Teoria de JogosTeoria de Jogos
Jogos de StackelbergJogos de Stackelberg
Renato Ramalho FischerDRE 104021376
Jogos de StackelbergJogos de Stackelberg
IntroduçãoIntrodução
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Duopólio de CournotDuopólio de Cournot
ComparaçãoComparação
ConclusãoConclusão
MonopólioMonopólio
ExemploExemplo
IntroduçãoIntrodução
Heinrich Freiherr von Stackelberg (1905-1946) – Heinrich Freiherr von Stackelberg (1905-1946) – família alemã, nascido em Moscoufamília alemã, nascido em Moscou
Estudou na AlemanhaEstudou na Alemanha
Matemático e economistaMatemático e economista
Trabalho reconhecido após sua morteTrabalho reconhecido após sua morte
Marktform und Gleichgewicht - 1934Marktform und Gleichgewicht - 1934
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Jogadores agem seqüencialmenteJogadores agem seqüencialmente
Líder e seguidorLíder e seguidor
Líder joga primeiroLíder joga primeiro
Líder sabe que o seguidor observa sua açãoLíder sabe que o seguidor observa sua ação
Jogadores racionaisJogadores racionais
Informação perfeitaInformação perfeita
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Duas empresas produzem um mesmo produto em Duas empresas produzem um mesmo produto em quantidades qquantidades q11 e q e q22, tais que q, tais que q11, q, q22 >= 0 (estratégias) >= 0 (estratégias)
Jogador 1 – Líder do mercadoJogador 1 – Líder do mercado
Preço do mercado: P(Q) = a – b*Q; a, b = cte, Q = Preço do mercado: P(Q) = a – b*Q; a, b = cte, Q = qq11 + q + q22
Se P(Q) < 0, P(Q) = 0
Custo para produzir qCusto para produzir qii: C: Cii(q(qii))
Função de utilidade (Lucro): Função de utilidade (Lucro): uuii(q(q11, q, q22) = P(Q)*q) = P(Q)*qii – C– Cii(q(qii) )
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Como resolver o problema?Como resolver o problema?
Primeiro, resolvemos o problema da empresa 2 para Primeiro, resolvemos o problema da empresa 2 para qualquer qqualquer q11 >= 0 >= 0
Em seguida, resolvemos problema da empresa 1Em seguida, resolvemos problema da empresa 1
Indução reversa!Indução reversa!
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Queremos a função de melhor resposta da empresa Queremos a função de melhor resposta da empresa 2 para q12 para q1 uuii(q(q11, q, q22) = ) = P(Q)*qP(Q)*qii – – CCii(q(qii))
uu22(q(q11, q, q22) = ) = (a – b*(q(a – b*(q11 + q + q22))*q))*q22 – – CCii(q(qii))
Max uMax u22(q(q11, q, q22) = q) = q22*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22)) – C)) – C22(q(q22))
a – bqa – bq1 1 –– 2bq2bq22 – – ddCC22(q(q22)/)/ddqq22
q*q*22 = (a – bq = (a – bq11 – – ddCC22(q(q22)/)/ddqq22) / 2b) / 2b
Derivamos em relação a qDerivamos em relação a q22 e igualamos a zero! e igualamos a zero!
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Empresa 1 sabe a melhor resposta da empresa 2 Empresa 1 sabe a melhor resposta da empresa 2 para qualquer qpara qualquer q11
Agora, podemos resolver o problema para a Agora, podemos resolver o problema para a empresa líder!empresa líder! Max uMax u11(q(q11, q, q22(q(q11)) = q)) = q11*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22(q(q11)) – )) – CC11(q(q11))))
Substituindo qSubstituindo q22(q(q11):):
Max uMax u11(q(q11, q, q22(q(q11)) = q)) = q11*(a – bq*(a – bq11 – C – C22(q(q22))/2 – ))/2 – CC11(q(q11))
q*q*11 = = [[a + a + ddCC22(q(q22)/)/ddqq2 2 – 2*– 2*ddCC11(q(q11)/)/ddqq11]] / 2b / 2b
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Logo, q*Logo, q*11 = = [[a + a + ddCC22(q(q22)/)/ddqq2 2 – 2*– 2*ddCC11(q(q11)/)/ddqq11]] / 2b / 2b
q*q*22 = (a – bq = (a – bq11 – – ddCC22(q(q22)/)/ddqq22) / 2b) / 2b
q*q*22 = = [[a – 3*a – 3*ddCC22(q(q22)/)/ddqq22 + 2* + 2*ddCC11(q(q11)/)/ddqq11]] / 4b / 4b
A indução reversa nos trás ao equilíbrio de Nash:A indução reversa nos trás ao equilíbrio de Nash:
EN = ( q*EN = ( q*11, q*, q*22).).
Se há vantagem de mercado para empresa 1, ou seja, Se há vantagem de mercado para empresa 1, ou seja, ddCC11(q(q11)/)/ddqq11 < < ddCC22(q(q22)/)/ddqq22, dado uma possível função , dado uma possível função CCii(q(qii) = c) = cii*q*qii, fica claro que a empresa líder produzirá , fica claro que a empresa líder produzirá mais para o mercado!mais para o mercado!
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Agora, vamos supor que não há vantagem de Agora, vamos supor que não há vantagem de mercado, ou seja, mercado, ou seja, ddCC11(q(q11)/)/ddqq11 = = ddCC22(q(q22)/)/ddqq22. Para . Para facilitar, Cfacilitar, Cii(q(qii) = c*q) = c*qii, c >= 0. , c >= 0.
Logo, q*Logo, q*11 = (a – c)/2b = (a – c)/2b
q*q*22 = (a – c)/4b = (a – c)/4b
(a – c) >= 0(a – c) >= 0 EN = ( (a – c)/2b, (a – c)/4b ).EN = ( (a – c)/2b, (a – c)/4b ).
uu11(q*(q*11, q*, q*22) = q) = q11*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/8b/8b
uu22(q*(q*11, q*, q*22) = q) = q22*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/16b/16b
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Quantidade total:Quantidade total: 3(a – c)/4b3(a – c)/4b
Lucro total:Lucro total: 3(a – c)3(a – c)22/16b/16b
A empresa 1 continua obtendo um maior lucro!A empresa 1 continua obtendo um maior lucro!
Apenas o fato de começar jogando traz benefício à Apenas o fato de começar jogando traz benefício à primeira empresa!primeira empresa!
Duopólio de CournotDuopólio de Cournot
Empresa 1 produz: Empresa 1 produz: qq11 = (a – c)/3b = (a – c)/3b
uu11(q(q11, q, q22) = q) = q11*(a – b(q*(a – b(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/9b/9b
Empresa 2 produz: Empresa 2 produz: qq22 = (a – c)/3b = (a – c)/3b
uu22(q(q11, q, q22) = q) = q22*(a – b(q*(a – b(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/9b/9b
Quantidade total:Quantidade total: 2(a – c)/3b2(a – c)/3b
Lucro total:Lucro total: 2(a – c)2(a – c)22/9b/9b
MonopólioMonopólio
Suponha, agora, que existe apenas uma empresa no Suponha, agora, que existe apenas uma empresa no mercado para o produto.mercado para o produto. qq22 = 0 = 0 Max qMax q11*(a – b*q*(a – b*q11 – c) – c) =>=> a – 2b*qa – 2b*q11 – c = 0 – c = 0
qq11 = (a – c)/2b, = (a – c)/2b, Lucro = (a – c)Lucro = (a – c)22/4b/4b
Quantidade total: Quantidade total: (a – c)/2b(a – c)/2b
Lucro total: Lucro total: (a – c)(a – c)22/4b/4b
ComparaçãoComparação
ComparaçãoComparação
Para o preço: (a + 3c)/4 < (a + 2c)/3Para o preço: (a + 3c)/4 < (a + 2c)/3 =>=> c < ac < a
(a + 3c)/4 < (a + c)/2(a + 3c)/4 < (a + c)/2 =>=> c < ac < a
Para o lucro: Para c < a…Para o lucro: Para c < a…
Empresa líder em Stackelberg: (a – c)Empresa líder em Stackelberg: (a – c)22/8b/8b
Empresa líder em Cournot: (a – c)Empresa líder em Cournot: (a – c)22/9b/9b
Empresa em um Monopólio: (a – c)Empresa em um Monopólio: (a – c)22/4b/4b
Monopólio > Stackelberg > CournotMonopólio > Stackelberg > Cournot
ExemploExemplo
Dado o preço em função de Q, P(Q) = 130 – Q.Dado o preço em função de Q, P(Q) = 130 – Q.
a = 130, b = 1a = 130, b = 1
O custo por unidade do produto é cO custo por unidade do produto é c1 1 = c= c22 = c = 10 = c = 10
Temos que q*Temos que q*1 1 = (a – c)/2b = 60= (a – c)/2b = 60
q*q*22 = (a – c)/4b = 30 = (a – c)/4b = 30 Q = 30 Q = 30 + 60 = 90+ 60 = 90
P(Q) = 130 – 90 = 40P(Q) = 130 – 90 = 40
Exemplo
ConclusãoConclusão
ConclusãoConclusão
Jogos de Stackelberg mostram que é vantajoso ser Jogos de Stackelberg mostram que é vantajoso ser líder de mercado.líder de mercado.
É vantajoso começar jogando.É vantajoso começar jogando.
Se c < a, em jogos de Stackelberg, o consumidor sai Se c < a, em jogos de Stackelberg, o consumidor sai ganhando, uma vez que P(Q) será menor que no ganhando, uma vez que P(Q) será menor que no Duopólio de Cournot e no Monopólio. Isso pode ser Duopólio de Cournot e no Monopólio. Isso pode ser observado no gráfico anterior.observado no gráfico anterior.
ConclusãoConclusão
O fato da empresa líder obter um maior lucro em um O fato da empresa líder obter um maior lucro em um modelo de Stackelberg do que em Cournot, enfatiza modelo de Stackelberg do que em Cournot, enfatiza ainda mais que é mais vantajoso começar jogando com ainda mais que é mais vantajoso começar jogando com informação perfeita para este tipo de competição.informação perfeita para este tipo de competição.
Todo equilíbrio de Stackelberg é um equilíbrio de Todo equilíbrio de Stackelberg é um equilíbrio de Nash, mas a recíproca não é verdadeira.Nash, mas a recíproca não é verdadeira.
ReferênciasReferências
http://www2.isye.gatech.edu/~jswann/teaching/6230/Swann%20duopoly%20cont%20and%20multistage%202007.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Stackelberg_competition
Uma Breve Introdução a Teoria de Jogos com Aplicações a Redes de Computadores – Edmundo de Souza e Silva, Daniel Ratton Figueiredo
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