1

Universidade de Brasília (UnB)

Departamento de Engenharia Elétrica (ENE)Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos

Caixa Postal 4386CEP 70.919-970, Brasília - DF

Homepage: http://www.redes.unb.br/lasp

Processamento de Sinais

Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa

Processamento de Sinais em Alta Resolução (1) Modelo de dados da estimação cega da direção

de chegada Premissas sobre os sinais Frentes de onda planares Banda estreita

Quantos sinais são recebidos? Ordem do modelo

Assume-se que a quantidade de amostras temporais N é maior que a quantidade de sensores M.

Problema sobredeterminado: assume-se que a quantidade de sensores é maior que a quantidade de fontes d.Arranjo Linear Uniforme (ULA)

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (2)

Dados complexos• Sensores sempre retornam dados reais.• Exemplos de transformações de sinais reais em complexos

1) Separação das componentes em fase e em quadratura2) Transformada de Hilbert: sinal na forma analítica3) Análise Tempo-Frequência

• Transformada de Fourier de tempo curto, do inglês Short-Time Fourier Transform (STFT)

4) Polarização das antenas: vertical e horizontal

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (3)

Frentes de onda circulares: mapemaneto em duas variáveis Frentes de onda planares: mapeamento com uma única variável

• Maior distância entre fonte e arranjo de antenas• Espaçamento entre as antenas e quantidade de antenas

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (4)

Banda estreita

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (5)

Mistura instantânea no caso de sinais banda estreita.

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (6)

M-1

3

2

1

0

Relação entre a direção de chegada e a frequência espacial

c é a velocidade da onda eletromagnética no ar e f é a frequência do sinal banda estreita.

Se o sinal tem = 0, então o desvio de fase entre as saída é zero.

Somente uma frente de onda, i.e., d = 1.

Processamento de Sinais em Alta Resolução (7) Modelo de dados da estimação cega da direção

de chegada

Estrutura Vandermonde

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (8)

Assumindo o caso de N amostras temporais

A matriz de dados

Posto da matriz de dadosTodas as linhas e colunas são linearmente dependentes.

vetor linha de dados vetor coluna diretor

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (9)

Superposição de d fontes

na Figura de exemplo d = 4.

Sendo N > M = 5, o posto da matriz X é igual a 4.

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (10)

Matriz de símbolos

Matriz diretora

sendo N > M > d, o posto da matriz X é igual a d. A é uma matriz Vandermonde.

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (11)

• Caso sem ruído: não realístico

+ +=

• Caso com ruído

Modelo de dados da estimação cega da direção de chegada

Processamento de Sinais em Alta Resolução (12)

• Estimação cega– Dadas apenas as medições ruidosas , deseja-se obter e .– Passo 1) Estimar a ordem do modelo, i.e., d, via técnicas de

seleção da ordem do modelo– Passo 2) Estimar as frequências espaciais para i = 1, …, d

e a partir delas as direções de chegada , para i = 1, …, d– Passo 3) Reconstruir a matriz diretora A dada a estrutura

Vandermonde e as direções de chegada– Passo 4) Estimar a matriz de símbolos S via Moore Penrose

pseudoinversa

Matriz de covariânciaProcessamento de Sinais em Alta Resolução (13)

• Define-se a função correlação como sendo:

• Assume-se d sinais não-correlacionados e o ruído é gerado por variáveis independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.).

Matriz de covariânciaProcessamento de Sinais em Alta Resolução (14)

Sinais e ruído não-correlacionados

Matriz de covariânciaProcessamento de Sinais em Alta Resolução (15)

• Matriz de covariância do ruído

Matriz de covariânciaProcessamento de Sinais em Alta Resolução (16)

• Matriz de covariância dos sinais

Matriz de covariânciaProcessamento de Sinais em Alta Resolução (17)

• Matriz de covariância de amostras– Na prática, apenas um número limitado de amostras está

disponível.

– Notar que:

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (18)

Como escolher o vetor ?Critério de escolha?Como filtrar sinais de cada direção?Assume-se o número de fontes e as direções conhecidos.

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (19)

• Atraso e Soma, do inglês Delay and Sum- Caso de uma única fonte e sem ruído

- Escolhendo o caso em que: Interferência construtiva

• Na prática, existem ruído e sinais de outras direções.

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (20)

• Capon: Resposta de Mínima Variância sem Distorção (MVDR)

• Primeira técnica de processamento de sinais em alta resolução e não baseada na decomposição em autovalores (EVD)

• Dada a saída do filtro:

• A potência de saída é dada por:

• Note que:J. Capon, “High-Resolution Frequency-Wavenumber Spectrum Analysis”, Proc. IEEE, Vol. 57, 1408-1418, 1969

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (21)

• Capon: Resposta de Mínima Variância sem Distorção (MVDR)

• Deseja-se maximizar a potência para a direção - independente do sinal, ou seja, estatisticamente

• Restrição:

Como maximizar/minimizar uma função quadrática

com uma função de restrição?

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (22)

• Método dos multiplicadores de Lagrange - Equação de Lagrange

RestriçãoFunção a ser max/min

Multiplicador de Lagrange

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (23)

• Método dos multiplicadores de Lagrange - Equação de Lagrange:

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (24)

• Método dos multiplicadores de Lagrange - Equação de Lagrange:

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (25)

• Método dos multiplicadores de Lagrange - Equação de Lagrange:

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (26)

• Densidade Espacial de Potência: variando

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (27)

• Densidade Espacial de Potência via DS: cenário 1

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (28)

• Densidade Espacial de Potência via Capon: cenário 1

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (29)

• Densidade Espacial de Potência via DS: cenário 2

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (30)

• Densidade Espacial de Potência via Capon: cenário 2

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (31)

• Densidade Espacial de Potência via DS: cenário 3

BeamformingProcessamento de Sinais em Alta Resolução (32)

• Densidade Espacial de Potência via Capon: cenário 3

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (33)

– Comparação com a Transformada de Fourier (TF)• Transformada de Fourier (TF) projeta os dados sobre exponenciais

complexas. Cada vetor da TF mapeia uma certa frequência.• A TF não leva em conta a estrutura dos dados.

– Transformada Karhunen-Loeve• ou Transformada Hotelling• ou Transformada de Autovetores• Leva em conta a estrutura dos dados.

– Definição de um autovetor:

onde é um autovetor e é um autovalor.

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (34)

– Para encontrar os autovalores:

– Dados um certo autovalor, o seu autovetor correspondente pode ser encontrado substituindo na equação abaixo:

– Com todos os autovetores e autovalores encontrados, é possível se rescrever a matriz A da seguinte forma:

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (35)

– Calcule os autovalores e os autovetores da seguinte matriz:

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (36)

– Calcule os autovalores e os autovetores da seguinte matriz:

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (37)

– Calcule os autovalores e os autovetores da seguinte matriz:

– Autovetores são unitários:

– Repetir procedimento para

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (38)

– Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras

– Em caso de

– Em caso de

Matriz de correlação

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (39)

– Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras

– Passo 1) Cálculo da matriz de covariância de amostras

– Passo 2) Decomposição em autovalores e autovetores da matriz de covariância de amostras

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (40)

– Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (41)

– Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (42)

– Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (43)

– Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (44)

– Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras

Decomposição em Autovalores e AutovetoresProcessamento de Sinais em Alta Resolução (45)

– Interpretação física da decomposição em autovalores e autovetores da matriz de correlação de amostras

Autovalores da matriz de covariância de amostras

Processamento de Sinais em Alta Resolução (46)

• SNR ∞, N ∞– M-d autovalores nulos– d autovalores de sinais não nulos

1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

Eigenvalue index i

i

d = 2, M = 8

Autovalores da matriz de covariância de amostras

Processamento de Sinais em Alta Resolução (47)

1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

Eigenvalue index i

i• SNR finito, N ∞– M - d autovalores de ruído iguais– d autovalores de sinais– Comportamento assintótico dosautovalores de ruído

d = 2, M = 8, SNR = 0 dB

Autovalores da matriz de covariância de amostras

Processamento de Sinais em Alta Resolução (48)

1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

Eigenvalue index i

i

d = 2, M = 8, SNR = 0 dB, N = 10

• SNR finito, N = 10– M - d autovalores de ruído – d autovalores de sinais

Seleção da Ordem do ModeloProcessamento de Sinais em Alta Resolução (49)

• Por que é importante saber a ordem do modelo?- Caso de subestimação da ordem do modelo:

Sinais são modelados como ruído.Logo, SNR baixa!

Seleção da Ordem do ModeloProcessamento de Sinais em Alta Resolução (50)

• Por que é importante saber a ordem do modelo?- Caso de sobrestimação da ordem do modelo:

Ruído é modelado como sinais.Logo, informação e parâmetros sem sentido!

Seleção da Ordem do ModeloProcessamento de Sinais em Alta Resolução (51)

• Perfil dos autovalores- Indicação da ordem do modelo d

Inspeção visual: subjetiva e não automatizada- Estimação automatizada da ordem do modelo

Critério de Informação de AkaikeOriginal usando máxima verossimilhançaVersão baseada em autovalores

H. Akaike, “A new look at the statistical model identification,” IEEE Transactions on Automatic Control 19 (6): 716–723 , 1974

M. Wax, and T. Kailath, “Detection of signals by information theoretic criteria,” IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing, vol. 33, pp. 387-392, Apr. 1985