TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 1 7. Técnicas de Projeto de Filtros Introdução:...

TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR

1

7. Técnicas de Projeto de FiltrosIntrodução:

-Filtro seletor de frequências:Importante classe de sistemas LTI

-Sistema realizável:-Estável e Causal (não necessariamente)-Requer complexidade computacional limitada

- Realização de filtros contínuos por meio de sistemasdigitais:


2

Classificação dos filtros digitais:

Quanto à resposta em frequência:

PBPAPFRF

Quanto a duração da Resposta ao Impulso:IIRFIR

Quanto à forma de realização:RecursivaNão-RecursivaDFT


3

Especificações de um filtro seletor:


4

7.1. Projeto de filtros discretos a partir de filtros contínuos

-Projetos de filtros contínuos estão bem consolidados

-Possuem formulação matemática fechada (não-iterativo)

-As técnicas usadas em projetos de filtros contínuos nãopodem ser diretamente aplicadas p/ filtros discretos.

Gabarito:

Amax

Amin

p s [rad/s]

A[dB]


5

7.1.1. Invariância ao Impulso

A resposta ao impulso caracteriza completamenteum sistema LTI.

Objetivo: Obter um sistema amostrado cuja repostaao impulso seja uma amostragem da resposta ao impulsode um sistema contínuo que satisfaz as especificações.

Procedimento:Gabarito H(s) h(t) C/D h[n] H(z)

-Butterworth -Chebyshev Inverso-Chebyshev -Cauer (eliptico)-Bessel - Gauss-Legendre - ...


6

Ex.:

N

i

tpi

LaplaceN

i i

i ieAthps

AsH

1

.

1

.)()(

Amostragem:T

fnThnh s

1)(][

N

iTp

iZN

i

nTpi i

i

ez

zAzHeAnh

1.

1

. .)(.][

Observe que:

C/D)(th

n

nTt )(

)(ths ][nh


7

n

nTss

nss

nns

enThsH

nTtnThsHth

nTtnThnTtthth

.).()(

)()()()}({

)()()()()(

LL

Comparando com a transformada Z

n

nznThzH ).()(

Concluímos que esta aproximação correspondeà relação: sTez


8

Análise do mapeamento:

1) Suponha: s Número real

1||0

1||0

1||00

T

T

T

ezse

ezse

ezse

sTez

2) Suponha: js Número imaginário puro

Tjez Circunferência unitária, porém:

P/

kT

kT

2

.2 Há réplica do mapeamento!Mapeamento não unívoco


9

T

2

T

4

T

2

T

4

j

1 }Re{z

}Im{z

Logo: Ocorre efeito Aliasing!


10

Conclusão:Mapeamento bom p/ filtros com zeros no infinito (PB,PF)Onde o efeito aliasing é reduzido.


11

)(.1 t 1 1

)()()( zHsHth

)(.3 tus

11z

z

)(..4 tut2

1

s 2)1(

.

z

zT

)(.2

.52

tut

3

1

s 3

2

)1(

)1(.

z

zzT

)(..6 tue atas

1aTez

z

)(.2 nTt nTse nz


12

)()()( zHsHth

)(..6 tue atas

1aTez

z

)(...7 tuet at

2

1

as 2.

aT

aT

ez

zeT

)().sen(.8 0 tut20

20

s 1)cos(.2

).sen(

02

0

zTz

zT

)().cos(.9 0 tut 20

2 s

s 1)cos(.2

)cos(

02

0

zTz

Tzz

)().sen(.10 0 tute at 20

20

)(

as aTaT

aT

ezTez

zTe2

02

0

)cos(.2

).sen(

)().cos(.11 0 tute at 20

2)(

as

as aTaT

aT

ezTez

Tezz2

02

0

)cos(.2

)cos(


13

Invariância ao Degrau

C/D)(tg

n

nTt )(

)(tgs)(][ zGng Z

-Filosofia a mesma da resposta ao impulso-Dado H(s) projetado:

H(s))(tu

)(][)()(1

)( / zGngtgsHs

sG ZDCLaplace

Se G(z) é a resposta ao degrau do sistema discreto:

)(1

)( zHz

zzG

)(

1)( zG

z

zzH

Logo:


14

Vantagem: Como a função é amostrada

O efeito do recobrimento é reduzido! PB.

s

sH )(

Generalização:-Invariância à rampa-Invariância à parábola-Invariância de ordem n


15

Transformação Z - Casada

Consiste no mapeamento direto dos pólos e zerosdo plano ‘s’ para pólos e zeros no plano ‘z’ usandoa relação:

sTez Ex.:

Tjba

Tjba

aT

ezjbas

ezjbas

ezas

)(

)(

Pólos:

pTez

AzH

ps

AsH

)()(


16

7.1.2. Mapeamentos s z

Características desejáveis:

1) H(s) racional H(z) racional2) S=j mapeado em z=ejt

3) SPLE dentro do círculo unitário H(s) estável H(z) estável


17

Métodos baseados na aproximação da integração numérica:

1t 2t t

)(tx

Tn )1( nT

ssH

1)( )(tx )(ty

tdxty )()(

2

1

)()()( 12

t

t

dxtyty ou

( 1)

( 1) ( )nT

n T

y nT y n T x d


18

Forward Euler

1t 2t t

)(tx

Tn )1( nT

]1[][].1[

))1(()())1(()()1(

nynyTnx

TnynTyTTnxdxnT

Tn

11

.

)(

)()(

)()()(..

1

1

11

z

T

z

zT

zX

zYzH

zYzzYzXzT


19

1)(

z

TzH

Como :s

sH1

)(

Temos: sTzouT

zs

1

1

Obs.: Melhor a aproximação da integral quantomenor for T, isto é, maior for fs


20

Teste das condições:

1) H(s) racional gera H(z) racional : OK

sTzouT

zs

1

1

2)

Tjz

zjs

1

1||

Válido apenas p/ T<<1

3) H(s) estável gera H(z) estável: Falso!

j

1 }Re{z

}Im{z


21

Backward Euler

1t 2t t

)(tx

Tn )1( nT

]1[][].[

))1(()()()()1(

nynyTnx

TnynTyTnTxdxnT

Tn

1

.

1)(

)()(

)()()(.

1

1

z

zT

z

T

zX

zYzH

zYzzYzXT


22

1

.)(

z

zTzH

Como :s

sH1

)(

Temos:sT

zouzT

zs

1

1

.

1

Obs.: Melhor a aproximação da integral quantomenor for T, isto é, maior for fs


23



2)

Tjz

zjs

1

1

1||

Válido apenas p/ T<<1

3) H(s) estável gera H(z) estável: OK!

j}Im{z

sTzou

zT

zs

1

1

.

1

1 }Re{z

Circunferência de raio 1/2


24

Transformação Bilinear

1t 2t t

)(tx

Tn )1( nT

( 1)( ) ( ) (( 1) ) ( ) (( 1) )

2

[ ] [ 1] [ ] [ 1]2

nT

n T

Tx d x nT x n T y nT y n T

Tx n x n y n y n

1

1

21

1

2)(

)()(

)()()()(.2

1

1

11

z

zT

z

zT

zX

zYzH

zYzzYzXzzXT

Método dos trapézios


25

Como :s

sH1

)(

Temos:sT

sTzou

z

z

Ts

2

2

1

12

1

1

2)(

z

zTzH


26



2)

!!1)(2

)(2||

2

2

1||

22

22

TT

Tz

Tj

Tjz

zjs

3) H(s) estável gera H(z) estável: OK!

j}Im{z

1 }Re{z

sT

sTzou

z

z

Ts

2

2

1

12


27

Porém: p/ s=j z varia sobre a circunferência

2/2/

2/2/

2/

2/ 2

1

12

1

12

jj

jj

j

j

j

j

ee

ee

Te

e

e

e

Tj

z

z

Ts

Lembrando Euler:

j

ee

ee

jj

jj

2)sen(

2)cos(

Temos:)2/cos(.2

)2/sen(.22

j

Tj

Logo:

2arctan.2

)2/tan(2

TT

Distorção das frequências!


28

Ex.: Desejo realizar o filtro:

k101 k302

Com: sradks /100

]/[ srad

Através da transformação Bilinear

Sei que há distorção (warping), logo devo projetaro filtro analógico previamente distorcido (pre-warping)de modo a compensar a distorção da Bilinear e o resultadoser o desejado.


29

No exemplo: ao invés de projetar o filtro analógico p/ 10k e 30kdevo projetá-lo p/:

2tan.

2 T

Td

kk k

kd 342,10

2

.10tan.

2 1002

10021

2100

2 2100

30 .2. tan 43,811

2k

d

k

kk

Pre-warping


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Aproximações usadas p/ projeto de Filtros Analógicos:

-Butterworth-Chebyshev-Chebyshev Inverso-Cauer-Bessel-Gauss-Legendre-Multiplicidade n-....


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7.2. Projetos de Filtros FIR

-São sempre estáveis: Pólos em z=0 posições dos zeros que definem suas características

-Podem ter resposta de fase perfeitamente linear

-Pode-se sintetizar filtros com especificações de amplitude arbitrários (não apenas filtros seletores)

-P/ mesma especificação (gabarito), a ordem do FIR é, em geral, mais elevada do que um IIR (5 a 10 vezes)

- aumento da complexidade computacional

- Filtros FIR não tem equivalente analógico (contínuo)


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Métodos de Síntese

a) Janelamento: “Amostragem no tempo”Cálculo dos M coeficientes da sua resposta ao

Impulso

b) “Amostragem em Frequência” Amostra N pontos da sua resposta em frequênciae faz-se a IDFT p/ encontrar sua resposta ao impulso

c) Métodos de otimização numérica


33

Síntese por Janelamento

Objetivo: Gerar H(z)

Sabemos que p/ sistemas FIR:

1

0

].[)(M

n

nznhzH

Logo: necessito conhecer h[n]

Lembrando: Filtro Ideal

-duração infinita-não-causal


34

O método tem como princípio tornar h[n] finita de Comprimento M e causal, de modo que )(]}[ˆ{ HnhF

Truncamento através da utilização de uma janela

][].[][ˆ nwnhnh

outros

Mnnw

,0

10,0][

No domínio frequência: )()()(ˆ WHH

Convolução Periódica

No limite: )()(ˆ HH1][)()( nwW F

Logo: Quanto > o M melhor será a aproximação


35

Metodologia:

Resposta em Freq. Ideal

todeslocamennwnhnhnhH DTFT ][].[][ˆ][)(

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


36

Escolha da Janela: )()()(ˆ WHH


37

Características de W() que influem em )(ˆ H

a) Largura do Lóbulo Principal:Influencia no tamanho da banda de transiçãoQuanto <a largura do Lóbulo Principal < a banda de transição

Controla-se através da escolha de M, tamanho da janela.

>M , < Lóbulo principal, < Banda de transição, > complexidade


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b) Razão de Ripple: É a relação entre a amplitude do lóbulo principal e o1 lóbulo secundário.

)0(

)(log20

W

W s

Determina a mínima atenuação da banda de rejeiçãoe o ripple da banda de passagem

Controla-se através da escolha da janela.M não influencia nesta característica


39

Principais tipos de janelas:

Retangular:

outros

Mnnw

,0

0,1][

Bartlett:

outros

MnMMn

MnMn

nw

,0

2/,/22

2/0,/2

][Hanning:

outros

MnMnnw

,0

0),/2cos(5.05.0][

Hamming:

outros

MnMnnw

,0

0),/2cos(46.054.0][

Blackman:

outros

MnMnMnnw

,0

0),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0][


40


41

Procedimento:

-Dado um gabarito

-Escolher o tipo de janela que satisfaça a atenuaçãoNa banda de rejeição

-Escolher o M p/ satisfazer a banda de transição

Método de tentativa e erro.


42

Janela de Kaiser

Kaiser em 1966 desenvolveu um procedimento próximoDo ótimo p/ projeto de filtros FIR baseado em janelamento

- Vantagem: Técnica procedural

Mn

outros

I

nI

nw

0,

,0

)(

/)(1

][0

20

Onde: Io(x) é a função de Bessel modificada de primeira espécie e ordem zero.

2

10 2!

11)(

n

nx

nxI Série de convergência rápida

2/M


43

Dado o gabarito:

Amax

Amin

p s ps

Temos:

21,0

5021)21(07886.0)21(5842.0

50)7,8(1102.0

min

minmin4.0

min

minmin

A

AAA

AA

285.2

8minAM

Determinados: M, e , calcula-se w[n]e H(z)=Z{h[n].w[n]}


44

Compensação da Distorção sen(x)/x do conversor D/A

Outros tipos de de projetos otimizados: Parks-McClellan


45

Afinal: FIR ou IIR ?

1) ( )H z

2) ( )H

3) ( )H

4) Estabilidade

5) Projeto

6) Complexidade

7) Estruturas

8) Erros de Quantização

9) Filtros Adaptativos

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