- Processamento digital de sinais –
Capítulo 4 – Transformada discreta de Fourier
O que veremos
1) Introdução2) Entendendo a equação da DFT3) Simetria da DFT4) Linearidade e magnitude da DFT5) Eixo da frequência 6) Inversa da DFT7) Leakage/”vazamento”8) Janelamento de sinais9) Resolução e preenchimento com zeros10)Representações no domínio da frequência11)A FFT
2
1) Introdução
• A importância da DFT no PDS
• Origem
tempo frequência
• Correspondente discreta:
3
dtetxfXftj π2
)()(−∞
∞−∫=
NnmjN
n
enxmX
/21
0
)()(
π−−
−
∑=
2) Entendendo a equação da DFT
• Reescrevendo:
- onde N = número de amostras a serem processadas
= número de pontos no eixo da frequência
- n varia de 0 até N-1
4
NnmjN
n
enxmX
/21
0
)()(
π−−
=
∑=
−
=∑
−
= N
nmsenj
N
nmnxmX
N
n
ππ 2.2cos)()(1
0
• Exemplo 1: considere quando N=4 e Fs=500
5
−
=∑
−
= N
nmsenj
N
nmnxmX
N
n
ππ 2.2cos)()(1
0
−
=∑
= 42.
42cos)()(
3
0
nmsenj
nmnxmX
n
ππ
−
=
4
0.02).0(.
4
0.02cos)0()0( ππ senxjxX
−
+
4
0.12).1(.
4
0.12cos)1( ππ senxjx
−
+
4
0.22).2(.
4
0.22cos)2( ππ senxjx
−
+
4
0.32).3(.
4
0.32cos)3( ππ senxjx
−
=
4
1.02).0(.
4
1.02cos)0()1( ππ senxjxX
−
+
4
1.12).1(.
4
1.12cos)1( ππ senxjx
−
+
4
1.22).2(.
4
1.22cos)2( ππ senxjx
−
+
4
1.32).3(.
4
1.32cos)3( ππ senxjx
Vale destacar que:
Assim:
6
N
Fsmmf .)( =
HzX 04
500.0)0( ==
HzX 1254
500.1)1( ==
HzX 2504
500.2)2( ==
HzX 3754
500.3)3( ==
(primeiro termo de frequência – DC)
(segundo termo de frequência)
(terceiro termo de frequência)
(quarto termo de frequência)
• A magnitude é:
• O ângulo é
• A potência do espectro é:
7
)( de ângulo no )()()()( mXmXmjXmXmX magimagreal φ=+=
22 )()(|)(|)( mXmXmXmX imagrealmag +==
= −
)(
)(tan)( 1
mX
mXmX
real
imag
φ
222 )()()()( mXmXmXmX imagrealmagPS +==
• Exemplo 2: calcule as oito primeiras componentes de frequência da DFT do sinal considerando Fs=8000 a/s
Solução:
Discretizando:
As componentes de frequência serão: 0Hz, 1kHz, 2kHz,... 7kHz e o sinal será:
8
( ) ( )4/3200025.010002)( πππ ++= tsentsentx
( ) ( )4/3200025.010002)( πππ ++= ss ntsenntsennx
O formato do sinal é:
A primeira componente é:
9
( ) ( )∑=
−=7
0
8/2)(8/2cos)()1(N
nsennjxnnxX ππ
10
11
12
13
14
15
16
17
18
• A fase é relativa ao cosseno!– Ex.: -90° equivale a cos(α-90°)=sin(α)
• Forma geral:
• Simetria par da magnitude
• Simetria ímpar da fase (complexo conjugado)
• Conclusão: informação relevante só até N/2 -119
3) Simetria
)()( *mNXmX −=
• Prova matemática simetria:
Sendo que
20
∑∑−
=
−−−−
=
−− ==−1
0
/)(2/21
0
/)(2 )()()(N
n
NmnjNnNjN
n
NmNnjeenxenxmNX
πππ
∑−
=
−=1
0
/22)(N
n
Nnmjnjeenx
ππ
∑−
=
=−1
0
/2)()(N
n
NnmjenxmNX
π
1)2sin()2cos(2 =−=−njne
nj πππ
)()()(*1
0
/2mXenxmNX
N
n
Nnmj ==− ∑−
=
− π
Lembrando de conjugado complexo:
x = a + jbx* = a – jb
x = ejα
x* = e-jα
• Linearidade:
• Magnitude:
– Ex.:
– “Solução”:
21
4) Linearidade e magnitude da DFT
)()()( 21 nxnxnxsoma +=
)()()( 21 mXmXmX soma +=
( ) ( )4/3200025.010002)( πππ ++= tsentsentx
∑−
=
−=1
0
/2)(1
)(N
n
Nnmjenx
NmX
π
• Resolução frequência:
• Lembretes importantes:– A) “cada saída m da DFT é a soma termo a termo do produto de uma sequência de
entrada no domínio n com uma sequência representando ondas seno e cosseno”;
– B) para entradas de números reais, uma DFT de N pontos provê uma saída com N/2+1 termos independentes;
– C) a magnitude dos resultados da DFT são proporcionais a N;
– D) a resolução de frequência da DFT é dada pela forma acima
22
5) Eixo da frequência
N
Fsmmfresol .)(. =
• Fórmula:
– Aplicando ao exemplo 2 temos:
23
6) DFT inversa
∑−
=
=1
0
/2)(1
)(N
m
NnmjemX
Nnx
π
• Descrição problema:
– Exemplo:
Considerando Fs=8000 e N=8. E se Fs=5000?24
7) Leakage\vazamento
( ) ( )4/3200025.010002)( πππ ++= tsentsentx
– O leakage acontece quando a frequência de um sinal de entrada não tem correspondência exata com o eixo de frequência
25
• Formato de um espectro puro:
26
)(
)](sin[.
2)( 0
mk
mkNAmX
−
−=
π
πK=núm amostras por ciclo ouNúm de ciclos da amostra
• Exemplo: Fs=32.000 e N=32
27
• Replicação espectral:
28
29
8) Janelamento
∑−
=
−=1
0
/2)()()(N
n
Nnmj
w enxnwmXπ
30
• Exemplo 3:
31
• Exemplo 4:
32
• Transformada contínua de Fourier:
• O que fazer para melhorar a resolução do espectro?– Preencher a entrada com zeros?! (zero padding)
33
9) Resolução e preenchimento com zeros
– Como “consertar” o eixo das frequências com preenchimento com zeros?
– Melhoramento da resolução mas não melhora entendimento das frequência de entrada
– Obs.: SNR
34
10) Representação no domínio da frequência
• Eixo da frequência em:– Hz (f = 7.fs/N Hz);
– Normalizado por fs (f/fs = 7/N ciclos/amostra);
– Ângulo normalizado (w=2π(f/fs) radianos/amostra);
35
• Resumindo:
• Representação alternativa:
36
jwn
n
enxwX
−∞
−∞=
∑= )()(
• Exemplo: calcule a transformada de x(n)=(0,75)n
u(n) usando a variável w.Resolução:
Aplicando a série geométrica:
Conclusão:
37
jwn
n
enxwX
−∞
−∞=
∑= )()(
n
n
jw
n
jwnneewX )75,0(75,0)(
00
∑∑∞
=
−∞
=
− ==
jwe
wX−−
=75,01
1)(
nNmjN
nNmw
enxwXmX
)/2(1
0/2
)()()(
π
π
−−
== ∑==
• Resumindo a: transformada contínua, a transformada discreta e a série de Fourier:
38
• Obs.: efeito de Gibbs em sistemas digitais
39
• Custo computacional
– Para N = 2.097.152:• DFT: 3 semanas; FFT: 10 segundos!
– Potência de 2 (preenchimento com zeros)40
11) FFT
NN
N 2
2 log.2
versus
41
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