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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIacuteBA
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
CENTRO DE CIEcircNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA
CURSO DE LICENCIATURAM EM MATEMAacuteTICA A DISTAcircNCIA
JOSEacute DE CALDAS LEMOS NETO
UMA ANAacuteLISE DA HISTOacuteRIA DAS EQUACcedilOtildeES DO 2deg GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Itaporanga ndash PB
2011
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JOSEacute DE CALDAS LEMOS NETO
UMA ANAacuteLISE DA HISTOacuteRIA DAS EQUACcedilOtildeES DO 2deg GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado agrave Coordenaccedilatildeo do Curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia da Universidade Federal da Paraiacuteba como requisito parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de licenciado em Matemaacutetica
Orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis
Itaporanga ndash PB
2011
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Catalogaccedilatildeo na publicaccedilatildeo Universidade Federal da Paraiacuteba
Biblioteca Setorial do CCEN L558u Lemos Neto Joseacute de Caldas
Uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2deg Grau nos livros didaacuteticos Joseacute de Caldas Lemos Neto -- Itabaiana 2011
44f il -
Monografia (Licenciatura em Matemaacutetica agrave Distacircncia) ndash UFPBCCEN
Orientador Cibelle de Faacutetima Castro Assis Inclui referecircncias
1 Matemaacutetica - Ensino 2 Equaccedilotildees do 2deg Grau - Ensino 3 Matemaacutetica - Ensinofundamental I Tiacutetulo
BSCCEN CDU 51(0432)
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JOSEacute DE CALDAS LEMOS NETO
UMA ANAacuteLISE DA HISTOacuteRIA DAS EQUACcedilOtildeES DO 2deg GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado agrave Comissatildeo Examinadora do Curso de
Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia da Universidade Federal da Paraiacuteba como requisito
parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de licenciado em Matemaacutetica
Orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (membro interno)
Aprovado em _____ ______ _______
COMISSAtildeO EXAMINADORA
__________________________________________________
Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (orientadora)
____________________________________________________
Profordf Ms Severina Andreacutea Dantas de Farias
______________________________________________________
Profordm Ms Jamilson Ramos Campos
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Dedico este trabalho a toda minha famiacutelia
por todo apoio que me deram durante todo
esse periacuteodo
Aos meus pais aos colegas pela nossa
uniatildeo
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AGRADECIMENTOS
Antes de tudo gostaria de agradecer a Deus porque a ele tudo pertence e se estou aqui
neste momento eacute porque ele permitiu
Aos meus pais pelo apoio moral e pelo carinho
A minha famiacutelia pela compreensatildeo e pelo carinho nas horas mais difiacuteceis
A minha orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis pelo apoio
estiacutemulo colaboraccedilatildeo e por sua compreensatildeo para comigo
Aos colegas pelas trocas de experiecircncias pelos incentivos nos momentos difiacuteceis por
todos esses momentos de troca de conhecimento e de alegrias
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A mente que se abre a uma nova ideia
jamais voltaraacute ao seu tamanho original
Albert Einstein
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RESUMO
O presente trabalho analisa o enfoque da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2deg grau nos livros didaacuteticos adotados pelos professores do municiacutepio de Itaporanga na Paraiacuteba Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura em Educaccedilatildeo Matemaacutetica escolar que apresentam propostas sobre a importacircncia matemaacutetica da histoacuteria na construccedilatildeo do conhecimento e livros didaacuteticos de matemaacutetica do 9ordm ano Considerou-se tambeacutem como fonte de pesquisa todo o material referente ao conteuacutedo disponibilizado durante o curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia aleacutem de documentos oficiais a exemplo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais de Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf seacuteries Podemos afirmar que as propostas de trabalho com a histoacuteria deste conteuacutedo estaacute presente nas obras mais recentes a exemplo dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo da autoria de Dante (2008) ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini (1996) e ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo da autora Centurioacuten (2003) Nas obras mais antigas como ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Giovanni e Castrucci (1995) e ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Andrini (1998) a histoacuteria natildeo aparece evidenciando que a proposta de contextualizar historicamente eacute uma proposta que vem sendo contemplada apenas recentemente Essa abordagem tem sua importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica que eacute descontextualizado fazendo-se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado ao ensino desse conteuacutedo no Ensino Fundamental Palavras-chave Matemaacutetica Histoacuteria Equaccedilatildeo do 2ordm grau
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ABSTRACT
This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
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LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
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SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
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1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
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momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
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2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
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No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
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maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
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23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
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3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
2
JOSEacute DE CALDAS LEMOS NETO
UMA ANAacuteLISE DA HISTOacuteRIA DAS EQUACcedilOtildeES DO 2deg GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado agrave Coordenaccedilatildeo do Curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia da Universidade Federal da Paraiacuteba como requisito parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de licenciado em Matemaacutetica
Orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis
Itaporanga ndash PB
2011
3
Catalogaccedilatildeo na publicaccedilatildeo Universidade Federal da Paraiacuteba
Biblioteca Setorial do CCEN L558u Lemos Neto Joseacute de Caldas
Uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2deg Grau nos livros didaacuteticos Joseacute de Caldas Lemos Neto -- Itabaiana 2011
44f il -
Monografia (Licenciatura em Matemaacutetica agrave Distacircncia) ndash UFPBCCEN
Orientador Cibelle de Faacutetima Castro Assis Inclui referecircncias
1 Matemaacutetica - Ensino 2 Equaccedilotildees do 2deg Grau - Ensino 3 Matemaacutetica - Ensinofundamental I Tiacutetulo
BSCCEN CDU 51(0432)
4
JOSEacute DE CALDAS LEMOS NETO
UMA ANAacuteLISE DA HISTOacuteRIA DAS EQUACcedilOtildeES DO 2deg GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado agrave Comissatildeo Examinadora do Curso de
Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia da Universidade Federal da Paraiacuteba como requisito
parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de licenciado em Matemaacutetica
Orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (membro interno)
Aprovado em _____ ______ _______
COMISSAtildeO EXAMINADORA
__________________________________________________
Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (orientadora)
____________________________________________________
Profordf Ms Severina Andreacutea Dantas de Farias
______________________________________________________
Profordm Ms Jamilson Ramos Campos
5
Dedico este trabalho a toda minha famiacutelia
por todo apoio que me deram durante todo
esse periacuteodo
Aos meus pais aos colegas pela nossa
uniatildeo
6
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo gostaria de agradecer a Deus porque a ele tudo pertence e se estou aqui
neste momento eacute porque ele permitiu
Aos meus pais pelo apoio moral e pelo carinho
A minha famiacutelia pela compreensatildeo e pelo carinho nas horas mais difiacuteceis
A minha orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis pelo apoio
estiacutemulo colaboraccedilatildeo e por sua compreensatildeo para comigo
Aos colegas pelas trocas de experiecircncias pelos incentivos nos momentos difiacuteceis por
todos esses momentos de troca de conhecimento e de alegrias
7
A mente que se abre a uma nova ideia
jamais voltaraacute ao seu tamanho original
Albert Einstein
8
RESUMO
O presente trabalho analisa o enfoque da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2deg grau nos livros didaacuteticos adotados pelos professores do municiacutepio de Itaporanga na Paraiacuteba Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura em Educaccedilatildeo Matemaacutetica escolar que apresentam propostas sobre a importacircncia matemaacutetica da histoacuteria na construccedilatildeo do conhecimento e livros didaacuteticos de matemaacutetica do 9ordm ano Considerou-se tambeacutem como fonte de pesquisa todo o material referente ao conteuacutedo disponibilizado durante o curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia aleacutem de documentos oficiais a exemplo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais de Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf seacuteries Podemos afirmar que as propostas de trabalho com a histoacuteria deste conteuacutedo estaacute presente nas obras mais recentes a exemplo dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo da autoria de Dante (2008) ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini (1996) e ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo da autora Centurioacuten (2003) Nas obras mais antigas como ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Giovanni e Castrucci (1995) e ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Andrini (1998) a histoacuteria natildeo aparece evidenciando que a proposta de contextualizar historicamente eacute uma proposta que vem sendo contemplada apenas recentemente Essa abordagem tem sua importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica que eacute descontextualizado fazendo-se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado ao ensino desse conteuacutedo no Ensino Fundamental Palavras-chave Matemaacutetica Histoacuteria Equaccedilatildeo do 2ordm grau
9
ABSTRACT
This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
12
LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
13
SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
15
momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
3
Catalogaccedilatildeo na publicaccedilatildeo Universidade Federal da Paraiacuteba
Biblioteca Setorial do CCEN L558u Lemos Neto Joseacute de Caldas
Uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2deg Grau nos livros didaacuteticos Joseacute de Caldas Lemos Neto -- Itabaiana 2011
44f il -
Monografia (Licenciatura em Matemaacutetica agrave Distacircncia) ndash UFPBCCEN
Orientador Cibelle de Faacutetima Castro Assis Inclui referecircncias
1 Matemaacutetica - Ensino 2 Equaccedilotildees do 2deg Grau - Ensino 3 Matemaacutetica - Ensinofundamental I Tiacutetulo
BSCCEN CDU 51(0432)
4
JOSEacute DE CALDAS LEMOS NETO
UMA ANAacuteLISE DA HISTOacuteRIA DAS EQUACcedilOtildeES DO 2deg GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado agrave Comissatildeo Examinadora do Curso de
Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia da Universidade Federal da Paraiacuteba como requisito
parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de licenciado em Matemaacutetica
Orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (membro interno)
Aprovado em _____ ______ _______
COMISSAtildeO EXAMINADORA
__________________________________________________
Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (orientadora)
____________________________________________________
Profordf Ms Severina Andreacutea Dantas de Farias
______________________________________________________
Profordm Ms Jamilson Ramos Campos
5
Dedico este trabalho a toda minha famiacutelia
por todo apoio que me deram durante todo
esse periacuteodo
Aos meus pais aos colegas pela nossa
uniatildeo
6
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo gostaria de agradecer a Deus porque a ele tudo pertence e se estou aqui
neste momento eacute porque ele permitiu
Aos meus pais pelo apoio moral e pelo carinho
A minha famiacutelia pela compreensatildeo e pelo carinho nas horas mais difiacuteceis
A minha orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis pelo apoio
estiacutemulo colaboraccedilatildeo e por sua compreensatildeo para comigo
Aos colegas pelas trocas de experiecircncias pelos incentivos nos momentos difiacuteceis por
todos esses momentos de troca de conhecimento e de alegrias
7
A mente que se abre a uma nova ideia
jamais voltaraacute ao seu tamanho original
Albert Einstein
8
RESUMO
O presente trabalho analisa o enfoque da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2deg grau nos livros didaacuteticos adotados pelos professores do municiacutepio de Itaporanga na Paraiacuteba Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura em Educaccedilatildeo Matemaacutetica escolar que apresentam propostas sobre a importacircncia matemaacutetica da histoacuteria na construccedilatildeo do conhecimento e livros didaacuteticos de matemaacutetica do 9ordm ano Considerou-se tambeacutem como fonte de pesquisa todo o material referente ao conteuacutedo disponibilizado durante o curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia aleacutem de documentos oficiais a exemplo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais de Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf seacuteries Podemos afirmar que as propostas de trabalho com a histoacuteria deste conteuacutedo estaacute presente nas obras mais recentes a exemplo dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo da autoria de Dante (2008) ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini (1996) e ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo da autora Centurioacuten (2003) Nas obras mais antigas como ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Giovanni e Castrucci (1995) e ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Andrini (1998) a histoacuteria natildeo aparece evidenciando que a proposta de contextualizar historicamente eacute uma proposta que vem sendo contemplada apenas recentemente Essa abordagem tem sua importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica que eacute descontextualizado fazendo-se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado ao ensino desse conteuacutedo no Ensino Fundamental Palavras-chave Matemaacutetica Histoacuteria Equaccedilatildeo do 2ordm grau
9
ABSTRACT
This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
12
LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
13
SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
15
momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
4
JOSEacute DE CALDAS LEMOS NETO
UMA ANAacuteLISE DA HISTOacuteRIA DAS EQUACcedilOtildeES DO 2deg GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado agrave Comissatildeo Examinadora do Curso de
Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia da Universidade Federal da Paraiacuteba como requisito
parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de licenciado em Matemaacutetica
Orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (membro interno)
Aprovado em _____ ______ _______
COMISSAtildeO EXAMINADORA
__________________________________________________
Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (orientadora)
____________________________________________________
Profordf Ms Severina Andreacutea Dantas de Farias
______________________________________________________
Profordm Ms Jamilson Ramos Campos
5
Dedico este trabalho a toda minha famiacutelia
por todo apoio que me deram durante todo
esse periacuteodo
Aos meus pais aos colegas pela nossa
uniatildeo
6
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo gostaria de agradecer a Deus porque a ele tudo pertence e se estou aqui
neste momento eacute porque ele permitiu
Aos meus pais pelo apoio moral e pelo carinho
A minha famiacutelia pela compreensatildeo e pelo carinho nas horas mais difiacuteceis
A minha orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis pelo apoio
estiacutemulo colaboraccedilatildeo e por sua compreensatildeo para comigo
Aos colegas pelas trocas de experiecircncias pelos incentivos nos momentos difiacuteceis por
todos esses momentos de troca de conhecimento e de alegrias
7
A mente que se abre a uma nova ideia
jamais voltaraacute ao seu tamanho original
Albert Einstein
8
RESUMO
O presente trabalho analisa o enfoque da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2deg grau nos livros didaacuteticos adotados pelos professores do municiacutepio de Itaporanga na Paraiacuteba Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura em Educaccedilatildeo Matemaacutetica escolar que apresentam propostas sobre a importacircncia matemaacutetica da histoacuteria na construccedilatildeo do conhecimento e livros didaacuteticos de matemaacutetica do 9ordm ano Considerou-se tambeacutem como fonte de pesquisa todo o material referente ao conteuacutedo disponibilizado durante o curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia aleacutem de documentos oficiais a exemplo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais de Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf seacuteries Podemos afirmar que as propostas de trabalho com a histoacuteria deste conteuacutedo estaacute presente nas obras mais recentes a exemplo dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo da autoria de Dante (2008) ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini (1996) e ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo da autora Centurioacuten (2003) Nas obras mais antigas como ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Giovanni e Castrucci (1995) e ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Andrini (1998) a histoacuteria natildeo aparece evidenciando que a proposta de contextualizar historicamente eacute uma proposta que vem sendo contemplada apenas recentemente Essa abordagem tem sua importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica que eacute descontextualizado fazendo-se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado ao ensino desse conteuacutedo no Ensino Fundamental Palavras-chave Matemaacutetica Histoacuteria Equaccedilatildeo do 2ordm grau
9
ABSTRACT
This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
12
LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
13
SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
15
momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
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No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
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GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
5
Dedico este trabalho a toda minha famiacutelia
por todo apoio que me deram durante todo
esse periacuteodo
Aos meus pais aos colegas pela nossa
uniatildeo
6
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo gostaria de agradecer a Deus porque a ele tudo pertence e se estou aqui
neste momento eacute porque ele permitiu
Aos meus pais pelo apoio moral e pelo carinho
A minha famiacutelia pela compreensatildeo e pelo carinho nas horas mais difiacuteceis
A minha orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis pelo apoio
estiacutemulo colaboraccedilatildeo e por sua compreensatildeo para comigo
Aos colegas pelas trocas de experiecircncias pelos incentivos nos momentos difiacuteceis por
todos esses momentos de troca de conhecimento e de alegrias
7
A mente que se abre a uma nova ideia
jamais voltaraacute ao seu tamanho original
Albert Einstein
8
RESUMO
O presente trabalho analisa o enfoque da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2deg grau nos livros didaacuteticos adotados pelos professores do municiacutepio de Itaporanga na Paraiacuteba Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura em Educaccedilatildeo Matemaacutetica escolar que apresentam propostas sobre a importacircncia matemaacutetica da histoacuteria na construccedilatildeo do conhecimento e livros didaacuteticos de matemaacutetica do 9ordm ano Considerou-se tambeacutem como fonte de pesquisa todo o material referente ao conteuacutedo disponibilizado durante o curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia aleacutem de documentos oficiais a exemplo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais de Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf seacuteries Podemos afirmar que as propostas de trabalho com a histoacuteria deste conteuacutedo estaacute presente nas obras mais recentes a exemplo dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo da autoria de Dante (2008) ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini (1996) e ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo da autora Centurioacuten (2003) Nas obras mais antigas como ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Giovanni e Castrucci (1995) e ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Andrini (1998) a histoacuteria natildeo aparece evidenciando que a proposta de contextualizar historicamente eacute uma proposta que vem sendo contemplada apenas recentemente Essa abordagem tem sua importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica que eacute descontextualizado fazendo-se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado ao ensino desse conteuacutedo no Ensino Fundamental Palavras-chave Matemaacutetica Histoacuteria Equaccedilatildeo do 2ordm grau
9
ABSTRACT
This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
12
LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
13
SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
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momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
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2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
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No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
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maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
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23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
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3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
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35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
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37
44
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VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
6
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo gostaria de agradecer a Deus porque a ele tudo pertence e se estou aqui
neste momento eacute porque ele permitiu
Aos meus pais pelo apoio moral e pelo carinho
A minha famiacutelia pela compreensatildeo e pelo carinho nas horas mais difiacuteceis
A minha orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis pelo apoio
estiacutemulo colaboraccedilatildeo e por sua compreensatildeo para comigo
Aos colegas pelas trocas de experiecircncias pelos incentivos nos momentos difiacuteceis por
todos esses momentos de troca de conhecimento e de alegrias
7
A mente que se abre a uma nova ideia
jamais voltaraacute ao seu tamanho original
Albert Einstein
8
RESUMO
O presente trabalho analisa o enfoque da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2deg grau nos livros didaacuteticos adotados pelos professores do municiacutepio de Itaporanga na Paraiacuteba Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura em Educaccedilatildeo Matemaacutetica escolar que apresentam propostas sobre a importacircncia matemaacutetica da histoacuteria na construccedilatildeo do conhecimento e livros didaacuteticos de matemaacutetica do 9ordm ano Considerou-se tambeacutem como fonte de pesquisa todo o material referente ao conteuacutedo disponibilizado durante o curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia aleacutem de documentos oficiais a exemplo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais de Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf seacuteries Podemos afirmar que as propostas de trabalho com a histoacuteria deste conteuacutedo estaacute presente nas obras mais recentes a exemplo dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo da autoria de Dante (2008) ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini (1996) e ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo da autora Centurioacuten (2003) Nas obras mais antigas como ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Giovanni e Castrucci (1995) e ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Andrini (1998) a histoacuteria natildeo aparece evidenciando que a proposta de contextualizar historicamente eacute uma proposta que vem sendo contemplada apenas recentemente Essa abordagem tem sua importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica que eacute descontextualizado fazendo-se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado ao ensino desse conteuacutedo no Ensino Fundamental Palavras-chave Matemaacutetica Histoacuteria Equaccedilatildeo do 2ordm grau
9
ABSTRACT
This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
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LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
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SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
15
momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
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7
A mente que se abre a uma nova ideia
jamais voltaraacute ao seu tamanho original
Albert Einstein
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RESUMO
O presente trabalho analisa o enfoque da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2deg grau nos livros didaacuteticos adotados pelos professores do municiacutepio de Itaporanga na Paraiacuteba Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura em Educaccedilatildeo Matemaacutetica escolar que apresentam propostas sobre a importacircncia matemaacutetica da histoacuteria na construccedilatildeo do conhecimento e livros didaacuteticos de matemaacutetica do 9ordm ano Considerou-se tambeacutem como fonte de pesquisa todo o material referente ao conteuacutedo disponibilizado durante o curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia aleacutem de documentos oficiais a exemplo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais de Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf seacuteries Podemos afirmar que as propostas de trabalho com a histoacuteria deste conteuacutedo estaacute presente nas obras mais recentes a exemplo dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo da autoria de Dante (2008) ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini (1996) e ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo da autora Centurioacuten (2003) Nas obras mais antigas como ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Giovanni e Castrucci (1995) e ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Andrini (1998) a histoacuteria natildeo aparece evidenciando que a proposta de contextualizar historicamente eacute uma proposta que vem sendo contemplada apenas recentemente Essa abordagem tem sua importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica que eacute descontextualizado fazendo-se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado ao ensino desse conteuacutedo no Ensino Fundamental Palavras-chave Matemaacutetica Histoacuteria Equaccedilatildeo do 2ordm grau
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ABSTRACT
This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
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LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
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SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
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1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
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momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
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2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
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No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
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maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
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23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
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37
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VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
8
RESUMO
O presente trabalho analisa o enfoque da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2deg grau nos livros didaacuteticos adotados pelos professores do municiacutepio de Itaporanga na Paraiacuteba Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura em Educaccedilatildeo Matemaacutetica escolar que apresentam propostas sobre a importacircncia matemaacutetica da histoacuteria na construccedilatildeo do conhecimento e livros didaacuteticos de matemaacutetica do 9ordm ano Considerou-se tambeacutem como fonte de pesquisa todo o material referente ao conteuacutedo disponibilizado durante o curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia aleacutem de documentos oficiais a exemplo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais de Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf seacuteries Podemos afirmar que as propostas de trabalho com a histoacuteria deste conteuacutedo estaacute presente nas obras mais recentes a exemplo dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo da autoria de Dante (2008) ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini (1996) e ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo da autora Centurioacuten (2003) Nas obras mais antigas como ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Giovanni e Castrucci (1995) e ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Andrini (1998) a histoacuteria natildeo aparece evidenciando que a proposta de contextualizar historicamente eacute uma proposta que vem sendo contemplada apenas recentemente Essa abordagem tem sua importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica que eacute descontextualizado fazendo-se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado ao ensino desse conteuacutedo no Ensino Fundamental Palavras-chave Matemaacutetica Histoacuteria Equaccedilatildeo do 2ordm grau
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ABSTRACT
This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
12
LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
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SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
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momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
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GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
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POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
9
ABSTRACT
This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
12
LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
13
SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
15
momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
12
LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
13
SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
15
momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30
12
LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
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SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
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momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
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PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
12
LISTA DE SIGLAS
EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental
FIP Faculdades Integradas de Patos
PB Paraiacuteba
PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais
UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba
UAB Universidade Aberta do Brasil
13
SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
15
momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
13
SUMAacuteRIO
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14
2 INTRODUCcedilAtildeO 16
21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17
22 Problemaacutetica e Justificativa 18
23 Objetivos 19
231 Objetivo Geral 19
232 Objetivos Especiacuteficos 19
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24
351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25
352 Completamento dos quadrados 26
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS
LIVROS DIDAacuteTICOS 32
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40
REFEREcircNCIAS
14
1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
15
momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
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cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
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37
44
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TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
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1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO
Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de
Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga
onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje
Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado
apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me
incentivou ao estudo
Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa
fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva
A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da
Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa
da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar
Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo
o curso no ano de 1982
Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco
Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui
aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata
convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a
ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie
No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da
Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor
Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica
a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso
Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico
No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em
Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-
aulas
Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e
Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois
conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me
motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade
Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no
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momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
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2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
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No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
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maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
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23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
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GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
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momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos
vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a
formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto
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2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
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No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
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maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
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23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
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3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
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BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
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37
44
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TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
16
2 INTRODUCcedilAtildeO
A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em
diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute
presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e
oportunizando melhores condiccedilotildees de vida
Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo
metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para
o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os
dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras
disciplinas
Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e
muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de
problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia
para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos
Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado
percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a
relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes
prejuiacutezos a aprendizagem
Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das
equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para
trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua
abordagem nos livros didaacuteticos
Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia
procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao
educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social
Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da
seguinte maneira
No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria
escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor
O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do
tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada
nesta pesquisa
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
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POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
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PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
17
No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de
uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise
histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso
(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares
Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)
No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo
desta pesquisa e dos resultados almejados
21 Apresentaccedilatildeo do Tema
De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que
ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos
motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem
como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica
Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo
de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo
foacutermulas e siacutembolos
Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos
por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel
possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia
ao aluno pensar sobre a realidade
Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de
problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais
importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida
do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na
aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada
trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos
Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um
esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de
pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias
deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na
18
maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
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que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
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44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
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5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
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cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
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REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
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MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
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OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
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44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
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maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos
exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo
Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o
conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de
seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de
cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees
Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o
desenvolvimento intelectual do aluno
Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o
pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo
que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos
diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o
desenvolvimento intelectual dos alunos
22 Problemaacutetica e Justificativa
A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste
conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e
na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma
relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano
Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual
situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute
transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho
dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo
Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei
a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade
aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu
cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo
de mundo
Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na
Matemaacutetica
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23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
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3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
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GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
19
23 Objetivos
231 Objetivo Geral
bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos
livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga
232 Objetivos Especiacuteficos
bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau
bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o
conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente
bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos
histoacutericos
24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas
A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede
municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que
forma se distanciam desta proposta
Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave
coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica
Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode
ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na
medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente
Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside
no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla
do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo
Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso
dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo
Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em
versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni
e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
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32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
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matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
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42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
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que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
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44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
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5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
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do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
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PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
20
3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA
31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino
Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para
facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se
adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da
Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem
os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer
uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do
conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades
e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer
comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o
professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante
desse conhecimento
Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua
histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande
valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a
histoacuteria da Matemaacutetica
A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)
Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos
ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute
ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os
conhecimentos adquiridos
Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de
Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a
encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos
conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
21
32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau
O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e
as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-
problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo
Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo
de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o
conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo
Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema
inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um
resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas
situaccedilotildees
Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)
Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas
como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees
entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja
estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma
mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno
Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor
situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades
em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas
enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente
mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as
resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)
Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma
transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos
imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa
forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua
importacircncia
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
22
33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema
Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu
as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a
aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo
desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a
serem seguidas ao se resolver problemas
1 Compreensatildeo do problema
2 Elaboraccedilatildeo de um plano
3 Execuccedilatildeo do plano
4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para
a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio
estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se
deseja
Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa
buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno
pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo
Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar
o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para
verificar cada passo realizado
Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que
foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas
mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma
reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e
do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa
Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando
sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos
conteuacutedos para a vida
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
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BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
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BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
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DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
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37
44
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VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
23
34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau
Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos
alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de
raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes
Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees
problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio
Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando
significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos
De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema
bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra
Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em
situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das
diversas funccedilotildees que satildeo abordadas
Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no
aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar
um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele
possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo
Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com
situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua
aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar
habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano
O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como
um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um
contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este
conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm
grau para que os alunos se familiarizem
Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar
sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de
novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar
problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera
reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos
24
35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
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POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
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44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
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35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional
Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de
forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que
o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade
apenas no final do capiacutetulo
Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para
que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam
sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na
sua utilizaccedilatildeo na vida
De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores
procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na
maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser
ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica
Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se
estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas
equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos
exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois
acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o
aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em
situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto
De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo
trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos
Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o
aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma
tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu
processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os
especialistas
Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os
alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos
diversos problemas no nosso dia a dia
Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor
desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do
mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo
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351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
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+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
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2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
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Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
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Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
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Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
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4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
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Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
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matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
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Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
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do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
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BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
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BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
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37
44
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VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
25
351 A foacutermula de Bhaacuteskara
Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras
aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas
aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na
resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das
escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de
extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a
resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados
Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara
segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)
Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos
da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos
+ +
= 0
+ + = 0
Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a
cminus aos dois
membros da equaccedilatildeo a
c
a
c
a
c
a
bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos
a
c
a
bxx minus=+2
Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir
o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado
2
22
2
422 a
b
a
ba
b
==
Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo
com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)
a
c
a
b
a
b
a
bxx minus=++
2
2
2
22
44
Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2
2
2
22
4
4
4 a
acb
a
b
a
bxx
minus=++
A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra
grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
26
+ +
= ∆
Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos
2
2
42 aa
bx ∆
=
+
Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆
42 Passando o termo
a
b
2 para o segundo membro da equaccedilatildeo
aa
bx
22
∆plusmnminus=
Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula
resolutiva a
bx
2
∆plusmnminus=
352 Completamento dos quadrados
Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as
raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do
ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma
1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado
ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4
4(x2 + 6x) = 74
4x2 + 24x = 28
2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente
de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36
entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo
4x2 + 24x + 36 = 28 + 36
4x2 + 24x + 36 = 64
3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2
Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7
2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
27
2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6
2x + 6 = 8 2x = -14
2x= 8 ndash 6 x = -7
2x = 2
x = 1
36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau
Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os
alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica
estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso
mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita
Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau
para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria
que eles percorreram
Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de
problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da
determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo
desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros
como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do
retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais
Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o
que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais
metoacutedico para resolver tais problemas
No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo
para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a
chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo
+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)
Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo
10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
29
Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
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37
44
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VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
28
Figura 1 Quadrado de aacuterea x2
Fonte Portal do professor (MEC)
Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)
AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais
Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)
Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2
obtendo a figura 4 a seguir
x2
10x
x
10
25
x
25
25
25
x
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Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos
Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea
dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
equaccedilatildeo 39102 =+ xx
No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra
passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees
portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas
e as outras palavras escritas por extenso
x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
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Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
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Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
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Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
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matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
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Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
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Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
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CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
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MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
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dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado
Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)
A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e
assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da
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x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0
A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0
25 25
x2
25x
25 25
25 25
x2
25x
25 25
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Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
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Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
30
Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento
dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de
Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram
definitivamente para a matemaacutetica
Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete
expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)
Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de
igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA
ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0
A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute
Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos
criados por Vieacutete veja
bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea
bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()
bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto
x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c
Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0
Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo
aperfeiccediloados ao longo do tempo
Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas
Fonte Adaptado de Guelli 1992
A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por
meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0
B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0
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Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
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42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
31
Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees
Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que
simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de
qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
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44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
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5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
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cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
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REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
32
4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm
GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS
Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam
o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo
Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos
para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula
Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga
mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia
para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de
Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA
Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo
No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante
apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o
surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o
famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar
quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)
Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da
equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da
noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e
= 1 (Figura 6)
Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do
2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na
paacutegina seguinte
33
Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
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44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
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SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
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Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)
Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu
surgimento
Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de
Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
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Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
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42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
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Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
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44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
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5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
34
matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os
coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs
que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)
Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )
Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
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SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
35
Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e
reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que
ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo
existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte
meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da
diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros
procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados
a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm
grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)
Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)
Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em
que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos
que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios
normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria
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42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
36
42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo
Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em
seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele
apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o
surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra
mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda
(Figura 10)
Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)
Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados
exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria
Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor
apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as
relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes
negativas (BIANCHINI 1996 p 51)
A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a
conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem
encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
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do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
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cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
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REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
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SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
37
Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)
43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo
Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma
situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x
mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no
entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois
valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)
Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o
meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
43
REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
38
que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora
apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito
(Figura 12)
Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)
Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de
forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau
39
44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
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REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
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SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
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44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo
No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de
exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau
distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo
pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu
cotidiano
45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo
Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi
publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as
foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele
ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista
40
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
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do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
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REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
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SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
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5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel
perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma
consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova
metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico
responsaacutevel pelo fracasso do ensino
O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos
alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau
A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros
didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o
ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-
se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado
O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da
Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva
Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma
bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser
utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais
adequadordquo
A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi
gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no
sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a
matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade
para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade
As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro
ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo
Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a
abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada
atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo
entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos
Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores
optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro
Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci
que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo
41
do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
42
cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
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REFEREcircNCIAS
ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989
BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996
BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 1ordm e 2ordm ciclos (1ordf a 4ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 2001
CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011
GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
37
44
SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
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do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um
contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo
eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo
apresentadas apenas em outro capiacutetulo
Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia
da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os
livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo
para os alunos
Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)
No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas
metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem
matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos
modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo
Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise
histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas
metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem
minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente
mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que
foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo
Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova
proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos
Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos
e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes
Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem
e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem
muitas dores de cabeccedila
A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e
orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de
problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o
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cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o
aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo
Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com
outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora
percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e
valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos
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CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
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DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
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cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o
cotidiano
Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o
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BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006
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CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003
DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991
DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005
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GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994
GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985
GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001
MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997
NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011
POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995
OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011
PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)
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SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005
TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997
VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009
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VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009