Sinais periódicos e não periódicos Situação limite ( )1 · O sinal não periódico (de...

jorge s. marques, 2010

Transformada de Fourier de Sinais Contínuos


Questão

Será possível representar sinais não periódicos como soma de exponenciais?

x(t)

0


Sinais periódicos e não periódicos

Um sinal não periódico x(t) é o limite de um sinal periódico x(t) quando o período T tende para infinito.

~

T

Podemos expandir o sinal periódico em série de Fourier

ktjk

kTectxπ2

)(~ ∑=∞+

−∞=

E deixar que o período T tenda para infinito. A frequência fundamental tende para 0 e as frequências das exponenciais ocupam toda a recta real.

x(t)

0

~


Situação limite

)()( 21L

0

12

kXdtetxc TTktj

TkT ππ

=∫=− dtetxjX tjωω −∫= )()(

L

0em que

ktjkTkL

ktjk

kTT eXectxππ

π22

)(j )( 21 ∑=∑=∞+

−∞=

∞+

−∞=pode-se interpretar como soma de Riemann

No limite quando L→∞

ωω ωπ deXtx tj )(j)( 21 ∫=

∞+

∞−

O sinal não periódico (de duração finita) pode ser sintetizado como a “soma” (integral) de um número infinito de exponenciais complexas de frequência ω∈] -∞,+∞[.

coeficiente da série de Fourier

série de Fourier


Representação de Fourier

Transformada de Fourier

dtetxjX tjωω )()( ∫=∞+

∞−

Transformada inversa de Fourier

ωω ωπ dejXtx tj)()( 21 ∫=

∞+

∞−

par de Fourier

)()( ωjXtx ↔

A transformada inversa permite sintetizar o sinal x(t) como a soma de exponenciais complexas.A transformada de Fourier calcula a amplitude (complexa) de cada exponencial.

X(jω) é o espectro do sinal x(t)


Espectro de fase e de amplitude

A transformada de Fourier de um sinal x(t) é um sinal complexo X(jω) que pode ser caracterizado por duas funções reais

espectro de amplitude

espectro de fase

parte real do espectro

parte imaginária do espectro

ou

|)(| ωjX

)()( ωωθ jX∠=

{ })(Re)( ωω jXjXr =

{ })(Im)( ωω jXjXi =


Sinal de fala (vogal /a/, masculina)

x(t)

|X(ω)|

θ (ω)

s

X2π rad/s

X2π rad/s-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000

-20

0

20

-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 50000

1000

2000

3000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-40

-20

0

20período 8ms

harmónicas em múltiplos de 125Hz

sinal no tempo

espectro de Fourier


Convergência

Quando é que a transformada de Fourier existe? Há vários teoremas de convergência com hipóteses e critérios de convergência diferentes:

• se x(t) pertencer a L2, ou seja, se tiver norma limitada, então tem transformada de Fourier

• se se verificarem as condições de Dirichelet seguintes, x(t) tem transformada de Fourier

i) x(t) é absolutamente integrável ∞<∫∞+

∞−dttx )(

ii) x(t) é de variação limitada em qualquer intervalo finito

iii) x(t) tem um número finito de descontinuidades de 1ª ordem em qualquer intervalo finito

• todas as funções generalizadas têm transformada de Fourier


Transformada da exponencial multiplicada por escalão

par de Fourier

Dem.

Vale a pena calcular a transformada de e-atu(-t), com a<0, e comparar.

0a , 1)( >−

+↔

ωjatue at

x(t)

0 t

1

ωω

ωωω

jaja

tjaetjattj dteedtx(t)eX(jω+

∞+

+−

+−−−

∞+−

∞+

∞−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=∫=∫= 1

0)(

)(

0)


Transformada de um delta de Dirac

par de Fourier

Dem.

A transformada de uma função delta de Dirac é uma constante. O espectro de um Delta dá igual peso a todas as frequências.

1)( ↔tδ

x(t)

0 t

X(jω)

0 ω

1 1

1)()( =∫= −∞+

∞−dtetX tjωδω


Transformada da constante

par de Fourier

Dem.

A transformada de uma constante é um delta de Dirac na frequência. O espectro de uma constante só tem uma única frequência: a frequência 0.

)(21 ωπδ↔

x(t)

0t

X(jω)

0 ω

2π1

aplicando a transformada inversa, vem

1)()(2)( 21 =∫=∫=

∞+

∞−

∞+

∞−ωδωπδ ωω

π detdettx tjtj


Transformada do escalão

par de Fourier

Dem.

)(1)( ωπδω

+↔j

tu

x(t)

t0

1

Pode provar-se usando a propriedade do primitivação.


Transformada do impulso rectangular

par de Fourier

Dem.

A transformada de impulso rectangular é uma função sinc.

)(21 ωπδ↔

x(t)

0t

X(jω)

0 ω

1

aplicando a transformada inversa, vem

)sinc()(

)sin(2)()(

2

22/2/2/

2/

2/

2/

T

TTjTjT

T

tjtjT

T

tj

TjX

jee

jedtedtetxjX

ω

ωωωωωω

ω

ωωωω

=

=−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=∫=∫=

−

−

−−

−

−∞+

∞−

-T/2 T/2


Transformada do impulso rectangular

tempo

frequêncialargura do impulso

largura do impulso

como varia a transformada com T?

quando o impulso se alarga no tempo, a transformada concentram-se em torno da origem.


Transformada da exponencial complexa

par de Fourier

)(2 00 ωωπδω −↔tje

0

X(ω)

ω

2π

ω0

Dem.

tjtjtj ededetx 0)()(2)( 0021 ωωωπ ωωωδωωωπδ =−∫=−∫=

∞+

∞−

∞+

∞−

A transformada de uma exponencial complexa de frequência ω0 é um delta de Dirac centrado em ω0.


Transformada do coseno e seno

par de Fourier

)()()cos( 000 ωωπδωωπδω −++↔t

0

X(ω)

ω

−jπ

ω0

Dem.

{ } { } { } { }{ } { } { } { } )()()sin(

)()()cos(

0021

21

20

0021

21

20

0000

0000

ωωπδωωπδω

ωωπδωωπδω

ωω

ωω

ωω

ωω

++−−=−==

++−=+==

−−

−+

−

−

jjeFeFFtF

eFeFFtF

tjj

tjjj

ee

tjtjee

tjtj

tjtj

A transformada de uma sinusóide de frequência ω0 são dois impulsos na frequência localizados em .-ω0 e ω0.

jπ

ω0

0

X(ω)

ω

π

ω0

π

ω0

)()()sin( 000 ωωπδωωπδω −−+↔ jjt


Transformada de um sinal modulado em amplitude

par de Fourier

))(())(()cos()( 000 ωωπωωπω −+−↔ jXjXttx0

X(ω)

ω

−ω0Dem.

Multiplicar um sinal por um coseno (portadora) é conhecido em Telecomunicações por modulação em amplitude. O espectro do sinal desloca-se e passa a estar centrado na frequência da portadora.

1

0

Y(ω)

ωω0

π π

propriedade do deslocamento na frequência.


Propriedades de deslocamento

Dem.

)()(

)()()}({

00

0 )(00

ωαα

αα

ωωαω

αωω

jXedexde

dexdtettxttxTF

tjjtj

tjtj

−−∞+

∞−

−

+−∞+

∞−

−∞+

∞−

=∫=

=∫=−∫=−

par de Fourier

)()( 00 ωω jXettx tj−↔−

x(t)

0 t

x(t-t0)

0 tt0

Um deslocamento no tempo corresponde a multiplicação da transformada por uma exponencial complexa que não altera o espectro de amplitude

))(()( 00 ωωω −↔ jXtxe j

X(jω)

0 ω 0 ωω0

X(j(ω−ω0)


Teorema da convolução

Que relação existe entre os espectros da entrada e da saída de um SLIT?

x(t) y(t)h(t)

)()()( ωωω jXjHjY = )}({)( thTFjH =ω resposta em frequência do SLIT

Dem.

=∫ ∫ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫ −∫==

∞+

∞−

−∞+

∞−

−∞+

∞−

∞+

∞−ααααααω ωω dtdetxhdtedtxhthtxTFjY tjtj )()( )()()}(*)({)(

)()()()()()()()( ωωααωαωαααα ααω jXjHdehjXdejXhdtdetxh jjtj =∫=∫=∫ ∫ −=∞+

∞−

−∞+

∞−

−∞+

∞−

−∞+

∞−

troca ordem dos integrais

propriedade do deslocamento


Resposta em Frequência

A resposta em frequência de um SLIT tinha sido definida atrás com base na resposta do SLIT a uma exponencial complexa de frequência ω

tjtj ejHe ωω ω −→ )(

A resposta em frequência aparece agora como o quociente entre astransformadas de Fourier da entrada e da saída de um SLIT (desde que o quociente exista)

)()()(

ωωωjXjYjH =

O SLIT comporta-se como um filtro que altera a amplitude de cada frequência de entrada por um factor H(jω).


Propriedade da derivada

Dem.

ωωωωωωω ωπ

ωπ

ωπ dejXjdejX

dtddejX

dtd

dttdx tjtjtj )()()()(

21

21

21 ∫=∫=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∫=∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

par de Fourier

)()( ωω jXjdttdx

↔

Derivar um sinal no tempo corresponde a multiplicar a transformada por jω.

)()( ωω jXjdttdxTF =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

logo


Aplicação em equações diferenciais

Consideremos uma equação diferencial linear

)()(232

2txdt

dxtydtdy

dtyd +++ =

Apliquemos a transformada de Fourier a ambos os membros

{ })()(232

2txTFtydt

dydtyd

dtdxTF +=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++ [ ] ( ) )(1)(23)( 2 ωωωωω jXjjYjj +=++

Função de transferência

23

12)(

)(++

+=

ωωωω

jjjjH


Sinais reais

Dem.

Se o sinal x(t) for real a transformada de Fourier goza de algumas propriedades de simetria

*)()()( ωω ω jXdtetxjX tj =∫=−∞+

∞−

*)()( ωω jXjX =−

Portanto o espectro de amplitude é uma função par e o espectro de fase é ímpar.


Teorema de Parseval

Dem.

∫ =∫∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∫ ==

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−ωωωω ω

πω

π dtdetyjXdttydejXdttytxyx tjtj *)()(*)()(*)()(, 21

21

YXyx ,, 21π=

A transformada de Fourier preserva o produto interno entre dois sinais (e a norma de sinais) àparte de um factor de 2π. O factor de 2π pode ser incluído na definição de produto interno entre duas transformadas.

∫ =∫ =∫=∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−YXdjYjXdtdetyjX tj ,*)()(*)()( 2

121

21

ππω

π ωωωωω

x y X

Y


Transformada de sinais periódicos

)(tx

)(~ tx

)( ωjX

)(~ ωjX

TF

TF

extensão periódica ? )( )()(~ 22 kkjXjX TTk

ππ ωδω −∑=∞+

−∞=

)(tx

t

)(~ tx

t

)( ωjX

t0

0

0

)(~ ωjX

t0


Propriedades

Sejam x,y sinais com transformada de Fourier X,Y

{ }{ } { }

real sinais*)()()(simetria)(Imag)(Imparsimetria)( RealPar{x(t)}modulação)(*)(x(t)y(t)convolução)()(y(t)*x(t)

frequência na derivação)()( jt-

tempo no ãoprimitivaç)()0()()(

tempo no derivação)(dt

dx(t)oescalament)()(

frequência na todeslocamen))(()(tempo no todeslocamen)()(

elinearidad)()()()(

21

1

||1

0

00

0

ωωω

ωωω

ωωω

ω

ωδπωαα

ωω

ωωω

ωω

π

ω

ω

ω

ω

jXjXIRtxjXjtxjX

jYjXjYjX

djdXtx

XjXdx

jXj

jXatxjXtxe

jXettxjbYjaXybytax

j

t

aa

j

tj

=−↔∈↔↔↔↔

↔

+↔∫

↔

↔−↔

↔−+↔+

∞−

−


Da teoria à prática

A aplicação da transformada de Fourier a sinais reais (sinais multimédia, médicos, de radar, de comunicações, etc) levanta duas dificuldades:

• a transformada admite que o sinal tem duração infinita;

não é possível guardar um sinal de duração infinita nem é útil ter uma caracterização global que descreva todo o sinal.

• não pode ser calculada num computador digital.

A primeira dificuldade ultrapassa-se usando a transformada de Fourier localizada.

A segunda dificuldade ultrapassa-se i) amostrando o sinal contínuo e ii) usando uma transformada de Fourier de comprimento finito (DFT / FFT).

Sinais periódicos e não periódicos Situação limite ( )1 · O sinal não periódico (de...

Documents

Transcript of Sinais periódicos e não periódicos Situação limite ( )1 · O sinal não periódico (de...