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7. Técnicas de Projeto de FiltrosIntrodução:
-Filtro seletor de frequências:Importante classe de sistemas LTI
-Sistema realizável:-Estável e Causal (não necessariamente)-Requer complexidade computacional limitada
- Realização de filtros contínuos por meio de sistemasdigitais:
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Classificação dos filtros digitais:
Quanto à resposta em frequência:
PBPAPFRF
Quanto a duração da Resposta ao Impulso:IIRFIR
Quanto à forma de realização:RecursivaNão-RecursivaDFT
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Especificações de um filtro seletor:
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7.1. Projeto de filtros discretos a partir de filtros contínuos
-Projetos de filtros contínuos estão bem consolidados
-Possuem formulação matemática fechada (não-iterativo)
-As técnicas usadas em projetos de filtros contínuos nãopodem ser diretamente aplicadas p/ filtros discretos.
Gabarito:
Amax
Amin
p s [rad/s]
A[dB]
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7.1.1. Invariância ao Impulso
A resposta ao impulso caracteriza completamenteum sistema LTI.
Objetivo: Obter um sistema amostrado cuja repostaao impulso seja uma amostragem da resposta ao impulsode um sistema contínuo que satisfaz as especificações.
Procedimento:Gabarito H(s) h(t) C/D h[n] H(z)
-Butterworth -Chebyshev Inverso-Chebyshev -Cauer (eliptico)-Bessel - Gauss-Legendre - ...
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Ex.:
N
i
tpi
LaplaceN
i i
i ieAthps
AsH
1
.
1
.)()(
Amostragem:T
fnThnh s
1)(][
N
iTp
iZN
i
nTpi i
i
ez
zAzHeAnh
1.
1
. .)(.][
Observe que:
C/D)(th
n
nTt )(
)(ths ][nh
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n
nTss
nss
nns
enThsH
nTtnThsHth
nTtnThnTtthth
.).()(
)()()()}({
)()()()()(
LL
Comparando com a transformada Z
n
nznThzH ).()(
Concluímos que esta aproximação correspondeà relação: sTez
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Análise do mapeamento:
1) Suponha: s Número real
1||0
1||0
1||00
T
T
T
ezse
ezse
ezse
sTez
2) Suponha: js Número imaginário puro
Tjez Circunferência unitária, porém:
P/
kT
kT
2
.2 Há réplica do mapeamento!Mapeamento não unívoco
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T
2
T
4
T
2
T
4
j
1 }Re{z
}Im{z
Logo: Ocorre efeito Aliasing!
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Conclusão:Mapeamento bom p/ filtros com zeros no infinito (PB,PF)Onde o efeito aliasing é reduzido.
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)(.1 t 1 1
)()()( zHsHth
)(.3 tus
11z
z
)(..4 tut2
1
s 2)1(
.
z
zT
)(.2
.52
tut
3
1
s 3
2
)1(
)1(.
z
zzT
)(..6 tue atas
1aTez
z
)(.2 nTt nTse nz
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)()()( zHsHth
)(..6 tue atas
1aTez
z
)(...7 tuet at
2
1
as 2.
aT
aT
ez
zeT
)().sen(.8 0 tut20
20
s 1)cos(.2
).sen(
02
0
zTz
zT
)().cos(.9 0 tut 20
2 s
s 1)cos(.2
)cos(
02
0
zTz
Tzz
)().sen(.10 0 tute at 20
20
)(
as aTaT
aT
ezTez
zTe2
02
0
)cos(.2
).sen(
)().cos(.11 0 tute at 20
2)(
as
as aTaT
aT
ezTez
Tezz2
02
0
)cos(.2
)cos(
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Invariância ao Degrau
C/D)(tg
n
nTt )(
)(tgs)(][ zGng Z
-Filosofia a mesma da resposta ao impulso-Dado H(s) projetado:
H(s))(tu
)(][)()(1
)( / zGngtgsHs
sG ZDCLaplace
Se G(z) é a resposta ao degrau do sistema discreto:
)(1
)( zHz
zzG
)(
1)( zG
z
zzH
Logo:
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Vantagem: Como a função é amostrada
O efeito do recobrimento é reduzido! PB.
s
sH )(
Generalização:-Invariância à rampa-Invariância à parábola-Invariância de ordem n
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Transformação Z - Casada
Consiste no mapeamento direto dos pólos e zerosdo plano ‘s’ para pólos e zeros no plano ‘z’ usandoa relação:
sTez Ex.:
Tjba
Tjba
aT
ezjbas
ezjbas
ezas
)(
)(
Pólos:
pTez
AzH
ps
AsH
)()(
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7.1.2. Mapeamentos s z
Características desejáveis:
1) H(s) racional H(z) racional2) S=j mapeado em z=ejt
3) SPLE dentro do círculo unitário H(s) estável H(z) estável
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Métodos baseados na aproximação da integração numérica:
1t 2t t
)(tx
Tn )1( nT
ssH
1)( )(tx )(ty
tdxty )()(
2
1
)()()( 12
t
t
dxtyty ou
( 1)
( 1) ( )nT
n T
y nT y n T x d
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Forward Euler
1t 2t t
)(tx
Tn )1( nT
]1[][].1[
))1(()())1(()()1(
nynyTnx
TnynTyTTnxdxnT
Tn
11
.
)(
)()(
)()()(..
1
1
11
z
T
z
zT
zX
zYzH
zYzzYzXzT
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1)(
z
TzH
Como :s
sH1
)(
Temos: sTzouT
zs
1
1
Obs.: Melhor a aproximação da integral quantomenor for T, isto é, maior for fs
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Teste das condições:
1) H(s) racional gera H(z) racional : OK
sTzouT
zs
1
1
2)
Tjz
zjs
1
1||
Válido apenas p/ T<<1
3) H(s) estável gera H(z) estável: Falso!
j
1 }Re{z
}Im{z
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Backward Euler
1t 2t t
)(tx
Tn )1( nT
]1[][].[
))1(()()()()1(
nynyTnx
TnynTyTnTxdxnT
Tn
1
.
1)(
)()(
)()()(.
1
1
z
zT
z
T
zX
zYzH
zYzzYzXT
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1
.)(
z
zTzH
Como :s
sH1
)(
Temos:sT
zouzT
zs
1
1
.
1
Obs.: Melhor a aproximação da integral quantomenor for T, isto é, maior for fs
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Teste das condições:
1) H(s) racional gera H(z) racional : OK
2)
Tjz
zjs
1
1
1||
Válido apenas p/ T<<1
3) H(s) estável gera H(z) estável: OK!
j}Im{z
sTzou
zT
zs
1
1
.
1
1 }Re{z
Circunferência de raio 1/2
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Transformação Bilinear
1t 2t t
)(tx
Tn )1( nT
( 1)( ) ( ) (( 1) ) ( ) (( 1) )
2
[ ] [ 1] [ ] [ 1]2
nT
n T
Tx d x nT x n T y nT y n T
Tx n x n y n y n
1
1
21
1
2)(
)()(
)()()()(.2
1
1
11
z
zT
z
zT
zX
zYzH
zYzzYzXzzXT
Método dos trapézios
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Como :s
sH1
)(
Temos:sT
sTzou
z
z
Ts
2
2
1
12
1
1
2)(
z
zTzH
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Teste das condições:
1) H(s) racional gera H(z) racional : OK
2)
!!1)(2
)(2||
2
2
1||
22
22
TT
Tz
Tj
Tjz
zjs
3) H(s) estável gera H(z) estável: OK!
j}Im{z
1 }Re{z
sT
sTzou
z
z
Ts
2
2
1
12
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Porém: p/ s=j z varia sobre a circunferência
2/2/
2/2/
2/
2/ 2
1
12
1
12
jj
jj
j
j
j
j
ee
ee
Te
e
e
e
Tj
z
z
Ts
Lembrando Euler:
j
ee
ee
jj
jj
2)sen(
2)cos(
Temos:)2/cos(.2
)2/sen(.22
j
Tj
Logo:
2arctan.2
)2/tan(2
TT
Distorção das frequências!
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Ex.: Desejo realizar o filtro:
k101 k302
Com: sradks /100
]/[ srad
Através da transformação Bilinear
Sei que há distorção (warping), logo devo projetaro filtro analógico previamente distorcido (pre-warping)de modo a compensar a distorção da Bilinear e o resultadoser o desejado.
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No exemplo: ao invés de projetar o filtro analógico p/ 10k e 30kdevo projetá-lo p/:
2tan.
2 T
Td
kk k
kd 342,10
2
.10tan.
2 1002
10021
2100
2 2100
30 .2. tan 43,811
2k
d
k
kk
Pre-warping
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Aproximações usadas p/ projeto de Filtros Analógicos:
-Butterworth-Chebyshev-Chebyshev Inverso-Cauer-Bessel-Gauss-Legendre-Multiplicidade n-....
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7.2. Projetos de Filtros FIR
-São sempre estáveis: Pólos em z=0 posições dos zeros que definem suas características
-Podem ter resposta de fase perfeitamente linear
-Pode-se sintetizar filtros com especificações de amplitude arbitrários (não apenas filtros seletores)
-P/ mesma especificação (gabarito), a ordem do FIR é, em geral, mais elevada do que um IIR (5 a 10 vezes)
- aumento da complexidade computacional
- Filtros FIR não tem equivalente analógico (contínuo)
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Métodos de Síntese
a) Janelamento: “Amostragem no tempo”Cálculo dos M coeficientes da sua resposta ao
Impulso
b) “Amostragem em Frequência” Amostra N pontos da sua resposta em frequênciae faz-se a IDFT p/ encontrar sua resposta ao impulso
c) Métodos de otimização numérica
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Síntese por Janelamento
Objetivo: Gerar H(z)
Sabemos que p/ sistemas FIR:
1
0
].[)(M
n
nznhzH
Logo: necessito conhecer h[n]
Lembrando: Filtro Ideal
-duração infinita-não-causal
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O método tem como princípio tornar h[n] finita de Comprimento M e causal, de modo que )(]}[ˆ{ HnhF
Truncamento através da utilização de uma janela
][].[][ˆ nwnhnh
outros
Mnnw
,0
10,0][
No domínio frequência: )()()(ˆ WHH
Convolução Periódica
No limite: )()(ˆ HH1][)()( nwW F
Logo: Quanto > o M melhor será a aproximação
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Metodologia:
Resposta em Freq. Ideal
todeslocamennwnhnhnhH DTFT ][].[][ˆ][)(
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1-15 -10 -5 0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Escolha da Janela: )()()(ˆ WHH
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Características de W() que influem em )(ˆ H
a) Largura do Lóbulo Principal:Influencia no tamanho da banda de transiçãoQuanto <a largura do Lóbulo Principal < a banda de transição
Controla-se através da escolha de M, tamanho da janela.
>M , < Lóbulo principal, < Banda de transição, > complexidade
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b) Razão de Ripple: É a relação entre a amplitude do lóbulo principal e o1 lóbulo secundário.
)0(
)(log20
W
W s
Determina a mínima atenuação da banda de rejeiçãoe o ripple da banda de passagem
Controla-se através da escolha da janela.M não influencia nesta característica
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Principais tipos de janelas:
Retangular:
outros
Mnnw
,0
0,1][
Bartlett:
outros
MnMMn
MnMn
nw
,0
2/,/22
2/0,/2
][Hanning:
outros
MnMnnw
,0
0),/2cos(5.05.0][
Hamming:
outros
MnMnnw
,0
0),/2cos(46.054.0][
Blackman:
outros
MnMnMnnw
,0
0),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0][
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Procedimento:
-Dado um gabarito
-Escolher o tipo de janela que satisfaça a atenuaçãoNa banda de rejeição
-Escolher o M p/ satisfazer a banda de transição
Método de tentativa e erro.
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Janela de Kaiser
Kaiser em 1966 desenvolveu um procedimento próximoDo ótimo p/ projeto de filtros FIR baseado em janelamento
- Vantagem: Técnica procedural
Mn
outros
I
nI
nw
0,
,0
)(
/)(1
][0
20
Onde: Io(x) é a função de Bessel modificada de primeira espécie e ordem zero.
2
10 2!
11)(
n
nx
nxI Série de convergência rápida
2/M
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Dado o gabarito:
Amax
Amin
p s ps
Temos:
21,0
5021)21(07886.0)21(5842.0
50)7,8(1102.0
min
minmin4.0
min
minmin
A
AAA
AA
285.2
8minAM
Determinados: M, e , calcula-se w[n]e H(z)=Z{h[n].w[n]}
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Compensação da Distorção sen(x)/x do conversor D/A
Outros tipos de de projetos otimizados: Parks-McClellan
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Afinal: FIR ou IIR ?
1) ( )H z
2) ( )H
3) ( )H
4) Estabilidade
5) Projeto
6) Complexidade
7) Estruturas
8) Erros de Quantização
9) Filtros Adaptativos
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