Movimento Unidimensional
Cinemática - descrição do movimento, usando os conceitos de espaço e tempo, sem levar em conta as causas desse movimento
Algumas considerações: Movimento efetuado ao longo de uma linha reta
(vertical, horizontal ou inclinada) Corpo tratado como uma partícula
Descrição do movimento de Galileu: velocidade escalar, velocidade e aceleração
Conceito de Movimento
Todos os objetos estão animados de movimento, mesmo os que parecem em repouso – movimento em relação ao sol
Neste preciso momento, estamos em movimento com uma velocidade de : 107 000 Km/h (em relação ao sol)
Velocidade média (1)
A velocidade escalar (rapidez) média é o quociente entre a distância percorrida e o intervalo de tempo:
A velocidade média da partícula é definida como a razão do deslocamento e o intervalo de tempo
tdv
if
ifx tt
xxtxv
Velocidade média (2)
Velocidade escalar média é uma grandeza escalar depende da trajetória Informa quão rápido uma partícula executou um
movimento
Velocidade média é uma grandeza vetorial: direção positiva ou negativa independente da trajetória pode ser zero mesmo que a partícula tenha percorrido
uma certa distância geometricamente, corresponde ao coeficiente angular
da reta que une os pontos P e Q. Indica a rapidez e em que direção se move a particula
Velocidade média (3)
Velocidade escalar média não é igual ao módulo da velocidade média.
Exemplo: Partícula move-se da origem (x=0m) até x=10m e de volta à origem, em 4s.
Atenção à diferença entre deslocamento (x) e distância percorrida (d).
104
00
mstxvx
154
1010
mst
dv
Velocidade média (4)
Um objeto pode ter uma velocidade escalar (rapidez) constante, mas a sua velocidade variar em cada instante.
Velocidade instantânea (1)
Velocidade de uma partícula em qualquer instante de tempo
Pode ser positiva, negativa ou nula
dtdx
txv
tx
0
lim
Velocidade instantânea (2)
O módulo da velocidade instantânea é a velocidade escalar (rapidez) instantânea – num intervalo de tempo infinitesimal, o módulo do deslocamento é igual à distância percorrida pela partícula.
A velocidade escalar nunca pode ser negativa Uso da palavra velocidade para designar
velocidade instantânea
Aceleração (1)
Alteração do estado de movimento
A aceleração média de uma partícula é definida como :
É uma grandeza vetorial, sendo a medida da rapidez com que a velocidade muda.
tv
ttvv
a x
if
xixfx
Aceleração (2)
Por vezes, o valor da aceleração média pode ser diferente em intervalos de tempo diferentes, introduzindo-se o conceito de aceleração instantânea:
2
2
0lim
dtxd
dtdv
tv
a xx
tx
Aceleração (3)
Uso do termo aceleração para designar aceleração instantânea
Velocidade e aceleração no mesmo sentido, corpo mais rápido nessa direção
Velocidade e aceleração em sentidos opostos, a velocidade escalar do corpo diminui com o tempo
Aceleração negativa não significa necessariamente que o movimento de um corpo esta se tornando mais lento
Aplicação - Aceleração Constante (1)
A aceleração média em qualquer intervalo de tempo é igual à aceleração instantânea em qualquer instante do intervalo de tempo considerado.
A velocidade varia linearmente com o tempo, durante o seu movimento
Nota:
t
t
t
t
dttvtx
dttatv
seguetettcomdttattv
ta
0
0
0101
)()(
)()(
0)()(
)(1
0
tdtxd
dttdvta
dttdxtv
tx
2
2 )()()(
)()(
)(
tt
t
xtvatdtvatdttvtx
vtadttatv
constatacom
000
20
0
00
21)()(
)()(
)(Exemplo:
avatdtdta
vatxtvatdtdtv
0
0002
)(
21)(
Aceleração Constante (2)
Substituindo nas equações o valor médio da aceleração por ax e fazendo xi=x0, xf=x, ti=0 e tf=t vem:
A velocidade média é igual à média entre os valores inicial e final
todeslocamen do função em Velocidade )(2
tempodo função em toDeslocamen 21
tempodo função em Velocidade
020
2
200
0
xxavv
attvxx
atvv
20 vv
vm
Aceleração Constante (3)
No caso particular da aceleração ser zero (a=0), a velocidade permanece constante e a posição da partícula varia linearmente com o tempo – movimento com velocidade constante.
a v x
t t t
Aceleração Constante (4)
Problema: um carro viaja com uma velocidade constante de 45 ms-1. Passa por uma moto de polícia escondida atrás de uma placa. Um segundo após o carro ter passado pela placa, a moto arranca com uma aceleração constante de 3ms-2. Quanto tempo ela demora para ultrapassar o carro em movimento?
v
t
carro
mota
t
Aplicação -Queda Livre (1)
Os objetos caem por que há força de gravidade.
Quando a resistência do ar for desprezada e a queda for devida unicamente ao efeito da gravidade – Queda Livre
Movimento equivalente ao movimento unidimensional com aceleração constante
Queda Livre (2)
Escolhendo a direção positiva do eixo dos y para cima, como a aceleração da gravidade está dirigida para baixo, é negativa; isto é a=-g.
Cuidado: o sinal da aceleração já está incluído nas expressões
)(2
21
020
2
200
0
yygvv
gttvyy
gtvv
Queda Livre (3)
O que acontece se um objeto é lançado para cima?Uma vez libertado, continua a subir por um bom e depois volta a descer. No ponto mais alto da sua trajetória, quando está mudando a direção de movimento ascendente para descendente, a sua velocidade instantânea é zero. Depois continua descendo, como se tivesse sido largado do repouso (para essa altura).
Problema: Uma pedra é arremessada verticalmente para cima, a partir do terraço de um edifício, com uma velocidade inicial de 20ms-1. O prédio tem 50 m de altura.
Determine:a) o tempo que a pedra leva a atingir a altura máximab) a altura máxima (acima do terraço)c) o tempo que a pedra demora a passar pelo nível do arremessadord) a posição e a velocidade da pedra para t=5s.
Queda Livre (4)
Grandeza Escalar versus Vetorial
Grandeza Escalar: caracterizadas apenas por um valor numérico e unidade correspondente
Grandeza Vectorial Módulo Direção Sentido
Exemplos de grandezas vetoriais: posição, velocidade, aceleração, força…
A
Componentes de um Vetor (plano)
Vetor A no plano xy, pode ser expresso através das suas componentes Ax e Ay e dos vetores unitários i, j
Módulo
Direcção
Relação entre os co-senos diretores
jAiAA yx
22yx AAA
yy
xx
AAAA
coscos
1coscos 22 yx
Componentes de um Vetor (espaço)
O vetor a no referencial xyz
Módulo
Direção
Relação entre os co-senos directores
kajaiaa zyx
222zyx aaaa
zz
yy
xx
aa
aaaa
cos
coscos
1coscoscos 222 zyx
Vetor Deslocamento, r
Uma partícula em movimento no plano xy é localizada pelo vetor posição r traçado da origem até à partícula.
O vetor deslocamento da partícula, no intervalo de tempo t, é a variação do vetor posição:
if rrr
kzjyixr
Vetor Velocidade (1)
A velocidade média da partícula durante o intervalo de tempot é:
A velocidade média é independente da trajetória
Grandeza vetorial com a direção de r
trvm
Vetor Velocidade (2)
O vetor velocidade instantânea é o limite do vetor velocidade média, quando o intervalo de tempo considerado tende para zero:
A velocidade instantânea é igual à derivada do vetor posição em relação ao tempo
A sua direção é a da reta tangente à trajetória percorrida pela partícula
O módulo da velocidade instantânea é a velocidade escalar
jvivjdtdyi
dtdxv
dtrd
trv
yx
t
0
lim
Vetor Aceleração
Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B, a sua velocidade instantânea muda
Aceleração média
Aceleração instantâneatvam
dtvd
tva
t
0
lim
kaiaiakdtdvi
dtdv
idt
dva zyxzyx
Movimento bidimensional com aceleração constante (1)
Equações doMovimento
2
2
2
2121
21
tatvyy
tatvxxtatvrr
tavv
tavvtavv
yyiif
xxiif
iif
yyiyf
xxixfif
Movimento bidimensional com aceleração constante (2)
Problema: Uma partícula desloca-se da origem de um sistema de coordenadas xy, no instante t=0 com uma velocidade inicial de vi=20i-15j (SI). A partícula desloca-se com uma aceleração de a=4,0i (SI). Determine para t = 5s: velocidade da partícula? vetor posição?
Movimento de Projéteis (1)
Qualquer objeto em movimento a duas dimensões, sujeita à aceleração da gravidade.
Trajetória parabólica desde que: g constante e dirigida
para baixo resistência do ar
desprezível
Movimento de Projéteis (2)
Resulta da composição de dois movimentos: Componente horizontal: movimento uniforme, isto é,
velocidade constante (a=0) Componente vertical: movimento uniformemente acelerado,
com a=-g, isto é, queda livre
Movimento de Projéteis (3)
A componente horizontal do movimento é completamente independente da componente vertical, isto é não é afetada pela gravidade.
A gravidade só afeta a componente vertical
Cada uma das componentes do movimento atua de forma independente.
Movimento de Projéteis (4)
Na ausência de gravidade, o projétil seguiria uma linha reta (tracejado).
Em consequência da gravidade segue uma trajectória abaixo dessa linha, que dista desta, da mesma distância vertical , de que ele cairia se fosse largado do repouso.
Distâncias horizontais iguais em intervalos de tempo semelhante
Movimento de Projéteis (5)
Velocidade inicial
Movimento horizontal
Movimento vertical
000
000 cos
senvvvv
y
x
tvxxvv
x
xx
00
0
200
0
21 gttvyy
gtvv
y
yy
Movimento de Projéteis (6)
A distância percorrida na horizontal é designada por alcance.
O alcance máximo é obtido quando o ângulo de lançamento é 45º.
Quanto maior for o ângulo de lançamento, maior é a altura atingida pelo projétil, mas menor é o seu alcance.
Existem sempre dois ângulos possíveis (complementares) para um mesmo alcance.
0
20 2sengv
R
Movimento de Projéteis (7)
Se a resistência do ar não for desprezada, o alcance e altura máxima do projétil são menores e a trajectória não é verdadeiramente parabólica (exemplo: projéteis a alta velocidade)
Movimento de Projéteis (8)
A altura máxima é
A variação da velocidade na subida é igual à variação na descida.
O tempo de subida é igual ao da descida. Logo:
gsenv
h2
)( 200
max
00 cosvRtvoo
Movimento de Projéteis (9)
Problema: Um avião de salvamento no Alaska lança um pacote com alimentos, para um grupo de exploradores sem recursos. Se o avião se encontra a uma altura de 100m, com uma velocidade horizontal de 40m/s, em que ponto o pacote alcança o solo, em relação ao ponto em que foi lançado? Qual a velocidade do mesmo, imediatamente antes de atingir o solo?
Movimento CurvilíneoAceleração
Ar(t1)
v(t1)
v(t2)
r(t2)
v(t1)tvam
aceleração médiav
Como calcular as componentes do vetor da variação da aceleração?
Movimento CurvilíneoAceleração
tvam
aceleração média
v(t2)v(t1)
v
Como calcular as componentes do vetor da variação da aceleração?
M
SQ
- Componente tangencial de v: MS
- Componente normal de v: SQ
)()cos(*)( 12 tvtvMS
)(*)( 2 sentvSQ
- Componente tangencial da aceleração, t
tvtvat
)()cos(*)( 12
- Componente normal da aceleração, t
sentvan
)(*)( 2
dtvd
tva
t
0
lim
tttt adtdv
ttvtv
ttvtva
)()(lim)()cos(*)(lim 12
0
12
0
nt
tttn
aRv
ttv
ttv
ttv
tsentva
2
02
022
0
2
0
lim)(
lim)(*)(lim)(*)(lim
Movimento Curvilíneo
Movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curva
Variação da velocidade em módulo aceleração tangencial
Variação da velocidade em direção aceleração normal ou centrípeta
dtvd
at
Rvan
2
ntnntt aauauaa
Movimento Curvilíneo
Movimento uniforme (v = const)e movimento curvilíneo
Movimento retilíneo (direção da velocidade = const, raio de curvatura, R = infinito)
N
t
aadtvd
a
0
t
n
aa
vRva
022
Movimento Circular
O que é que se move mais rápido num carrossel? O cavalo que está perto do exterior ou que está perto do centro? O que está afastado do centro percorre uma distância
maior em intervalos de tempo semelhantes Velocidade linear/velocidade angular
Velocidade Linear - velocidade (v); distância percorrida por unidade de tempo; maior no exterior de um objeto em rotação e menor no interior, perto do eixo de rotação.
Velocidade Angular (w) – refere-se ao número de rotações por unidade de tempo. Constante para qualquer ponto do objeto em rotação.
wRvdtdw
Movimento Circular Uniforme
Velocidade linear (escalar) constante Vetor velocidade sempre tangente à trajetória Aceleração só tem componente normal (centrípeta);
perpendicular à trajetória e dirigida para o centro
Tw 2
)( 00 ttw
Movimento Circular uniformemente acelerado
À semelhança do movimento retilíneo, temos:
RwRva
RdtdwR
dtdva
ttw
tww
n
t
22
200
0
21
Movimento Relativo (1)
Dois carros em movimento. Pretende-se medir a velocidade para o carro que está mais à direita. por um observador que se encontra na estrada (60mi/h) pelo condutor do carro que viaja imediatamente atrás – este
vê o carro sempre na mesma posição relativamente a ele próprio; mede uma velocidade escalar nula.
Dependência do referencial usado Diferença das medidas é devida à velocidade relativa
dos referenciais.
Aplicação
Problema: Uma nave espacial está em órbita a uma altitude de 200Km acima da superfície da Terra. O período da sua órbita é de 88,2min.
Qual a aceleração centrípeta da nave espacial?
Qual a sua velocidade escalar?
Movimento Relativo (2)
Referencial matemático, que nos vai permitir calcular as medidas de um observador a partir de um outro
Observador no referencial O´ em movimento relativamente ao observador no referencial O (com velocidade constante).
'
''
''
POPO
OOPOPO
OOPOPO
aa
vvv
tvrr
Movimento Relativo (3) Problema: Um barco no rio,
desloca-se para norte com uma velocidade de 10Km/h em relação à água. O rio tem uma corrente, de tal forma que a água tem uma velocidade escalar uniforme de 5Km/h em direção ao leste, relativamente ao solo.
Velocidade do barco relativamente a um observador parado na margem?
Qual a direção que o barco devia ter, para rumar para norte e a sua velocidade escalar relativamente à Terra?
Top Related