Processos Estocásticos
Luiz Affonso Guedes
Sumário• Probabilidade• Variáveis Aleatórias• Funções de Uma Variável Aleatória• Funções de Várias Variáveis Aleatórias• Momentos e Estatística Condicional• Teorema do Limite Central• Processos Estocásticos• Análise Espectral• Filtragem e Predição Estocástica• Processos Markovianos
Probabilidade
• Definições de probabilidade• Freqüência relativa• Axiomas da probabilidade• Métodos de Contagem• Probabilidade Condicional• Teorema de bayes
Introdução• Fenômenos Determinísticos
– Conhecidos com certeza– Não sujeitos às leis do acaso
• Ex.: o ano atual, idade de uma pessoa jovem
• Fenômenos Probabilísticos– Não conhecidos com certeza– Sujeitos às leis do acaso
• Ex.: face de um dado, se vai chover amanhã, se o Remo vai ser campeão
Introdução• Experimentos que ao serem repetidos nas
mesmas condições não produzem o mesmo resultado são denominados de experimentos aleatórios.
• Mas por quê isto ocorre?
Experimento
Entradas/causasobservadas Saídas/efeitos
observados
Entradas/causasobservadas
Espaço Amostral
• Definiremos Espaço Amostral (S) associado a um experimento o conjunto de seus resultados possíveis.– Conjunto de todos os resultados possíveis de
ocorrer.– Pode ser discreto (finito ou infinito) ou
contínuo.
Exemplos de Espaço Amostral
• Exemplo1: Experimento de lançamento de um dado.– O espaço amostral do experimento é o conjunto
S = {1,2,3,4,5,6}.• Exemplo2: Experimento de lançamento de
dois dados simultaneamente.– O espaço amostral do experimento é o conjunto
S(primeira face, segunda face) = {????}
Exemplos de Espaço Amostral
• Exemplo3: Experimento de obtenção do tempo de vida de uma lâmpada.– O espaço amostral do experimento é o conjunto S = {x:
x real, x>0}.
• Processo estocástico é uma seqüência de experimentos, no qual cada um tem um número finito de resultados, com uma dada atribuição de probabilidade
Exemplos de Processos Estocásticos
• Processo estocástico do exemplo1.• Processo estocástico do exemplo3.
• Como um fabricante deve calcular o tempo de garantia de um produto seu. Uma TV, por exemplo?
Eventos
• São qualquer subconjunto de um Espaço Amostral.
• Os eventos podem ser simples ou compostos
• S evento certo• Ø evento vazio (impossível)
Exemplos de Eventos
• Exemplo1: – Dar um número par– Dar um número maior que 4– Dar um número entre 1 e 6
• Exemplo2:– A soma dos resultados seja igual a 4– Que a soma dos resultados seja par
Operações entre Eventos• União: A U B Se ocorrer pelo menos um
dos eventos• Interseção: A B Se ocorrer ambos os
eventos• Complementar: Ac É o evento que
ocorre quando A não ocorrer.
A B
Exemplos de Operações com Eventos
• Uma urna contém bolas de um a quinze. Uma bola é retirada da urna e seu número anotado. Sejam A e B os seguintes eventos: A: o número da bola retirada é par, B: o número da bola retirada é múltiplo de 3. Determine:– S,A, B, AUB, A B e Ac
Operações entre Eventos
• Implicação: A B, A implica em B.• Igualdade: A B e A B A = B.• Mutuamente exclusivo: A B = Ø
– Se a união de n eventos mutuamente exclusivos é o próprio S, dizemos que tais eventos são mutuamente exclusivos e exaustivos, ou formam uma partição em S.
– Exemplos em diagrama de Venn
Propriedades das Operações entre Eventos
1. (AUB) C = (A C) U (B C) 2. (A B) U C = (A U C) (B U C)3. (A U B)c = Ac Bc
4. (A B)c = Ac U Bc
A B
C
A B
C
Probabilidade
• Vem da idéia de mensurar eventos aleatórios.
• Procedimento de cálculo de propriedades de eventos aleatórios
• Número que reflita as chances de ocorrência de um evento aleatório.
Probabilidade: definição clássica
• Dado um espaço amostral S com N eventos igualmente possíveis. Se A é um evento em S composto de m eventos simples, a probabilidade de ocorrência de um evento A num experimento é calculada por:– P(A) = m / N– É a razão entre os eventos desejáveis dentre o
universo dos possíveis.
Probabilidade: definição clássica
• Conseqüências:1. P(A) = 0, para todo A S;2. Se A e B são eventos mutuamente
exclusivos, então:- P(AUB) = P(A) + P(B)
3. P(S) = 14. P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Probabilidade: definição freqüentista
• Repetir um experimento sob as mesmas circunstâncias.
• A probabilidade de ocorrência de um evento A seria:
– P(A) = lim M/ N N– M é o número de ocorrência do evento A– N é o número total de experimentos.
Probabilidade: definição subjetiva
• Quando não a possibilidade de se aplicar os conceitos clássicos e freqüentista de probabilidade:
– Baseia-se em opinião sobre ocorrência de um evento.
• Probabilidade do resultado de um jogo.• Probabilidade de haver aula.
Probabilidade: definição axiomática
• Supõe as seguintes verdades absolutas:– Dado um espaço amostral S e eventos A e B,
tem-se.1. P(A) 0;2. P(S) = 1;3. Se A e B são mutuamente exclusivos, P(A+B) = P(A) + P(B)
Propriedades da Probabilidade1. P(Ø) = 02. P(S) = 13. P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C), se
A, B e C são mutuamente exclusivos.4. P(Ac) = 1 – P(A)5. P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)6. Se A B P(A) P(B)7. P(AUB) = P(A) + P(AC B)
Métodos de Contagem
• Para se calcular a probabilidade de um evento é necessário saber sua proporção dentro do universo dos eventos possíveis
A P(A) = ???Supondo eventos equiprováveis
S
Princípio Fundamental da Contagem
• Se uma tarefa é completada em N etapas seqüenciais, com ni possibilidade em cada etapa. Então, o número total de maneiras de realizar a tarefa é:– Número Total = n1 x n2 x . . . nN
? ? ?
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Tipos de Experimentos
• Com reposição ou sem reposição de amostras
• Elementos das amostras podem ser ordenados ou não ordenados
Tipos de Experimentos
• Experimento sem reposição ordenado:– Dada uma turma de N alunos, escolher 01
presidente, 01 tesoureiro e 01 secretário.• Arranjo
• Experimento sem reposição não ordenado:– Dada uma turma de N alunos, escolher 03
representantes.• Combinação
Tipos de Experimentos
• Cálculo de experimento sem reposição ordenado:– Ordenar n amostras de um conjunto de N
elementos, sem reposição. (N)n = N (N-1) ... (N-n+1) = N! / (N-n)!– Escolher 01 goleiro e 01 centroavante entre 8
jogadores.– Escolher 01 presidente, 01 tesoureiro,
01secretário numa turma de 15 formandos.
Tipos de Experimentos
• Cálculo de experimento com reposição ordenado:– Ordenar n amostras de um conjunto de N elementos,
com reposição.
Nn = N N ... N (já que há reposição)
– Escolher 01 goleiro e 01 capitão dentre 11 jogadores.– Escolher 01 presidente e 01 tesoureiro dentre 15 alunos,
sendo que há a possibilidade de se acumular os cargos.
Tipos de Experimentos
• A probabilidade é o razão entre os eventos desejados e os possíveis:– Qual é a probabilidade de se lançar um dado 03
vezes e não ocorrer repetição de números?– Na maternidade Parto Feliz nasceram 05
crianças numa determinada semana. Qual era a probabilidade de todas as crianças terem nascido em dias distintos?
– P(A) = (N)n / Nn
Tipos de Experimentos
• Permutação– Se N = n Pn = n!
– (n)n = n (n-1) ... (n-n+1)
– Quantas palavras de 03 letras não repetidas posso formar com o seguinte conjunto de letras?
• L = {A, I, B}
Tipos de Experimentos
• Experimento sem reposição não ordenado:– Combinação de N elementos n a n.– Dada uma turma de N alunos, escolher 03
representantes.• Há menos possibilidades do que no caso ordenado,
certo?
– CN,n = (N)n/ Pn = N!/(n! (N-n)!) (analisar!!!)
Tipos de Experimentos
• Experimento sem reposição não ordenado:– CN,n = (N)n/ Pn = N!/(n! (N-n)!) – 8 times participam de um torneio de futebol.
Cada equipe enfrenta todas as demais apenas uma vez. Quantos jogos serão realizados?
– E se houver jogos de ida e de volta?– Escolher 03 pessoas num grupo de 10.
Partição de Conjuntos
• CN,n – Equivale dividir S em dois subconjunto: A e Ac
• A com n elementos e Ac com n1 elementos, sendo:N = n + n1
A
S
- A possui n elementos- S possui N elementos
Partição de Conjuntos• Generalização do problema:
– Dividir um conjunto S de N elementos em k subconjuntos, sendo que
• N = n1+ n2+ ... +nk (ni – número de elemento do i-ésimo subconjunto)
• Corresponde a k problemas encadeados de combinações (veja o diagrama de Venn)
– CN,n1 C(N-n1),n2 ... Cnk,nk
Partição de Conjuntos• Generalização do problema:
– Que matematicamente é equivalente a:• N! / (n1! n2! ... nk!)
• CN,n1 C(N-n1),n2 ... Cnk,nk
• Será que isto é verdade?– CN,n = N! / (n! (N-n)! ) (lembrete)
Partição de Conjuntos• Exemplos:
– O jogo de bridge corresponde a dividir o baralho de 52 entre 04 jogadores. Quantas maneiras há de se dividir o baralho?
• Resp. C52,13 C39,13 C26,13 C13,13
Partição de Conjuntos• Exemplos:
– O jogo de pôquer com 04 jogadores utiliza 32 cartas, distribuídas igualmente entre os 04 naipes.
• Baralho = {Naipes X Cartas}• Naipes = {paus,espada,ouro,copas}• Cartas = {7,8,9,10,Valete,Dama,Rei, Ás}• Se um jogador receber na primeira mão 05 cartas, qual é a
probabilidade dele receber só um par de ases (evento A)?
• Resp. P(A) = C4,2C7,3 ( C4,1C4,1C4,1 ) / C32,5 = 0,11 (0,0667)
ÁS ÁS ÁS ÁS ÁS
Partição de Conjuntos• Processos de Bernoulli
– Qual é a probabilidade de ocorrer k vezes um eventos A dentre N tentativas, sendo p a sua probabilidade do ocorrência?
• P(A) = p , P(Ac) = 1 – p• P(A) P(A)...P(A) P(Ac)...P(Ac) = pk (1-p)N-k
– Pode-se combinar esse conjunto de eventos de N, k a k maneiras.
• P{A ocorrer exatamente k vezes} =
CN,k p (1- p)N-k
Partição de Conjuntos• Processos de Bernoulli
– P{A ocorrer apenas exatamente k vezes} = CN,k p (1- p)N-k
– Exemplo: Qual é a probabilidade que em uma família com 04 filhos, 02 serem meninas?
• Resolução por Bernoulli ou de forma exaustiva.• Resp. = 3/8
Partição de Conjuntos• Processos de Bernoulli
– P{A ocorrer apenas exatamente k vezes} = CN,k pk (1- p)N-k
– Exemplo: Um atirador tem três chances de acertar um alvo. Para ele vencer a competição deverá acertar pelo menos duas vezes no alvo. Sabendo-se que ele tem probabilidade de 0,4 de acerta um tiro, qual é a probabilidade dele vencer a competição?
• Resp. = 0,352
Próxima Aula
• Probabilidade condicional, eventos independentes e teorema de Bayes
Probabilidade Condicional• Sejam dois eventos A e B de um mesmo
espaço amostral e supondo que P(A) > 0, a probabilidade condicional de B ocorrer dado que A ocorreu é dada por:– P(B/A) = P(A B) / P(A)
• É a probabilidade de ocorrer A e B dentro do subconjunto dos eventos de A.
A B P(B/A) =
Probabilidade Condicional• Dado:
– P(B/A) = P(A B) / P(A)• A probabilidade de ocorrer os eventos A e
B é igual a:– P(A B) = P(B/A) P(A) = P(A) P(B/A)
• A probabilidade de ocorrer A e ocorrer B dado que ocorreu A
A B P(B/A) =
Probabilidade Condicional• Exemplo:
– P(B/A) = P(A B) / P(A)
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• Exemplo: experimentos seqüenciais que a ocorrência de um eventos na k-ésima etapa depende das etapas anteriores– Dada uma urna com 03 bolas azuis e 07 vermelhas. Se 02
bolas são retiradas sem reposição, determine:• Espaço amostral:• P(A1A2)• P(A1V2)• P(V1A2)• P(V1V2)
– P(A/B) = P(A B) / P(B)
Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional
• Generalização da probabilidade condicional:– P(A1A2 ... An) = P(A1) P(A2/A1)P(A3/A1A2) ...
P(An/A1A2 ...An-1)– Interpretação:
P(A) P(B/A) P(C/BA)
P(ABC)
Probabilidade Condicional
• Exemplo: Dada uma urna com 03 bolas azuis e 07 vermelhas. Se 02 bolas são retiradas sem reposição, qual é a probabilidade de ocorrer a seguinte seqüência de eventos:– P(A1A2V3V4A5) = 1/120
– P (A1A2A3V4V5) = ?
– P (V1V2A3A4A5) = ?– ...
Probabilidade Total• P(A) = P(A/B1) P(B1) + P(A/B2) P(B2) ...
P(A/Bn) P(Bn)
A
B1
B2
Bn
• P(A) = P(AB1) + P(AB2) + ... + P(ABn)
Conjuntos disjuntos
Probabilidade Total• Exemplo: dada 03 urnas com as seguintes
composições:– Urna 1: 03 bolas brancas e 05 bolas vermelhas.– Urna 2: 04 bolas brancas e 02 bolas vermelhas.– Urna 2: 01 bola branca e 03 bolas vermelhas.– A probabilidade de escolha das urnas é,
respectivamente: 2/6, 3/6 e 1/6.– Qual é a probabilidade de se escolher uma bola branca?
Resp. = ½– Interpretação via média ponderada.
Teorema de Bayes
• Dado dois eventos A e B, num mesmo espaço amostral, pela probabilidade condicional, temos:– P (A B) = P(A) P(B/A)– P (B A) = P(B) P(A/B)– P(A) = P(B) P(A/B) / P(B/A)– P(A/B) = P(A). P(B/A) / P(B)
Ponderação
Teorema de Bayes
• Exemplo: dado um baralho com 52 cartas– Qual é a probabilidade de se tirar uma Rainha,
sabendo-se que a carta é uma figura?– Qual é a probabilidade de se tirar uma Rainha,
sabendo-se que a carta é de espada?– Qual é a probabilidade de se tira uma Rainha de
espada, sabendo-se que a carta é uma figura preta?
Teorema de Bayes
• Exemplo:– Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e
90% dos dias em que não chove. Costuma chover em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva para amanhã, qual é a probabilidade de realmente vir a chover?
Prev. Ch. Prev. sol Total
Chove
Sol
Total 1,0
Teorema de Bayes
• Generalização:– Dadas duas partições de S (S=A1 U A2), então:– P(A1/B) = P(A1) P(B/A1) /
( P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) ) – Uma vez que:
• P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) – Para o caso de n partições:
P(Ai/B) = P(Ai) P(B/Ai) / ( P(Ak) P(B/Ak) )
Média ponderada
Teorema de Bayes
• Exemplo:– Um companhia produz peças em 03 fábricas (A1,A2 e A3), na
proporção de 15%, 35% e 50%, respectivamente. Suas probabilidades de produzirem peças defeituosas são: 1%, 5% e 2%.
– Dado que o controle de qualidade detectou uma peça com defeito, qual é a probabilidade de ter sido produzida por cada uma das fábricas?
» P(Ai/D) = ?
Independência entre Eventos
• Dois eventos são independente se a ocorrência de um dele não alterar a probabilidade de ocorrência do outro e vice-versa.
• Sejam dois eventos A e B, sendo P(A) > 0. O evento B é dito independente de A se:– P(B/A) = P(B)
Independência entre Eventos
• Como:– P(B/A) = P(B) (eventos independentes)– P(A B) = P(A) P(B)– Se B é independente de A, logo o inverso
também é verdadeiro?
Independência entre Eventos• Exemplo:
– Experimento: lançamento de 02 moedas– Eventos: A1 (cara no 10 lançamento), A2 (cara no
20 lançamento) e A3 (ocorrência da mesma face nos dois lançamentos).
– Verifique:• P(A1), P(A2), P(A3)
• P(A1A2), P(A1A3) e P(A2A3)
• P(A1A2A3)
Independência entre Eventos• Exemplo:
– P(A), P(B), P(A B), P(A) P(B), P(A/B) e P(B/A)
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Independência é uma questão de proporção
Independência entre Eventos
• Com seria a independência de 03 eventos simultaneamente?
• E para n eventos?
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