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Teoria de JogosTeoria de Jogos
Jogos de StackelbergJogos de Stackelberg
Renato Ramalho FischerDRE 104021376
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Jogos de StackelbergJogos de Stackelberg
IntroduçãoIntrodução
Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Duopólio de CournotDuopólio de Cournot
ComparaçãoComparação
ConclusãoConclusão
MonopólioMonopólio
ExemploExemplo
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IntroduçãoIntrodução
Heinrich Freiherr von Stackelberg (1905-1946) – Heinrich Freiherr von Stackelberg (1905-1946) – família alemã, nascido em Moscoufamília alemã, nascido em Moscou
Estudou na AlemanhaEstudou na Alemanha
Matemático e economistaMatemático e economista
Trabalho reconhecido após sua morteTrabalho reconhecido após sua morte
Marktform und Gleichgewicht - 1934Marktform und Gleichgewicht - 1934
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Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Jogadores agem seqüencialmenteJogadores agem seqüencialmente
Líder e seguidorLíder e seguidor
Líder joga primeiroLíder joga primeiro
Líder sabe que o seguidor observa sua açãoLíder sabe que o seguidor observa sua ação
Jogadores racionaisJogadores racionais
Informação perfeitaInformação perfeita
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Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Duas empresas produzem um mesmo produto em Duas empresas produzem um mesmo produto em quantidades qquantidades q11 e q e q22, tais que q, tais que q11, q, q22 >= 0 (estratégias) >= 0 (estratégias)
Jogador 1 – Líder do mercadoJogador 1 – Líder do mercado
Preço do mercado: P(Q) = a – b*Q; a, b = cte, Q = Preço do mercado: P(Q) = a – b*Q; a, b = cte, Q = qq11 + q + q22
Se P(Q) < 0, P(Q) = 0
Custo para produzir qCusto para produzir qii: C: Cii(q(qii))
Função de utilidade (Lucro): Função de utilidade (Lucro): uuii(q(q11, q, q22) = P(Q)*q) = P(Q)*qii – C– Cii(q(qii) )
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Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Como resolver o problema?Como resolver o problema?
Primeiro, resolvemos o problema da empresa 2 para Primeiro, resolvemos o problema da empresa 2 para qualquer qqualquer q11 >= 0 >= 0
Em seguida, resolvemos problema da empresa 1Em seguida, resolvemos problema da empresa 1
Indução reversa!Indução reversa!
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Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Queremos a função de melhor resposta da empresa Queremos a função de melhor resposta da empresa 2 para q12 para q1 uuii(q(q11, q, q22) = ) = P(Q)*qP(Q)*qii – – CCii(q(qii))
uu22(q(q11, q, q22) = ) = (a – b*(q(a – b*(q11 + q + q22))*q))*q22 – – CCii(q(qii))
Max uMax u22(q(q11, q, q22) = q) = q22*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22)) – C)) – C22(q(q22))
a – bqa – bq1 1 –– 2bq2bq22 – – ddCC22(q(q22)/)/ddqq22
q*q*22 = (a – bq = (a – bq11 – – ddCC22(q(q22)/)/ddqq22) / 2b) / 2b
Derivamos em relação a qDerivamos em relação a q22 e igualamos a zero! e igualamos a zero!
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Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Empresa 1 sabe a melhor resposta da empresa 2 Empresa 1 sabe a melhor resposta da empresa 2 para qualquer qpara qualquer q11
Agora, podemos resolver o problema para a Agora, podemos resolver o problema para a empresa líder!empresa líder! Max uMax u11(q(q11, q, q22(q(q11)) = q)) = q11*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22(q(q11)) – )) – CC11(q(q11))))
Substituindo qSubstituindo q22(q(q11):):
Max uMax u11(q(q11, q, q22(q(q11)) = q)) = q11*(a – bq*(a – bq11 – C – C22(q(q22))/2 – ))/2 – CC11(q(q11))
q*q*11 = = [[a + a + ddCC22(q(q22)/)/ddqq2 2 – 2*– 2*ddCC11(q(q11)/)/ddqq11]] / 2b / 2b
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Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Logo, q*Logo, q*11 = = [[a + a + ddCC22(q(q22)/)/ddqq2 2 – 2*– 2*ddCC11(q(q11)/)/ddqq11]] / 2b / 2b
q*q*22 = (a – bq = (a – bq11 – – ddCC22(q(q22)/)/ddqq22) / 2b) / 2b
q*q*22 = = [[a – 3*a – 3*ddCC22(q(q22)/)/ddqq22 + 2* + 2*ddCC11(q(q11)/)/ddqq11]] / 4b / 4b
A indução reversa nos trás ao equilíbrio de Nash:A indução reversa nos trás ao equilíbrio de Nash:
EN = ( q*EN = ( q*11, q*, q*22).).
Se há vantagem de mercado para empresa 1, ou seja, Se há vantagem de mercado para empresa 1, ou seja, ddCC11(q(q11)/)/ddqq11 < < ddCC22(q(q22)/)/ddqq22, dado uma possível função , dado uma possível função CCii(q(qii) = c) = cii*q*qii, fica claro que a empresa líder produzirá , fica claro que a empresa líder produzirá mais para o mercado!mais para o mercado!
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Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Agora, vamos supor que não há vantagem de Agora, vamos supor que não há vantagem de mercado, ou seja, mercado, ou seja, ddCC11(q(q11)/)/ddqq11 = = ddCC22(q(q22)/)/ddqq22. Para . Para facilitar, Cfacilitar, Cii(q(qii) = c*q) = c*qii, c >= 0. , c >= 0.
Logo, q*Logo, q*11 = (a – c)/2b = (a – c)/2b
q*q*22 = (a – c)/4b = (a – c)/4b
(a – c) >= 0(a – c) >= 0 EN = ( (a – c)/2b, (a – c)/4b ).EN = ( (a – c)/2b, (a – c)/4b ).
uu11(q*(q*11, q*, q*22) = q) = q11*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/8b/8b
uu22(q*(q*11, q*, q*22) = q) = q22*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/16b/16b
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Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg
Quantidade total:Quantidade total: 3(a – c)/4b3(a – c)/4b
Lucro total:Lucro total: 3(a – c)3(a – c)22/16b/16b
A empresa 1 continua obtendo um maior lucro!A empresa 1 continua obtendo um maior lucro!
Apenas o fato de começar jogando traz benefício à Apenas o fato de começar jogando traz benefício à primeira empresa!primeira empresa!
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Duopólio de CournotDuopólio de Cournot
Empresa 1 produz: Empresa 1 produz: qq11 = (a – c)/3b = (a – c)/3b
uu11(q(q11, q, q22) = q) = q11*(a – b(q*(a – b(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/9b/9b
Empresa 2 produz: Empresa 2 produz: qq22 = (a – c)/3b = (a – c)/3b
uu22(q(q11, q, q22) = q) = q22*(a – b(q*(a – b(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/9b/9b
Quantidade total:Quantidade total: 2(a – c)/3b2(a – c)/3b
Lucro total:Lucro total: 2(a – c)2(a – c)22/9b/9b
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MonopólioMonopólio
Suponha, agora, que existe apenas uma empresa no Suponha, agora, que existe apenas uma empresa no mercado para o produto.mercado para o produto. qq22 = 0 = 0 Max qMax q11*(a – b*q*(a – b*q11 – c) – c) =>=> a – 2b*qa – 2b*q11 – c = 0 – c = 0
qq11 = (a – c)/2b, = (a – c)/2b, Lucro = (a – c)Lucro = (a – c)22/4b/4b
Quantidade total: Quantidade total: (a – c)/2b(a – c)/2b
Lucro total: Lucro total: (a – c)(a – c)22/4b/4b
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ComparaçãoComparação
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ComparaçãoComparação
Para o preço: (a + 3c)/4 < (a + 2c)/3Para o preço: (a + 3c)/4 < (a + 2c)/3 =>=> c < ac < a
(a + 3c)/4 < (a + c)/2(a + 3c)/4 < (a + c)/2 =>=> c < ac < a
Para o lucro: Para c < a…Para o lucro: Para c < a…
Empresa líder em Stackelberg: (a – c)Empresa líder em Stackelberg: (a – c)22/8b/8b
Empresa líder em Cournot: (a – c)Empresa líder em Cournot: (a – c)22/9b/9b
Empresa em um Monopólio: (a – c)Empresa em um Monopólio: (a – c)22/4b/4b
Monopólio > Stackelberg > CournotMonopólio > Stackelberg > Cournot
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ExemploExemplo
Dado o preço em função de Q, P(Q) = 130 – Q.Dado o preço em função de Q, P(Q) = 130 – Q.
a = 130, b = 1a = 130, b = 1
O custo por unidade do produto é cO custo por unidade do produto é c1 1 = c= c22 = c = 10 = c = 10
Temos que q*Temos que q*1 1 = (a – c)/2b = 60= (a – c)/2b = 60
q*q*22 = (a – c)/4b = 30 = (a – c)/4b = 30 Q = 30 Q = 30 + 60 = 90+ 60 = 90
P(Q) = 130 – 90 = 40P(Q) = 130 – 90 = 40
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Exemplo
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ConclusãoConclusão
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ConclusãoConclusão
Jogos de Stackelberg mostram que é vantajoso ser Jogos de Stackelberg mostram que é vantajoso ser líder de mercado.líder de mercado.
É vantajoso começar jogando.É vantajoso começar jogando.
Se c < a, em jogos de Stackelberg, o consumidor sai Se c < a, em jogos de Stackelberg, o consumidor sai ganhando, uma vez que P(Q) será menor que no ganhando, uma vez que P(Q) será menor que no Duopólio de Cournot e no Monopólio. Isso pode ser Duopólio de Cournot e no Monopólio. Isso pode ser observado no gráfico anterior.observado no gráfico anterior.
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ConclusãoConclusão
O fato da empresa líder obter um maior lucro em um O fato da empresa líder obter um maior lucro em um modelo de Stackelberg do que em Cournot, enfatiza modelo de Stackelberg do que em Cournot, enfatiza ainda mais que é mais vantajoso começar jogando com ainda mais que é mais vantajoso começar jogando com informação perfeita para este tipo de competição.informação perfeita para este tipo de competição.
Todo equilíbrio de Stackelberg é um equilíbrio de Todo equilíbrio de Stackelberg é um equilíbrio de Nash, mas a recíproca não é verdadeira.Nash, mas a recíproca não é verdadeira.
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ReferênciasReferências
http://www2.isye.gatech.edu/~jswann/teaching/6230/Swann%20duopoly%20cont%20and%20multistage%202007.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Stackelberg_competition
Uma Breve Introdução a Teoria de Jogos com Aplicações a Redes de Computadores – Edmundo de Souza e Silva, Daniel Ratton Figueiredo