CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA
Ana Baeta, Ana Lopez, Atila Cruz,
Breno S., Cristiano O, Décio M.,
Douglas Lemos, Welerson B.
MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA E
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA
Disciplina: Mecânica do SólidosProfessor: Adilson Amaro Lima RodriguesTurma: EMG2BN-A – Turno: Noite
Belo Horizonte2011
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INDICE
1. INTRODUÇÃO....................................................................................................3
2. MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA...................................................................3
2.1. APLICAÇÃO...................................................................................................................................4
3. MOMENTO POLAR DE INÉRCIA.....................................................................5
4. DIFERENÇA ENTRE OS DOIS CONCEITOS....................................................5
5. COMPONENTES ESTRUTURAIS OU PEÇAS MECÂNICAS............................6
5.1. PEÇA A...........................................................................................................................................6
5.2. PEÇA B.............................................................................................................................................7
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1. INTRODUÇÃO
Este trabalho tem por objetivo conceituar o Momento Polar de Inércia e Momento de Inércia
de Área, demonstrando através de cálculos sua aplicabilidade. O momento de inércia é uma
característica geométrica importante no dimensionamento dos elementos de construção, pois
fornece noção da resistência da peça. Apesar da semelhança em formulação e em alguns
teoremas, não deve ser confundido com momento de inércia de massa, que é usado no estudo
da rotação de corpos rígidos.
2. MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA
É a Integral do produto dos elementos de área de um objeto pelo quadrado de sua distância a
um eixo. Geralmente é dado em mm4 ou cm4. Ele é um valor sempre positivo por depender do
quadrado das distancias do eixo.
Quanto maior o momento de Inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar.
J = A Y2.dA.
Jx – A.d2 Jy = A.d2
Quanto for somar momentos de inércia, deve-se analisar se o centro de gravidade é o mesmo
para todas. Caso positivo, procedo a soma. Se não, devo aplicar o teorema de Steiner para
cada peça.
Ix’maior = Ix’menor +Ad2
Onde: d é a distancia do centro de gravidade da peça até o centro de gravidade do conjunto.
A = Área da Peça; Ix’menor é o momento de inércia que tem o centro de gravidade diferente do
centro de gravidade do conjunto.
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2.1. APLICAÇÃO
O momento de Inércia de Área numa seção transversal de uma viga em relação a
um eixo que passa pelo seu centro de gravidade, mede a sua rigidez (resistência a
flexão em relação ao eixo). O momento de inércia é utilizado para calcular a
tensão de flexão.
σFLEX = (MF * r) / J
MF – é o momento fletor (esforço de dobramento), que é calculado pelo produto
da Força (F) pelo Comprimento (d)
MF = F.d
r – é o centro de gravidade em relação a um eixo.
A Deformação Elástica deve ser proporcional a tensão aplicada. Quando uma viga
é fletida, aumenta seu comprimento do lado convexo, enquanto diminui seu lado
côncavo. Existem então tensões de compressão e tração.
Obs.: No centro as fibras continuam com o mesmo comprimento. A tensão é
máxima nas fibras mais afastada do centro.
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3. MOMENTO POLAR DE INÉRCIA
É o momento de inércia de um elemento de área em relação a um ponto é o produto da
área desse elemento pelo quadrado da sua distância ao ponto considerado.
Momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de
inércia, em relação ao mesmo ponto dos elementos qual a constituem.
Levando em consideração o teorema de Pitágoras.
r2 = x2 + y2
Então:
O momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos
de inércia em relação aos eixos que passem pelo ponto considerado.
4. DIFERENÇA ENTRE OS DOIS CONCEITOS
Momento de Inércia de Área não deve ser confundido com o momento polar de
inércia, que é uma medida da capacidade de um objeto de resistir a torção (torção),
apenas, embora, matematicamente, eles são semelhantes: se o sólido para o qual o
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momento de inércia é calculado tenha espessura uniforme na direção do eixo de rotação, e
também tem área uniforme. Momento polar de inércia é aplicado a eixos enquanto
momento de inércia de área é aplicado as demais vigas e objetos.
5. COMPONENTES ESTRUTURAIS OU PEÇAS MECÂNICAS
5.1. PEÇA A
Seja altura (h) = 40mm, comprimento (b) = 20mm e largura (em = ea) = 5mm,
teremos: Peça Simétrica
Xcg = 10mm Ycg = 20mm
CÁLCULO DA ÁREA
A1 = A2 = 5mm x 20mm = 100mm2
A3 = 5mm x 30 mm = 150mm2
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CÁLCULO DO MOMENTO DE INERCIA DE ÁREA
Ix’1 = Ix’3 = ( bh3 )/12 = 20*53 / 12 = 208,33mm4
Ix’2 = ( bh3 )/12 = 5*303 / 12 = 11250mm4
Obs: Como o centro de gravidade das peças 1 e 3 são diferentes da peça 2, devo
aplicar o teorema de Steiner.
Ix’s = Ix’1 + Axd2 Ix’s = 208,33mm4 + 100mm2x17,52
Ix’s = 30833,33mm4
Como Ix’1 e Ix’3 são simétricos em relação ao centro de gravidade Ycg, posso
multiplicar o momento de inércia de uma por 2 e somar ao momento de inércia da
peça 2.
Ix’ = Ix’2 + 2Ix’s Ix’ = 11250mm4 + 2(30833,33mm4) Ix’ = 72916,66mm 4
Iy’1 = Iy’3 = ( b3h )/12 = 2035 / 12 = 3333,33mm4
Iy’2 = (b3h) / 12 = 5330 / 12 = 312,5mm4
Como o centro de gravidade Xcg é igual nas três peças, basta somar os momentos de
inércia: Iy’ = 2(3333,33mm4)+ 312,5mm4 = 6979,16 mm 4
5.2. PEÇA B
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Seja diâmetro (d) = 20mm e largura (e) = 5mm, teremos:
Ycg = 10mm Xcg = 10mm
CÁLCULO DA ÁREA
A1 = πr2 = π10mm2 = 314,16mm2
A2 = πr2 = π5mm2 = 78,54mm2
Ix’1 = (πd4 )/64 = π*204 / 64 = 7854mm4
Ix’2 = (πd4 )/64 = π*104 / 64 = 491mm4
Iy’1 = (πd4 )/64 = π*204 / 64 = 7854mm4
Iy’2 = (πd4 )/64 = π*104 / 64 = 491mm4
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Como o centro de gravidade das peças é o mesmo eu posso subtrair.
Ix’ = Ix’1 - Ix’2 = 7363 mm4
Iy’ = Iy’1 - Iy’2 = 7363 mm4
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Referencia Bibliográfica
Site: http://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia_de_%C3%A1rea
Livro: Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais (SARKIS MELCONIAN – 18º
Edição)
Livro: Curso de mecânica dos Sólidos A (PEREIRA, JOSÉ C. – 2003)
Livro: Resistência dos materiais (R. C. Hibbeler – 3ª Edição)
Livro: Fundamentos de resistência dos materiais (Daniella A. Bento – CEFET-SC)
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