PPGI/UFES2010/1 Teoria dos Grafos(INF 5037/INF 2781)
Teoria dos Grafos
Maria Claudia Silva [email protected]
Cincia da ComputaoEngenharia de Computao
Mestrado em Informtica
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Programa1.Conceitos Bsicos2.Grafos Eulerianos e Hamiltonianos3.Caminhos, Ciclos e Conectividade4.rvores5.Representao matricial de grafos6.Conjuntos de Corte7.Colorao de grafos e Cobertura8.Conjuntos Independentes9.Grafos Planares10.Grafos Direcionados11.Alguns Problemas Famosos em Grafos
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Motivao
Por que estudar grafos? Importante ferramenta matemtica com
aplicao em diversas reas do conhecimento
Utilizados na definio e/ou resoluo de problemas
Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.
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Primeiras motivaes da rea...
Knigsberg Bridge Problem
Duas ilhas C e D, existentes no rio Pregel em Knigsberg (Rssia), foram ligadas s margens do rio (A e B) atravs de 7 pontes. possvel iniciar uma caminhada a partir de um dos blocos de terra (A, B, C ou D), passar por cada uma das pontes e voltar ao ponto de partida sem nadar pelo rio?
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As pontes de Knigsberg
A
B
CD
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O problema das 7 pontes 1736: Euler foi o primeiro a representar esse
problema usando grafos e provou que uma soluo para o mesmo no existe!
A
B
C D
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1847: G.R.Kirchnoff desenvolveu a teoria de rvores para trabalhar com aplicaes em circuitos eltricos.
1852:F. Guthrie apresentou informalmente o problema das 4 cores: So suficientes apenas 4 cores para colorir qualquer mapa em superfcie plana, de maneira que regies fronteirias recebam cores distintas.
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1878: Cayley apresentou o problema para o London Mathematical
1879: Kempe publica uma prova incorreta 1976: Appel & Haken - execuo de
1200 horas de CPU do computador CDC6700, testando inmeras configuraes.
1977: Appel & Haken provaram a conjectura, usando induo matemtica
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1859: Sir W.R. Hamilton inventou um jogo que consistia em um dodecaedro com 12 faces e 20 vrtices, com cada face sendo um pentgono regular e trs arestas se encontrando em cada vrtice e os vrtices foram rotulados com nomes de 20 cidades importantes. O objetivo do jogo achar uma rota pelas arestas do dodecaedro passando por cada vrtice apenas uma vez.
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Ciclo Hamiltoniano A soluo para esse
problema especfico fcil de se obter. No entanto, ainda no se tem uma condio necessria e suficiente para se verificar a existncia de um ciclo hamiltoniano em um grafo arbitrrio
BarcelonaParisLondres
Madri
Viena
Nice
RomaVeneza
Praga
Edinburgo
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Caminho e Ciclo Hamiltoniano
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Depois desta poca pouca coisa foi investigada em teoria dos grafos por quase um sculo.
O interesse ressurgiu na dcada de 20 com os estudos de D. Knig que se transformaram em um livro, publicado em 1936.
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A importncia do modelo
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Utilities ProblemConsidere 3 casas (C1, C2 e C3), cada
uma com trs utilidades: gua (A), gs (G) eeletricidade (E). As utilidades esto conectadas
s casas por meio de fios e canos.
Considerando que todos os fiose canos esto no mesmo plano, possvel fazer as instalaes
sem cruz-los?
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Seating Problem
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
1 3 5 2 7 4 9 6 8 1
1 5 7 3 9 2 8 4 6 1
1 7 9 5 8 3 6 2 4 1
Nove membros de um clube se encontram diariamente para almoar e se sentam em volta de uma mesa redonda. A cada dia, cada membro do clube quer se sentar ao lado de um colega diferente. Quantos dias so necessrios para dispor arranjos distintos de pessoas?
1
2
3
4
56
7
8
9
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Seating Problem
1
2
3
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7
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
1 3 5 7 9 2 4 6 8 1
1 4 7 2 5 8 3 9 6 1
1 5 9 4 8 2 6 3 7 1
Nove membros de um clube se encontram diariamente para almoar e se sentam em volta de uma mesa redonda. A cada dia, cada membro do clube quer se sentar ao lado de um colega diferente. Quantos dias so necessrios para dispor arranjos distintos de pessoas?
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Conceitos Bsicos
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Conceitos Bsicos
O que um grafo?G=(V, E)
V = {v1, ..., vn} E = {e1, ..., em}
vrtices arestas
ek = {vi,vj}, k = 1,...,m, i,j = 1,..., n
vi e vj so ditos extremos de ek
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ExemploG = (V, E)
V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,c},{b,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e4, e5, e7, e9}
a
e
b c
d
G = (V, E)
V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{b,d},{c,d},{c,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9}
Grafo simples
Multigrafo
e1 e2
e3
e4
e5
e6e7e8 e9
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Conceitos Uma aresta do tipo {vi,vi} denominada lao.
A aresta e3 do exemplo anterior um lao. Arestas que possuem os mesmos vrtices
extremos so ditas paralelas. As arestas e6, e7 e e8 do exemplo anterior so
paralelas. Um grafo que possui arestas paralelas
denominado multigrafo. Um grafo sem laos nem arestas paralelas
denominado grafo simples.
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Conceitos
Os extremos de uma aresta so ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.
u v
e
u e v so incidentes a e e incidente a u e a v
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Conceitos
Dois vrtices que so incidentes a uma mesma aresta so ditos adjacentes.
Duas arestas que so incidentes a um mesmo vrtice so ditas adjacentes.
u v
eu e v so adjacentes
e1 e e2 so adjacentes
ue2
e1
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Observao
O conceito de incidncia ou adjacncia
importante para a representao
da estrutura de um grafo como um diagrama
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Conceitos
O nmero de vrtices de um grafo G denotado por n = |V|. O valor n tambm conhecido como ordem de G
O nmero de arestas de um grafo denotado por m = |E|
Se n e m so finitos, o grafo finito. Caso contrrio dito infinito. Exemplo de grafo infinito: malhas
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Conceitos
O nmero de arestas incidentes a um vrtice v denominado grau(v) e representado por d(v).
Grau tambm conhecido como valncia.
a
e
b c
d
d(a) = 3d(b) = 5d(c) = 4d(d) = 2d(e) = 2
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Conceitos Vrtice isolado o vrtice que no possui arestas
incidentes (grau nulo) Vrtice folha ou terminal o vrtice que possui grau
1 Vizinhos de um vrtice so os vrtices adjacentes a
ele.
b
a
cd
e
d um vrtice folha e e um vrtice isoladob e c so vizinhos de a
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Conceitos
Pares de vrtices (ou de arestas) no adjacentes so denominadas independentes.
Um conjunto de vrtices (ou arestas) independente se nenhum par de seus elementos adjacente.
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Exemplo
a
b c
d
f
ege10
e1 e2e3
e4 e5
e6e7
e8e9
e1 e e5 so independentesa e d so independentes{b,e,g} um conjunto independente{e1, e5 } um conjunto independente
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Teorema 1:
Seja G = (V,E) um grafo simples com n vrtices e m arestas. Ento
d(v) = 2mv V
u v
e
Prova:
A aresta e incidente aos vrtices v e w contabilizada no cmputo do grau de v etambm de w.
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Corolrio 1:
O nmero de vrtices de grau mpar, de um grafo G, par.
Prova:V
VI VP
d(v) = d(v) + d(v) = 2mv V v VI v VP
par par par
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Exerccios
Mostre que o grau mximo de qualquer vrtice em um grafo simples com n vrtices n-1.
Mostre que o nmero mximo de arestas em um grafo simples com n vrtices
n(n-1)/2
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Exerccios
Construa um grafo com 10 vrtices, que possua a seguinte seqncia de graus: {1,1,1,3,3,3,4,6,7,9}, ou mostre ser impossvel constru-lo.
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ExercciosOs turistas John, Leuzinger, Dufois e Medeiros se
encontram em um bar em Paris e comeam a conversar. As lnguas disponveis so o ingls, o francs, o portugus e o alemo. John fala todas as lnguas, Leuzinger no fala o portugus, Dufois fala francs e alemo e Medeiros fala ingls e portugus. Represente por meio de um grafo todas as possibilidades de um deles dirigir-se a outro, sendo compreendido.
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