Digenes Santos [email protected] 1
SIMBOLOGIA MATEMTICA
Smbolo Significado Smbolo Significado
a b a menor do que b a b a menor ou igual a b
a b a maior do que b a b a maior ou igual a b
a b a muito menor do que b a b a muito maior do que b
Mais ou menos a b a diferente de b
a b a aproximado a b a b a congruente (igual) a b
Implica que, se Se, e somente se
Existe | Existe apenas um
No existe | Tal que
Para todo Infinito
Ou E Unio Interseo Pertence a No pertence a
Est contido em No est contido em
Contm No contm Conj. dos Nmeros Naturais Conj. dos Nmeros Inteiros
Conj. dos Nmeros Racionais I Conj. dos Nmeros Irracionais
Conj. dos Nmeros Reais Conj. dos Nmeros Complexos
NOES DE CONJUNTOS
Na teoria de conjuntos, no so definidos os conceitos de conjunto, elemento e pertinncia, ou seja, so conceitos
primitivos, aceitos sem definio/demonstrao. Temos uma noo intuitiva do que seja, mas no podemos
precisar/descrever uma definio. INTUITIVAMENTE, podemos entender conjunto como uma lista, coleo, classe de
objetos, etc...
Normalmente os conjuntos so indicados com letras maisculas e os elementos com letras minsculas, mas isso no
impede de termos um conjunto C qualquer com elementos apenas de letras maisculas.
: { , , , , , }Ex A a b c d e f {1, 2, 3, , , , , }B b d g h n { , , , , , , , }C A B C D E F G H
Os elementos de um conjunto so separados por vrgulas e inseridos entre duas chaves, que neste caso determinam o
conjunto.
Lembre-se: Dentro das chaves, existem APENAS elementos.
Relao de Pertinncia: Quando queremos fazer relaes entre elementos e conjuntos, usamos os smbolos, ou para indicar, respectivamente, que um elemento pertence ou no pertence a um determinado conjunto.
: { , , }Ex a a b c (pertence) ou { , , }d a b c (no pertence)
Lembre-se: Para relacionar elemento e conjunto, S podemos usar as relaes de pertinncia, desta forma errada
a utilizao como nos seguintes exemplos, { , }a a b ou { , },d a c por estarmos relacionando elemento e conjunto.
Relao de Incluso: Quando queremos fazer relaes entre conjuntos, usamos os smbolos, , , e
para indicar, respectivamente, que um conjunto est contido, no est contido, contm ou no contm outro determinado
conjunto.
:{ } { , , }Ex a a b c (est contido), { } { , , }d a b c (no est contido), { , , } { }a b c b (contm) e
{ , , } { }a b c f (no contm).
Lembre-se: Para relacionar conjuntos, S podemos usar as relaes de incluso, desta forma errada a utilizao
como nos seguintes casos: { } { , , }a a b c ou { } { , , },d a b c por estarmos relacionando conjuntos.
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Podemos representar basicamente um conjunto das seguintes formas:
a) Enumerando (escrevendo) seus elementos:
: { , , , , }Ex A a b c d e f {1, 2, 3, 4, 5 }B {1, 2, 3, 4, 5 }C
b) Descrevendo atravs de uma propriedade especfica:
{ | }A x x tem a propriedade P forma genrica
: { | }Ex B x x cidadebrasileira conhecida comoVeneza brasileira { }B Recife
: { | 500}Ex C x x natural e menor que {0,1, 2, 3, 4, 5 }C
c) Pelo diagrama de Venn, (John Venn, ingls, 1834-1923) que um modo de visualizar um conjunto atravs de uma
curva fechada simples.
: { , , , , , }Ex A a b c d f r { , , , , , 8 }B v g t r
ALGUMAS DEFINIES IMPORTANTSSIMAS...
Conjunto Finito: Um conjunto dito finito quando podemos enumerar seus elementos, mesmo esse conjunto sendo difcil de escrever, ou mesmo impossvel na prtica.
: { , , ,1, }Ex A a b c {1, 2, 3, 4,..., 897}B { | }C x x a populao mundial
Conjunto Infinito: Um conjunto dito infinito quando NO podemos enumerar seus elementos, ou seja, no conseguimos escrever todos os seus elementos.
: {0,1, 2, 3, 4, 5, 6,...}Ex A {2, 4, 6,8,10,...}B { | 3}C x x mltiplo de
Conjunto Unitrio: o conjunto formado por apenas UM elemento. : { | }Ex A x x nem negativo nem positivo {0}A
: { | , 3 6 0}Ex B x x x { 2}B
Conjunto Vazio ou Nulo: o conjunto formado por NENHUM elemento. : { | 2}Ex A x x mpar e mltiplo de { }A
: { | 32 }Ex B x x ms do ano com dias { }B
Obs.: { }C NO um conjunto vazio, mas sim um conjunto unitrio, onde o conjunto representa, neste caso, um elemento do conjunto .C Como j foi dito, o que se encontra dentro das chaves (so) elemento(s).
Conjunto Universo: o conjunto formado por todos os elementos dos conjuntos em questo. : { , , , , , }Ex A a b c d w t {1, 2, 3, 4}B { , , }C w r t { , , , , , , ,1, 2,3, 4}U A B C a b c d w r t
Igualdade de Conjuntos: Dado dois (ou mais) conjuntos A e ,B eles so iguais se, ambos tiverem os
mesmos elementos, ou seja, todo elemento de A tambm for elemento de B e todo elemento de B tambm for elemento de .A
Notao: A B ( , )A B x x A x B
: { , , , },Ex A a b c d { , , , , , },B a b c d c a logo .A B {1, 2, 3, 4, 3,1},C {1, 2, 3, 4},D logo .C D
Subconjunto: Dado dois (ou mais) conjuntos A e ,B o conjunto A ser subconjunto de ,B se todo
elemento pertencente ao conjunto A tambm pertencer ao conjunto .B Neste caso, se um elemento pertencer ao conjunto
,A ento, obrigatoriamente pertencer ao conjunto .B
Notao: A B ( , )A B x x A x B
: { , , , },Ex A a b c d { , , , , , },B a b c d e f logo A B { , , , 4}D k y w , { , , , 4},E y w k logo D E
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Subconjunto Prprio: Dado dois conjuntos A e ,B o conjunto A chamado Subconjunto Prprio de ,B
quando A B e .A B
: {1, 3, }Ex A b e {1, 2,3, , },B a b podemos notar que A B e ,A B portanto A subconjunto prprio de .B
Unio de Conjuntos: Dado dois (ou mais) conjuntos A e ,B chama-se conjunto unio ao conjunto
formado pelos elementos que esto em A ou esto em .B
Notao: A B ( { | })A B x x A x B
: { , , }Ex A a b c { , , }B a b { , , ,1, 2}C A B a b c
Note que: A A B e ,B A B para quaisquer conjuntos A e .B
Interseo de Conjuntos: Dado dois (ou mais) conjuntos A e ,B chama-se interseo de A e ,B ao
conjunto formado pelos elementos que pertence a A e que tambm pertence a .B
Notao: A B ( { | })A B x x A x B
: { , , }Ex A a b c { , , }B a b { , }C A B a b
Note que: A B A e ,A B B para quaisquer conjuntos A e .B
Conjuntos Disjuntos: Dado dois conjuntos A e ,B dito conjuntos disjuntos quando a interseo entre A
e B vazia, ou seja, no possuem elemento comum, portanto .A B
: { , , }Ex A a b c { , , }B d A B
Diferena de Conjuntos: Dado dois conjuntos A e ,B chama-se diferena entre os conjuntos A e ,B ao
conjunto formado pelos elementos que esto em A e NO esto em .B
Notao: A B ( { | })A B x x A x B
: { , , , , }Ex A a b c v f { , ,1, 2}B a b { , , }C A B c v f {1, }D B A
Note que: ,A B A para quaisquer conjuntos A e .B
Complementar de B em :A Dado dois conjuntos A e ,B tal que ,B A ou seja, B subconjunto de ,A
chamado de complementar de B em ,A ao conjunto formado pelos elementos que esto em A e NO esto em .B
Notao: B A B
Outra representao: ___
' { | , }A A x x U x A
: { , , , , , , , }Ex A a b c d e f g h { , , , }B a b f g { , , , }C A B c d e h D B A
Note que: A A U A A U U ( ') 'A A
Conjunto de Conjuntos, ou Famlia de Conjuntos: Pode ocorrer que elementos de um conjunto tambm sejam conjuntos.
: {{ , },{ , , }}Ex A a b g h i {{ ,1},{ , , }, }B a g h i
Conjunto de Elementos e Conjuntos: Dado um conjunto, podemos ter como elementos desse conjunto, tanto elementos como conjuntos. Vale ressaltar que dentro de um conjunto, temos apenas elementos.
: {1, 2,{3,4},{ , }}Ex A a b { , ,{ , },{{ , }}}B a b a b a b
Conjunto das partes de um conjunto: Dado um conjunto ,A chama-se conjunto das partes de ,A ao
conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto .A O nmero de elementos do conjunto das partes de A dado
pela frmula ( ) 2 ,xP A onde x o nmero de elementos do conjunto .A
: { , , }Ex A a b c ( ) { ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , , }}P A a b c a b a c b c a b c
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CONJUNTOS NUMRICOS
Conjunto dos Nmeros Naturais. Notao: {0,1, 2, 3, 4, 5, 6...}
* {1, 2, 3, 4, 5, 6...} Conjunto dos nmeros naturais no-nulos (asterisco).
Obs: O * (asterisco) quer dizer excluso do zero, para qualquer conjunto numrico.
Conjunto dos Nmeros Inteiros Notao: {..., 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5,...}
* ..., 3, 2, , 1, 2, 3,... Conjunto dos nmeros inteiros no-nulos.
1, 2, 3, 4, 5,... Conjunto dos nmeros inteiros no negativos.
* { } Conjunto dos nmeros inteiros positivos.
1, Conjunto dos nmeros inteiros no positivos.
*_ 1 Conjunto dos nmeros inteiros negativos.
Obs: O nmero "0" (zero) nem positivo e nem negativo.
Conjunto dos Nmeros Racionais: Notao: {..., 4, 3, 2, 1/ 2, 1/3, 1/ 4, 0, 1, 3/ 2;1,7;1,8; 1,333...,}
O conjunto , o conjunto formado pelos nmeros que podem ser colocados na forma / ,a b com *,a eb ou seja, um nmero fracionrio, vale ressaltar que, neste caso, fracionrio ao que queremos dizer, tanto
o numerador quando o denominador DEVEM ser nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero.
Obs: Como nos conjuntos anteriores o obedece s mesmas regras de *, , , etc...
Conjunto dos Nmeros Irracionais:
Notao: {..., 8, 7, 3, ,...}I
I= o conjunto formado pelos nmeros que NO podem ser colocados na forma / ,a b com *,a eb ou seja,
NO podem ser colocados na forma de frao com *.a e b
Conjunto dos Nmeros Reais: Notao: I
o conjunto formado pela unio dos Conjuntos dos Nmeros Racionais e Irracionais.
Conjunto dos Nmeros Complexos: o conjunto formado pela unio do Conjunto dos Reais e pelas razes de ndice par e radicando negativo.
Notao: ,n r onde n (par) o ndice e r o radicando negativo.
Resumindo: I
2 4 1 4 15 4 27
-7/5 -1,333... 0,1555.... 8/3 0,5 -3,2
-5 -4 -3 -2 -1
0 1 2 3 4
I 3
- 3 4
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EXERCCIOS DE CONJUNTOS
1) Sendo {1, 2, 3, 4},A {0, , },B {4, 5, 6}C e
{2, 4},D calcule:
)a A B . : ){1,2}Resp a
)b B C . : )Resp b
)c B D . : )Resp c
)d A B . : )Resp d
)e A D . : ) 1, 2, 3, 4Resp e A
)f B C . : ) 0,1, 2, 4, 5, 6Resp f
) \g A B . : ) 3, 4Resp g
) \h B C . : ) 0,1, 2Resp h B
) \i B D . : ) 0,1Resp i
) Aj C D . : ) 1, 3Resp j
)k A B D . : ) 0,1, 2, 3, 4Resp k
)l A B D . : )Resp l
2) Quais os nmeros que se devem ser escritos nos lugares x e y nos seguintes diagramas:
) ( ) 12a n A . : ) 07Resp a
) ( ) 20b n A B . : )Resp b
) ( ) 10 ( ) 15c n A e n B . : )Resp c x e y
( ) 20d n A B e n A B . : )Resp d x e y
) ( ) 12e n A B C . : ) 01Resp e
) ( ) 8f n A B . : ) 06Resp f
3) Dado {2, 3, 6},A classifique em V ou :F
) 2 ) ) 2,3 ) 2,6
) ) ) )
a A b A c A d A
e A f A g A h A
. : ) ) ) )
) ) ) )
Resp a V b V c F d V
e F f V g F h V
4) Classifique em V ou :F
) 0 {0,1, 2, 3, 6} ) { , } ) {0}
) 0 ) ) { ,{ }}
){ } { ,{ }} ) { ,{
a b a a b c
d e a f a a a
g a a a h
}}
) { ,{ }} )
a
i a j
. : ) ) ) ) )
) ) ) ) )
Resp a V b F c F d F e F
f V g V h V i V j F
5) Classifique em V ou :F * *
_
* 2
_
3
) ) ) {0}
) _ ) )
) ( 3) ) 2 / 7 )1/ 2
a b c
d e f
g h I i
. : ) ) ) ) )
) ) ) )
Resp a F b V c V d F e V
f F g V h V i F
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6) Classifique em V ou :F
) { } ) { } ) { }
) {{ }} ) {{ }} ) { ,{ }}
. : ) ) ) ) ) )
a b c
d e f
Resp a V b F c V d F e V f F
7) De acordo com o conjunto
{1, 2,{3}, 4},A podemos afirmar que:
) ) 1, 2 )
) ) ( ) 3
a A b A c A
d A e n A
. : ) ) ) ) )Resp a F b F c F d V e F
8) Sejam os conjuntos {1, 2, 3, 4}U e {1, }.A O
conjunto B tal que {1}B A e B A U :
) ) ) 1, ) 1, 3, 4 )
. :
A B C D E U
Resp D
9) (Cesgranrio-93) Se A e B so conjuntos,
( )A A B igual a:
) ) ) ) )
. :
A A B B C A B D A B E A B
Resp E
10) Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, assinale a alternativa verdadeira:
) ( ) ) ( ) ( )
) )
)
. :
A A B B B A B A B
C A B A B D A B B A
E A B A B
Resp B
11) (PUC.MG-97) Considere os seguintes subconjuntos de nmeros naturais:
{0,1, 2, 3, 4, 5,...}, { | 6 20},P x x
{ | },A x P x par { | 48}B x P x divisor de e
{ | 5}.C x P x mltiplo de O nmero de elementos
do conjunto ( )A B C :
) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6
. :
A B C D E
Resp A
12) (ETFRJ) Dados dois conjuntos no vazios A e ,B se
ocorrer ,A B A podemos afirmar que:
) .
) .
) .
) .
) .
. :
A A B
B Isto nunca pode acontecer
C B um subconjunto de A
D B um conjunto unitrio
E A um subconjunto de B
Resp C
13) (UFPE-96) A expresso 4 4
3 1 3 1
um
nmero:
( ) .
( ) 4.
( ) .
( ) 3.
( ) .
. :
Real irracional
Natural divisvel por
Natural par
Inteiro divisvel por
Primo
Resp F V V F F
14) Se ,A B e C so conjuntos tais que
( ) {6, 7}C A B e ( ) {4,5},C A B ento C
igual a:
) 4, 5 ) 6, 7 ) 4, 5, 6
) 5, 6, 7 ) 4, 5, 6, 7
. :
a b c
d e
Resp E
15) (EDUSP) Depois de n dias de frias, um estudante
observa que:
( 1 ) 7 , .
( 2 ) .
( 3 ) 5 .
( 4 ) 6 .
Choveu vezes de manh ou tarde
Quando chove de manh no chove tarde
Houve tardes sem chuva
Houve manhs sem chuva
Ento n igual a:
) 7 ) 9 )10 )11 ) . . .
. :
A B C D E n d a
Resp B
16) (UFOP/MG) Numa sala de aula com alunos,
jogam xadrez, so homens ou jogam xadrez e
mulheres jogam xadrez. Conclui-se, portanto, que:
) .
) .
) 29 .
) .
) .
. :
A so mulheres
B so homens
C mulheres no jogam xadrez
D homens no jogam xadrez
E homens jogam xadrez
Resp C
17) (UFRS) A condio necessria e suficiente para que ,A B B C e C A :
) )
) ) )
. :
A A B C B A C
C A B C D C E A C
Resp C
18) O conjunto A subconjunto de B e ,A B
( )A B A igual a:
) ) ) ) )
. :
a B b A c d A B e A B
Resp A
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19) Considere os seguintes conjuntos:
{1, 2,{1, 2}},A {{1}}B e {1,{1},{2}}.C Assinale
a alternativa falsa:
) {2} ) {{1}}
) )
) ( ) {{1, 2}}
. :
A A B B B C
C B C A B D B C
E A P A
Resp A
20) (U. MACK-80) Dados os conjuntos ,A B e ,C no
vazios, sabe-se que ;A B ento sempre se tem:
) ) )
) )
. :
A A C B A B C B C
D A B C E A C B
Resp E
21) (Fuvest-94) Os nmeros x e y so tais que
5 10x e 20 30.y O maior valor possvel de
/x y :
. :1/ 2Resp
22) Numa turma de 42 alunos, 35 gostam de futebol,
18 de basquete e 12 gostam dos dois. Quantos no
gostam nem de futebol e nem de basquete? . :01Resp
23) De um total de 800 pessoas examinadas por um
grupo de mdicos pesquisadores, 500 tinham sintomas
de uma doena ,A 200 tinham sintomas de outra doena
B e 130 tinham sintomas das duas doenas. Quantas
no tinham nem doena A nem doena ?B . :230Resp
24) Numa pesquisa realizada entre 500 pessoas, 318
gostavam de uma mercadoria ,A 264 de uma
mercadoria B e 112 gostavam das duas mercadorias. Quantos no gostavam da mercadoria A e nem da ?B
. :30Resp
25) Um mdico me disse: De 100 pessoas que eu
examino, 65 tm gripe e 45 tm gripe e outra doena.
Quantas dessas 100 crianas examinadas pelo mdico
tm outras doenas?
. :80Resp
26) Tenho 6 canetas. 4 escrevem em azul e 4
escrevem em vermelho. Quantas escrevem em azul como
em vermelho? . :02Resp
27) Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou:
quem Flamengo? 36 levantaram o brao. A seguir,
perguntou: quem Internacional? 28 levantaram o
brao. Quantos alunos so, ao mesmo tempo, Flamengo e
Internacional.
. : 22Resp
28) Em uma escola os alunos devem estudar uma lngua, podendo ser o ingls ou o francs. Se quiserem podem
estudar as duas. Sabendo que: H 200 alunos estudando
francs, h 130 alunos estudando ingls e o total de
alunos 300. Determine quantos alunos estudam ingls
e francs. . :30Resp
29) Numa turma de 30 alunos, 6 escrevem com a mo
esquerda e dois com as duas mos. Quantos escrevem
com a mo direita? . : 26Resp
30) De 24 carros que estavam no estacionamento, 17
eram Volkwagens e 10 eram de 1977. Quantos carros
eram Volkwagens de 1977?
. :03Resp
31) Em 100 jogadores de futebol, 32 jogam futebol de
salo, 18 jogam tambm basquete e 11 praticam os trs
esportes. Quantos s jogam futebol? . :61Resp
32) Dos meus 26 colegas de turma, 18 fizeram exames
para a Escola Tcnica e 12 para o Colgio Naval. S um
deles no fez exame. Quantos fizeram exames s para o
Colgio Naval?
. :07Resp
33) Em uma escola, cujo total de alunos 600, foi feita
uma pesquisa sobre refrigerantes que os alunos
costumavam beber. Os resultados foram: 200 alunos
bebem o refrigerante ,A 20 alunos bebem o refrigerante
A e o refrigerante B e 100 alunos no bebem A nem .B Quantos bebem apenas o refrigerante ,A quantos
bebem apenas o refrigerante ,B quantos bebem B e
quantos bebem A ou .B
. :180, 300, 320, 500 .Resp respectivamente
34) O Servio de Orientao Educacional de uma escola
verificou, num questionrio apresentado a 800 rapazes,
que 500 gostam de futebol, 200 de cinema e 130 dos
dois. Portanto, o total daqueles que no gostam de futebol
nem de cinema ?
) 670 ) 230 )100 ) 30
) , .
. :
a b c d
e no se pode determinar pois o enunciado absurdo
Resp B
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35) Dos 42 alunos de uma turma, 8 foram reprovados
em Matemtica, 6 em Portugus e 5 em Cincias. 4
foram reprovados em Portugus e Matemtica, 3 em
Matemtica e Cincias e 2 em Portugus e Cincias.
Sabendo que 2 foram reprovados nas trs matrias, diga
quantos no foram reprovados em nenhuma dessas
matrias.
. :30Resp
36) Uma pesquisa mostrou que, em cada 100 pessoas,
60 assistem novela ,A 50 assistem novela ,B 50
assistem novela ,C 30 assistem s novelas A e ,B
20 assistem s novelas B e ,C 30 assistem s novelas
A e C e 10 s trs novelas. Quantos no assistem a
novelas? . :10Resp
37) Foi feita uma pesquisa entre 3600 pessoas sobre os
jornais que costumavam ler e o resultado foi o seguinte:
1100 lem o Dirio, 1300 lem o Estado, 1500 lem a
Folha, 300 lem o Dirio e o Estado, 500 lem a Folha
e o Estado, 400 lem a Folha e o Dirio e 100 lem a
Folha, o Dirio e o Estado. Perguntas:
) ?
) ?
) ?
) ?
) ?
)
a Quantas lem apenas o Dirio
b Quantas lem apenas o Estado
c Quantas lem apenas o Estado e a Folha
d Quantas no lem nenhum dos trs jornais
e Quantas lem apenas um dos trs jornais
f Quan
?
. : ) ) 600 ) ) )1800 )
tas lem mais de um dos trs jornais
Resp a b c d e f
38) Numa classe de 45 alunos temos: 22 jogam futebol,
26 jogam vlei, 15 jogam basquete, 12 jogam futebol e
vlei, 6 jogam vlei e basquete, 10 jogam futebol e
basquete e 4 praticam os trs esportes.
) ?
) ?
) ?
) ?
) ?
)
a Quantos alunos no praticam esporte
b Quantos praticam vlei
c Quantos praticam apenas vlei
d Quantos praticam apenas dois esportes
e Quantos praticam mais de dois esportes
f Quantos praticam ?
. : ) ) 26 ) ) ) 04 )
dois ou mais esportes
Resp a b c d e f
39) (CEFET/PR2003) Dados os conjuntos
{1, 2, 3, 4, 5},A {4, 5, 6, 7},B {7,8, 9},C A
{3,8, 9}C B e {4},A B C o nmero de
elementos do conjunto C :
) ) ) ) )
. :
A B C D E
Resp E
40) (UFPE2003) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre as preferncias em
relao aos produtos A e .B os resultados da pesquisa
indicam que:
310 pessoas compraram o produto ,A
220 pessoas compraram o produto ,B
110 pessoas compraram os produtos A e ,B
510 pessoas no compraram nenhum dos dois produtos.
Indique o nmero de consumidores entrevistados
dividido por 10.
. :Resp
41) (CFS_B2_2002) Classifique em V ou :F
*
*
( )
( )
( )
( )
( )
Assinale a alternativa correta:
)
)
)
)
. :
A F F V V F
B F F V V V
C V F V F F
D V F V V F
Resp D
42) (EEAR2003) Sejam os conjuntos
{ | 2},A x x mltiplo de { | 2 9}B x x e
{ | 5}.C x x A soma dos elementos que formam o
conjunto ( )A B C :
) ) ) )
. :
A B C D
Resp B
43) (PUC.MG2003) Em uma pesquisa foi feita com 120
empregados de uma firma, verificou-se o seguinte:
Tm casa prpria: 38. Tm curso superior: 42. Tm plano de sade: 70. Tm casa prpria e plano de sade: 34. Tm casa prpria e curso superior: 17. Tm curso superior e plano de sade: 24. Tm casa prpria, plano de sade e curso
superior: 15.
Qual a porcentagem dos empregados que no se
enquadram em nenhuma das situaes anteriores?
) ) )
) )
. :
A B C
D E
Resp A
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44) (PUC.MG2002) Considere os seguintes conjuntos de
nmeros naturais: { | 0 25}A x x e
{ |16 25}.B x x O nmero de elementos do
conjunto A B :
) ) ) )
. :
A B C D
Resp A
45) (Colgio Naval-1987) Considere os conjuntos
{1, , }A e {1, , }B e as cinco afirmaes:
. {1}
. {2} ( )
. {1}
. {1, 2,{1, 2}}
. {{2}}
I A B
II B A
III A
IV A B
V B A
Logo,
) .
) .
) .
) .
)
A Todas as afirmaes esto erradas
B Se existe uma afirmao correta
C As afirmaes mpares esto corretas
D As afirmaes III eV esto corretas
E As afirmaes I e IV so as nicas incorretas
.
. :Resp D
46) (Colgio Naval-1997) Considere o conjunto A dos nmeros primos positivos menores do que 20 e o
conjunto B dos divisores positivos de 36. O nmero de
subconjuntos do conjunto diferena B A :
) 32 ) 64 )
) )
. :
A B C
D E
Resp C
47) (Escola Naval-1989) Considere os conjuntos { }A x
e { ,{ }}B x A e as proposies:
. { }
. { }
.
.
. { , }
I A B
II x A
III A B
IV B A
V x A B
As proposies falsas so:
) , ) , ) , ,
) , , ) ,
. :
A I III eV B II IV eV C II III IV eV
D I III IV eV E I III e IV
Resp C
48) (FGV1980) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas vrias pessoas acerca de suas preferncias
em relao a 3 produtos: ,A B e .C Os resultados da
pesquisa indicaram que:
210 pessoas compram o produto .A 210 pessoas compram o produto .B 250 pessoas compram o produto .C 20 pessoas compram os 3 produtos. 100 pessoas no compram nenhum dos 3
produtos.
60 pessoas compram os produtos A e .B 70 pessoas compram os produtos A e .C 50 pessoas compram os produtos B e .C
Quantas pessoas foram entrevistadas?
) ) )
) )
. :
A B C
D E
Resp D
49) (SESC2010-professor) Uma sondagem foi realizada para saber o comportamento dos eleitores em relao aos
candidatos A e ,B obtendo-se o seguinte:
1/3 dos entrevistados jamais votariam no candidato .A
2/ 7 dos entrevistados jamais votariam no candidato .B
427 dos entrevistados votariam nos dois candidatos, se fosse possvel.
1/5 dos entrevistados jamais votariam em quaisquer dos dois candidatos.
Quantas pessoas foram entrevistadas nessa
sondagem?
) ) 735 ) 854 )1281 ) 2135
. :
A B C D E
Resp B
50) Sejam os conjuntos ,A B e C subconjuntos do
conjunto universo .U Sabendo que o conjunto A tem
40 elementos, o conjunto A B tem 20 elementos,
B C tem 22 elementos, A C tem 18 elementos e
A B C tem 11 elementos, o nmero de elementos
do conjunto B igual ao de .C Sabendo que A B C
tem 99 elementos, quantos elementos tem ( ) ?B C A
. :59Resp
51) (AFA1998) Em um grupo de n cadetes da
Aeronutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21
jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam
e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2
fazem os trs esportes. Qual o valor de ,n sabendo-se
que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos
um desses esportes?
) ) ) )
. :
A B C D
Resp C
Digenes Santos [email protected] 10
52) (ITA2004) Considere as seguintes afirmaes sobre
o conjunto {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}:U
. ( ) 10.
. ( ) 10.
. {5} .
.
I U e n U
II U e n U
III U e U
IV
Pode-se dizer, ento, que (so) verdadeira(s).
) .
) .
) .
) .
) .
. :
A Apenas I e III
B Apenas II e IV
C Apenas II e III
D Apenas IV
E Todas as afirmaes
Resp C
53) (UPE2010-MAT1) Dados A e B conjuntos, a
operao de diferena simtrica ( ) definida por
.A B A B A B Se {1,{1}, , }A a e
{1, 2,{ }, , },B a b ento o conjunto A B igual a:
){1,{1}, ,{ }, 2, , }
){1, }
){{1},{ }, 2, }
){{1}, ,{ }, 2, }
)
. :
A a b
B a
C b
D b
E
Resp D
54) (UPE2011-SSA_1-FASE) Desde as primeiras
dcadas do Sculo ,XX sabe-se que a compatibilidade
de doaes sanguneas determinada pela presena ou
ausncia dos antgenos A e B e do fator .Rh As
pessoas com antgeno ,A apenas, no sangue so ditas
com sangue do tipo A e aquelas com antgeno ,B
apenas, so ditas com sangue tipo .B A presena dos
dois antgenos torna a pessoa do tipo ,AB e a ausncia
dos dois torna-a do tipo O. Em uma aldeia indgena com
131 habitantes, o antgeno A foi detectado em 96
delas, e o antgeno ,B em 82. Sabendo-se que 55 delas
possuem ambos os antgenos e que metade das que no
possuem nenhum antgeno do tipo , ditas .Rh A
quantidade de ndios com tipo sanguneo O igual a:
) 8 .
) 4 .
) 23 .
) 8 .
) .
. :
A Indivduos
B Indivduos
C Indivduos
D Indivduos
E Nenhumu indivduos
Resp B
55) (EsPCEx2001) Dados os conjuntos:
{ | }.
{ | }.
{ | }.
{ | }.
x x um nmero real
x x um nmero racional
x x um nmero natural
P x x um nmero primo
e considerado as afirmaes:
.
.
.
. )
. )
I P
II
III P
IV P
V P
esto corretas as afirmaes:
) ) )
) ) ,
. :
A I e II B II eV C III e IV
D IV eV E I II eV
Resp E
56) (UPE2010-MAT1)Sejam , , e ,
respectivamente, os conjuntos dos nmeros naturais,
inteiros, racionais e reais. Assinale a nica alternativa
FALSA.
)
) ( ) ( )
) ( ) ( )
) ( )
) ( ) ( )
. :
A
B
C
D
E
Resp B
Bibliografia:
Ttulo: Questes de Matemtica
Autor: Manoel Jairo Bezerra.
Editora: Companhia Editora Nacional
Ttulo: Matemtica para Concursos
Autores: Hilder Ges e
Ubaldo Toar
Editora: ABC Editora
Ttulo: Coleo Elementos da Matemtica-vol. I
Autores: Marcelo Rufino de Oliveira e
Mrcio Rodrigo da Rocha Pinheiro
Editora Vestseller
Ttulo: Fundamentos de Matemtica Elementar Vol. I
Autores: Gelson Iezzi e
Carlos Murakami
Editora: Atual Editora
Ttulo: Temas e Metas Vol. I
Autor: Antnio dos Santos Machado
Editora: Atual Editora
Digenes Santos [email protected] 11
Estrias para boi descansar no pasto
Estando caminhando pelo deserto um jovem, porm,
muito inteligente calculista, sempre ao lado do seu
inseparvel confidente e amigo, observou trs irmos
discutindo ferozmente, logo o matemtico tratou de
verificar o que estava se passando, aproximo-se e
perguntou a um dos homens por que tanta discrdia e
logo ouviu:
-Somos irmos - disse o mais velho, e recebemos
como herana esses 35 camelos. Segundo a vontade de
meu pai, devo receber a metade, o meu irmo Hamed
Namir, uma tera parte, e ao Harim, o mais moo, deve
caber apenas a nova parte. No sabemos, porm como
dividir dessa forma 35 camelos, pois metade de 35
17,5! Como fazer a partilha se a tera parte de 35,
tambm no exata?
- muito simples- replicou o homem que
calculava.- Encarrego-me de fazer, com justia, essa
diviso, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da
herana este belo animal que pertence ao meu amigo e
que est aqui em boa hora!
Vou agora- disse dirigindo aos trs irmos fazer a
diviso justa dos camelos que agora so, como vm, em
nmero de 36.
Voltando para o mais velho dos irmos, assim
falou:
Devias receber, meu amigo, a metade de 35, isto 17,5.
Recebers a metade de 36 que 18. Nada tens a
reclamar, pois saste lucrando bastante na diviso!
E voltando para o segundo irmo, continuou:
Devias, Hamed Namir, receber um tero de 35, isto
, 11 e um pouco. Vais receber um tero de 36, isto , 12.
No poders protestar, pois, tambm saste com lucro
visvel na transao.
E ao mais moo:
Devias Harim Namir, segundo a vontade de teu
pai, receber a nona parte de 35, isto , 3 e tanto. Vais
receber a nona parte de 36, isto , 4. O lucro foi
igualmente notvel. S tens a agradecer-me pelo
resultado!
E o homem que calculava concluiu:
- Pela vantajosa diviso feita entre os irmos
Namir, partilha em que todos os trs saram lucrando,
couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao
terceiro, o que d um resultado (18+12+4)=34 camelos.
Dos 36 camelos, sobraram dois. Um pertence, como j
sabem, ao meu amigo; o outro cabe a mim por direito por
ter resolvido, a contento de todos, o complicado
problema da herana.
Extrado do livro O Homem que Calculava Malba Tahan
Cai tarde e o dia termina, mas, o senhor continua conosco.
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