Elementos BásicosDerivativos
Mercado FinanceiroConceitos Gerais
H. Dreifus1
1Departamento de Matemática AplicadaUniversidade de São Paulo
H. Dreifus Finanças
Elementos BásicosDerivativos
Organização
1 Elementos BásicosRenda FixaRisco
2 DerivativosConceitos GeraisVolatilidade Implicita
H. Dreifus Finanças
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Renda FixaRisco
Organização
1 Elementos BásicosRenda FixaRisco
2 DerivativosConceitos GeraisVolatilidade Implicita
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Elementos BásicosDerivativos
Renda FixaRisco
Juros - Tempo Discreto
Quantificar valores requer um referencial de valor padrão:
$(t)Dinâmica com Tempo Discreto
Juros Simples
$(t + δt) = (1 + jδt )$(t)
A dinâmica do numerário é determinada pelas Taxas deJuros jδt .
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Juros - Tempo Discreto
Quantificar valores requer um referencial de valor padrão:
$(t)Dinâmica com Tempo Discreto
Juros Simples
$(t + δt) = (1 + jδt )$(t)
A dinâmica do numerário é determinada pelas Taxas deJuros jδt .
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Juros - Tempo Discreto
Quantificar valores requer um referencial de valor padrão:
$(t)Dinâmica com Tempo Discreto
Juros Simples
$(t + δt) = (1 + jδt )$(t)
A dinâmica do numerário é determinada pelas Taxas deJuros jδt .
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Juros - Tempo Discreto
Quantificar valores requer um referencial de valor padrão:
$(t)Dinâmica com Tempo Discreto
Juros Simples
$(t + δt) = (1 + jδt )$(t)
A dinâmica do numerário é determinada pelas Taxas deJuros jδt .
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Juros - Tempo Discreto
Juros Compostos
$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt2)(1 + jδt1)$(t)
Taxas de Juros jδt devem ser consistentes com condiçõesde não arbitragem
$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt1+δt2)$(t) = (1 + jδt1)(1 + jδt2)$(t)
jδt1+δt2 = jδ1 + jδ2 + jδ1 jδ2
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Juros - Tempo Discreto
Juros Compostos
$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt2)(1 + jδt1)$(t)
Taxas de Juros jδt devem ser consistentes com condiçõesde não arbitragem
$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt1+δt2)$(t) = (1 + jδt1)(1 + jδt2)$(t)
jδt1+δt2 = jδ1 + jδ2 + jδ1 jδ2
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Juros - Tempo Discreto
Juros Compostos
$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt2)(1 + jδt1)$(t)
Taxas de Juros jδt devem ser consistentes com condiçõesde não arbitragem
$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt1+δt2)$(t) = (1 + jδt1)(1 + jδt2)$(t)
jδt1+δt2 = jδ1 + jδ2 + jδ1 jδ2
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Juros - Tempo Discreto
Juros Compostos
$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt2)(1 + jδt1)$(t)
Taxas de Juros jδt devem ser consistentes com condiçõesde não arbitragem
$(t + δt1 + δt2) = (1 + jδt1+δt2)$(t) = (1 + jδt1)(1 + jδt2)$(t)
jδt1+δt2 = jδ1 + jδ2 + jδ1 jδ2
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Renda FixaRisco
Juros - Tempo Contínuo
Juros Constantes
limn→∞
(1 +jn
)n = ej
j∆t = ej∆t − 1
jδti = ejδ ti − 1
∆t = δ t1 + δt2
e a condição de não arbitragem está satisfeita.
(1 + j∆t ) = (1 + jδt )(1 + jδt )
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Juros - Tempo Contínuo
Juros Constantes
limn→∞
(1 +jn
)n = ej
j∆t = ej∆t − 1
jδti = ejδti − 1
∆t = δt1 + δt2
e a condição de não arbitragem está satisfeita.
(1 + j∆t ) = (1 + jδt )(1 + jδt )
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Juros - Tempo Contínuo
Juros Constantes
limn→∞
(1 +jn
)n = ej
j∆t = ej∆t − 1
jδti = ejδti − 1
∆t = δt1 + δt2
e a condição de não arbitragem está satisfeita.
(1 + j∆t ) = (1 + jδt )(1 + jδt )
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Organização
1 Elementos BásicosRenda FixaRisco
2 DerivativosConceitos GeraisVolatilidade Implicita
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Renda FixaRisco
Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1 < ... < tn = t
Em cada instante tj , uma moeda é lançada:
Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.
Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita.
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1 < ... < tn = t
Em cada instante tj , uma moeda é lançada:
Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.
Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita.
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1 < ... < tn = t
Em cada instante tj , uma moeda é lançada:
Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.
Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita.
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1 < ... < tn = t
Em cada instante tj , uma moeda é lançada:
Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.
Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita.
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1 < ... < tn = t
Em cada instante tj , uma moeda é lançada:
Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.
Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita.
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1
p
1-p
0
-1
p é a probabilidade de obter o resultado Coroa
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Renda FixaRisco
111
ppp
111 ppp
000
---111
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---
p
p
p
p
p
p
1-p
1-p
1-p
1-p
1-p
1-p
1
2
3
1
-1
-3
0
-2
-1
0
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Renda FixaRisco
ppp
ppp
ppp
ppp
ppp
ppp
111---ppp
111---ppp
111---ppp
111---ppp
111---ppp
111---ppp
111
222
333
111
---111
---333
000
---222
---111
000
Elementos BásicosDerivativos
Elementos BásicosDerivativos
Renda FixaRisco
A cada instante tk temos um conjunto de possíveis valores daposição e uma probabilidade associada a estes valores.
dk número de passos à direita durante o intervalo detempo [0, tk ]
ek número de passos à esquerda durante o intervalo detempo [0, tk ]
tk = dk + ek
ptk (xk ) =
(tkdk
)pdk (1− p)ek
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Renda FixaRisco
A cada instante tk temos um conjunto de possíveis valores daposição e uma probabilidade associada a estes valores.
dk número de passos à direita durante o intervalo detempo [0, tk ]
ek número de passos à esquerda durante o intervalo detempo [0, tk ]
tk = dk + ek
ptk (xk ) =
(tkdk
)pdk (1− p)ek
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Renda FixaRisco
A cada instante tk temos um conjunto de possíveis valores daposição e uma probabilidade associada a estes valores.
dk número de passos à direita durante o intervalo detempo [0, tk ]
ek número de passos à esquerda durante o intervalo detempo [0, tk ]
tk = dk + ek
ptk (xk ) =
(tkdk
)pdk (1− p)ek
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Renda FixaRisco
A cada instante tk temos um conjunto de possíveis valores daposição e uma probabilidade associada a estes valores.
dk número de passos à direita durante o intervalo detempo [0, tk ]
ek número de passos à esquerda durante o intervalo detempo [0, tk ]
tk = dk + ek
ptk (xk ) =
(tkdk
)pdk (1− p)ek
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Renda FixaRisco
Passeios Aleatórios
p = 0.5
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Renda FixaRisco
Limite do Contínuo
Considerando um horizonte de tempo t
δt = tn
δx = σ(δt)1/2
limn→∞
ptn (xn)→ P(x , t) =1
σ√
4πte−
x2
4σ2t
Passeio Aleatório Simétrico
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Limite do Contínuo
Considerando um horizonte de tempo t
δt = tn
δx = σ(δt)1/2
limn→∞
ptn (xn)→ P(x , t) =1
σ√
4πte−
x2
4σ2t
Passeio Aleatório Simétrico
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Limite do Contínuo
Considerando um horizonte de tempo t
δt = tn
δx = σ(δt)1/2
limn→∞
ptn (xn)→ P(x , t) =1
σ√
4πte−
x2
4σ2t
Passeio Aleatório Simétrico
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Limite do Contínuo
Considerando um horizonte de tempo t
δt = tn
δx = σ(δt)1/2
limn→∞
ptn (xn)→ P(x , t) =1
σ√
4πte−
x2
4σ2t
Passeio Aleatório Simétrico
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Renda FixaRisco
Teorema Central do Limite
Incrementos Independentes⇒ Distribuição Normal
N(µ, σ) =1
σ√
4πte−
(x−µt)2
4σ2t
Independente da distribuição dos incrementos!
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Renda FixaRisco
Movimento Browniano
Processo Estocástico a tempo contínuo caracterizado por:
W (0) = 0.
W (t) é contínuo com probabilidade 1.
Os incrementos de W (t), W (t)−W (s) , são variáveisaleatórias com distribuição Normal, N(0, t − s)
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Movimento Browniano
Processo Estocástico a tempo contínuo caracterizado por:
W (0) = 0.
W (t) é contínuo com probabilidade 1.
Os incrementos de W (t), W (t)−W (s) , são variáveisaleatórias com distribuição Normal, N(0, t − s)
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Renda FixaRisco
Movimento Browniano
Processo Estocástico a tempo contínuo caracterizado por:
W (0) = 0.
W (t) é contínuo com probabilidade 1.
Os incrementos de W (t), W (t)−W (s) , são variáveisaleatórias com distribuição Normal, N(0, t − s)
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Renda FixaRisco
Lançamento de Moedas Revisitado.
Ingredientes Básicos:
Espaço de Eventos Ω
É constituído de dois elementos
Ω = cara, coroa
Medida de Probabilidade
Medida dos subconjuntos de Ω
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Lançamento de Moedas Revisitado.
Ingredientes Básicos:
Espaço de Eventos Ω
É constituído de dois elementos
Ω = cara, coroa
Medida de Probabilidade
Medida dos subconjuntos de Ω
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Lançamento de Moedas Revisitado.
Ingredientes Básicos:
Espaço de Eventos Ω
É constituído de dois elementos
Ω = cara, coroa
Medida de Probabilidade
Medida dos subconjuntos de Ω
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Lançamento de Moedas Revisitado.
Ingredientes Básicos:
Espaço de Eventos Ω
É constituído de dois elementos
Ω = cara, coroa
Medida de Probabilidade
Medida dos subconjuntos de Ω
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Renda FixaRisco
Medida de Probabilidade.
Subconjuntos de Ω:
C1 = ∅
C2 = Ω
C3 = cara
C4 = coroa
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Renda FixaRisco
Medida de Probabilidade.
Subconjuntos de Ω:
C1 = ∅
C2 = Ω
C3 = cara
C4 = coroa
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Renda FixaRisco
Medida de Probabilidade.
Subconjuntos de Ω:
C1 = ∅
C2 = Ω
C3 = cara
C4 = coroa
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Renda FixaRisco
Medida de Probabilidade.
Subconjuntos de Ω:
C1 = ∅
C2 = Ω
C3 = cara
C4 = coroa
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Medida de Probabilidade.
Subconjuntos de Ω:
C1 = ∅
C2 = Ω
C3 = cara
C4 = coroa
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Renda FixaRisco
Medida µ(·)
µ(∅) = 0
µ(Ω) = 1
µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1
µ(coroa) = 1− p
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Renda FixaRisco
Medida µ(·)
µ(∅) = 0
µ(Ω) = 1
µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1
µ(coroa) = 1− p
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Medida µ(·)
µ(∅) = 0
µ(Ω) = 1
µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1
µ(coroa) = 1− p
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Medida µ(·)
µ(∅) = 0
µ(Ω) = 1
µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1
µ(coroa) = 1− p
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Medida µ(·)
µ(∅) = 0
µ(Ω) = 1
µ(cara) = p; 0 ≤ p ≤ 1
µ(coroa) = 1− p
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Renda FixaRisco
σ-algebra
O conjunto de subconjuntos de Ω,
Σ = C1,C2,C3,C4
é fechado por operações de união, intersecção e complementar
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∪ Cj ∈ Σ
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∩ Cj ∈ Σ
Ci ∈ Σ⇒ Cci ∈ Σ
∅ ∈ Σ, Ω ∈ ΣΣ é uma σ − algebra
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σ-algebra
O conjunto de subconjuntos de Ω,
Σ = C1,C2,C3,C4
é fechado por operações de união, intersecção e complementar
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∪ Cj ∈ Σ
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∩ Cj ∈ Σ
Ci ∈ Σ⇒ Cci ∈ Σ
∅ ∈ Σ, Ω ∈ ΣΣ é uma σ − algebra
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σ-algebra
O conjunto de subconjuntos de Ω,
Σ = C1,C2,C3,C4
é fechado por operações de união, intersecção e complementar
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∪ Cj ∈ Σ
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∩ Cj ∈ Σ
Ci ∈ Σ⇒ Cci ∈ Σ
∅ ∈ Σ, Ω ∈ ΣΣ é uma σ − algebra
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σ-algebra
O conjunto de subconjuntos de Ω,
Σ = C1,C2,C3,C4
é fechado por operações de união, intersecção e complementar
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∪ Cj ∈ Σ
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∩ Cj ∈ Σ
Ci ∈ Σ⇒ Cci ∈ Σ
∅ ∈ Σ, Ω ∈ ΣΣ é uma σ − algebra
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σ-algebra
O conjunto de subconjuntos de Ω,
Σ = C1,C2,C3,C4
é fechado por operações de união, intersecção e complementar
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∪ Cj ∈ Σ
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∩ Cj ∈ Σ
Ci ∈ Σ⇒ Cci ∈ Σ
∅ ∈ Σ, Ω ∈ ΣΣ é uma σ − algebra
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σ-algebra
O conjunto de subconjuntos de Ω,
Σ = C1,C2,C3,C4
é fechado por operações de união, intersecção e complementar
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∪ Cj ∈ Σ
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∩ Cj ∈ Σ
Ci ∈ Σ⇒ Cci ∈ Σ
∅ ∈ Σ, Ω ∈ ΣΣ é uma σ − algebra
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σ-algebra
O conjunto de subconjuntos de Ω,
Σ = C1,C2,C3,C4
é fechado por operações de união, intersecção e complementar
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∪ Cj ∈ Σ
Ci ,Cj ∈ Σ⇒ Ci ∩ Cj ∈ Σ
Ci ∈ Σ⇒ Cci ∈ Σ
∅ ∈ Σ, Ω ∈ ΣΣ é uma σ − algebra
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Renda FixaRisco
Medida de Probabilidade
Uma medida µ(·), definida em Σ, é uma função com valoresem R ∪ 0 satisfazendo as seguintes propriedades:
µ(∅) = 0Para Ci e Cj subconjuntos em Σ tais que Ci ∩ Cj = ∅,
µ(Ci ∪ Cj) = µ(Ci) + µ(Cj)
medidas de probabilidades são exemplos particulares demedidas com a propriedade de que µ(Ω) = 1
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Medida de Probabilidade
Uma medida µ(·), definida em Σ, é uma função com valoresem R ∪ 0 satisfazendo as seguintes propriedades:
µ(∅) = 0Para Ci e Cj subconjuntos em Σ tais que Ci ∩ Cj = ∅,
µ(Ci ∪ Cj) = µ(Ci) + µ(Cj)
medidas de probabilidades são exemplos particulares demedidas com a propriedade de que µ(Ω) = 1
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Medida de Probabilidade
Uma medida µ(·), definida em Σ, é uma função com valoresem R ∪ 0 satisfazendo as seguintes propriedades:
µ(∅) = 0Para Ci e Cj subconjuntos em Σ tais que Ci ∩ Cj = ∅,
µ(Ci ∪ Cj) = µ(Ci) + µ(Cj)
medidas de probabilidades são exemplos particulares demedidas com a propriedade de que µ(Ω) = 1
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Medida de Probabilidade
Uma medida µ(·), definida em Σ, é uma função com valoresem R ∪ 0 satisfazendo as seguintes propriedades:
µ(∅) = 0Para Ci e Cj subconjuntos em Σ tais que Ci ∩ Cj = ∅,
µ(Ci ∪ Cj) = µ(Ci) + µ(Cj)
medidas de probabilidades são exemplos particulares demedidas com a propriedade de que µ(Ω) = 1
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Medida de Probabilidade
Uma medida µ(·), definida em Σ, é uma função com valoresem R ∪ 0 satisfazendo as seguintes propriedades:
µ(∅) = 0Para Ci e Cj subconjuntos em Σ tais que Ci ∩ Cj = ∅,
µ(Ci ∪ Cj) = µ(Ci) + µ(Cj)
medidas de probabilidades são exemplos particulares demedidas com a propriedade de que µ(Ω) = 1
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Medida de Probabilidade
Uma medida µ(·), definida em Σ, é uma função com valoresem R ∪ 0 satisfazendo as seguintes propriedades:
µ(∅) = 0Para Ci e Cj subconjuntos em Σ tais que Ci ∩ Cj = ∅,
µ(Ci ∪ Cj) = µ(Ci) + µ(Cj)
medidas de probabilidades são exemplos particulares demedidas com a propriedade de que µ(Ω) = 1
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Medida de Probabilidade
Uma medida µ(·), definida em Σ, é uma função com valoresem R ∪ 0 satisfazendo as seguintes propriedades:
µ(∅) = 0Para Ci e Cj subconjuntos em Σ tais que Ci ∩ Cj = ∅,
µ(Ci ∪ Cj) = µ(Ci) + µ(Cj)
medidas de probabilidades são exemplos particulares demedidas com a propriedade de que µ(Ω) = 1
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Variáveis Aleatórias
Variáveis aleatórias são funções definidas em Ω com imagemem R.
Exemplos:
X (ω) =
0 se ω = cara1 se ω = coroa
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Renda FixaRisco
Y (ω) =
1 se ω = cara0 se ω = coroa
W (ω) =
12 se ω = cara
12 se ω = coroa
Z (ω) =
1 se ω = cara−1 se ω = coroa
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Renda FixaRisco
Apostas híbridas
Em um lançamento de moedas, considere uma situação emque um participante investe R$90.00 em uma aposta em que oretôrno é:
A(ω) =
R$100.00 se ω = cara
R$80.00 se ω = coroa
consistente com lançamentos moedas em que
µ(cara) = µ(coroa) = 1
e apostas de R$50.00 no resultado cara e R$40.00 noresultado coroa
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Elementos BásicosDerivativos
Renda FixaRisco
Preço da Aposta por Valor Esperado
O valor esperado desta aposta é:
E(A) =
$100.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+
$80.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00)
= $100.00× 12
+ $80.00× 12
= $90.00
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Renda FixaRisco
Preço da Aposta por Valor Esperado
O valor esperado desta aposta é:
E(A) =
$100.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+
$80.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00)
= $100.00× 12
+ $80.00× 12
= $90.00
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Preço da Aposta por Valor Esperado
O valor esperado desta aposta é:
E(A) =
$100.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+
$80.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00)
= $100.00× 12
+ $80.00× 12
= $90.00
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Renda FixaRisco
Preço da Aposta por Valor Esperado
O valor esperado desta aposta é:
E(A) =
$100.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+
$80.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00)
= $100.00× 12
+ $80.00× 12
= $90.00
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Renda FixaRisco
Derivativos e Contrôle de Risco
Nesta situação o apostador faz um investimento de $ 90.00 eassume o risco de ganhar ou perder $ 10.00
Para mudar a sua exposição ao risco, o portador da apostapode negociar contratos derivativos. Por exemplo ele podevender uma opção de compra nos seguintes termos:
Caso o resultado do sorteio seja cara o portador da opção teráo direito de comprar a aposta por $80.00
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Elementos BásicosDerivativos
Renda FixaRisco
Cenários para o portador do derivativo
Resultado cara: O portador da opção exerce o seu direitode compra, paga $80.00 e recebe $100.00 pela aposta.Resultado coroa: O portador da opção não tem nada afazer.Preço do derivativo:
E(D) =
$20.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+
$0.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00) = $10.00
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Cenários para o portador do derivativo
Resultado cara: O portador da opção exerce o seu direitode compra, paga $80.00 e recebe $100.00 pela aposta.Resultado coroa: O portador da opção não tem nada afazer.Preço do derivativo:
E(D) =
$20.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $100.00)+
$0.00× µ(ω ∈ Ω|A(ω) = $80.00) = $10.00
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Elementos BásicosDerivativos
Renda FixaRisco
Cenários para o portador da aposta
Resultado cara: O portador da aposta recebe $10.00 pelavenda da opção e $80.00 pela transferencia da aposta,totalizando $90.00.Resultado coroa: O portador da aposta recebe $10.00 pelavenda da opção e $80.00 pela aposta, totalizando $90.00.
Todo o risco foi transferido para o comprador da opção.
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Organização
1 Elementos BásicosRenda FixaRisco
2 DerivativosConceitos GeraisVolatilidade Implicita
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Elementos BásicosDerivativos
Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Um Derivativo é um contrato financeiro cujo valor (preço) éderivado do valor de um outro ativo financeiro (ativo base).
Exemplos: Contratos Futuros, Opções, Swaps, etc..Problema: Conhecido o preço do ativo base, determinar opreço do derivativo.
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Um Derivativo é um contrato financeiro cujo valor (preço) éderivado do valor de um outro ativo financeiro (ativo base).
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Um Derivativo é um contrato financeiro cujo valor (preço) éderivado do valor de um outro ativo financeiro (ativo base).
Exemplos: Contratos Futuros, Opções, Swaps, etc..Problema: Conhecido o preço do ativo base, determinar opreço do derivativo.
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Opção de Compra Européia
Contrato que fornece ao portador o direito de comprar umdeterminado ativo em uma data específica T (data deexercício) por um determinado valor K .
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Função Payoff
No caso de uma opção de compra européia, na data deexercício T , o portador da opção terá um ativo com valorfinanceiro, C(T ), dado por:
C(T ) = [S(T )− K ]+
S(t) denota o preço do ativo base no tempo T .C(T ) = [S(T )− K ]+ é definido por:
C(T ) = [S(T )− K ]+ = max0,S(T )− K
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Função Payoff
No caso de uma opção de compra européia, na data deexercício T , o portador da opção terá um ativo com valorfinanceiro, C(T ), dado por:
C(T ) = [S(T )− K ]+
S(t) denota o preço do ativo base no tempo T .C(T ) = [S(T )− K ]+ é definido por:
C(T ) = [S(T )− K ]+ = max0,S(T )− K
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Elementos BásicosDerivativos
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12 14
C(T)
S(T)
K
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Opção de Compra Européia
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12 14
C(T)
S(T)
K
Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12 14
C(T)
S(T)
K
Elementos BásicosDerivativos
Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Apreçamento de C(t)
Questão: Qual o preço que deve ser pago por uma opçãode compra européia em uma data T < T .
Hipótese: Distribuição de Probabilidade para o preço doativo base, S(T ), é conhecida no tempo t .
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Apreçamento de C(t)
Questão: Qual o preço que deve ser pago por uma opçãode compra européia em uma data T < T .
Hipótese: Distribuição de Probabilidade para o preço doativo base, S(T ), é conhecida no tempo t .
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Apreçamento de C(t)
Questão: Qual o preço que deve ser pago por uma opçãode compra européia em uma data T < T .
Hipótese: Distribuição de Probabilidade para o preço doativo base, S(T ), é conhecida no tempo t .
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Preço de uma Opção de Compra Européia.
Assumindo que a distribuição de probabilidade para S(T ), notempo t , tem densidade dado por:
Φt (S(T )) =exp− 1
2σ2(T−t) [ln(S(T )S(t) )− (T − t)(r − 1
2σ2)]2
S(T )σ√
2π(T − t)
onde r , σ e S(t) são respectivamente
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Preço de uma Opção de Compra Européia.
r - taxa de juros livre de risco.σ - volatilidade do preço do ativo base.S(t) - preço do ativo base no tempo t (conhecido).
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Preço de uma Opção de Compra Européia.
r - taxa de juros livre de risco.σ - volatilidade do preço do ativo base.S(t) - preço do ativo base no tempo t (conhecido).
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Preço de uma Opção de Compra Européia.
r - taxa de juros livre de risco.σ - volatilidade do preço do ativo base.S(t) - preço do ativo base no tempo t (conhecido).
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Preço de uma Opção de Compra Européia.
r - taxa de juros livre de risco.σ - volatilidade do preço do ativo base.S(t) - preço do ativo base no tempo t (conhecido).
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Preço de uma Opção de Compra Européia.
C(t) = e−(T−t)r E[S(T )− K ]+
C(t) = e−(T−t)r∫ ∞
0[S(T )− K ]+Φt (S(T ))dS(T )
= e−(T−t)r∫ ∞
K(S(T )− K )Φt (S(T ))dS(T )
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Black-Sholes
C(t) =
e−(T−t)r∫ ∞−d1S(t)e[(r− 1
2σ2)(T−t)+σx
√T−t] − Ke−
x22 dx
−d1 =ln( K
S(t) )− (T − t)(r − 12σ
2)
σ√
T − t
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Black-Sholes
C(t) =
e−(T−t)r∫ ∞−d1S(t)e[(r− 1
2σ2)(T−t)+σx
√T−t] − Ke−
x22 dx
−d1 =ln( K
S(t) )− (T − t)(r − 12σ
2)
σ√
T − t
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Fórmula de Black & Scholes
C(t ,S(t); r , σ,K ) =
S(t)N(d2(t ,S(t); r , σ,K ))− Ke−(T−t)r N(d1(t ,S(t); r , σ,K ))
d2 = d1 + σ√
T − t
N(x) =1√2π
∫ x
−∞e−
x22 dx
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Organização
1 Elementos BásicosRenda FixaRisco
2 DerivativosConceitos GeraisVolatilidade Implicita
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Elementos BásicosDerivativos
Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Determinação da Volatilidade
Uma das dificuldades relacionadas ao apreçamento deativos financeiros utilizando a Teoria de Black e Scholesestá na dificuldade de se determinar a volatilidade σ.
Observações históricas podem não ser um bom preditordo comportamento futuro.
A existência de um mercado de derivativos líquido forneceuma alternativa para obter estimativas para σ
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Determinação da Volatilidade
Uma das dificuldades relacionadas ao apreçamento deativos financeiros utilizando a Teoria de Black e Scholesestá na dificuldade de se determinar a volatilidade σ.
Observações históricas podem não ser um bom preditordo comportamento futuro.
A existência de um mercado de derivativos líquido forneceuma alternativa para obter estimativas para σ
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Determinação da Volatilidade
Uma das dificuldades relacionadas ao apreçamento deativos financeiros utilizando a Teoria de Black e Scholesestá na dificuldade de se determinar a volatilidade σ.
Observações históricas podem não ser um bom preditordo comportamento futuro.
A existência de um mercado de derivativos líquido forneceuma alternativa para obter estimativas para σ
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Cálculo da Volatilidade Implícita
A partir da fórmula de Black e Scholes temos
C(t ,S(t); r , σ,K ) =
S(t)N(d2(t ,S(t); r , σ,K ))− Ke−(T−t)r N(d1(t ,S(t); r , σ,K ))
ou
S(t)N(d2(σ))− Ke−(T−t)r N(d1(σ))− C(t) = 0
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Conceitos GeraisVolatilidade Implicita
Cálculo da Volatilidade Implícita
Utilizando um algoritmo numérico
Método de Newton-Raphson
podemos determinar estimativas para σ a partir dos valoresobservados de C(t), S(t) e r .
Cálculo da Volatilidade Implicita
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