Apostila CD028 GD

Expressão Gráfica IIUnidade I - GEOMETRIA DESCRITIVA

EXPRESSÃO GRÁFICA

Departamento de

Material elaborado por:Profª MSc.Andrea Faria Andrade

Curitiba, PR / 2011

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA

GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof.ª Andrea Faria Andrade 1

I – Introdução

A Geometria Descritiva (também denominada de Método Mongeano) foi desenvolvida pelo desenhista francês Gaspard Monge (1746-1818), uma figura política do final do século XVIII e início do século XIX. Foi um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa e professor da Escola Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris, pode ser considerado o pai da geometria diferencial de curvas e superfícies do espaço.

Definição:

Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim

representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria

Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões.

II – Sistemas de Projeção

Dizemos que uma figura F do espaço se projeta de um ponto C sobre um plano , que não contém o

ponto C, quando determinamos, sobre o plano , as intersecções dos vários raios projetantes, determina-

dos pelo centro de projeção C e pelos pontos da figura.

De acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção (finita ou no infinito), os sitemas de projeção

classificam em:

(a) sistema de projeção central (ou cônico); (b) sistema de projeção cilíndrico.

Sistema de Projeções Cônico

Este sistema de projeção é determinado pelo ponto C, centro de projeção (posição finita) e pelo

plano de projeção .

A figua F considerada é o triângulo ABC, cuja projeção sobre o plano ’, a partir do centro de pro-

jeção C, é o triângulo A’ B’ C’, que é a figura F’.

O centro de projeção C, ocupando uma posição finita, as projetantes resultam convergentes, razão

pela qual este sistema é denominado de sistema de projeção central ou cônica.

Sistema de Projeções Cilíndrico

Este sistema de projeção é determinado por:

a) uma direção de projeção ;

b) um plano de projeção ’, não paralelo a direção .

O centro de projeção C está situado no infinito (ponto impróprio) e as projetantes são as retas

paralelas à direção .

Podemos ter dois tipos de projeção cilíndrica: oblíqua (a) e ortogonal (b). Quando a direção das

projetantes for perpendicular ao plano de projeções, o sistema é denominado cilíndrico ortogonal.

III – O método Mongeano

O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção cilíndrico-ortogonal, onde dois planos

, um horizontal e um vertical, se interceptam no espaço, sendo portanto, em função de suas posições,

perpendiculares entre si. A intersecção desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra (LT).

Esses planos determinam no espaço quatro diedros numerados no sentido anti-horário.

Monge idealizou um sistema de projeções no qual um ponto P é representado por duas projeções,

P’ e P”, nos dois planos de projeções ’ e ’’, perpendiculares entre si (Figura XXXa). O plano ’ (ou PH)

é denominado de plano horizontal de projeções; e ’’ (ou PV) é denominado de plano vertical de

projeções. Os pontos P’ e P” projetam-se sobre a LT em um mesmo ponto, denotado de P0. A linha de

terra divide cada plano de projeções em dois semi-planos, conforme Figura XXXXa:

PHA – plano horizontal anterior;

PHP - plano horizontal posterior;

PVS - plano vertical superior, e;

PVI - plano vertical inferior.

Uma vez efetuada as projeções de P sobre ’ e ’’, fazemos um rebatimento do PH sobre o PV, até

que ambos coincidam (rotação de 90 graus em torno da LT). Desta forma, ambas as projeções do ponto P

ficam no mesmo plano. O desenho assim obtido é denominado de épura. Na épura, as projeções de um

ponto qualquer estão sobre uma reta perpendicular à linha de terra, chamada de linha de chamada.

Na Figura XXXb temos a épura de um ponto P situado no 1o diedro. Em épura representamos um

ponto através da sua abscissa, seu afastamento e sua cota.

A abscissa é a distância de um plano considerado como origem que passa por (O), até a projeção

do ponto na LT.

A cota de um ponto P do espaço é a distância entre P e a sua projeção sobre o ’. Logo, a cota de

P é igual a medida do segmento P”P0, uma vez que d(P, ’) = d(P,P’) = d(P”,P0).

O afastamento de um ponto P do espaço é a distância entre P e plano ’”. Logo, o afastamento de

P é igual a medida do segmento P’P0, uma vez que d(P,”) = d(P,P”) = d(P’,P0).

Exercício 01:

Obter a épura dos pontos cujas coordenadas são dadas abaixo e identifique a sua posição o espaço.

A (1, 5, 3), está no __________B (3, 1, -4), está no _________

C (5, -2, -3), está no _________D (7, -5, 1), está no _________

E (8, 0, 2), está no __________F (9, 4, 0), está no __________

G (4, 0, 0), está no __________

Exercício 02:

Identifique a posição no espaço dos pontos cujas projeções são dadas abaixo:

P, está no ____________ Q, está no _____________ R, está no _____________

S, está no ____________ T, está no _____________ U, está no _____________

V, está no ____________

IV – Estudo da Reta

Conceitualmente não possui espessura, só possui uma dimensão: sobre ela só podemos medir

comprimentos. Pode ser definida por dois pontos. São indicadas por letras minúsculas e normalmente são

utilizadas as últimas letras no nosso alfabeto: r, s, t, etc.

Obtemos a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano, projetando-se dois pontos dessa reta

sobre o plano.

TIPOS DE RETAS

Em geral, de acordo com sua posição em relação aos planos de projeção, as retas podem ser paralelas ou

não aos planos de projeções ’ e ’’.

Retas paralelas ao plano horizontal de projeções ’ :

1) Reta Horizontal

Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de projeção e inclinada em relação ao Plano Vertical de projeção.

2) Reta de Topo

Essa reta é paralela ao PH e perpendicular ao PV.

3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela à LT)

Essa reta é paralela ao PH e PV.

Retas paralelas ao plano vertical de projeções ” :

1) Reta Frontal

Essa reta é paralela ao Plano Vertical de projeção e inclinada ao Plano Vertical de projeção.

2) Reta Vertical

Essa reta é paralela ao PV e perpendicular ao PH.

3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela a LT)

(já visto anteriormente)

Retas inclinadas em relação aos planos de projeções ’ e ” :

1) Reta de Perfil

A reta de perfil é toda aquela que se encontra situada num plano de perfil (plano perpendicular ao PH, PV

e ainda à linha de terra, como pode ser visto na figura abaixo.

Não se projeta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeção.

2) Reta Qualquer

A reta qualquer, por estar inclinada em relação aos planos de projeção PH e PV, não se projeta em

verdadeira grandeza em nenhum desses planos.

Exercício 01:

Representar a reta r (vertical), pertencente a um ponto dado A(50, 30, 40)mm. Representar um ponto B

pertencente a esta reta, tal que AB seja um segmento de 2cm.

Exercício 02:

Dada a reta a(A, B) e os pontos A(4, 1, 5) e B(4, 5, 2), pede-se:

a) o comprimento em mm de AB;

b) o ângulo que a reta faz com o PHP.

Exercício 03:

Representar a reta frontal f, pertencente a um ponto A(40, 15, 30) e que faz um ângulo de 45º com o

plano horizontal de projeções. Representar o ponto B desta reta, tal que o segmento Ab seja de 20mm.

TRAÇO DE RETAS

Denomina-se “traço de uma reta sobre um plano”, o ponto em que essa reta intercepta ou “fura” este

plano.

Traço Horizontal

É o ponto onde a reta intercepta o plano horizontal de projeções. Possui cota=0.

Traço Vertical

É o ponto onde a reta intercepta o plano vertical de projeções. Possui afastamento=0.

Exercício 01:

Representar a épura das retas a(A, B), b(C, D), c(E, F), defini-las quanto a posição no espaço, seus nomes

e obter as projeções dos seus traços.

A(4, 1, 2) B(4, 4, 2) C(1, 2, 1) D(4, 2, 3) E(-3, -2, -2) F(0, -2, 3)

Exercício 02:

Dada a reta de perfil p(P, Q), encontrar as projeções dos traços horizontal e vertical da reta.

P(0, 3, 1) Q(?, 1, 3).

Exercícios Propostos

Exercício 1: Dada a reta AB A(0, -20, -10)mm B(60, 20, 25)mm, pede-se:

a) sua posição no espaço;

b) os traços horizontal e vertical da reta.

Exercício 2: Dada a reta CD C(10, 20, 10)mm D(40, 10, 30)mm, pede-se:

a) sua posição no espaço;

b) os traços horizontal e vertical da reta.

PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA

Condição: Para um ponto pertencer a uma reta, ele deve ter suas projeções sobre as projeções de mesmo

nome da reta.

OBS. Esta condição não vale para a reta de perfil!

Exercício 01:

Obter as projeções do ponto P, que pertence à reta „qualquer‟ dada abaixo, sabendo que o mesmo possui

cota=2.

Exercício 02:

Verificar se o ponto A pertence à reta de perfil EF. E(4, 1, 5) F( 4, 5, 2) A(4, 4, 4)

Exercício 03:

Obter as projeções do ponto B, que pertence à reta EF do exercício anterior, e tem cota =3cm. B(?, ?, 3)

V – Métodos Descritivos

A solução de um problema pode ser facilitada quando pelo menos um de seus elementos ocupa

uma posição particular (seja paralelo a um dos planos de projeção).

Para que, no método mongeano (dupla projeção ortogonal) uma figura ou objeto ocupe uma posi-

ção desejada podemos recorrer a artifícios que visem deslocar a figura (ou objeto) ou deslocar o sistema

de representação adotado. A estes artifícios denominamos, genericamente, de métodos descritivos, que

- rotação

- mudança de planos de projeção.

Rotação

Quando conservamos o sistema de representação adotado e giramos a figura (ou objeto), em torno

de um eixo.

Mudança de Planos de Projeção

Quando a figura (ou objeto) é conservada e um dos planos de projeção (ou ambos) são substituí-

dos, mantendo a ortogonalidade entre eles.

Quando um objeto possui uma face inclinada em relação aos planos principais de projeção, esta

face não aparece em verdadeira grandeza.

Para obter a verdadeira grandeza desta face, é preciso projetá-la em um plano auxiliar que lhe seja

paralelo. Para isso, é preciso mudar a posição de um dos planos de projeção, plano horizontal de projeção

ou plano vertical de projeção, ou os dois; um após o outro; de forma que fique paralelo à face inclinada.

Assim o objeto permanece fixo e os planos de projeção mudam de posição.

Fonte: adaptado de Barison. Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_9t.php>

Exercício 01:

Obter a verdadeira grandeza (VG) da reta „qualquer‟ dada abaixo:

a) utilizando o método da rotação.

b) pelo método da mudança de planos.

Exercício 03:

Tornar „vertical‟ a reta „qualquer‟ dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção.

Exercício 01:

Submeter a reta „qualquer‟ dada ao processo de mudança de planos de projeção, de modo a torná-la uma

reta „fronto-horizontal‟.

Exercício 02:

Dada a reta PQ = „qualquer‟ pede-se obter a distância em „mm‟ entre os pontos P e Q, utilizando o método

da mudança de planos de projeção. P(10, 70, 20) Q(80, 10, 50)

Exercício 03:

Obter as projeções do ponto A, que pertence a reta do exercício anterior, e tem cota=3cm.

Exercício 04:

Tornar „de topo‟ a reta „qualquer‟ dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção.

VI – Posições Relativas de duas Retas

Quando COPLANARES podem ser:

Podem pertencer ao mesmo plano:

Ou as retas podem pertencer a planos distintos:

Quando NÃO COPLANARES podem ser:

Retas PARALELAS

Duas retas coplanares, que não possuem ponto comum são denominadas, retas paralelas.

Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projeções paralelas.

Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria

OBS. Estas condições não valem para a reta de perfil!

Exercício 01:

Dados: reta r(P, Q) e ponto A. Pede-se: conduzir pelo ponto A, uma reta s(A, B) que seja paralela à reta r.

Resolver o exercício utilizando duas soluções: - pelo processo da rotação; - apoiando duas retas auxiliares

concorrentes.

Exercício 02:

Dados: reta r(A, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PARALELA à reta r.

Exercício 01:

Dados: reta r(E, F) e ponto H. Pede-se: conduzir pelo ponto H, uma reta s(H, I) que seja paralela à reta r,

e tenha 3cm. Resolver o exercício utilizando o processo da MUDANÇA DE PLANOS.

Exercício 02:

Dados: pontos A, B e C. Pede-se: encontrar as projeções do paralelogramo ABCD.

Retas CONCORRENTES

Duas retas coplanares que possuem um único ponto comum são denominadas concorrentes ou incidentes.

Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projeções concorrentes.

OBS. Esta condição não vale para quando uma das retas é a reta de perfil!

Exercício 01:

Dados: retas r(A, B) e s(B, C), e o ponto F. Pede-se: pelo ponto F, inserir uma reta f (F, G) = (FRONTAL)

que seja concorrente às retas r e s. Obter a segunda projeção do ponto F, ou seja, e o valor da sua cota.

Exercício 02:

Dados: reta r(A, B)=de perfil, reta s(C, D). Pede-se: verificar se as retas r e s são concorrentes.

Exercício 01:

Obter as projeções da reta HORIZONTAL (AB), apoiada nas retas FRONTAIS paralelas (MN) e (PQ).

A(6, 3, ?) B(10, ?, ?) M(3, 2, 1) N(9, ?, 8) P(7, 5, 2) Q(11, ?, ?)

Exercício 02:

Obter as projeções das retas AB e CD CONCORRENTES, e obter as projeções dos TRAÇOS (horizontal e

vertical) de cada uma das retas.

A(-25, 10, 30) B(60, -20, -20) C(60, 15, 30) D(0, ?, -40)

Exercício 03:

Conhecida a projeção horizontal da reta AB e a projeção vertical do ponto A, determinar a projeção vertical

da reta, sabendo-se que o outro ponto pertence a uma reta de perfil FG.

A(-10, 50, 30) B(50, 15, ?) F(?, 30, -30) G(?, -20, 35)

Retas REVERSAS

Duas retas são reversas quando não possuírem ponto comum e não forem paralelas; portanto, poderemos

identificá-las por exclusão, ou observando os dois casos abaixo.

Retas COINCIDENTES

Duas retas são coincidentes quando suas projeções de mesmo nome se confundem. Na prática, é uma

única reta com dois nomes.

Retas PERPENDICULARES/ORTOGONAIS

Teorema de Monge: "Quando duas retas são perpendiculares entre si no espaço, sendo uma delas paralela

a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as projeções destas duas retas sobre o

plano são perpendiculares entre si.

Observação: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço (casos particulares de retas

concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblíquas a um plano dado, serão identificadas

como tal, quando da aplicação de métodos descritivos, que envolvem conteúdos avançados; mas por hora

poderemos identificá-las como concorrentes ou reversas (FERREIRA, E. N.).

Exercício 01:

Dados: reta r(A, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PERPENDICULAR à reta

Exercício 02:

Obter a distância do ponto P a reta AB, em cm, do exercício anterior.

Exercício 03:

Dados: reta a(A, B) e o ponto P. Pede-se obter pelo ponto P, uma reta PERPENDICULAR à reta a.

Exercício 04:

Dados: reta a, e um ponto P. Pede-se conduzir pelo ponto P, uma reta ORTOGONAL a reta dada.

Obter as 3 soluções possíveis.

Exercício Proposto

Exercício 01:

Dados: reta r(P, Q) e o ponto A. Pede-se conduzir pelo ponto A, uma reta „DE PERFIL‟ que seja

ORTOGONAL a reta dada. Utilizar o método da mudança de planos para resolver o problema.

P(5, 1, 6) Q(5, 7, 1) A(1, 2, 1 )

VII – Estudo do Plano

O plano tem duas dimensões: sobre ele podemos medir comprimentos e larguras.

Elementos Definidores

Um plano pode ser definido por:

a) três pontos não colineares

b) Uma reta e um ponto fora dela

c) Duas retas paralelas

d) Duas retas concorrentes

e) Pelos seus TRAÇOS: Horizontal e Vertical

Tipos de Planos

Grupo 1 - Grupo dos planos que são paralelos a um dos planos de projeção, e conseqüentemen-te, perpendiculares (projetantes) aos outros dois.

Grupo 2 - Grupo dos planos que são perpendiculares a somente um dos planos de projeção, e conseqüentemente, oblíquos aos outros dois.

Grupo 3 - Grupo dos planos que são oblíquos aos três planos de projeção, conseqüentemente, jamais

será paralelo ou perpendicular a qualquer um dos planos de projeção.

1 – Plano HORIZONTAL

Retas do plano: - horizontal

- // a LT

- de topo

Épura:

B" A" C"

2 – Plano FRONTAL

Retas do plano: - frontal

- // a LT

- vertical

Épura:

B' A' C'

3 – Plano DE PERFIL

Retas do plano: - de perfil

- de topo

- vertical

Épura:

VG – através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção.

4 – Plano VERTICAL

Retas do plano: - vertical

- qualquer

- horizontal

Épura:

5 – Plano DE TOPO

Retas do plano: - frontal

- de topo

- qualquer

Épura:

6 – Plano PARALELO À LT

Retas do plano: - // à LT

- de perfil

- qualquer

Épura:

VG – através da utilização dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudança de planos de

projeção.

7 – Plano QUALQUER

Retas do plano: - qualquer

- de perfil

- horizontal

- frontal

Épura:

VG – através da utilização dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudança de planos de

projeção.

VIII – Construção de Figuras Planas

Exercício 01:

Dados: um plano (A, B, C) = Horizontal. Pede-se: as projeções do triângulo eqüilátero ABD pertencente

ao plano. Sabe-se que o ponto D é o de maior abscissa possível.

Exercício 02:

Obter as projeções de um quadrado ABCD pertencente a um plano de perfil, definido pelos pontos ABR,

utilizando-se do método de mudança de planos de projeção. Sabe-se que os pontos C e D possuem as

maiores cotas possíveis.

Exercício 03:

Transformar o plano DE TOPO, definido pelos pontos ABC, em um plano HORIZONTAL, utilizando-se do

método da rotação.

Exercício 04:

Obtenha as projeções de um quadrado ABCD, inscrito na circunferência que contém os pontos P, Q e R.

Um dos vértices do quadrado coincide com o ponto Q, e o plano PQR corresponde a um plano DE TOPO.

Exercício 05:

Obter as projeções de um triângulo eqüilátero ABF, pertencente a um plano QUALQUER, definido pelos

pontos ABC, utilizando-se do método da dupla mudança de planos de projeção.

Exercício 01:

Dados: um plano (A, B, C) = Vertical. Pede-se: as projeções do triângulo eqüilátero PQR inscrito na

circunferência que passa pelos pontos A, B e C. Sabe-se que o ponto Q coincide com o ponto A.

A(1, 7, 2) B(5, ?, 7) C(8, 1, 4)

Exercício 02:

Obter a verdadeira grandeza (VG) do triângulo ISÓSCELES contido em um plano VERTICAL, utilizando o

método da mudança de planos de projeção.

A(1, 4, 1) B(4, 1, 4)

Exercício 03:

Determinar as projeções de um quadrado ABCD, situado em um plano DE TOPO, tendo o vértice A

pertencente ao plano vertical de projeções. Sabe-se que o plano está inclinado de 45º em relação ao plano

horizontal de projeções (‟), e que a diagonal do quadrado mede 6cm.

Utilizar o método da mudança de planos de projeção na solução do exercício.

VIII – Rebatimento de Plano

O rebatimento é um método particular da Rotação de um plano onde uma de suas retas serve como eixo. Esta reta é denominada de eixo de rebatimento ou charneira (ch).

Rebater um plano é fazer girar em torno de uma de suas retas, até que o mesmo fique paralelo ou coincidente a um dos planos principais de projeção. A figura abaixo representa o rebatimento de um plano genérico sobre o plano horizontal de projeção. Observa-se que:

a) O ponto A descreve uma circunferência cujo plano é perpendicular à charneira e cujo raio é à distância ao ponto rebatido A1, denominado de „raio de rebatimento‟;

b) A 1ª projeção do ponto A (A‟) e o ponto rebatido (A‟1) estão em uma perpendicular à charnei-ra;

c) O raio de rebatimento é a hipotenusa do triângulo de rebatimento, em que um dos catetos é a distância da 1ª projeção do ponto A (A‟) ao eixo, e o outro cateto a distância do ponto A ao plano horizontal de projeções;

d) Pontos pertencentes ao eixo de rebatimento não mudam de posição.

Rebatimento do Plano genérico ou qualquer:

r '1 = vg

eixo (charneira)

H=H'=H'1

LT=eixo "

eixo 'H '

r'1 = vg

Exercício 01:

Obtenha a verdadeira grandeza (VG) do triângulo ABC, utilizando o processo do rebatimento (pelo

triângulo de rebatimento).

Exercício 02:

Dados: a reta r (R, S), e o ponto P fora dela. Pede-se: as projeções de um quadrado com um lado apoiado

na reta r, e um vértice no ponto P.

R (3, 4, 0) S (11, 8, 4) P (8, 9, 7)

Exercício 01:

Dado o plano (A, B, C). Obter as projeções de um triângulo ABD, assim como a sua verdadeira grandeza.

Sabe-se que o ponto D é o de maior abscissa.

A(20, 20, 10) B(50, 0, 40) C(86, 40, 0)

Exercício 02:

Dado o plano (A, B, C), pede-se as projeções do quadrado inscrito na circunferência que passa pelos

pontos dados, sabendo que um dos seus vértices é o ponto B.

A(40, 60, 30) B(70, 10, 10) C(110, 40, 20)

IX – Projeção de Poliedros

Poliedros – são sólidos com faces planas. São classificados em regulares e irregulares.

Regulares – quando todas as suas faces são constituídas por polígonos regulares e iguais.

- Tetraedro – 4 triângulos eqüiláteros regulares

- Hexaedro (cubo) – 6 quadrados

- Octaedro – 8 triângulos eqüiláteros

- Dodecaedro – 12 pentágonos

- Icosaedro – 20 triângulos eqüiláteros

Irregulares –

- Prismas: arestas laterais paralelas. Podem ser retos ou oblíquos.

- Pirâmides: arestas laterais se encontram em um ponto. Podem ser retas ou oblíquas.

Retas perpendiculares aos planos

Plano Reta perpendicular

Frontal Reta de topo

Vertical Horizontal

Plano de Perfil Fronto-horizontal

Horizontal Vertical

Paralelo a LT Reta de perfil

Qualquer Qualquer

Exercício 01:

Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3, 1) B( 4, 4, 1)

a) Base ABC, pertencente a um plano horizontal;

b) Altura=5cm;

c) Vértice C com menor afastamento possível.

Exercício 02:

Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3, ?) B( 4, 4, 1)

a) Base ABC, pertencente a um plano de topo, inclinado de 30º no sentido horário;

b) Altura=5cm;

Exercício 03:

a) Base ABC, pertencente a um plano de perfil;

b) Altura=5cm;

Exercício 04:

a) Vértice C com a maior cota possível;

b) Altura=5cm;

c) A face oposta à ABC, deverá ter o maior afastamento possível.

Exercício 05:

Obter as projeções de um hexaedro ABCDEFGH, sabendo-se que as faces adjacentes à aresta AB dada,

estão inclinadas de 30º em relação ao plano horizontal de projeções. A(10, 10, 10) B(30, 35, 10)mm

Exercício 01:

Determinar as projeções de uma pirâmide de base triangular, apoiada no plano horizontal de projeções, e

tendo uma das arestas da base perpendicular ao plano vertical de projeções. Dados: altura = 4cm; aresta=

3cm. A (3, 1, 1)

Exercício 02:

Determinar as projeções de um hexaedro com uma face ABCD horizontal. A(2, 1, 1) B(6, 4, 1).

Exercício 03:

Determinar as projeções de um prisma triangular regular, sabendo que: A(3, 3, 2) B(6, 1, 5)

a) Sua base ABC pertence a um plano paralelo a LT;

b) Altura=5cm;

c) A face oposta à ABC, deverá ter o maior cota possível.

Exercício 04:

Determinar as projeções do octaedro regular ABCDEF, sabendo-se que: A(5, 5, 1) B(5, 5, 6)

a) O segmento AB é a diagonal do octaedro;

b) Outra das diagonais está inclinada de 60º em relação ao plano vertical de projeções.

X – Seções Planas em Poliedros

As seções planas em sólidos são dadas pela intersecção entre um sólido e um plano geran-do um elemento geométrico plano fechado (polígono) podendo este em épura ter ou não verdadeira grandeza (VG).

Exercício 01: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar as projeções e hachurar a VG da seção plana produzida no

mesmo por um plano de tôpo que contém a reta r.

Exercício 02: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar as projeções e hachurar a VG da seção plana produzida no

mesmo por um plano vertical que contém a reta r.

Exercício 03: Dadas Dadas as projeções mongeanas dos sólidos abaixo representadas, pede-se achar as projeções mongeanas da seção plana produzida

nos mesmos pelos planos de tôpo que contém a reta r e de tôpo que contém a reta s.

Exercício 04: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar e hachurar a VG da seção plana produzida no mesmo por um

plano frontal.

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