Post on 05-Aug-2015
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I
FORÇA ELÁSTICA
Relatório de aula prática,
apresentado como pré-requisito à
obtenção parcial de nota referente à
disciplina de Física Experimental I,
da Universidade Federal de
Roraima.
Orientador: Roberto Ferreira.
BOA VISTA, RR.
Outubro/2014
ADLER F. PEREIRA FILHO
ADRIANO J. PIMENTEL DO NASCIMENTO
JONAS LEITE PORTELA
NATHAN V. BORGES DO NASCIMENTO
TALITA HELLEN GONÇAVES LOPES
1
Sumário
1. RESUMO .................................................................................................................. 2
2. FORÇA ELÁSTICA ................................................................................................. 3
3. OBJETIVOS.............................................................................................................. 4
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL .................................................................... 4
4.1. MATERIAIS UTILIZADOS ............................................................................ 4
4.2. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS ........................................................ 4
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................. 5
5.1. EXPERIMENTO 1 – UMA MOLA ................................................................. 5
GRÁFICO .................................................................................................. 6
EQUAÇÃO DA RETA .............................................................................. 7
5.2. EXPERIMENTO 2 –MOLAS EM SÉRIE ..................................................... 10
5.3. EXPERIMENTO 3 – MOLAS EM PARALELO .......................................... 12
6. CONCLUSÃO ........................................................................................................ 15
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 16
8. ANEXOS ................................................................................................................. 17
LISTA DE FIGURAS
Pág.
FIGURA 2-1 - Gráfico do coeficiente angular da reta................................................. 3
FIGURA 2-2 – Gráfico da área hachurada.................................................................... 4
FIGURA 5-1: Esquema do sistema massa mola............................................................ 5
FIGURA 5.1.2 - 1– Cálculo da constante elástica através do gráfico (α)..................... 7
FIGURA 5.1.2 -2 – Gráfico da equação da Reta do experimento 1.............................. 8
FIGURA 5.1.2 -2 – Gráfico do cálculo da área............................................................. 9
FIGURA 5.2-1 - Sistema massa mola em associação em série.................................... 10
FIGURA 5.2-2 - Sistema massa mola em associação em série.................................... 11
FIGURA 5.3-1 - Sistema massa mola em associação em paralelo................................ 12
FIGURA 5.3-2 - Sistema massa mola em associação em paralelo............................... 13
LISTAS DE GRÁFICOS
Pág.
TABELA 5 -1: Medidas dos pesos................................................................................ 5
TABELA 5-2: Medidas de comprimento das molas..................................................... 5
TABELA 5.1-1: Medidas obtidas para o sistema de uma mola.................................... 6
TABELA 5.1-2: Medidas obtidas das constantes K para uma mola............................. 6
TABELA 5.1.1-1: Medidas de conversão de escala do gráfico ................................... 6
TABELA 5.1.2 – Equivalência dos pontos do gráfico.................................................. 7
TABELA 5.2-1: Medidas obtidas para o sistema de molas em associação em série.... 10
TABELA 5.2-2: Medidas obtidas das constantes K em associação em série............... 10
TABELA 5.3-1: Medidas obtidas para o sistema de molas em associação paralelo..... 13
TABELA 5.3-2: Medidas obtidas das constantes K em associação em paralelo.......... 13
2
1. RESUMO
Este relatório apresenta os resultados experimentais obtidos em laboratório para
determinar a constante elástica em um sistema massa mola em associação em série e paralelo.
Utilizando conceitos da lei de Hooke, conservação de energia e do trabalho realizado por uma
força, possibilitando encontrar a constante elástica em um sistema de uma e mais molas.
3
2. FORÇA ELÁSTICA
Um sistema massa-mola é constituído por uma massa acoplada a uma mola que se
encontra fixa a um suporte. A deformação da mola e proporcional à força aplicada para
comprimir e/ou esticar a mola, a qual é dada pela Lei de Hooke: A intensidade da força
elástica (Fel) é proporcional à deformação (x):
F = - k . x
Onde:
F é a força aplicada;
X é a deformação sofrida pela mola e;
k é a constante elástica da mola.
O sinal negativo na equação acima indica que a força exercida pela mola tem sempre o
sentido oposto do deslocamento da sua extremidade livre. A constante elástica da mola
depende de suas características físicas, de ser mais ou menos rígida e a unidade dessa
constante é Newton por metro (N/m).
Pela lei de Hooke, a cada esforço F realizado numa mola helicoidal cilíndrica fixa por
uma das extremidades corresponde uma deformação proporcional y.A partir do momento que
deformamos a mola, isto é, conhecemos o vetor deformação X, conhecemos também a forca
restauradora, e vice versa. Essa propriedade possibilita a construção de um medidor de forças.
Examinando o gráfico abaixo podemos verificar:
FIGURA 2-1 - Gráfico do coeficiente angular da reta
𝛼 = 𝑘 =𝐹2 − 𝐹2
𝑋2 − 𝑋1
tan 𝛼 =�⃗�
�⃗�= 𝑘
4
Calculando a área hachurada do gráfico teremos:
FIGURA 2-2 – Gráfico da área hachurada
Área = (𝑏𝑎𝑠𝑒).(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
2=
(𝑥).(𝑘𝑥)
2=
1
2𝑘𝑥2
3. OBJETIVOS
Conhecer a força elástica;
Determinar a constante elástica em função da elongação;
Interpretar o significado da área hachurada do gráfico da força em função da
elongação;
Verificar a associação de molas em série;
Verificar a associação de molas em paralelo.
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
4.1. MATERIAIS UTILIZADOS
Duas molas;
Pesos de chumbo;
Uma régua;
Um suporte;
Papel Milímetrado.
Uma balança
4.2. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
Inicialmente posicione a mola como mostrado na figura abaixo, e coloque suspenso
um peso. Posicionando a régua de modo que o pequeno anel inferior da mola coincida com o
traço da régua, deve-se olhar para o painel e a régua horizontalmente. Logo em seguida anote
5
na tabela especificado o valor suspenso do peso P e a correspondente deformação X, repita o
procedimento para três massas diferentes.
Em seguida, repita o procedimento anterior, mas agora colocando duas molas juntas,
em associação em série e anote os resultados. Repita novamente os procedimentos anteriores,
desta vez a mola deve estar em associação em paralelo.
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Conforme especificado nos procedimentos experimentais obtivemos as seguintes
medidas para os pesos:
TABELA 5 -1: Medidas dos pesos
Corpos de prova Gramas (g) ±0,1𝑔 Kg ±10−4 Força Peso Fp (Fp = m.g)
PESO 1 64,2 0,0642 0,630
PESO 2 91,3 0,0913 0,895
PESO 3 118,6 0,1120 1,120
A massa especificada acima já consta a massa da haste e dos corpos de prova
usados em laboratório. Medindo o comprimento das molas A e B sem a ação de nenhuma força,
apresentaram as seguintes medidas:
TABELA 5-2: Medidas de comprimento das molas
MOLAS Comprimento da mola (cm) Comprimento da mola (m) ±10−3m
A 11,1 ±0,1 cm 0,111
B 11,0±0,1 cm 0,110
A+B 22,1 ±0,1 cm 0,211
5.1. EXPERIMENTO 1 – UMA MOLA
Montou-se o seguinte sistema ajustando a mola que suspendia um corpo livre até
atingir um equilíbrio, conforme a figura abaixo:
FIGURA 5-1: Esquema do sistema massa mola
6
Desta forma foi possível obter as seguintes medidas:
TABELA 5.1-1: Medidas obtidas para o sistema de uma mola
PESOS X(cm)
±0,1 cm
X (m) Comprimento da
mola A (m) ∆𝑥 (m)
Peso 1 14,9 0,149 0,111 m 0,149 - 0,111 = 0,038
Peso 2 16,0 0,160 0,111 m 0,160 - 0,111 = 0,049
Peso 3 17,5 0,175 0,111 m 0,175 - 0,111 = 0,064
Assim é possível calcular a constante elástica através da fórmula:
𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑘 =𝐹
𝑥
TABELA 5.1-2: Medidas obtidas das constantes K para uma mola
PESOS Força Peso (N) ∆𝑥 (m) K (N/m)
Peso 1 0,630 0,038 16,580
Peso 2 0,895 0,049 18,265
Peso 3 1,120 0,064 17,500
Calculando a média da constante elástica (K), obtivemos:
�̅� =16,580 + 18,265 + 17,500
3= 17,450 (𝑁/𝑚)
GRÁFICO
Faça um gráfico F em uma função de X, e determine, a partir de gráfico, qual o valor
da constante elástica k da mola.
Como se pede um gráfico da força em função da deformação é necessário escolher
uma variável dependente, neste caso a força, e uma variável independente que é a
deformação. Assim determinamos que a força F vai ser expressa ao longo do eixo (Y) e a
deformação no eixo (X).
Antes de tudo, é necessário calcular a escala tanto da força quanto da deformação,
como é mostrado na tabela abaixo:
TABELA 5.1.1-1: Medidas de conversão de escala do gráfico
Fazendo as proporções para eixo X
Deformação (X)
Fazendo as proporções para eixo Y
Força (N)
0,064 140mm X=0,038x140/0,064 1,120 140 mm Y = 0,630x140/1,120
0,038 x X = 83,1 mm 0,630 Y Y = 78,7 mm
0,064 140mm X=0,049x140/0,064 1,120 140 mm Y = 0,895x140/1,120
0,049 x X = 107,1 mm 0,895 Y Y = 111,9 mm
0,064 140mm X=0,064x140/0,064 1,120 140 mm Y = 1,120x140/1,120
0,064 x X = 140 mm 1,120 Y Y = 140 mm
7
O gráfico consta no anexo 1 deste relatório.
Verificando o, temos que a tangente do ângulo formado pela reta da função linear F(x)
com o eixo X é igual a:
tan 𝜃 =�⃗�
�⃗�= 𝑘 (𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎)
Assim vemos que a força em função da deformação nos dá que tan θ = k, desta forma
as coordenadas (x, y) de qualquer ponto da reta podem ser utilizadas para encontrar a constante
elástica (K) da mola.
Escolhendo um ponto do gráfico teremos: P(0,064 ; 1,120) temos:
K = 1,120
0,064= 17,5 (𝑁/𝑚)
EQUAÇÃO DA RETA
Escolhendo dois pontos da reta do gráfico temos os seguintes potnos: P1(91,90) e
P2(138,140), convertendo este pontos que estão dados em centímetro (cm) teremos o seguinte
processo:
TABELA 5.1.2 – Equivalência dos pontos do gráfico
Fazendo as proporções para eixo X
Deformação (X)
Fazendo as proporções para eixo Y
Força (N)
0,064 140mm 0,064x91/140 1,120 140 mm 1,120x90/140
X 91 X = 0,0416 Y 90 Y = 0,720
0,064 140mm 0,064x138/140 1,120 140 mm 1,120x140/140
X 138 X = 0,063 Y 140 Y = 1,120
Assim teremos os seguintes pontos: P1(0,0416 ; 0,720) e P2(0,063 ; 1,120). Estes
pontos agora estão relacionados com os pontos correspondentes as força F e a deformação X
do gráfico. Desta forma é possível calcular, conforme a figura abaixo, α:
FIGURA 5.1.2 - 1– Cálculo da constante elástica através do gráfico (α)
8
𝛼 =𝐹2 − 𝐹1
𝑋2 − 𝑋1= 𝐾
𝛼 =1,120 − 0,720
0,063 − 0,0416=
0,4
0,0214= 18,691 (𝑁/𝑚)
Quando calculamos α encontramos o valor da constante elástica (k), que é coeficiente
angular da reta. Em posse disto podemos calcular a equação da reta dado por:
Y – Y0 = α (X – X0)
Y – 0,720 = 18,691(X – 0,0416)
Y = 18,691X – 0,7775 + 0,720
Y = 18,691X – 0,055
Para verificar nossos cálculos, foram colocados os pontos das forças em relação a
deformação no Excel e produzidos o gráfico e a equação da reta.
FIGURA 5.1.2 -2 – Gráfico da equação da Reta do experimento 1
O trabalho total WS realizado pela mola Xi a Xf é a soma de todos esses trabalhos:
WS = ∑ - Fxj∆Xi
Onde j = 1,2,3,... é o número de ordem de cada segmento. No limite em que ∆Xi tenda
zero, a Eq. acima se torna:
y = 18,62x - 0,0556
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
Forç
a F
(N)
ΔX (m)
9
WS = ∫ −𝐹𝑥 𝑑𝑥𝑓
𝑥𝑖𝑥
De acordo com a lei de Hooke F = -kx, o módulo da força é igual a kx, logo:
WS = ∫ −𝑘𝑥 𝑑𝑥𝑓
𝑥𝑖𝑥 = -K∫ 𝑥 𝑑
𝑥𝑓
𝑥𝑖𝑥
WS = 1
2𝐾𝑥𝑖
2 −1
2𝐾𝑥𝑓
2 (𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎)
Assim é possível calcular o trabalho realizado pela mola utilizando a área do gráfico e
equação acima. Desta forma, conforme o gráfico em anexo (Apêndice 1), segue:
FIGURA 5.1.2 -2 – Gráfico do cálculo da área
Área = (𝑏𝑎𝑠𝑒).(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
2=
(𝑥).(𝑘𝑥)
2=
1
2𝑘𝑥2
Área = (0,064).(1.120)
2=
1
2(17.45)(0.026)2 ~ 0,006 J
Utilizando a integral especificado acima, segue:
WS = ∫ −𝑘𝑥 𝑑𝑥𝑓
𝑥𝑖𝑥 = -K∫ 𝑥 𝑑
𝑥𝑓
𝑥𝑖𝑥 = −17,45 ∫ 𝑥 𝑑
0,026
0𝑥 = −17.45
(0.026)2−(0)2
2
WS ~ 0.006 J
Assim verifica-se que a área do gráfico é o trabalho total realizado pela mola em
questão.
10
5.2. EXPERIMENTO 2 –MOLAS EM SÉRIE
Repetindo o procedimento anterior mas agora utilizando duas molas que encontravam-
se em associação em série, conforme mostra FIGURA 5.2-1 logo abaixo, obtivemos os
seguintes resultados:
TABELA 5.2-1: Medidas obtidas para o sistema de molas em associação em série
PESOS X(cm)
±0,1 cm
X (m) ±10−3m
Comprimento total
das molas (m) ∆𝑥 (m)
Peso 1 30,7 0,307 0,211 0,307 - 0,211 = 0,096
Peso 2 33,5 0,335 0,211 0,335 - 0,211 = 0,124
Peso 3 36,4 0,364 0,211 0,364 - 0,211 = 0,153
Observação: para calcular o comprimento da mola total, fizemos a soma da mola A
com a mola B, conforme especificado na TABELA 5-2: Medidas de comprimento das molas
FIGURA 5.2-1 - Sistema massa mola em associação em série
Utilizando a equação abaixo para encontrar a constante elástica obtivemos a tabela:
𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑘 =𝐹
𝑥
TABELA 5.2-2: Medidas obtidas das constantes K em associação em série
PESOS Força Peso (N) ∆𝑥 (m) K (N/m)
Peso 1 0,630 0,096 6,563
Peso 2 0,895 0,124 7,218
Peso 3 1,120 0,153 7,320
Calculando a média da constante elástica (K), obtemos:
�̅� =6,563 + 7,218 + 7,320
3= 7,034 (𝑁/𝑚)
Qual a relação entre o valor de k obtido no experimento anterior com o k deste
experimento?
11
FIGURA 5.2-2 - Sistema massa mola em associação em série
Duas molas em associação em série possui uma única forca equivalente que atua sobre
elas, mas cada uma tem uma constante elástica, k1 e k2.
F1 = F2 = Feq (Feq =força equivalente) (1)
Existirá também uma deformação Xeq dado pela soma deformação da mola A com a
mola B:
Xeq = X1 + X2 (2)
X = 𝐹
𝑋 → 𝑋1 =
𝐹1
𝐾1 𝑒 𝑋2 =
𝐹2
𝐾2 (3)
Da mesma forma teremos uma constante elástica equivalente:
Keq = 𝐹𝑒𝑞
𝑋𝑒𝑞 (4)
Tomando (2) e (3) teremos:
Xeq = 𝐹1
𝐾1 +
𝐹2
𝐾2 (5)
Substituindo (5) na equação (4), temos:
Keq = Feq
Xeq=
FeqF1K1
+F2K2
(6)
Como F1 = F2 = Feq segue:
Keq = Feq
Xeq=
FeqFeq
K1+
Feq
K2
(7)
Manipulando a equação (7) obtemos:
Feq = 𝑘𝑒𝑞 . (Feq
k1+
Feq
k2) →
Feq
𝑘𝑒𝑞= (
Feq
k1+
Feq
k2) x
1
Feq
1
𝑘𝑒𝑞= (
1
k1+
1
k2) (8)
Portanto em uma associação em série de duas molas o inverso da constante elástica da
mola equivalente (𝑘𝑒𝑞) é igual à soma dos inversos das constantes elásticas das duas molas
em questão.
12
No experimento obtivemos uma constante elástica equivalente para o sistema em
associação em série das molas A e B, assim Keq = 7,034 (𝑁/𝑚), e no experimento anterior
encontramos a constante elástica para a mola A, logo K1 = 17,450 (𝑁/𝑚). Substituindo na
equação (8) teremos:
1
𝑘𝑒𝑞= (
1
k1+
1
k2) →
1
7,034= (
1
17,450+
1
k2) →
1
7,034=
17,450 + k2
17,450 k2
17,450 k2 = (7,034)(17,450 + k2)
17,450 k2 = 122,743 + 7,034k2
17,450 k2 − 7,034k2 = 122,743
10,416k2 = 122,743 → k2 = 122,743
10,416= 11,784 (𝑁/𝑚)
Portanto temos que K1 = 17,450 (𝑁/𝑚), K2 = 11,784 (𝑁/𝑚) e a constante
equivalente desta associação é igual Keq = 7,034 (𝑁/𝑚).
5.3. EXPERIMENTO 3 – MOLAS EM PARALELO
Repetindo o procedimento, desta vez utilizando duas molas em associação em
paralelo, conforme mostra FIGURA 5.3-1 logo abaixo, obtivemos os resultados mostrados na
TABELA 5.3-1.
FIGURA 5.3-1 - Sistema massa mola em associação em paralelo.
13
TABELA 5.3-1: Medidas obtidas para o sistema de molas em associação paralelo
PESOS X(cm)
±0,1 cm
X (m) ±10−3m
Comprimento total
das molas (m) ∆𝑥 (m)
Peso 1 12,4 0,124 0,1105 0,124 - 0,1105= 0,0135
Peso 2 13,5 0,135 0,1105 0,135 - 0,1105 = 0,0245
Peso 3 14,3 0,143 0,1105 0,143 - 0,1105= 0,0325
Observação: Como o comprimento das molas possuía uma pequena variação, para
calcular o comprimento da mola total em paralelo, com o intuito de não alterar o resultado
final, utilizamos a média da mola A com a mola B, medidas de comprimento conforme
especificado na TABELA 5-2.
A constante elástica é obtida pela equação:
𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑘 =𝐹
𝑥
TABELA 5.3-2: Medidas obtidas das constantes K em associação em paralelo
PESOS Força Peso (N) ∆𝑥 (m) K (N/m)
Peso 1 0,630 0,0135 46,67
Peso 2 0,895 0,0245 36,53
Peso 3 1,120 0,0325 34,47
A média da constante elástica K é dado por:
�̅� =46,67 + 36,53 + 34,47
3= 39,22 (𝑁/𝑚)
Qual a relação entre o calor de K obtido no primeiro experimento e com o segundo?
FIGURA 5.3-2 - Sistema massa mola em associação em paralelo
Diferente da associação em série, a força exercida em uma associação paralela entre
duas molas A e B é divindade ambas as molas, e a deformação é a mesma para as duas.
Assim:
X1 = X2 = Xeq (Xeq = deformação equivalente) (1)
14
Existirá também uma força equivalente Feq dado pela soma de forças aplicados na
mola A com a mola B:
Feq = F1 + F2 (2)
𝐹 = 𝑘. 𝑥 → F1 = K1.X1 e F2 = K2.X2 (3)
Da mesma forma teremos uma constante elástica equivalente:
𝑘𝑒𝑞 =𝐹𝑒𝑞
𝑋𝑒𝑞 → 𝑘𝑒𝑞 =
𝐹1 + 𝐹2
𝑋𝑒𝑞→ 𝑘𝑒𝑞 =
𝐾1𝑋1 + 𝐾2𝑋2
𝑋𝑒𝑞 (4)
De acordo com equação (1) X1 = X2 = Xeq, Keq pode ser reescrita da seguinte forma:
𝑘𝑒𝑞 =𝐾1𝑋𝑒𝑞 + 𝐾2𝑋𝑒𝑞
𝑋𝑒𝑞 → 𝑘𝑒𝑞 =
𝑋𝑒𝑞(𝐾1 + 𝐾2)
𝑋𝑒𝑞
𝑘𝑒𝑞 = 𝐾1 + 𝐾2 (5)
Portanto em uma associação em que duas molas está em paralelo a constante elástica
equivalente (𝑘𝑒𝑞), é obtido pela soma das constantes elásticas das duas molas A e B.
Tomando este princípio e sabendo que Keq = 39,22 (𝑁/𝑚), obtido neste experimento
e K1 = 17,450 (𝑁/𝑚), obtido no primeiro experimento com a mola A, podemos calcular a
constante elástica da mola B utilizando a equação (5), de modo que:
𝑘𝑒𝑞 = 𝐾1 + 𝐾2 (5)
𝐾2 = 𝑘𝑒𝑞 − 𝐾1
𝐾2 = 39,22 (𝑁/𝑚) − 17,45 (𝑁/𝑚)
𝐾2 = 21.77 (𝑁/𝑚)
Portanto temos que K1 = 17,450 (𝑁/𝑚), 𝐾2 = 21.77 (𝑁/𝑚) e a constante
equivalente desta associação é igual Keq = 39,22 (𝑁/𝑚).
15
6. CONCLUSÃO
Por meio deste experimento e análise dos resultados obtidos em laboratório e
discutidos aqui, concluímos que as molas, tanto as que estavam em um sistema de uma mola,
em série e paralelo, seguem a Lei de Hooke, já que a deformação da mola é proporcional à
força exercida sobre a mesma.
Verifica-se que a maior diferença encontrada nas medidas de deformação ocorreu nos
maiores pesos, sendo que a mola não ultrapassou seu limite de elasticidade, uma vez que, ao
serem retirados os pesos, as molas retornaram para a posição inicial.
Utilizando a lei Hooke foi possível calcular as constantes envolvidas e verificar que o
experimento mostra à realidade da mola. Com os dados obtidos, foi possível estabelecer uma
relação entre os experimentos onde as molas encontrava-se em associação em série e paralelo.
Comparando ambas as associações, em série e paralelo, é possível visualizar que a
constante elástica do sistema de molas em série é menor que as constantes elásticas de cada
mola, e para no sistema de molas que se encontra em paralelo é maior que as outras
constantes das molas. Vale ressaltar que, quando é cessada a força deformadora da mola, ela
volta à posição inicial, assim ela possui uma força restauradora.
Podem ter aparecido algumas diferenças nos resultados aqui expressados e são
ocasionados pela precisão de medida da régua, bem como na realização das medidas das
molas.
16
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SILVA, Angela Maria Moreira. Normas para apresentação dos trabalhos técnico-científicos
da UFRR. Roraima: Ed. da UFRR, 2007. 108p.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física 1: mecânica. Livros
Técnicos e Científico.
17
8. ANEXOS