ESTRUTURAS DE BETO II
FOLHAS DE APOIO S AULAS
MDULO 1 PR-ESFORO
Carla Marcho Jlio Appleton
Ano Lecti vo 2011/2012
NDICE
1.
INTRODUO ...................................................................................................................... 1 1.1. VANTAGENS DA UTILIZAO DO PR-ESFORO .................................................................. 1
2.
TCNICAS E SISTEMAS DE PR-ESFORO .................................................................... 1 2.1. 2.2. PR-ESFORO POR PR-TENSO ...................................................................................... 1 PR-ESFORO POR PS-TENSO...................................................................................... 1
3.
COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PR-ESFORO ................................................... 2 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. ARMADURAS DE PR-ESFORO......................................................................................... 2 ANCORAGENS DE PR-ESFORO....................................................................................... 3 BAINHAS DE PR-ESFORO .............................................................................................. 3 SISTEMAS DE INJECO ................................................................................................... 3
4.
EFEITO DO PR-ESFORO................................................................................................ 4 4.1. 4.2. RAZO DA UTILIZAO DE AOS DE ALTA RESISTNCIA PARA APLICAO DO PR-ESFORO ......... 5 COMPARAO ENTRE O COMPORTAMENTO EM SERVIO E CAPACIDADE RESISTENTE DE
ESTRUTURAS DE BETO ARMADO E DE BETO PR-ESFORADO...................................................... 6
5.
PR-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PR-ESFORADO ............................... 7 5.1. 5.2. PR-DIMENSIONAMENTO DA SECO ................................................................................ 7 TRAADO DO CABO .......................................................................................................... 7 Princpios base para a definio do traado dos cabos de pr-esforo ............... 8
5.2.1. 5.3. 6.
PR-DIMENSIONAMENTO DA FORA DE PR-ESFORO TIL ................................................ 9
CARACTERSTICAS DOS TRAADOS PARABLICOS ................................................ 15 6.1. 6.2. 6.3. EQUAO DA PARBOLA ................................................................................................ 15 DETERMINAO DO PONTO DE INFLEXO ENTRE DOIS TROOS PARABLICOS ................... 16 DETERMINAO DO PONTO DE CONCORDNCIA TROO PARABLICO TROO RECTO ....... 16
7.
CARGAS EQUIVALENTES DE PR-ESFORO .............................................................. 17 7.1. ACES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAO EM QUE SE APLICA A TENSO NOS CABOS
SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES)............................................................................ 17
7.2. 7.3.
ACES EXERCIDAS SOBRE O BETO .............................................................................. 17 DETERMINAO DAS CARGAS EQUIVALENTES .................................................................. 17 Zona das ancoragens .......................................................................................... 17 Traado parablico .............................................................................................. 18 Traado poligonal ................................................................................................ 18
7.3.1. 7.3.2. 7.3.3.
8.
VALOR DA FORA DE PR-ESFORO .......................................................................... 23 8.1. 8.2. FORA MXIMA DE TENSIONAMENTO ............................................................................... 23 PERDAS DE PR-ESFORO ............................................................................................. 23 Perdas por Atrito .................................................................................................. 24 Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) .............................................. 25 Perdas por deformao instantnea do beto .................................................... 26 Clculo do alongamento terico dos cabos de pr-esforo ................................ 26 Perdas por retraco do beto ............................................................................ 31 Perdas por fluncia do beto .............................................................................. 31 Perdas por relaxao da armadura ..................................................................... 31
8.2.1. 8.2.2. 8.2.3. 8.2.4. 8.2.5. 8.2.6. 8.2.7. 9.
VERIFICAO DA SEGURANA AOS ESTADOS LIMITE LTIMOS............................ 35 9.1. ESTADO LIMITE LTIMO DE FLEXO ................................................................................. 35 Pr-esforo do lado da resistncia ...................................................................... 35 Pr-esforo do lado da aco ............................................................................. 35
9.1.1. 9.1.2. 9.2. 10.
ESTADO LIMITE LTIMO DE ESFORO TRANSVERSO.......................................................... 37 VERIFICAO DA SEGURANA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ....................... 42 VERIFICAO DA SEGURANA AO ESMAGAMENTO DO BETO ............................................ 42 DETERMINAO DAS ARMADURAS DE REFORO NA ZONA DAS ANCORAGENS ................... 43 Modelos de escoras e tirantes ............................................................................ 43 Tenses de traco a absorver ........................................................................... 44
10.1. 10.2.
10.2.1. 10.2.2. 11.
PR-ESFORO EM VIGAS COM SECO VARIVEL .............................................. 52 CONSIDERAO DO EFEITO DO PR-ESFORO ................................................................. 52
11.1. 12.
EFEITO DO PR-ESFORO EM ESTRUTURAS HIPERSTTICAS ........................... 54
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1. Introduo1.1. VANTAGENS DA UTILIZAO DO PR-ESFORO
Vencer vos maiores Maiores esbeltezas Diminuio do peso prprio Melhoria do comportamento em servio Utilizao racional dos betes e aos de alta resistncia
2. Tcnicas e sistemas de pr-esforo2.1. PR-ESFORO POR PR-TENSO
As armaduras so tensionadas antes da colocao do beto; A transferncia de fora realizada por aderncia; realizado em fbrica (tenso aplicada contra cofragens ou contra macios de amarrao). 2.2. PR-ESFORO POR PS-TENSO
As armaduras so tensionadas depois do beto ter adquirido a resistncia necessria; A transferncia realizada quer nas extremidades, atravs de dispositivos mecnicos de fixao das armaduras (ancoragens), quer ao longo das armaduras.
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3. Componentes de um sistema de pr-esforo
3.1. ARMADURAS DE PR-ESFORO
As armaduras de pr-esforo so constitudas por ao de alta resistncia, e podem ter as seguintes formas:
fios cordes(compostos por 7 fios)
Dimetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm
Seco Designao nominal [cm ] 0.5 0.6N 0.6S 0.987 1.4 1.52
Dimetro [mm] 12.7 15.2 15.7
vares
Dimetros usuais: 25 mm a 36 mm
(podem ser lisos ou roscados)
Caractersticas dos aos de alta resistncia utilizados em armaduras de pr-esforo:
fp0,1k [Mpa] fios e cordes barras 1670 835
fpk [Mpa] 1860 1030
Ep [Gpa] 195 10 170
Cabo de pr-esforo: conjunto de cordes (agrupados no interior de uma bainha)
Por questes de economia, h vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas de pr-esforo (nmero de cordes que preenchem na totalidade uma ancoragem).
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3.2. ANCORAGENS DE PR-ESFORO
ActivasPermitem o tensionamento
PassivasFicam embebidas no beto
De continuidade (acoplamentos)
Parte passiva, parte activa
3.3. BAINHAS DE PR-ESFORO
Metlicas Plsticas
3.4. SISTEMAS DE INJECO
Materiais rgidos (ex: calda de cimento) Materiais flexveis (ex: graxas ou ceras)
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4. Efeito do Pr-Esforo
O pr-esforo , por definio, uma deformao imposta. Deste modo, a sua aplicao em estruturas isostticas no introduz esforos adicionais.
Considere-se a seguinte viga pr-esforada:pp
Apresenta-se em seguida os diagramas de extenses na seco transversal indicada (seco de vo onde o cabo de pr-esforo tem excentricidade mxima), para as seguintes situaes:
A aco do pr-esforo isolado B Aco das cargas mobilizadas na aplicao do pr-esforo (peso prprio) C situao aps a aplicao do pr-esforo
A +
B + Mpp = +
C
-
e
P0
-
P0
+
P0
+
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4.1. RAZO DA UTILIZAO DE AOS DE ALTA RESISTNCIA PARA APLICAO DO PR-ESFORO
Considere o tirante de beto pr-esforado, cuja seco transversal se apresenta.Materiais:C25/30 ( = 2.5) A400NR0.50
0.50
A1600/1800
Para os dois tipos de ao indicados e admitindo que se pretende aplicar uma fora de pr-esforo P0 = 3000 kN, clcule a rea de ao necessria, bem como a fora que ficar instalada a longo prazo, considerando o efeito da fluncia do beto.
1. Determinao da rea de ao necessria P0' P0' = 0.75 fpk As As = 0.75 f pk Armadura ordinria: Armadura de alta resistncia: As = As = 3000 104 = 100 cm2 0.75 400103 3000 104 = 22.2 cm2 0.75 1800103
2. Clculo da perda de tenso nas armaduras, por efeito da fluncia do beto
(i) Clculo do encurtamento instantneo do beto devida aplicao do pr-esforo P 3000 c 12 c(t0) = A = = 12000 kN/m2 = 12 MPa c(t0) = E = = 0.39 0.5 0.5 31103 c c
(ii) Determinao do encurtamento devido fluncia c(t,t0) = cc(t,t0) = c(t0) = 2.5 0.39 = 0.975 (iii) Perda de tenso nas armaduras s = c(t,t0) Es = 0.97510-3 200106 = 195 MPa 3. Clculo da fora de pr-esforo a longo prazo Armadura ordinria: P = s As = 195103 10010-4 = 1950 kN P=1050 kN Armadura de alta resistncia:P = 195103 22.210-4 = 432.9 kN P = 2567 kN
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4.2. COMPARAO ENTRE O COMPORTAMENTO EM SERVIO E CAPACIDADE RESISTENTE DEESTRUTURAS DE BETO ARMADO E DE BETO PR-ESFORADO
Considere o tirante de beto, cuja seco transversal est representada na figura, e os seguintes casos: Caso 1 tirante de beto armado (armadura ordinria) Caso 2 tirante de beto pr-esforado (ao de alta resistncia e P = 500 kN) Caso 3 tirante de beto pr-esforado (ao de alta resistncia e P = 1000 kN)Materiais:C25/30 A400NR0.40
0.40
A1600/1800
Para um esforo normal de dimensionamento Nsd = 1395 kN, calcule a rea de armadura necessria para verificar o estado limite ltimo de traco. Para cada soluo calcule o esforo normal de fendilhao do tirante (Ncr).
Caso 1
(i) Determinao da rea de armadura necessria Nsd 1395 As = f = 10-4 = 40 cm2 348103 yd (ii) Clculo do esforo normal de fendilhao do tirante (Ncr) 200 Ncr = Ah fctm = (Ac + As) fctm = 0.42 + 31 4010-4 2.6103 = 483.1 kN
Caso 2
(i) Determinao da rea de armadura necessria Nsd 1395 Ap = f = 10-4 = 10 cm2 1600103 / 1.15 pyd (ii) Clculo do esforo normal de fendilhao do tirante (Ncr) Ncr P Ah - A = fctm Ncr = Ah fctm + P A Ah c c
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200 Ncr = 0.42 + 1010-4 2.6103 + 500 31
200 0.42 + 31 1010-4 = 952.9 kN 0.42
Caso 3
(i) Determinao da rea de armadura necessria Ap = Nsd 1395 = 10-4 = 10 cm2 fpyd 1600103 / 1.15
(ii) Clculo do esforo normal de fendilhao do tirante (Ncr). 200 Ncr = 0.42 + 31 1010-4 2.6103 + 1000 200 0.42 + 31 1010-4 = 1473.1 kN 0.42
Concluso: A capacidade resistente do tirante igual nos trs casos. No que se refere fendilhao, verifica-se um melhor comportamento dos tirantes pr-esforados relativamente ao tirante de beto armado, e em particular no caso 3 em que a fora de pr-esforo maior.
5. Pr-dimensionamento de um elemento pr-esforado5.1. PR-DIMENSIONAMENTO DA SECO
L A altura de uma viga pr-esforada pode ser estimada a partir da relao h 15 a 20.
5.2. TRAADO DO CABO
A escolha do traado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforos das cargas permanentes.
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5.2.1. Princpios base para a definio do traado dos cabos de pr-esforo
1.5 bainha
1.5 bainha
0.35L a 0.5L L
0.05L a 0.15L
Traados simples: troos rectos ou troos parablicos (2 grau) Aproveitar a excentricidade mxima nas zonas de maiores momentos (ver nota) Sempre que possvel, nas extremidades, os cabos devero situar-se dentro do ncleo central da seco O traado do cabo (ou resultante dos cabos) dever cruzar o centro de gravidade da seco numa seco prxima da de momentos nulos das cargas permanentes Devem respeitar-se as restries de ordem prtica da construo e os limites correspondentes s dimenses das ancoragens e resistncia do beto, necessrios para resistir s foras de ancoragem
Notas: i) A excentricidade mxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para as bainhas dos cabos de pr-esforo: cmin = min (bainha; 0.08 m); ii) o ponto de inflexo do traado est sobre a recta que une os pontos de excentricidade mxima; iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mnimo que, simplificadamente pode ser obtido pela expresso Rmin = 3 Pu representa a fora ltima em MN). (onde Pu
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5.3. PR-DIMENSIONAMENTO DA FORA DE PR-ESFORO TIL
O valor da fora til de pr-esforo pode ser estimada atravs dos seguintes critrios: Critrio do balanceamento das cargas qeq (0.8 a 0.9) qcqp ou, de uma forma mais rigorosa, Critrio da limitao da deformao pe = (0.8 a 0.9) cqp, tal que no final total = (1 + ) (cqp pe) admissvel L L com admissvel 500 a 1000 (dependente da utilizao da obra) Critrio da limitao da fendilhao EC2 pargrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhao a considerarTabela 7.1N Valores recomendados para wmx (mm)
Classe de exposio
Elementos de beto armado ou presforado (p.e. no aderente) Comb. quase-permanente de aces
Elementos de beto pr-esforado (p.e. aderente) Combinao frequente de aces 0.2 0.2(1)
X0, XC1 XC2, XC3, XC4 XD1, XD2, XS1, XS2, XS3(1)
0.4
0.3
Descompresso
Dever tambm verificar-se a descompresso para a combinao quase-permanente de aces
A segurana em relao ao estado limite de descompresso considera-se satisfeita se, nas seces do elemento, a totalidade dos cabos de pr-esforo se situar no interior da zona comprimida e a uma distncia de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m relativamente zona traccionada, para estruturas de edifcios ou pontes, respectivamente. Na prtica, ser prefervel assegurar que nas seces do elemento no existem traces ao nvel da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por efeito dos esforos actuantes, com excluso do pr-esforo.MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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EXERCCIO PE1
Considere a viga indicada na figura seguinte.
Parbola
Parbola
Parbola
Parbola
Recta
A
B
C
D
e1 = 0.15 8.00
e2 = 0.38 8.00
e3 4.00
e4 = -0.22 e5 1.00 4.00
e6 = -0.10
Seco Transversal da Viga:1.50
Propriedades geomtricas da seco: A = 0.61 m0.202 4
I = 0.0524 m
0.37
0.50 0.53 0.20 0.30 0.80
Materiais:C30/37 A400NR A1670/1860 (baixa relaxao)
Considere que a viga se encontra submetida s seguintes aces:Q
q pp + rcp
-
Cargas permanentes (g = 1.35): sobrecargas (q = 1.5; 1 = 0.6; 2 = 0.4):
pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m q = 20 kN/m e Q = 100 kN
Nota: q e Q actuam em simultneo
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a) Determine o diagrama de tenses na seco B para a combinao de aces quase permanentes e para uma fora de pr-esforo de 1000 kN. b) Qual o valor de P que seria necessrio para garantir a descompresso para a combinao quase permanentes de aces, nas seces B e C? c) Qual o valor de P que seria necessrio para garantir a condio c < fctk para combinao frequente de aces nas seces B e C? d) Determine as equaes que definem o traado do cabo representado na figura. e) Represente as cargas equivalentes do pr-esforo para uma fora de pr-esforo de 1000 kN. f) Qual o valor de P que seria necessrio para contrariar 80% de deformao mxima para a combinao de aces quase-permanentes? g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a fora de puxe. Admita: P = 0.86 P0 e P0 = 0.90 P0. Admita que os cabos so tensionados a 0.75 fpk. h) Calcule o valor das perdas instantneas (atrito, reentrada de cunhas e deformao instantnea do beto) e o alongamento previsto dos cabos. i) Calcule as perdas diferidas (fluncia e retraco do beto, e relaxao das armaduras). j) Calcule a rea de armadura ordinria longitudinal de modo a garantir a segurana em relao ao estado limite ltimo de flexo. l) Calcule a rea de armadura transversal. m) Verifique a segurana na zona das ancoragens.
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RESOLUO DO EXERCCIO PE1
ALNEA A)
1. Determinao dos esforos para a combinao de aces quase-permanentes pcqp = cp + 2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4 20 = 38 kN/m Qcpq = 2 Q = 0.4 100 = 40 kNQcqp
p cqp20.00 5.00
R1 DEV [kN] 346.3 (+) (-)
R2 230.0 (+) 40.0
413.8 DMF [kNm]8.00
675.0 (-) (+) 1554.0
MC = 0 R1 20 + 38 20 10 40 5 38 5 2.5 = 0 R1 = 346.3 kN R2 = 38 (20 + 5) + 40 346.3 = 643.8 kN 2. Clculo das tenses na seco B
(i) Caractersticas geomtricas da seco B
1.50
A = 0.61 m
2
I = 0.0524 m0.37
2
G0.38 0.53
I 0.0524 3 winf = v = 0.53 = 0.09886m inf I 0.0524 3 wsup = v = 0.37 = 0.1416m sup
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(ii) Diagramas de tenses na seco B devidas cqp e ao pr-esforoPxe P/A
M cqp
(+) M cqp P (-) + (-) +
(-)
(+)
P Pe Mcqp 1000 1000 0.38 1554 inf = - A - w + w = - 0.61 - 0.09886 + 0.09886 = 10.2MPa inf inf P P e Mcqp 1000 1000 0.38 1554 sup = - A + w = - 0.61 + - 0.1416 = - 9.9MPa 0.1416 wsup sup
ALNEA B)
1. Seco BP/A Pxe
MB
(+) MB P (-) + (-) +
(-)
(+)
inf < 0 -
P P e MB P P 0.38 1554 + w < 0 - 0.61 - 0.09886 + 0.09886 < 0 A w
P > 2866.8 kN
2. Seco CP/A P MC (-) + (+) Pxe
MC
(-) + (-)
(+)
P P e MC P P 0.22 675 sup < 0 - A + w < 0 - 0.61 - 0.1416 + 0.1416 < 0 w P > 1492.9 kN P > 2866.8 kNMDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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ALNEA C)
1. Determinao dos esforos para a combinao de aces frequente pfr = cp + 1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6 20 = 42 kN/m Qfr = 1 Q = 0.6 100 = 60 kNQfr
pfr20.00 5.00
R1
R2
DMF [kNm]
8.00
825.0 (-) (+) 1686.0
MB = 0 R1 20 + 42 20 10 60 5 42 5 2.5 = 0 R1 = 378.8 kN R2 = 42 (20 + 5) + 60 378.8 = 731.3 kN 2. Seco B P P e MB P P 0.38 1686 + w < fctk - 0.61 - 0.09886 + 0.09886 < 2 103 inf < fctk - A w P > 2745.6 kN 3. Seco C P P e MC P P 0.22 825 sup < fctk - A + w < fctk - 0.61 - 0.1416 + 0.01416 < 2 103 w P > 1198.3 kN P > 2745.6 kN
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6. Caractersticas dos traados parablicos6.1. EQUAO DA PARBOLA
Equao geral da parbola: y = ax2 + bx + c (para determinar os parmetros a, b e c necessrio conhecer 3 pontos)
x1 y1 y2 y3
x3
x2
Caso se utilize um referencial local: 1) y = ax2 + c (y (0) = 0 b = 0)
x
y2)
y
y = ax2 (y (0) = 0 b = 0 e y (0) = 0 c = 0)
x
Determinao do parmetro aL/2 L/2
tg =
2f 4f = L/2 L ou
f f
4f i) y (- L/2) = 2a L/2 = tg a = L2 L 4f ii) y (L/2) = f a 2 = f a = L2 2
Determinao da curvatura da parbola 8f 1 = - y" (L/2) = 2a = L2 RMDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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6.2. DETERMINAO DO PONTO DE INFLEXO ENTRE DOIS TROOS PARABLICOS
f2 e1 f 1 L1 L2
e2
O ponto de inflexo do traado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo, f1 e1 + e2 L1 L1 = L1 + L2 f1 = L1 + L2 (e1 + e2)
e
f2 = (e2 + e1) f1
6.3. DETERMINAO DO PONTO DE CONCORDNCIA TROO PARABLICO TROO RECTO
ef f
L1 L2
e-f e+f tg = L = L 1 2
(e f) L2 = (e + f) L1 e L2 f L2 = e L1 + f L1 e (L2 - L1) L1 + L2
f L1 + f L2 = e L2 e L1 f (L1 + L2) = e (L2 L1) f =
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7. Cargas equivalentes de pr-esforoA aco do pr-esforo pode ser simulada atravs de cargas cargas equivalentes de pr-esforo. 7.1. ACES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAO EM QUE SE APLICA A TENSO NOSCABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES)
Foras nas ancoragens; Foras radiais e tangenciais uniformemente distribudas, exercidas pelo beto.
7.2. ACES EXERCIDAS SOBRE O BETO
Foras nas ancoragens; Foras radiais e tangenciais uniformemente distribudas iguais e directamente opostas s que o beto exerce sobre o cabo.
7.3. DETERMINAO DAS CARGAS EQUIVALENTES
7.3.1. Zona das ancoragensP tg P
e
P Pe
Nota: tg sen e cos 1MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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7.3.2. Traado parablico
Considere-se o seguinte troo infinitesimal de cabo de pr-esforo, e as aces que o beto exerce sobre este,
d
d 1 ds = R d ds = RR
d d P 2 + (P + dP) 2 = q* ds P d P d = q* ds q* = P ds ou q* = RP+dP
P d/2
q* ds
ds
Notas: d d d d - ngulo muito pequeno sen 2 2 tg 2 e cos 2 1; - consideram-se desprezveis as componentes horizontais das foras de desvio.
Para um cabo com o traado parablico ilustrado,L/2 L/2
d 2f 4f 8f tg = 2 = L/2 = L d = L ds L A partir de (1) e (2), obtm-se d 8f ds = L2 q* = 8fP L2
(1) (2)
f f
7.3.3. Traado poligonal
f
L1
Q*
f tg = L 1
Q* q* sMDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
f Q* = q* s = P tg = P L 1 Q* = P tg
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Estruturas de Beto II
RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONTINUAO)
ALNEA D)
Parbola 1
Parbola 2
Parbola 3
Parbola 4
Recta
e1 = 0.15 8.00
e2 = 0.38 8.00 4.00
e4 = -0.22 1.00 4.00
e6 = -0.10
(i) Parbola 1 y = ax2y 0.23 x
8.00
y(8) = 0.23 a 82 = 0.23 a = 3.59375 10-3 y(x) = 3.59375 10-3 x2
(ii) Parbola 2 1. Determinao das coordenadas do ponto de inflexo
x 8.00 12.00
0.6
12 0.6 8 = x x = 0.4 2. Determinao da equao da parbola8.00 y 0.4 x
y = ax2 y (8) = 0.4 a = 6.25 10-3 y (x) = 6.25 10-3 x2
MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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Estruturas de Beto II
(iii) Parbola 3x 0.2 4.00 y
y = ax2 y (4) = 0.2 a = 0.0125 y (x) = 0.0125 x2
(iv) Parbola 4 e troo rectox 0.12 y 1.00 4.00 x y
1. Determinao das coordenadas do ponto de concordnciay (1) = tg = 2 f f f
1.0
tg =
0.12 + f 5 0.12 + f 10 f = 0.12 + f f = 0.01333 m 5
2f=
2. Determinao das equaes da parbola e do troo recto Parbola 4: y (1) = 0.01333 y (x) = 0.01333 x2 Troo recto: y = mx + b = 2 0.01333 x y (x) = 0.02667 x
ALNEA E)
1. Clculo das cargas equivalentes uniformemente distribudas (considerando P = 1000 kN) q= 8 f P L2Parbola 1 2 3 4 f (m) 0.23 0.4 0.2 0.0133 L (m) 16 16 8.0 2.0 q (kN/m) 7.2 12.5 25.0 26.6
MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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Estruturas de Beto II
2. Clculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo
Extremidade Esquerda tg = y (8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575 P tg = 57.5 kN P e = 1000 0.15 = 150.0 kNm Extremidade Direita tg = y (1) = 0.02667 P tg = 26.7 kN P e = 1000 0.10 = 100.0 kNm
25.0 kN/m 57.5 kN 1000 kN 150.0 kNm 8.00 8.00 4.00 7.2 kN/m 12.5 kN/m
26.6 kN/m 100.0 kNm 1.00 4.00 1000 kN 26.7 kN
como curiosidade, Feq = - 57.5 + 7.2 8 + 12.5 8 - 25.0 4 - 26.6 1 + 26.7 0
MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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ALNEA F)
1. Determinao da flecha elstica na viga para a combinao de aces quasepermanentes
Atravs de tabelas de flechas elsticas de vigas contnuas, a deformao a meio vo do tramo apoiado dada por: L2 1 5pL4 = EI + M + M2) 16 ( 1 384
onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e entram na expresso com o sinal de acordo com a conveno da resistncia de materiais.
Deste modo, =4 2 1 5 38 20 + 20 (0 - 675.0) = 0.036 m 384 16 3310 0.0524 6
2. Determinao da flecha elstica na viga para o efeito do pr-esforo
A flecha elstica para o efeito de pr-esforo pode ser obtida considerando a actuao das cargas equivalentes ao pr-esforo na viga. Deste modo, para P = 1000 kN (cargas equivalentes calculadas na alnea anterior), obteve-se a seguinte deformada: = 0.010 m
3. Determinao da fora til de pr-esforo necessria para contrariar 80% da deformao mxima para a combinao de aces quase-permanentes pe = 0.8 cqp = 0.8 0.036 = 0.029 m P = 1000 0.029/0.010 = 2900 kN
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8. Valor da fora de pr-esforo
8.1. FORA MXIMA DE TENSIONAMENTO
De acordo com o EC2, a fora mxima a aplicar num cabo de pr-esforo dada pela seguinte expresso Pmx = Ap p,mx onde, p,mx = min (0.8 fpk; 0.9 fp0,1k) e representa a tenso mxima a aplicar aos cordes.
8.2. PERDAS DE PR-ESFORO
Perdas instantneas (8% 15%) Ps-tenso
Perdas por atrito Perdas por reentrada de cabos Perdas por deformao instantnea do beto
Pr-tenso
Relaxao da armadura at betonagem Escorregamento nas zonas de amarrao Deformao instantnea do beto
Perdas diferidas (12% 15%)
Perdas por retraco do beto Perdas por fluncia do beto Perdas por relaxao da armadura8% 15% 12% 15%
P0 ( fora de tensionamento) P0 P P0 fora de pr-esforo aps perdas imediatas P fora de pr-esforo til ou a tempo infinitoMDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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8.2.1. Perdas por Atrito
d
P d/2
q* ds
(Fa = N)P+dP
q* ds = P d
q* ds = P dds
Por equilbrio de foras horizontais, dP P P dP P d = 0 dP = P d P = d 0 dP = - d Log P0 - Log P0' = - Log P ' = 0 P0 ' P 0
P0
1
P
P0 P ' = e- P0 = P0 e- 0 Para uma seco genrica distncia x da extremidade de tensionamento, P0 (x) = P0 e-(+kx) onde, representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20); representa a soma dos ngulos de desvio; k representa o desvio angular parasita (valor mximo 0.01 m-1; geralmente 0.004 a 0.005m-1), que tem em considerao eventuais desvios no posicionamento dos cabos de pr-esforo. Esta expresso tambm pode aparecer com a forma, P0 (x) = P0 e-( + kx) (neste caso k = k e representa o coeficiente de atrito em recta)
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8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)P
P0'
P
P0(x)
L
x
L comprimento de reentrada das cunhas ( 6mm) comprimento at onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas Admitindo que o diagrama de perdas por atrito aproximadamente linear (cabo com curvatura aproximadamente constante), L = dx = 0
1 Ep dx = Ep Ap 0 P dx Adiagrama = L Ep Ap 0
P = L Ep Ap 2 P 2 = p P = 2 p
(1)
Como
(2)
onde p representa a perda de pr-esforo por atrito, por metro (declive do diagrama) Substituindo (2) em (1) obtm-se, 2p = L Ep Ap = 2 8.2.2.1. Casos particulares L Ep Ap p
(i) Cabo sem perdas por atrito, (em pr-esforo exterior, p.ex.)P
P0 '
L Ep Ap
P L = L Ep Ap P = L Ep Ap L
P
L comprimento do caboLMDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
x
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(ii) Se > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de presforo mais condicionante)P
P0'
L E p A ppL
PLpLL=LEpAp P = L Ep Ap + pL L
P
L comprimento do caboL x
8.2.3. Perdas por deformao instantnea do beto
A perda de fora de pr-esforo mdia por deformao instantnea (ou elstica) do beto, em cada cabo, pode ser calculada atravs da seguinte expresso: Pel = Ap Ep onde, Ecm(t) representa o mdulo de elasticidade do beto data da aplicao do presforo; j = (n-1) / 2n , onde n representa o n de cabos de pr-esforo idnticos, tensionados sucessivamente, existentes na mesma seco transversal; c(t) representa a tenso no beto, ao nvel do centro de gravidade dos cabos de pr-esforo, para a totalidade do efeito do pr-esforo (aps perdas por atrito e reentrada das cunhas) e de outras aces permanentes actuantes.
j E(t)(t) c cm
8.2.4. Clculo do alongamento terico dos cabos de pr-esforo
L = dz = L
0
dz = A E P dz 0 Ap Ep p p 0
L
P
1
L
Paps atrito [kN]
P0 ' Paps at. (L)
L
P0' + Paps atrito (L) L 2 Ap Ep
L
x [m]
Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tenso instalada nos cabos.MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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ALNEA G)
P = 2866.8 kN (valor resultante da verificao da descompresso) P 2866.8 P0 = 0.86 = 0.86 = 3333.5 kN P0 = P0 3333.5 = = 3703.9 kN 0.9 0.9 P0' 104 = 26.6 cm2 0.75 1860 103
P0' = 0.75 Fpk Ap =
Ap 26.6 n de cordes = A = 1.4 = 19 cordes 2 cabos de 10 cordes de 0.6" cordo P0 = 10 2 1.4 10-4 1860 103 0.75 = 3906 kN
ALNEA H)
1. Clculo das perdas por atrito P0 (x) = P0 e- ( + kx)1 Parbola 1
(Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)2 Parbola 2 3 Parbola 3 4 5 Par. 4 6 Recta
e1 = 0.15 8.00
e2 = 0.38 8.00
e3 = -0.02 4.00
e4 = -0.22 e5 = -0.21 1.00 4.00
e6 = -0.10
Clculo dos ngulos de desvio
(i) Parbola 1 y(8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575 (ii) Parbola 2 y(8) = 6.25 10-3 2 8 = 0.1
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(iii) Parbola 3 y(4) = 2 0.0125 4 = 0.1 (iv) Parbola 4 y(1) = 2 0.01333 = 0.02666 (rad) 0 0.0575 0.1575 0.2575 0.2842 0.2842
Seco 1 2 3 4 5 6
x (m) 0 8 16 20 21 25
Paps atrito (kN) 3906.0 3836.7 3736.7 3651.0 3628.7 3617.1
% perdas 0 1.8 4.3 6.5 7.1 7.4
2. Clculo das perdas por reentrada das cunhas (i) Determinao do comprimento de reentrada das cunhas () 1 Iterao4000 3800 3600 3400 3200 3000 0 5 10 15 20 25
Fora de pr-esforo ao longo do cabo, aps perdas por atrito
x = 8.0m p = =
3906 - 3836.7 = 8.66 kN/m 8 0.006 195 106 20 1.4 10-4 = 19.4 m 8.66
L Ep Ap = p
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2 Iterao4000 3800 3600 3400 3200 3000 0 5 10 15 20 25
x = 20.0m p =
3906 - 3651 = 12.75 kN/m (admitindo que a perda por atrito 20 aproximadamente linear)
=
0.006 195 106 20 1.4 10-4 = 16.03 m 12.75
(ii) Determinao das perdas por reentrada das cunhas
P = 2p = 2 12.75 16.03 = 408.8 kN
408.8 204.8 0 8 0.8 16 16.03
408.8 16.03 = 8.03 x = 204.8 kN x 408.8 16.03 = x = 0.8 kN x 0.03
Seco 1 2 3 4 5 6
x (m) 0 8 16 20 21 25
Paps atrito (kN) 3906.0 3836.7 3736.7 3651.0 3628.7 3617.1
Preentrada(kN) 408.8 204.8 0.8 0 0 0
Paps reentrada (kN) 3497.2 3631.9 3735.9 3651.0 3628.7 3617.1
% perdas 10.5 7.0 4.4 6.5 7.1 7.4
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3. Clculo das perdas por deformao instantnea do beto
Admitindo que o pr-esforo aplicado aos 28 dias,
Ecm(t = 28) = 33 GPa ; Ep = 195 GPa j E(t)(t) = A E n2n1 (t) E (t)c c cm p p cm
Pel = Ap Ep
Seco 2
15.25
Mpp = 656 kNmM pp8.00 143.0
Mpe = P e = 3631.9 0.38 = 1380.1 kNm
M pp v I (-) + (+)
P/A
M pe v I (+)
(-)
+ (-)
c =
Mpp v P Mpe v 656 0.38 3631.9 1380.1 0.38 - A = 0.0524 - 0.61 = - 11.2 MPa I I 0.0524 2-1 11.2 =46.3 kN 22 33103
Pel = 20 1.410-4 195106
P0 (seco 2) = 3631.9 46.3 = 3585.6 kN % perdas 8.2% 4. Clculo do alongamento terico dos cabos
1 1 3906 + 3617.1 L L = A E P dx 25 = 0.172m -4 6 0 2 28 10 195 10 p p
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8.2.5. Perdas por retraco do beto P = Ep cs P = Ep Ap cs Ap
= Ep cs
cs extenso de retraco do beto ( 3.0 10-4)
8.2.6. Perdas por fluncia do beto c c Ecm
c =
P Ep c c Ap Ep c c = Ep c A = P = Ecm Ecm p c tenso ao nvel do cabo de pr-esforo, devido s cargas permanentes e ao efeito do pr-esforo (considerando a fora de pr-esforo aps perdas imediatas).
8.2.7. Perdas por relaxao da armadura
Em armaduras de alta resistncia, as perdas a longo prazo devidas relaxao so da ordem de: Aos de relaxao normal P < 15% Aos de baixa relaxao P < 6% Aos de muito baixa relaxao P = 2 a 4% Segundo o EC2 e para efeitos da caracterizao da relaxao, as armaduras de alta resistncia agrupam-se em trs classes: Classe 1: ao em fio ou cordo, com relaxao normal (1000 = 8%) Classe 2: ao em fio ou cordo, com baixa relaxao (1000 = 2.5%) Classe 3: ao em barra (1000 = 4%) O parmetro 1000 representa a perda por relaxao s 1000 horas, de um provete tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20C.MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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Estruturas de Beto II
A perda de tenso por relaxao pode ser calculada atravs das seguintes expresses, consoante a classe da armadura:0.75 (1-)
(i) (ii) (iii)
t Classe 1: pr = 0.8 5.39 1000 e6.7 1000 t Classe 2: pr = 0.8 0.66 1000 e9.1 1000 t Classe 3: pr = 0.8 1.98 1000 e8 1000
pi 10-50.75 (1-)
pi 10-5 pi 10-5
0.75 (1-)
onde, pi representa a tenso instalada nas armaduras de pr-esforo aps perdas imediatas; t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de pr-esforo por relaxao (poder considerar-se t = 500000 horas 57 anos); = pi / fpk
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RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONT.)
ALNEA I)
1. Perdas por retraco do beto Considerando cs = - 3.0 10-4, P = Ep Ap cs = 195 106 28 10-4 3.0 10-4 = 163.8 kN
2. Perdas por fluncia do beto Seco 2 Considerando c = 2.5 P = Ap Ep c c 28 10-4 195 106 6.4 103 2.5 = = 264.7 kN Ecm 33 106
Clculo de c15.25+14.75=30
Mcp8.00 281.3
Mcp = 1290 kNm Mpe = 3585.6 0.38 = 1362.5 kNm
c =
Mcp v P Mpe v 1290 0.38 3585.6 1362.5 0.38 - A = - 0.61 = - 6.40 MPa I I 0.0524 0.0524
3. Perdas por relaxao das armaduras Seco 2 Para ao em fio ou cordo com baixa relaxao, 1000 = 2.5%. t pr = 0.8 0.66 1000 e9.1 1000 = 0.8 0.66 2.5 e9.1 0.69 0.75 (1-)
pi 10-5 =0.75 (1-0.69)
500000 1000
1280.6 10-5 = 38.2MPa
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Estruturas de Beto II
pi =
3585.6 = 1280.6MPa 28 10-4
1280.6 pi = f = 1860 = 0.69 pk
Ppr = 38.2 103 28 10-4 = 107.0 kN Pp,r+s+c = 163.8 + 264.7 + 107.0 = 535.5 kN Pseco 2 = 3585.6 535.5 = 3050 kN % perdas diferidas 14.9%
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Estruturas de Beto II
9. Verificao da Segurana aos Estados Limite ltimos9.1. ESTADO LIMITE LTIMO DE FLEXO
9.1.1. Pr-esforo do lado da resistncia
Pelo mtodo do diagrama rectangular simplificado, Msd = g Mg + q Mq0.85fcd x LN 0.8x Msd Ap As b Fp Fs Fc
Fc = 0.85 fcd 0.8 x b Fp = Ap fpd = Ap Fs = As fyd fp0,1k 1.15
Atravs das equaes de equilbrio, (i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd x = ...) (ii) Equilbrio de foras ( F = 0 Fc = Fp + Fs As = ...) Nota: No caso do cabo ser no aderente (monocordo, p.ex.) P fpd = p = A p
9.1.2. Pr-esforo do lado da aco
Pelo mtodo do diagrama rectangular simplificado, Msd = g Mg + q Mq + Mpe0.85fcd x LN 0.8x P e Ap As b Msd Fc
Fc = 0.85 fcd 0.8 x b P Fp = Ap (fpd - p) = Ap fpd - A p Fs = As fyd
FpFs
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Estruturas de Beto II
Atravs das equaes de equilbrio, (i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd - P e x = ...) (ii) Equilbrio de foras ( F = P Fc = Fp + Fs + P As = ...)
Nota: No caso do cabo ser no aderente (monocordo, p.ex.) (fpyd - p) = 0 Fp = 0 Determinada a posio da linha neutra (x), necessrio definir o diagrama de extenses na rotura e verificar se as tenses nas armaduras ordinrias e de pr-esforo so as de clculo.
cx LN
Ap As b
p s
p0
p = p + p0, com p0 =
P Ap Ep
Se algum cabo no atingir a tenso de clculo fpyd, ser necessrio adoptar um mtodo iterativo (mtodo geral)
cx LN
c (c)M N
Ap As b
p s
p0
p (p0 + p) s (s)
Por exemplo, determina-se x tal que N 0. Ento M = MRd.
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Estruturas de Beto II
9.2. ESTADO LIMITE LTIMO DE ESFORO TRANSVERSO Vsd - P sen Asw = s z cotg fyd Vsd - P sen fck 0.6 1 f 250 cd z bw sen cos
(i) Clculo da armadura transversal:
(ii) Verificao da tenso de compresso: c =
(iii) Considerao do efeito do esforo transverso nas armaduras longitudinais (no apoio As fyd V cotg 1) Notas:
Para elementos comprimidos (caso de elementos pr-esforados) 20 a 26; Caso o somatrio do dimetro das bainhas de pr-esforo existentes num determinado nvel seja superior a 1/8 da largura da seco a esse nvel, deve considerar-se a largura a esse nvel reduzida de metade da soma dos dimetros das bainhas.
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Estruturas de Beto II
RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONT.)
ALNEA J) psd = 1.35 (15.25 + 14.75) + 1.5 20 = 70.5 kN/m Qsd = 100 1.5 = 150 kN150
70.5 A R120.00
C R2
5.00
MC = 0 - R1 20 + 70.5 25 7.5 150 5 = 0 R1 = 623.4 kN MB = 2731.5 kNm Seco B 1. Clculo da armadura de flexo pelo mtodo do diagrama rectangular
Hiptese: LN no banzo da seco1.50 0.85f cd LN 0.8x Fc
Msd Fp Fs
fp0,1k 1670 Fp = Ap 1.15 = 28 10-4 1.15 103 = 4066.1 kN Fs = As fyd = As 348 103 Fc = 1.5 0.8x 0.85 20 103 = 20400x
(i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd) Fc (0.85 0.4x) Fp 0.10 = Msd 20400x (0.850.4x) = 2731.5 + 4066.1 0.10 x = 0.20 m Fc = 20400 0.20 = 4080 kNMDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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(ii) Equilbrio de foras ( F = 0) Fc Fp Fs = 0 4080 4066.1 As 348 103 = 0 As = 0.4 cm2 (iii) Verificao da hiptese de cedncia das armaduras
cLN 0.20
p sHiptese: c = 3.5
p0
Determinao da extenso ao nvel das armaduras ordinrias s 3.5 0.85 - 0.20 = 0.20 s = 11.4 Como s, mx = 10 s = 10 e c < 3.5 c 10 = 0.20 c = 3.08 0.85 - 0.20
Determinao da extenso ao nvel das armaduras de pr-esforo p 3.08 0.75 - 0.20 = 0.20 p = 8.5 P 3050 p0 = A E = = 5.6 2810-4 195106 p p fpyd 1670 / 1.15 p = p0 + p = 14.1 > pyd = E = = 7.4 195103 p
2. Clculo da armadura pelas tabelas de flexo simples (mtodo aproximado) Hiptese: deq dp = 0.75 m Msd 2731.5 = b d2 f = = 0.162 = 0.181 ; As,tot = 117.3 cm2 1.5 0.752 20 103 cd 1670 As = As,tot Asp, eq = 117.3 28 400 = 0.4 cm2 deq 0.75 20 1.4 1670 + 0.4 0.85 400 = 0.75 m 20 1.4 1670 + 0.4 400 39
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ALNEA L)150
70.520.00 5.00
623.4 DEV [kN] 623.4 (+) (-) DEVp [kN](- )
1289.1 502.5 (+) 150
786.6 286.4 (+)(-)
164.8 DEV total 458.6 [kN] (+) (-)
76.5
76.5
502.5 355.5 (+) 73.5
786.6
Notas: - O diagrama de esforo transverso devido ao pr-esforo foi obtido considerando P = 2866.8 kN; - Para a verificao da segurana ao esforo transverso utiliza-se DEVtotal Apoio A = 25 z cotg = 0.9 0.85 cotg 25 = 1.64m Vsd (z cotg ) = 458.6 49.9 1.64 = 376.8 kN Considerando dois cabos de 10 cordes cujas bainhas tm 80 mm de dimetro cada, bainha balma 0.30 = 8 = 0.038 m bw =0.30 0.16 / 2 = 0.22 m 8
1. Clculo da armadura transversal
Asw Vsd 376.8 4 2 s = z cotg fyd = 1.64 348 103 10 = 6.6 cm /m
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2. Verificao da tenso de compresso nas bielas inclinadas
c =
Vsd 376.8 = = 5845.2 kN/m2 5.8 MPa z bw sen cos 0.90.850.22sen 25cos 25 fck 30 f = 0.6 1 20 103 = 10560 kN/m2 = 10.6MPa 250 cd 250
0.6 1 -
3. Clculo da armadura longitudinal no apoio de extremidade Vsd cotg 1 458.6 cotg 30 = 104 = 22.8 cm2 fyd 348 103
As fyd = V cotg 1 As =
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10. Verificao da segurana nas zonas das ancoragensNas zonas de vizinhana da actuao de cargas concentradas no so vlidas as hipteses da resistncia de materiais para peas lineares: a fora concentrada transmitida ao beto sob a forma de tenses elevadas distribudas na superfcie da placa de distribuio da carga, existindo uma zona de regularizao entre a seco de aplicao da carga e aquela em que as tenses se distribuem linearmente. Nesta zona, devido trajectria das tenses principais de compresso, surgem foras de traco nas direces transversais. Deste modo, a verificao da segurana nas zonas das ancoragens consiste em limitar as tenses de compresso localizadas no beto e dimensionar armaduras para absoro das foras de traco que surgem devido aco da carga concentrada.
10.1. VERIFICAO DA SEGURANA AO ESMAGAMENTO DO BETO
Imediatamente sob a zona de aplicao da carga concentrada surgem tenses de compresso na direco transversal. Este facto permite aumentar o valor das tenses admissveis a considerar na verificao da presso local no beto, desde que o mesmo esteja correctamente confinado.
De acordo com o EC2 (pargrafo 6.7), o valor resistente da fora concentrada, aplicada com uma distribuio uniforme numa determinada rea Ac0, pode ser determinado atravs da expresso: FRdu = Ac0 fcd onde, Ac0 representa a rea sobre a qual se exerce directamente a fora (rea da placa de ancoragem); Ac1 representa a maior rea homottica a Ac0, contida no contorno da pea, com o mesmo centro de gravidade de Ac0 e cuja dimenso dos lados no pode exceder em trs vezes a dimenso dos lados correspondentes de Ac0. No caso da existncia de vrias foras concentradas, as reas correspondentes s vrias foras no se devem sobrepor. Ac1 Ac0 3.0 fcd Ac0
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Dado que, em geral, a aplicao do pr-esforo efectuada antes do beto atingir a idade de 28 dias, o valor de fcd deve ser substitudo por fck,j / c, representando fck,j o valor caracterstico da tenso de rotura compresso aos j dias.
10.2. DETERMINAO DAS ARMADURAS DE REFORO NA ZONA DAS ANCORAGENS
De acordo com o pargrafo 8.10.3 do EC2, a avaliao das foras de traco que surgem devido aplicao de foras concentradas deve ser efectuada recorrendo a modelos de escoras e tirantes. A armadura necessria dever ser dimensionada considerando uma tenso mxima de 300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controle da fendilhao, e tem em conta a dificuldade de garantir uma boa amarrao. 10.2.1. Modelos de escoras e tirantes
Os modelos de escoras e tirantes (strut-and-tie models) identificam os campos de tenses principais que equilibram as aces exteriores, correspondendo as escoras aos campos de tenses de compresso e os tirantes aos de traco. Estes modelos aplicam-se na anlise e dimensionamento de zonas de
descontinuidade, como o caso das zonas de ancoragem de cabos ps-tensionados (zonas de aplicao de cargas localizadas). Para a sua elaborao torna-se necessrio conhecer o comportamento elstico da zona estrutural em anlise, por forma a escolher o sistema que corresponde menor energia de deformao, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes, sendo assim necessria menor quantidade de armadura. H tambm que entrar em linha de conta com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforos de traco e, consequentemente a sua orientao corresponder dos tirantes, esta dever ser a mais conveniente do ponto de vista construtivo.
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10.2.2. Tenses de traco a absorver
10.2.2.1. Caso de uma s ancoragem
Atravs do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, possvel obter o valor da fora de traco.P/2 P/2 P/2 P/2
De acordo com o Eurocdigo 2, a fora de traco para a qual as armaduras devem ser dimensionadas, dada pela expresso: a0 Ft1sd = 0.25 Fsd 1 - a (com Fsd = 1.35 P0) 1 onde, a1 = 2b, sendo b a dimenso, segundo a direco considerada, da menor distncia entre o eixo da ancoragem e a face exterior do beto; a0 representa a dimenso segundo a direco considerada, da placa da ancoragem.
10.2.2.1.1. Disposio das armaduras
As armaduras devem, em cada direco, ficar contidas num prisma de aresta a1 e ser repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a1 e a1, tendo em considerao que a resultante se situa cota 0.4a1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a1.
F
a1
b a0 0.1a1 a1MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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A cada nvel, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual dimenso correspondente da maior rea delimitada por um contorno fictcio contido no contorno da pea, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direco normal direco considerada. No caso da ancoragem se encontrar fora do ncleo central da seco (ancoragem excntrica), alm das armaduras j indicadas, deve dispor-se uma armadura junto superfcie do elemento, destinada a absorver na direco em causa uma fora de traco, como em baixo se ilustra
Ft = Fc2
Fc2
eP
Fc1 = P
O valor da fora de traco pode ser obtido atravs da expresso: Ft0sd = Fsd e
a
-
1 (com Fsd = 1.35 P0) 6
10.2.2.2. Caso de vrias ancoragens
10.2.2.2.1. Ancoragens muito prximas
Um grupo de ancoragens muito prximas pode ser tratado considerando uma s ancoragem equivalente, sendo vlidos os princpios indicados no ponto anterior. Deve no entanto verificar-se a segurana para a actuao de cada fora, isoladamente. As reas de influncia a considerar so as seguintes:rea de influncia para uma ancoragem individual F F F
rea de influncia do grupo de ancoragensMDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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10.2.2.2.2. Ancoragens muito afastadas
No caso de duas foras concentradas afastadas entre si de uma distncia superior distncia entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de tenses normais, surgem foras de traco junto face de aplicao das cargas, como se indica:P P
P P
Deste modo, alm das armaduras necessrias para cada ancoragem individual, deve dispor-se uma armadura junto face do elemento, na direco em causa, destinada a absorver uma fora de traco igual a 0.2P.
de notar que desde que existam vrios cabos, estes no so pr-esforados simultaneamente, variando os esforos locais ao longo das operaes de pr-esforo. O plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforos momentneos exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta que podem existir estados provisrios mais desfavorveis do que o que surge no sistema final. 10.2.2.3. Aspectos particulares em estruturas pr-esforadas
10.2.2.3.1. Ancoragens interiores
No caso de uma ancoragem interior, alm das tenses transversais atrs mencionadas, surgem traces longitudinais atrs da ancoragem como resultado da deformao local do beto. A resultante das tenses de traco depende da relao entre a dimenso da zona carregada e a largura da difuso dos efeitos localizados.
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Considerando uma anlise elstica que assuma igual rigidez do beto atrs e frente da ancoragem, a fora de traco deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a experincia mostra que a fora de traco longitudinal pode ser considerada igual a P/4 pois, devido fendilhao, a rigidez do beto atrs da ancoragem diminui, diminuindo tambm a tenso instalada. Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com um comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da seco.CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL
10.2.2.3.2. Foras de desvio
Sempre que um cabo de pr-esforo muda de direco, so introduzidas foras radiais no beto quando o cabo tensionado. Estas foras radiais actuam no plano de curvatura e tm uma intensidade igual ao quociente entre a fora de pr-esforo e o raio de curvatura. Embora estas foras sejam na generalidade das situaes muito teis, podem no entanto causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do beto. Nos casos em que os cabos estejam junto face das peas e a sua curvatura provoque foras de desvio dirigidas para o exterior necessrio dimensionar armadura transversal para a absoro destas foras, devendo ser disposta em toda a zona em que actuem, como se indica na planta abaixo.
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10.2.2.4. Disposies Construtivas
Nas zonas de aplicao de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposio de armaduras em vrias camadas, constitudas por vares de pequeno dimetro. Estas armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a disperso dos efeitos localizados. A soluo geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais ramos, como se exemplifica a seguir.PORMENOR TRANSVERSAL
PORMENOR LONGITUDINAL
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No caso em que a carga actue fora do ncleo central, as armaduras dimensionadas para este efeito devem ser dispostas junto face do beto ao longo de toda a sua dimenso e convenientemente amarradas, com a disposio indicada.PORMENOR LONGITUDINAL PORMENOR TRANSVERSAL
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RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONTINUAO)
ALNEA M)
Extremidade do lado esquerdo
0.37
0.30 0.38 0.23
0.30
Fora de puxe: P0 = 10 1.410-4 1860103 0.75 = 1953 kN 1. Verificao da presso local do beto
(i) Determinao da resistncia do beto necessria data da aplicao do presforo (considerando a geometria inicial da viga) FRdu = 1.35 P0 = 1.35 1953 = 2636.6 kN FRdu = Ac0 fcd Ac1 FRdu 2636.6 Ac0 fcd = Ac0 Ac1 / Ac0 = 0.252 0.32 / 0.252 = 35155 kPa
fck = 35155 1.5 = 52.7 MPa
(ii) Determinao da resistncia do beto necessria data da aplicao do presforo (considerando um espessamento da alma da viga junto s extremidades)
0.33
0.38 0.38 0.19
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fcd =
Ac0
FRdu 2636.6 = = 27754 kPa 0.252 0.382 / 0.252 Ac1 / Ac0
fck = 27754 1.5 = 41.6 MPa
2. Clculo das armaduras de reforo na zona das ancoragens
(i) Direco horizontal Ft1sd = 0.25 Fsd 1 -
a0 0.25 247.2 = 0.25 2636.6 1- 0.4 = 247.2 kN As = 30 = 8.24 cm2 a1
(i) Direco horizontal
Tensionamento do primeiro cabo (cabo superior) Ft1sd = 0.25 2636.6 1-
0.25 409.4 = 409.4 kN As = 30 = 13.65 cm2 2 0.33
Ambos os cabos tensionados 0.25 225.5 Ft1sd = 0.25 2636.6 1- 0.38 = 225.5 kN As = 30 = 7.52 cm2
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11. Pr-esforo em vigas com seco varivel11.1. CONSIDERAO DO EFEITO DO PR-ESFORO
Considere-se a viga pr-esforada representada na figura seguinte, bem como os diagramas de momentos flectores e esforo transverso devido ao pr-esforo (diagramas de momentos flectores e esforo transverso isostticos).
e1
e2
DMF pe(-)
P e2 P e1 P tg(+) (-)
DEV pe
P tg
O facto da altura da seco transversal ser varivel, originando diferentes excentricidades dos cabos de pr-esforo ao longo do seu desenvolvimento, mesmo para um traado dos cabos recto, faz com que o diagrama de momentos isostticos no seja constante. Apresentam-se em seguida dois modos de considerar o efeito do pr-esforo entrando em linha de conta com a variao da seco transversal.
1) Modelao da viga atravs da linha do centro de gravidade das seces transversais e considerao das cargas equivalentes de extremidade referentes ao traado dos cabos
P P e1 P e1
P
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2) Modelao da viga sem considerar a variao da linha do centro de gravidade e introduo de cargas equivalentes que traduzem a posio relativa entre o traado dos cabos e a linha do centro de gravidade.P tg P P e1 P e1 2P tg P tg P
Outros exemplos:
1) Linha do centro de gravidade com variao parablica
e1
e2
P P e2 P tg P P e2 P e1 q=P/R P e1 ou
P
P
2)
xG2
xG1
xG2 - xG1
P(xG2 - xG1)
P(xG2 - xG1)
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12. Efeito do pr-esforo em estruturas hiperstticasOs esforos hiperstticos em elementos pr-esforados surgem devido ao facto da estrutura estar impedida de se deformar livremente.
Exemplos
1) Considere-se a seguinte viga pr-esforada.
Caso no existisse o apoio central (sistema base), a deformada da viga seria a abaixo ilustrada.
Devido ao facto do deslocamento vertical a meio da viga estar restringido surgem reaces verticais (reaces hiperstticas), correspondendo a do apoio central fora que seria necessrio aplicar nesse ponto para que o deslocamento fosse nulo.
Apresentam-se em seguida os diagrama de esforo transverso e momentos flectores hiperstticos, bem como o diagrama de momentos flectores isostticos.
DEV hip(+) (-)
DMF hip(+)
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DMF isost(-)
P e
2) Para um traado dos cabos de pr-esforo parablico, o raciocnio semelhante.
Deformada no sistema base
Deformada real
Reaces hiperstticas
Diagramas de esforos hiperstticos
DEV hip(+) (-)
DMF hip(+)
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Diagramas de esforos isostticos
DEV isost(+) (-) (-)
Ptg(+)
DMF isost(-) (+) (-)
Pe
Os esforos hiperstticos devero ser considerados no s no clculo de tenses normais devidas ao pr-esforo, mas tambm para a verificao da segurana aos estados limites ltimos de flexo e esforo transverso .
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EXERCCIO PE2
Considere a viga pr-esforada representada na figura, bem como o diagrama de momentos flectores devido aco do pr-esforo.
14.00 5.00 7.00 2.00 2.00 7.00
14.00 5.00
g, q
1.00 e = 0.188 m 0.20 0.482 0.40 0.60 e = 0.352 m e = 0.10 m
Aces: g = 40 kN/m q = 12 kN/m (1 = 0.4; 2 = 0.2) (g = 1.35; q = 1.5)
Materiais: Beto C30/37 Ao A400NR A1670/18602 4 .
Caractersticas geomtricas da seco transversal da viga: A = 0.44 m ; I = 0.02 m
0.293P 0.1P (-) (+) 5.00 0.354P (-)
a) Calcule e represente as cargas equivalentes ao efeito do pr-esforo para o traado de cabos indicado (constitudo por troos parablicos), considerando uma fora de pr-esforo genrica P.
b) Estime o valor da fora de pr-esforo til necessria para garantir a descompresso da viga, para a combinao quase-permanente de aces. Indique o nmero de cabos e cordes que adoptaria, justificando todos os pressupostos.
c) Calcule as perdas por atrito ao longo da viga considerando que o tensionamento efectuado em ambas as extremidades (adopte =0.20 e k = 0.004 m-1). d) Verifique a segurana ao estado limite ltimo de flexo da viga.MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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RESOLUO DO EXERCCIO PE2
ALNEA A)
Parbola 1
Parbola 2
Parbola 3
e = 0.10 m 5.00
e = 0.352 m 7.00
e = 0.188 m 2.00
1. Clculo das cargas equivalentes uniformemente distribudas q= 8 f P L2Parbola 1 2 3 f (m) 0.252 0.420 0.120 L (m) 10.0 14.0 4.0 q (kN/m) 0.0202 0.0171 0.060
Determinao da coordenada do ponto de inflexo entre as parbolas 2 e 3 x 0.352 + 0.188 = 7 x = 0.42 m 7+2 2. Clculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo 2f 2 0.252 P tg = L P = P = 0.1008 P 5 P e = P 0.10
0.1008 P P 0.10 P
0.060 P 0.0202 P 0.0171 P 7.00 2.00
5.00
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ALNEA B)
1. Determinao dos esforos para a combinao de aces quase-permanente
(i) Diagramas de esforos para uma carga pp
14.00 24.5 p A (+) 5.00 13.75 p (-) B
14.00
(+)
(ii) Momentos flectores para a combinao de aces quase-permanente pcqp = cp + 2 sc = 40 + 0.2 12 = 42.4 kN/m Mcqp,A = 13.75 42.4 = 583.0 kNm ; Mcqp,B = 24.5 42.4 = 1038.8 kNm
2. Verificao da descompresso
(i) Caractersticas geomtricas da seco transversal1.00
0.318 0.80 0.482
A = 0.44 m ; I = 0.020 m
2
2
I 0.020 3 winf = v = 0.482 = 0.0415 m inf I 0.020 3 wsup = v = 0.318 = 0.063 m sup
0.40
(ii) Seco AMpe P/A
MA
(+)
(-)
MA P
(-)
+(-)
+(+)
P Mpe MA P 0.293 P 583 inf = - A - w + w < 0 - 0.44 - 0.0415 + 0.0415 < 0 P > 1505.2 kN inf infMDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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(iii) Seco BMpe P/A P MB(-)
MB
(-)
(+)
+(+)
+(-)
P Mpe MB P 0.354 P 1038.8 sup = - A - w + w < 0 - 0.44 - 0.063 + 0.063 < 0 P > 2089.4 kN P > 2089.4 kN 3. Cabos e cordes a adoptar Considerando 10% de perdas imediatas e 15% de perdas diferidas, P0' = P 2089.4 = = 2731.2 kN 0.90 0.85 0.90 0.85
P0' 2731.2 Ap = - 0.75 f = 104 = 19.58 cm2 0.75 1860103 pk Ap 19.58 n de cordes = A = 1.4 = 14 cordes 1 cordo Adoptam-se 2 cabos com 7 cordes de 0.6
ALNEA C)
1. Clculo das perdas por atrito P0 (x) = P0 e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)
1 Parbola 1
2 Parbola 2
3
4 Par. 3 Par. 3
5 Parbola 2
6 Parbola 1
7
e = 0.10 m 5.00
e = 0.352 m 7.00
e = 0.188 m 2.00 2.00 7.00 5.00
Clculo da fora de tensionamento P0 = 14 1.410-4 0.75 1860103 = 2734.2 kNMDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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Clculo dos ngulos de desvio (i) Parbola 1 1 tan 1 = 2f 2 0.252 = = 0.101 L 5
(ii) Parbola 2 2 = 2f 2 0.42 = = 0.120 L 7 (rad) 0 0.101 0.221 0.341 0.221 0.101 0
Seco 1 2 3 4 5 6 7
x (m) 0 5.0 12.0 14.0 12.0 5.0 0
Paps atrito (kN) 2734.2 2668.8 2591.0 2525.5 2591.0 2668.8 2734.2
ALNEA D)
1. Determinao dos esforos de dimensionamento psd = 1.35 40 + 1.5 12 = 72 kN/m Msd = 13.75 72 = 990.0 kNm 2. Determinao do momento hipersttico devido ao pr-esforo (i) Diagrama de momentos isostticos (Misost = P e)0.352P 0.1P (-) (+) 5.00 0.188P (-)
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Estruturas de Beto II
(ii) Diagrama de momentos hiperstticos (Mhip = Mpe Misost )
5.00 (+) 0.166P
0.059P
3. Clculo das armaduras de flexo Msd = Msd + Mhip = 990.0 + 0.059 2089.4 = 1113.3 kNmb 0.85f cd x LN 0.8x M'sd Ap As Fp Fs Fc
fp0,1k 1670 Fp = Ap 1.15 = 19.610-4 1.15 103 = 2846.3 kN Fs = As fyd = As 348 103 Fc = 1.0 0.8x 0.85 20 103 = 13600x
(i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd) Fc (0.75 0.4x) Fp 0.08 = Msd 13600x (0.75 0.4x) = 1113.3 + 2846.3 0.08 x = 0.142 m Fc = 13600 0.142 = 1931.2 kN < Fp no necessria armadura ordinria para verificar o estado limite ltimo de flexo.
4. Clculo da armadura mnima de flexo
fctm 2.6 As,min = 0.26 f bt d = 0.26 400 0.40 0.75 104 = 5.07 cm2 yk
MDULO 1 Pr-Esforo Carla Marcho; Jlio Appleton
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