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PPGI/UFES2010/1 Teoria dos Grafos(INF 5037/INF 2781)

Teoria dos Grafos

Maria Claudia Silva [email protected]

Cincia da ComputaoEngenharia de Computao

Mestrado em Informtica

PPGI/UFES2010/1 Teoria dos Grafos(INF 5037/ INF 2781)

Programa1.Conceitos Bsicos2.Grafos Eulerianos e Hamiltonianos3.Caminhos, Ciclos e Conectividade4.rvores5.Representao matricial de grafos6.Conjuntos de Corte7.Colorao de grafos e Cobertura8.Conjuntos Independentes9.Grafos Planares10.Grafos Direcionados11.Alguns Problemas Famosos em Grafos

PPGI/UFES2010/1 Teoria dos Grafos(INF 5037 / INF 2781)

Motivao

Por que estudar grafos? Importante ferramenta matemtica com

aplicao em diversas reas do conhecimento

Utilizados na definio e/ou resoluo de problemas

Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


Primeiras motivaes da rea...

Knigsberg Bridge Problem

Duas ilhas C e D, existentes no rio Pregel em Knigsberg (Rssia), foram ligadas s margens do rio (A e B) atravs de 7 pontes. possvel iniciar uma caminhada a partir de um dos blocos de terra (A, B, C ou D), passar por cada uma das pontes e voltar ao ponto de partida sem nadar pelo rio?


As pontes de Knigsberg

A

B

CD


O problema das 7 pontes 1736: Euler foi o primeiro a representar esse

problema usando grafos e provou que uma soluo para o mesmo no existe!

A

B

C D


1847: G.R.Kirchnoff desenvolveu a teoria de rvores para trabalhar com aplicaes em circuitos eltricos.

1852:F. Guthrie apresentou informalmente o problema das 4 cores: So suficientes apenas 4 cores para colorir qualquer mapa em superfcie plana, de maneira que regies fronteirias recebam cores distintas.


1878: Cayley apresentou o problema para o London Mathematical

1879: Kempe publica uma prova incorreta 1976: Appel & Haken - execuo de

1200 horas de CPU do computador CDC6700, testando inmeras configuraes.

1977: Appel & Haken provaram a conjectura, usando induo matemtica


1859: Sir W.R. Hamilton inventou um jogo que consistia em um dodecaedro com 12 faces e 20 vrtices, com cada face sendo um pentgono regular e trs arestas se encontrando em cada vrtice e os vrtices foram rotulados com nomes de 20 cidades importantes. O objetivo do jogo achar uma rota pelas arestas do dodecaedro passando por cada vrtice apenas uma vez.


Ciclo Hamiltoniano A soluo para esse

problema especfico fcil de se obter. No entanto, ainda no se tem uma condio necessria e suficiente para se verificar a existncia de um ciclo hamiltoniano em um grafo arbitrrio

BarcelonaParisLondres

Madri

Viena

Nice

RomaVeneza

Praga

Edinburgo


Caminho e Ciclo Hamiltoniano


Depois desta poca pouca coisa foi investigada em teoria dos grafos por quase um sculo.

O interesse ressurgiu na dcada de 20 com os estudos de D. Knig que se transformaram em um livro, publicado em 1936.


A importncia do modelo


Utilities ProblemConsidere 3 casas (C1, C2 e C3), cada

uma com trs utilidades: gua (A), gs (G) eeletricidade (E). As utilidades esto conectadas

s casas por meio de fios e canos.

Considerando que todos os fiose canos esto no mesmo plano, possvel fazer as instalaes

sem cruz-los?


Seating Problem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 3 5 2 7 4 9 6 8 1

1 5 7 3 9 2 8 4 6 1

1 7 9 5 8 3 6 2 4 1

Nove membros de um clube se encontram diariamente para almoar e se sentam em volta de uma mesa redonda. A cada dia, cada membro do clube quer se sentar ao lado de um colega diferente. Quantos dias so necessrios para dispor arranjos distintos de pessoas?

1

2

3

4

56

7

8

9


Seating Problem

1

2

3

4

56

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 3 5 7 9 2 4 6 8 1

1 4 7 2 5 8 3 9 6 1

1 5 9 4 8 2 6 3 7 1

Nove membros de um clube se encontram diariamente para almoar e se sentam em volta de uma mesa redonda. A cada dia, cada membro do clube quer se sentar ao lado de um colega diferente. Quantos dias so necessrios para dispor arranjos distintos de pessoas?


Conceitos Bsicos


Conceitos Bsicos

O que um grafo?G=(V, E)

V = {v1, ..., vn} E = {e1, ..., em}

vrtices arestas

ek = {vi,vj}, k = 1,...,m, i,j = 1,..., n

vi e vj so ditos extremos de ek


ExemploG = (V, E)

V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,c},{b,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e4, e5, e7, e9}

a

e

b c

d

G = (V, E)

V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{b,d},{c,d},{c,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9}

Grafo simples

Multigrafo

e1 e2

e3

e4

e5

e6e7e8 e9


Conceitos Uma aresta do tipo {vi,vi} denominada lao.

A aresta e3 do exemplo anterior um lao. Arestas que possuem os mesmos vrtices

extremos so ditas paralelas. As arestas e6, e7 e e8 do exemplo anterior so

paralelas. Um grafo que possui arestas paralelas

denominado multigrafo. Um grafo sem laos nem arestas paralelas

denominado grafo simples.


Conceitos

Os extremos de uma aresta so ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.

u v

e

u e v so incidentes a e e incidente a u e a v


Conceitos

Dois vrtices que so incidentes a uma mesma aresta so ditos adjacentes.

Duas arestas que so incidentes a um mesmo vrtice so ditas adjacentes.

u v

eu e v so adjacentes

e1 e e2 so adjacentes

ue2

e1


Observao

O conceito de incidncia ou adjacncia

importante para a representao

da estrutura de um grafo como um diagrama


Conceitos

O nmero de vrtices de um grafo G denotado por n = |V|. O valor n tambm conhecido como ordem de G

O nmero de arestas de um grafo denotado por m = |E|

Se n e m so finitos, o grafo finito. Caso contrrio dito infinito. Exemplo de grafo infinito: malhas


Conceitos

O nmero de arestas incidentes a um vrtice v denominado grau(v) e representado por d(v).

Grau tambm conhecido como valncia.

a

e

b c

d

d(a) = 3d(b) = 5d(c) = 4d(d) = 2d(e) = 2


Conceitos Vrtice isolado o vrtice que no possui arestas

incidentes (grau nulo) Vrtice folha ou terminal o vrtice que possui grau

1 Vizinhos de um vrtice so os vrtices adjacentes a

ele.

b

a

cd

e

d um vrtice folha e e um vrtice isoladob e c so vizinhos de a


Conceitos

Pares de vrtices (ou de arestas) no adjacentes so denominadas independentes.

Um conjunto de vrtices (ou arestas) independente se nenhum par de seus elementos adjacente.


Exemplo

a

b c

d

f

ege10

e1 e2e3

e4 e5

e6e7

e8e9

e1 e e5 so independentesa e d so independentes{b,e,g} um conjunto independente{e1, e5 } um conjunto independente


Teorema 1:

Seja G = (V,E) um grafo simples com n vrtices e m arestas. Ento

d(v) = 2mv V

u v

e

Prova:

A aresta e incidente aos vrtices v e w contabilizada no cmputo do grau de v etambm de w.


Corolrio 1:

O nmero de vrtices de grau mpar, de um grafo G, par.

Prova:V

VI VP

d(v) = d(v) + d(v) = 2mv V v VI v VP

par par par


Exerccios

Mostre que o grau mximo de qualquer vrtice em um grafo simples com n vrtices n-1.

Mostre que o nmero mximo de arestas em um grafo simples com n vrtices

n(n-1)/2


Exerccios

Construa um grafo com 10 vrtices, que possua a seguinte seqncia de graus: {1,1,1,3,3,3,4,6,7,9}, ou mostre ser impossvel constru-lo.


ExercciosOs turistas John, Leuzinger, Dufois e Medeiros se

encontram em um bar em Paris e comeam a conversar. As lnguas disponveis so o ingls, o francs, o portugus e o alemo. John fala todas as lnguas, Leuzinger no fala o portugus, Dufois fala francs e alemo e Medeiros fala ingls e portugus. Represente por meio de um grafo todas as possibilidades de um deles dirigir-se a outro, sendo compreendido.

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