PUC

APOSTILA E NOTAS DE AULA

DE

FENÔMENOS DE TRANSPORTE

PROF. DR. MARCELO TSUYOSHI HARAGUCHI

GOIÂNIA, AGOSTO DE 2019

2

1. Propriedades e Grandezas relativas aos fluidos

1.1. Definição de Fluido

Fluido é uma substância que sofre deformações sob a ação de esforços,

tensão de cisalhamento, por menor que seja a tensão. Todos os fluidos possuem

um certo grau de compressibilidade e oferecem pouca resistência a mudança de

forma

Substância – estado sólido e fluido

Classificação dos fluidos:

líquidos Gases

- Praticamente incompressíveis

- Ocupam volumes definidos e tem

superfícies livres

- são compressíveis

- uma massa de gás expande até

ocupar todas as partes de qualquer

recipiente e fechado

1.2. Sistema de unidades

Dimensão Unidade SI Unidade FPS

Comprimento [L] Metro (m) Pé (ft)

Massa [M] Quilograma (kg) Slug (-)

Tempo [t] Segundo (s) Segundo (sec)

Temperatura [T]

Grau absoluto Kelvin (K) Rankine (R)

Grau usual Celsius (ºC) Farenheit (ºF)

Grandezas derivadas

Força Newton (N = kg m/s2) Libra (lb = slug ft/sec2)

Pressão Pascal (Pa = N/m2) psf = lb/ft2)

Energia (trabalho e calor) Joule (J = N . m) ft . lb

Potência Watt (w = J/s) Cavalo-vapor (hp = 745,7 w)

3

1.3. Massa específica ()

A massa específica ()é definida como a massa por unidade de volume.

Onde:

m - é a massa (kg) SI;

v - é o volume (m3) SI;

água = 1,94 slugs/ft3 ; água = 1000 kg/m3 ;

1.4. Peso específico ()

Peso específico () é definido como o peso de uma unidade de volume de

uma substância. Para líquidos, pode ser considerado constante para mudanças

normais de pressão.

gx

Onde:

- é a massa específica (kg/m3) SI;

g - é a aceleração da gravidade (9,81m/s2) SI;

água = 62,4 lb/ft3 ; água = 9,79 KN/m3 ;

O peso específico de um gás pode ser calculado usando a equação de

estado geral dos gases:

)(aRT

vxp

Onde:

p - é a pressão absoluta;

)dim(3

enssionalanáliseL

M

v

m

4

v - é o volume por unidade de peso;

T - é a temperatura absoluta;

R - é a constante do gás específico;

Assim,

molarpeso

gasesdosuniversaltecons

gxM

RoR

tan

Considerando v

1 , a equação (a) pode ser escrita

TR

p

p

TRv

1.5. Densidade ou densidade relativa (d)

Densidade de um corpo é definida como a relação entre a massa

específica do corpo pela massa padrão. Para os sólidos e líquidos toma-se

como padrão a água a 68 ºF = 20 ºC. Para os gases a referência e o ar

livre, com dióxido de carbono ou hidrogênio (a 32 ºF = 0 ºC e 1 atm =

14,7 lb/in2 = 101,3 KPa de pressão).

águaágua

d

1.6. Viscosidade de um fluido

A viscosidade de um fluido é a propriedade que determina o grau de sua

resistência a uma força de cisalhamento. A viscosidade é decorrente

basicamente da interação entre as moléculas do fluido.

Consideramos duas placas largas e paralelas separadas por uma pequena

5

distância y, sendo o espaço entre as placas ocupadas por um fluido. Para fazer a

placa superior se mover a uma velocidade v, verificou-se que é necessário

execer sobre a mesma uma força F. O fluido em contato com a placa superior

adere a mesma e move-se com a velocidade v e o fluido em contato com a placa

fixa tem velocidade nula. Se a distância y e a velocidade v não são muito

grandes, o perfil de velocidade será uma linha reta.

Experiências demonstram que a força de cisalhamento F varia com a área

da placa A, com a velocidade v e inversamente com a distância y. Por

semelhança de triângulos:

dy

dv

y

v , assim temos

dy

dv

A

Fou

dy

dvA

y

UAF

Introduzindo a constante de proporcionalidade , chamada de viscosidade

absoluta ou dinâmica (o fluido é considerado newtoniano), tem-se:

tocisalhamenpordeformaçãodetaxa

tocisalhamendetensão

dydvou

dy

dv

/

Outro coeficiente de viscosidade, o coeficiente de viscosidade cinemática

() é definido por:

6

g

g

ou

específicamassa

dinâmicaidadevis

/

cos

unidades m2/s ou ft2/sec

As viscosidades dos fluidos decrescem com o aumento da temperatura,

mas não são afetadas sensivelmente pelas variações de pressão. A viscosidade

absoluta dos gases aumenta com o aumento de temperatura mas não é

sensivelmente alterada por variações de pressão. Uma vez que o peso específico

dos gases varia com a pressão (a temperatura constante), a viscosidade

cinemática varia inversamente com a pressão.

1.7. Tensão Superficial

A tensão superficial é uma grandeza física decorrente de forças de

atrações moleculares. Uma partícula líquida, em conseqüência de forças de

atração entre suas moléculas e sem o efeito de outras forças que não essa atração

molecular, toma uma forma esférica (gota d’água).

Considere-se uma partícula líquida que se encontre na superfície de

separação com outras fases gasosas ou líquidas. Tal partícula sofre, na direção

perpendicular à superfície efeitos de forças que tendem a atraí-la para o interior

do meio mais denso, o que resulta numa tendência de deformar a superfície para

uma geometria não plana, cuja área, portanto, cresce em relação à de superfície

plana.

Então, mais moléculas devem ser removidas do interior para a superfície,

para garantir a maior ocupação de área; para isto deve ser realizado trabalho, o

que envolve energia. Tal energia, que se entende como potencial por unidade de

área, se apresenta como força por unidade de comprimento, denominado tensão

superficial.

7

Uma outra definição pode ser relatada da seguinte forma. Uma molécula

no interior de um líquido é submetida a forças de atração em todas as direções e

a soma vetorial resultante destas forças é zero. Mas uma molécula na superfície

do líquido é atraída para o interior do mesmo por uma força resultante

perpendicular à superfície do líquido. Portanto, é necessário uma certa

quantidade de trabalho para deslocar moléculas para a superfície em oposição a

esta força; logo as moléculas superficiais tem mais energia que as do interior.

A tensão superficial (sigma) de um líquido representa o trabalho que

deve ser executado para trazer do interior do líquido uma quantidade de

moléculas para formar uma nova unidade de área daquela superfície (J/m2). De

modo equivalente, as moléculas superficiais energizadas atuam como se

formassem uma lâmina estirada.

L

F

Onde: F – força elástica transversal a qualquer elemento de comprimento L

na superfície. As unidades são N/m ou lb/ft.

O valor da tensão superficial da água em contato com o ar é 0,0756 N/m

a 0 ºC ou 0,00518 lb/ft a 32 ºF.

1.8. Capilaridade

A elevação ou descida de um líquido em um tubo capilar (ou em um

meio poroso) é causada pela tensão superficial e depende dos valores relativos

da coesão do líquido às paredes do recipiente que o contém. Os líquidos sobem

nos tubos que eles molham (coesão>adesão) e descem nos tubos que eles não

molham (coesão<adesão). A capilaridade é importante quando se usam tubos de

diâmetro menor que cerca de 3/8” (10 mm), para tubos de Ø maior que 1/2"

8

(12mm), pois os efeitos da capilaridade são desprezíveis.

A capilaridade em um tubo (subida e descida) é dada por:

r

h

cos2

Onde: h – altura da subida ou descida capilar (m)

- tensão superficial (N/m)

- ângulo da superfície do líquido com as paredes do tubo (de

molhamento)

- peso específico do líquido (N/m3)

r – raio do tubo (m)

Figura dos tubos

1.9. Módulo de Elasticidade Volumétrico (E)

O módulo de elasticidade volumétrico (E) expressa a compressibilidade

de um fluido. Ele é a relação entre a variação da pressão unitária e a variação

correspondente de volume por unidade de volume:

Vedv

dpE

/

9

Onde: dp – variação de pressão (positiva – aumento de pressão) (N/m2)

dv – variação de volume (negativa – compressão) (m3)

Ve – volume específico (Ve = 1/) (m3/kg)

O sinal negativo de –dv/Ve serve para tornar E positivo, uma vez que

para um dp positivo (aumento de pressão) o dv (variação de volume) é negativo

(compressão).

1.10. Condições Isotérmicas

Temperatura constante

tecons

P

PouVPVP KK tan

2

1

2

1

2211

Onde: E = P

1.11. Condições Adiabáticas ou Isentrópicas

Se não há troca de calor entre gás e o recipiente, então:

KKK

P

P

T

Toutecons

P

PouVPVP

/1

1

2

1

2

2

1

2

12211 tan

Onde: E = KP

K – relação entre o calor específico a uma pressão constante e o calor

específico a um volume constante.

10

1.12. Pressão de Vapor (compressão de gases)

Os líquidos evaporam por causa de moléculas que escapam pela

superfície livre. As moléculas de vapor exercem uma pressão parcial no espaço,

conhecida como pressão de vapor. Se o espaço acima do líquido for confinado

depois de um certo tempo o número de moléculas de vapor atingindo a

superfície do líquido e condensado é exatamente igual ao número de moléculas

que escapam em qualquer intervalo de tempo, e existe o equilíbrio.

Como este fenômeno depende da atividade molecular a qual é função da

temperatura, a pressão de vapor de um líquido depende da temperatura e

aumenta com a mesma.

Quando a pressão acima da superfície de um líquido iguala a pressão de

vapor do mesmo, ocorre a ebulição. A ebulição da água, por exemplo, pode

ocorrer a temperatura ambiente se a pressão for suficientemente reduzida.

A 68 ºF (20 ºC) – pressão de vapor da água {0,339 psi ou 0,0238 kgf/cm2)

- pressão de vapor do mercúrio (0,000025 psi ou 0,0000025 kgf/cm2).

Em muitas situações, nos escoamentos de líquidos é possível que

pressões bastante baixas apareçam em certas regiões do sistema. Em tais

circunstâncias, as pressões podem ser iguais ou menores que a pressão de vapor.

Quando isto ocorre, o líquido se evapora muito rapidamente.

Uma bolsa de vapor ou “cavidade”, que se expande rapidamente, é

formada e normalmente se desloca de seu ponto de origem e atinge regiões do

escoamento onde a pressão é maior que a pressão de vapor, ocorrendo o colapso

ou implosão da bolsa. Isto é o fenômeno da cavitação. Esta formação e extinção

de bolhas de vapor afeta o desempenho das bombas e turbinas hidráulicas e pode

erodir partes metálicas na região de cavitação.

11

1.13. Compressão dos Gases

A compressão de gases pode ocorrer de acordo com as leis da

Termodinâmica. Para uma mesma massa de gás sujeita a duas diferentes

condições:

22

2

11

1

2

22

1

11

T

P

T

PouRW

T

VP

T

VP

Onde: P – pressão absoluta em lb/ft2 (N/m2)

V – volume em ft3 (m3)

W – peso em lb (N)

- peso específico em lb/ft3 (N/m3)

R – constante do gás em ft/ºR (m/K)

T – temperatura absoluta em ºR (460+ºF); (K)

1.14. Pressão do Fluido

A pressão do fluido é transmitida com igual intensidade em todas as

direções e atua normalmente sobre qualquer plano (Teorema de Pascal). No

plano horizontal as intensidades da pressão em um líquido são iguais. Pressões

manométricas representam valores acima ou abaixo da pressão atmosférica

dA

dFP

Onde: dF – variação da força

dA – variação da área

Unidades: lb/ft2 (psf), lb/in2 (psi) ou N/m2 (Pa)

12

Força F uniformemente distribuída sobre uma área, então:

A

FP

1.15. Diferença de Pressão do Fluido

1212 hhPP

Onde: - peso específico

h2 – h1 .-. diferença de elevação

Se o ponto 1 está na superfície livre e h é positivo para baixo

)( omanométrichP

Assim a altura de carga h fica:

Ph

h – altura de carga ou altura da coluna de fluido homogêneo

1.16. Variação de Pressão em um Fluido Compressível

As variações de pressão em um fluido compressível são normalmente

muito pequenos, por causa dos pequenos pesos unitários e das pequenas

diferenças em elevação que são consideradas nos cálculos hidráulicos. Onde tais

diferenças devam ser reconhecidas para pequenas variações de elevação dh, a lei

da variação da pressão fica:

13

dhdp

Sinal negativo indica que a pressão diminui quando a altitude aumenta,

sendo h positivo para cima.

1.17. Pressão Atmosférica, Vácuo, Pressão Manométrica e Pressão

Absoluta

Pressão atmosférica (Patm)– ao nível do mar = 14,7 psi; 101,3 KPa, 29,9

in (760 mmHg)

Vácuo – pressão menor que a pressão atmosférica. Quanto a pressão é

menor que a pressão atmosférica.

Pressão manométrica (Pman) – pressão acima da pressão atmosférica.

Quanto a pressão é maior que a pressão atmosférica.

Pressão absoluta (Pa) – é a pressão manométrica adicionado a pressão

atmosférica

PatmPmanPa

1.18. Piezômetros e Manômetros

Para líquidos, pode-se ligar um tubo á parede do reservatório (ou duto)

onde está contido o líquido de modo que este possa subir no tubo.

Determinando-se a altura de subida do líquido, a pressão do líquido no

reservatório (ou duto) pode ser determinada. Este aparelho é denominado de

piezômetro. Geralmente utilizado para determinação de baixa pressão. A outra

extremidade do tubo é livre e portanto está sob a ação da pressão atmosférica.

Para evitar os efeitos de capilaridade o diâmetro do tubo do piezômetro deve ser

14

de 1/2" (13 mm).

Outro aparelho para medir pressão de fluido consiste de um tubo (ou

tubos) curvos que contém um ou mais líquidos de diferentes densidades,

portanto imiscíveis (não se misturam), conhecido como manômetros.

Geralmente utilizado para determinação de alta pressão. Aplica-se uma pressão

conhecida (atmosférica) numa extremidade do do tubo do manômetro e a

pressão desconhecida a ser determinada é aplicada na outra extremidade.

2. Equilíbrio dos Fluidos

2.1. Equação Fundamental da Hidrostática

Imaginando-se no interior de um fluido (líquido) em repouso, um prisma

ideal e considerando-se todas as forças que atuam nesse prisma, segundo a

vertical, deve-se;

caHidrostátidalFundamentaEquaçãohPP

AhPPA

AhAPAP

APAhAP

absolutorepousoequilíbrioFy

12

12

12

21

)(

0

),(0

2.2. Equilíbrio Relativo dos Fluidos

Na estática dos fluidos pode-se determinar a variação de pressão por

causa da ausência de tensões de cisalhamento.

Se o movimento do fluido for tal que não haja deslocamento relativo entre

as camadas adjacentes, as tensões de cisalhamento também serão nulas.

Um fluido em translação com velocidade constante também obedece as

15

leis de variação de pressão estática. Quando um fluido é acelerado ou retardado

de forma a não haver movimento relativo entre camadas adjacentes, isto é,

quando se move como se fosse um sólido, um corpo rígido, não existirão tensões

de cisalhamento e a variação de pressão pode ser determinada com a aplicação

da equação fundamental da hidrostática.

O equilíbrio relativo do fluido acontece para os movimentos

uniformemente acelerado ou retardado e uma rotação com velocidade angular

constante em torno de um eixo vertical.

2.3. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado ou Retardado

Considere um líquido num recipiente aberto, dotado de aceleração linear

constante a. Após um certo tempo o líquido adapta-se à aceleração de forma a

mover-se como um sólido, isto é, a distância entre duas partículas fluidas

quaisquer permanece inalterada, não existindo, portanto, tensões de

cisalhamento.

Figura

Vamos escolher um sistema de coordenadas cartesianas com y dirigido

verticalmente para cima e x tal que o vetor da aceleração a pertença ao plano xy.

O eixo z será normal a a, não havendo componente da aceleração nesta direção.

ajPjf (1)

O gradiente de pressão P é o vetor resultante da soma de -a e –j.

16

Como P tem a direção da máxima variação de P (o gradiente), não há variação

de P numa direção normal a P. As superfície livre, devem, pois ser normais a

P. Para obter uma expressão algébrica da variação de P com x, y, z, P = (x, y,

z), escrevemos a eq. 1 na forma de componentes:

0;1;

2

z

P

g

a

y

P

gx

P

jaiag

jz

Pk

y

Pj

x

PiP

Y

YX

Como P é função das coordenadas (x, y, z), podemos escrever sua

diferencial total da seguinte forma.

3dzz

Pdy

y

Pdx

x

PdP

Substituindo as derivadas parciais:

41 dyg

adx

g

adP YX

Podendo ser integrada para um fluido incompressível

51 cyg

ax

g

aP YX

Para determinar a constante de integração c, façamos x = 0 e y = 0

Se P = Po c = Po

610 yg

ax

g

aPP YX

Quando um fluido incompressível acelerado apresentar superfície livre,

sua equação é obtida fazendo-se P = 0 na eq. 6.

Resolvendo em relação a y.

17

g

a

PPx

ga

ay

g

a

xg

aPP

yyY

x

Y

x

11

0

0

As linhas de pressão constante, p = constante, tem uma inclinação:

ga

a

Y

x

e são paralelas a superfície livre

A superfície livre intercepta o eixo y em:

g

a

P

y1

0

2.4. Rotação com Velocidade Angular Constante em Torno de um Eixo

Vertical

A rotação de um fluido, movendo-se como um sólido, em torno de um

eixo é chamado movimento em vórtice forçado. Neste caso, todas as partículas

do fluido tem a mesma velocidade angular. Um líquido num recipiente, quando

gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante, comporta-

se como um sólido após um certo tempo.

Não existirão tensões de cisalhamento no líquido e a única aceleração

existente é a radial dirigida para o eixo da rotação. Escolhendo um sistema de

referência, com o versor j dirigido verticalmente para cima, sendo y o eixo de

rotação, a eq. 1 pode ser aplicada para determinar a variação de pressão no

fluido.

1ajP

18

Figura: Rotação de um fluido em torno de um eixo vertical.

Com velocidade angular w constante, qualquer partícula P do fluido tem

uma aceleração w2r dirigida radialmente para o eixo, ou seja, a = iw2r. A soma

de -j e -a fornece P, o gradiente de pressão.

A pressão não varia segundo a normal a essa direção nesse ponto. Em

consequência, se P pertencer à superfície livre, esta será normal a P.

Desenvolvendo a eq. (1)

30;;

:.tan

2

2

2

z

P

y

Prw

gx

P

Entãogencialdireçãoouzeixodolongoaoversoroék

rwiyjz

Pk

y

Pj

x

Pi

Como P é função somente de y e r, o diferencial total dP será:

4drr

Pdy

y

PdP

Substituindo as derivadas parciais:

52 drrwg

dydP

Podendo ser integrada para um fluido incompressível ( = constante),

teremos:

19

62

22 cy

rw

gP

Onde c é a constante de integração. Se o valor da pressão na origem (r =

0, y = 0) for Po, então c = Po. Portanto:

72

22

yg

rwPoP

Quando escolhemos a origem no plano horizontal particular (y = 0), onde

Po = 0 e dividimos a eq. 7 por , então:

82

22

g

rwPh

A eq. 8 mostra que a carga de profundidade vertical, varia com o

quadrado do raio; logo as superfícies de pressão constante são parabolóides de

revolução.

Quando um líquido que apresenta uma superfície livre estiver confinado

num recipiente em rotação, o volume abaixo do parabolóide depende apenas da

velocidade angular w.

Para o caso de um cilindro circular, que gira em torno do seu próprio eixo,

o desnível do líquido, desde o vértice até a parede do cilindro, será w2ro2/2g.

Como o parabolóide de revolução tem um volume igual a metade daquele

do cilindro circunscrito, o volume do líquido acima do plano horizontal passante

pelo vértice será:

922

1*

2

022

0g

rwrV

Quando em repouso, este líquido estará também acima do plano que passa

pelo vértice até uma altura uniforme de:

20

1022

12

02

g

rwh

Desta forma, o líquido sobe na parede tanto quanto desce no centro. Este

fato permite localizar o vértice sempre que forem dados w, ro e o nível antes da

rotação.

Figura: Rotação de um cilindro de seção circular em torno de seu eixo.

21

2.5. Esforços sobre superfícies planas imersas. Centro de empuxo

A força F exercida por um líquido sobre um superfície plana A é igual ao

produto do peso específico do líquido, pela profundidade do centro de

gravidade hcg e pela área da superfície.

F = .hcg.A (1) unidades: lb = lb/ft3 . ft . ft2 ou N = N/m3 . m . m2

O produto do peso específico pela profundidade do centro de gravidade

da superfície fornece a intensidade de pressão no centro de gravidade da

superfície (centro de empuxo).

A linha de ação ou direção da força passa pelo centro de pressão, que

pode ser localizado aplicando-se a fórmula:

2.

CG

CG

CG

CP yAy

Iy

Onde: ICG – momento de inércia da área em relação ao eixo que passa

pelo centro de gravidade da superfície.

As distâncias y são medidas ao longo do plano a partir de um eixo

situado na intersecção do plano com a superfície líquida, ambos prolongados se

necessário

22

2.6. Esforços sobre superfícies curvas imersas. Resultante de esforços

Considera-se as componentes horizontais e verticais das forças. Por

exemplo, o caso da barragem. Geralmente, a equação da curva do paramento

interno é desconhecido, adotando-se um perfil prático e conhecido

23

2.7. Esforços sobre corpos imersos. Princípio de Arquimedes. Estudo da

Estabilidade dos Corpos imersos ou flutuantes

Princípio de Arquimedes

Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo

para cima de uma força igual ao peso do volume do fluido deslocado, conhecido

como força de flutuação (empuxo). O ponto de aplicação da força de flutuação

denomina-se centro de flutuação ou empuxo e está localizado no centro de

gravidade do fluido deslocado.

Aplicando-se o princípio de Arquimedes, pode-se obter o volume de

sólido irregulares pela determinação da perda aparente de peso, quando ele está

totalmente mergulhado num líquido de densidade conhecida. As densidades dos

líquidos podem ser determinados.

Estabilidade dos corpos submersos e flutuantes

Para que haja estabilidade de um corpo submerso, o centro de gravidade

do corpo deve estar diretamente abaixo do centro de empuxo (gravidade) do

líquido deslocado. Se os dois pontos coincidirem, o corpo estará em equilíbrio

neutro para todas as posições.

A estabilidade do cilindro ou esfera, o CG deve estar abaixo do CE

(centro de empuxo ou centro de carena)

A estabilidade de outros objetos flutuantes dependerá da criação de um

momento restaurador ou tombamento quando o CG e o CE saírem do

alinhamento vertical devido ao deslocamento do centro de empuxo. O CE muda

de posição se o objeto se inclinar, pois muda a forma do líquido deslocado,

deslocando o seu CG.

24

1) Corpo flutuante em equilíbrio

CG diretamente acima de CE

2) CG a direita da linha de ação da força de

flutuação (empuxo), o corpo gira no sentido anti-

horário. Corpo flutuante estável

3) CG a esquerda da linha do empuxo, o corpo

flutuante será instável

4) Referindo-se ao ponto de intersecção do eixo

vertical (A-A) e a linha de ação da força de

flutuação (B-B). Este ponto é conhecido como

metacentro (mc)

Da figura 2 e 3, um corpo flutuante é instável se o seu CG estiver abaixo

ao mc e instável se estiver acima.

Portanto:

Vd

IMB

Onde:

MB – distância do CE ao mc

I – momento de inércia da seção horizontal do corpo tomada na superfície

do fluido quando o corpo flutuante está em equilíbrio

Vd – volume do fluido deslocado

mc acima do CG – permanente ou estável

mc abaixo do CG - instável