Programao inteira Modelagem
Aula baseada em diversas fontes: Integer programming de L. Wolsey, 1998. Pesquisa operacional de Arenales et al., 2007. Slides do Prof. Celso Carneiro Apostila Programao da produo, Prof. Marcos N. Arenales
Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa - ICMC/USP
Conceitos bsicos
FMBT/ AMC
forma geral
(problema de programao linear inteiro misto)
(problema de programao linear inteiro)FMBT/ AMC
(problema de programao binria)
Baseado em Integer programming - Wolsey, 1998.
problema de otimizao combinatria
(problema de otimizao combinatria)
Onde N={1,...,n} (finito) o conjunto de subconjuntos factveis de n. (cada conjunto tem um custo cj e o objetivo escolher o melhor deles)FMBT/ AMC
Baseado em Integer programming - Wolsey, 1998.
Formulando Varveis parmetros. Algoritmo Wolsey:(Re)defina variveis A partir das variveis, defina restries cujos pontos factveis correspondam aos pontos factveis do problema.
A partir das variveis, defina a funo objetivo. Dificuldade ?FMBT/ AMC
Baseado em Integer programming - Wolsey, 1998.
inteiro ? Voltando justificativa de Land e Doig:
Por que no arredondar ?
FMBT/ AMC
Resoluo via arredondamento Ideia: eficincia do simplex similaridade dos problemas inteiros com os problemas contnuos. Dificuldade:
Situao ainda mais crtica para problemas binrios.FMBT/ AMC
Baseado em Integer programming - Wolsey, 1998.
Mais sobre a aplicabilidade (e limites) do arredondamento
FMBT/ AMC
trs situaes Nos slides a seguir, vamos modelar trs problemas de programao linear e estudar a necessidade (ou no) do uso de variveis inteiras. (Slides do Prof. Celso Carneiro Ribeiro Universidade Federal Fluminense.)
FMBT/ AMC
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
Variveis inteiras como ferramenta de modelagem
FMBT/ AMC
Necessidade das variveis inteiras (pela prpria caracterstica das variveis justificativa de Land e Doig e dos slides anteriores); Outra situao: Necessitamos das variveis inteiras como um artifcio de modelagem. [em particular, vejamos o caso em que necessitamos de variveis binrias]
FMBT/ AMC
Utilizao de variveis binriasDeciso sobre uma atitude (fazer ou no fazer, comprar ou no comprar...).
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Caso 1: implicaes se-ento A) Custo fixo: A produo de um item (o envio de uma mercadoria, a deciso de se tomar um taxi, etc) implica em um custo fixo, por exemplo, de preparao da mquina (de pagamento do custo mnimo de envio, da taxa inicial do taxi, etc).
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Custo de produo:
Como modelar de maneira linear ? Dica: precisamos do auxlio de uma varivel binria.FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Seja uma varivel binria y, tal que y vale 1 se x>0 e y vale 0 caso contrrio.
Como associar x e y ?
M um valor suficientemente grande (produo mxima x)FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Caso 1: implicaes se-ento B) Produo de itens: Considere o caso em que, se o produto 1 fabricado, o produto 2 tambm deve ser.
logo, podemos forar:FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Restries:y uma varivel que indica se 2,3 ou 4 foram produzidos
Outra forma ?FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Caso 2: restries disjuntivas s vezes, deseja-se aplicar apenas uma de um conjunto de restries: ex: quero um carro que faa 20km/litro OU que atinja 100km/h em 4s.
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
De maneira geral:
OU
Se y=1, f()0 est ativada Se y=0, g()0 est ativada
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Valor de M
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Caso 3: Relaes lgicas Variveis binrias podem ser usadas para representar relaes lgicas.
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
ouFMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
O que melhor ?ou
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Caso 4: Representao de valores discretos
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
(Muito breve) introduo teoria de variveis lgicas (TVL)
FMBT/ AMC
Proposio: simpes: varivel binria composta: modificao de uma proposio por uma negao ou composio de proposies.
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Linear and integer programming, Sierksma, 1996
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Linear and integer programming, Sierksma, 1996
Tabelas verdade
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Linear and integer programming, Sierksma, 1996
Outras restriesforma lgica linearizao
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Linear and integer programming, Sierksma, 1996
Linearizaes usando TVL Teorema til...
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Linear and integer programming, Sierksma, 1996
Linearizaes Introduzimos duas variveis tais que:
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Linear and integer programming, Sierksma, 1996
Linearizaes
(1-1) = 0 pelo teorema:
pelo teorema:FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Linear and integer programming, Sierksma, 1996
LinearizaesCom equaes similares para g(x), temos:
E uma ltima restrio, indicando que apenas uma das duas situaes ocorre:
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Linear and integer programming, Sierksma, 1996
Outro exemplo Linearizar
(teorema)
FMBT/ AMC
Outro exemplo Linearizar
(teorema)
FMBT/ AMC
Testando com tabela verdade
FMBT/ AMC
Problemas clssicos
FMBT/ AMC
Problemas clssicos Importncia histrica... ... e prtica. Usados para modelar problemas reais e como subproblemas em problemas maiores (e mais frequentes na prtica).
FMBT/ AMC
Problema da mochila
Idia bsica: diversos tens, cada um com um valor de utilidade e um peso. Queremos levar a maior soma de utilidades possvel (no podemos ultrapassar a capacidade da mochila)
FMBT/ AMC
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
FMBT/ AMC
Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.
Problema da mochila (variaes) mltiplas mochilas: cada item pode entrar em uma de vrias mochilas (caminhes, contineres)...
variveis:
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Variao das mltiplas mochilas Mltiplos processadores paralelos: o peso (tempo de processamento) de cada item pode depender da mochila (processador) ao qual ele for alocado.
FMBT/ AMC
bin packing Encontrar o menor nmero de mochilas tal que todos os itens sejam empacotados.
todos os itens so alocados as capacidades das mochilas so respeitadasFMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Problemas de designao Alocar n tarefas a n agentes de modo a minimizar o custo total de designao;
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Problemas de designao generalizada m agentes, n tarefas cada tarefa deve ser realizada por um nico agente. cada agente pode realizar mais de uma tarefa. cada agente i gasta aij de um dado recurso (tempo, e.g.) para executar a tarefa j. cada agente dispe de bi unidades do recurso.
FMBT/ AMC
Problemas de designao generalizada
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Problemas de cobertura/partio/empacotamento
Selecionar subconjuntos de um conjunto inicial de forma a cobrir, particionar ou empacotar o conjunto inicial.
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Problemas de cobertura/partio/empacotamento
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Exemplo de aplicao: localizao de facilidades de emergncia (corpo de bombeiros, ambulncias)x y w
z
x consegue atender em 10 minutos (tempo mximo desejado) os bairros 1 e 2; x: (1,2) y: (2,4,5)
w: (3)FMBT/ AMC
z: (4,5) cobertura, empacotamento ou particionamento ?Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Cobertura Exemplo:x y w z
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
De maneira geral
Cobertura
Empacotamento
Particionamento
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Caixeiro viajante
FMBT/ AMC
FMBT/ AMC
Formulao matemtica
FMBT/ AMC
Outras equaes de eliminao de subciclosMiller, C. E.; Tucker, A. W. & Zemlin, R. A. Integer programming formulations and travelling salesman problems J. of the Association of Computing Machinery, 1960, 7, 326-329
originalmente no contexto de problema de roteamento de veculos: n 0 o depot.
(Miller-Tucker-Zemlin constraints)FMBT/ AMC
Miller-Tucker-Zemlin
Para um dado arco (i,j) na soluo: xij = 1 Para cada (i,j) que no contm a origem, isso implica:u2 u1 u3FMBT/ AMC
Miller-Tucker-Zemlin
E para o TSP ?adicionar origem na restrio do APFMBT/ AMC
Miller-Tucker-Zemlin Forma mais moderna:
possvel fortalec-las ? (lift)Desrochers, M. & Laporte, G. Improvements and extensions to the Miller-Tucker-Zemlin subtour elimination constraints Operations Research Letters, 1991, 10, 27-36FMBT/ AMC
MTZ (Desrochers-Laporte)
Prova: xji = 0 : ui - uj + (n-1)xij
n-2 (o que tnhamos antes)
xji =1 : ui - uj + (n-3) xji n-2 ui - uj + (n-3) n-2 ui - uj 1 (que o que se obtm com a equao original para (j,i).FMBT/ AMC
Gavish and Graves (commodity flow)Gavish, B. & Graves, S. C. The travelling salesman problem and related problems Working Paper GR-078-78, Operations Research Center, MIT, 1978
FMBT/ AMC
Gavish and Graves (commodity flow)
FMBT/ AMC
Gavish and Graves (commodity flow)
g3 g4 g1 - g2 = 1 g2 - g3 = 1 g3 - g4 = 1 g4 - g1 = 1 g1
g2
FMBT/ AMC
diversas outras...
FMBT/ AMC
Problema do carteiro chins (origem)
FMBT/ AMC
Problema do carteiro chins
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Problema do carteiro chins
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Localizao de facilidades
Pizzolato, N.D., Barcelos, F.B. & Nogueira Lorena, L.A., 2004. School location methodology in urban areas of developing countries. International Transactions in Operational Research, 11, 667-681.
FMBT/ AMC
Problema simples de decisoTemos uma cidade (de beira de estrada), com cinco crianas (conforme mostrado abaixo).
pos:
1
2
3
(aqui no mora "ningum")
99 100
Onde devemos construir uma escola de modo que as crianas andem o menos possvel ? Matematicamente: Min i=1...5 ci onde ci a quantidade caminhada por cada criana.FMBT/ AMC
?
P-medianas cij: distncia do consumidor j facilidade i. p: nmero de facilidades a instalar.
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
FMBT/ AMC
Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007
Dimensionamento de lotes
FMBT/ AMC
Slide baseado na apostila Programao da Produo, M. N. Arenales
FMBT/ AMC
Slide baseado na apostila Programao da Produo, M. N. Arenales
Com restries de capacidade:
FMBT/ AMC
Slide baseado na apostila Programao da Produo, M. N. Arenales
FMBT/ AMC
Slide baseado na apostila Programao da Produo, M. N. Arenales
Balanceamento de linhas de montagem Precedncias entre tarefas:
FMBT/ AMC
Balanceamento de linhas de montagem
FMBT/ AMC
c/ trabalhadores diferentes entre si
FMBT/ AMC
Rotao de culturasObjetivo: programar que culturas plantar em um lote cultivvel, de modo a respeitar algumas restries tecnicas e ecolgicas
FMBT/ AMC
Slide baseado na tese de doutorado de Lana M. R. Santos
Rotao de culturas
FMBT/ AMC
Slide baseado na tese de doutorado de Lana M. R. Santos
Rotao de culturas
FMBT/ AMC
Slide baseado na tese de doutorado de Lana M. R. Santos
Rotao de culturas
FMBT/ AMC
Slide baseado na tese de doutorado de Lana M. R. Santos
Problema do caminho mnimo2 B 2 4 A 3 C 1 3 D 1 E 1 F 2 1 G 2 3 H
FMBT/ AMC
Problema do caminho mnimoB 3 3 C 1 2 4 F 2 D 1 E 1 1 G 3 H 2
2
Para o n origem:
A
Para o n destino:
Para todos os outros ns, por exemplo, B:
FMBT/ AMC
Problema do caminho mnimo
FMBT/ AMC
Problema de fluxo em redes15 10A 3 C 1 B 2 4 3
2
D 1 E
3 H 2 1
20
F 2
1 G
5
FMBT/ AMC
Problema de fluxo em redes15 10A 3 1 3 C F 1 G 1 2 2 4 B 2 D 3 1 E 2 H
20
5
ERRADO! Por qu ?FMBT/ AMC
Problema de fluxo em redes Faz sentido ter apenas um tipo de custo (varivel) ?
FMBT/ AMC
Problemas de gesto financeira Considere uma empresa que gostaria de maximizar o retorno do seu fluxo de caixa, ao final de um dado horizonte. A cada ms, a empresa sabe com uma boa preciso: et: entrada de caixa no incio do perodo t st sada de caixa no incio do perodo t
H duas opes de investimento, a cada perodo: 1) Aplicar parte ou todo o dinheiro em aplicaes de curto prazo (1 ms), com taxa de juros 2) Aplicar parte ou todo o dinheiro em aplicaes com menos liquidez, mas com retorno maior: > FMBT/ AMC
Mais detalhes As converses (aplicaes e resgate) s podem ser efetuadas no incio de cada ms. H uma taxa proporcional a ser paga para cada converso entre a aplicao 1 e 2 (ou de 2 para 1). H uma quantia inicial (y0) na aplicao 2.
FMBT/ AMC
Grafo associado
Eq. de balano:FMBT/ AMC
Modelo
FMBT/ AMC
Problemas em rvoresAhuja, R.; Magnanti, T. & Orlin, J. Network flows Prentice Hall, 1993
" A tree is a connected graph that contains no cycle."
FMBT/ AMC
Problemas em rvores Propriedades:a) Uma rvore com n vrtices tem n-1 arcos. b) Uma rvore tem no mnimo duas folhas c) H um nico caminho entre quaisquer dois vrtices de uma rvore
FMBT/ AMC
Minimum Spanning trees e programao linear
Uma formulao linear inteira:
FMBT/ AMC
Minimum Spanning trees e programao linear
Outra formulao linear inteira:
FMBT/ AMC
Problema de Steiner
FMBT/ AMC
no necessrios
Problema de Steiner
FMBT/ AMC
no necessrios
mas podem ser benficos!
Problema de Steiner (formulao)Minimum Spanning tree iN yi
novas variveis: yiFMBT/ AMC
i S\{k} yi, k S N\{1}, |S| 2
Problema de Steiner (formulao)Steiner Tree Problem
FMBT/ AMC
Alguns problemasligas (mistura) fsforos ( mix de produo) enfermeiras (escalonamento de horrios) mochila bin-packing designao e designao generalizada cobertura, partio e empacotamento caixeiro viajante carteiro chins p-medianas dimensionamento de lotes linhas de montagem Rotao de culturas Problemas em grafos (caminho mnimo; projeto de redes) Problemas em rvores (rvore mnima / problema de Steiner)FMBT/ AMC
Algumas restries chave uso de recursos:
designao
FMBT/ AMC
Algumas restries chave cobertura, empacotamento, partio:
alocao/ setup
FMBT/ AMC
Algumas restries chave conservao de fluxo (em grafos):
eliminao de subciclos
FMBT/ AMC
Balano de estoque
Precedncias
FMBT/ AMC
Um pouco mais sobre formulaes alternativas
FMBT/ AMC
FMBT/ AMC
Baseado em Integer programming - Wolsey, 1998.
exemplo
qual melhor ?FMBT/ AMC
Baseado em Integer programming - Wolsey, 1998.
formulao ideal
FMBT/ AMC
Baseado em Integer programming - Wolsey, 1998.
A envoltria convexa a melhor formulao possvel... e entre duas formulaes quaisqer ?
retomando:
FMBT/ AMC
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