente calcular as resistências: Rcond.B e
Rconv.:
( )
LKm
WLLhrR
LLKm
Wmm
LkrrR
conv
BBcond
2
232
.
3
3
12.
10.36,6
.25..10.100.2
12
1
44,0
..
25,0.2
10.5010.100ln
2/ln
−
−∞
−
−
===
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==
ππ
ππ
Substituindo agora o resultado acima obtido na equação referente a TsupB para
obtermos tal temperatura:
K
KK
RR
RT
RT
T
convBcond
convBcondB 25,325
10.36,61
44,01
10.36,6300
44,0500
112
2
..
..
1sup
sup =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
−
−∞
Rcond.B Rconv.
Tsup.1 Tsup.B T∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=−
−=
−=
∞
∞
∞
∞
..
..
1sup
sup
..
1sup
..sup
..
sup
.
sup
.
1sup
.
sup
.
sup1sup
11
11
convBcond
convBcondB
convBcondconvBcondB
convconv
B
Bcond
B
Bcond
conv
B
Bcond
Br
RR
RT
RT
T
RT
RT
RRT
RT
RT
RT
RT
RTT
RTT
q
Fenômenos de Transporte – 01/2008
125
15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento
Para se aumentar ou diminuir a taxa de calor retirada do cilindro sem alterar as
condições do escoamento externo, pode-se colocar uma camada de um segundo material
sobre o cilindro, com condutividade térmica diferente do material do cilindro.
Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta.
A taxa de transferência de calor da superfície interna para o fluido frio irá depender da
espessura de material colocado, ou seja, do raio externo do “novo” cilindro. Como a
resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção apresenta
comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de minimizar a resistência
térmica equivalente, maximizando a perda térmica (Fig. 72).
A possibilidade de existência de uma espessura de isolamento ótima para sistemas
radiais é sugerida pela presença de efeitos contrários associados a um aumento nessa
espessura, pois embora a resistência condutiva aumente com a adição de isolante, a
resistência convectiva diminui devido ao aumento da área superficial externa. Para esta
espessura a perda de calor seria mínima, e a resistência total à transferência de calor
seria máxima. Na realidade, uma espessura de isolamento ótima não existe, mas sim,
um raio crítico de isolamento, onde o fluxo de calor é máximo (minimiza a perda
térmica graças a maximização da resistência total à transferência de calor).
Seja um cilindro oco, com a superfície interna exposta a um fluido quente e a superfície
externa, a um fluido frio (Figura 72). A taxa de transferência de calor do fluido quente
para o fluido frio irá depender da espessura de isolamento, ou seja, do raio externo do
cilindro. Como a resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção
Fenômenos de Transporte – 01/2008
126
apresenta comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de maximizar a
perda de calor através da parede do cilindro.
A taxa de calor é dada por:
tot
sr R
TTq )( 21 ∞−=
onde
hLrkLrrRtot
2
12
21
2)/ln(
ππ+=
Assim,
hrkrr
TTLq s
r
2
12
1
1)/ln()(2
+
−= ∞π
Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que
minimiza o valor de q’ ou que maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a
partir da exigência de que:
0'=
drdR tot
Assim:
02
12
12 =−hrkr ππ
ou
hkr =
O mínimo valor de qr é obtido fazendo-se:
02=
drdqr
Esta condição é satisfeita quando:
01)/ln(
11)(2
2
2
12
222
1
2
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
=∞
hrkrr
hrkrTTL
drdq s
r
π
Fenômenos de Transporte – 01/2008
127
crhkr ==2
rc = Raio crítico de isolamento. Para valores de r menores que rc a taxa de transferência
de calor aumenta com o aumento da espessura de isolamento; para valores de r maiores
que rc a taxa de transferência de calor diminui com o aumento da espessura de
isolamento.
→ O efeito do raio crítico é revelado pelo fato de que, mesmo para uma camada
de isolamento térmico com pouca espessura, a resistência total ainda não é
tão grande quanto o valor para o tubo sem qualquer isolamento.
→ Se r < rcr , a resistência térmica total decresce e, portanto, a taxa de
transferência de calor aumenta com a adição de isolamento.Essa tendência
permanece até que o raio externo da camada de isolamento atinja o raio
crítico. De forma contrária, se r > rcr, qualquer adição de isolamento aumenta
a resistência térmica total e, portanto, diminue a perda de calor.
→ Para sistemas radiais, o problema de reduzir a resistência térmica total
através da aplicação de uma camada de isolamento térmico existe somente
para o caso de tubos ou fios de pequeno diâmetro e para coeficientes de
transferência de calor por convecção pequenos, onde usualmente r > rcr.
→ A existência de um raio crítico exige que a área de transferência de calor
varie na direção da transferência, como é o caso da condução radial em um
cilindro (ou em uma esfera). Em uma parede plana, a área normal à direção
da transferência de calor é constante , não havendo uma espessura crítica
para o isolamento térmico (a resistência total sempre aumenta com o
aumento da espessura da camada de isolamento).
Como a derivada segunda de qr em relação a r2 é negativa, qr tem o seu valor máximo
em r = rc. O comportamento da resistência total é inverso, como mostrado na Fig. 73.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
128
Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2.
Exemplo: 1) Um tubo delgado de cobre, com raio ri, é usado para transportar uma substância
refrigerante que está a uma temperatura Ti, menor do que a temperatura do ambiente T∞
ao redor do tubo. Existe uma espessura ótima associada à aplicação de uma camada de
isolamento térmico sobre o tubo com h= 5 W/m2.K e k= 0,055 W/m.K?
Resolução: A resistência à transferência de calor entre o fluido refrigerante e o
ar é denominada pela condução de calor através da camada de isolamento
térmico e pela convecção no ar. Sendo que, a resistência térmica total por
unidade de comprimento do tubo è:
rhkrr
R itot ππ 2
1.2
ln' +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
E a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo será:
tot
i
RTTq
'' −= ∞
Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que
minimiza o valor de q’ ou maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a
partir de:
hkr =
Fenômenos de Transporte – 01/2008
129
Uma vez que o resultado da resistência térmica total é sempre positivo, hkr = é o
raio de isolamento para o qual a resistência térmica é mínima, e não um máximo.
Logo uma espessura ótima para a camada de isolamento térmico não existe. Porém
faz sentido pensar em raio crítico de isolamento.
hkrcr =
Abaixo do qual q’ aumenta com o aumento de r acima do qual q’ diminue com o
aumento de r. Calculando em termos de raio crítico:
mrKm
WKm
W
r
hkr
cr
cr
cr
011,0.
055,0
.5 2
=
=
=
15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais –
Esfera
Seja uma esfera oca cuja superfície interna se encontra a uma temperatura Ts1 e a
superfície externa a Ts2 (Figura 74), com Ts1>Ts2. Considere a transferência de calor
unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior da esfera.
Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
130
Partindo-se da equação da condução do calor em coordenadas esféricas, pode-se obter o
perfil de temperaturas no interior da esfera. A partir daí, obtém-se a taxa de calor, dada
por:
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
21
21
114
rr
TTkq ssr
π
Assim, a resistência condutiva é dada por:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
21
114
1rrk
Rcond π
15.8. Condução com Geração de Energia Térmica
Iremos analisar agora o efeito adicional que processos, que podem ocorrer no interior
do meio, têm sobre a distribuição de temperatura nesse meio. É importante ter atenção
para não confundir geração de energia com armazenamento de energia.
15.8.1. Condução com Geração de Energia Térmica – Parede Plana
Seja a parede plana da Fig.75, onde existe geração uniforme de energia térmica por
unidade de volume (q’ é constante) e as superfícies são mantidas em Tsup,1 e Tsup,2. Para
uma condutividade térmica constante k, a forma apropriada da equação do calor:
0'2
2
=+kq
dxTd
Aplicando as condições de contorno e todos os parâmetros, obtemos a distribuição de
temperatura correspondente:
221
2')( 2sup,1sup,1sup,2sup,
2
22 TTLxTT
Lx
kLqxT
−+
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pela equação
acima. Note, contudo, que com a geração interna de calor o fluxo de calor não é mais
independente de x.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
131
Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor.(a)
Condições de contorno assimétricas.(b) Condições de contorno assimétricas.(c)
Superfície adiabática no plano intermediário.
O resultado anterior é simplificado quando as duas superfícies são mantidas a uma
mesma temperatura, Tsup,1= Tsup,2= Tsup,. A temperatura máxima, neste caso, encontra-se
no plano intermediário:
sup
2
0 2')0( TkLqTT +==
Exemplo:
1) Uma parede plana composta possui duas camadas de materiais, A e B. A camada do
material A possui uma geração de calor uniforme 3mW106.5,1q =& , condutividade
térmica KW75kA = e espessura de LA=50 mm. A camada do material B não apresenta
geração de calor, tem condutividade térmica KW150kB = e espessura LB = 20 mm.
A superfície interna da parede (material A) está perfeitamente isolada, enquanto a sua
superfície externa (material B) é resfriada por uma corrente de água com T∞ = 30ºC e
Fenômenos de Transporte – 01/2008
132
KmW1000h 2= . Determine a temperatura To da superfície isolada e a temperatura T2
da superfície resfriada.
Resolução: A temperatura na superfície externa T2 pode ser obtida através de um
balanço de energia em um volume de controle ao redor da camada do material. Sendo
assim obteremos T2:
CTKm
W
mmW
CT
hLqTT A
º105.
1000
05,0.10.5,1º30
.
2
2
36
2
.
2
=
+=
+= ∞
Para determinar a temperatura na superfície isolada termicamente temos:
( )1
2.
.2. T
kLqT
A
Ao +=
Onde T1 será determinado visando o circuito térmico equivalente do processo:
( )
CT
m
KmW
KmWmCT
hR
kLR
qRRTT
conv
B
BBcond
convBcond
º115
05,0.10.5,1.
.1000
1
.150
02,0º30
1"
"
".""
1
6
2
1
,
,1
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
++= ∞
Determinando agora To, substituindo o valor acima na equação , obteremos:
( )
( )
CT
C
KmW
mmW
T
TkLqT
o
o
A
Ao
º140
º115
.75.2
05,0.10.5,1
.2.
23
6
1
2.
=
+=
+=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
133
15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais
A geração de calor pode ocorrer em uma variedade de geometrias radiais. Considere um
cilindro sólido, longo, que poderia representar um fio condutor de corrente elétrica. Em
condições de regime estacionário, a taxa na qual o calor é gerado no interior do cilindro
deve ser igual à taxa de calor transferido por convecção da superfície do cilindro para o
fluido em movimento. Essa condição permite que a temperatura da superfície seja
mantida a um valor fixo sT .
Sendo assim temos a distribuição de temperatura como:
sr Trr
krqT +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 2
0
220
.
)( 14.
Para relacionar a temperatura da superfície sT , com a temperatura do fluido, ∞T , tanto o
balanço de energia na superfície quanto o balanço de energia total podem ser utilizados.
Exemplo:
1) Em um bastão cilíndrico e longo, com 200 mm de diâmetro e condutividade térmica
de 0,5 W/m.K, há a geração de volumétrica uniforme de calor a uma taxa de 24000
W/m3. O bastão está encapsulado por uma camada cilíndrica com diâmetro externo
igual a 400 mm, de um material com condutividade térmica de 4 W/m.K. A superfície
externa desta camada está exposta a um escoamento perpendicular de ar a 27ºC com um
coeficiente de convecção de 25 W/m2.K. Determine a temperatura na interface entre o
bastão e a camada cilíndrica, e na superfície externa em contato com o ar.
Resolução: Para determinar a temperatura da superfície externa em contato com o ar
devemos utilizar um balanço global de energia. Sendo assim obteremos:
KTKm
W
mmW
KT
hrqTT
º396.
25.2
10.200.24000º27327
.2.
sup
2
33
sup
.
sup
=
++=
+=
−
∞
Fenômenos de Transporte – 01/2008
134
Para determinar agora a temperatura na interface entre o bastão e a camada cilíndrica
devemos utilizar a fórmula que rege a distribuição de temperatura em relação ao raio:
( ) ( )( )
KT
K
KmW
mmW
T
Trr
krqT
r
r
r
º441
º39610.200
10.1001
.4.4
10.200.24000
14.
)(
23
2323
3
)(
sup20
220
.
)(
=
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
−−
16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas –
Aletas
16.1. Introdução
Aleta é um elemento sólido que transfere energia por condução dentro de suas fronteiras
e por convecção (e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. As aletas são
utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um
fluido adjacente.
Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida.
O aumento da taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura constante
para um fluido externo (Fig. 77) pode ser feito através do aumento do coeficiente de
convecção h ou através da redução da temperatura do fluido T∞.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
135
Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor.
Quando não é possível aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a
área de troca de calor, através da utilização de aletas (Figura 78), que são elementos
sólidos que transferem energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção
(e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. Elas são utilizadas para aumentar a
taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente.
Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor.
Esquemas Típicos de Trocadores de Calor com Tubos Aletados
Fenômenos de Transporte – 01/2008
136
Figura 79 –Trocadores de Calor com tubos aletados.
16.2. Tipos de Aletas
A Figura 80 ilustra diferentes configurações de aletas.
Plana, de seção reta uniforme
Plana, de seção transversal não uniforme
Anular
Piniforme (pino)
Figura 80 – Configurações de Aletas.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
137
16.3. Balanço de Energia para uma Aleta
Hipóteses:
• Condução unidimensional de calor
• Regime permanente
• Condutividade térmica da aleta constante
• Radiação térmica desprezível
• Sem geração de calor
• Coeficiente de convecção uniforme
Através de um balanço de energia, pode-se obter a equação da condução de calor.
Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seção reta variável (Fig.
81),
Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida.
Neste caso, vale:
convdxxx dqqq += +
onde ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
+
fluido o para convecçãopor perdida Energia malinfinitesi volumedo conduçãopor da transferiEnergiamalinfinitesi volumeo para conduçãopor da transferiEnergia
conv
dxx
x
dqqq
Calor transferido por condução para dentro do elemento em x por unidade de tempo
Calor transferido por condução para fora do elemento em (x +dx) por unidade de tempo,
Calor transferido por convecção da superfície entre x e (x + dx) por unidade de tempo = +
Fenômenos de Transporte – 01/2008
138
A taxa de calor por condução na posição x é determinada pela Lei de Fourier:
dxdTkAq cx −=
onde: Ac é a área da seção reta da aleta na posição x considerada.
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por
condução na posição (x+dx)
dxxqqq xdxx ∂∂
+=+
dxdxdTkA
dxd
dxdTkAq ccdxx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+−=+
dxdxdTA
dxdk
dxdTkAq ccdxx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−−=+
A taxa de calor por convecção transmitida do elemento infinitesimal para o fluido é
dada pela Lei de Resfriamento de Newton:
( )∞−= TThdAdq sconv
onde: dAs é a área superficial infinitesimal do elemento.
Substituindo-se as equações de taxa na equação do balanço de energia,
( )∞−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−−=− TThdAdx
dxdTA
dxdk
dxdTkA
dxdTkA sccc
( ) 0=−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞TTdAkhdx
dxdTA
dxd
sc
como a área da seção reta Ac pode variar com x,
( ) 02
2
=−−+ ∞TTdxdA
kh
dxTdA
dxdA
dxdT s
cc
( ) 0112
2
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ∞TT
dxdA
kh
AdxdT
dxdA
AdxTd s
c
c
c
Forma geral da equação da energia, em condições unidimensionais, em uma superfície
expandida.
16.4. Aletas com área da seção transversal constante
Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme (Fig. 82), a equação anterior
pode ser simplificada.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
139
Cada aleta está ligada na base a uma superfície T (0) = Tb e imersa num fluido na
temperatura T∞.
Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante.
PdxdAPxA
dxdAA
ss
cc
=⇒=
=⇒= 0 constante
( ) 02
2
=−− ∞TTkAhP
dxTd
c
Definindo-se a variável θ (Excesso de Temperatura)
∞−= TTθ
dxdT
dxd
=θ 2
2
2
2
dxTd
dxd
=θ
02
2
=− θθ
ckAhP
dxd
Definindo-se:
ckAhPm =2
022
2
=− θθ mdxd
Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes
constantes. A solução geral tem a forma: mxmx eCeCx −+= 21)(θ
Fenômenos de Transporte – 01/2008
140
Para resolver esta equação, falta definir as condições de contorno apropriadas. Uma
destas condições pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x =
0)
Temperatura constante na base da aleta
( ) bTxT == 0
( ) bb TTx θθ =−== ∞0
A segunda condição de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser
especificadas quatro condições diferentes, cada uma correspondendo uma situação
física e levando a uma solução diferente.
A. Transferência convectiva de calor
A taxa de calor que chega à extremidade da aleta por condução é dissipada por
convecção. Fazendo-se um balanço de energia,
Lxcc dx
dTkATLThA=
∞ −=− ))((
ou
LxdxdkLh
=
−=θθ )(
Aplicando-se as condições de contorno, chega-se a:
[ ] [ ])senh()/()cosh(
)(senh)/()(cosh)(mLmkhmL
xLmmkhxLmx
b +−+−
=θθ
A taxa de calor pode ser determinada através da aplicação da lei de Fourier
00 ==
−=−==x
cx
cbf dxdkA
dxdTkAqq θ
ou
)senh()/()cosh()cosh()/()senh(.
mLmkhmLmLmkhmLhPkAq bcf +
+= θ
Para simplificar a solução, define-se:
( ) bchPkAM θ.= ,
Assim, a equação para a taxa de calor pode ser dada por:
Fenômenos de Transporte – 01/2008
141
)senh()/()cosh()cosh()/()senh(
mLmkhmLmLmkhmLMq f +
+=
B. Ponta da aleta adiabática (considerando que a perda de calor por convecção na
extremidade da aleta é desprezível)
0==Lxdx
dT
ou
0==Lxdx
dθ
Neste caso, [ ]
)cosh()(cosh)(
mLxLm
b
x −=
θθ
)(. mLtghMq f =
C. Temperatura Fixa ( ) LLx θθ ==
[ ])senh(
)(senh)senh()/()(mL
xLmmxx bL
b
−+=
θθθθ
)senh()/()cosh(
mLmLMq bL
fθθ−
=
D. Aleta muito longa
Neste caso, quando 0 , →∞→ LL θ .
mx
bex −=
θθ )(
Mq f =
Exemplo:
1) Uma barra cilíndrica de diâmetro 25mm e comprimento 0,25m, tem uma extremidade
mantida a 100ºC. A superfície da base está exposta ao ar ambiente a 25ºC, com um
coeficiente convectivo de 10 W/m2.K. Se a barra é construída em aço inoxidável, com
condutividade térmica k = 14 W/m.K, determine a temperatura da barra em x=L e a sua
perda térmica para a condição de transferência convectiva de calor.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
142
Resolução: Para calcular a temperatura de barra em x=L devemos utilizar a fórmula
para transferência convectiva de calor:
).senh(..
).cosh(
)].(senh[..
)](cosh[)(
Lmkm
hLm
xLmkm
hxLm
b
x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
=θθ
Calculando alguns parâmetros para obter o resultado:
24232
10.9,44
)10.25.(14,34. mdAc
−−
===π
m10.9,7r..2P 2−=π=
WTTkAPhM
mkA
Phm
Bbc
c
52,5).(14.10.9,4.10.9,7.10....
73,1010.9,4.1410.9,7.10.
42
4
2
=−==
===
∞−−
−
−
θ
Calculando agora a temperatura da barra em x=L
KT
TT
K
Lmkm
hLm
LLmkm
hLLm
Lx
LxLx
Lx
Lx
b
Lx
58,342558,9
58,9
)25,0.73,10senh(.14.73,10
10)25,0.73,10cosh(
175
).senh(..
).cosh(
)].(senh[..
)](cosh[
)(
)()(
)(
)(
)(
=+=
−=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
=
=
∞==
=
=
=
θ
θ
θ
θθ
Calculando agora a perda térmica para a condição proposta:
Wq
q
Lmkm
hLm
Lmkm
hLmMq
r
r
r
47,5
)25,0.73,10senh(.14.73,10
10)25,0.73,10cosh(
)25,0.73,10cosh(.14.73,10
10)25,0.73,10senh(.52,5
).senh(..
).cosh(
).cosh(..
).senh(.
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
143
16.5. Desempenho da Aleta
As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência de calor de uma
superfície devido ao aumento da área. No entanto, a aleta impõe uma resistência térmica
à condução na superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o desempenho da
aleta.
Efetividade: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa de
transferência de calor que existiria sem a presença da aleta. A utilização de aletas
somente se justifica se εf ≥ 2. A efetividade de uma aleta aumenta com a escolha de um
material de condutividade térmica elevada. Aumenta quando aumenta a razão entre o
perímetro e a área da seção reta.
bbc
f
hAqθ,
fε =
onde: Ac,b é a área da seção reta da aleta, na base. Para aletas com seção reta uniforme,
cbc AA =,
Pode-se definir a resistência da aleta por:
f
bft q
Rθ
=,
Utilizando-se a resistência à convecção na base:
bcbt hA
R,
,1
=
A efetividade pode ser definida, então, por
ft
bt
RR
,
,fε =
Eficiência: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa máxima de
transferência de calor que existiria pela aleta, se toda a aleta estivesse na temperatura da
base.
bf
fff hA
qqq
ηθ
==max
onde: Af = área superficial da aleta
Para uma aleta com a extremidade adiabática (caso B):
Fenômenos de Transporte – 01/2008
144
cb
bcf kA
hPmmL
mLhPL
mLhPkA=== ,)tanh()tanh(. .
θθ
η
Este resultado pode ser utilizado para os casos em que há transferência de calor pela
extremidade da aleta:
( )42
,tanh DLLoutLL
mLmL
ccc
cf +=+==η
Figura 83 – Eficiência de aletas.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
145
Eficiência Global da Superfície: A eficiência da aleta ηf caracteriza o desempenho de
uma única aleta. A eficiência global da superfície ηg caracteriza o desempenho de um
conjunto de aletas e da superfície da base sobre a qual este conjunto está montado.
bt
tto hA
qqqη
θ==
max
onde:
qt = taxa total de transferência de calor
At = área total exposta
bft ANAA += Ab = área da superfície exposta – área das aletas
Af = área superficial de cada aleta
N = número total de aletas
A taxa de transferência de calor máxima ocorreria se toda a superfície da aleta, assim
com a base exposta, fosse mantida a bT .
A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas e da superfície exposta
(sem aletas) para o fluido é dada por:
bbbfft hAhANq θθη +=
onde ηf é a eficiência de uma aleta.
[ ] bft
ftbftfft A
NAhANAAANhq θηθη ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=−+= 1(1)(
Assim,
)1(1 ft
fo A
NAηη −−=
Fenômenos de Transporte – 01/2008
146
Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retangulares b) Anulares.
Nas superfícies aletadas, S representa o passo das aletas.
17. Condução Transiente 17.1. Introdução
Condução transiente ocorre em várias aplicações da engenharia e pode ser tratada por
diferentes métodos. De início, deve ser calculado o número de Biot, que relaciona a
resistência à condução no sólido e a resistência à convecção na superfície sólido-
líquido. Se o número de Biot for muito menor que a unidade, o método da capacitância
global pode ser aplicado. Caso contrário, efeitos espaciais ocorrem, e outros métodos
são usados.
17.2. Método da Capacitância Global
Considere um metal com temperatura inicial uniforme Ti, que é resfriado por imersão
em um líquido de temperatura T∞ < Ti. Se o resfriamento se inicia no tempo t = 0, a
temperatura do sólido decrescerá até que eventualmente atinja T∞. A essência deste
método é a consideração de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em
qualquer instante durante o processo transiente. Esta hipótese é satisfatória quando a
resistência à condução dentro do material for muito menor que a resistência à convecção
na interface sólido-líquido. Neste caso, a equação de condução de calor não pode ser
empregada, e a temperatura transiente é determinada por um balanço global de energia
no sólido.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
147
Aplicando o balanço de energia ao sólido:
as EE && =−
Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente.
( )tTcTThAs ∂∂
∀=−− ∞ ρ
Definindo: ∞−= TTθ
Resulta: ∫∫ −=∀
⇒−=∀ t
ssdtd
hAc
dtd
hAc
i 0
θ
θ θθρ
θθρ
Onde: ∞−= TTiiθ
Integrando: thA
c i
s
=∀
θθρ ln ou ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∀
−=−−
=∞
∞ tc
hATTTT s
ii ρθθ exp
Validade do Método da Capacitância Global
Sob condições de regime permanente, o balanço de energia na superfície do sólido se
reduz a:
( ) ( )∞−=− TThATTLkA
sss 2,2,1,
Rearranjando:
Bik
hLRR
hAkAL
TTTT
conv
cond
s
ss ≡===−
−
∞ /1/
2,
2,1,
Fenômenos de Transporte – 01/2008
148
Se Bi << 1, a resistência à condução dentro do sólido é muito menor que a resistência
à convecção através da camada limite do fluido, e o erro associado à utilização do
método da capacitância global é pequeno.
Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a diferentes
números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por convecção.
18. Convecção 18.1. Fundamentos da Convecção
Considere um fluido qualquer, escoando com velocidade V e temperatura T∞ sobre uma
superfície de forma arbitrária e área superficial A, como mostrado na Fig. 87.
Figura 87 - Transferência convectiva de Calor.
Se a temperatura da superfície for superior à temperatura do fluido, haverá uma
transferência de calor por convecção da superfície para o fluido. O fluido térmico local
é dado pela lei de resfriamento de Newton.
).( ∞−=′′ TThq s
onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção.
q
Ts
T∞
Fenômenos de Transporte – 01/2008
149
Como as condições variam de ponto para ponto, q” e h irão variar ao longo da
superfície. A taxa total de transferência de calor é obtida integrando-se o fluxo ao longo
da superfície.
( )
ss
sss
dATTq
dATTdAqq
)( ∞
∞
−=
−=′′= ∫∫
Pode-se definir um coeficiente médio de transferência de calor por convecção h para
toda a superfície, de maneira a representar toda a transferência de calor
).( ∞−=′′ TThq s
Igualando-se as expressões para a taxa de calor, os coeficientes local e médio podem ser
relacionados por:
∫=sA s
sdAh
Ah .1
Para uma placa plana de comprimento L e largura b (Fig. 88)
Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana.
( ) bxxAs =
∫=sAhbdx
bLh 1
∫=L
hdxL
h0
1
h = coeficiente médio de transferência de calor por convecção (W/m2. K).
Fenômenos de Transporte – 01/2008
150
h = coeficiente local de transferência de calor por convecção (W/m2. K).
De maneira análoga, se um fluido com concentração molar de um componente A igual a
CA,∞ escoa sobre uma superfície cuja concentração molar de A é mantida em um valor
uniforme CA,s ≠ CA,∞, haverá transferência deste componente por convecção. A taxa
de transferência de massa pode ser calculada através de um coeficiente local hm.
Se CA,s > CA,∞
N”A = hm(CA,s - CA,∞)
onde:
N”A: fluxo molar da espécie A (Kmol/s.m²)
Hm: coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s)
CA,s: concentração molar de A na superfície (Kmol/m³)
CA,∞: concentração molar de A no fluido (Kmol/m³)
A taxa total de transferência de massa pode ser escrita na forma
( )∞−= ,AS,AsmA CCAhN
onde mh : coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s)
De modo análogo à transferência de calor, o coeficiente médio é relacionado ao
coeficiente local por
∫=s
sms
m
dAdAh
Ah 1
A transferência de uma espécie química também pode ser expressa em termos da massa,
através do fluxo mássico n”A (Kg/s.m²) ou da taxa de transferência de massa nA (Kg/s).
Multiplicando-se a equação para o fluxo molar pela massa molecular de A,
( )( )∞
∞
−=
−=
,AS,AsmA
,AS,AmA
Ahnh"n
ρρρρ
18.2. As Camadas Limites da Convecção
Fenômenos de Transporte – 01/2008
151
18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica
Seja o escoamento sobre uma placa plana mostrada na Fig. 89.
Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica.
Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter
velocidade nula (condição de não deslizamento). Estas partículas atuam no
retardamento do movimento das partículas da camada de fluido adjacente que, por sua
vez, atuam no retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim
sucessivamente, até uma distância y = δ, onde o efeito de retardamento se torna
desprezível. A velocidade u aumenta até atingir o valor da corrente livre, u∞.
1) A espessura da camada limite, δ, é definida como o valor de y para o qual u = 0,99
u∞;
2) O perfil de velocidade na camada limite é a maneira com que u varia com y através
da camada limite;
3) Na camada limite, os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são
elevados; fora da camada limite, são desprezíveis;
4) Para escoamentos externos, define-se o coeficiente de atrito local (Cf) a partir do
conceito de camada limite:
22∞
=uτC s
f ρ
onde:
sτ = tensão de cisalhamento na superfície (N/m2)
ρ = massa específica do fluido (kg/m3)
u∞ = velocidade do fluido na corrente livre (m/s)
u∞ u∞
δ (x)
x
τ
CORRENTE
CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA
y
Fenômenos de Transporte – 01/2008
152
5) Para uma fluido Newtoniano 0=∂
∂=
ys y
uτ µ ,
Com µ = viscosidade dinâmica do fluido (kg/m. s).
18.2.2. As Camadas Limites de Concentração
A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção em
uma parede. Se uma mistura de duas espécies químicas A e B escoa sobre uma
superfície e a concentração da espécie A na superfície é diferente da concentração na
corrente livre, uma camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do
fluido onde existem gradientes de concentração, sendo sua espessura definida como o
valor de y no qual
∞−−
,,,
AA
ASA
CsCCC
O perfil de concentração na camada limite é similar ao perfil de temperatura na camada
limite térmica (Fig. 90).
Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite.
Em um escoamento sobre uma superfície com diferença de temperatura e concentração
entre ambos, em geral, as camadas limite fluidodinâmica, térmica e de concentração não
se desenvolvem simultaneamente, ou seja, não possuem a mesma espessura
( )ct δδδ ≠≠ .
O objetivo da definição das camadas limite é a simplificação das equações que
governam o escoamento. No interior da camada limite fluidodinâmica,
Fenômenos de Transporte – 01/2008
153
xv
yv
xu
yu
vu
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂>>
,,
No interior da camada limite térmica,
xT
yT
∂∂
>>∂∂
Desta maneira, as equações podem ser simplificadas e a solução do problema se torna
mais fácil.
18.3. Escoamento Laminar e Turbulento
Os problemas de convecção consistem, basicamente, na determinação dos coeficientes
de convecção. Com eles, pode-se então determinar as taxas de transferência de calor.
Em geral, são obtidas equações empíricas para o cálculo dos adimensionais e, através de
sua definição, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlações dependem da
geometria do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior
de um tubo, etc.), do regime do escoamento, se a convecção é natural ou forçada, etc.
Para o tratamento de qualquer problema de convecção é relevante determinar se a
camada limite é laminar ou turbulenta, já que tanto o atrito superficial como as taxas de
transferência de calor por convecção dependem das condições da camada.
Figura 91 – Camada Limite.
Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são
definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
154
A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de
Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, 105 ≤
Rex,c ≤ 3 × 106. Um valor representativo é Rex,c = 5 × 105, ou seja, o número de
Reynolds crítico (ou de transição) é dado por:
µρ xu
x..Re ∞= e µ
ρ ccx
xu .,
.Re ∞=
onde:
Rex,c = no de Reynolds crítico (início de transição do regime laminar para turbulento)
Número de Reynolds - é a relação entre as forças de inércia e as forças viscosas:
νµρ VLVL
L ==Re
Número de Prandtl - é a relação entre a difusividade de momento e a difusividade
térmica – relaciona a distribuição de temperatura à distribuição de velocidade:
ανµ
==kcpPr
Para escoamentos laminares nt Pr≈δδ . Para gases tδδ ≈ , metais líquidos tδδ >> , e
para óleos tδδ << .
Número de Nusselt - é o gradiente de temperatura adimensional na interface fluido-
superfície: fk
hL=LNu
Coeficiente de atrito - é tensão de cisalhamento adimensional na superfície:
22VC s
f ρτ
=
Fator de atrito – é a queda de pressão adimensional para escoamento interno:
( )( )22muDL
pfρ∆
=
Parâmetros Adimensionais
• Número de Reynolds
µρud
=Re
Fenômenos de Transporte – 01/2008
155
• Número de Nusselt
fKhdNu =
• Número de Prandtl
f
p
KC µ
αν==Pr
• Número de Sherwood
AB
m
DdhSh =
• Número de Schmidt
ABDSc ν
=
onde DAB é a difusividade de massa (m²/s)
Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são
definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem.
A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de
Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, esta
transição ocorre para Re=5x105, ou seja, o numero do Reynolds crítico (ou de transição)
é dado por:
5, 105Re xxu ccx ==
∞
µρ
onde u∞ é a velocidade da corrente livre.
Para escoamento laminar (Rex< 5x105), a espessura da camada limite fluidodinâmica é
xlam
xRe5
=δ
A espessura da camada limite térmica é dada por
31
Pr=tδδ
O número de Nusselt local é dado por
PrRe332,0 3/12/1x
xx
KxhNu == , válida para Pr ≥0,6
Fenômenos de Transporte – 01/2008
156
Uma outra expressão para o número de Nusselt local, válida para qualquer valor de
Prandtl, é dada por
( )[ ] 4/13/2
3/12/1
Pr/0468,01
PrRe3387,0
+= x
xNu
Para escoamento turbulento (Re>5x105)
xxuxxturb .37,0.Re37,0 5/15/1
5/1 −−
∞−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
µρδ
Quando as camadas limite laminar e turbulenta são comparadas, percebe-se que a
turbulenta cresce muito mais rápido, já que sua espessura varia com x4/5, enquanto no
escoamento laminar, a espessura varia com x1/2.
Para escoamentos turbulentos,
tδδ ≈
O número d Nusselt local é dado por
PrRe0296,0 3/15/4xxNu = , válida para 0,6<Pr<60
18.4. A Camada Limite Térmica
Da mesma forma que há a formação de uma camada limite fluidodinâmica no
escoamento de um fluido sobre uma superfície, uma camada limite térmica deve se
desenvolver se houver uma diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e
na superfície. Considere o escoamento sobre uma placa plana isotérmica mostrada na
Fig. 92.
Figura 92 – Camada Limite Térmica.
No início da placa (x = 0), o perfil de temperaturas no fluido é uniforme, com T(y) = T∞.
No entanto, as partículas do fluido que entram em contato com a placa atingem o
equilíbrio térmico na temperatura superficial da placa, ou seja, T (x,0) = T∞ . Por sua
T∞ T∞
Tsup.
δ (x)
CAMADA LIMITE TÉRMICA
CORRENTEy
x
Fenômenos de Transporte – 01/2008
157
vez estas partículas do fluido em contato com a superfície atingem o equilíbrio térmico
com essa superfície, e trocam energia com partículas fluidas em camadas adjacentes,
criando um gradiente de temperatura.
1) A espessura da camada limite térmica, δt, é definida como o valor y para o qual:
( ) ( ) 99,0=−− ∞TTTT ss
2) Na superfície não existe movimentação do fluido e a transferência de calor ocorre
unicamente por condução. Com isso,
0=∂∂
−=′′y
fs yTkq e
∞
=
−
∂∂−=
TT
yTkh
s
yf 0
onde
kf = condutividade térmica do fluido (W/m.K)
Fenômenos de Transporte – 01/2008
158
EXERCÍCIOS RECOMENDADOS:
* FOX, Robert W. e Alan T. McDonald, Introdução à Mecânica dos Fluidos, Livros
Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2001. (Quinta Edição)
CAPÍTULO 1:
1.2; 1.25; 1.26; 1.30 e 1.34.
CAPÍTULO 2:
2.1; 2.27; 2.28; 2.32; 2.33 e 2.36 a 2.40.
CAPÍTULO 3:
3.13 a 3.20; 3.22 e 3.27.
CAPÍTULO 4:
4.9 a 4.12; 4.17 a 4.19; 4.23; 4.24; 4.27; 4.29 e 4.182 a 4.188.
CAPÍTULO 6:
6.33; 6.35; 6.36; 6.38; 6.39; 6.40; 6.41 e 6.42.
* INCROPERA, Frank P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Livros
Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1998. (Quinta Edição)
CAPÍTULO 1:
1.1 a 1.7; 1.10 a 1.13; 1.15; 1.17 a 1.19; 1.24 a 1.28; 1.35; 1.37; 1.39 e 1.42 a 1.49.
CAPÍTULO 2:
2.2; 2.4; 2.7 a 2.10; 2.14; 2.18; 2.21; 2.23; 2.34 e 2.39.
CAPÍTULO 3:
3.2; 3.10; 3.12; 3.13; 3.15; 3.32; 3.37; 3.38; 3.44 e 3.66.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
159
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
* BASTOS, Francisco de Assis A., Problemas de Mecânica dos Fluidos, Editora
Guanabara Koogan S.A., 1983.
* CARVALHO, Djalma Francisco, Instalações Elevatórias, Bombas, Fumarc, Belo
Horizonte, 1984.
* FOX, Robert W. e Alan T. McDonald, Introdução à Mecânica dos Fluidos,
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2001.
* HOLMAN, J.P., Transferência de Calor, McGraw-Hill do Brasil Ltda, São
Paulo, 1983.
* INCROPERA, Frank P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa,
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1998.
* MACINTYRE, Archibald Joseph, Bombas e Instalações de Bombeamento,
Editora Guanabara S.A., Rio de Janeiro, 1987.
* MYERS, J.E. e C.O. Bennett, Fenômenos de Transporte, Quantidade de
Movimento, Calor e Massa, McGraw-Hill do Brasil Ltda, São Paulo, 1978.
* OZISIK, M. Necati, Transferência de calor: um texto básico, Editora
Guanabara Koogan S.A., c1990.
* SCHIOZER, Dayr, Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan S.A.
Rio de Janeiro, 1996.
* SISSOM, Leighton E. E Donald r. Pitts, Fenômenos de Transporte, Editora
Guanabara Koogan S.A. Rio de Janeiro, 1988.
* SHAMES, Irving H., Mecânica dos Fluidos, Volume I e II, Editora Edgard
Blucher Ltda., 1977.
* STREET, Robert L. e John K. Vennard, Elementos de Mecânica dos Fluidos,
Editora Guanabara Koogan S.A., 1978.
* TELLES, Pedro Silva, Tubulações Industriais - Cálculo, Livros Técnicos e
Científicos Editora S.A., 1994.
* TELLES, Pedro Silva, Tubulações Industriais - Materiais, Projeto e Desenho,
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1994.
* THOMAS, Lindon C., Fundamentos da Transferência de calor, Prentice-Hall
do Brasil, 1985.
* WHITE, Frank M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill Interamericana do
Brasil Ltda., Rio de Janeiro, 2002.
Fenômenos de Transporte – 01/2008
160
Apêndice A
Tabela A.1 – Propriedades de Fluidos Comuns a 20ºC e 1atm. Massa Específica Viscosidade Absoluta Fluido Kg/m3 Kg/(m.s) ____________________________________________________________________________ Água 998 1,00x10-3 Freon -12 1327 2,62x10-4 Gasolina 680 2,92x10-4 Glicerina 1260 1,49 Mercúrio 13550 1,56x10-3 Óleo SAE 10W 870 1,04x10-1 Óleo SAE 10W30 876 1,70x10-1
Óleo SAE 30W 891 2,90x10-1
Óleo SAE 50W 902 8,60x10-1
Querosene 804 1,92x10-3 Hidrogênio 0,084 9,05x10-6
Hélio 0,166 1,97x10-5 Ar seco 1,203 1,80x10-5 CO2 1,825 1,48x10-5 Tabela A.2 – Massa Específica da Água a 1 atm.
T(ºC) Massa Específica (Kg/m3) 0 1000 10 1000 20 998 30 996 40 992 50 988 60 983 70 978 80 972 90 965
100 958 Tabela A.3 - Massa Específica do Ar a 1 atm.
T(ºC) Massa Específica (Kg/m3) -40 1,520
0 1,290 20 1,203 50 1,090
100 0,946 150 0,835 200 0,746 250 0,675 300 0,616 400 0,525
500 0,457
Fenômenos de Transporte – 01/2008
161
Tabela A.4 - Massa Moleculares de Gases Comuns. Fluido Massa Molecular (Kg/Kmol) H2 2,016 He 4,003 H2O 18,02 Ar seco 28,96 CO2 44,01 CO 28,01 N2 28,02 O2 32,00 NO 30,01 N2O 44,02 Cl2 7,091 CH4 16,04
Tabela A.5 – Emissividades a 300K.
Superfície Emissividade Água 0,96 Concreto 0,88-0,93 Folha de amianto 0,93-0,96 Tijolo vermelho 0,93-0,96 Placa de gesso 0,90-0,92 Madeira 0,82-0,92 Pavimentação de asfalto 0,85-0,93 Vidro de janela 0,90-0,95 Teflon 0,85 Alumínio polido 0,03 Solo 0,93-0,96 Pele 0,95
Tabela A.6 – Condutividades Térmicas a 300K. Material K (W/m.K) Aço inoxidável AISI 304 14,9 Alumínio puro 237 Chumbo 35,3 Cobre puro 401 Ferro puro 80,2 Algodão 0,06 Asfalto 0,062 Compensado de madeira 0,12 Manta de fibra de vidro 0,038 Pele 0,37 Solo 0,52 Tijolo comum 0,72 Vidro pyrex 1,4 Ar seco 0,0263
Fenômenos de Transporte – 01/2008
162
Tabela A.7 – Valores de Densidade para alguns fluidos a 20 °C.
Fluido Densidade (Kg/m3) Hidrogênio 0,087 Ar 1,205 Gasolina 680 Água 998 Mercúrio 13580 Óleo SAE 30 891 Glicerina 1264
Tabela A.8 – Valores de Viscosidade para alguns fluidos a 20 °C.
Fluido Viscosidade (Kg/m.s) Hidrogênio 8,8x10-6 Ar 1,8x10-5 Gasolina 2,9x10-4 Água 1,0x10-3 Mercúrio 1,5x10-3 Óleo SAE 30 0,29 Glicerina 1,5
Tabela A.9 – Propriedades Termodinâmicas de Gases Comuns na Condição Padrão
ou “ Standard” .
Fenômenos de Transporte – 01/2008
163
Vapor
Oxigênio
Nitrogênio
Monóxido de C
arbono
Metano
Hidrogênio H
élio
Bióxido de C
arbono
Ar
Gás
H2 O
O
2 N
2
CO
CH
4 H
2 H
e
CO
2
–
Símbolo
Quím
ico
18,0232,0028,01
28,01
16,042,0164,003
44,01
28,98
Massa
Molecular,
Mm
461,4259,8296,8
296,8
518,341242077
188,9
286,9
~2000909,41039
1039
219014,1805225
840,4
1004
~1540 649,6 742
742,1
1672 10,060 3147
651,4
717,4
~1,301,401,40
1,40
1,311,411,66
1,29
1,40
85,7848,2955,16
55,17
96,32766,5386,1
35,11
53,33
~0,4780,21720,2481
0,2481
0,52313,3881,248
0,2007
0,2399
a Temperatura e pressão na condição padrão ou “standard”. T = 15º = 59ºF e p = 101,325 kPa (abs.) = 14696 psia.
b R ≡ Ru /M
m ; Ru = 8314,3 J/(kgm
ol·K) = 1545,3 pé · lbf/(lbm
ol · ºR); 1 B
tu = 778,2 pé · lbf. c O
vapor d’água comporta-se com
o um gás ideal quando superaquecido de 55ºC
(100ºF) ou mais.
~0,3680,15510,1772
0,1772
0,39932,4020,7517
0,1556
0,1713
Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos
Fenômenos de Transporte – 01/2008
164
Apêndice B
Tabela B.1– Grandezas e Unidades utilizadas em Mecânica dos Fluidos.
Grandeza Fatores de Conversão
Massa 1 slug = 14,594 kg = 32,174 lbm
1 lbm = 0,4536 kg
1 tonelada = 1000 kg
Comprimento 1 ft = 12 in = 0,3048 m
1 mi = 5280 ft = 1609,344 m
Temperatura T (K) = T (°C) + 273,15
1R = 1,8K
Força 1 kgf = 9,80665 N = 2,2046 lbf
1lbf = 4,4482N
N1x10scm1g1dina 5
2−==
1 onça = 0,27801 N
Energia 1 ft.lbf = 1,3558 J
1 Btu = 252 cal = 1055,056 J
1 kWh = 3,6x106 J
Pressão 1 psi = 6894,76 Pa
atm0,9872x10bar101PamN1 55
2−− ===
1 lbf/ft2 = 47,88 Pa
1 psi = 1 lbf/in2 = 144 lbf/ft 2 = 6895 Pa
1 atm = 101325 Pa
1 bar = 1x105 Pa
linHg (a 20ºC) = 3375 Pa
Potência 1 hp = 550 ft.lbf/s = 745,7 W = 1,014 cv
1 cv = 735 W
Densidade 1 slug/ft3 = 515,4 Kg/m3
Viscosidade 1 slug/(ft.s) = 47,88 kg/(m.s)
1 Ns/m2 = 1 kg/ms = 10 poise
Viscosidade Cinemática 1 stokes (St) = 1 cm2/s = 1x10-4 m2/s
Volume
1 ft3 = 0,028317 m3
Fenômenos de Transporte – 01/2008
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1 galão = 231 pol3 = 0,0037854 m3
1 litro = 0,001 m3 = 0,035315 ft3
Área 1 ft2 = 0,092903 m2
1 mi2 = 2,78784x107 ft2 = 2,59x106 m2
1 acre = 4046,9 m2 = 43560 ft2
Peso Específico 1 lbf/ft3 = 157,09 N/m3
Massa Específica 1 slug/ft3 = 515,38 kg/m3
1 lbm/ft3 = 16,0185 kg/m3
1 g/cm3 = 1000 kg/m3
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Figura A1
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Figura A2