TOPOLOGIA GERAL
Mauricio A. Vilches
Departamento de Análise - IMEUERJ
2
Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total
3
PREFÁCIO
Provavelmente a Topologia é a mais novas das linhas da Matemática clássica,pois a Topologia aparece no século
�������com o nome de Analyse Situs, isto é
análise da posição. Muitos autores concordam que o primeiro a tentar estudarpropriedades topológicas foi Leibniz, em ����� . Posteriormente, Euler em � ����publica a solução do problema das pontes da cidade de Köenigsberg, institula-do "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis". As bases da Topolo-gia moderna foram estabelicidas no Congresso Internacional de Matemática de������� , em Roma, onde Riesz propõe um carater axiomático da Topologia, base-ado na teoria dos conjuntos, sem o conceito de distância subjacente. Em ������� ,Hausdorff define os conjuntos abertos através de axiomas, sem consideraçãoesmétricas. Existem outras vertentes onde a topologia encontrou novos impulsospara seu desenvolvimento, por exemplo, na Análise Funcional e nas EquaçõesDiferenciais Ordinárias, através de Banach e Poincaré, respectivamente.A Topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferença:não interessa a distância, os ângulos nem a configuração dos pontos. Na Topolo-gia, objetos que possam transformar-se em outros, através de funções contínuasreversíveis, são equivalentes e indistinguiveis. Por exemplo, círculos e elipses,esferas e paralelelpípedos.A Topologia é pré-requisito básico em quase todas as áreas da Matemática moder-na, da Geometria Diferencial à Álgebra e é fonte atual de efervescente pesquisa.
Mauricio A. VilchesRio de Janeiro
4
Conteúdo
1 Espaços Topológicos 71.1 Topologias e Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Topologia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Pontos e Conjuntos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.1 Conjuntos Abertos e Fechados em Espaços Métricos . . . . . 311.7 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.8 Espaços Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Funções em Espaços Topológicos 372.1 Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Topologia Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1 Topologia Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Funções Abertas e Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Homeomeorfismos 493.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Exemplos de Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.1 Grupos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Homeomorfismos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Topologia Quociente 654.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 Ações de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1 � -espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5
6 CONTEÚDO
4.4.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Compacidade 855.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Compacidade em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Axioma de Separação 936.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 Espaços de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3 Espaços de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4 Topologia Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.1 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4.2 Variedades Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Conexidade 1077.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.2 Aplicacões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3 Conexidade por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bibliografia 118
Capítulo 1
Espaços Topológicos
A seguir apressentaremos a definição de topologia que é essencialmente a gene-ralização de algumas das propredades intrínsicas dos intervalos abertos em � .
1.1 Topologias e Conjuntos Abertos
Seja�
um conjunto não vazio. Denotemos por ��� ��� a família de todos os sub-conjuntos de
�e por ��� ��� � o complementar de � em
�.
Definição 1. Uma topologia sobre�
é uma família ������ ��� tal que:
1.������� .
2. Dada uma família arbitrária ����� � ���� ��� , então:!�#"%$ �&�
� ('
3. Dados )+* � )&, � '-'-' � )/. � , então:.0132 * ) 1
� ('
Observações 1.
1. Os elementos de são ditos conjuntos abertos de�
.
2. O par 4 �5� 76 é chamado espaço topológico.
Exemplo 1. Todo conjunto�
não vazio possui as seguintes topologias:
7
8 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1. 1 .�� � ����� , chamada topologia indiscreta.
2. �� 1�� ��� ��� , chamada topologia discreta.
3. Se�
tem mais de 2 elementos 1 .�� � �� 1�� .Exemplo 2. Seja
� ��� � ���� . Verifiquemos se as seguintes famílias de subconjuntosde
�são uma topologia em
�.
1. * � � � �5� ��� .2. , � � � �5� ��� � � - .3. � � � � �5� ��� � � - � ��� �� .
Claramente, * e � são topologias para�
. 7, não é uma topologia em�
, pois:
��� �� � - �� 7,-'Exemplo 3. Seja
� ��� �- . A topologia � 1���� � � � ��� ��� é dita de Sierpinski.
Exemplo 4. Seja� �� e definamos a seguinte topologia:
� � � � � � �onde � � se, e somente se para todo �
� � existe um intervalo aberto ��� �� � tal que:
�� ��� �� � � � '
1. Claramente� � � � .
2. Seja ���&� � ���� ��� , então:
!�#"%$ �&�
� ('
De fato, seja �� !�#" $ �&� , então existe ��� ��� tal que �
� �&��� � ; logo, existe
��� ��%� e:
�� ��� �� � � �/� � � !
�#"%$ �&� '
1.1. TOPOLOGIAS E CONJUNTOS ABERTOS 9
3. Sejam ) * � )&, � ; então, dado �� )+*�� )&, temos que �
� )+* � e�� )&, � , logo existem ��� * �� * � e ��� , �� , � tais que �
� ��� * �� * � � ) * e�� ��� , �� , � � )&, . Se denotamos por � ���������� * � � , e
������ * � , ,temos:
�� ��� �� � � )+* � )&, '
Por indução: Se ) * � )/, � '-'-' � )/. � , então.0132 * ) 1
� .
4. Esta topologia é chamada euclidiana ou usual e será denotada por �� � .Exemplo 5. Seja
� �� , e definamos a seguinte topologia:
� � � � � � , �onde � � se, e somente se para todo � � ��� ��� � existe um retângulo aberto��� �� ��� � � ��� � tal que:
� � ��� � � ��� �� ��� � ����� � � � 'De forma análoga ao exemplo anterior, é uma topologia e é também chamadaeuclidiana ou usual e será denotada por �� � . Não é difícil ver que esta topologiapode ser estendida a � . .
Exemplo 6. Verifique que� �� , junto à família:
�� � � � � , ��� � ��� � � �onde:
� � � � � ��� � � � , � ��� � � � é um espaço topológico.
1.� � � , � �� , por definição.
2. Seja� � � �� tal que � �"! � � :
(a) Se!
é limitado inferiormente, seja # $��&% ! , então:!�%"('
� � �*) � �� '
10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
De fato, seja � � ��� � � !�%"('
� � , então, existe � � ! tal que � � ��� � � � � ,isto é �
� � � � � # ; logo, � � ��� � �"� ) e!�%"('
� � � �*) 'Seja � � ��� � �"� ) , então, �
�"� � # ; logo, existe � �"! tal que ��"� � � ,
caso contrário �� �
seria uma cota inferior de!
maior que # ; então:
� ) � !�%" '
� �#'
(b) Se!
não é limitado inferiormente, então:!�%" '
� �/ � , 'De fato, seja � � ��� � � � , , então, existe � � ! tal que �
� � � � ; casocontrário,
!seria limitado inferiormente por �
� �, logo � � ��� �7� � � .
3. Sejam� ��� ��� ��� � �� e considere � * $� � � � � * � � , ; então,
� ��� � � ��� e:� ��� � � ��� � ��� � �� '
Exercícios 1.
1. Quantas topologias podem ser definidas no conjunto� ��� ����� ?
2. Verifique que � junto à família:
�. � � � � � �/.7� � � �onde:
� .+ � � ��� � � � '-'-' � é uma topologia em � .
Exemplo 7. Seja�
um conjunto não vazio e:
��� � � �� � é finito ou é� '
é uma topologia para�
?
1.1. TOPOLOGIAS E CONJUNTOS ABERTOS 11
1. Claramente,�
e�
pertencem a .
2. Seja ���&� � ���� ��� , então:
!�#"%$ �&�
� ('
De fato: � !�#" $ �/��� � 0
�#" $ � ���
como � �� é finito, a interseção é finita ou é todo�
.
3. Sejam ) * � )&, � '-'-' � )/. � , então:� .01 2 * ) 1 � �
.!132 * ) �1
�
a união é finita ou todo�
, pois cada conjunto é finito ou todo�
.
4. Esta topologia é chamada de cofinita e denotada ����� .5. Se
�é finito, então ����� �� 1�� .
Observações 2.
1. Seja� � com a topologia ����� . O conjunto � � � � � não é aberto nesta
topologia, pois seu complementar é � � � �� �e não é finito nem igual a � .
Mas, � � � � � � � � � �� �é aberto. Nesta topologia os abertos são da forma:
� � �.!132 * ��� 1 � � 1
� � '
2. Seja� � com a topologia �� � . Se � � � é finito, então � não é aberto.
Analogamente em � . .
Exemplo 8. Seja 4 ��� 6 . Se para todo �� �
, ��� � , verifique que � 1�� .
12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1.2 Conjuntos Fechados
Os conjuntos fechados são os duais dos conjuntos abertos, num espaço topológi-co. Veremos que a topologia num espaço topológico, também pode ser caracteri-zada atraves dos conjuntos fechados.
Definição 2. Seja � � �. � é dito fechado em
�se � � � .
Exemplo 9.
1.�
e�
são fechados em�
.
2. Seja 4 �5� � 1���� 6 ; então os fechados de�
são�,�
e � - .3. Considere
� ��� � ��� com a do exercício [2], determine os conjuntosfechados de
�.
(a) Primeiramente�
e�
são fechados em�
. Os conjuntos ��� e � - nãosão fechados; de fato:
��� � � ���� �� � � - � ��� ��� �� � -'
(b) Por outro lado � � , ��� ��� e � ���� são fechados em�
:
� � � ��� � � � ��� �� � � � � � ��� � ��� � � -'
Teorema 1. Seja 4 ��� 6 espaço topológico e � a família de conjuntos fechados; então:
1.������� � .
2. Sejam � * � � , � '-'-' � � . conjuntos fechados em�
; então:
.!132 * � 1
é fechado em�
.
1.2. CONJUNTOS FECHADOS 13
3. Sejam � � � � , arbitrários tal que � ��� , então:0�#" $ � � � �7'
A prova é imediata. De fato:
4.!132 * � 1 6 �
.0132 * � �1 � '
Exemplo 10. Seja 4 � � � � 6 ; então todo conjunto finito é fechado.
De fato, dado �� � , então ��� é fechado em � pois ��� � � � � � � � � � � �� �
;logo se � ��� * � ��, � '-'-' � . temos que:
� .!1 2 * ��� 1
'Exercícios 2. Seja
�com a topologia cofinita. Os fechados de
�são
�,�
e os subcon-juntos finitos de
�.
Observações 3.
1. O exemplo anterior vale em � . .
2. A propriedade de ser aberto ou fechado é independe uma da outra. Umconjunto pode ser simultaneamante fechado e aberto, aberto e não fechado,fechado e não aberto ou nehum dos dois.
3. A união infinita de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado.Por exemplo, para todo subconjunto ) � �
, temos:
) !� "�� �
- '
4. Uma topologia num espaço topológico também pode ser caracterizada, pe-los seus conjuntos fechados.
Exemplo 11.
1. Se�
tem a topologia discreta, todo subconjunto de�
é aberto e fechado.
2. Seja� � � � � com a topologia euclidiana; então os conjuntos � � � � � e� � � �� �
são abertos. Como cada um deles é complementar do outro, tam-bém são fechados.
14 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
3. O conjunto� � � não é aberto nem fechado com a topologia usual e com a
topologia cofinita de � .
Definição 3. Sejam * e 7, topologias sobre�
. Se (* � 7, , então dizemos que atopologia 7, é mais fina que * .Exemplo 12.
Em � , a ����� é menos fina que a �� � . De fato, seja � � ����� ; então � � é finito; logo�&� é fechado em �� � e � é aberto em �� � .Observações 4.
1. As topologias sobre um conjunto não podem ser comparadas, necessaria-mente. Veja o exemplo:
2. Seja� ��� � com as topologias: (* � � � ��� � � e 7, � � � � - � � .
então * e , não podem ser comparadas.
3. Para toda topologia sobre�
temos:
1 .�� �� � �� 1�� '4. No exemplo 1, temos:
1 .�� � * � � � �� 1�� 'Exercícios 3.
1. Ache exemplo de um espaço topológico em que os conjuntos abertos são tambémconjuntos fechados. Não considere a topologia discreta ou a indiscreta.
2. Sejam * e 7, duas topologias sobre o conjunto não vazio�
. Considere:
(a) * �� , a família formada por abertos comuns a ambas as topologias.
(b) * � , a família formada pela reunião dos abertos a ambas as topologias.
As famílias definidas são topologias sobre�
? No caso negativo, ache um contra-exemplo.
1.3. BASES 15
1.3 Bases
Muitas vezes para introduzir uma topologia num conjunto não é necessário des-crever todos os conjuntos abertos da topologia mas apenas alguns conjuntos es-peciais da topologia, os ditos abertos básicos da topologia.
Seja 4 �5� 6 um espaço topológico e � uma família de subconjuntos de�
tal que� � .
Definição 4. � é uma base para se para todo � � , temos que:
�� !� "�� ) '
Observações 5.
1. Como � � , então toda união de elementos de � também pertence a .
2. Os elementos de � são ditos abertos básicos da topologia.
3. Se � é uma base de dizemos que � gera a topologia ou que é atopologia gerada por � .
4. Para todo � � existe ) � � tal que ) � � . De fato, seja �� � ; como� � e � é uma base de , então:
� !�#"%$ )&�
�
onde )&� � � . Logo, existe � ��� tal que:
�� )&� � � '
Teorema 2. Seja � � . A família � é uma base de se, e somente se
1.� !
� "�� ) .
2. Para todo )+* )/, � � , se �� )+* � )&, , então, existe ) � � tal que:
�� ) ��)+* ��)&,-'
16 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Prova : Se � é uma base de alguma topologia , então�
é aberto; logo se escrevecomo união de abertos básicos.Se )+* � )&, � � , então )+* , )&, são abertos e ) * �5)&, é aberto; logo se �
� )+* ��)&, ,existe um aberto ) � � tal que �
� ) ��) * ��)&, .Reciprocamente, se � satisfaz 1 e 2 e se exitir uma topologia que tem � comobase, todo aberto nesta topologia pode ser escrito como união arbitrária de ele-mentos de � . Definamos:
��� � � ��� é união arbitrária de elementos de � 'Devemos provar que é uma topologia sobre
�. Claramente
� � ; por outrolado
� � , pelo ítem 1.Sejam �&� � , arbitrários; cada ��� !
�)&��� � , onde )&��� � � � ; então:
�� ! �� !�)&��� � � !��� � )&��� � � '
Agora consideremos �+* e �&, � , então �+*� ! � )&� e �/, !�) � , então:
� * � �&, � !� )/� � �
� !�) � � !��� � 4 )&� � ) � 6 '
Se �� �+* �5�/, , existe pelo menos um par de índices � � ��� � tal que �
� ) �*�5) � ;por 2 existe ) � � tal que:
�� ) ��)&� ��) � � � * � �&,�
logo, �+* � �&, é aberto. O caso geral segue por indução.
Definição 5. Os conjuntos ) � � tal que �� ) são chamados vizinhanças do ponto
� .
Exemplo 13.
1. Uma topologia é base de si própria.
2. Para 1 . � , a base é � � � .3. Para �� 1�� , a base é � � ��� � � � �
.
4. Logo, bases diferentes podem gerar a mesma topologia.
1.3. BASES 17
Exemplo 14. Seja� �� e �
��&� � tal que ��� , então:
� � ��� �� � gera a topologia usual ou euclidiana de � .
De fato:
1. � !��� ���� ��%� .
2. Para todo �� � , � � � � � � � � � � � .
3. Para todo �� � tal que �
� ��� * �� * � � ��� , �� , � , temos:
�� ��� ��%� � ��� * �� * � � ��� , �� , � �
onde � # � � ��� * � � , e #�� � * � , .
Exercícios 1.
1. Seja� �� e �
��&� � tal que ��� . Verifique que:
� � � � �� � gera a topologia chamada do limite inferior em � .
2. Sejam 4 �5� * 6 e 4� � , 6 espaços topológicos. Verifique que:
� ��� � � ��� � * � � � , é uma base para uma topologia de
� � � . Esta topologia é chamada pro-duto.
3. Em particular, sejam �� ��� ��� � � e � � ��� �� � � � � ��� � � �� ��� � �
.Verifique que � é uma base para a topologia usual em � , .
4. Seja� � � ��� � � � � ��� . Verifique que não existe nenhuma topologia em
�
que tenha como base:
� � � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� '5. Seja
� ��� � ��� ��� �� ��� com a seguinte topologia:
� � � ��� ��� � � ����� � ��� �� � � � � ��� ��� �� ��� 'Verifique que:
� � ��� � � � ��� � � ������ �� ��� é uma base para .
6. Verifique que � � � � ���� ��� � � � é uma base para a topologia discretaem � .
18 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1.3.1 Subbases
Seja 4 �5� 6 um espaço topológico e � uma família de subconjuntos de�
tal que� � .
Definição 6. � é uma subbase de se a coleção de interseções finitas de elementos de� é uma base de .
Proposição 1. Sejam�
um cojunto não vazio e � uma família de elementos de�
taisque para todo �
� �existe � � � tal que �
� � . Seja � a coleção de interseçõesfinitas de elementos de � . Então, a família formada por
�,�
e as uniões arbitrárias deelementos de � é uma topologia para
�e é a menor topologia que contém � .
Prova :Claramente
� � � � e toda união de elementos de pertence a . Mostraremosque qualquer interseção finita de elementos de está em , ou melhor, provare-mos que se � � ) � , então � ��) � :
1. Se � ou ) é vazio, está provada a proposição.
2. Suponha que � e ) são não vazios. Então:
�� ! � �/�� ) ! � ) �
�
onde �/� � ) � � � . Logo:
� � ) � !� �&� � �
� !� ) � � !��� � 4 �&� ��) � 6 '
Por outro lado �&� e ) � são interseções finitas de elementos de � , logo ��� �) � é uma interseção finita de elementos de � e, � � ) � .
3. Claramente � � .
4. Se �� é outra topologia em�
que também contém � , então � � �� ; logo, ��deve conter as uniões arbitrárias de elementos � , isto é � �� . Então é amenor topologia sobre
�que contém � . Isto é, � é uma subbase de
�.
Observação 1.
Em geral � não é uma base de , pois os elementos de não podem ser escritos,necessariamente, como uniões de elementos de � .
Exemplo 15.
1.3. BASES 19
1. Toda topologia é subbase de si mesma.
2. � � � � � � � � � � �� � � � � &� � é uma subbase para a topologia usual de� .
3. � � � � � � � � � � �� � � � � � � é uma subbase para a topologia discretade � .
4. Sejam 4 �5� * 6 e 4 � � , 6 espaços topológicos; então:
� ��� � � � � � � ��� � * � � � 7, é uma subbase para a topologia produto em
� � � .
Topologia de Zariski
A topologia de Zariski é fundamental para o estudo de diferentes áreas da Álge-bra, como por exemplo, Álgebra Comutativa e Geometria Algébrica.
Seja �� � ou � . Consideremos a família dos polinômios de -variáveis em � .Isto é: � � 1 � � 1 � � � � * � ��, �-� ' '-' � � . � � � � �
. Seja:� � � 1 � ��� � � . � � 1 � � � � � � � � '
Exemplo 16.
Se� � � ��� � � , � � , � � , então
� � � � �� * .Observações 6.
1.� � ��� �� � e
� � � � �� . Por outro lado:
2. Sejam� � � 1 � e
� ��� � . Denotemos � 1 / � 1 �� � � � � * � ��, �-� '-' ' � � . � tal que � � �
e�� ���
. Afirmamos que� � � 1 � ��� ���� � � � � 1 �� � . De fato, se � 1 � � � � para
todo � � �e ����
, então:
�+�� 1 � � � 4 � 1 �� 6 � � � � 1 � � � �� � � �para todo � � �
e ���
; logo� 1 � � � � para todo � � �
ou ��#� � � � paratodo
����.
Denotemos por ��� � 1 � 4 � � � 1 � 6 � e � ����� � 1 � � � � � . A família � forma uma
base para uma topologia em � . .
Definição 7. A topologia que gera � em � . é chamada de Zariski.
20 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Observações 7.
1. Os� � � 1 � são os fechados na topologia de Zariski.
2. Em � , a topologia de Zariski é a topologia cofinita. De fato, todo subcon-junto finito em � é conjunto solução para algum polinômio de uma variávelreal.
Por exemplo, se � ���#* � �-, � '-'-' � � . , então:� � � � � � � � * � � � � � , � ' '-' � � � � . �
é um polinômio que tem conjunto solução � . Por outro lado o conjunto desoluções de um polinômio de uma variável de grau possui no máximo elementos.
3. Se "� � a topologia de Zariski não é a cofinita.
Por exemplo, a reta� � é solução do polinômio
� � � ��� � �� � que não é
um conjunto finito.
Topologia de Zariski em Anéis
Seja � um anel e denotemos por ��� �� ��� � o conjunto de todos os ideais primos de� . Consideremos a seguinte família de subconjuntos:
� � � � ��� �� � ��� �� ��� � � � �� �onde
�é um ideal de � .
1.� � � � ���� �� ��� � e
� ��� � � . Por outro lado:� � � � � � � � � � � � � �0�#" $
� � � � � � 4 �#" $� � 6
2. Definimos sobre ��� �� ��� � a topologia de Zariski, como a topologia que temcomo conjuntos fechados os
� � � � .3. Se denotamos por ��� � � ��� �� ��� ��� � � � � os abertos da topologia de Zariski,
é possível provar que se�
é um ideal principal, a base para a topologia deZariski é:
� ����� � � � � é um ideal principal '
1.4. TOPOLOGIA RELATIVA 21
1.4 Topologia Relativa
Uma questão natural que surge das últimas definições é: fixada uma topologianum conjunto, um subconjunto não vazio herda de alguma forma esta estrutura?
Seja 4 ��� 6 um espaço topológico e� � � � �
, então:
��5 ��� � � �� � �é uma topologia sobre � chamada topologia relativa a � .
Definição 8. O par 4� � �� 6 é dito subespaço topológico de 4 �5� 6 . Os elementos de �� são ditos abertos relativos.
Exemplo 17.
1. Em geral, os abertos relativos não são abertos no espaço total. Por exemplo,seja � com a topologia usual e
� � � com a topologia relativa, então � ��� � � � � � � � � é aberto em�
pois � � � � � � � �e � não é aberto em� .
2. Seja � com a topologia usual. � e� � � são subespacos topológicos tais
que a topologia relativa é a topologia discreta. De fato, se ��� então:
� � � 4 � �� � � �� 6 '3. Seja �� � � � �� � � � com a topologia gerada por:
� �� � ��� ��� � e � � �� � � ��� '
A topologia gerada por estes conjuntos é dita topologia estendida. Seja� � � � com a topologia relativa; então �� é a topologia euclidiana.
Proposição 2. Seja 4 � � �� 6 subespaço topológico de 4 ��� 6 .1. Seja �� � )���� �5�� uma base de ; então ��5 � )�� � � ��� ��� é uma base
para � � .
2. � � � é fechado se, e somente se � � � � , onde � � �é fechado.
3. Se � é fechado (aberto) em � e � é fechado (aberto) em�
, então � é fechado (aberto)em
�.
Prova :
22 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1. Imediata.
2. Se � � � é fechado, então � � ���, onde
�é aberto em � ; logo
� � � � , onde � é aberto em
�; por outro lado:
� � � 4 � � � 6 � � � � 'Reciprocamente, se �� � � � , onde � � �
é fechado, então:
� � � � � � � �logo, � é fechado em � .
3. Como � � � � e ambos são fechados em�
, então � é fechado em�
Exemplo 18.
1. Seja � com a topologia usual. O conjunto
� * � � � ��� � � � , � � , � � , � � � ,com a topologia relativa é dito círculo unitário. Os abertos relativos em � *são os arcos abertos de círculos.
Figura 1.1: Abertos relativos de � *
2. Em geral, seja � .�� * com a topologia usual. O conjunto:
� . � � � * � '-'-' � � . � � .�� * � � � .�� * �. 132 * �
,1 �
com a topologia induzida, é chamado esfera unitária.
1.5. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 23
1.5 Pontos e Conjuntos Notáveis
Nesta seção estudaremos alternativas para determinar se um conjunto é aberto,e/ou fechado.
Definições 1. Seja 4 �5� 76 um espaço topológico e � � �
1. �� �
é um ponto interior a � se existe � vizinhança de � tal que:
�� � � � '
O conjunto de todos os pontos interiores a � é denotado por:�� .
2. �� �
é um ponto exterior a � se é interior a � � .O conjunto de todos os pontos exteriores a � é denotado por:
��� � '
3. �� �
é um ponto aderente a � se para toda vizinhança � de � temos:
� � � � � 'O conjunto de todos os pontos aderentes a � é denotado por: � . O conjunto � édito fecho de A.
4. �� �
é um ponto de acumulação de � se para toda vizinhança � de � temos:
4 � � ��� 6 � � � � 'O conjunto de todos os pontos de acumulação a � é denotado por: � � .
5. �� �
é um ponto da fronteira de � se é aderente a � e a � � .O conjunto de todos os pontos da fronteira de � é denotado por: � � .
6. �� �
é um ponto isolado de � se ��� é vizinhança de �
7. Um conjunto onde todos os pontos são isolados é dito discreto.
8. � � �é dito denso em
�se:
� � 'Observações 8. Seja 4 �5� 6 e � � �
:
1. Se � � �, então
� �� � �&� ����� � , onde as uniões são disjuntas.
24 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.� � e
� �.
3.�� � � e, por definição, é um conjunto aberto.
4. ���� � se, e somente se existe uma vizinhança � de � tal que � � � � , istoé:
���� � � �� �4 � � 6 '
Logo, 4 � 6 � �4 � � 6 � � � � e como
� �� � � � � ��� � , onde as uniões são
disjuntas, temos:
�� �� � � � �sendo a união disjunta.
5. O conjunto � é fechado. De fato, 4 � 6 � �4 �&� 6 que é aberto.
6. Para todo � � �, temos � � � . De fato, se ���� � , então existe � vizinhança
de � tal que � � � � , isto é �� � � � � ; logo � �� � .
7. Para todo � � ) � �, temos: se � � ) , então � � ) . De fato, se � �� ) ,
então existe � vizinhança de � tal que � �5) � , isto é �� � � ) � ; como) �7� �&� , então ���� � � � .
8. � � é um conjunto fechado, pois 4 � ��6 � �� � ��&� que é aberto.
9. � 4 �&� 6 � .Exemplo 19. Sejam � com a topologia usual e � � � � � � � � � ; então:
1.��� � � � � � .
2.��� � � � � � � � � � ���#� � � � � �� �
.
3. �� � � � � � � � � .4. � � � � � � � .5. � � � � �� � � .
Exemplo 20. Sejam � � � e� � � e � com a topologia usual.
1. � e�
são discretos.
1.5. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 25
2.�� � e
� � � � .
3.�
� �, pois nenhum intervalo aberto pode ser formado apenas por racio-
nais.
4. � � �� , pois todo intervalo aberto contem racionais e irracionais.
5.� � , isto é,
�é denso em � .
De fato, suponha que� � � , então existe �
� � � �. Como � � �
é aberto,existe ��� �� � tal que:
�� ��� �� � � � � � '
Mas, todo intervalo contém números racionais, logo existe � � �tal que
� � ��� �� � � � � �, logo � � � � �
o que é uma contradição.
6.� � � .
Proposição 3. Sejam 4 �5� 6 e � � �:
1. � é fechado se, e somente se � �� .
2. � � .
Prova :
1. Suponha � fechado; então ��� é aberto. Se � �� � , então �� �&� , logo existe
� vizinhança de � tal que �� � � � � ; então � ��� �
isto é � �� � ; logo� � � .
� � � se � �� � , então existe uma vizinhança � de � tal que � �5� �� �
� � � � � isto é � � é aberto � � é fechado.
2. Como � é fechado, pelo
3. anterior � � .
Teorema 3. Seja 4 ��� 76 e � � �; então � é o menor conjunto fechado que contem � ,
isto é:
� 0 �� �� � � e � é fechado � '
26 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Prova :( � ) Se � ���� �
� � , então �� 4 � �
� � 6 � �� �� � � que é aberto; logo, existe pelo
menos um � � tal que �� � � ; como � � é aberto, existe � vizinhança de � tal que
�� � � � � � � � , então � � � � ; logo ���� � .
( � ) � é fechado e � � � ; então� �
� � � .
Exemplo 21.
1. Seja 4 �5� � 1���� 6 ; então � - � - e ��� �.
2. Seja 4 �5� 76 onde é a topologia discreta. Como todos os subconjuntos de�são fechados, o único conjunto denso em
�é�
.
3. Seja� ��� � ��� ��� �� # com a seguinte topologia:
� � � ��� ��� � � ����� � ��� ��� ��� � � �� � � �� # '(a) Pelo teorema temos que:
� - � �� # � ��� ��� �e � �� � � ��� ��� �� # '
(b) Logo, o menor fechado que contém � - é � �� # .(c) Note que ��� �� é denso em
�.
Teorema 4. Sejam 4 �5� 76 e � � �; então
�� é o maior conjunto aberto contido em � ,isto é:
�� ! ������ � � e � é aberto � '
Prova :( � )
�� é aberto e�� � � ; então
�� ��� �� � .
( � ) Seja �� � �
� � , então existe pelo menos um � tal que �� � � � , isto é
�� �� .
Proposição 4. Sejam 4 �5� 76 e � � �.
1. ���� � � � . Em particular, � é fechado se, e somente se � � � � .
2.��� 4 � � 6 � . Em particular, � é aberto se, e somente se � �� .
Prova :
1.5. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 27
1. Por definição � � � � ; por outro lado � � � , então � � � � � � . Reciproca-mente, seja �
� � . Se �� � está provado. Se ���� � , então toda vizinhança
� de � é tal que 4 � � ��� 6 � � � � , isto é, �� � � .
2. Se � � � , então � � � � � e os conjuntos abertos � � � são exatamente oscomplementares dos conjuntos � fechados tais que � �&� � . Pelo exercícioanterior:
�� ! �� ��� � � e � é aberto �
! �� � �� � � � e � é fechado �
� 0 �
� �� � � � � e � é fechado � � � 4 � � 6 � '
Exemplo 22.
1. Seja 4 �5� � 1���� 6 ; então:
(a)�� - � , ���� ��� .
(b) � - � � e ��� � � .(c) � � - �+���
.
2. Seja 4 �5� 1 .�� 6 ; então:
(a) Para todo � � �tal que � � �
, temos que�� � .
(b) Para todo � � �não vazio, � �
.
(c) Para todo � � �tal que � tem mais de um elemento, � � �
e ��� � ��� ��� .(d) Para todo ��� �
; �&�� �.
3. Seja 4 �5� �� 1�� 6 ; então:
(a) Para todo � � �temos que
�� �� .
(b) Para todo � � �temos que � � .
(c) Para todo � � �temos que � � � .
(d) Para todo � � �temos que �/� �
28 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
4. Seja 4 �5� ����� 6 ; então:
(a) Para todo � �� ����� temos que�� � .
(b) Para todo � � �tal que � é infinito, � �
.(c) Para todo � � �
tal que � é infinito, � � �e se � é finito, � � � .
(d) Para todo � � �aberto tal que
�é infinito, � � � � � ; caso contrário
�/� �.
Exemplo 23.
Considere 4 � � ����� 6 e � � � � � � . Então�� � e � � � �&���� .
Exercícios 2. Seja 4 ��� 6 e � � �.
1. � � � � , se e somente se � é fechado.
2. � � � , se e somente se � é aberto e fechado.
3. � � � � � , se e somente se � é aberto.
Exemplo 24.
1. Seja 4 �5� 1 .�� 6 ; para todo � � �tal que � � �
, temos que �&�� �.
2. Seja 4 �5� �� 1�� 6 ; para todo � � �temos que �/� � .
Proposição 5. São equivalentes as seguintes condições:
1. � é denso em�
.
2. Se � é fechado e � � � , então � �.
3. Todo aberto básico não vazio de�
contém elementos de � .
4.��/� � .
Prova :
� ��� � �Se � � � , então
� � � � � , logo � �.
� ��� � � Seja � aberto básico não vazio tal que � ��� � ; então � � � � � �, o
que é uma contradição pois � � é fechado.
� ��� � � Suponha que� � � � � �
; como� � � � é aberto, então existe � aberto
básico não vazio tal que � � � � � � ; como� � � � � � � , � � � � e � � � � ; logo
� não contém pontos de � .
� ��� � � 4 � 6 � �4 � � 6 � � � �� � � . Logo, �� �
.
1.5. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 29
Exercícios 4. Seja � � �e defina a seguinte topologia em
�:
� � � � � ��� ��� ��� � � 'Verifique que é uma topologia e que � � é denso em
�.
Observação 2.
Seja � subespaço de�
e denotemos por � � o conjunto � como subconjunto de� ; então:
1.����� �� � � .
2. ���� � � � .
3. � � �� � � � � .
Exemplo 25. Seja � com a topologia usual e � � � � � ��� � � � � ��� � � com a topologiarelativa.
Então:
1. � � � � � � � � � � � � ; por outro lado, � � � � � � � � � � � � ; logo � � � � � é aberto efechado em � . Logo,
��� � � � � � � � � � � � � � � � � '
2. � � � � � � � � � � � � ; logo � � � � � é fechado em � . Logo,
�� � � � � � � � � � � � .
30 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1.6 Espaços Métricos
Uma importante classe de exemplos de espaços topológicos é a dos espaços mé-tricos.
Seja! � � .
Definição 9. Uma métrica ou distância sobre!
é uma função:��� ! �"! ��� � �
tal que, para todo ���� �����"!
, tem-se:
1.� � � ��� � � � e
� � � ��� � � se, e somente se � � .2.� � � ��� � � � � � � � .
3.� � � ��� ���$� � � ��� � � � � � ��� � .
Observação 3. O par � !���� � é chamado espaço métrico.
Exemplo 26.
1.!
é um espaço métrico com a métrica:
� � � ��� � � se �
� �� se �� � '
�é dita métrica discreta.
2. � é uma espaço métrico com� � � ��� � � � � � , onde é o valor absoluto
em � .
Exemplo 27.! � . é uma espaço métrico com:
� *%� � ��� � � �. 132 * � � 1
� � 1 � , �
� ,�� � ��� � . 132 * � 1
� � 1 �� �� � ��� � �����*�� 1 � . � 1 � � 1 �
onde � � � * � ��, � '-' ' � � . � e� � � * � � , � '-'-' ��� . � � � . .
1.6. ESPAÇOS MÉTRICOS 31
Exemplo 28. Seja )�� ! � � � o conjunto de todas as funções limitadas� � ! � � � .
Como a soma e a diferença de funções limitadas é limitada, então:� � � � � � ������ " ' � � � � � � � � � �
é uma métrica em ) � ! � � � . (Verifique!)
Exercícios 5.
1. Verifique que no exemplo [27], temos:� � � * � � , � � '
2. Seja � � 4 � � �� � 6 o conjunto das funções contínuas� � � � �� � � � � . Defina:
� *%� ��� � � � �
� � � � � � � � � � � �� ,�� ��� � �
� �
� � � � � � � � � � , � �Verifique que
� * e� , são métricas em � � 4 � � �� � 6 .
1.6.1 Conjuntos Abertos e Fechados em Espaços Métricos
Seja � ! ��� � um espaço métrico e � � � tal que � � � .
Definição 10. Uma bola aberta em!
de centro � � e raio � é denotada e definida por:
)�� �� � � � ��� � ! � � � � � �� � � � 'Exemplo 29. Seja
! �� , com� ; então:
) � �� � � � � �� � � � �� � � � �isto é, as bolas abertas são os intervalos abertos.
Exercícios 6.
1. Determine a topologia definida pela métrica discreta.
2. Determine, geometricamente, as bolas abertas em � . com as métricas definidasanteriormente.
Proposição 6. As bolas abertas num espaço métrico formam uma base para uma topolo-gia no espaço métrico.
Prova : De fato.
32 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
1. Claramente:! !
� "(' )�� �� � � .
2. Seja �� ) � ��� � � � ; então
� � ��� � � � � � ; logo �� � � � � � � �� � � � . Consideremos)�� � � � � ; então
) � � � � � � )�� �� � � � 'De fato, seja
� � )�� � � � � ; como� � � ��� � ��� ; temos:
� � � � �� � �$� � � � � � � � � � � �� � ��� � � � � � �� � � 'Observação 4. A topologia gerada por esta base é chamada topologia métrica geradapela distância
�, e será denotada por � .
Exercícios 7. Seja � ! ��� � um espaço métrico:
1. Seja � � � e:
) � �� � � � ��� � ! � � � � � �� ��� � 'Verifique que ) � �� � � � é um conjunto fechado.
2. Seja � � ! finito. Verifique que � é fechado.
3. Sejam 4 !���� * 6 e 4 � ��� , 6 espaços métricos. Definamos em! ���
:� � � � * ��� * � � � ��, ��� , � � � *%� � * � ��, � � � ,�� � * ��� , � �
onde � � * ��� * � � � ��, ��� , � �"! ���. Verifique que:
(a)�
é uma métrica em! ���
. Esta métrica é dita métrica produto.
(b) Se ) * � � � � � é uma bola aberta em!
e ) , � � � � � é uma bola aberta em�
, então:
� � ) * � � � � � � ) , � � � � � �é uma base para uma topologia em
! ���.
O espaço topológico 4 ��� 6 é dito metrizável se é uma topologia métrica.
Exemplo 30. Seja 4 ! ��� 6 , onde�
é a métrica discreta; então )�� � � ��� � � ��� ; logo �é a topologia discreta.
Observação 5. Nem todo espaço topológico é metrizável.
Exemplo 31. Se�
possui mais de 2 pontos, 4 �5� 1 .�� 6 não é metrizável.
1.7. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS 33
1.7 Espaços Vetoriais Normados
Seja�
um � -espaço vetorial.
Definição 11. Uma norma sobre�
é uma função:� � � � � � � � � �
tal que, para todo ���� � �
e � � � , tem-se:
1. Se �� � , então
��� � � .
2.� � � � �� � � � .
3.��� � � � �
�� � � � �
.
Observação 6.
O par � � � ��� � é chamado espaço vetorial normado.
Exemplo 32.
1.� � . é uma espaço vetorial normado com:
��� *� � �
. 132 * �
,1 �
��� ,
. 132 * � 1
���� �����*�� 1 � . � 1 �
onde �� � � * � ��, � ' '-' � � . � � � . .
2. ) � ! � � � é um espaço vetorial, sendo:� � � � � �� "(' � � � � �
uma norma em ) � ! � � � .Observações 9.
1. Seja � ��� ��� � um espaço vetorial normado. Definindo:��� � � ��� � �
�� � � �
temos que � � ����� � é um espaço métrico.
34 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.� �
é chamada métrica proveniente da norma� �
.
Exercícios 8.
1. Sejam � 4�� . 6 . " � uma seqüência em � e:
(a)��� ����� �
. 2 * � . � � ��
, � � � � ��.
(b)� � ����� ����� ��� .7� � � � ��
.
Definamos em� �
e em� �
, respectivamente:
��� � � �
. 2 * � . ��� * �
��� � � ���. " � �� � . '
Verifique que 4 � � � � � � 6 e 4 � � � � � � 6 são espaços vetoriais normados.
2. Sejam 4 � � ��� * 6 e 4 � � � � , 6 espaços vetoriais normados. Definamos em� � �
:� ��� �� � � � � � * � � � , �
onde ��� �� � � � � � . Verifique que���
é uma norma em� � � . Esta norma é dita
norma produto.
1.8 Espaços Vetoriais com Produto Interno
Seja�
um � -espaço vetorial.
Definição 12. Um produto interno sobre�
é uma função:
� � ��� � � ��� � �tal que, para todo �
��� ����� �e � � � , tem-se:
1. Se �� � , então � �
�� � � � .
2. � � � ��� �/ � � ���� � .
3. � ���� �/ � � � � � .
4. � �� � ��� �/ � �
��� � � � � ��� � .
1.8. ESPAÇOS VETORIAIS COM PRODUTO INTERNO 35
Observações 10.
1. Seja � ��� � � � um espaço vetorial com produto interno. Definindo:��� � �� � �
���� �
temos que � � � � � � � �é um espaço vetorial normado.
2.� � �
é chamada norma proveniente do produto interno � � .
3. Nem toda norma num espaço vetorial provém de um produto interno.
Exercícios 9.
1. Sejam � 4 � .#6 . " � uma seqüência em � e considere� �
e� �
como o exercício [8]:
2. Verifique que 4 � � � � � � 6 e 4 � � � � � � 6 são espaços vetoriais com produto interno.
3. Sejam� * e
� , espaços vetoriais com produtos internos � � � * e � � � , , respecti-vamente. Definamos em
� * � � , :� ��� * �� * � � ����, �� , � �/ � � * � ��, � * � � * �� , �(, �
onde ��� * �� * � � ��� , �� , � � � * � � , . Verifique que � � � é um produto interno em� * � � , .
36 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Capítulo 2
Funções em Espaços Topológicos
2.1 Funções Contínuas
A continuidade de uma função é um dos conceitos centrais em quasi todas asáreas da Matemática. E é o primeiro paso para tentar distinguir objetos diferentesem topologia.
Sejam 4 �5� * 6 e 4 � � , 6 espaços topológicos.
Definição 13. A função� ��� ��� � é contínua se para todo
� � , temos que:
��� * 4 � 6 � * 'Observações 11.
1.�
é contínua se a imagem inversa dos abertos de � são abertos em�
.
2. Uma função contínua não leva, necessariamente, abertos em abertos. Porexemplo se 4 � � 7, 6 é tal que , não é a topologia discreta, ou se � tem maisde dois elementos e 7, não é a topologia indiscreta.
Exemplo 33.
1. Toda função constante é contínua.
2. Seja�
tal que * e , são topologias em�
. A função identidade:
� ��� 4 �5� * 6 ��� 4 �5� 7, 6é contínua se, e somente se 7,/� * .
37
38 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
3. Sejam 4 �5� 6 e 4 � � 1 .�� 6 . Toda função� ��� ��� �
é contínua.
4. Sejam 4 �5� �� 1�� 6 e 4 � � 6 . Toda função� ��� ��� �
é contínua.
5. Sejam 4 ��� � � * 6 e 4 ��� ��� , 6 espaços vetoriais normados de dimensão finita.Se
� � � ��� �é linear, então é contínua.
Observação 7. Seja � � �. A topologia relativa � pode ser caracterizada como a
menor topologia sobre � tal que a função inclusão:
� � � ��� �
é contínua.
De fato, se � � , a continuidade de � implica que � � * 4 � 6 � � � deve ser abertoem � ; logo qualquer topologia onde � for contínua deve conter �� .
Proposição 7. Sejam 4 �5� * 6 , 4 � � 7, 6 e 4 �/� � 6 espaços topológicos.
1. Se� ��� ��� � e � � � � � �
são contínuas, então:
� � � ��� ��� �
é contínua.
2. Se� ��� ��� � é contínua e � � �
é subespaço topológico, então:� �
� � ��� �
é contínua.
3. Se� ��� ��� � é contínua e
� 4 � 6+� � é subespaço topológico, então:� ��� ��� � 4 � 6
é contínua.
Prova :
2.1. FUNÇÕES CONTÍNUAS 39
1. Segue do seguinte fato: 4 � � � 6 � * �� * � � � *
2. Note que� � � � � , onde � � � � � �
é a inclusão; pelo ítem anterior� � é
contínua.
3.�� * 4 � � � 4 � 6�6 �
� * 4 � 6 � � � * 4 � 4 � 6�6 �� * 4 � 6 .
Teorema 5. Sejam 4 ��� * 6 e 4 � � , 6 espaços topológicos e� � � ��� � . As seguintes
condições são equivalentes:
1.�
é contínua.
2. Para todo � � � fechado,� � * 4 � 6 é fechado em
�.
3. A imagem inversa por�
de qualquer elemento da base (subbase) de � é aberto em�(não necessariamente um aberto básico ou subbásico de
�).
4. Para todo �� �
e para toda�
vizinhança de� � � � em � , existe � vizinhança de
� em�
tal que:� 4 �&6 � � '
5.� 4 � 6 � � 4 � 6 , para todo � � �
.
6.�� * 4 ) 6 � �
� * 4 ) 6 , para todo ) � � .
Prova :
� � �� �
De fato,� � * 4 � � �+6� ��� � � * 4 � 6 , para todo � � � .
� � � � � Seja � uma base da topologia de � e ) � � ; como�
é contínua,�� * 4 ) 6
é aberto em�
. A prova da recíproca segue de que todo aberto� � , pode ser
escrito como:� !
�#"%$ )/��
e que:
� � * 4 !�#"%$ )/� 6�!�#"%$
� � * 4 )&� 6 '� � � � � Como
�contínua e
�é aberto (vizinhança de
� � � � ), consideramos � �� * 4 � 6 que é vizinhança de � e:
� 4 � 6 � � '
40 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
� � � � �Seja � � �
e �� � ; provaremos que
� � � � � � 4 � 6 . Denotemos por � �a vizinhança de � tal que
� 4 � � 6 � �, onde
�é vizinhança de
� � � � . Se �� � ,
então � � � � � � ; logo:� � � 4 � � � ��6 � � 4 � � 6 � � 4 �&6 � � � � 4 ��6 �
então� � � � � � 4 �&6 .
� ��� � � Seja � �� * 4 ) 6 ; então
� 4 � 6 � � 4 � 6 � 4 � � * 4 ) 6 6 ) � � 4 � 6Corolário 1. Seja 4 ��� 6 tal que
� � � ) , onde � e ) são conjuntos fechados(abertos) em
�. Se
� � � ��� � e � � ) ��� � são funções contínuas tais que� � � �
� � � � para todo �� � ��) , então a função � ��� ��� � definida por:
� � � � � � � � se �
� �� � � � se �
� )é contínua.
Prova :Seja � � � fechado, então:
� � * 4 � 6 �� � * 4 � � � 4 � � ) 6 4 � � * 4 �+6�� �&6 � 4 � � * 4 �+6 � ) 6 � � * 4 � 6 � � � * 4 � 6 '
Como� � * 4 � 6 e � � * 4 � 6 são abertos, então � contínua.
Observações 12.
1. Pelo teorema, basta utilizar os abertos básicos da topologia para estudar acontinuidade de uma função.
2.�
é dita contínua no ponto ���� �
se o item [4] do teorema anterior valepara �� .
3. Sejam 4 ! ��� * 6 e 4 ! ��� , 6 espaços métricos; então:� � ! � � �
é contínua em �� !
, se para todo � � � , existe� � � tal que
� *%� � ��� � � �;
implica em� ,�� � � � � ��� � � � � � � . Isto é:
� 4 ) * � � � � � 6 ��) , � � � � � � � � '
2.1. FUNÇÕES CONTÍNUAS 41
Exemplo 34. Seja � com topologia usual. Verifique que� � � � � , é contínua.
Pela propiedade anterior, basta provar que� � * 4 ��� �� � 6 é aberto.
Temos três casos:
1. Se � � ��� , então:
� � * 4 ��� ��%� 6 � � � � � � � � � � � � � � � '2. Se ��� � �
, então:��� * 4 ��� �� � 6& � � � �� � � '
3. Se ��� � � , então:� � * 4 ��� �� � 6� � '
4. Nos três casos, os conjuntos�� * 4 ��� �� � 6 são abertos; logo
�é contínua.
Proposição 8. Seja 4 ��� 6 . Então� � � ��� � é contínua se, e somente se para todo&� � ambos os conjuntos:
����� � � � � � - e ��� � � � � � � -
são abertos.
Prova : Seja 4 � � �� � 6 . Consideramos � ���� � e � � ��%�elementos da subbase da
topologia euclidiana; logo:� � * 4 � � �� � 6 ����� � � � � � � � * 4 � � �� � 6 ����� � � � � � - '
Exemplo 35.
A condição que ambos os conjuntos sejam abertos não pode ser ignorada. Porexemplo, a função característica de � , � �
� � ��� � não é contínua. De fato,considere � � � � � � ; então ��� ��� � � � � � � não é aberto e todos ��� ��� � � � � � são abertos, Logo, na proposição ambos os conjuntos devem ser abertos.
Exercícios 10. Sejam� � � ��� � � � � ��� e � ��� �� com as seguintes topologias:
1. *� � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � e , � � � � � ��� , respectivamente. Ache to-das as funções contínuas entre
�e � .
2. * � � � �5� � � � � � � � � � � � � � � e 7, � � � � � � - , respectivamente. Ache todasas funções contínuas entre � e
�.
42 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.2 Topologia Inicial
Sejam 4 � � , 6 , � um conjunto não vazio e� � � � � � uma função. É possível
achar uma topologia para�
tal que�
seja contínua? Por exemplo se 4 �5� �� 1�� 6 ,então
�é contínua.
Seja�
um conjunto não vazio e:
� � � � � * 4 � 6 � � � 7, '� � é uma subbase para uma topologia /� � � sobre
�que torna
�contínua.
Definição 14. &� � � é dita topologia inicial para�
.
2.2.1 Topologia Produto
Sejam 4 �5� * 6 , 4 � � 7, 6 e� � � . Denotemos por:
� � * ��� � � � � �
� �-, ��� � � � � �
as respectivas projeções canônicas, onde � � * � � ��� � � e � �-, � � ��� � � .
� � � ** 4 � 6 � � � �� � � *, 4 � 6 � � ���� � � ** 4 � 6 � � � � *, 4 � 6 � � � '
Note que:
� � � � � � � ** 4 � 6 � � � � *, 4 � 6 ��� � * � � � 7, e� � � ��� � � ��� � * � � � ,
são a subbase e a base que geram uma topologia sobre� � � , que torna as proje-
ções contínuas. Esta topologia é dita topologia produto.
Esta é a menor topologia com esta propriedade. Isto é,� � � � � é aberto se para
todo �� �
existe � � � , � aberto em�
e�
aberto em � tal que �� � � � � �
.
2.2. TOPOLOGIA INICIAL 43
U
X x V
U x Y
U x VV
Figura 2.1: Elementos de � e � .
Observação 8.
Todos os argumentos nesta seção são válidos para uma quantidade finita de es-paçõs topológicos.
Exemplo 36.
1. � . �� � � � '-'-' � � tem a topologia produto induzida pela topologia de � .Se consideramos em � a topologia usual, então a topologia em � . tambémé a topologia euclidiana ou usual.
2. � . � � .�� * é um conjunto fechado. De fato, seja � . com topologia usual econsideremos a função
� � � .�� * � � � definida por:� � � * � ��, � '-'-' � � . � � .�� * � � , * � � ,, � '-'-' � � ,. � � ,.�� * � �#'
�é contínua e � . �
� * 4 � � 6 ; logo, é fechado.
3. O cilindro � * � � tem a topologia produto induzida pela topologia de � .
4. Seja � * com a topologia induzida de � , , então � , � * � � * com a topologiaproduto, é dito toro.
1
S1S T
Figura 2.2: O toro � ,
44 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Proposição 9. Sejam 4 �5� * 6 , 4 � � 7, 6 , 4 �/� � 6 , 4 � � �/� � 6 espaços topológicos,� * �� ��� � e
� , ��� ��� �e definamos:
� ��� ��� � � �
por� � � � � � *%� � � ��� , � � � � . Então,
�é contínua se, e somente se
� * e� , são contínuas.
Prova : Sejam � �#* � � � � ��� � e � � , � � � ����� �as respectivas projeções.
Como� 1 � � 1 � � , se
�é contínua, então
� 1 � � 1 � � são contínuas ( � � ��� ).
Reciprocamente, se as� 1 são contínuas, seja � � �
um aberto básico de � � �;
então:� � * 4 � � � 6� � � ** 4 �&6�� � � *, 4 � 6��
logo,�
é contínua.
Proposição 10. Sejam 4 �5� * 6 , 4 � � , 6 , 4 �/� � 6 , 4�� � �� 6 4 � � � � � 6 , 4 � ��� � 6
espaços topológicos,� * ��� ��� �
e� , � � � �
� e definamos:� * � � , ��� � � ��� � �
�
por � � * � � , � � � ��� � � � * � � � ��� ,�� � � � . Se� * e
� , são contínuas, então� * � � , é contínua.
Prova : Sejam � �#* � � � � ��� �e � � , � � � � � � � as respectivas projeções.
Como:� * � � � * ��� � � ��� �� , � � �-, ��� � � ���
�
são contínuas, então� * � � , é contínua.
Proposição 11. Sejam 4 �5� * 6 um espaço topológico e 4 � � ��� 6 um � -espaço vetorialnormado. Como
�possui uma estrutura algébrica, dadas
� � � � � ��� �podemos
definir a nova função:� � � � � ��� �
���� 4 � � � 6 � � � � � � � � � � � � '
Se�
e � são contínuas, então� � � é contínua.
Prova : Sejam � ��� ��� � � �tal que � � � � � � � � � � � � � � � e � � � � � � � �
talque � � * �� , � * � , ; a função � é contínua. Então
� � � �� � � , é contínua.
2.3. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 45
Proposição 12. Sejam� ��� ��� �
e � ��� ��� � e definamos a nova função:
� � � � ��� �
���� 4 � � � � � � � � � � � � � � � '
Se�
e � são contínuas, então � � é contínua.
Prova : Sejam � � � � � � � � tal que � � � � � � � � � ��� � � � � e # � � � � ��� �tal
que #�� � �� � � ; a função # é contínua. Então � � $# � � , é contínua.
Observação 9.
A prova de que � e # são contínuas segue do fato de serem ambas contrações.Veja [EL2].
2.3 Funções Abertas e Fechadas
Sejam 4 �5� * 6 e 4 � � , 6 espaços topológicos.
Definição 15. A função:
� ��� � � � �é aberta (fechada) se para todo � aberto (fechado) em
�, temos que
� 4 �&6 é aberto(fechado) em � .
Exemplo 37.
1. A função identidade:
� ��� 4 �5� * 6 ��� 4 �5� 7, 6é aberta (fechada) se, e somente se (* � 7, , mas não é contínua quando * � 7, .
2. As projeções são abertas.
3. As projeções não são fechadas. Por exemplo, seja � com a topologia usual econsidere as projeções � � 1 � � , ��� � , ( � � ��� ) e o conjunto:
� � � � ��� � � � , � � � � '
46 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Figura 2.3: � e a projeção � � � �
� é fechado em � , e � � 1 � � � �� � � � , que é aberto.
4. Se� ��� ��- com a topologia discreta, então
� � � � � � definida por� ��� � � e� � � � é contínua, fechada e não aberta.
Observação 10.
Seja� ��� ��� � bijetiva. Então
�é aberta se, e somente se
�é fechada. De fato.
Seja � � �aberto; logo � � � é fechado e
� � � � � � ��� � � � � � � � � �logo,
�é fechada.
Proposição 13. Seja� ��� ��� � . São equivalentes as condições:
1.�
é aberta.
2.� � �� � �
��4 � � � � 6 , para todo � � �
.
3.�
leva abertos básicos de�
em abertos básicos de �
4. Para todo �� �
e toda � � �vizinhança de � , existe
� � � tal que:
� � � � � � � � � � � 'Prova :
� � � � � �� � � ; então� � �� � � � � � � ; por outro lado
� � �� � é aberto e
��4 � � � � 6 é o
maior aberto contido em� � � � ; logo
� � �� � ��
�4 � � � � 6 .
2.3. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 47
� ��� � � Seja � aberto básico de�
;�� � ; então:
� � � � � � �� � ��
�4 � � � � 6 � � � � � �logo,
� � � � é aberto básico.
� � � � � Para cada �� �
, seja � vizinhança de � ; existe�
aberto básico tal que�� � � � . Considere
� � � � � .� � � � � Seja � � �
aberto; para todo� � � � � � existe vizinhança
�� tal que
�� � � � � � ; logo:
� � � � !� " � �����
�� �
então,�
é aberta.
Proposição 14.� ��� ��� � é fechada se, e somente se
� � � � � � � � � .Prova : Se
�é fechada, então
� � � � é fechado e� � � � � � � � � , logo:
� � � � � � � � � � � � � 'Reciprocamente, seja � � �
fechado, logo:� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
então,� � � � � � � � e
� � � � é fechado.
Exercícios 11.
1. Seja� � ��� +� � � � � com a topologia induzida pela topologia usual de � .
A função:� � � ��� 4 � � � � 6
��� ��� � � � � . é contínua?
2. Sejam 4 ��� * 6 , 4 � � , 6 e 4 �/� � 6 espaços topológicos. Considere� � � ��� � e� � � ��� �
:
(a) Se�
e � são abertas (fechadas), enão � � � é aberta (fechada).
(b) Se � � � é aberta (fechada) e�
é contínua e sobrejetiva, então � é aberta (fecha-da)?
48 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
(c) Se � � � é aberta (fechada) e � é contínua e injetiva, então�
é aberta (fechada)?
3. Verifique que são equivalentes:
(a)�
é fechada.
(b) Se � � * , então � � � � � � � * � � � � � � 7, .(c) Se � � �
é fechado, então � � � � � � � * � � � � � � � é fechado em � .
4. Toda função� � 4 � � ����� 6 � � 4 � � � � 6 é fechada?
5. Toda função� � 4 � � ����� 6 � � 4 � � ����� 6 é aberta e fechada?
Capítulo 3
Homeomeorfismos
3.1 Introdução
Um dos problemas centrais em topologia é poder decidir se dois espaços sãodiferentes ou não. Por exemplo, não é trivial dizer que um cilindro é diferente deuma esfera, se uma esfera é diferente de um toro ou se � . é diferente de � ) , se �# . Neste capítulo começaremos com os primeiros conceitos que nos permitirãoresponder a algumas destas questões.
Sejam�
e � espaços topológicos.
Definição 16.� � � ��� � é um homeomorfismo se
�é bijetiva, contínua e
�� * é
contínua.
Se�
e � são homeomorfos utilizamos a seguinte notação:��� �� '
Observações 13.
1. A composta de homeomorfismos é um homeomorfismo.
2. Ser homeomorfo é uma relação de equivalência na família dos espaços to-pológicos.
3. Veremos nos próximos parágrafos que os espaços topológicos homeomor-fos tem as mesmas propriedades topológicas. Isto é, se consideramos asclasses de equivalência, teremos que espaços homeomorfos são essencial-mente iguais em topologia.
4. Uma função bijetiva e contínua não é necessariamente um homeomorfismo.Veja o seguinte exemplo.
49
50 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS
Exemplo 38.
1. Sejam � * � � , e � � ����� � � � com as respectivas topologias induzidas pelastopologias usuais.
2. Definamos� � � � ����� � ��� � * por
� � � � � ��� � � � � � � � � � � .3.
�é contínua e bijetiva.
4. Por outro lado,� � * � � * � � � � ����� � é descontínua em �� � � � � � . De fato:
Seja � �
; para cada � � , seja� . ����� �
� � � ����� � e
� . � � � . � , logo� � . � �
� � � , pois o arco
� . é maior que a corda.
t
zn
n p
Figura 3.1:
Então�� * � � . � � . e � � * � � . � � � � * � � � # ��� � �
�� � , para todo � � .
Logo,�
é uma bijeção contínua que não é um homeomorfismo.
Exemplo 39. Consideremos � . � � .�� * e o conjunto
� � � � * � ' '-' � � .�� * � � � .�� * ��� , * � , * � '-' '�� ,.�� * � ,.�� * � �onde � 1 � � � � � ambos com topologia induzida pela topologia usual de � .�� * . Então:
� . � � '1. Seja
� � � . ��� � definida por:
� � � * � '-' ' � � .�� * � 4 � *� *� '-'-' � � .�� *
� .�� * 6 '�
é bem definida e contínua.
3.1. INTRODUÇÃO 51
2. Definamos � � � ��� � . por:
� � � * � '-' ' � � .�� * � 4 � * � * � '-' ' � � .�� * � .�� * 6 '� é bem definida, contínua e � � � � ����� e
� � �� � ��� . Logo, � . é homeo-morfo a � .
3. Então, � . e � são topologicamente "iguais".
Figura 3.2: Dois espaços homeomorfos a � ,
Exemplo 40. Consideremos � , � � � � � � � � � , com topologia induzida pela topologiausual de � , e os conjuntos
� � � � ��� � � � � � � � , � � , � � , � � � * � � �com topologia induzida pela topologia usual de � . Então:
� , � � � � � � � � �� � * � �('
1. Seja� � � , � � � � � � � ��� � * � � definida por:
� � � ��� � �
�� � � ��� � �� �� � � ��� � �
� � �� � , � � , �� � '�
é bem definida e contínua.
2. Definamos � � � * � � ��� � , � � � � � � � por:
� � � ��� ��� � 4 � �� ��� �� 6 '� é bem definida, contínua e inversa de
�. Logo:
� , � � � � � � � � � * � � '
52 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS
3. Por outro lado, definamos � � � * � � � � � por:
� � � ��� ��� � 4 � � � � � , ��� � � � � , ��� 6 '� é bem definida e contínua.
4. Definamos � � � ��� � * � � por:
� � � ��� ��� � ��
� � � � , ��
� � � � , � � � '� é bem definida, contínua e inversa de � . Logo:
�� � * � � '
Figura 3.3: � e � * � �Teorema 6. Seja
� ��� ��� � bijetiva. São equivalentes as condições:
1.�
homeomorfismo.
2.�
é contínua e aberta.
3.�
é contínua e fechada.
4.� � � � � � � � , para todo � � �
.
Prova :� � �
� � � � * é contínua se, e somente se para todo aberto � � �:
4 � � * � � � 6 � * � � � �é aberto em � .� �
� � � Segue do parágrafo anterior.
� � � � � Como�
é contínua,� � � � � � � � � ; como
�é fechada,
� � � � � � � � � .
3.1. INTRODUÇÃO 53
Corolário 2. Seja� ��� ��� � . O gráfico de
�é definido por:
� � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � 'Considere
� � � � com a topologia induzida pela topologia produto. Então�
é contínua se,e somente se
� � � � � � .Prova : De fato, definamos � � � ��� � � � por � � � � � � ��� � � � � que é contínua,então � ��� ��� � � � � é bijetiva e contínua. Por outro lado, se � � �
é aberto:
� � � � � � � ��� � � � � � � � � 4 � � � 6 � � � � � �que um aberto relativo. Reciprocamente,
� � � , � � .
Corolário 3. Seja� ��� ��� � homeomorfismo e � � �
, então:
1. � � � � � � .2.
��� � � � � � � � � .Exercícios 12.
1. Sejam� � � �� e ��� � � � � � � . Verifique que para todo
��� � e para todo�� �
, temos:
� � � �� � �e ��� � � � � '
Em particular, � . � � . � � � � � .�� * .2. Verifique que 4 � � � � 6 não é homeomorfo a 4 � � ����� 6 .3. Sejam 4 ! ��� * 6 e 4 ! ��� , 6 espaços métricos. Dizemos que as métricas
� * e� , são
equivalentes se � � � 4 !�� �� � 6 ��� 4 ! � �� � 6 é um homeomorfismo. Verifique que se! �� . , então� * , � , e
� definidas anteriormente são equivalentes.
54 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS
3.2 Exemplos de Homeomorfismos
A) Seja � com a topologia usual. Então, todo intervalo aberto ��� ��%� , com a topo-logia induzida pela topologia usual de � , é homeomorfo a � . De fato:
1. Seja� � ��� �� � ��� � � � � � � definida por:
� � � � � � � � � �
� �
��
�é bijetiva e contínua e:
� � * � � � � � ��&� � ��� � �
� �é contínua. Logo:
��� �� � � � � � � � � '2.
� � � ��� � � � � � � definida por:� � � �
�
� � � ��
é bijetiva e contínua e:� � * � � �
�� � � �
é contínua. Logo: � � � � � � � � .3. Então, dos ítens anteriores :
� � ��� �� � 'B) Sejam � * e o quadrado � � � � ��� � � � ������ � � � � em � , com a topologiainduzida pela topologia usual de � , ; então:
� * � � '
d c
ba
z w
u v
Figura 3.4:
3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 55
Definamos� � � * ��� � mandando o segmento �
em �
, o segmento �
em ��
, osegmento
� �em
� �e o segmento
�� em
� � , istoé:� � � ��� � 4 �#
� �# 6 e
� � * � � ��� � 4 � �� ��� �
onde # ����� �� � � � e � �� , � � , ; claramente
�e�� * são contínuas; logo
�é um homeomorfismo.
C) Sejam � , . e � . ambos com a topologia usual. Então:
� , . � � . �para todo � � .Se� � � ,
� �� � � , onde �
����� � . Por outro lado, � . � � � � '-'-' � � ( -vezes)e � , . �� � � � '-'-' � � (
� -vezes). Definamos:� � � � � � ' '-' � � ��� � � � � '-' ' � � � �� � * � � , � '-'-' � � . � ��� � � * ��� * � ��, ��� , � '-' ' � � . ��� . � '
�é, claramente, um homeomorfismo.
D) Seja � . � � .�� * com a topologia induzida pela topologia usual de � .�� * . Con-sideremos � .�� * � � . � � . Denotemos por:
� .� � � � � � � � � . � � � � . � ��� � �� .� � � � � � � � � . � � � � . � � � �
Os conjuntos � .� e � .� são ditos hemisférios de � . . Note que � . � .� � � .� e� .� � � .� � . O conjunto
�é chamado equador de � . ; é claro que:
� � � . � * 'Isto é, podemos considerar � . � * como o equador de � . .
Figura 3.5: � . � * como equador de � .
56 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS
Consideremos a projeção:
� � � . � � ��� � .� � � � � ��� � '
Se � � � � � � � . , � � � � � � � � , logo�� � � � � � � � � ; então � � � . � � ) * � � � � � . . Via a
projeção:
� .� � ) � � � � � � � .� 'De fato, a função:
� � ) � � � � � � � � .��� � � � � � � � �
�� , �
é bem definida, contínua com inversa contínua ����� �� .
Figura 3.6: � .� , ) � � � � � e � .�
E) Projeção Estereográfica : Seja � . ��� .�� * com a topologia induzida pela topo-logia usual de � .�� * e � � � � � � ' '-' � � � � � , então:
� . � � � � � . 'De fato. Seja � � � . � � � ��� � . definida da seguinte forma, seja �
� � . � � � ;considere a semi-reta � � � � .�� * ; então � � � � � , onde
�é a interseção de � � com
3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 57
o semi-plano definido por ��.�� *� � , homeomorfo a � . :� � � � � � � � � � � � � � � � � �� .�� * � �
logo, � � � � � .�� * � � � � e� �
� � � .�� * ; então:
� � � � �� � � .�� * � � *
���, � '-'-' � � . � '
p
x
z
Φ ( )x
Φ ( )z
Figura 3.7: Definição de �
� é bijetiva e contínua e:
� � * � � � � � � *� � � � � , � '-' ' �
� � .� � � � � , �
� � � , � �� � � � � , � �
� � � * � � � � , � e � � * é contínua.
F) Seja 4 ��� � � 6 um espaço vetorial normado; então:
1. As translações � � � � ��� �definidas por � � � � �
� , �� �
são homeo-morfismos.
2. As homotetias ��� � � ��� �definidas por ��� � � �
, � � � � � � sãohomeomorfismos.
3.� � )�� � � � , para todo � � � e todo
� �De fato:
58 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS
1. � � são bijetivas, contínuas e � � *� � � � , que é contínua.
2. � � são bijetivas, contínuas e � � *� �� � � � , que é contínua.
3. Definimos o homeomorfismo � � � � � �por:
� � � � � � � � � ��� �
logo,� �� � � � � � � é um homeomorfismo. Então:
)�� � � � � )�� � � � �para todo
� � � �e � � � � � . Agora definamos
� � � � � )�� � � � por:
� ��� � �� � � � �
que é contínua e bijetiva;�� * � � �
�
� � � � � ; logo,�
é um homeomorfismo.
3.2.1 Grupos de Matrizes
Da Álgebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes de ordem � # , tendo como entradas elementos de � � ou � , é um � -espaço vetorial.Fixemos � � ; o caso complexo é análogo. Denotemos este espaço vetorial por:
! .�� ) 4 � 6 'Seja � ��� 1 � � ! .�� ) 4 � 6 . Definamos:
� � ! .�� ) 4 � 6 ��� � .�� )� ��� ��� * * � � * , � '-'-' � � * . � '-'-' � � ) * � ' '-' � � ) . � '
1.�
é claramente um isomorfismo de espaços vetoriais.
2. Via o isomorfismo�
, o espaço! .�� ) 4 � 6 herda toda a estrutura linear e
topológica de � .�� ) .
3. Utilizaremos a métrica usual de � .�� ) para introduzir uma topologia em! .�� ) 4 � 6 .
3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 59
4. Dada � ��� 1 � � ! .�� ) 4 � 6 , definamos:
� � � *� � � � � � � � . 1 � 2 * �
,1 � * , '� � * é uma norma em
! .�� ) 4 � 6 que o torna um espaço vetorial normado.Logo, um espaço topológico.
5. Note que� � � * � �&��� , onde � � é a matriz transposta de � .
6. É imediato que�
é contínua com inversa contínua. Logo:
! .�� ) 4 � 6 � � .�� ) '7. Denotemos por
! . 4 � 6 ! .�� . 4 � 6 ; então! . 4 � 6 � � . � .
8. Seja � com a topologia usual. A função:����� � ! . 4 � 6 ��� � �
definida indutivamente:
(a) Se � ,����� � ��� * * � � � * * .
(b) Se � � , seja � ��� 1 � e:
����� � � � . 132 * �
� � � 1 � * � 1 * ����� � � 1 � �� � �
onde � � � � � e � 1 � � é a matriz � � � � � � � � � , que se obtemomitindo a � -ésima linha e a
-ésima coluna de � .
(c) A função�����
é multilinear, logo contínua.
9. A função�����
é multilinear, logo contínua.
Seja� � � � � � o conjunto das matrizes invertíveis de ordem .
� � � � � � é abertoem
! . 4 � 6 . De fato:
� � � � � � � �� � * � � � � � '� � � � � � é também um grupo, chamado linear geral real.
60 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS
1. Denotemos por � � � � � � � � � � , definido por:
� � � � � � �&� � ���onde
�é matriz identidade. Logo, � � � � � �
����� � � � �� � . � � � é umgrupo, chamado ortogonal.
2. Denotemos por ��� � � ��� � � definido por:
� � ��� � � �� �� � � � � '
��� � � é um grupo, chamado ortogonal especial.
3. � � � e ��� � � são fechados em! . 4 � 6 . De fato:
��� � � � �� � * � � � �� � � � �� � * � � � � � � � '
4. � � � é isomorfo a ��� � � � � � � � � . De fato:
� � � � � � � ��� � � � � � � � � � ��� � � � � �� � � � ��� �� � � � � '
�é um isomorfismo de grupos.
5. Seja � � , denotemos por �� � � � � . De forma análoga ao caso real,
definimos:
� � � � � � � �� � * 4 � � 6� � � ��� �"� � � � � � �� � � � ��� � � � �� � * � � � � '
6. De forma análoga, os grupos� � � � � � , � � � e ��� � � são ditos, linear com-
plexo, unitário e especial unitário, respectivamente.
7. � � � é isomorfo a ��� � � � � * . De fato:
� � � � � � � ��� � ��� � *� � � � ��� � �� � � � ��� �� � � � � '
�é um isomorfismo de grupos.
3.3. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 61
3.3 Homeomorfismos Locais
Definição 17. Seja� � � ��� � .
�é dito homeomorfismo local se para todo �
� �
existe � � �vizinhança de � tal que
� � � � �é aberto em � e
� � � ��� �é um
homeomorfismo.
Observação 11.
Sejam � � �,� � � abertos e
� � � � � �um homeomorfismo; então para todo
aberto � � � � , temos que� � � � � é aberto em
�, logo é aberto em � .
Proposição 15. Se� ��� ��� � é um homeomorfismo local, então
�é aberta.
Prova : Seja � � �aberto; para cada �
� � existe � � � � vizinhança de � tal que:
� � � � ��� � � �onde
� � � � � � � . Seja � �� � � ��� . Pela observação anterior� � � �� � é aberto em
� . Como:
� !� " �
� ��� � � � � 4 !� " �
� �� 6 !� " �
� � � �� �
que é aberto em � . Logo,�
é aberta.
Observação 12.
Homeomorfismo implica homeomorfismo local, a recíproca é falsa.
Exemplo 41. Seja � com a topologia usual e � * � � com a topologia induzida pelatopologia usual de � . Então:
� � � � � � *���� ,�� 1 �
é um homeomorfismo local.
1. Denotemos por � *5 � � � ��� ��� � * � � � � , � , � � � ��� ��� � * � � � � ,� � � � ��� � � � * � � � � e � � � � � ��� � � � * � � � � .
62 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS
S1
S2
S3
S4
Figura 3.8:
2. Sejam� *� � � � ��� �#� , � , � � ��� � � � , � � � � ����� � � ����� � e
� ��� � ����� � � � ��� � , ��� .
3. Definamos: � * � � * ��� � � � � � � por � *%� � ��� � � .
4. A função � * é um homeomorfismo. De fato, � * possui a seguinte inversacontínua ��* � � � � � � � � ��� , � .
5. Consideremos:
� * � � �� * ��� � � � � � � 'Como
,�� 1 � � ��� � � � � � � � � �� � � � � � , então 4 � * � � 6 � � � ���� � � � � � . Logo, pelas
propiedades básicas de Trigonometria � * � � é um homeomorfismo:
1 1.5
-1
1
Figura 3.9: Homeomorfismo � * � �
6. Logo, � � ** � 4 � * � � 6 ��� * ��� � * é um homeomorfismo e� � � ** � 4 � * � � 6 é
um homeomorfismo.
7. Definamos: � , � � , ��� � � � � � � por � ,�� � ��� � � .
3.3. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 63
8. A função ��, é um homeomorfismo. De fato, ��, possui a seguinte inversacontínua �%, � � � � � �-� � � � � , � .
9. De forma análoga, � � *, � 4 � , � � 6 � � , ��� � , é um homeomorfismo e�
� � *, � 4 � , � � 6 é um homeomorfismo.
10. De forma análoga as anteriores, verifica-se que� � � e
� �� � � .
11. Como intervalos destes tipos cobrem � . Por exemplo:
� !. "�� �
� � ��� � � 'Então,
�é um homeomorfismo local.
Observação 13.
1. Este exemplo mostra (por que?) que, em geral, um homeomorfismo localnão é homeomorfismo.
2. Em particular,�
é uma função aberta (não fechada).
Exemplo 42. De forma totalmente análoga:
� � � , ��� � * � �� � ��� � ��� � ,�� 1 � ��� �
e:� � � , ��� � * � � *� � ��� � ��� � ,�� 1 � �� ,�� 1 � �
são homeomorfismos locais.
Exercícios 13.
1. Sejam � e�
com a topologia induzida pela topologia usual de � , são homeomorfos?
2. Seja � , com a topologia usual, os seguintes subespaços são homeomorfos?
(a) � � ��� � e � � � � � � � � � � �(b) � � � ��� � � � , � � � � � � e � � � ��� � � � , � � � � .(c) � � � ��� � � � , � � , � e � � � ��� � � � , � � � , .
64 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS
(d) � � � ��� � � � , � � �� e � � � ��� � � � , � � � , .3. Seja 4 �5� * 6 um espaço topológico e denotemos por:
� � ��� � � ��� ��� � � � é homeomorfismo '
Verifique que:
(a)� � ��� é um grupo com a composta de funções,
(b) Se� � � � � � e � � � � � � � com a topologia induzida pela usual de � , defina:
� � � � ��� � � � � � ������ � �� �
é um isomorfismo de grupos? (Note que�
e � não são homeomorfos)
4.� � ��� é abeliano? Caso contrário, quando é abeliano?
Capítulo 4
Topologia Quociente
4.1 Introdução
A topologia quociente é a fonte dos mais importantes exemplos de espaços to-pologicos e serão a parte central desta notas. Neste capítulo introduziremos osexemplos clássicos na Matemática, como a faixa de Möbius ou Moebius, os espa-ços projetivos reais e complexos e a garrafa de Klein.
Sejam 4 �5� 76 , � um conjunto não vazio e� ��� ��� � sobrejetiva. Definamos em
� a seguinte topologia:
� � � � � � ��� * � � � � 'Definição 18. � é dita topologia quociente em � induzida por
�.
Exemplo 43.
1. Seja� ��� ��� � constante. Determine � .
Suponha que� � � � �
� para todo �� �
. Seja � � � . Se��� � , então�
� * � � � �e se
����� � , então
�� * � � � � . Isto é, qualquer subconjunto de
� é aberto, logo � é a topologia discreta sobre � .
2. Seja� ��� �� ��� e � com a topologia usual; definamos
� � � ��� �por:
� � � � ��� �� � se � � �
se � � ��
se �� � 'Então, � � ��� � � ��� � � - � ��� ��- é a topologia quociente em
�induzida
por�
.
65
66 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
Proposição 16. A topologia quociente � é a mais fina sobre � que torna�
contínua.
Prova : De fato, sendo �� outra topologia em � e se para todo� � �� temos que�
� * � � � é aberto em�
, então� � � .
Definição 19. Sejam 4 ��� 6 , 4 � � �� 6 e� � � ��� � sobrejetiva. A função sobrejetiva�
que induz a topologia quociente é chamada uma identificação se ��� � .Observação 14.
1. Se�
é uma identificação,�
é aberto em � se, e somente se� � * � � � é aberto
em�
.
2. Se�
é uma identificação, para todo � � � temos que� 4 � � * ��� � 6 �� , mas
se ��� �, em geral ��� �
� * 4 � � � � 6 .3. Nem toda função bijetiva e contínua é uma identificação. Por exemplo:
� ��� 4 �5� * 6 ��� 4 �5� 7, 6é uma identificação se, e somente se *� , .
4. A composta de identificações é uma identificação.
Exemplo 44.
1. Seja � . � � .�� * com a topologia induzida pela topologia usual de � .�� * .Definamos o conjunto dos pares não ordenados:
� � . � ��� � � � � � � � . �onde
�� é o antipodal de � . De forma natural temos a seguinte função
sobrejetiva:� � � . � � � � .
tal que� � � � ��� � � � . O par 4 � � . � �� 6 é dito espaço projetivo real de
dimensão .
2. Considere o cilindro ���� � � ��� ��� � � � , � � , � � � � � com a topologiainduzida por � . Definamos o conjunto dos pares não ordenados:
! � � � � � � � �&� � 'De forma natural, temos a seguinte função sobrejetiva:
� � � � � !
tal que� � � � � � � � � . O par 4 ! � �� 6 é dito faixa de Moebius.
4.1. INTRODUÇÃO 67
Exercícios 14. Verifique que � � * � � * .Proposição 17.
1. Sejam�
e � espaços topológicos,� ��� ��� � uma função sobrejetiva, contínua e
aberta (fechada); então�
é uma identificação.
2. Sejam�
e � espaços topológicos,� � � ��� � uma função contínua. Se existe
� � � � � �tal que
� � � � � � , então�
é uma identificação.
Prova :
1. Seja �� uma topologia em � ; como�
é contínua, então �� �� � . Como�
éaberta, para todo � � � , �� � 4 � � * � � � 6 é aberto em �� ; logo ��� � .
2. Como� � � � � � então
�é sobrejetiva. Seja � � � tal que
�� * � � � seja
aberto; então � � � � � � � * � � � � � * 4 � � * � � � 6 é aberto em � ; logo�
é umaidentificação.
Exemplo 45.
1. A função:� � � � � � *
�� � ,�� 1 �
é sobrejetiva, contínua e aberta; pela proposição [17] é uma identificação.
2. Analogamente:� � � , ��� � * � � ,� � ��� � ��� � ,�� 1 � �� ,�� 1 � �
é uma identificação.
Teorema 7. Propriedade universal da topologia quocienteSejam
�,�
espaços topológicos e� � � ��� � uma identificação. Então, para toda
� � � � � �é contínua se, e somente se � � � é contínua.
�
� � ���
� // ��
~~~~~~
~~~~
�
Prova : Se � é contínua e�
contínua, então � � � é contínua.
Reciprocamente, seja� � �
aberto; então 4 � � � 6 � * � � � é aberto em�
. Como4 � � � 6 � * � � � �
� * 4 � � * � � � 6 , pela definição da topologia quociente, � � * � � � éaberto em � ; logo � é contínua.
68 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
4.2 Espaços Quocientes
Funções sobrejetivas podem ser obtidas de forma natural utilizando classes deequivalência de alguma relação de equivalência.
Seja � uma relação de equivalência sobre�
e��� � o conjunto das classes de
equivalência em�
. Definamos:
� � � � � � � �
���� � � �
onde � � � é a classe de equivalência que contém � ;�
é dita projeção canônica e énaturalmente sobrejetiva.
Definição 20. Seja 4 ��� 76 um espaço topológico. O par 4 � � � � �� 6 é dito espaço quo-ciente de
�.
Observação 15.
A projeção canônica:
� � � � � ��� �
���� � � �
é naturalmente uma identifição. Note que� � 4 ��� � 6 é aberto �
� � * 4 � 6 ��� � � � � � � � � é aberto em
�.
4.2.1 Exemplos
A seguir apresentaremos vários exemplos de homeomorfismos, a maioria bas-tante intuitivos. Nos próximos parágrafos, teremos ferramentas suficientes paraprovar estes homeomorfismos. Por enquanto, ficaremos apenas com a parte geo-métrica.
Exemplo 46. Seja� � � � � � � � com a topologia induzida pela topologia usual de � .
Consideremos em�
a relação de equivalência:
� � � � ��� ��� � � � � � ou �� � '
4.2. ESPAÇOS QUOCIENTES 69
Se �� ��
; então � � � ��� e se � � ; então � � � � � � � e se � � , então � � � � � � � ;logo � � � � � � :
0
1 1
0
[0]=[1]
Figura 4.1:
Logo,��� � ��� 4 � � � 6 é uma identificação. Note que
�é bijetiva salvo para
� � e �� � e:
4 � � � 6 � � * 'Observação 16.
Nos seguintes exemplos, as setas indicam o sentido dos pontos que estão na mes-ma classe de equivalência.
Exemplo 47. Seja� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , . Consi-
deremos em� , a relação de equivalência:
� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � ou ��� � � * � � � � e� � * �
para todo � � ��� � � � � * ��� * � � � ,
1. Observe que se �� � � � , então � � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � � ��� � � .
2. Em particular, � � � � � � � � � � � � � � e � � � � � � � � � � � � � � .3. Então
� � � , � � 4 � , � � 6 é uma identificação. Note que�
é bijetiva salvopara � � ��� � e � � ��� � e
4 � , � � 6 � � * � � '
70 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
Figura 4.2:
Exemplo 48. Seja� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , . Consi-
deremos em� , a relação de equivalência:
� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � ou � � ��� � � � � � � � � � �para todo � � ��� � � � � * ��� * � � � ,
1. Observe que se �� � � � , então � � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � � � � � � � � .
2. Em particular, � � � � � � � � � � � � � � e � � � � � � � � � � � � � � .3. Então
� � � , � � 4 � , � � 6 é uma identificação. Note que�
é bijetiva salvopara � � ��� � e � � � � � � � e
4 � , � � 6 � ! �onde
!é a faixa de Moebius.
(0,a)
(0,1-a)
(0,b)
(0,1-b)
Figura 4.3:
4.2. ESPAÇOS QUOCIENTES 71
Nos próximos capítulos, verificaremos que a faixa de Moebius é homeo-morfa a uma superfície parametrizada em � :
Figura 4.4: Faixa de Moebius
Exemplo 49. Seja� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , . Consi-
deremos em� , a relação de equivalência:
� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � ou � � ��� � � � � ��� � e � � � � � � � � � � � �para todo � � ��� � � � � * ��� * � � � ,
1. Observe que se ���� � � � � , então � � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � � ��� � � e se� � , então � � � � � � � � � � � � � � .
2. Em particular, � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .3. Então
� � � , � � 4 � , � � 6 é uma identificação. Note que�
é bijetiva salvopara � � ��� � , � � ��� � , � � � � � e � � � � � e
4 � , � � 6 � � * � � * '
Figura 4.5:
72 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
Exemplo 50. Seja� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , . Consi-
deremos em� , a seguinte relação de equivalência:
� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � � ou � � ��� � � � � ��� � e � � � � � � � � � �� � � �
para todo � � ��� � � � � * ��� * � � � ,1. Observe que se �
��� � � � � , então � � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � � ��� � � e� � � � � � � � � � � �� � � � .
2. Em particular, � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .3. Então
� � � , � � 4 � , � � 6 é uma identificação. Note que�
é bijetiva salvopara � � ��� � , � � ��� � , � � � � � e � � � �
� � � .4. 4 � , � � 6 é chamada garrafa de Klein. Note que a garrafa de Klein contém
uma faixa de Moebius.
Figura 4.6: Garrafa de Klein
Exemplo 51. Seja 4 ��� 6 e� � � � � � � � com a topologia induzida pela topologia
usual de � . O cone sobre�
é denotado por � � � � � � � , onde:
� � � � � � � � � � � � � �� � � � '
Observações 14.
1. A classe de equivalência � � � � � � � é dita vértice de � � .
2. Intuitivamente � � é obtido de� � �
onde identificamos� � � � a um
ponto.
3. O subsepaço � � � � � � � � � � � � � é naturalmente homeomorfo a�
.
4.2. ESPAÇOS QUOCIENTES 73
X
1
0
CXIxXI
Figura 4.7:
Observação 17.
Seja� ��� ��� � contínua. Então � � � � � ��� � � tal que � � � � � � � � � � � � � � � � � é
contínua. De fato, basta considerar o diagrama comutativo:� � � �� ��� � � � �
�����
�
��
� � �
� �� �� ��� � � �
onde � � � � � � � � � � � � � � .Exemplo 52. Seja
� � � � � � � � � com a topologia induzida pela topologia usual de � .A suspensão
�é denotada por � � � ��� � � , onde:
� � � � � � � � � � � � � �� � � � ou
� � � � 'Observações 15.
1. Intuitivamente � � é obtido de� � �
onde identificamos� � � � � e
� � � � a um ponto.
2. O subsepaço � � � � � � � � � � � � � é naturalmente homeomorfo a � � .
0
-1
X x J
1
SX
Figura 4.8:
74 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
Observação 18.
Seja� � � � � � contínua. Então � � � � � ��� � � tal que � � � � � � � � � � � � � � � � � é
contínua.
4.3 Teoremas
Definição 21. Sejam� � � ��� � , � e � relações de equivalência em
�e � respecti-
vamente. Dizemos que�
preserva as relaçãoes se para todo � * � ��, � �tal que � * � ��, ,
então� � � * � �
� � ��, � .Lema 1. Sejam
� ��� ��� � , � e � relações de equivalências em�
e � respectivamente.Se
�é contínua e preserva as relações, então existe uma única � , contínua que torna o
seguinte diagrama comutativo:
� �� ��� � �� �
��
�
��
� � �
4 � � � 6 �� ��� � 4 � � � 6Alem disso, se
�é uma identifição, então � é uma identificação.
Prova : Definamos ��� � � � � � � � � � � .1. A função � é bem definida. De fato, seja � � � � � * � ; então � � � * , então� � � � �
� � � * � ; logo � � � � � � � � � � * � � , isto é � � � � � � ��� � � * � � .2. Pela definição, � � � *� � , � � .
3. Suponha que existe�
tal que o diagrama comuta. Existe pelo menos um� � � � � � � tal que ��� � � � � � � � � � � � , como� * é sobrejetiva, existe pelo menos
um �� �
tal que 4 � � � * 6 � � � � 4 � , � � 6 � � � . Isto é uma contradição, pois odiagrama comuta.
4. Como� * , � , e
�são contínuas., pelo teorema [7], � é contínua.
Teorema 8. Sejam�
e � espaços topológicos e� ��� � � � contínua e sobrejetiva. Se
� é uma relação de equivalência definida em�
tal que:
� � � * �� � � � � � � * � �
então, existe � � 4 ��� � 6 � � � contínua e bijetiva.
4.3. TEOREMAS 75
Prova : Consideremos:
�
���
�##FF
FFFFF
FFF
4 � � � 6 � // �
1. Pelo lema [1], definimos ��� � � � � � � � � . Logo, � é contínua e sobrejetiva.
2. Se � � � � � � ��� � � * � � , então � � � ��� � � � � � � �&� � � * � , isto é� � � � � � � * � �
� � � * ; logo � � � � � * � . Então � é bijetiva.
Corolário 4. Com as hipotéses de teorema 8, são equivalentes:
1.�
é uma identifição.
2. � é um homeomorfismo.
Prova : Pelo teorema [8], basta provar que � é aberta. Observe que para todo� � ��� � temos que�� * � � � �
� * � ��� � � � .� � � � � aberto �
�� * � � � é aberto em
���� * 4 � � � � 6 é aberto em
�� � � � �
é aberto em � , pois � tem a topologia quociente induzida por�
.
Corolário 5. Nas hipótese do teorema [8], se�
é um homeomorfismo, então:
4 � � � 6 � 4 � � � 6 'Prova : Seja
� �� ��� � �� �
��
�
��
� � �
4 � � � 6 �� ��� � 4 � � � 61. Pelo teorema [8], definamos � por � � � � � � � � � � � � .2. � é bijetiva e contínua.
3. � � * é contínua, pois � � * � � * � , � � � * e� � * é contínua.
76 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
Exemplo 53.
Seja� � � ��� � e � � . Consideremos � com a topologia usual e
�com a
topologia induzida. Definamos:
� * � ��, � existe � � tal que � *7 . ��,� * �� , � existe � � tal que
� *� � � ,-'Seja
� ��� ��� � tal que� � � � � �� � � ; � é homeomorfismo. Por outro lado:
� * � ��, � existe � � tal que � *� . ��,� � � * � � � . ��, � � � . � � � �� ��, � � � �� ��, � � logo� � � * � �� � ��, � '
Pelo teorema:
4 � � � 6 � 4 � � �+6 � � * '
Exercícios 15.
1. Seja� 4 � � � � � �(� � � 6 � 4 � � � � � � � � � � 6 com a topologia induzida pela usual de� , e � relação de equivalência definida por � � � � � � � � � � �-� � � e � � � � � � � � �-� � � .
Considere 4 � � � 6 com a topologia quociente, verifique que:
4 � � � 6 � � * �� * com a topologia induzida pela usual de � , .
2. Seja 4 � � 6 , onde é a topologia definida por: � � se, e somente se � � � .Se � relação de equivalência definida por � � � � . Verifique que 4 � � � 6 com atopologia quociente é homeomorfo a � � � �� �
com a topologia induzida por .
3. Seja � . com a topologia de Zariski e � relação de equivalência definida por
� � * � ��, � � � '-' ' � � . � � � � * ��� , ��� � ' '-' ��� . � � � � 1 � 1 �para todo � � ��� � '-'-' � . Verifique que 4 � . � � 6 com a topologia quociente éhomeomorfo a � . � * com a topologia de Zariski.
4.4. AÇÕES DE GRUPOS 77
4.4 Ações de Grupos
Seja� � � um conjunto e 4 � ��� 6 um grupo.
Definição 22. O grupo 4 � ��� 6 atua pela esquerda sobre�
se existe umafunção:
� � � � � ��� �
�� � � � ��� � � ��
tal que:
1. � � � , para todo �
� �e ���
a identidade de�
.
2. � * � 4 �#, � � 6 4 � * � � , 6 � � , para todo �� �
e � * � �#, �"� . Em tal caso,�
é dito�-conjunto.
Exemplo 54.
1. Sejam�
um espaço topológico e� � � ��� ��� � � � é um homeomorfismo
'�
é um grupo não comutativo com a composta de funções. Definamos:� � � � � � � �
� ��� � � ��� � � � � � � � 'Então,
�é um
�-conjunto.
2. Seja�
o grupo gerado pelos homeomorfismos � � � � � , ��� � , definidospor:
� � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � ��� � � � �respectivamente. Logo, como no exemplo anterior:
� � � � � , ��� � ,� � � � � ��� � � ��� � � � � ��� � � � � ��� � '
Então, � , é um�
-conjunto.
3. Seja� �� . e 4 � , ��� 6 . Definamos:
� � � , � � . � � � .� � � � � � � � � � � �� � � �
onde�� é o antipodal de � . Então, � . é um
� , -conjunto.
78 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
4. Seja� �� e 4 ��� � 6 . Definamos:
� � � � � ��� �� � � � � � � � � � '
Então, � é um�
-conjunto.
5. Seja� �� , e 4 � , � � 6 . Definamos:
� � � , � � , ��� � ,� � � # � � � � ��� � � ��� � � # � � � � ��� � � � �
� # � � � 'Então, � , é um
� , -conjunto.
6. Sejam� � � � ��� � � � , � � ��� � ��� � � � � ��� e 4 �&� � 6 . Definamos:
� � � � � � � �
� � � � ��� � � ��� � � � ��� � � � �� � � � � . � � '
Então,�
é um�
-conjunto.
7. Seja � * � � ; então � * tem uma estrutura de grupo multiplicativo induzidapor � . De fato, se
,�� 1 � �� ,�� 1�� � � * , então ,�� 1 � � ,�� 1�� ,�� 1 � � � � � . Consideremos
� , .�� * ��� .�� * :� , .�� * � � � * ��� , � ' '-' ��� .�� * � � � .�� * � � � * � , � � � , � , � '-'-' � � � .�� * � , � '
Definimos:� � � * � � , .�� * ��� � , .�� * �
onde ,�� 1 � � � � * ��� , � '-'-' ��� .�� * � � ,�� 1 � � * �� ,�� 1 � � , � '-'-' �� ,�� 1 � � .�� * � ' Logo, � , .�� * é
um � * -conjunto.
8. Seja � . � * � � . e� � � � o grupo ortogonal. Definamos:
� � � � ��� � . � * ��� � . � *� � � � � � � � � �� � '
��� � � � ; logo está bem definida e � . � * é um � � � -conjunto.
Proposição 18. Seja�
um�
-conjunto. Para todo � �"� definamos:�
���� ��� �5�
por�
� � � � � � � , então�
� é bijetiva.
4.4. AÇÕES DE GRUPOS 79
Prova : Note que� � � ��� e que para todo � � � � � , temos
��
� �� � �
�� . Logo,�
�� �
� � � � ��
� � � � � � ��� e�
� � � � �� � � � � � � � � � ��� . Então
�� *
� � � � � .
Definição 23. Seja�
um�
-conjunto. Definimos:
1. O estabilizador de �� �
por:� � � � �"� � � � � �
'� � é um subgrupo de
�.
2. A órbita de �� �
por:�� � � � ��� � �"� '
Exemplo 55. Consideremos � como um � * -conjunto, com a ação:� � � * � � ��� �
� ,�� 1 � � � � * ��� , � � ��� � � � * ��� , � � ,�� 1 � � * � ,�� 1 � � , � 'Seja � � * ��� , � � � ; então o estabilizador do ponto � � * ��� , � é:
� *� � � � � � � � ,�� 1 � � � ���& 'Exercícios 16. Verifique que:
1. Para todo ���� � �
,��� � � ou são disjuntas.
2.� !
� " ��� , (união disjunta).
4.4.1�
-espaços
Se�
é um�
-conjunto, podemos definir sobre�
a seguinte relação de equivalên-cia:
� � � � existe � �"� tal que � � �� � �isto é:
� � � �� �"�
� 'Denotemos por
� � � o conjunto das classes de equivalência desta relação. Se�
éum
�-conjunto, temos a projeção canônica, que é sobrejetiva:
� ��� � � � � � '
80 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
Logo, se�
é um�
-conjunto que é espaço topológico, podemos dar a� � � a
topologia quociente.
Espaço Projetivo Complexo
Seja � * � � ; então � * com estrutura de grupo multiplicativo induzida por � e� , .�� * ��� .�� * . Definimos e denotamos o -espaço projetivo complexo, por:
� � . �� , .�� * � � �onde � � � se, e somente se �� � � , para algum � � � * .Exemplo 56.
1. Note que � identifica cada círculos de � , .�� * a um ponto.
2. � � * � , .
Definição 24. Seja�
um espaço topológico que é um�
-conjunto,�
é dito�
-espaçose�
� é contínua, para todo � � � .
Exemplo 57.
1. � . � � , é um� , -espaço.
2. � � � é um�
-espaço.
3. � , � � , é um� , -espaço.
4. Seja�
o grupo gerado pelos homeomorfismos � � � � � , ��� � , definidospor:
� � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � ��� � � � �respectivamente, então � , � � é um
�-espaço. Note que
�não é isomorfo a� ���
.
Observações 16.
1. Se�
é um�
-espaço a função�
� é um homeomorfismo, para todo � �"� .
2. Se�
é um�
-espaço, então existe um homomorfismo de grupos:� � � � �
�� # � � ���
� � � �� '
4.4. AÇÕES DE GRUPOS 81
Proposição 19. Se�
é um�
-espaço a projeção canônica:� ��� ��� � � �
é aberta.
Prova : Seja � � �aberto, devemos provar que
� � � � é aberto em� � � , o que é
equivalente a provar que� � * 4 � � � � 6 é aberto em
�. De fato:
� � * 4 � � � � 6 ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � para algum
� � � ��� � � � � � � � � para algum
� � � e � �"� ��� � � � � � � � � � para algum � ��� !
� "�� �� �
!� "��
�� � � � �
que é aberto, pois�
� é um homeomorfismo.
Exercícios 17.
1. Prove que se�
é finito, então�
é fechada.
2. Ache exemplos de�
-espaços, onde�
seja finito.
4.4.2 Exemplos
Agora estamos em condições de verificar alguns dos homeomorfismos vistos an-teriormente.
A) Seja � com a topologia usual e � * � � com a topologia induzida pela usual de� ; então:
� � � � � * '
1. Seja� � � � � � * tal que é definida por
� � � � ,�� 1 � . Veja o exemplo [41] .
2. Observemos que se consideramos � como grupo aditivo e � * como grupomultiplicativo (multiplicação induzida por � ). Então:
� � � � � � ,�� 1 � � � � � ,�� 1 � ,�� 1 � � � � � � � � � �isto é,
�é um homomorfismo de grupos com núcleo
�.
82 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
3. Para todo �� � � � ,
� � � � � � � � � �� � ���
.
4. � é um�
-espaço com a operação � � � � . Logo, � � � � existe ���tal que
� � � . �� � � � � � � �
5. Então,�
é uma identificação, pelo corolário [4] temos:
��
��
� // � *
� � �� =={{{{{{{{
Logo � é um homeomorfismo, onde � � � � � � � � � � , logo:
� � � � � � * '
B) Seja� � � � � � � � com a topologia usual e � * � � com a topologia induzida
pela usual de � , então:
� * � 4 � � � 6 �onde � � � � � � ou ��� ���� � � � � .
1. Seja� � � � � � * tal que é definida por
� � � � ,�� 1 � . Analogamante aoexemplo anterior,
�é uma identificação; pelo corolário [4], temos:
�
���
� // � *� � �
� ==zzzzzzzz
2. Logo � � é um homeomorfismo:
� * � ��� 4 � � � 6 '3. Então:
� � � � � � * � ��� 4 � � � 6 '
4.4. AÇÕES DE GRUPOS 83
C) De forma análoga, temos que:
4 � , � � 6 � � , � � , � � * � � * � � , �onde
� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , e para todo� � ��� � � � � * ��� * � � � , , consideremos a relação de equivalência:
� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � ou � � ��� � � � � ��� � e � � � � � � � � � � � '� , é o toro de revolução em � , parametrizado por:
� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � �� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � �onde � �� � � e � � � � � � � , .O homeomorfismo:
4 � , � � 6 � � ,fica para os próximos capítulos.
Exercícios 18. Seja�
o grupo gerado pelos homeomorfismos � � � � � , � � � , definidospor:
� � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � ��� � � � �respectivamente, Verifique que � , � � é homeomorfo à garrafa de Klein.
Sejam�
um�
-espaço e � um � -espaço, onde 4 � � � 6 e 4�� � � 6 são tais que:
� � � � � � � �� �
�� � ��� �
��� � � � �5�
homeomorfismo�
�� � � � � � homeomorfismo
� � ��� ��� � � � � sobrejetiva e contínua��� � ��� � � � � sobrejetiva e contínua '
Lema 2. Sejam�
um�
-espaço e � um � -espaço. Então� � � é um
� �� -espaço.
84 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE
Prova : Com as notações anteriores, definamos:� � 4 � � � 6 � 4 � � � 6 ��� 4 � � � 6� ��� � � � � � � ��� � � � �� � � ��� � � ��� � ��� � �
� � � � �e
�� � � � �
� 4 � � � 6 ��� 4 � � � 6� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � '
Não é difícil provar que� � � é um 4 ��� � 6 -espaço e
� � � � � � é um homeomorfismo.
Proposição 20. Com as notações anteriores:
4�4 � � � 6 � 4 � � ��6 6 � 4 � � � 6 � 4 � � �56 'Prova :
1. Definamos ��� � � ��� � � � � � � � � � � � , isto é, � � � � * � � , � �:
� � ��
��
� ��� � � � �//� � � � � � �
�vvlllllllllllll
� � � � � � �2. � é naturalmente bem definida e bijetiva.
3. � é contínua. Sejam � � ��� � � � � 4 � � � 6 � 4 � � � 6 aberto; devemos provarque
�� * 4 � � �&� � � � 6 é aberto em 4 4 � � � 6 � 4 �$� ��6 6 , isto é, pela definição de
topologia quociente, devemos provar que�� * 4 � � * 4 � � � � � � � 6�6 é aberto em� � � .
4. � � � � � �/� � � � , então� � * � � � * � � � ��� � * � � � *� � � � *� � ; logo:
� � * 4 � � * 4 � � � � � � � 6�6� � � *� � � � � � � � � *� � � � � � �que é aberto, pela definição da topologia quociente.
Exemplo 58.
Sejam� �� , e
� � , . Definamos:� � � , � � , � � � ,� � � # � � � � ��� � � � � � � # � � � � ��� � � � �
� # � � � 'Então, � , é um
� , -espaço, e:
� , � � , � � � � � � � � � � * � � * � � , '
Capítulo 5
Compacidade
Do Cálculo sabemos que funções contínuas definidas sobre conjuntos limitadose fechados possuem um ponto de máximo e um de mínimo absoluto (Teoremade Weierstrass) e da Análise conhecemos o teorema de Heine-Borel sobre inter-valos encaixados. As formulações de compacidade em espaços topológicos en-volve muito mais do que o conceito de fechado e limitado, os quais não são equi-valentes. A importância principal da compacidade é que ela nos permite obterpropriedades globais a partir de propriedades locais. Existem várias formas deintroduzir o conceito de compacidade em espaços topológicos. Nós escolhemosa seguinte.
5.1 Introdução
Seja�
um espaço topológico e � � �.
Definição 25.
1. Uma cobertura de � é uma família de subconjuntos � ��� 1 � � � � ��� tal que:
��� !1 "�� �1 '
2. Se�
é finito, a cobertura é dita finita.
3. A cobertura é dita aberta se os � 1 � � são conjuntos abertos.
4. Se � �, então � é uma cobertura se:
� !1 "�� �1 '
85
86 CAPÍTULO 5. COMPACIDADE
Exemplo 59. Seja � com a topologia usual.
1. Seja � � � � � � � ; então � � � ��� � � � ��� � � � � é uma cobertura nãoaberta de � � � � � .
2. Seja � � � � � � � ; então � � � � � � � � ��� � � � � é uma cobertura abertade � � � � � .
3. � � � � � � � � ���& é uma cobertura aberta de � .
Definição 26. Sejam � ��� 1 � � � � � � e � � � � � � ��� � � coberturas de
� � �. Se para todo � � � existe � � �
tal que � 1 � � , então, dizemos que � é umasubcobertura de � .
Exemplo 60.
� � � � � � � � � �& é um subrcobertura de � � ��� � � � � � � � � � .A seguir, somente consideraremos coberturas abertas.
Definição 27. Um subconjunto � � �é dito compacto, se toda cobertura de � admite
uma cobertura finita.
Em particular,�
é compacto, se todo cobertura de�
admite uma cobertura finita.
Observações 17.
1. Os conjuntos finitos, em qualquer espaço topológico, são compactos.
2. A união e a inteseção finita de compactos é um compacto.
Exemplo 61.
1. Seja 4 �5� 1 .�� 6 . Todo � � �é compacto.
2. Seja 4 �5� �� 1�� 6 . � é compacto se, e somente se�
é finito.
3. Se � � �é discreto infinito, então � não é compacto. Em particular, � e
�
não são compactos.
4. � não é compacto, pois � � � � � � � � � �& não possui uma coberturafinita.
5. Para todo ��/� � , � � �� � � � é compacto. Veja [EL1].
Exercícios 19. Seja � � �um subespaço. � é compacto se, e somente se � é compacto
com a topologia induzida.
5.1. INTRODUÇÃO 87
Proposição 21. São equivalentes as condições:
1.�
é compacto.
2. (Propriedade da interseção finita) Se � �� � � � � � � é tal que os � � são
fechados e:0�#" � � � � �
então existe uma subfamília finita � � � � � � � � � '-'-' � � � � tal que:
.0132 * � ��� � '
Prova : A prova segue diretamente das leis de de Morgan. Por exemplo:0�#"�� � � � é equivalente a
!�#"�� � �� � '
Proposição 22. Seja� � � ��� � contínua. Se � � �
é compacto, então� � � � é
compacto em � .
Prova :Seja � � � 1 � � � �
um recobrimento de� � � � ; então � � � * � � 1 � � � � �
é umacobertura de � ; como � é compacto, existe subcobertura finita � � � * � � � � ��� � � ,onde � é finito. Como
� � � � * � � � � � � � � , então � � � ��� � � é uma subcoberturafinita de
� � � � .Corolário 6.
1. Se�
é compacto e� ��� ��� � é contínua e sobrejetiva, então � é compacto. Em
particular, se � tem a topologia quociente induzida por�
, então � é compacto.
2. Se� � � , então
�é compacto se, e somente se � é compacto.
Exemplo 62. O traço de uma curva contínua �� � � �� � ��� �
é compacto.
Em particular, seja� � � � ���� ��� � , definida por
� � � � � ��� � � � � � � � � � � tal que ��� � �
. Então � * � � � � ���� � é compacto em � , . O toro � , também é compacto.
Observação 19.
Nem todo subconjunto de um espaço compacto é compacto. � � � � � � � � � � � não écompacto.
88 CAPÍTULO 5. COMPACIDADE
Proposição 23. Se�
é compacto e � � �é fechado, então � é compacto.
Prova : Seja � ��� 1 � � � � uma cobertura de � , onde cada � 1 é aberto em�
; então � � � � � � é uma cobertura de�
; como�
compacto, possui umsubcobertura finita, que pode ser:
��� 1 � � � � ou ��� 1 � � � � � � ��� � �onde � é finito. Logo ��� 1 � � � � é um subcobertura finita de � .
Proposição 24.�
e � são compactos se, e somente se� � � é compacto.
Prova : Se� � � é compacto, como as projeções são contínuas, então
�e � são
compactos.
Reciprocamente, seja� � � � � �
uma cobertura aberta de� � � ; por
definição:
� !�%"�� 4 � � �
� � � � 6 �
onde � � � é aberto em�
e� � � é aberto em � , então:
� ��� � � � � � � � ���� � � � � é uma cobertura aberta de
� � � .Por outro lado, para cada �
� �, temos que � � ��� � � ; logo ��� � � é compacto;
como � também é uma cobertura de ��� � � , então admite um subcobrimentofinito ��� 1 � � 1 � � � ��� � '-' ' � , onde � � � . Seja:
� � . � � �0132 * � 1 '
��� � � � � � é uma cobertura aberta de
�; como é compacto, admite uma subco-
bertura finita ��� � �#� � � ��� � '-' ' � # ; então:
��� � � � � � � � � � ��� � '-'-' � # � � 1 � ��� � '-'-' � � � � é uma cobertura finita de
� � � , isto é, para cada � e � 1 , existe �� �
e � � � talque:
� � � � � � � � � � � � � � � � � 'Logo, existe subcobertura finita de
�, provando que
� � � é compacto.
5.2. COMPACIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 89
Corolário 7.� * � � , � '-'-' � � . são compactos se, e somente se
� * � � , '-'-' � � . é com-pacto.
Exemplo 63.
1. � . não é compacto.
2. Se� � � � � � , então
� . � � � � ' '-' � �é compacto.
3. O toro � , �� * � � * é compacto.
4. O toro não é homeomorfo ao cilindro � * � � .
5.2 Compacidade em Espaços Métricos
Proposição 25. Sejam 4 ! ��� * 6 e 4 � ��� , 6 espaços métricos tal que!
é compacto. Se� � ! ��� �é contínua, então
�é uniformemente contínua.
Prova :Como
�é contínua, para todo � � � existe
� � � � tal que se� * � � ��� � � � � � , en-
tão� ,�� � � � � ��� � � � � � � � � . Seja � � )���� � � � � � � �
; � é uma cobertura abertade
�; por compacidade, admite um cobertura finita � )���� � � � 1 � � �+ � ��� � '-'-' � .
Denotemos por� �� � � � � � � � � � � � ��� � '-' ' � , então dados �
��� � �tais
que� *%� � ��� � � �
, temos� ,�� � � � � ��� � � � � � � . Isto é, se �
� )���� � � � 1 � para algum � ,� *%� � � � 1 � � � � � e:� � � � � 1 � �$� � � � � � � � � � � � 1 � � � � � � logo
� ,�� � � � � ��� � � 1 � � � � � � �� ,�� � � � � ��� � � � � �$� ,�� � � � � ��� � � 1 � � � � , � � � � 1 � ��� � � � � � � � � � � � � � '
Proposição 26. Seja 4 ! ��� 6 um espaço métrico. Se � � !é compacto, então � é
fechado e limitado.
Prova : Provemos que � é fechado. Se �� � e ���� � , então para todo
��� � , existe� � � tal que
� � � ��� � � � ; logo � possui uma cobertura � )�� � � � � � � � ; como� é compacto, existe uma cobertura finita � )�� � � � � � � � � '-'-' ; então )�� � � � � �)�� � � � � � � o que é uma contradição, pois �� � ; logo �� � . Por outro lado, para
todo ��� !
:
� � )+*%� �� � � )&,�� �� � � ) �� �� � � '-'-'� �
!132 * )/. � � ��
� �logo, é limitado.
90 CAPÍTULO 5. COMPACIDADE
Observações 18.
1. Em geral, a recíproca desta proposição é falsa. De fato, seja!
com a métricadiscreta tal que � � !
é infinito; então � é fechado e limitado, pois � �)&, � � � ! para todo �� !
e não é compacto.
2. No caso! � . temos:
Proposição 27. (Heine-Borel) Um subconjunto é fechado e limitado em � . se, e so-mente se é compacto.
Prova : Seja � � � . fechado e limitado. Se � é limitado, existe � � � tal que��� � � , para todo �
� � ; logo � � � � � � � � . � � � � � ��� � � � � � ��� '-' ' � � � � � � � .Por outro lado, � � � � � � é compacto, pois � � � � � � � � � � � � . Logo, � é fechado contidonum compacto; então, � é compacto.
Exemplo 64.
1. � . é compacta.
2. O toro � , é compacto.
3.� � . é compacto.
4. O toro e a esfera não são homeomorfos a � , .5. O toro e a esfera não são homeomorfos ao cilindro � * � � .
6. A faixa de Moebius é compacta.
7. Os grupos � � � e ��� � � são compactos. De fato, sabemos que são fechadose para toda � � � � � , temos que
� � � *� � .
Corolário 8. (Weirstrass) Seja�
um espaço topológico compacto e� ��� ��� � contí-
nua; então existem ����� * � �
tais que:
� � �� � � � � � ��� � � � * � �para todo �
� �.
Prova :Como
�é contínua,
� � ��� é compacto em � , logo é fechado e limitado; como� � ��� é limitado, existe! � ��� � � � � � � � � �
e� �&%%� � � � � � � � �
; alémdisso é fechado; então
! ��� � � � ��� . De fato, suponha que! �� � � ��� , como� � ��� � � ��� , então existe � � � tal que � ! � � � ! � � � � � � ��� � . Isto é, para
5.2. COMPACIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 91
todo �� �
,� � � ��� ! � � o que é uma contradição. Analogamente para
�. Logo,
existe ���� * � �
tais que! � � � * � e
� � � �� � , e:� � �� � � � � � ��� � � � * � �
para todo �� �
.
Seja � � �um conjunto limitado, definimos e denotamos o diâmetro de � por:
� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � 'O número
� � � é dito de Lebesgue da cobertura ��� 1 � � � � de�
, se para todo� � �com
� � � � � �, então existe � � � �
tal que:
� � � 1 � 'O número de Lebesgue de uma cobertura pode não existir. De fato, considere acobertura � � � � � � � � � � �� �
de � � � � . Não é difícil ver que para todo� � � ,
se pode escolher � � � � � � � ; tal que� � � � � � � � � �
e � � � � � não pertence anenhum elemento da cobertura.
Lema 3. (Lebesgue) Todo conjunto compacto num espaço métrico possui um númerode Lebesgue.
Prova : Sejam � compacto, ��� 1 � � � � uma cobertura de � e �� � . Esco-
lhemos o número � � � � � � tal que )�� � � � � � � � � � 1 para algum � � �; então� )�� � � � � � � � �#� � � � �
é uma cobertura de�
, como�
compacto, admite cober-tura finita )�� � * � � � � * � � , )�� ��, � � � ��, � � � '-'-' , )�� � . � � � � . � � . Seja
� ��� ��� � � * � � � � ��, � � '-'-' � � � � . � 'O número
� � � é o número de Lebesgue. De fato, seja ) � � � � �para algum �
� �;
então, existe � � � � ��� '-'-' � tal que �� )�� � 1 � � � � 1 � � � � . Por outro lado, se
� �)�� � � � �
, temos que:� � � � � 1 � �$� � � � � � � � � � � � 1 � � � � � � � 1 � � � � � � � 1 � '
Logo, )�� � � � � � ) � � 1 � � � � 1 � � �#� � � , para algum � � ��� 1 � � � � .
92 CAPÍTULO 5. COMPACIDADE
Capítulo 6
Axioma de Separação
6.1 Introdução
Consideremos 4 ! ��� 6 um espaço métrico com mais de dois elementos. Semprepodemos escolher � � � tal que
� � � ��� � � � com ���� � !
e �� �
, então)��-� � � ��)��-� � � �. Esta propriedade natural dos espaços métricos, que nos per-
mite diferenciar os pontos dos espaços, não é válida, em geral, em espaços topo-lógicos arbitrários. Neste parágrafo estudaremos que tipo de espaços possuemesta propriedade, que por exemplo, é fundamental para provar a unicidade dolimite de uma sequência em espaços métricos. Veja [EL2].
6.2 Espaços de Fréchet
Seja 4 ��� 6 um espaço topológico
Definição 28.�
é um espaço de Fréchet ou ��* se para todo ���� � �
tal que �� � ,
existe � � tal que �� � e
� �� � .
Exemplo 65.
1. 4 ��� �� 1�� 6 e os espaços topológicos metrizavéis são � * .2. 4 ��� 1 .�� 6 não é � * .
Proposição 28.�
é � * se, e somente se ��� é fechado em�
, para todo �� �
.
Prova : Suponha que�
é � * . Seja �� �
e� � � � ��� ; então existe � � vizinhança
de�
tal que ���� � � ; logo: !� "�� ����� � �
��� ��� �
93
94 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO
isto é,��� ��� é aberto.
Reciprocamente, se ��� e � � são fechados em�
; então� � ��� e
� � � �� sãoabertos,
� �� � � ��� e � �� ��� � � ; logo�
é � * .
6.3 Espaços de Hausdorff
Seja 4 ��� 76 um espaço topológico
Definição 29.�
é um espaço de Hausdorff ou � , se para todo ���� � �
tal que�
� � , existem � � � � , �� � e
� � �tais que � � � � .
� , implica � * . A reciproca é falsa. Veja o seguinte exemplo:
Exemplo 66.
1. 4 � � � � 6 é de Hausdorff
2. 4 ��� �� 1�� 6 e os espaços topológicos metrizavéis são de Hausdorff.
3. 4 ��� 1 .�� 6 não é de Hausdorff.
4. 4 � � ����� 6 não é de Hausdorff. De fato. Para todo � � � � ����� , temos � � � ��. De fato, sejam � � � �7* e
� � � � , , onde ��* e � , são finitos; então� � � �� � 4 � * � � , 6 ; como � * � � , é finito, então ��� � � � ; logo não podeser de Hausdorff. Note que 4 � � ����� 6 é � * .
5. Utilizando propriedades dos anéis de polinômios é possível verificar quetopologia de Zariski não é de Hausdorff.
Teorema 9. São equivalentes as seguintes condições:
1.�
é de Hausdorff.
2. Se �� �
, para todo� � � existe uma vizinhança � de � tal que
� �� � .
3. Para todo �� �
temos que:
0 � ��� � vizinhança de � ��� '
4. A diagonal � � � � � � � � � � � é um conjunto fechado em
� � �.
6.3. ESPAÇOS DE HAUSDORFF 95
Prova :
� � � � �Dados �
� � , existem � e�
vizinhanças de � e�
respectivamente, taisque � � � � ; logo
� �� � .� ��� � � Se
� � � existe uma vizinhança � de � tal que� �� � ; então:
� �� 0 � ����� vizinhança de � '
� � � � � Provaremos que � � é aberto. Seja � � ��� � �� � ; então �� � ; como ��� � � � ��� vizinhança de �
, existe � tal que �
� � e� �� � . Por outro lado, �$�4 �&6 � � , então � � ��� � � � � 4 �&6 � � � � .
� � � � � Dados �� � , então � � ��� � �� � , isto é � � ��� � � � � que é aberto; logo existe
vizinhança � � �de � � ��� � tal que 4 � � � 6 � � � .
4 � � � 6 � � � � � existe �� �
tal que � � � � � � �� �
� � e ����
� � � � � � 'Logo; �
� � e� � �
, � � � � .Corolário 9.
1. Se�
é de Hausdorff e � � �é um subespaco, então � é de Hausdorff.
2. Se � é de Hausdorff e� ��� ��� � é contínua e injetiva, então
�é de Hausdorff.
3. Se�
e � são de Hausdorff, então� � � é de Hausdorff.
Prova :
1. Denotemos por � � a diagonal de � , então
� �� � � 4 � � � 6 'Logo � � é fechado em � � � e � é de Hausdorff.
2. Como�
é contínua e injetiva:
� � � �"� � � � * 4 � � 6 'Logo � �
é fechada em� � �
e�
é de Hausdorff.
96 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO
3. Se�
e � são de Hausdorff, definamos:� ��� � � � � � � ��� � � � � � � �
� � � � * ��� ��� * � ��� � � ��� � � * ��� * � '�
é um homeomorfismo e:� 4 � � � � � 6 � �
� � 'Logo, � �
� � é fechado em� � � � � � � e
� � � é de Hausdorff.
Exercícios 20. Se�
é de Hausdorff e� � � ��� � é uma bijeção fechada, então � é de
Hausdorff.
Teorema 10. Se�
é de Hausdorff e � � �é compacto, então � é fechado.
Prova : Se � �ou � �
nada temos a provar. Sejam � � � � �e �
� � � ;para todo �
� � existem � � e� � vizinhanças de � e � respectivamente, tais que
� � � � � � . Por outro lado, � � � ��� � � é um recobrimento aberto de � ; como �é compacto, existe um subrecobrimento finito � � � �#� � � ��� � '-' ' � . Considere-mos:
� .0132 * � � � '
� é vizinhança de � tal que � � � � � � para todo � ; logo � � � � , isto é, para cada�� �&� existe um aberto tal que �
� � � �&� , logo �/� é aberto e � fechado.
Observação 20.
A condição de ser de Hausdorff e de compacidade são essenciais no teoremaanterior. Vejamos os seguintes exemplos:
Exemplo 67.
1. Considere� ��� �� ��� com a seguinte topologia � � � ��� � � ��� . Então� � � é compacto e �&�/ ��� ��- �� , logo � não é fechado. Note que
�
não é de Hausdorff.
2. Seja� � com a topologia dada no exercício [1], ítem 2. Seja � � � , �
é compacto e � � pois para todo aberto �&. temos � ���/. � � . Isto é,para todo � � , � � e � não é compacto. De fato:
�� !. " �
� . �
onde� . � � � . Logo, o fecho de um compacto pode não ser compacto.
6.3. ESPAÇOS DE HAUSDORFF 97
Corolário 10. Sejam (* e 7, topologias em�
tal que */� 7, . Se 4 �5� * 6 é de Haus-dorff e 4 �5� , 6 é compact, então * , .Prova : Seja � � 7, ; logo � � � é fechado em 7, ; então � é compacto em , . Por outro lado, como (* � , , todo recobrimento aberto de
�em * é um
recobrimento aberto de�
em , ; então � é compacto em * . Como 4 �5� * 6 é deHausdorff, segue que � é fechado em (* ; logo � � * e ,/� * .Proposição 29. Sejam
�espaço topológico, � espaço de Hausdorff e
��� � � � ��� �contínuas. Então:
1. ��� � � � � � � � �� � � � é fechado em � .
2. Se � � �é denso e
� �� � �� �� � então� �� em
�.
3. O gráfico de�
é fechado em� � � .
4. Se�
é injetiva, então�
é de Hausdorff.
Prova :
� � Seja � ��� � � � � � onde � � � � � � � � � � � � � � � ; � é contínua e:
��� � � � � � � � � � � � �� � * � � �e � é fechado em
� � � .� �
Segue, de imediato, pois ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � . Como��� � � � � � � � � � � � é fechado e � é denso, então:
��� � ��� � � � � �� � � � ��� � � � � � � � �� � � � '� � Seja � ��� � � � � � � � onde � � � ��� � � � � � � ��� � ; � é contínua e:
� � � � � � * � � �e � é fechado em
� � � .
� � A função�� * � � � ��� ��� �
é uma bijeção fechada do espaço� � ��� que é de
Hausdorff.
Observações 19.
1. O ítem � da proposição [29], não é válido sem a hipótese de ser de Haus-dorff. Por exemplo, considere
� � � e � � � � tal que��� � � 4 � � 1 .�� 6 ��� 4 � � 1 . � 6 �
ambas são contínuas e ��� � � � � � � � � � � � � � , que não é fechado em4 � � 1 .�� 6 .
98 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO
2. Note que as curvas contínuas e os planos são fechados em � com a topolo-gia usual.
Proposição 30. Se�
é compacto, � é de Hausdorff e� ��� ��� � é contínua, então
�é fechada.
Prova : Seja � � �fechado; logo é compacto; então
� � � � é compacto, o queimplica
� � � � é fechado em � e�
fechada.
Corolário 11. Sejam�
compacto, � espaço de Hausdorff e� �� ��� � contínua. São
equivalentes:
1.�
é um homeomorfismo.
2.�
bijetiva.
Prova : Se�
é um homeomorfismo, então é bijetiva. Reciprocamente. Se�
ébijetiva, então
�é aberta e fechada; logo é um homeomorfismo.
Observação 21.
A condição de compaciade é essencial no corolário [11]. De fato, considere osseguintes espaços topológicos 4 � � � � 6 , 4 � � �� 1�� 6 e a função identidade:
� � � 4 � � �� 1�� 6 ��� 4 � � � � 6que é contínua, bijetiva e não é um homeomorfismo.
Corolário 12. Sejam�
compacto, � espaço de Hausdorff e� � � ��� � contínua e
injetiva então:
� � � � ��� '
6.4 Topologia Quociente
Em geral, é falso, que espaços quocientes de um espaço de Hausdorff sejam deHausdorff.
Exemplo 68. Seja � com a topologia usual e definamos a seguinte relação de equivalên-cia:
� � � � �� � ou ��� ��� � � � � � � '
6.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 99
Consideremos 4 ��� � 6 com a topologia quociente e�
a correspondente projeçãocanônica. Se ���
� � � � � � , então� � * � � �� � � � � � � � , que não é fechado em � ; logo� � �� � não é fechado em 4 � � � 6 , o qual implica em que 4 � � � 6 não pode ser
de Hausdorff.
Teorema 11. Seja�
compacto, de Hausdorff e� � � ��� � uma identificação. Se
�é
fechada, então � é de Hausdorff (compacto).
Prova : Sejam� * � � , � � tal que
� * � � , , então�� * � � * � e
�� * � � , � são compactos
disjuntos. Seja �� � � * � � * � e
&� � � * � � , � , então existem � � � � e� � � � abertos disjuntos
tais que �� � � � � e
&� � � � � . Por outro lado, � � � � � � &� � � * � � , � é uma cobertura de� � * � � , � ; logo existe uma subcobertura finita � � � � � � � ) , onde ) � � � * � � , � e )finito. Sejam:
� � 0� "�� � � �
� e� � !
� "��� � � � �
� � e� � são abertos tais que � � � � � �
e �� � � , � � * � � , � � � � . Por outro
lado, ��� � � � � � � * � � * � é uma cobertura de�� * � � * � , logo existe uma subcobertura
finita ��� � � � � � , onde � � � � * � � * � e � finito. Sejam:
� !� " �
� � e� 0
� "��� � �
� e�
são abertos disjuntos tais que� � * � � * � � � e
� � * � � , � � �; como
�é fechada,
então� � �/� � e
� � � � � são fechados em � . Denotemos por:� * 4 � � � � � 6 � e
� , 4 � � � � � 6 � '� * e
� , são abertos tais que� * � � * , pois
�� * � � * � � � e
� , � � * , pois�� * � � , � ��
. Se� � � *�� � , , então
� �� �� * � � � � e
� �� �� * � � � � ; logo
�� * � � � � � � �
e� � * � � � � � � � donde� � * � � � � � � � � e
� * � � , � .Corolário 13. Seja
�compacto, de Hausdorff e � � �
fechado. Definamos em�
arelação de equivalência:
� � � � � � ou ��� ���� � � 'Então 4 � � � 6 é compacto e de Hausdorff.
Prova :Seja � � �
fechado e�
a projeção canônica. Se � ��� � , então� � � � � . Se
� � � � � , então� � � � � � � � � � � � � � � � � que é fechado. De fato:
� � * 4 � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � 'Logo,
�é fechada.
É comum na literatura denotar-se� � � por
��� � .
100 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO
Corolário 14. Se�
é um�
-espaço compacto, de Hausdorff e�
é finito, então� � � é
compacto e de Hausdorff.
Prova : Seja � � �fechado, então:
� � * 4 � � � � 6 !� "��
�� � � � �
onde�
é a projeção canônica.�
� é um homeomorfismo, para todo � � � ; então�� * 4 � � � � 6 é fechado e
� � � � é fechado; logo�
é fechada.
Proposição 31. Se�
é compacto, � é de Hausdorff e� ��� ��� � contínua sobrejetiva,
então�
é uma identificação.
Prova : Seja � � �fechado, então � é compacto em
�, logo
� � � � é compactoem � , como � é de Hausdorff,
� � � � é fechado em � e�
é uma função fechada epela proposição [17],
�é uma identificação.
Exemplo 69.
1. O toro � , é compacto e de Hausdorff.
2. � � . e � � . são compactos e de Hausdorff.
3. A faixa de Moebius é compacta e de Hausdorff.
4. A garrafa de Klein é compacta e de Hausdorff.
6.4.1 Homeomorfismos
Nas seguintes aplicações utilizaremos o seguinte corolário cuja prova segue dire-tamente do parágrafo anterior e do corolário [11]:
A) Seja � . � * � � � � � . � * � �, então:
) � � � � � � 4 � . � * � � 6 � 4 � . � * � � � 6 '1. De fato, definamos
� � � . � * � � � � ) � � � � � por� � � � � � �
� .
2. Por outro lado� � � * � � * � � � ��, � � , � � �
� � ou � * ��, e� * � , � ,
�é contínua e sobrejetiva. Logo, por passagem ao quocientes,
�induz uma
bijeção contínua � tal que � � � �.
6.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 101
3. Denotemos por� 4 � . � * � � 6 � 4 � . � * � � � 6 , temos o seguinte diagrama
comutativo:
� . � * � �
���
�// ) � � � � �
�
�
88rrrrrrrrrrr
4. Como�
é compacto e ) � � � � � é de Hausdorff, então � é um homeomorfismoo qual é definido por � � � � � � � � � � � � � � � � .
B) Seja � , o toro de revolução. Então:
� , � � * � � * � 4 � , � � 6 � � , � � , '1. Pelo exemplo C em [4.4.2], provaremos que:
� , � 4 � , � � 6 �onde � , é o toro de revolução em � .
2. � , � � é parametrizado por:
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � �onde � �� � � e � � � � � � � , .
3. Seja� � � � � � e consideramos
� , � � , com a topologia usual e a relação deequivalência definida em
� , por:
� � � � � � � � � � � e � � � � � � � � � � �para todo � � � � � � � , .
4. Consideremos 4 � , � � 6 com a topologia quociente e definamos:
� �� � � ��� � ,por
� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � � .
102 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO
5.�
é bem definida, contínua e sobrejetiva; como é periódica, então como� � � � � � � � � � � e � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � * � � * � . Logo, por passagem
ao quocientes,�
induz uma bijeção contínua � tal que � � � �. Em outras
palavras, temos o seguinte diagrama comutativo:
� ,�
��
� // � ,� , � �
�
<<yyyyyyyy
6. Como 4 � , � � 6 é compacto e � , é de Hausdorff, então � é um homeomor-fismo. Note que � � � � * � � , � � � � � * � � , � .
7. Em geral, com argumentos análogos aos anteriores, se consideramos o toro -dimensional � . �� * � � * � '-' ' � � * , ( vezes), temos que:
� . � � . � � . 'C) Seja
� � .�� *� , isto é � .�� * menos a origem, definamos em�
a seguinte relaçãode equivalência:
� � � � existe � � � � tal que �� � � 'Seja
� 4 � � � 6 , então:� � � � . '
1. Considere � . � � .�� * com a topologia induzida pela topologia usual de� .�� * .2. Seja
� � � . ��� �definida por
� � � � , onde � � � . � � � .�� *� é a inclusão e� � � .�� *� ��� �é a projeção canônica.
3.�
é contínua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:
� .�
��
� // � � .�
�
<<yyyyyyyyy
4. Como � . é compacta e � � . é de Hausdorff, então � é um homeomorfismo� .
6.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 103
5. È claro que � � � é um ponto e � � * � � * . De fato, basta considerar a função� � � * ��� � * tal que� � � � � , , por argumentos análogos aos anteriores,
temos o seguinte diagrama comutativo:
� *�
��
� // � *
� � *�
==zzzzzzzz
Logo, temos que � � * � � * .D) Seja
� �� .�� *� , isto é � .�� * menos a origem, definamos em�
a seguinte relaçãode equivalência: � * � � , � existe � � � � tal que
� * � � , 'Seja
� 4 � � � 6 , então:� � � � . '
1. Considere � , .�� * � � .�� * com a topologia induzida pela topologia usual de� .�� * .
2. Seja� � � , .�� * � � �
definida por� � � � , onde � � � , .�� * ��� �
é a inclusãoe� � � .�� *� ��� �
é a projeção canônica.
3.�
é contínua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:
� , .�� *�
��
� // � � .�
�
::vvvvvvvvvv
4. Como � , .�� * é compacta e � � . é de Hausdorff, então � é um homeomorfis-mo � .
Exemplo 70.
Verifique que � � � é um ponto e � � * � � , .F) Seja
!a faixa de Moebius, então:
! � �� �
104 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO
onde � é a superfície parametrizada em � , por:
� � � � � � � � , � � , � � � � �� �
� � � � � � ��� � ��� �
� �� � � � � � ��� �onde � � � � � � � , .
1. Lembremos que! 4 � � � 6 , onde � � � � ��� ��� � � � , � � , � � � � � .
2. Seja � � � ��� � � � � � e� � ! � � � definida por:
� � � � � � � � � , � � , � � ��� �� � � �
�� � ��� �
� � ��� �
3. A função�
é injetiva, contínua,!
compacto e� � ! � � � de Hausdorff;
logo! � � � ! � � '
6.4.2 Variedades Topológicas
Seja�
um espaço topológico.
Definição 30.�
é uma variedade topológica de dimensão , se�
é de Hausdorff etodo ponto de
�possui uma vizinhança homeomorfa a uma aberto de � . .
Observações 20.
1. Se�
é uma variedade topológica de dimensão é equivalente a dizer que,para todo �
� �, existe uma vizinhança � e um homeomorfismo:
� � � ����� . �onde� . � � . é o disco unitário.
Ux
h
D
X
Figura 6.1: Variedade de dimensão 2
6.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 105
2. Uma variedade topológica de dimensão é localmente homeomorfa a � . .
3. Se �, então
�é dita superfície topológica.
4. Se�
e � são variedades de dimensão e # , respectivamente, então� � � é
uma variedade de dimensão � # . (Verifique!).
Exercícios 3.
1. Todos os conjuntos abertos de � . são variedades topológicas de dimensão .
2. As esferas � . são variedades topológicas de dimensão . O homeomorfismolocal é a projeção sterográfica.
3. � . �� * � '-'-' � � * (n-vezes) é uma variedad topológica de dimensão .
4. Os espaçõs projetivos reais e complexos são variedades topológicas de dimen-são e
� , respectivamente.
5. A garrafa de Klein é uma superfície topológica.
106 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO
Capítulo 7
Conexidade
7.1 Introdução
Seja�
um espaço topológico.
Definição 31.�
é conexo se não existem � e ) abertos disjuntos não vazios tais que� � � ) . Caso contrário�
é dito desconexo.
Observação 22.
� � �é conexo, se é conexo como subespaço de
�.
Exemplo 71.
1. ��� e�
são sempre conexos.
2. Em 4 ��� 1 .�� 6 , todo subconjunto é conexo.
3. Em 4 �5� �� 1�� 6 , os únicos conexos não vazios são os conjuntos de um elemen-to.
4. Seja 4 � � �� � 6 ,(a)
� � � é desconexo. De fato, basta considerar:
� � � � � � � � �e ) � � � ��� � � � '
(b) Para todo �� � , então � � ��� é desconexo. De fato, basta considerar:
� � � � � � e ) � � ��� � '5. 4 � � ����� 6 é conexo. De fato, nesta topologia não existem abertos não vazios
disjuntos.
107
108 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE
Proposição 32. Seja � com a topologia usual. Os únicos conjuntos conexos em � commais de um ponto são os intervalos (abertos, fechados, etc).
Prova : Se � é conexo, então � é um intervalo. Suponha que � não é um intervalo,então existem �
��� � e� �� � tal que � � � �
. Sejam � � � ���%� � � e) � ����� � � � ; logo � � � ) e � não é conexo.
Se � é um intervalo, então é conexo. Se � for desconexo, então existem � e )abertos disjuntos não vazios tais que � � � ) . Sejam �
� � e � ) tais que
��� (caso contrário, mudamos os papéis de � e
). Denotemos por:
�� � ��� ����� � � � � � � � 'Logo � �
; como � é um intervalo, � � � . Por outro lado, � � � � � � � .
Como � � � ) , então � é aberto e fechado em � ; logo � � � �� e existe � � �tal que � � � � � � � � � � � , contradição, pois � é um supremo.Segue de imediato da proposição anterior:
Corolário 15. Seja � com a topologia usual. � � � é conexo se, e somente se � �,� ��� ou � é um intervalo.
Teorema 12. São equivalentes:
1.�
conexo.
2. Os únicos subconjuntos abertos e fechados em�
são�
e�.
3. Não existe função� � 4 �5� 6 ��� 4 � � � � � �� 1�� 6 contínua e sobrejetiva.
Prova :� � � � �
Se � � �é aberto, fechado e não vazio ou
�, então
� � � � � , então�desconexo.
� � � � � Suponha que� � 4 �5� 6 ��� 4 � � � � � �� 1�� 6 é contínua e sobrejetivaa, logo�
� * � � � � � , como � � é aberto e fechado em 4 � � � � � �� 1�� 6 , então�� * � � � é aberto e
fechado em�
.
� � � � � Se� � � ) onde � e ) são abertos disjuntos não vazios, então � e )
são fechados e a função �� 4 ��� 6 ��� 4 � � � � � �� 1�� 6 definida por:
� � � � � se �
� �� se �
� )é contínua e sobrejetiva.
7.1. INTRODUÇÃO 109
Exemplo 72. Segue do teorema que � , com a topologia usual é conexo.
Corolário 16.
1. Se�
é conexo e� ��� ��� � é contínua, então
� � ��� é conexo.
2. Seja� � � . Então,
�é conexo se, e somente se � é conexo.
3. A união arbitrária de subconjuntos conexos de�
que tem pelo menos um ponto emcomum, é conexa. Isto é. Seja ��� � � � � �5�� tal que
0�
� � � � , então:
!�-" $ � �
é conexo.
4. Seja � � �subconjunto conexo. Se ) � �
é tal que � � ) � � , então ) éconexo. Em particular, o fecho de um conexo é conexo.
Prova :
1. Note que� ��� � � � � ��� é contínua e sobrejetivaa. Se
� � ��� for desconexo,existe � � � � ��� ��� � � � � contínua e sobrejetiva; logo � � � � � ��� � � � � contínua e sobrejetiva, o que é uma contradição, pois
�é conexo.
2. É imediata.
3. Sejam ����� ��� � � família de conexos, e:
� !�#"�� �&�
�tal que ��
� 0�#"�� �&� '
Suponha que existe� � � ��� � � � � contínua. Como cada ��� é conexo
� �� ���não é sobrejetiva. Por outro lado, como ���
� �&� , para todo � � �; então� � � � � � �� � , para todo �
� �&� e � � �; caso contrário
� �� ��� é sobrejetiva.Logo
�não é sobrejetiva.
4. Seja� ��� � � � � ��� contínua; como � é conexo, então
� �� � não é sobrejetiva.Por outro lado, ) � � ) � � e pela continuidade de
�:
� � ) � � � � �� � � � � � � � � � �
logo�
não é sobrejetiva.
110 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE
Proposição 33.�
e � são conexos se, e somente se� � � é conexo.
Prova : Sejam�
e � conexos tais que� � � � � ) , onde � e ) são abertos
disjuntos. Ou � �+* � � , �+* � �aberto ou existe �
� �tal que 4 ��� � � 6 � � � �
e 4 ��� � � 6 � ) � � .Exemplo 73.
1. � * � � , com a topologia usual é conexo. De fato; seja� � � � � � � � � � ,
definida por� � � � ,�� 1 � que é contínua e � * � � � � � � � . Em particular:
� *�� � �pois, � � ��� é desconexo e � * � � � é ainda conexo.
2. O toro � , �� * � � * é conexo.
3. � . e � � � � � � � � � � � � � � � são conexos.
4. A faixa de Moebius, o plano projetivo real, o plano projetivo complexo e agarrafa de Klein são conexos.
5. Sejam
� � � � ��� � � � � �� � ��� � � � � �� � e
� � � � � � � � � � 'O conjunto
�é conexo, pois é imagem de � � � � � por uma função contínua,�
também é conexo; pelo corolário [16],� � �
é conexo. Note que em � , ,� � � �.
1
-1
1
Figura 7.1:� � � �
.
7.2. APLICACÕES 111
6. Seja a família � *� �� � � ��� � � � , � � � � � � , � � , � , , logo � � � � � � � *� paratodo � � � .
Figura 7.2: A família � *� .
Como cada � *� é conexo, pelo corolário [16]:
� !��� �
� *� � � � ��� � � � , �(� � � � � , ��� , � � , �
é conexo.
7.2 Aplicacões
A primeira aplicação que estudaremos é a generalização do teorema do ValorIntermediário do Cálculo.
Proposição 34. Sejam�
conexo, � com a topologia usual e� � � ��� � contínua.
Sejam � * � ��, � �tais que
� � � * � � � � ��, � . Então para todo� � � tal que
� � � * � � � �� � ��, � , existe �� �
tal que� � � � �
.
Prova : Se�
é contínua, então� � ��� � � é conexo, logo
� � ��� é um intervalo. Se� � � * � � e� � ��, �
, então � � �� � � � ; portanto, para todo� � � � �� � existe �
���
tal que� � � � �
.
Corolário 17.
1. Toda� � � � � � � � � � � � � � contínua admite, pelo menos menos um, ponto fixo. Isto é,
existe �� � � � � � tal que
� � � � � .
2. Teorema de Borsuk - Ulam para � : Seja� � � * ��� � contínua. Existem
pontos antipodais que possuem a mesma imagem.
112 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE
Prova :
1. Seja � � � � � � � �7� � ; então ��� � � � � � ��� � � . Pelo teorema do valor inter-mediário, existe �
� � � � � � tal que ��� � � � .
2. Utilizando coordenadas polares, denotemos os elementos de � * pelo ângulo�, em radianos. Logo, os pontos
�e� � �
são antípodas; consideremos afunção � � � � � � � � � � � � � � �
; então como� � � � � � ��� � e ��� � � � � � � � ,
pelo teorema do valor intermediário, existe� * � � � � ��� tal que � � � * � � .
Exercícios 21. Seja � um conjunto ordenado, com a relação de ordem�
. Denotemospor
� � � * se� � � * e
� � � * . Definamos a topologia em � que tem como subbase� � � �
� � � , onde:
�� ��� � � � � � �� e � � � � � � � � � � '
Note que se � � , então o intervalo ��� �� � � � � � � . A topologia gerada por estasubbase é chamada topologia da ordem e � é dito espaço odenado. Verifique que oteorema do valor intermediário, pode ser estendido a espaços ordenados.
Proposição 35. Seja � � e � � � . , � enumerável. Então � . � � é conexo.
Prova : Sem perda de generalidade, podemos supor que a origem � �� � (casocontrário, por translação, movemos a origem). Seja �
� � . � � . Provaremos quea origem e cada � , estão contidos num conjunto conexo de � . � � e pelo corolário[16], � . � � será conexo.Denotemos por ���� a semi-reta que liga a origem à � e por
�uma reta qualquer
que intersecte �� � em único ponto diferente de � e � .Para todo
� � �, seja
��� ��� �
��� . Pelo corolário [16] cada
� � é conexo e��� � � � � � � � � .
x
0
L
Lz
zA
Figura 7.3:
7.2. APLICACÕES 113
Pelo menos um�� � � . � � ; caso contrário se
�� ��� � �
, para todo� � �
, oponto de interseção, necessariamente, deve ser diferente para diferentes
� � �.
Logo, teríamos uma correspondência biunívoca entre�
e � , o que é impossível,pois � é enumerável.
Corolário 18. � e � . , � � não são homeomorfos.
Prova : Suponha que � . � � � ; então 4 � . � ��� 6 � 4 � � � � � � � 6 . Como � . � ��� é conexo, � � � � � � � seria conexo. Portanto não podem ser homeomorfos.
Observação 23.
Provar que � . � � ) se � # é, surpreendentemente, muito complicado. Esteresultado segue do teorema chamado da invariância da dimensão, cujo enun-ciado é: se � . � � ) , então # . A prova deste teorema envolve delicadosconceitos topológicos que ficam fora do contexto destas notas.
Exercícios 22. Verifique que:
1. � � � * .2. � * � � . se � � .
Definição 32. Seja �� �
,. A componente conexa de � é a união de todos os conjun-tos conexos que contém a � .
Observações 21.
1. Denotamos por � � � � a componente conexa de � .
2. Pelo corolário [16], ��� � � é o maior conexo que contém � .
3. Se�
é conexo, então � � � � �, para todo �
� �.
Proposição 36. ��� � � é fechado em�
.
Prova : Sabemos que � � � � � � � � � , para todo ����
e que ��� � � é conexo. Como��� � � é o maior conexo que contém � , então ��� � � � ��� � � .Exemplo 74. � . � � . � * , com a topologia usual, é conexo.
De fato; consideremos o homeomorfismo � . � � � � � . dado pela projeção este-reográfica. Como � . é conexo, então � . � � � é conexo e:
� . � . � � � '
114 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE
7.3 Conexidade por caminhos
Sejam 4 �5� 6 e� � � �� � � � um intervalo fechado, com a topologia induzida
pela topologia usual de � .
Definição 33. Um caminho em�
é uma função � �� ��� �, contínua.
Observações 22.
1. Os pontos � ��� � e � � � são ditos ponto inicial e final do caminho, respectiva-mente.
2. Um caminho não é um conjunto em�
. Por exemplo, considerando � coma topologia usual, então:
�* � � � � � � ��� � e � , � � � � � � ��� � �definidos por �* � � � �
e � ,�� � � � , são dois caminhos ligando � e � .
Definição 34.�
é dito conexo por caminhos ou conexo por arcos, se para todo� * � ��, � �
, existe caminho ligando � * a ��, .Exemplo 75.
1. � . é conexo por caminhos. Em geral, todo espaço vetorial é conexo porcaminhos.
2. O grupo � � � não é conexo por caminhos. De fato, se consideramos du-as matrizes em � � � , tais que uma tenha determinante positivo e a outradeterminante negativo, qualquer caminho contínuo ligando estas matrizes,necessariamente deverá passar pela matriz nula.
Proposição 37. Seja�
conexo por caminhos e� � � ��� � contínua e sobrejetiva.
Então � é conexo por caminhos.
Prova : Sejam� � � * � � ; como
�é sobrejetiva, existem �
�� * � �
tais que� � � � �
e� � � * � � * . Como
�é conexo por caminhos, existe � �� ��� �
contínua ligando� a � * ; logo definimos
� � � � , que é um caminho que liga�
a� * .
Corolário 19. Se� � � , então
�conexo por caminhos se, e somente se � conexo por
caminhos.
Observações 23.
7.3. CONEXIDADE POR CAMINHOS 115
1. Pelo corolário, podemos sempre considerar� � � � � � .
2. Sejam � � � � ����� �caminhos tais que � � � � � � � � , isto é, o ponto final de� coincide com o ponto inicial de
�. Nesta condições, podemos definir:
� � � � � ��� �
� ��� � � � � � se � � ��� ��� �� � � � � � � se ��� � � � � �
O caminho � � �é contínuo e � � � � � � � � �� � � � , � � � � � � ��� �#� � � ��� � � � � ��� �#�
e � � � � � � � � � � � � . Logo, � � �é um caminho em
�ligando � � � � a
� � � � .Proposição 38. Seja � � � � � � �� uma família arbitrária de espaços conexos por cami-nhos tal que
0�-"%$
��� � , então:
� !�-"%$
��
é conexo por caminhos.
Prova : Sejam � * � ��, � �tais que � * � �
� � e ��, � �� � . Se
��� 0 �� , existem �
e�
caminhos com � * � �� � e ��, � �
� � , ligando � * a�
e ��, a�, respectivamente.
Basta considerar o caminho � � �, que liga � * a ��, .
Proposição 39. Se�
e � são conexos por caminhos, então� � � é conexo por caminhos.
Prova : Sejam � � ��� � � � � * ��� * �&� � � � . Denotemos por � � � � � �e
� � � ��� �caminhos ligando � a � * e
�a� * , respectivamente. Logo:� � ����� � � �� ��� � � � � � � � � � � �
é um caminho em� � � , ligando � � ��� � a � � * ��� * � .
Teorema 13. Se�
é conexo por caminhos, então�
é conexo.
Prova : Sejam ��� * � �
e � um caminho ligando � a � * . Então, � � � � é um conjuntoconexo que contém � e � * ; logo � e � * pertencem a mesma componente conexa, oque implica que
�possui uma única componente conexa; portanto é conexo.
Observação 24.
A reciproca do teorema é falsa. Veja o seguente exemplo:
116 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE
Exemplo 76. Sabemos que se:� � � � ��� � � � � �� ����� � � ��� �
� � e� � � � � � � � � � �
o conjunto � � � �é conexo, mas � não é conexo por caminhos.
Provaremos que não existe caminho � � � � � � � � � � tal que � � � � � �e � � � �/��� .
Suponha que tal caminho existe. Sem perda de generalidade, podemos suporque � � � � � � � � � . Seja � ��� � ; pela continuidade de � , existe
� � � tal que� � � � � � � � � � � � � � � � se � � � � � � � .
1
1
Figura 7.4:
Note que � � � � � � � � � � é conexo. Denotemos por � � � � � � � � � ��� � � e � � * � � ��� � �a primeira projeção de � , ; então � �#* � � � � � � � � ��� � e contínua e o conjunto� 4 � � * � � 6 � � � � � � � � � é conexo com � � � , pois � � � � � � � � � ); também � �
� � .Por outro lado, � é um intervalo e contém � � � ��� � ; logo para todo � * � � � � �� � , existe� � � � � � � � � tal que � � � � � � * � � �� ����� * � � . Em particular, se # � � � � � � , para grande, temos que se � * ��� # , então � � � * � �� e �
� ����� * � � �� � � � �#� � � ;logo o ponto � � � # �-� � � � � � � , para algum
� � � � � � � � � , ou seja, o ponto � ��� # � � � �está a uma distância menor que 1/2 do ponto � � � � � . Istoe é uma contradição, pois� � � # �-� � � esta a uma distância de pelo menos 2 do ponto � � � � � .Proposição 40. Seja � . com a topologia usual, se � � � . é aberto, então � é conexopor caminhos.
Prova : Seja � � � e denotemos por:
� ��� � ��� � pode ser ligados a � por um caminho em A
Afirmamos que � é aberto. De fato, seja �� � � � , como � é aberto, existe � � �
tal que � � � � � � � � � � � � é uma vizinhança de � e �� � � � . Por outro
7.3. CONEXIDADE POR CAMINHOS 117
lado, � é conexo por caminhos, (pois é homeomorfo a � . ); logo, todo ponto de �pode ser ligado a � por um caminho em � . Por tanto, todo ponto de � pode serligado a � por um caminho em � . Isto é, � � � e � á aberto.Afirmamos que � é fechado. De fato, seja ) � � � ; logo ) é o conjunto de todosos pontos de � que não podem ser ligados a � por um caminho em � . Por umargumento análogo ao anterior é possível verificar que ) é aberto e por tanto � éfechado. Logo, � é não vazio, aberto e fechado, como � é conexo, então � � .
Exercícios 23.
1. Verifique que todo espaço com a topologia indiscreta é conexo por caminhos.
2. Seja�
um espaço topologico e � a seguinte ralação de equivalência:
� � � � se existe um caminho ligando � a�
em� '
Verifique que�
é conexo por caminhos �� � � é conexo por caminhos.
118 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE
Bibliografia
[EL1] Lima E.: Análise em � . , Projeto Euclides, Impa - Brasil, (1977)
[EL2] Lima E.: Espaços Métricos, Projeto Euclides, Impa - Brasil, (1977)
[DD] Dugundji J: Topology, Boston, Allyn & Bacon (1966)
[CK] Kosniowski C: A First Course in Algebraic Topology, Cambridge Univ.Press (1980)
119