EQUAÇÕES DO 2º GRAU
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EQUAÇÕES DO 2º GRAUAceite para publicação em 15 de Março de
2010
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introdução
equações do 1º grau
equações do 2º grau
resumo
extras
créditos
agradecimentos
fim
introdução
equação
solução de uma equação
membros e termos
pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo
princípios de equivalência
equações e funções
grau de uma equação
equaçãouma equação é uma igualdade entre duas expressões onde aparece pelo menos uma letra designada por incógnita ou variável.
Exemplo:
3 4 2 1x x
3 4 7
25 2 1x y
é equação
não são equações
membros e termoso sinal de igual separa a equação em dois membros ecada monómio que neles figura chama-se termo
Exemplo: 3 4 2 1x x
1º membro 2º membro
3 2;x x
4 1;
termos com incógnita
termos independentes
solução de uma equaçãoum número diz-se solução de uma equação se ao se substituir esse número pela incógnita se obtiver uma proposição verdadeira
Exemplo: 3 4 2 1x x é solução de porque
3 4 2 1 15 4 10 1 11 15 15
O conjunto de todas as soluções de uma equação designa-se por conjunto-solução e representa-se por c.s. Neste exemplo
Equações equivalentes são equações com o mesmo conjunto-solução.Utiliza-se o sinal de equivalente
5. .c s
5
princípios de equivalênciaResolver uma equação significa determinar o seu conjunto-solução.Para resolver equações existem duas regras básicas conhecidas por princípios de equivalência.
princípio da adição
princípio da multiplicação
princípio da adiçãoao adicionar a ambos os membros de uma equação o mesmo número obtém-se uma equação equivalente à inicial
Exemplo: 3 7
3 7
1
3 3
0
x
x
x
10. .c s
princípio da multiplicaçãoao multiplicar ambos os membros de uma equação pelo mesmo número diferente de zero obtém-se uma equação equivalente à inicial
Exemplo: 3 12
3 121
34
1
3
x
x
x
4. .c s
grau de uma equaçãoo grau de uma equação é igual ao maior grau dos seus termos
Exemplo:
3 1 4x equação do 1º grau
2 6 5 0x x equação do 2º grau
3 2 0x x equação do 3º grau
equações e funçõesas soluções de uma equação coincidem com os zeros da função correspondente
1º grau
2º grau
afim
quadrática
Clica nas palavras da tabela para mais informações
equações do 1º grauuma equação do 1º grau em x é uma equação que se pode reduzir à forma canónica:
0,a b a 0ax b e
solução de uma equação do 1º grau
soluções e zeros
função afim
Voltar à tabela
a solução da equação
solução de uma equação do 1º grau
0,a b a 0ax b b
a
2 8 0
8
24
x
x
x
4. .c s
Exemplo:
é com
e
função afimfunção cujo gráfico é uma recta e cuja expressão analítica é do tipo:
,m by mx b
gráfico da função afim
declive
ordenada na origem
casos particulares
Voltar à tabela
gráfico da função afimO gráfico da função afim é uma recta de equação:
,m by mx b
Qual será a influência dos parâmetros m e b
no gráfico da função afim?
Clica na figura e tenta descobrir!
declivem é responsável pela inclinação da
recta
ordenada na origemb ordenada do ponto de intersecção do
gráfico da função com o eixo dos yy
o gráfico da função passa no ponto
0,b
casos particulares da função afimas funções linear e constante são casos particulares da função afim
soluções e zerosdeterminar os zeros da função afim corresponde a determinar as soluções da equação do 1º grau
Exemplo:
2 6y x função afim
2 6 0
2 6
3
x
x
x
determinar zeros:
graficamente:
3. .c s
y mx b 0mx b
zero
equações do 2º grau
equações do 2º grau incompletas
uma equação do 2º grau em x é uma equação que se pode reduzir à forma canónica:
0, ,a b c a
equações do 2º grau completas
2 0ax bx c e
as equações do 2º grau dividem-se em dois tipos:
quando e/ou0b 0c
quando 0, ,a b c Voltar à tabela
equações do 2º grau incompletas
equações do tipo com
equações do tipo com
existem três tipos de equações do segundo grau incompletas:
2 0ax 0a
equações do tipo com 2 0ax bx 0,a b
2 0ax c 0,a c
equações do tipo têm apenas uma solução nula:
2 0ax
0. .c s
Exemplo: 2
2 2
2
2
5 3 3
5 3 3
4 0
0
0
x x x x
x x x x
x
x
x
0. .c s
equações do tipo têm duas soluções:
2 0ax bx
0. . ,b
c sa
Exemplo:
2
2
3 5
3 5 0
3 5 0
0 3 5 0
50
3
x x
x x
x x
x x
x x
50
3. . ,c s
Voltar à lei do anulamento do produto
equações do tipo
se têm duas soluções simétricas
2 0ax c
Exemplo 1
0c
a . . ;
c cc s
a a
se são impossíveis0c
a
2
2
2
2 32 0
2 32
16
16
4 4
x
x
x
x
x x
4 4. . ,c s
2
2
2
2 8 0
2 8
4
x
x
x
equação impossível
. .c s
Exemplo 2
equações do 2º grau completasuma equação do 2º grau completa é uma equação do tipo
0, ,a b c 2 0ax bx c com
fórmula resolvente
binómio discriminante
função quadrática
parábola
soluções e zeros
conclusões
para determinar as soluções de qualquer equação do 2º grau
22 4
02
b b acax bxc x
a
fórmula resolvente
fórmula resolvente 2
2 40
2
b b acax bx c x
a
Exemplo:2
2
5 6 0
5 5 4 1 6
2 1
5 1
25 1 5 1
2 22 3
x x
x
x
x x
x x
1
5
6
a
b
c
2 3. . ,c s
binómio discriminante
2 4b ac
é a expressão que figura debaixo do radical na fórmula resolvente
Qual será a relação entre o binómio discriminante e o número de soluções
de uma equação do 2º grau?
Clica na figura e tenta descobrir!
função quadráticafunção cujo gráfico é uma parábola e cuja expressão analítica é do tipo:
, ,a b c2y ax bx c
Qual será a influência do parâmetro a no gráfico da função quadrática?
Clica na figura e tenta descobrir!
Voltar à tabela
parábolauma parábola é uma curva de equação com
0a 2y ax bx c
Qual será a influência dos parâmetros h e k no gráfico
da função quadrática?
Clica na figura e tenta descobrir!
ou , usando os casos notáveis, 2y a x h k , , , ,a b c h k
com e
soluções e zerosdeterminar os zeros da função quadrática corresponde a determinar as soluções da equação do 2º grau
Outra forma de escrever a expressão analítica da função quadrática é
2y ax bx c 2 0ax bx c
1 2y a x z x z
1 2, ,a z z 0a
O que significam z1 e z2?
Clica na figura e tenta descobrir!
conclusões
resumo
extrasnesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos
casos notáveis da multiplicação de polinómios
lei do anulamento do produto
factorização de polinómios
casos notáveis da multiplicação de polinómios
quadrado da soma
diferença de quadrados
quadrado da diferença
Voltar à parábola
quadrado da soma
2 2 22a b a ab b
Exemplo 1
2 23 6 9x x x
Exemplo 2
2 2 22 4 4x y x xy y
quadrado da diferença
2 2 22a b a ab b
Exemplo 1
2 25 10 25x x x
Exemplo 2
2 23 2 9 12 4x x x
diferença de quadrados
2 2a b a b a b
Exemplo 1
27 7 49x x x
Exemplo 2
23 3 9
2 5 2 5 4 25
x x x
factorização de polinómios
Exemplo 1 – colocando factores comuns em evidência
22 5 2 5x x x x
Exemplo 2 – usando os casos notáveis
22 14 49 7 7 7x x x x x
existem dois processos para factorizar polinómios:
lei do anulamento do produto
Exemplo
1 2 0
0 1 0 2 0
0 1 2
x x x
x x x
x x x
o produto de dois ou mais factores é nulo se pelo menos um dos factores for nulo
0 0 0 0a b c a b c
Este método é utilizado para a resolução de equações do 2º grau incompletas do tipo
2 0ax bx
CréditosEste trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html.
Este trabalho foi publicado sob licença
Creative Commons da Casa das Ciências
Agradecimentos
À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra
À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das
Ciências
Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões
Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático
Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores
Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles
FIM
Erika Bizarro 2010