Projeção Estereográfica UFOP/EM/DEGEO/PPG-ECRN
GEOLOGIA ESTRUTURALPrograma de Pós-Graduação em Evolução Crustal e Recursos Naturais
Departamento de Geologia – Escola de Minas / UFOP
Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas - 1876Departamento de Geologia
Issamu Endo03_2013
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Plano de Plano de CursoCurso
SEMANA 104/03/2013- Apresentação do Curso e Projeção estereográfica05/03/2013- Introdução à Geologia Estrutural: Tensão_Deformação06/03/2013- Relação Tensão x Deformação07/03/2013- Fundamentos e Métodos de Análise Estrutural08/03/2013- Dobras e DobramentosSEMANA 211/03/2013- Estruturas Planares: Foliação e Clivagem
GEOLOGIA ESTRUTURALPPG_ECRN/UFOP/DEGEOProf. Issamu EndoMARÇO/2013
ATIVIDADES DIÁRIASManhã :
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11/03/2013- Estruturas Planares: Foliação e Clivagem12/03/2013- Estruturas Lineares Macro e Mesoscópicas13/03/2013- Estruturas Frágeis: Juntas – Diáclases14/03/2013- Falhas, Sistemas de Falhas e Zonas de Cisalhamento15/03/2013- Sistemas Tectônicos, Reativação, SemináriosSEMANA 318/03/2013- Campo1
19/03/2013- Campo20/03/2013- 8:30 horas, Avaliação - Prova Escrita.Saída 8:00h do DEGEO e chegada 18:00hs no DEGEO
Manhã :Início das atividades as 8:30hs.Discussão de artigos e Análisede Problemas sobre o tema do diaTarde : Livre para pesquisa
e leitura de artigos.
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PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA
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A: RepresentaçãoA: Representação2 dimensões
- Diagrama de Rosa- Histograma
3 dimensõesProjeção Estereográfica: Diagrama de Igual-Área e Igual-AnguloMétodos de Contorno:- método Schmidt (ou 1% de área);- método Kamb;- método Kalsbeek;
SumárioSumário
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- métodos Mellis, Starkey, Gaussiano e Fisher.B: Estatística de Dados DirecionaisB: Estatística de Dados Direcionais
Dados Polares (vetor)- Vetor Médio - Teste de Significância – Teste Rayleigh de Uniformidade- Cone de Confiança do Vetor Médio
Dados Axiais (Não Polar)- Autovetor e Autovalor de Dados 3D- Razão dos Autovalores
C: TécnicasC: Técnicas
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Projeção Estereográfica
A estatística de dados de orientação é feita com a aplicação da álgebra vetorial.
A direção média corresponde ao vetor soma de todos os dados de orientação
∑=
n
iiv
1
rsendo n o número de dados
Métodos ClássicosMétodos ClássicosDistribuição 2D Distribuição 3D
Campo da Estatística Direcional.
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Distribuição 2D Distribuição 3DDiagramas de Rosas Projeção Estereográfica
N N
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Projeção Estereográfica
Tipo de Distribuição Normal ou Gaussiana
A média (µ) e o desvio-padrão (σ)caracterizam a distribuição.
Os valores da média, moda e mediana coincidem.
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2
2
2
2
2
)x(
2
)x(
2Bee
2
1)x(f σ
µ−−σµ−−
=πσ
=
arte & arte.com
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Projeção Estereográfica
Tipo de Distribuição Normal ou Gaussiana
200
100
140
120
100
80
Sim Não
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Vendas de auto peças
6000,0
5500,0
5000,0
4500,0
4000,0
3500,0
3000,0
2500,0
2000,0
1500,0
1000,0
500,0
0,0
0
Std. Dev = 994,59
Mean = 2516,6
N = 1488,00
Vendas de Autopeças
Current Salary
135000,0
125000,0
115000,0
105000,0
95000,0
85000,0
75000,0
65000,0
55000,0
45000,0
35000,0
25000,0
15000,0
60
40
20
0
Std. Dev = 17075,66
Mean = 34419,6
N = 474,00
Salários
arte & arte.com
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Projeção Estereográfica
Redes de Projeção Estereográfica
IGUAL-ÁREA IGUAL-ÂNGULO
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Uso: Geologia Estrutural e Geotecnia Uso: Mineralogia e Cristalografia
Todos os círculos sobre a esferaprojetam-se como círculos sobre o plano
A área é conservada com moderada distorção
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Projeção Estereográfica: Princípios
Como se realiza a projeção?
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Projeção Estereográfica: Princípios
Como se realiza a projeção?
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Zênite
Plano de
Esfera de ProjeçãoTraço Ciclográficodo Plano Estrutural
Projeção de PLANOS e LINHAS
ouGrande CírculoGrande Círculo
Projeção Estereográfica: Princípios
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Plano de Projeção
Plano Horizontal
Plano Estrutural
Projeção Estereográficado Plano Estrutural
Círculo Primitivo
Vista Oblíqua do Plano Interceptando a Esfera
LL
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Zênite
.....
Plano de Projeção
Pequeno CírculoPequeno Círculo
Projeção Estereográfica: Princípios
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.
..
. ........
Projeção
Círculo Primitivo
Intersecção do Cone com a Esfera
Geratriz do Cone
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Projeção Estereográfica: MÉTODOS DE CONTORNO
Existem vários métodos de contorno. A escolha vai depender do tipo de distribuição e dos recursos disponíveis.
2 %
4 %
6 %
8 %
10 %
12 %
14 %
16 %
18 %
20 %
Pólos de AcamamentoNúmero de Medidas N=202
?
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20 %
22 %
Contador > Rede
O contornoé a expressão de um conceito matemático (estatística) chamado função probabilística de densidade(probability density function).
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1- método de Schmidt: população elevada de medidas >400;
2- método de Kalsbeek: qualquer tipo de população;
3- método de Mellis: pequena população;
4- método de Kamb: A área pode variar ≈ 0,1 a 50%: 9/(N+9)
r=3/[(N+9)pi]1/2 [proporção];
Projeção Estereográfica: MÉTODOS DE CONTORNO
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r=3/[(N+9)pi]1/2 [proporção];
5- método de Fisher: Distribuição das orientações em torno do vetor médio
e simétrico em relação ele;
6- método de Starkey: A área do contador é variável: 100/N%;
7- métodoGaussiano: Contador Gaussiano_3D Curva do Sino.
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Projeção Estereográfica: MÉTODOS DE CONTORNORestrições
• os métodos enunciados são aplicados para pequenas
populações de dados (Mellis) ou para grandes
populações (Schmidt);
• para pequenas quantidades de dados (ex. N=100) o
círculo de contorno de dimensão fixa (1% de área)
constitui uma SEVERA LIMITAÇÃO na análise
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constitui uma SEVERA LIMITAÇÃO na análise
estatística de dados de orientação;
• em tais circunstâncias, é comum contornos semi-
circulares tipo “bulls-eye contour” resultando em
padrão de contorno difuso.
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Exemplo:Exemplo:
Contador de Kalsbeek
P1
Passo 1- Plotar e uma transparênciaos pólos dos planos ou as atitudes de linhas na rede deigual-área (Schmidt);
Passo 2- Sobrepor esta transparência ao contador Kalsbeek e marcar em
Projeção Estereográfica: MÉTODOS DE CONTORNO
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6
P2 P3cada centro do hexágono o númerode pólos que o contém;
Passo 3- Elaborar o diagrama de contornoa critério do intérprete. Por exemplo isolinhas de númerode pólos. Assim, pode-se ter isolinhas de 1, 3, 5, 6, e 19 pólos. Ou ainda, isolinhas representando% de pólos, sendo esta a mais comum. Transformar o número de pólos n em % do total N > x%=100n/N
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Projeção Estereográfica: Tipos de Diagramas
Diagrama π (pi)
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Ramsay & Huber (1987)
Diagrama β (beta)
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Projeção Estereográfica
Relação entre a geometria da
dobra e o padrão de
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distribuição dos pólos de
uma superfície dobrada.
Marshak & Mitra (1988)
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Projeção Estereográfica
Padrão de DistribuiçãoPadrão de Distribuição
uniforme: esférico (a);
concentrado: axial (b);
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concentrado: axial (b);
círculo máximo: guirlanda (d);
círculo mínimo: cone (c);
Marshak & Mitra (1988)
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Estatística com Dados de Orientação
1: Dados Polares (Vetor)
Vetor Resultante: ∑=n
ivR1
rr
Módulo do Vetor R: 2
1
2
1
2
11
+
+
== ∑∑∑∑nn
i
n
i
n
zyxvRr
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Vetor Soma Normalizado: r = R/nValor de (r) próximo de 1(um) indica dados altamente concentrados (agrupados) e valor
próximo de zero indica dados espalhados.
Cone de Confiança:Cone de Confiança:É a região representada por um pequeno círculo na qual
reside a média dos dados. Conceito da estatística paramétrica válida apenas para distribuição de dados grupados.
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Estatística com Dados de Orientação
2: Dados Axiais
21
nv
n
ii =∑
=
rMódulo do Vetor R:
Distribuição Normal Esférica (UniModal)
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Distribuição Normal Esférica (UniModal)
Distribuição Fischer (Fischer 1953)
Parâmetro de Concentração(k):
Rn
nk r
−−= 1ˆ
∞≤≤ k̂0Watson, 1966
Θ=Θ cos
sinh4),( ke
k
kf
πα
Cone de Confiança
−
−−=
−1
11arccos
1
1
n
PR
Rnr
r
ϑ
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Teste de Significância
A hipótese nula é uma hipótese que é presumida verdadeira atéque provas estatísticas indiquem o contrário.
Muitas vezes é uma afirmação quanto a um parâmetro que é propriedade de uma população, sendo que é
impossível observar toda a população, e o teste é baseado na observação de uma amostra aleatória da
população. Tal parâmetro é frequentemente a média ou o desvio padrão.
Muitas vezes tal hipótese consiste em afirmar que os parâmetros ou características matemáticas de duas ou
mais populações são idênticos.
h0: µ1 = µ2 > h0 é a hipótese nula eµ1 a média da população 1 eµ2 a média da população 2.
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0
www.pt.wikipedia.org
O teste Rayleigh indica o quão grande uma amostra r deve ser para enunciar uma distribuição
não-uniforme.
Essa quantidade se refere ao valor Rayleigh-R:
O valor Rayleigh-z é utilizado para testar a hipótese nula (null hypothesis) :
nrR =2nrz =
Li (2005)
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Autovetores e Autovalores
A imagem (a) representada por um quadrado e dois vetores
a) V1
V2
V’1
V’2
b)
T
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A imagem (a) representada por um quadrado e dois vetores
V1 e V2 sofrem uma transformação (T) passando a figura
(b). O vetor V’2 mudou de orientação ao passo que o vetor
V’1 não, apenas a sua magnitude. O vetor V’1 pode ser
pode ser representado por V1 multiplicado por um escalar.
Assim, diz-se que V1 é o autovetorda Transformação e esse
escalar o autovalorassociado.
Portanto: T(V) = λVT(V) = λV
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Autovetores e Autovalores
l = cos (caimento) x cos(rumo)m = cos (caimento) x sen (rumo)n = sen (caimento)
1- converter os dados de orientação para seus cossenos diretores:
2- montar a matriz dos vetores pelos produtos dos cossenos diretores:
3- para cada matriz determinar os autovetores V1, V2 e V3 e os autovalores λ1, λ2 e λ3;
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7- calcular o parâmetro de consistência (C):
4- normalizar os autovalores:
5- calcular as razões dos autovalores;
6- calcular o parâmetro de forma (K):
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Autovetores e Autovalores
EIGENVECTORSl m n Strike Dip
V1 = -0,135 -0,171 0,976 231,782 77,400V2 = 0,974 -0,206 0,098 348,064 5,652V3 = 0,184 0,963 0,195 79,190 11,224
EIGENVALUESλ1 = 502,677 S1 = 0,815*λ2 = 68,876 S2 = 0,112λ3 = 45,447 S3 = 0,074
ExemploExemplo
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λ3 = 45,447 S3 = 0,074
S1/S2= 7,298S2/S3= 1,516S1/S3= 11,061
Ln (S1/S2) = 1,988 Ln (S2/S3) = 0,416
C = 2,403C = 2,403K = 4,781K = 4,781N = 617N = 617
Vide Friend (2005)
* 81,5% da população possui significado estatístico em torno de V1 (232/77)
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NNºº11Técnicas de Projeção:
Plotar um plano conhecida a sua atitude = 162/24
.162
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N
162
Ex.P1- 120/34P2- 230/66P3- 320/22P4- N34W/60NE
http://www.uwgb.edu/dutchs
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NNºº22Técnicas de Projeção:
Determinar a interseção de 2 planos = 102/60 e 197/41
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N http://www.uwgb.edu/dutchs Resp.: 163/38
Ex.P1- 120/34P2- 230/66P3- 320/22P4- N34W/60NE
P1∩P2, P2∩P3P3∩P4, P1∩P4
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NNºº33Técnicas de Projeção:Determinar a atitude do plano que contém 2 linhas = 214/40e 128/50
..
.214
128
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N http://www.uwgb.edu/dutchs
.
. ..
Resp.: 160/55Determinar a Atitude de um Plano conhecido 2 Mergulhos Aparentes
Ex.L1- 020/38L2- 130/65L3- 220/20L4- N34W/60
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NNºº44Técnicas de Projeção:Determinar o azimute e o caimento dada a obliqüidade de uma linha sobre um plano:
157/21e 58E (obliqüidade ou pitch)
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N http://www.uwgb.edu/dutchs
..
Resp.: 123/18
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NNºº55Técnicas de Projeção:
Determinar a obliqüidade dada a atitude de uma linha sobre um planoP=157/21e L=123/21
.
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N http://www.uwgb.edu/dutchs
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NNºº66Técnicas de Projeção:Determinar o pólo de um plano = 162/24
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N http://www.uwgb.edu/dutchs
Ex.P1- 120/34P2- 230/66P3- 320/22P4- N34W/60NE
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NNºº77Técnicas de Projeção:
Determinar a atitude de um plano dado o seu pólo = 220/53
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N http://www.uwgb.edu/dutchs
Resp.: 040/37
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Determinar a ângulo entre 2 linhas = 124/40e 038/50
. ..
NNºº88
Ex.L1- 020/38
Técnicas de Projeção:
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N
....
Resp.: 56˚
L1- 020/38L2- 130/65L3- 220/20L4- N34W/60
L1ˆL2, L2̂ L3, L3ˆL4, L1̂ L4
http://www.uwgb.edu/dutchs
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NNºº99Técnicas de Projeção:
Determinar o ângulo entre 2 planos = 304/50e 218/40
..P . P
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N
. .
. .
Resp.: 56 http://www.uwgb.edu/dutchs
Ex.P1- 120/34P2- 230/66P3- 320/22P4- N34W/60NE
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NNºº1010Técnicas de Projeção:
Determinar o ângulo entre um plano (304/50)e uma linha (028/50)
...
P
P
L
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N
. .
.P
P
L L.
Resp.: 56 http://www.uwgb.edu/dutchs
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NNºº1111Técnicas de Projeção:Rotação em torno de um eixo vertical
Dados do eixo de rotação:
1- Orientação: rumo/caimento
2- Magnitude de rotação
3- Sentido de rotação: horário (-) ou
anti-horário (+).
Ex. Eixo=023/50 de 70(-)
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N http://www.uwgb.edu/dutchs
Ex. Eixo=023/50 de 70(-)
Convenção: Método Down-PlungeObservador na Posição Sul e
Eixo na Posição Norte
P1- 135/44P4- N54W/60NE
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NNºº1212Técnicas de Projeção: Rotação em torno de um eixo horizontal de rumo 318
Princípio
. . ... ...
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/Nhttp://www.uwgb.edu/dutchs
.. .. ... .
P1- 135/44, eixo horiz. rumo 040, mag. 70 (-)P4- N54W/60NE eixo horiz. rumo 230, mag. 60 (+)
ObservadorObservador
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NNºº1313Técnicas de Projeção:Rotação em torno de um eixo qualquer – Método da Vertical318/37de 70(magnitude) em torno do eixo 025/60, sentido horario
Passo 1
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/Nhttp://www.uwgb.edu/dutchs
Passo 1
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NNºº1313Técnicas de Projeção:Rotação em torno de um eixo qualquer – Método da Vertical318/37de 70(magnitude) em torno do eixo 025/60, sentido horário
Passo 2
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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/Nhttp://www.uwgb.edu/dutchs
Passo 2
P1- 035/44, eixo 070/30, mag. 70 (-)
Projeção Estereográfica UFOP/EM/DEGEO/PPG-ECRN
NNºº1414Técnicas de Projeção:Rotação em torno de um eixo qualquer – Método da Horizontal
318/37de 70(magnitude) em torno do eixo 025/60, sentido horário
Passo 1
Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas - 1876Departamento de Geologia
Issamu Endo03_2013
N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/Nhttp://www.uwgb.edu/dutchs
Passo 1
Projeção Estereográfica UFOP/EM/DEGEO/PPG-ECRN
NNºº1414Técnicas de Projeção:
Passo 2
Rotação em torno de um eixo qualquer – Método da Horizontal318/37de 70(magnitude) em torno do eixo 025/60, sentido horário
Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas - 1876Departamento de Geologia
Issamu Endo03_2013
N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3
S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/Nhttp://www.uwgb.edu/dutchs
Passo 2
P1- 135/50, eixo 070/30, mag. 70 (-)
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Stereonet
Exemplo de um estereograma ou diagrama estereográfico típico.
As seguintes informações devem acompanhar o diagrama:
1- Tipo de estrutura representada:
.
Máximo Polar ≈ 354/47
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fratura, xistosidade......;
2- Número de medidas N;
3- Valores das isolinhas;
3- Plano representativo da concentração
máxima e o valor %.
Figura 05- Estereograma polar do acamamento em itabiritos da Formação Cauê: Mina da Serrinha.N=173 medidas, Máx. 174/43 (23,61%)
.
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Stereonet
Diagrama de Rosa:Diagrama de Rosa:- Dados direcionais;- Intervalos de classe comum: 10º em 10º;- Círculo completo ou 1/2.
As seguintes informações devem acompanhar o diagrama:
Exemplo de um diagrama de rosa típico.
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diagrama:1- Tipo de estrutura representada: fratura, falha......;2- Número de medidas N;3- Direção Principal: Classe;4- Direção Secundária: Classe(s);5- Escala do Raio
Figura 05- Diagrama de rosa de fraturas em gnaissesdo Complexo Bação.
N=173 medidas, R=5%
Projeção Estereográfica UFOP/EM/DEGEO/PPG-ECRN
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Vollmer 1995 Kamb Method
Compêndios de Geologia EstruturalAtkinson, B. K. 1991. Fracture Mechanics of Rock. 2nd Edition. San Diego, Academic Press. 534p.Bayly, B. 1992. Mechanics in Structural Geology. New York, Springer Verlag. 353p.Hobbs, B. E.; Means, W. D. & Willians, P. F. 1976. An Outline of Structural Geology. New York, J. Wiley & Sons. 555p.Marshak, S. & Mitra, G. 1988. Basic Methods of Structural Geology. Enlewwod Cliffs, Prentice Hall. Means, W. D. 1976. Stress and Strain. Basic Concepts of Continuum Mechanics for Geologists. New York, Springer Verlag.
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Escola de Minas - 1876Departamento de Geologia
Issamu Endo03_2013
Means, W. D. 1976. Stress and Strain. Basic Concepts of Continuum Mechanics for Geologists. New York, Springer Verlag. Park, R. G. 1983. Foudations of Structural Geology. Glasgow, Blackie. Passchier, C. W. & Trouw, R. A. J. 1996. Microtectonics. 1ed. Berlin Heiderberg, Springer-Verlag. 289p.Price, N. J. 1966. Fault and Joint Development. Oxford, Pergamon Press. 176p.Price, N. J. & Cosgrove, J. W. 1990. Analysis of Geological Structures. Cambridge, Cambridge University Press. 502p.
Ramsay, J. G. 1967. Folding and Fracturing of Rocks. New York, McGraw-Hill Book Co. 568p.Ramsay, J. G. & Huber, M. I. 1987. The Techniques of Modern Structural Geology: Folds and Fractures. London, Academic Press. 307p.Ramsay, J. G. & Huber, M. I. 1987. The Techniques of Modern Structural Geology: Strain Analysis. London, Academic Press. 307p.Sander, B. 1930. Gefugekunde der Gesteine. Viena, Springer Verlag. 352p.
Sander, B. 1970. An Introduction to the Study of Fabrics of Geological Bodies. English translation, Pergamon Press, Oxford, 641pp. Oxford, Pergamon Press. 641p.Suppe, J. 1985. Principles of Structural Geology. Englewood Cliffs, Prentice Hall. Twiss, R. J. & Moores, E. M. 1992. Structural Geology. New York, W. H. Freeman and Co.
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