Roteiro
Relatividade Especial:• Conceitos básicos e algumas conseqüências• Paradoxo dos gêmeos
Relatividade Geral:• Conceitos básicos, conseqüências e
aplicabilidade.
Relatividade Especial
• Essa teoria modifica as noções newtonianas de espaço e tempo e incorpora o eletromagnetismo como representado pelas equações de Maxwell.
• Essa teoria é dita especial ou restrita, pois usa o princípio da relatividade somente para o caso restrito ou especial de referências inerciais (não acelerados).
• A gravidade não é levada em conta!
A mecânica newtoniana é consistente com astransformações de Galileu.
x
z
yS S*
x*
y*
z*
vr
tt*zz*yy*
vtxx*
===
−=
** FFeaarrrr
==⇒
JµtE
c1B
tBE
0B
ερE
MaxwelldeEquações
02
0
+∂∂
=×∇
∂∂
−=×∇
=⋅∇
=⋅∇
Por outro lado, as equaçõesde Maxwell do eletromagne-tismo não mantêm a formafrente às transformações deGalileu.⇒ essas equações não seriam válidas em todos referênciais inerciais.⇒ seria possível descobrir seum sistema está se movendoem relação ao sistema onde elas são válidas.
Sendo as equações de Maxwell válidas em qualquer referencial inercial deve se modificar a mecânica newtoniana.
Por outro lado, as equaçõesde Maxwell do eletromagne-tismo não mantêm a forma frente às transformações de Galileu.⇒ essas equações não seriam válidas em todos referênciais inerciais.⇒ seria possível descobrir seum sistema está se movendoem relação ao sistema onde elas são válidas (éter?).
JµtE
c1B
tBE
0B
ερE
MaxwelldeEquações
02
0
+∂∂
=×∇
∂∂
−=×∇
=⋅∇
=⋅∇
O primeiro postulado (princípio da relatividade)
• As leis da física são as mesmas em todos os referências inerciais. Ou seja, toda teoria física deve ter a mesma forma matemática para todos os referências inerciais. Não existe referencial inercial privilegiado.
O segundo postulado (invariância de c)
• A velocidade da luz no vácuo, c, é a mesma para todos os observadores inerciais, e não depende da velocidade do objeto emissor da luz.
⇒Os dois postulados combinados equivalem a dizer que a luz não requer qualquer meio (tal como o éter) para se propagar.
• As transformações de Galileu devem ser modificadas. • As transformações válidas na relatividade restrita são
as transformações de Lorentz.
x
z
yS S*
x*
y*
z*
vr
22
2
22
/cv1)x(v/ctt*
zz*yy*
/cv1vtxx*
−
−=
==
−
−=
)Ecv(BγB
)Ecv(BγB
BB
)Bv(EγE
)Bv(EγE
EE
y2z*z
z2y*y
x*x
yz*z
zy*y
x*x
−=
+=
=
+=
−=
=
22/cv11γ
:Onde
−=
As transformações para os campos são:
• Contração do espaço• Dilatação do tempo• Simultaneidade de eventos não é um
conceito absoluto• m=m(v)• E=mc2
Efeitos relativísticos
Efeitos dinâmicos
A massa depende da velocidade
220
/cv1mm(v)−
=
Onde m0 é a chamada de massa de repouso.
• Note que: v → c ⇒ m → ∞
• Somente para partículas com massa de repousonula (e.g., fóton) v = c.
2mcE =
A energia relativística é dada por uma das mais famosas equações da física:
Esta equação tem um significado profundo: energia e massa são equivalentes.
Massa é um forma de energia.
Mudança na energia é igual a mudança na massa.
Solução do “paradoxo dos gêmeos”
• A gêmea que viaja sofre várias acelerações, coisaque o gêmeo que ficou na Terra não sofre.
• Isto faz com que não haja simetria neste caso.• Relógios acelerados andam mais devagar, isto
explica o motivo da gêmea que viajou ficar maisjovem que o seu irmão.
Teorema de Minkowski−Pitágoras (1908)
222222 dzdydxdtcds +++−=
∑∑=i j
jiij
2 dxdxηds
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=
1000010000100001
:onde
ijη
(Invariante, i.e., independente do sistema de referência.)
Podemos ainda escrever que:
jiij
2 dxdxηdsou
=
Vamos escrever a métrica acima em coordenadas cilíndricas:
( )2222222 dzdrdrdtcds +++−= ϕ
Fazendo agora uma transformação de
coordenadas para um sistema que gira em torno do eixo z com
velocidade angular ω.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= 2
222
2222 *2
2
222 dz
crω1drdrdtc
crω1ds ϕ
x
y
x*
y*
zz* ≡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= 2
222
22222
2
222 dz
crω1drdrdtc
crω1ds ϕ
ππ 2crω1
2222>
−
Note que a razão do comprimento da circunferência pelo raio vale:
⇒ A geometria não é euclidiana!
Relatividade Especial: Epílogo
• Uma importante questão ainda parecia sem solução: como levar em conta a gravidade na teoria da relatividade?
• A solução para esta questão demorou ainda 10 anos para ser dada.
Relatividade Geral
• Einstein considerava que a gravitação newtoniana deveria ser também modificada.
• Em 1907, enquanto escrevia um artigo de revisão sobre a relatividade especial, Einstein teve uma idéia brilhante.
• Princípio da equivalência:Um sistema de referência em queda livre se comporta, localmente, tal como um sistema de referência inercial (livre de acelerações e da gravidade).
Uma consequênciado princípio da equivalência: relógios mais próximos da
superfície da terra andam mais devagar do que aqueles acima
desta.
• Estas idéias não resultaram, na época, em uma teoria da gravitação, ficando “engavetada” por 5 anos.
• Einstein voltou a atacar este problema em 1912. Ele conclui que a equivalência entre aceleração e gravidade funcionaria se a geometria do espaço-tempo fosse curva (não euclidiana)
• Em 1913, publicou um trabalho com Marcel Grossmann argumentando que o que chamamos de força gravitacional é de fato uma expressão do espaço-tempo ser curvo.
• Note que: tanto o espaço como o tempo devem ser curvos!
• Einstein teve que aprender geometrias não euclidianas. Fez isto com seu amigo Marcel Grossmann.
• Riemann, que foi estudante de Gauss, foi o grande nome nos estudos relacionados com a geometria diferencial, onde são estudas geometrias não-euclidianas.
• A geometria Riemanniana é a matemática adequada para a Relatividade Geral.
• Foram necessários ainda mais alguns anos para a formulação definitiva da teoria, que se deu em novembro de 1915.
• Vale notar que, o grande matemático Hilbert obteve as equações de campo da gravitação, independentemente de Einstein, quase na mesma época.
Princípios Básicos da Relatividade Geral:
• Equivalência – Um sistema de referência em queda livre se comporta, localmente, tal como um sistema de referência inercial. Uma outra versão deste principio seria: um referencial linearmente acelerado em relação a um referencial inercial da relatividade especial é localmente idêntico a um referencial em repouso num campo gravitacional.
• Relatividade Geral – As Leis da Física devem ter a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas.
• (Princípio da covariância geral – As equações da física devem ter a forma tensorial.)
• Acoplamento gravitacional mínimo – as equações de campo devem ter a forma mais simples possível.
• Correspondência – na ausência de gravidade ⇒ relatividade especial; campo fraco e baixas velocidades ⇒ gravitação newtoniana.
ijijij TcπGRgR 4
821
=−
As equações de Einstein:
... mas afinal, qual é a “cara” desta teoria da gravitação?
{
MomentoEnergiaGeometria
4
821
−
⇓
=
⇓
− ijijij TcπGRgR
43421
jiij
2 dxdxgds:queLembrando
=
• Onde Rij e R são o tensor e o escalar de Ricci, respectivamente, que são obtidos do tensor de Riemann Rijkl.
• .... estes vários “Rs” dependem dos gij, que contêm as propriedades geométricas do espaço tempo.
Algumas previsões de Einstein
• Desvio da Luz• Precessão da órbita de mercúrio• Dilatação gravitacional do tempo
Para que serve a Relatividade Geral?
• Cosmologia (assistam a palestra de 29/11/2005).• Formação de galáxias e estrelas (em particular as
estrelas de nêutron e buracos negros).• Ondas gravitacionais.• Espaço-tempo e órbitas ao redor de estrelas com ou
sem rotação. • Em resumo: em tudo onde a gravidade é importante!
Epílogo
• A Relatividade Geral tem passado com sucessopelos mais variados testes experimentais.
• Vale mencionar, no entato, que ela não é certamente a teoria definitiva para a gravitação, pois uma teoria quântica é requerida em algumascircunstâncias.
• Há, no entato, uma previsão da Relatividade Geralque ainda não foi verificada: a da existência de ondas gravitacionais.
• Descobertas por Einstein através da teoria darelatividade geral em 1916.
• Concentrações de massa (ou energia) mudandode forma ou posição podem causar distorçõesno espaço-tempo que se propagam no Universocom a velocidade da luz.
Perturbação no campo gravitacional, ( hµν) Equação de onda:
0222
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∇−
∂∂
µνhtc
Amplitude da onda: h = ∆L/L
Freqüências das ondas: 10-18 Hz a 1010 Hz
223
fh4G
πc F ≅
22235 W/mfh103 F ×≈⇒
Fluxo de ondas gravitacionais
Onde: h - amplitude da OG e f - freqüência da OG
Qual deveria ser o valor de h de modo que F ~ 103 W/m2 ?
Obs.: um fluxo de ~ 103 W/m2 em ondas eletromagnéticas é, e.g., o que recebemos do Sol em todos os comprimentos de onda!!
Para f ~ 1kHz ⇒ h ~ 10-19 (sic) !!
(uma supernova na nossa galáxia, e.g., @ 10 kpc )
atômiconúcleo101 ~ m10 ~ L
km 1Lpara10~L∆L~h
16
19
−
−
∆⇒
=
OGs realmente existem?
• Uma boa evidência:PSR 1913+16 (Taylor & Hulse 1974)(Pulsar binário com período de 7,75 horas)
• Existem pelo menos 5 outros sistemas similares, todos em bom acordo com a RG.
• ⇒ OGs devem existir, sendo responsáveis pela perda de momento angular destes sistemas.
Ondas Gravitacionais em laboratório?
rE
cG~h
simétricanãocinética
4
−
⋅
rad/s 20 ω =
kg10M 6=
m100L =
Rotor
rωL M10 ~h
2245- ⋅
Usando:
Para o rotor ao lado ⇒
Para r > λOG (≈ 50.000 km)
⇒ h < 10–40 !!!
Fontes de OGs
Fontes astrofísicas e cosmológicas• Impulsivas:• Formação de estrelas de nêutrons e buracos negros em supernovas• Coalescência de estrelas compactas, etc.• Periódicas:• Sistemas binários• Estrelas de nêutron em rotação, etc.• “Chirp” (gorjeio) • Estágios finais da espiralação de sistemas binários compactos• Estocásticas• Efeito integrado de muitas fontes periódicas na Galáxia• População de fontes cosmológicas impulsivas: buracos negros, etc.• Processos cosmológicos no Universo primordial
• Desde os anos 1960 há vários experimentosna busca das ondas gravitacionais.
• Até hoje, no entanto, não houve qualquerdetecção direta delas.
• Acredita-se que dentro em breve elas serãodetectadas.
• Quem sabe se nós aqui do INPE nãoseremos capazes de detectá-las, pois temosum projeto (GRAVITON) emdesenvolvimento para esta finalidade.
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