Pesquisa Operacional Aula 4 – Solução Gráfica em
Programação Linear
Prof. Marcelo Musci [email protected]
www.musci.info
Resolução Gráfica
Aplicável para modelos com 02 variáveis de decisão
Útil para a ilustração de alguns conceitos básicos.
Caso: Tintas e Tintas S.A.
A meta do problema é achar a melhor
solução viável, ou seja, a solução ótima.
Para isso, precisamos saber quantas
soluções viáveis o problema possui.
Resposta: infinitas
Não é possível resolver o problema por
enumeração
Propriedades do Modelo de PL
No exemplo da Tintas e Tintas S.A., o objetivo e as
restrições são todos funções lineares.
Linearidade implica que a PL deve satisfazer três
propriedades básicas:
Proporcionalidade
Aditividade
Certeza
Propriedades do Modelo de PL
Proporcionalidade:
A contribuição de cada variável de decisão (p.ex. x1 e x2), tanto na
função objetivo quanto nas restrições, seja diretamente proporcional
ao valor da variável
Por exemplo, 5x1e 4x2 definem o lucro para a produção de x1e x2
toneladas de tinta para exteriores e interiores, respectivamente,
sendo que os lucros unitários por tonelada (5 e 4) darão as
constantes de proporcionalidade;
Por outro lado, se a empresa der algum desconto por quantidade
quando as vendas ultrapassarem certas quantidades, o lucro não
será mais proporcional às quantidades de produção, x1 e x2, e a
função lucro se torna não linear;
Propriedades do Modelo de PL
Aditividade:
A contribuição total de todas as variáveis da função objetivo e das
restrições é a soma direta das contribuições individuais de cada
variável
No exemplo, o lucro total é igual à soma dos dois componentes
individuais do lucro;
Por outro lado, se os dois produtos competirem por participação de
mercado, de modo que um aumento nas vendas de um deles
provoque um efeito adverso nas vendas do outro, então a
propriedade de Aditividade não é satisfeita e o modelo deixa de ser
linear;
Propriedades do Modelo de PL
Certeza:
Todos os coeficientes da função objetivo e das restrições do modelo
de PL são determinísticos, o que significa que são constantes
conhecidas
Isso raramente ocorre na vida real, sendo que o mais provável é
que os dados sejam representados por distribuições de
probabilidade;
Em essência, os coeficientes em PL são aproximações do valor
médio das distribuições de probabilidade;
Se os desvios padrão dessas distribuições forem suficientemente
pequenos, a aproximação será aceitável;
Resolução Gráfica
O procedimento gráfico inclui duas etapas:
Determinar a região de soluções viáveis;
Determinar a solução ótima entre todos os pontos
viáveis da região de soluções;
A seguir vamos resolver o modelo de
maximização do problema da Tintas e Tintas
S.A. usando a solução gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Problema de mix de Produção
Fabricação de dois modelos de brinquedos: B1 e B2.
Lucros unitários/dúzia: $8 para B1 e $5 para B2
Recursos disponíveis:
1000 kg de plástico especial.
40 horas para produção semanal.
Requisitos do Departamento de Marketing:
Produção total não pode exceder 700 dúzias;
A quantidade de dúzias de B1 não pode exceder em 350 a
quantidade de dúzias de B2.
Dados técnicos:
B1 requer 2 kg de plástico e 3 minutos por dúzia.
B2 requer 1 kg de plástico e 4 minutos por dúzia.
Resolução Gráfica
A Gerência está procurando um programa de
produção que aumente o lucro da Companhia
Variáveis de decisão:
X2: produção semanal de B2 (em dúzias).
X1: produção semanal de B1 (em dúzias).
Função Objetivo: Maximizar o Lucro semanal
Resolução Gráfica
Max 8X1 + 5X2 (Lucro semanal)
sujeito a:
2X1 + 1X2 ≤ 1000 (Plástico - Kg)
3X1 + 4X2 ≤ 2400 (Tempo de produção - minutos) (40*60)
X1 + X2 ≤ 700 (Produção total)
X1 - X2 ≤ 350 (mix)
X1 , X2 0, (Não negatividade)
Resolução Gráfica
Conceitos importantes:
Os pontos (X1, X2) que satisfazem todas as restrições do
modelo formam a Região Viável.
Esses pontos são chamados de Soluções Viáveis.
Usando a resolução gráfica pode-se representar todos as
restrições (semi-planos), a função objetivo (reta) e os
três tipos de pontos viáveis.
Resolução Gráfica
1º Passo:
Traçar eixos cartesianos, associando a cada um deles
uma variável de decisão.
No exemplo de fabricação de brinquedos: X1 para o eixo
das abscissas e X2 para o eixo das ordenadas.
As restrições de não-negatividade, X1 0 e X2 0,
implicam que os pares (X1, X2) viáveis estão no 1º
quadrante dos eixos considerados.
Resolução Gráfica 2º Passo:
Observar que a função-objetivo, ao se fixar um valor para Z,
representa uma reta. Alterações neste valor de Z gera uma família
de retas paralelas.
No exemplo dos brinquedos: considere a reta obtida fazendo Z=
2000, isto é , a reta dada por 8X1 + 5X2 = 2000. Percebe-se que ao
se traçar retas paralelas no sentido de ficar mais afastado da
origem (0, 0), o valor de Z aumenta.
De fato pode-se verificar que a reta paralela, que contém algum
ponto da região viável, no caso o ponto ótimo X* = (320, 360), e
está mais afastada da origem, corresponde a um valor ótimo da
função objetivo Z* = 4360.
Resolução Gráfica
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Representando as condições de não
negatividade X2
X1
Resolução Gráfica
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Observar que no exemplo dos brinquedos, as restrições correspondem a
semi-planos associados, respectivamente, às retas suportes dadas por:
2X1 + 1X2 = 1000
3X1 + 4X2 = 2400
X1 + X2 = 700
X1 - X2 = 350
X1 , X2 0
Notar que cada reta suporte define dois semi-planos no espaço (X1, X2).
Para identificar qual destes semi-planos é de interesse no caso, ou seja,
contém os pontos que satisfazem a desigualdade da restrição, basta
testar algum ponto à esquerda ou à direita (acima ou abaixo) da reta
suporte da desigualdade.
Um ponto que torna isto fácil é a origem (0, 0), mas poderia ser qualquer
outro.
Resolução Gráfica
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1000
500
Viável
X2
Inviável
Tempo de
produção
3X1+4X2 2400
Restrição da produção total
X1+X2 700 (redundante) 500
700
Restrição do plástico
2X1+X2 1000
X1
700
Resolução Gráfica
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1000
Viável
X2
Inviável
Tempo de Produção
3X1+4X2 2400
Restrição da produção total:
X1+X2 700 (redundante) 500
Restrição do mix da produção:
X1-X2 350
Restrição do plástico
2X1+X2 1000
X1
700
Resolução Gráfica
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1000
500
Viável
X2
Inviável 500
700 X1
700
Há três tipos de pontos viáveis. Pontos interiores. Pontos na fronteira. Pontos extremos.
Resolução Gráfica
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A busca por uma Solução Ótima:
Começar com algum valor de lucro arbitrário,
Por exemplo $2000... Depois aumentar o lucro, se possível...
...e continuar até que seja inviável
600
700
1000
500
X2
X1
X* = (320, 360)
com Z* = 4.360
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Pontos extremos e Soluções Ótimas
Se o problema de Programação Linear tem uma
Solução Ótima, um ponto extremo é Solução Ótima.
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
O Problema do Desenhista
Um desenhista faz quadros artesanais para vender
numa feira que acontece todo dia, à noite;
Ele faz desenhos grandes e desenhos pequenos, e
vende-os por R$5,00 e R$2,00, respectivamente;
Só é possível vender 4 desenhos grandes e 3 desenhos
pequenos por noite;
O desenho grande é feito em uma hora (grosseiro) e o
pequeno é feito em duas horas (detalhado). Além disso,
o desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a
feira.
Resolução Gráfica
O que o desenhista precisa decidir?
O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua
receita?
A decisão dele é como usar as 8 horas diárias: quantos
desenhos pequenos e grandes ele deve fazer!
Chamemos de x1 e x2 as quantidades de desenhos
grandes e pequenos que ele faz, por dia,respectivamente.
Resolução Gráfica
Modelo
Resolução Gráfica
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Resolução Gráfica
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Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
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Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
A solução ótima é um dos pontos da região
viável;
Basta procurar dentro da região viável o ponto
que dará o maior valor para Z.
Investiguemos o valor de Z em alguns pontos da
região viável:
Resolução Gráfica
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Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Exemplo 3
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Exemplo 4
Resolução Gráfica
Resolução Gráfica
Restrições Redundantes
Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão
do conjunto de restrições, de um problema, não altera o
conjunto de soluções viáveis deste;
É uma restrição que não participa da determinação do
conjunto de soluções viáveis;
Existe um outro problema sem esta restrição com a
mesma solução ótima.
Restrições Redundantes
Considere o problema:
Restrições Redundantes
Solução Múltipla
Solução Múltipla
Considere o seguinte o problema de PL
Solução Múltipla
Solução Ilimitada
Considere o seguinte o problema de PL
Solução Ilimitada
Solução Inviável
Um problema de programação linear é dito
inviável quando o conjunto de soluções viáveis
é vazio.
Considere o problema de PL
Solução Inviável
Resolução Gráfica
Resolva os exemplos dessa aula em papel
milimetrado.
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