jorge s. marques, 2010
Transformada de Fourier de Sinais Contínuos
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Questão
Será possível representar sinais não periódicos como soma de exponenciais?
x(t)
0
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Sinais periódicos e não periódicos
Um sinal não periódico x(t) é o limite de um sinal periódico x(t) quando o período T tende para infinito.
~
T
Podemos expandir o sinal periódico em série de Fourier
ktjk
kTectxπ2
)(~ ∑=∞+
−∞=
E deixar que o período T tenda para infinito. A frequência fundamental tende para 0 e as frequências das exponenciais ocupam toda a recta real.
x(t)
0
~
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Situação limite
)()( 21L
0
12
kXdtetxc TTktj
TkT ππ
=∫=− dtetxjX tjωω −∫= )()(
L
0em que
ktjkTkL
ktjk
kTT eXectxππ
π22
)(j )( 21 ∑=∑=∞+
−∞=
∞+
−∞=pode-se interpretar como soma de Riemann
No limite quando L→∞
ωω ωπ deXtx tj )(j)( 21 ∫=
∞+
∞−
O sinal não periódico (de duração finita) pode ser sintetizado como a “soma” (integral) de um número infinito de exponenciais complexas de frequência ω∈] -∞,+∞[.
coeficiente da série de Fourier
série de Fourier
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Representação de Fourier
Transformada de Fourier
dtetxjX tjωω )()( ∫=∞+
∞−
Transformada inversa de Fourier
ωω ωπ dejXtx tj)()( 21 ∫=
∞+
∞−
par de Fourier
)()( ωjXtx ↔
A transformada inversa permite sintetizar o sinal x(t) como a soma de exponenciais complexas.A transformada de Fourier calcula a amplitude (complexa) de cada exponencial.
X(jω) é o espectro do sinal x(t)
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Espectro de fase e de amplitude
A transformada de Fourier de um sinal x(t) é um sinal complexo X(jω) que pode ser caracterizado por duas funções reais
espectro de amplitude
espectro de fase
parte real do espectro
parte imaginária do espectro
ou
|)(| ωjX
)()( ωωθ jX∠=
{ })(Re)( ωω jXjXr =
{ })(Im)( ωω jXjXi =
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Sinal de fala (vogal /a/, masculina)
x(t)
|X(ω)|
θ (ω)
s
X2π rad/s
X2π rad/s-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000
-20
0
20
-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 50000
1000
2000
3000
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-40
-20
0
20período 8ms
harmónicas em múltiplos de 125Hz
sinal no tempo
espectro de Fourier
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Convergência
Quando é que a transformada de Fourier existe? Há vários teoremas de convergência com hipóteses e critérios de convergência diferentes:
• se x(t) pertencer a L2, ou seja, se tiver norma limitada, então tem transformada de Fourier
• se se verificarem as condições de Dirichelet seguintes, x(t) tem transformada de Fourier
i) x(t) é absolutamente integrável ∞<∫∞+
∞−dttx )(
ii) x(t) é de variação limitada em qualquer intervalo finito
iii) x(t) tem um número finito de descontinuidades de 1ª ordem em qualquer intervalo finito
• todas as funções generalizadas têm transformada de Fourier
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Transformada da exponencial multiplicada por escalão
par de Fourier
Dem.
Vale a pena calcular a transformada de e-atu(-t), com a<0, e comparar.
0a , 1)( >−
+↔
ωjatue at
x(t)
0 t
1
ωω
ωωω
jaja
tjaetjattj dteedtx(t)eX(jω+
∞+
+−
+−−−
∞+−
∞+
∞−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=∫=∫= 1
0)(
)(
0)
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Transformada de um delta de Dirac
par de Fourier
Dem.
A transformada de uma função delta de Dirac é uma constante. O espectro de um Delta dá igual peso a todas as frequências.
1)( ↔tδ
x(t)
0 t
X(jω)
0 ω
1 1
1)()( =∫= −∞+
∞−dtetX tjωδω
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Transformada da constante
par de Fourier
Dem.
A transformada de uma constante é um delta de Dirac na frequência. O espectro de uma constante só tem uma única frequência: a frequência 0.
)(21 ωπδ↔
x(t)
0t
X(jω)
0 ω
2π1
aplicando a transformada inversa, vem
1)()(2)( 21 =∫=∫=
∞+
∞−
∞+
∞−ωδωπδ ωω
π detdettx tjtj
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Transformada do escalão
par de Fourier
Dem.
)(1)( ωπδω
+↔j
tu
x(t)
t0
1
Pode provar-se usando a propriedade do primitivação.
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Transformada do impulso rectangular
par de Fourier
Dem.
A transformada de impulso rectangular é uma função sinc.
)(21 ωπδ↔
x(t)
0t
X(jω)
0 ω
1
aplicando a transformada inversa, vem
)sinc()(
)sin(2)()(
2
22/2/2/
2/
2/
2/
T
TTjTjT
T
tjtjT
T
tj
TjX
jee
jedtedtetxjX
ω
ωωωωωω
ω
ωωωω
=
=−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=∫=∫=
−
−
−−
−
−∞+
∞−
-T/2 T/2
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Transformada do impulso rectangular
tempo
frequêncialargura do impulso
largura do impulso
como varia a transformada com T?
quando o impulso se alarga no tempo, a transformada concentram-se em torno da origem.
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Transformada da exponencial complexa
par de Fourier
)(2 00 ωωπδω −↔tje
0
X(ω)
ω
2π
ω0
Dem.
tjtjtj ededetx 0)()(2)( 0021 ωωωπ ωωωδωωωπδ =−∫=−∫=
∞+
∞−
∞+
∞−
A transformada de uma exponencial complexa de frequência ω0 é um delta de Dirac centrado em ω0.
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Transformada do coseno e seno
par de Fourier
)()()cos( 000 ωωπδωωπδω −++↔t
0
X(ω)
ω
−jπ
ω0
Dem.
{ } { } { } { }{ } { } { } { } )()()sin(
)()()cos(
0021
21
20
0021
21
20
0000
0000
ωωπδωωπδω
ωωπδωωπδω
ωω
ωω
ωω
ωω
++−−=−==
++−=+==
−−
−+
−
−
jjeFeFFtF
eFeFFtF
tjj
tjjj
ee
tjtjee
tjtj
tjtj
A transformada de uma sinusóide de frequência ω0 são dois impulsos na frequência localizados em .-ω0 e ω0.
jπ
ω0
0
X(ω)
ω
π
ω0
π
ω0
)()()sin( 000 ωωπδωωπδω −−+↔ jjt
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Transformada de um sinal modulado em amplitude
par de Fourier
))(())(()cos()( 000 ωωπωωπω −+−↔ jXjXttx0
X(ω)
ω
−ω0Dem.
Multiplicar um sinal por um coseno (portadora) é conhecido em Telecomunicações por modulação em amplitude. O espectro do sinal desloca-se e passa a estar centrado na frequência da portadora.
1
0
Y(ω)
ωω0
π π
propriedade do deslocamento na frequência.
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Propriedades de deslocamento
Dem.
)()(
)()()}({
00
0 )(00
ωαα
αα
ωωαω
αωω
jXedexde
dexdtettxttxTF
tjjtj
tjtj
−−∞+
∞−
−
+−∞+
∞−
−∞+
∞−
=∫=
=∫=−∫=−
par de Fourier
)()( 00 ωω jXettx tj−↔−
x(t)
0 t
x(t-t0)
0 tt0
Um deslocamento no tempo corresponde a multiplicação da transformada por uma exponencial complexa que não altera o espectro de amplitude
))(()( 00 ωωω −↔ jXtxe j
X(jω)
0 ω 0 ωω0
X(j(ω−ω0)
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Teorema da convolução
Que relação existe entre os espectros da entrada e da saída de um SLIT?
x(t) y(t)h(t)
)()()( ωωω jXjHjY = )}({)( thTFjH =ω resposta em frequência do SLIT
Dem.
=∫ ∫ −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫ −∫==
∞+
∞−
−∞+
∞−
−∞+
∞−
∞+
∞−ααααααω ωω dtdetxhdtedtxhthtxTFjY tjtj )()( )()()}(*)({)(
)()()()()()()()( ωωααωαωαααα ααω jXjHdehjXdejXhdtdetxh jjtj =∫=∫=∫ ∫ −=∞+
∞−
−∞+
∞−
−∞+
∞−
−∞+
∞−
troca ordem dos integrais
propriedade do deslocamento
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Resposta em Frequência
A resposta em frequência de um SLIT tinha sido definida atrás com base na resposta do SLIT a uma exponencial complexa de frequência ω
tjtj ejHe ωω ω −→ )(
A resposta em frequência aparece agora como o quociente entre astransformadas de Fourier da entrada e da saída de um SLIT (desde que o quociente exista)
)()()(
ωωωjXjYjH =
O SLIT comporta-se como um filtro que altera a amplitude de cada frequência de entrada por um factor H(jω).
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Propriedade da derivada
Dem.
ωωωωωωω ωπ
ωπ
ωπ dejXjdejX
dtddejX
dtd
dttdx tjtjtj )()()()(
21
21
21 ∫=∫=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∫=∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
par de Fourier
)()( ωω jXjdttdx
↔
Derivar um sinal no tempo corresponde a multiplicar a transformada por jω.
)()( ωω jXjdttdxTF =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
logo
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Aplicação em equações diferenciais
Consideremos uma equação diferencial linear
)()(232
2txdt
dxtydtdy
dtyd +++ =
Apliquemos a transformada de Fourier a ambos os membros
{ })()(232
2txTFtydt
dydtyd
dtdxTF +=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ++ [ ] ( ) )(1)(23)( 2 ωωωωω jXjjYjj +=++
Função de transferência
23
12)(
)(++
+=
ωωωω
jjjjH
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Sinais reais
Dem.
Se o sinal x(t) for real a transformada de Fourier goza de algumas propriedades de simetria
*)()()( ωω ω jXdtetxjX tj =∫=−∞+
∞−
*)()( ωω jXjX =−
Portanto o espectro de amplitude é uma função par e o espectro de fase é ímpar.
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Teorema de Parseval
Dem.
∫ =∫∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫∫ ==
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−ωωωω ω
πω
π dtdetyjXdttydejXdttytxyx tjtj *)()(*)()(*)()(, 21
21
YXyx ,, 21π=
A transformada de Fourier preserva o produto interno entre dois sinais (e a norma de sinais) àparte de um factor de 2π. O factor de 2π pode ser incluído na definição de produto interno entre duas transformadas.
∫ =∫ =∫=∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−YXdjYjXdtdetyjX tj ,*)()(*)()( 2
121
21
ππω
π ωωωωω
x y X
Y
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Transformada de sinais periódicos
)(tx
)(~ tx
)( ωjX
)(~ ωjX
TF
TF
extensão periódica ? )( )()(~ 22 kkjXjX TTk
ππ ωδω −∑=∞+
−∞=
)(tx
t
)(~ tx
t
)( ωjX
t0
0
0
)(~ ωjX
t0
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Propriedades
Sejam x,y sinais com transformada de Fourier X,Y
{ }{ } { }
real sinais*)()()(simetria)(Imag)(Imparsimetria)( RealPar{x(t)}modulação)(*)(x(t)y(t)convolução)()(y(t)*x(t)
frequência na derivação)()( jt-
tempo no ãoprimitivaç)()0()()(
tempo no derivação)(dt
dx(t)oescalament)()(
frequência na todeslocamen))(()(tempo no todeslocamen)()(
elinearidad)()()()(
21
1
||1
0
00
0
ωωω
ωωω
ωωω
ω
ωδπωαα
ωω
ωωω
ωω
π
ω
ω
ω
ω
jXjXIRtxjXjtxjX
jYjXjYjX
djdXtx
XjXdx
jXj
jXatxjXtxe
jXettxjbYjaXybytax
j
t
aa
j
tj
=−↔∈↔↔↔↔
↔
+↔∫
↔
↔−↔
↔−+↔+
∞−
−
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Da teoria à prática
A aplicação da transformada de Fourier a sinais reais (sinais multimédia, médicos, de radar, de comunicações, etc) levanta duas dificuldades:
• a transformada admite que o sinal tem duração infinita;
não é possível guardar um sinal de duração infinita nem é útil ter uma caracterização global que descreva todo o sinal.
• não pode ser calculada num computador digital.
A primeira dificuldade ultrapassa-se usando a transformada de Fourier localizada.
A segunda dificuldade ultrapassa-se i) amostrando o sinal contínuo e ii) usando uma transformada de Fourier de comprimento finito (DFT / FFT).
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