Algoritmos de Busca em Prolog

Introdução a Prolog

Histórico de Prolog

Desenvolvida de 1970 em Marselha/França

Objetivo inicial: integrar uma técnica de prova automática de teoremas (Princípio de Resolução de Robinson) numa linguagem de programação para processamento de linguagem natural

Recebeu melhoramentos teóricos e uma implementação eficiente ainda na década de 70 na Universidade de Edimburgo/Escócia.

Características de Prolog

Programação Declarativa ao invés de ProcedimentalDeve-se buscar objetos e relações entre estes objetos que ocorrem dentro da definição de um problema. Ex. ‘Maria gosta de João’Relações também podem ser expressas através de regras. Ex. Duas pessoas A e B se gostam mutuamente se A gosta de B e B gosta de A. Duas pessoas são irmãs se são ambas do sexo feminino e têm os mesmos pais.

Características de Prolog

Programação Prolog consiste em:Declarar alguns fatos sobre objetos e suas relações

Definir algumas regras sobre objetos e suas relações

Fazer consultas sobre objetos e suas relações

Declarando Fatos

gosta(maria,joao).1. Os nomes de todas as relações e objetos devem

começar com minúsculas2. A relação (gosta) vem em primeiro lugar, seguida

pelos objetos entre parêntesesis e separados por vírgula

3. Deve-se colocar um ponto “.” ao final do fato4. A ordem de apresentação dos objetos é arbitrária,

mas uma vez escolhida deve ser respeitada para evitar inconsistências.

5. O exemplo acima significa “Maria gosta de João”

Declarando Fatos

O nome de uma relação é chamado de predicadoOs nomes dos objetos dentro dos parêntesis são chamados de argumentosA aridade de um predicado é o número de argumentos que possuiFatos em Prolog permitem expressar relações arbitrárias entre objetosUma coleção de fatos em Prolog é denominada de base de dados

Fazendo Consultas

Uma consulta é semelhante a um fato, exceto que se coloca um símbolo especial “-?” antes dela. Ex. ?- pai(jose,joao).Uma consulta desencadeia uma busca na base de dados tentando-se casar o fato contido na questão (objetivo) com um daqueles contidos na base de dados. Se um fato é encontrado, a resposta é sim “yes”, caso contrário não “no”.Dois fatos casam se seus predicados são os mesmos e se cada um de seus argumentos correspondentes são os mesmos.

Exemplos de Consultas

gosta(maria, joao).

gosta(jose, cristina).

gosta(teresa,jose).

Consultas:

?- gosta(joao,maria).

no

?-gosta(teresa,jose).

yes

Mais Exemplos de Consultasnasceu(jose,paraiba).nasceu(joao,pernambuco).brasileiro(paulo).brasileiro(joao).

?-nasceu(jose,paraiba).yes?-brasileiro(joao).yes?-brasileiro(jose).no

Em Prolog, a resposta negativa é utilizada com o significado de “nada casa com a questão” e não com o significado que a questão é falsa!

Variáveis

“X é filho de Pedro?”: neste caso Prolog deve apresentar todas as possibilidades para o significado de XNomes de variáveis representam objetos a serem determinados por PrologInstanciadas: quando assumiram o valor de um objetoNão Instanciadas: caso contrário

Variáveis: um Exemplogosta(paulo,teresa).gosta(joao,natureza).gosta(maria,chocolate).gosta(maria,natureza).gosta(pedro,ana).gosta(joao,maria).

?- gosta(joao,X).X=natureza

Para concluir a consulta, basta pressionar RETURNPara tentar re-satizfazer a questão, pressiona-se “;” (ponto-e-vírgula) seguido por RETURN.

X=natureza;X=maria;no

Conjunções

A consulta “Maria gosta de João e João gosta de Maria?” pode ser expressa por:

?-gosta(joao,maria), gosta(maria,joao).

no

A vírgula “,” é lida como “e”, servindo para separar qualquer número de objetivos diferentes.

Todos os objetivos precisam ser satisfeitos para que a conjunção de objetivos também seja.

Conjunções e Variáveis

Existe um objeto tal que João e Maria gostam??- gosta(maria,X), gosta(joao,X).1. A base de dados é pesquisada para o 1o objetivo. X é

instanciada com chocolate.2. Agora a base de dados é pesquisada para gosta(joao,chocolate).3. Como não existe tal fato, o último objetivo falha e tenta-se re-

satisfazer o anterior.4. Parte-se do ponto em que X foi instanciada pela última vez. X é

instanciada desta vez com natureza.5. Prolog tenta satisfazer o 2o objetivo na forma

gosta(joao,natureza), o que é possivel.6. Neste ponto como ambos os objetivos puderam ser satisfeitos,

Prolog responde então com X=natureza.

Regras

São utilizadas quando se deseja afirmar que um fato depende de um grupo de outros fatos.

As regras também são utilizadas para expressar definições. Ex.: “Um indivíduo X é avô de outro indivíduo Y se existe um indivíduo Z que é filho de X e pai de Y”

Outro exemplo: “X é um um cachorro de X é um animal e X late”

Regras

Em Prolog uma regra consiste de uma cabeça e um corpo. A cabeça e o corpo são separados pelo símbolo “:-” (dois pontos e hífen), que se pronuncia “se”.

Os dois exemplos de regras anteriores podem ser expressos em Prolog como:

avo(X,Y) :- filho(Z,X0, pai(Z,Y).

cachorro(X) :- animal(X), late(X).

Regras

O escopo de uma variável é definido como sendo toda a regra (da cabeça até o ponto) na qual a variável se encontra.

Sempre que uma variável X está instanciada, todos os outros Xs dentro do escopo da variável também devem estar instanciados com este mesmo objeto.

A variável X que aparece na regra “avo” não tem qualquer relação com o X que aparece na regra do “cachorro”.

Exemplo de Regrahomem(joao).homem(jose).homem(pedro).mulher(maria).mulher(ana).mulher(paula).mulher(joana).mulher(alice).pais(joao,maria,jose).pais(paula,alice,pedro).pais(ana,maria,jose).pais(joana,alice,pedro).irma_de(X,Y) :- mulher(X), pais(X,M,P), pais(Y,M,P).

Exemplo de Regra

Como Prolog responde a consulta:?- irma_de(joana,paula).

Processamento de Listas em Prolog

Construção de Listascons(X,Y,[X|Y]).

?-cons(a,b,Z).Z=[a,b] ou Z=[a|b]

?-cons(a,[],Z).Z=[a].

?-cons(a,X,[a,b,c]).X=[b,c].

?-cons([a,b,c],[d,e],Z).

Elementos de uma Lista

membro(X,L).membro(b,[a,b,c]).

membro([b,c],[a,[b,c],d]).

membro(b,[a,[b,c]]).

X é membro de L se(1) X é a cabeça de L, ou

(2) X é membro do corpo de L

Falso!

Elementos de uma Lista

membro(X,[X|C]).

membro(X,[_|C] :- membro(X,C).

?-membro(a,[a,b,c]).

yes

?-membro(´Natal´, [´Recife´, ´Natal´, ´Campina´].

yes

?-membro(1,[[1,2],3,4]).

no

Concatenação de Listas

conc(L1,L2,L3), onde L1 e L2 são duas listas e L3 é a concatenação resultante.

conc([a,b],[c,d],[a,b,c,d]).

Dois casos devem ser considerados para a definição de conc/3:

1. Se o primeiro argumento é uma lista vazia, então o segundo e oterceiro devem ser a mesma lista.

2. Se o primeiro argumento não for uma lista vazia então pode ser denotado por [X|L1]. A concatenação de [X|L1] com L2 é uma terceira lista com a mesma cabeça X da primeira e um corpo L3 que é a concatenação do corpo de L1 com L2.

Concatenação de Listas

conc([],L,,L).conc([X|L1],L2,[X|L3]) :- conc(L1,L2,L3).?-conc([a,b,c],[1,2,3],L). L=[a,b,c,1,2,3]?-conc([a,[b,c],d],[a,[],b],L). L=[a,[b,c],d,a,[],b]

X

X

L1

L3

L2

Concatenação de Listas

Apesar de muito simples o programa conc/3 pode ser usado em inúmeras aplicações:

Decomposição:?-conc(L1,L2,[a,b,c]).L1=[a,b,c]L2=[];L1=[a,b]L2=[c];L1=[a]L2=[b,c];L1=[]L2=[a,b,c];no

Concatenação de Listas

Apagando de uma lista todos os elementos que se seguem a um determinado padrão:

?-conc(T,[sex|_],[seq,ter,qua,qui,sex,sab,dom]).

T=[seg,ter,qua,qui,sex]

Definindo a relação membro/2 em função de conc:membro1(X,L):-conc(_,[X|_],L).

Remoção de Elementos de uma Lista

remover(X,L,L1), onde L1 é a mesma lista L com o elemento X removido. Existem novamente 2 casos a estudar:

1. Se X é a cabeça de L, então L1 será seu corpo.

2. Se X está no corpo de L, então L1 é obtida removendo X desse corpo.

remover(X,[X|C],C).

remover(X,[Y|C],[Y|D]):-remover(X,C,D).

Exemplos de remoção?-remover(a,[a,b,a,a],L).

L=[b,a,a];L=[a,b,a];L=[a,b,a];no

?-remover(a,L,[b,c,d]).L=[a,b,c,d];L=[b,a,c,d];L=[b,c,a,d];L=[b,c,d,a];no

Outros usos de remover/3

inserir(X,L,L1):- remover(X,L1,L).

membro2(X,L) :- remover(X,L,_).?-inserir(a,[b,c],L).

L=[a,b,c];

no

?-membro2(a,[c,b,a]).yes

Inversão de Listasinverter([a,b,c],[c,b,a]).inverter([],[]).inverter([a,[b,c],d],[d,[b,c],a]).

Inversão ingênua (O(N2))1. Tomar o primeiro elemento da lista2. Inverter o restante3. Concatenar o inverso do restante à lista formada pelo primeiro

elemento

inverter([],[]).inverter([X|Y],Z) :- inverter(Y,Y1),

conc(Y1,[X],Z).

Inversão de Listas

Inversão eficiente (O(N))inverter(X,Y):-aux([],X,Y).

aux(L,[],L).

aux(L,[X|Y],Z) :- aux([X|L],Y,Z).

Sublistas

S é uma sublista de L se:

(1) L pode ser decomposta em duas listas L1 e L2

(2) L2 pode ser decomposta em S e L3

sublista(S,L) :- conc(L1,L2,L),

conc(S,L3,L2).

?-sublista(S,[a,b,c]).

Somatório e Produtório

soma([],0).soma([X|Y],S):- S is R+X, soma(Y,R).

produto([],0).produto([X],X).produto(L,P):- prod(L,P).

prod([],1).prod([X|Y],P) :-prod(Y,Q)., P is Q*X.

Resolução de Problemas

Primeiros problemas por computador: prova automática de teoremas e jogosCapacidade de cálculo e memória dos computadores: insuficientes perante o enorme número de caminhos de soluçãoExemplo: jogo de xadrezUm dos objetivos de IA: resolver problemas que o homem não sabe resolver facilmente ou num tempo razoável, desde que sejam completamente formalizados

Exemplos de Problemas

O fazendeiro, o lobo, a cabra e o couve: como fazer para atravessar um rio num barco?Os baldes: balde de 5 litros com água e um vazio de 2 litros. Pode-se despejar água fora ou de um balde para o outro. Como obter 1 litro de água?O quebra-cabeças 3x3A moeda falsa. Dispõe-se de 12 moedas idênticas em aparência, sendo uma falsa de peso diferente. Aual o número mínimo de pesagens para isolar a moeda falsa?

Mais Exemplos de Problemas

O caixeiro viajanteCálculo integral formalEmpilhamento de blocos: a partir de uma configuração de blocos iniciais, qual a seqüência de movimentos para se chegar a uma configuração final?As oito rainhasAs torres de hanoi

Espaço de Estados do Problema

Um problema pode ser visto como uma tripla: {I,O,B}

I=estados iniciais

O=conjunto de operações

B=estados objetivo

Uma solução para o problema é uma seqüência finita de operações que permite sair de um elemento em I e chegar a um elemento em B.

Espaço de Estados do Problema

Assim um sistema de resolução de problemas comporta:

Um conjunto de estruturas de dados organizada em um grafo

Um conjunto de operadores caracterizados por suas condições de aplicação e sua ação

Uma estrutura de controle implementando a estratégia de resolução

Exemplo

Mundo dos blocos

Métodos de Busca

Existem basicamente 2 abordagens de busca num espaço de estados

Busca cega: coleção de procedimentos utilizados para pesquisar um espaço de estados, o princípio é examinar a árvore inteira de uma forma organizada

Profundidade

Largura

Busca heurística: é uma busca cega com alguma guia ou orientação

Busca Cega

Busca em ProfundidadeComeça na raiz e avança paar baixo em níveis cada vez mais profundos

Um operador é aplicado a um nó para gerar o próximo nó mais profundo na seqüência

O processo continua até que uma solução é encontrada ou um retrocesso é forçado ao atingir-se um nó terminal que não é solução

Busca em Profundidade

Exemplo

1

2

3

4

5

8 11

9

10

12 14

13 15 1676

Busca em ProfundidadeProblema

Garante uma solução, mas a busca pode ser muito demoradaMotivo: muitas ramificações diferentes podem ter que ser consideradas até o nível mais profundo antes de uma solução ser atingida

Busca em Profundidade

Busca em Profundidades(a,b).

s(a,c).

s(b,d).

s(b,e).

s(c,f).

s(c,g).

s(d,h).s(e,i).s(e,j).s(f,k).objetivo(j).objetivo(f).

a

b

d e

c

f g

kjh i

?-busca_profundidade(a,S).

S=[a,b,e,j];

S=[a,c,f];

No

Busca em Profundidade com Limite

Um dos maiores problemas com a busca em profundidade é que ela pode conduzir a sub-árvores cada vez mais profundas. Exemplo: jogo de xadrez.

Pode-se minimizar este problema restringindo a busca até uma profundidade limite:

busca_profundidade2(No,[No],_) :- objetivo(No).

busca_profundidade2(No,[No|Sol],Prof_max):-

Prof_max > 0,

s(No,No1),

Max1 is Prof_max – 1,

busca_profundidade2(No1,Sol,Max1).

Busca em Largura

Os nós em cada nível da árvore são completamente examinados antes de se mover para o próximo nível

Uma busca em largura sempre encontrará sempre o menor caminho entre o estado inicial e o estado-objetivo

O menor caminho é o caminho com o menor número de passos (não confundir com o caminho de menor custo)

Busca em Largura

Não é tão fácil de programar em Prolog quanto a busca em profundidade

Motivo: é necessário manter um conjunto de nós candidatos alternativos e não apenas um nó candidato como na busca em profundidade

O conjunto de nós candidatos é constituído por todos os nós de um dado nível da árvore de busca

Entretanto, mesmo este conjunto de caminhos candidatos não é suficiente se deseja-se extrair um caminho de solução do processo de busca

Portanto, ao invés de manter-se um conjunto de nós candidatos, deve-se manter um conjunto de caminhos-candidatos

Busca em Largura

O predicado:busca_largura(Caminhos,Solucao).é satisfeito se algum caminho de um conjunto de Caminhos candidatos

pode ser estendido até um nó objetivo. Solução é um destes caminhos estendido.

Na implementação que daremos a seguir, Caminhos será representado por uma lista e cada caminho candidato será uma lista de nós na ordem inversaEm outras palavras, a cabeça de um caminho será o nó mais recentemente gerado e o último elemento será o nó inicial da buscaA busca é iniciada com um conjunto de candidatos com um único elemento: [ [NoInicial] ]

Busca em Largura

Dado um conjunto de caminhos candidatos:Se o primeiro caminho contém um nó-objetivo como cabeça, estão este caminho é uma solução para o problema

Caso contrário, remove-se o primeiro caminho do conjunto de candidatos e gera-se o conjunto de todas as possíveis extensões de um passo deste caminho, acrescentando-se estas extensões ao final do conjunto de candidatos e executa-se a busca em largura neste conjunto de caminhos candidatos atualizado

Busca em Largura1. Conjunto de Candidatos inicial:

[[a]]

2. Gera extensões de [a]:

[ [b,a], [c,a] ]

ab

d e

c

f g

kjh i

3. Remove o 1o caminho candidato, [b,a], e gera extensões deste caminho, colocando-as no final do conjunto:

[ [c,a], [d,b,a], [e,b,a] ]

4. Remove [c,a] e acrescenta sua extensão ao final do conjunto de candidatos, produzindo:

[ [d,b,a], [e,b,a], [f,c,a], [g,c,a] ]

5. Em passos posteriores, [d,b,a] e [e,b,a] são estendidos e o conjunto de candidatos torna-se: [ [f,c,a], [g,c,a], [h,d,b,a], [i,e,b,a], [j,e,b,a] ]

6. Agora o processo de busca encontra [f,c,a] que contém o nó-objetivo f. Portanto, este caminho é apresentado como uma solução.

Busca em Largura

Implementação Prolog

resolve_largura(Inicio, Solucao) :-busca_largura( [ [Inicio] ], Solucao).

busca_largura( [ [N|Caminho] | _], [N|Caminho]):- objetivo(N).

busca_largura([ [N|Caminho]| Caminhos ], Solucao) :-bagof([M,N| Caminho],

(s(N,M),not(membro(M,[N|Caminho]))),NovosCaminhos),

conc(Caminhos, NovosCaminhos, Caminhos1), !, busca_largura(Caminhos1, Solucao); busca_largura(Caminhos, Solucao).

Busca em Largura

O programa anterior gera caminhos de solução, um após o outro, ordenados de acordo com seus comprimentos, de forma que as menores soluções aparecem primeiroPorém não são levados em consideração quaisquer custos associados com os arcos no espaço de estados. Se o custo mínimo do caminho de solução é o critério de otimização (e não seu comprimento), então a busca em largura não é suficiente.

Busca em Largura

Explosão combinatorial: quando o número de alternativas a serem exploradas é tão grande que o problema de complexidade torna-se crítico.Por exemplo, se cada nó no espaço de estados tem N sucessores, então o número de caminhos de comprimento C a partir do nó inicial é NC (assumindo que não há ciclos).Assim, o número de caminhos candidatos a solução é exponencial com relação ao seu comprimento. As estratégias de busca em profundidade em em largura não fazem nada para combater esta complexidade: todos os caminhos candidatos são tratados como igualmente relevantes.

Busca Heurística

Conforme visto anteriormente, a busca cega sofre do problema denominado explosão combinatóriaInformação específica do domínio que pode ser usada para guiar o processo de busca é chamada de heurísticaEm muitos casos uma heurística envolve a aplicação de uma função que avalia um nó particular e prediz a qualidade dos seus nós sucessoresUma função heurística de avaliação no jogo-da-velha poderia ser o número de linhas, colunas e diagonais ainda disponíveis, quanto maior este número maior a chance de vitória

Busca Heurística

Um meio de utilizar informação heurística sobre um problema é computar estimativas numéricas para os nós no espaço de estados

Uma estimativa indica o quanto um nó é promissor com relação ao alcance de um nó-objetivo

A idéia é continuar a busca sempre a partir do nó mais promissor no conjunto de candidatos

O programa de busca do melhor caminho é baseado neste princípio

Busca Heurística

Um programa de busca do melhor caminho pode ser derivado de um refinamento do programa de busca em larguraA busca em largura sempre escolhe para expansão os menores caminhos-candidatos (isto é, os nós extremos menos profundos da busca)A busca do melhor caminho refina este princípio calculando uma estimativa heurística para cada candidato e escolhe para expansão o melhor candidato de acordo com esta estimativa

Busca Heurística

Assuma que existe uma função custo associada a cada arco do espaço de estadosAssim, c(n,ns) é o custo associado com o movimento do nó n para o seu nó sucessor nsSeja f uma função heurística de estimativa, tal que para cada nó n do espaço de estados, f(n) estima o grau de dificuldade de nO nó candidato corrente mais promissor é aquele que minimiza f

Busca Heurística

f(n) é definida como a soma de 2 termos:f(n) = g(n) + h(n)Onde g(n) é uma estimativa do custo de um caminho ótimo do nó inicial i até

n, e h(n) é uma estimativa do custo de um caminho ótimo de n até um nó objetivo t

Quando n é encontrado pelo processo de busca, tem-se a seguinte situação:

Um caminho de i para n já deve ter sido encontrado e seu custo pode ser calculado como a soma dos custos dos arcos no caminho, e pode servir como uma estimativa g(n) do custo mínimo de i para nh(n) é mais problemático porque o espaço entre n e t ainda não foi explorado, e portanto h(n) é meramente um palpite baseado no conhecimento geral do algoritmo sobre o problema particularNão existe um método universal de se construir h, pois depende do domínio do problema

Busca HeurísticaConsidere o problema de encontrar a menor rota entre a cidade inicial i e a cidade objetivo t

i

e

f

g

t

a

bc

d

2

2

2

2

2

25

3

3

(7)

(4)

(2)(3)

(4) (4)

(5)

Busca HeurísticaPode-se imaginar a busca do melhor caminho como consistindo de 2 processos, cada um dos quais explorando um dos caminhos alternativos:

O processo 1, explora o caminho via a e

O processo 2 explora o caminho via e

i

a

b

c

d

e

f

g

t

f(a)=2+5=7f(b)=4+4=8

f(c)=6+4=10

f(d)=9+3=12

f(e)=2+7=9f(f)=7+4=11

f(g)=9+2=11

f(t)=11+0=11

processo 1 processo 2

Busca HeurísticaImplementação Prolog

% Determina se elemento X é membro de uma listamembro(X,[X|_]).membro(X,[_|Y]) :- membro(X,Y).

% Anexa duas listas produzindo uma terceiraconc([],L,L).conc([C1|L1],L2,[C1|L3]) :- anexa(L1,L2,L3).

% Espaço de estados para teste de busca heurísticas(i,e,2).s(i,a,2).s(a,b,2).s(b,c,2).s(c,d,3).s(d,t,3).s(e,f,5).s(f,g,2).s(g,t,2).

% Heuristicas

h(e,7).h(f,4).h(g,2).h(d,3).h(c,4).h(a,5).h(b,4).h(t,0).

% Nó objetivo

objetivo(t).

Busca HeurísticaImplementação Prolog

% Busca do Melhor Caminho usando heurísticas (uma modificação da busca em largura).resolve_heuristica(Inicio) :- melhor([[Inicio/0]],Solucao), apresenta_solucao(Solucao).

melhor([[No/Custo_total|Caminho]|_],[No/Custo_total|Caminho]) :- objetivo(No).

melhor([[N/G|Caminho]|Caminhos],Solucao) :- bagof([Ns/Gs,N/G|Caminho], (s(N,Ns,Custo),not membro(Ns/Gs,[N/G|Caminho]),Gs is G +Custo), Extensoes), anexa(Caminhos, Extensoes, Candidatos), ordena(Candidatos, Candidatos_ordenados),!, melhor(Candidatos_ordenados, Solucao) ; melhor(Caminhos, Solucao).

Busca HeurísticaImplementação Prolog

%Predicados auxiliares

ordena([],[]).

ordena(L1,L2) :-

estima(L1, Estimativas),

ordena_estimativas(Estimativas, Estimativas_ordenadas),

estima(L2, Estimativas_ordenadas).

estima([],[]).

estima([[N/G|R]|Cs],[f([N/G|R],F)|Estimativas]) :-

h(N,H),

F is G + H,

estima(Cs, Estimativas).

ordena_estimativas(E,O) :- anexa(L,[f(C1,H1), f(C2, H2)|R],E), H2 > H1, anexa(L, [f(C2, H2),f(C1,H1)|R],L1), ordena_estimativas(L1,0),!.

ordena_estimativas(E,E).

Busca HeurísticaImplementação Prolog

%Predicados auxiliares

apresenta_solucao([N/Custo_total|R]) :-

write('o caminho de solucao eh: '),

caminho([N/Custo_total|R]), nl,

write('o custo total foi '),

write(Custo_total), nl.

caminho([]) :-!.

caminho([N/_|R]) :- write(N),

write(' <-- '),

caminho(R).