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Teoria dos Jogos
Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB
2015-II
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
• Capítulo 2: Jogos Estáticos com Informação Completa (Cap 1 do Gibbons)
• Capítulo 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta (Cap. 3 do Gibbons) – 1. Forma Normal e o Conceito de Equlíbrio de Nash Bayesiano
• (1. A, B, C) – 2. Aplicações
• Duopólio de Cournot • Provisão Voluntária de Controle de Mal Público • Leilões selados de primeiro preço • Leilões selados de segundo preço • Guerra de Nervos com informação incompleta
Cap. 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta
Roteiro
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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Definição-Um jogo bayesiano na forma normal (ou estratégica) é:
( ) ( ) ( )( )NiiNiiNii uApTNJ ∈∈∈= ,,,,
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Exemplo-Leilão selado de primeiro preço
T1=T2=[0, ω] =V1=V2
Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e distribuídas entre 0 e ω:
F1(v)=prob(v1≤v); F2(v)=prob(v2≤v)
fi(v)=Fʹ′i(v), i=1,2, p(v1, v2)=p1(v1).p2(v2)=f1(v1).f2(v2)
A1=[0, ω]=L1; A2=[0, ω]=L2: lances
li: Vi→Li uma estratégia de i
J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)
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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Exemplo-Leilão selado de primeiro preço
( ) ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=−
>−
=
)()(se0
)()(se2
)()()(se)(
,,)(),(
2211
2211111
2211111
2122111
vlvl
vlvlvlvvlvlvlv
vvvlvlu
( ) ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
=−
<−
=
)()(se0
)()(se2
)()()(se)(
,,)(),(
2211
2211222
2211222
2122112
vlvl
vlvlvlvvlvlvlv
vvvlvlu
Utilidade ex-post
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Leilão selado de primeiro preço
( ) ( ) ( ) iiiiiTt
iiiiiii dttatsuttptsaUii
−−−
∈
−− ∫−−
= ;),(|;,
( )( )( )( )⎩
⎨⎧
>
<=
122
12222 se0
se1λ
λδ
vlvl
vl ( )( )( )( )⎩
⎨⎧
≠
==
122
12222 se0
se1λ
λδ
vlvl
vl
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 222
1
02222
1122111211 10
2;, dvvfvlvlvvlvvlU ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−= δδ
λδλλ
Utilidade ínterim:
= v1 −λ1( )δ l2 v2( )( ) f2 v2( )dv2 +v1 −λ12
"
#$
%
&'δ l2 v2( )( )
0
1
∫ f2 v2( )dv20
1
∫
= v1 −λ1( ) δ l2 v2( )( ) f2 v2( )dv2 +12v1 −λ1( ) δ l2 v2( )( )
0
1
∫ f2 v2( )dv20
1
∫
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Leilão selado de primeiro preço
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 222
1
02222
1122111211 10
2;, dvvfvlvlvvlvvlU ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−= δδ
λδλλ
Utilidade ínterim:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
1
0222
1
022
112222211 2
dvvfvlvdvvfvlv δλ
δλ
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫−+−1
0222
1
022112222211 2
1 dvvfvlvdvvfvlv δλδλ
= v1 −λ1( )Pr λ1 > l2 (v2 ){ }+12v1 −λ1( )Pr λ1 = l2 (v2 ){ }
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Leilão selado de primeiro preço
Equilíbrio de Nash bayesiano.
Um equilíbrio da Nash bayesiano desse jogo é um par de estratégias (l1, l2), em que li: Vi→[0, ω], satisfazendo:
(i) Para cada realização do tipo do agente 1, v1∈V1, l1(v1) é a solução (λ1) do seguinte problema de maximização:
( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 2211122111max
1
vlvvlv =−+>− λλλλλ
(ii) Para cada realização do tipo do agente 2, v2∈V2, l2(v2) é a solução (λ2) do seguinte problema de maximização:
( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 1122211222max
2
vlvvlv =−+>− λλλλλ
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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Simplificações e resolução.
(a) Dada a simetria do jogo com relação aos jogadores, procuramos um equilíbrio simétrico, ou seja, um equilíbrio no qual os dois jogadores escolhem a mesmo função estratégia: l1=l2=l.
(b) Supomos que quanto maior for o valor vi, ou seja, quanto mais valor o jogador i atribuir ao objeto, maior será seu lance em equilíbrio, ou seja, a função l é estritamente crescente. Além disso, supomos que l é diferenciável.
Leilão selado de primeiro preço
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Simplificações e resolução.
(c) Como o lance l é estritamente crescente, dado o valor λi, i=1,2:
Pr[l2(v2)=λ1]= Pr[l1(v1)=λ2]=0, qualquer que seja a realização de vi.
λi
Aj
0 ω
ω
l- 1(λi) Vj
l
Figura 1: Estratégia l Estritamente Crescente
Leilão selado de primeiro preço
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( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 2211122111max
1
vlvvlv =−+>− λλλλλ
( ) { })(Pr 2111max1
vlv >− λλλ
( ) { })(Pr 1222max2
vlv >− λλλ
λ1max v1 −λ1( )F l−1(λ1)( )
λ2max v2 −λ2( )F l−1(λ2 )( )
Leilão selado de primeiro preço
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
−F l−1(λ1)( )+ v1 −λ1( ) "F l−1(λ1)( ) l−1( )"(λ1) = 0
−F l−1 l(v1)( )( )+ v1 − l(v1)( ) "F l−1 l(v1)( )( ) l−1( )"(l(v1)) = 0
( ) ( ) 1111 )())(( −− ʹ′=ʹ′ vlvll
Leilão selado de primeiro preço
λ1max v1 −λ1( )F l−1(λ1)( )
−F v1( )+ v1 − l(v1)( ) "F v1( ) l−1( )"(l(v1)) = 0
−F v1( )+ v1 − l(v1)( )"F v1( )"l (v1)
= 0
l(v1)
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Leilão selado de primeiro preço
−F v1( )+ v1 − l(v1)( )"F v1( )"l (v1)
= 0
−F v1( ) "l (v1)+ v1 "F v1( )− l(v1 "F v1( ) = 0
v1 !F v1( ) = F v1( ) !l (v1)+ l v1( ) !F v1( )
vf v( ) =0
v1
∫ F v1( )l v1( )
l v1( ) = 1F v1( )
vf v( )dv =0
v1
∫ E v2 | v2 < v1[ ]
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v12+ k
2)( 11
vvl =
Leilão selado de primeiro preço
l v1( ) = 1F v1( )
vf v( )dv =0
v1
∫ E v2 | v2 < v1[ ]
Distribuição uniforme em [0,1]
F v1( ) = v1; f v( ) =1
l v1( ) = 1v1
vdv+ k =0
v1
∫
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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Verificação: Fixe
2)( 11
vvl =
( )22
22vvl =
( ) ( ) 11111211 2)(max
1
λλλλλ
−=− − vlv
Conclusão: Num equilíbrio de Nash bayesiano simétrico, temos, para i=1,2:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
→
2)(
]1,0[]1,0[: i
iiii v
vlvl!
Leilão selado de primeiro preço
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Propriedades
Eficiente de Pareto
Não dá ao leiloeiro a maior receita possível com informação completa
Maior receita possível:
Receita esperada:
Mas é possível maior receita com informação incompleta?
Leilão selado de primeiro preço
12
1
0 01
1
2 dvdvvv
∫ ∫
12
1
0 0
11
22 dvdvvv∫ ∫
1
1
0 021
1
2 dvdvvv
∫ ∫= 11
1
012 dvvv∫=
1
0
31
32 ⎥
⎦
⎤=v
32
=
1
1
0 02
11
22 dvdvv v
∫ ∫= 11
1
01 dvvv∫=
1
0
31
3 ⎥⎦
⎤=v
31
=
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T1=T2=[0,1] =V1=V2
Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas entre 0 e 1:
F1(v)=prob(v1≤v)=v; F2(v)=prob(v2≤v)=v
fi(v)=Fʹ′i(v)=1, i=1,2
p(v1, v2)=p1(v1).p2(v2)=f1(v1).f2(v2)= 1
A1=[0,1]=L1; A2=[0,1]=L2: lances
li: Vi→Li uma estratégia de i
Leilão selado de segundo preço
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
( ) ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=−
>−
=
)()(se0
)()(se2
)()()(se)(
,,)(),(
2211
2211111
2211111
2122111
vlvl
vlvlvlvvlvlvlv
vvvlvlu
( ) ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=−
>−
=
)()(se0
)()(se2
)()()(se)(
,,)(),(
2211
2211221
2211221
2122111
vlvl
vlvlvlvvlvlvlv
vvvlvlu
Leilão selado de primeiro preço
Leilão selado de segundo preço
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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Estratégia (fracamente) dominante: li(vi)=vi
Caso 1. Suponha que v1>l2(v2)
Caso 2. Suponha que v1<l2(v2)
Caso 3. Suponha que v1=l2(v2)
Equilíbrio de Nash: l1(v1)=v1, l2(v2)=v2
Leilão selado de segundo preço
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Observações:
Equilíbrio forte: independe da distribuição dos tipos, valores não precisam ser privados
Lances mais agressivos
Mas regra de pagamento mais “leve”
Resultado: Retorno esperado para o leiloeiro?
Leilão selado de segundo preço
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1
0 02
1
2 dvdvvv
∫ ∫ 1
1
0 0
22
1
22 dvv
v
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦
⎤= 1
1
0
21 dvv∫=
1
0
31
3 ⎥⎦
⎤=v
31
=
11
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Receita esperada para o leiloeiro?
Leilão selado de segundo preço
12
1
0 02
1
2 dvdvvv
∫ ∫ 1
1
0 0
22
1
22 dvv
v
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦
⎤= 1
1
0
21 dvv∫=
1
0
31
3 ⎥⎦
⎤=v
31
=
Leilão selado de primeiro preço
12
1
0 0
11
22 dvdvvv∫ ∫ 1
1
0 02
11
22 dvdvv v
∫ ∫= 11
1
01 dvvv∫=
1
0
31
3 ⎥⎦
⎤=v
31
=
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
Receita esperada para o leiloeiro?
Resultado geral: Teorema de equivalência de receitas
Suponha que os valores dos jogadores sejam independentes e identicamente distribuídos num mesmo intervalo e que os jogadores são neutros com relação ao risco. Então qualquer ENB simétrico estritamente crescente de um leilão padrão em que o jogador de tipo 0 tem pagamento esperado 0 leva ao mesmo retorno esperado para o leiloeiro.
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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
T1=T2=[0,+∞) =V1=V2
Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas entre 0 e +∞:
F1(v)=prob(v1≤v)=1-e-v=F2(v)=prob(v2≤v)
fi(v)=Fʹ′i(v)=e-v, i=1,2,
Custo da espera: c reais por unidade de tempo
A1=[0 ,+∞)=L1; A2=[0,+∞)=L2: lances
si: Vi→Li uma estratégia de i
J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)
Guerra de Nervos com informação incompleta
( ) ( )2121,
vvevvp +−=
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)
Guerra de Nervos com informação incompleta
u1 a1,a2( ), v1,v2( )( ) =
v1 − ca2 se a1 > a2v12− ca1 se a1 = a2
−ca1 se a1 < a2
"
#
$$
%
$$
u2 a1,a2( ), v1,v2( )( ) =
v2 − ca1 se a1 < a2v22− ca2 se a1 = a2
−ca2 se a1 > a2
"
#
$$
%
$$
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J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)
Guerra de Nervos com informação incompleta
s(v2)<λ1 ⇔ v2<s- 1(λ1)
( )( )
( )22122
021 )()()(
11
11
dvvfcdvvfvcsvs
s
∫∫∞+
−
−
−+−λ
λ
λ
( ) ( )
( )22122
0222
01
11
11
11
)()()()( dvvfcdvvfvscdvvfvs
ss
∫∫∫+∞
−
−−
−−λ
λλ
λ
( )( )( )
( )( )( )11
1220
211
1 1)()(1
1
λλλλ
−− −−− ∫−
sFcdvvfvscsFvs
U1(λ1, s2; v1)=
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )11
111
11
1 10 λλλλ −−− −−−− sFcSFsSFcsFv
Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)
Guerra de Nervos com informação incompleta
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )11
111
11
1 10 λλλλ −−− −−−− sFcSFsSFcsFv
( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 011
11
111
11
11
11
11
11
1 =ʹ′
++−ʹ′
−ʹ′ −−−−−−−− λλλλλλλλλ ssfcscFcssfscsssfv
( )( ) 111 λλ =−ss ( ) ( )
( )( )1111 1
λλ
−−
ʹ′=
ʹ′
sss
( )( ) ( )( )( ) ( )( )1111
11
1 1 λλλ −−− =−ʹ′ sfvcsFss
( ) ( )( )111
1 11
vFvfv
cvs
−=ʹ′ ( ) ( )
( )dvvFvvf
cvs
v
∫ −=
1
01 1
1
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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin
F1(v)=prob(v1≤v)=1-e-v=F2(v)=prob(v2≤v)
fi(v)=Fʹ′i(v)=e-v, i=1,2
Propriedades:
- Quem dá mais valor ao objeto vence
- Mas há espera => ineficiência
- É possível que, ex-post, o vencedor tenha utilidade negativa!
- Justificativa: “Já esperei até aqui, vale a pena esperar um pouco mais…”
Guerra de Nervos com informação incompleta
( ) ( )( )111
1 11
vFvfv
cvs
−=ʹ′
( )2
1 2vc
vs =
( ) ( )( )dvvFvvf
cvs
v
∫ −=
1
01 1
1