Matematica Financeira Aplicada a Derivativos

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    Matemtica Financeira Aplicada a Derivativos

    Matemtica Financeira Aplicada a Derivativos. ltima atualizao: 14/05/2010Copyright da Associao BM&F Direitos de Edio reservados por Associao BM&F.

    A violao dos direitos autorais crime estabelecido na Lei n 9.610/98 e punido pelo Art. 184 do Cdigo Penal.

    ii

    FICHA CATALOGRFICA(Catalogado na fonte pela Bib lioteca da Associao BM&F)B67m

    Matemtica Financeira Aplicada a Derivativos. So Paulo :Associao BM&F, 2010.

    32p.

    Nota: Apostila utilizada no curso Reguladores 2010

    1.Matemtica 2. Matemtica Financeira 3. Juros 4.Mercados BM&FBovespa

    CDU 51

    1 Edio: Dez/20072 Edio: Jan/20093 Edio: Mai2010

    Direitos desta edio reservados :

    Associao BM&F

    Rua Boa Vista, 280 4 andar Cep 01014-000 So Paulo SP

    Tel.: (11) 3119-2000 / Fax: (11) 3242-7649

    www.bmfbovespa.com.br/educacional

    e-mail: [email protected]

    http://www.bmfbovespa.com.br/educacionalhttp://www.bmfbovespa.com.br/educacionalhttp://www.bmfbovespa.com.br/educacional
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    iii

    ndice

    1.

    Definies ................................................................................................................. 1

    1.1. Valor do Dinheiro no Tempo................................................................................. 11.2. Juros e Taxa de Juro .............................................................................................. 21.3. Valor Futuro .......................................................................................................... 3

    2. Regimes de Capitalizao ......................................................................................... 82.1. Regime de Capitalizao Simples ou Juros Simples ................................................. 93. Regime de Capitalizao Composta ou Juros Compostos ..................................... 154. Taxa Prefixada e Ps Fixada .................................................................................. 25

    4.1. Taxas Nominal, Efetiva e real ............................................................................. 254.2. Taxas Acumuladas ............................................................................................... 264.3. Taxa Mdia .......................................................................................................... 284.4. Taxa Over ............................................................................................................ 284.5. Taxas Contnuas .................................................................................................. 29

    5. Aplicaes no Mercado da BM&FBOVESPA ........................................................... 315.1. Aplicaes no mercado futuro de DI de Um Dia ................................................ 31

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    1. Definies

    A seguir se apresentam algumas definies de conceitos utilizados nos

    desenvolvimentos de frmulas e aplicaes de matemtica financeira.

    1.1. Valor do Dinheiro no Tempo

    A Matemtica Financeira trata da comparao de valores monetrios que estoseparados no tempo. Atravs de seu estudo, podemos analisar alternativas deinvestimento e financiamento, como por exemplo:

    Ao aplicar R$100 mil hoje em certo investimento, quanto vou obter aps umano?

    Como comparar valores no tempo (R$523 mil hoje com R$532,4 mil daqui aum ms ou R$597,6 daqui a um ano)?

    Quais as alternativas de tomar emprestado considerando os custos embutidosque voc dever arcar para saldar as suas dvidas futuras?

    Para responder estas perguntas, apresentaremos os conceitos bsicos necessriospara o bom entendimento das principais frmulas da matemtica financeira.

    Dica para HP 12 C

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    1.2. Juros e Taxa de Juro

    Os juros representam o custo do dinheiro tomado emprestado, ou, analogamente, aremunerao pelo sacrifcio de adiar uma deciso de gasto/consumo e aplicar o capital

    (C0) por certo nmero de perodos (n).

    Definies

    Capital: o valor aplicado atravs de alguma operao financeira.Tambm conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ouValor Aplicado. Na lngua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas

    calculadoras financeiras pela tecla

    Em geral, o Capital costuma ser denotado porC0.

    Nmero de perodos: tempo, prazo ou perodo, prazo em determinadaunidade de tempo (dias, meses, anos, etc..) em que o capital foi

    empregado, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla .Em geral, o nmero de perodos costuma ser simbolizado porn.

    Suponha que voc resolva vender o seu apartamento pelo valor de R$100 mil erecebe uma proposta de compra por R$98 mil a vista, quando da assinatura docontrato de compra-venda ou R$80 mil nesse ato e mais R$20 mil quando daescriturao, que ser realizada 30 dias depois. Qual ser o melhor negcio paravoc: receber R$98 mil hoje ou as duas parcelas sugeridas pelo comprador?

    Para resolver a questo acima precisamos entender o que so juros.

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    Qual a diferena entre juros e taxa de juro?

    Juros (J):valor expresso em dinheiro (por exemplo, em reais) sempre referido a umdeterminado capital e para um determinado perodo. Podemos tambm definir como a

    remunerao do capital, ou seja, o valor pago pelos devedores aos emprestadores,em troca do uso do dinheiro. Podem, portanto, ser expressos pela seguinte frmula:J = Montante final Capital Inicial = (CnC0).

    Taxa de juro (i): a unidade de medida dos juros custo ou remunerao percentualpago pelo uso do dinheiro durante determinado tempo. expressa em porcentagemao perodo e usada atravs de sua representao decimal nas frmulas matemticas. Pode ser definida por:

    0

    Ji 1

    C

    = 00 Porcentagem: a taxa de juro em porcentagem dividida por 100 para chegarmos taxa de juro em decimal. Esta forma em decimal a maneira correta de colocarmos ataxa de juro nas frmulas matemticas apresentadas.

    Exemplo:

    Juros em % Juros em decimal

    1,50% ao ms (ao ms) 0,0150 ao ms

    19,00% ao ano (ao ano) 0,1900 ao ano

    0,07% ao dia (ao dia) 0,0007 ao dia

    Assimilado este conceito, voc optaria por receber R$98 mil hoje ou R$80 mil hoje e

    mais R$20 mil em um ms? Logicamente, a resposta depender da taxa de juropraticada no mercado. Conforme a taxa vigente, poder ser mais vantajoso receber osR$98 mil hoje e aplic-los em uma instituio financeira durante um ms ou receberR$80 mil hoje, aplic-los por um ms e, no final desse perodo, receber mais R$20 mildo comprador. Observe que para tomar esta deciso, preciso comparar um valor dehoje com um valor em uma data futura.

    1.3. Valor Futuro

    Devemos sempre calcular os juros que incidiram no capital inicial (valor presente) para

    apurar o resultado do montante na data futura ou valor futuro (Cn).

    DefinioMontante na Data Futura ou Valor Futuro: corresponde ao valorinicialmente aplicado ou emprestado (chamado de valor presente)somado aos juros relativos ao perodo da aplicao ou emprstimo. Nalngua inglesa, usa-se Future Value, indicado na calculadora HP pela

    tecla .

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    Dicas para HP 12 C

    Para fixar o nmero de casas decimais pressione a tecla (cor laranja) e onmero de casas decimais que deseja aps a vrgula.

    Para calcular uma porcentagem de um valor inteiro, por exemplo, 15% de 80:

    a. digite o valor 80 e pressione a teclab. em seguida digite 15 e aperte a tecla %c. o resultado 12 aparecer no visor da calculadora.

    Para trocar o sinal de um nmero, por exemplo, de 10 para -10, digite o valor 10 e

    pressione a tecla

    Exemplos de clculos de juros e valor futuro

    a) Considerando a aplicao de um capital de R$100.000 por um ano taxa de juro de25% ao ano apuramos o seguinte resultado:

    Capital ou ValorInicial (C0)

    Perodo(n)

    Taxa de juro(i)

    Juros (J) Montante ou ValorFuturo (Cn)

    100.000 1 ano 25% ao ano ? ?

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    4

    Juros (J) Montante ou Valor Final (Cn)

    Os juros de um perodo (um ano) so iguais a25% de R$100.000, ou seja:

    000.25000.100100

    25=

    O capital inicial mais os juros resultano Montante ou Valor Final

    R$100.000 + R$25.000 = R$125.000

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    5

    Para fazer uma operao de diviso, por exemplo, 25 100:

    a. digite o valor 25 e pressione a tecla

    b. digite o valor 100 e pressione a teclac. o visor deve mostrar o resultado 0,25

    Para fazer uma operao de multiplicao, por exemplo, 25 x 100:

    a. digite o valor 25 e pressione a tecla

    b. digite o valor 100 e pressione a teclac. o visor deve mostrar o resultado 2.500 Para fazer uma operao de adio, por exemplo, 100.000 + 25.000:

    a. digite o valor 100.000 e pressione a tecla

    b. digite o valor 25.000 e pressione a teclac. o visor deve mostrar o resultado 125.000

    Para fazer uma operao de subtrao,por exemplo,100.000- 25.000:

    a. digite o valor 100.000 e pressione a tecla

    b. digite o valor 25.000 e pressione a tecla

    c. o visor deve mostrar o resultado 75.000

    O clculo realizado pode ser resumido em uma expresso matemtica. Veja abaixo:

    +=

    100

    251000.100000.125

    ou

    Valor Futuro = Valor Inicial x

    +

    1001

    i

    que pode ser representado por:

    +=

    10010

    iCCn

    Neste caso, o valor dos Juros (que representamos por Juros de um montante relativoa um perodo, C1) dado por:

    J = C1 - C0 = R$125.000 R$100.000 = R$25.000,00

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    Nessas frmulas matemticas, C1 chamado de VALOR FUTURO de C0 taxa de juro i, e C0 chamado de VALOR PRESENTE de C1 taxa de juro i.

    Para completar seu conhecimento neste assunto, falta analisar como se obtm a taxade juro a partir das outras variveis, como os Juros.

    Ji

    C

    C

    Ji

    C

    Ji

    =

    =

    =

    100

    100

    100

    0

    0

    0

    Considerando a expresso:

    +=

    +=

    100001

    01

    iCCC

    JCC

    possvel obter:

    +=

    100101

    iCC

    Logo,

    1 1 1

    0 0 0

    1 1 1 100100 100

    C C Ci ii

    C C C

    = + = =

    Conclui-se que a taxa de juro em porcentagem no perodo igual a:

    10010

    1

    =

    C

    Ci

    b) Apliquei R$50.000,00 por um ano taxa de juro de 13% ao ano. Qual o montantefinal?

    [ ]

    1 0 1

    1 1

    1

    131 50.000 1100 100

    50.000 1 0,13 50.000 1,13

    $56.500,00

    iC C C

    C C

    C R

    = + = +

    = + =

    =

    Neste caso os Juros (J) so calculados pela expresso:

    0

    1350.000 50.000 0,13 $6.500,00

    100 100

    iC R

    Ou onde:

    C1 - C0 = 56.500 50.000 = R$ 6.500,00

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    Acompanhe os exemplos a seguir para revisar os conceitos estudados:

    c) A taxa de juros igual a 15% aa. Qual o valor, hoje, de um ttulo cujo valor deresgate R$50.000,00 e que vence daqui a um ano?

    43.478,26$15,1

    000.50

    15,1000.50100

    151000.50

    1001

    0

    0001

    ==

    =

    +=

    +=

    C

    CCi

    CC

    d) Comprei um ttulo por R$98.039,22 que vai pagar R$100.000,00 em um ms. Quala taxa mensal da aplicao?

    a.m%00,2100

    120,1

    1001

    22,039.98000.100

    100122,039.98000.100

    100101

    =+=

    +=

    +=

    +=

    ii

    iiiCC

    Os exemplos at aqui feitos utilizam somente um nico perodo de capitalizao(tempo entre a movimentao financeira do valor inicial e a obteno do valor futuro).No entanto, grande parte dos casos possui mais de um perodo.

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    2. Regimes de CapitalizaoPara resolver problemas de clculos de juros em dois ou mais perodos necessriotrabalhar com a noo de regime de capitalizao .

    Definies

    Perodo de capitalizao: espao de tempo em que cada capitalizaoocorre.

    Capitalizao:operao em que os juros so somados ao capital inicial (valorpresente) para assim obter o capital futuro (valor futuro).

    Dica para HP 12 C

    A HP12-C possui 39 teclas, porm o nmero de funes possveis de seremrealizadas bastante superior.

    As teclas tm legendas em trs cores: branca, laranja e azul

    As funes com tecla em branco so acessadas diretamente. Exemplo: paralimpar o visor, basta apertar a tecla:

    Para realizar as funes com legenda em laranja, preciso, antes de tudo,

    apertar a tecla (tecla laranja). Feito isso, digite a funo desejada.Exemplo: para limpar as memrias financeiras, digite a tecla:

    e depois .

    J para realizar as funes com a legenda em azul, digite a tecla (teclaazul). Com isso, voc poder realizar a funo requerida. Exemplo: para obtera exponencial de um nmero qualquer, digite o nmero desejado e as teclasnesta seqncia: e

    possvel destacar os seguintes regimes de capitalizao:

    Regime de Capitalizao Simples: os juros de cada perodo so semprecalculados em relao ao Capital Inicial, ou seja, de C0;

    Regime de Capitalizao Composta: os juros de cada perodo so formados

    com base no Capital Inicial C0 , acrescido dos juros relativos aos perodosanteriores.

    A taxa de juro do Regime de Capitalizao Simples conhecida como taxa de jurosimples. J no Regime de Capitalizao Composta, a taxa definida como taxa dejuro compostos.

    Nos regimes de capitalizao simples e composta, os juros so pagos ou recebidos aofinal de cada perodo de capitalizao. O capital, aplicado ou emprestado, capitalizado e tem aumento a cada intervalo de tempo considerado, sendo estediscreto.

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    2.1. Regime de Capitalizao Simples ou Juros Simples

    Suponha que voc aplicou R$10.000,00 a uma taxa de juro simples de 2% ao ms porquatro meses. Qual o montante final da aplicao? Vamos acompanhar esta operaopasso a passo:

    Perodo Frmula Onde

    0 0C = Valor Presente R$10.0000

    Ms 1

    C1= Valor Futuro (VF) no final do ms 1

    J0i

    100

    C0

    C C0 0

    C

    i1

    C000

    1

    C1

    C 11

    = + = + = +

    ( )

    2

    100

    2

    100

    10.000VF

    VF 1

    VF 1

    VF 1,02

    VF R$10.200

    10.000

    10.000

    10.0 0,0200

    10.00

    ,

    0

    00

    = + = +

    = += =

    Ms 2

    C2 = Valor Futuro (VF) no final do ms 2

    J1i

    100

    i i

    100 100

    i i100 100

    C0

    C0

    C0

    C

    C C2 1

    C C2 1

    C 12

    C 12

    i

    102

    00C 12

    = + = +

    = + + = + + = +

    C0

    ( )[ ]

    10.000 10.000

    10.000

    10.000

    VF 1

    VF 1

    VF 1

    2 2

    100 100

    2 2

    100 100

    22x

    VF 1 2xVF 1

    VF 1,04

    VF R$10.400,

    10.00010.000

    10.000

    100

    0,020,04

    00

    = + + = + + = +

    = + = += =

    Ms 3

    C3 = Valor Futuro (VF) no final do ms 3

    C C3 2

    C C3 2

    C 1 23

    C 1 23

    J2i

    100

    i i100 10

    C 1

    C0

    C

    33

    0

    i i

    100 100

    i

    100

    C0 0

    C0

    C0

    = + = +

    + + = + + = +

    ( )[ ]

    2 2

    100 100

    2 2

    100

    VF 1 2x

    VF x 1 2x

    VF 1 3x

    VF 1 3x

    VF 1

    VF 1,06

    VF R$1

    100

    2100

    0,

    10.000 10.000

    10.000

    10.000

    10.000

    10.000

    10.0

    0.600,00

    02

    0,0

    0

    6

    0

    = + + = + + = +

    = + = += =

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    Perodo Frmula Onde

    Ms 4

    C4 = Valor Futuro (VF) no final do ms 4

    C C

    4 3C C4 3

    C 1 34

    C 1 34

    J

    3i

    100

    i i

    100 10

    C 1

    C0

    C

    44

    0

    i i

    100 100

    i

    100

    C0 0

    C0

    C0

    = + = +

    = + + = + + = +

    ( )[ ]

    2 2

    100 1002 2

    100

    VF 1 3x

    VF x 1 3x

    VF 1 4x

    VF 1 4x

    VF 1

    VF 1,08

    VF R$1

    100

    2

    100

    0,

    10.000 10.000

    10.000

    10.000

    10.000

    10.000

    10.0

    0.800,00

    02

    0,0

    0

    8

    0

    = + + = + + = +

    = + = += =

    Note acima que o J0, J1, J2, J3 so sempre calculados a partir do valor inicial,caracterizando o regime de capitalizao simples. A cada ms, o valor dos jurosnovos sempre o mesmo (neste exemplo, igual a R$200,00).

    Assim podemos definir a expresso matemtica de Capitalizao Simples para umnmero n de perodos como:

    +=

    10010

    inCCn

    Onde:

    C0 = valor presente

    Cn= valor futuro aps n perodos

    n = nmero de perodos

    i = taxa de juro em porcentagem

    Importante

    O prazo da operao (nmero de perodos) e a taxa de juro devem estarexpressos na mesma unidade de tempo. Caso, por exemplo, a taxa de juro

    esteja expressa ao ano (12% ao ano, por exemplo), o nmero de perodosdeve se referir quantidade de anos.

    10Copyright da Associao BM&F Direitos de Edio reservados por Associao BM&F.

    A violao dos direitos autorais crime estabelecido na Lei n 9.610/98 e punido pelo Art. 184 do Cdigo Penal.

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    Matemtica Financeira Aplicada a Derivativos. ltima atualizao: 14/05/2010

    Lembrete

    Sempre obedecer a seguinte ordem na resoluo de expresses numricas:a. De seguir a ordem de prioridade das operaes:

    1 - Potencias e Razes2 - Multiplicao e Divises3 - Adies e Subtraes4 - e da esquerda para a direita

    Ao calcular expresses matemticas lembre-se:b. Da ordem dos sinais conjugados:1 - lugar efetuar parnteses ()2 - lugar efetuar colchetes []3 - lugar efetuar chaves {}

    Exemplo de Regime de Capitalizao Simples

    Ao aplicar um montante de R$1.000,00 a uma taxa de juro de 2% a.m. por setemeses, qual o valor de resgate desta operao?

    ( )[ ]

    00,140.1$

    14,1000.102,071000.1100

    271000.1

    1001

    7

    7

    0

    RC

    C

    inCCn

    =

    =+=

    +=

    +=

    Os juros so iguais a J = Cn - C0 = R$1.140,00 R$1.000,00 = R$140,00

    Varveis da frmula de juros simples

    So quatro as variveis na composio da frmula de juros simples. Observe:

    +=

    10010

    inCCn

    ImportanteO prazo da operao (nmero de perodos, n) e a taxa de juro (i) devem estarexpressos na mesma unidade de tempo. Por exemplo, ao trabalhar com umataxa de juro de 2% ao ms, o perodo de tempo deve estar expresso emmeses.

    Sabendo trs destes elementos, o ltimo pode ser facilmente determinadomanipulando-se a frmula bsica.

    Alm disso, considerando que os juros so definidos pela expresso:

    J = Cn - C0 ou ento

    =100

    0 inCJ ,

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    possvel definir uma quinta varivel (J) para calcular as outras trs.

    Primeira Varivel: Valor Futuro

    Voc fez um emprstimo de R$10.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,5% ao msa ser pago em 12 meses. Qual o montante final deste emprstimo?

    ( )[ ] [ ]

    00,800.11$

    18,1000.1018,01000.10015,0121000.10100

    5,1121000.10

    1001

    0

    0

    RC

    C

    inCC

    n

    n

    =

    =+=+=

    +=

    +=

    Segunda Varivel: Valor Presente

    Qual o valor presente de um emprstimo que deve ser pago em seis meses, cujovalor futuro de R$13.400,00, admitindo uma taxa de juro simples de 2% ao ms?

    28,964.11R$

    12,1

    400.13

    100261

    400.13

    100

    261400.13

    1001

    0

    00

    ==

    +

    =

    +=

    +=

    C

    Ci

    nCCn

    Terceira Varivel: Nmero de Perodos

    Voc aplicou R$50.000,00 a uma taxa de juro simples de 12% ao ano. Quantos anosvo demorar para triplicar este valor, atingindo, portanto, R$150.000,00?

    anos67,1612,0

    1312,01000.50000.150

    100

    121000.50000.150

    10010

    ==+=

    +=

    +=

    nn

    ni

    nCCn

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    Lembrete:Para converter o prazo de uma operao para a mesma unidade de tempo emque a taxa est expressa, realize os seguintes procedimentos:

    a. primeiro, converta o prazo da operao para nmero de dias;b. depois divida o prazo da operao (em dias) pelo nmero de dias do prazoda taxa fornecida ou desejada.

    Exemplos:1) n = 24 dias e i = 10% ao ms

    o

    t

    nn de dias da operao 24N

    n de dias relativa taxa n 30

    = = = 2) n = 4 meses i = 22% ao ano

    o

    t

    nn de dias da operao 120N

    n de dias relativa taxa n 360

    = = =

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    13

    Quarta Varivel: Taxa de Juro

    Voc aplicou, a juros simples, R$100.000,00 e obteve R$123.000,00 aps 13 meses.A que taxa de juro foi aplicado este recurso?

    a.m.%77,1

    13

    123,1

    100100131

    000.100

    000.123

    100131000.100000.123

    10010

    =

    =

    +=

    +=

    +=

    i

    ii

    iinCCn

    Note que, quando os prazos esto em meses, a taxa de juro resultante expressa emmeses. Se o prazo est expresso em ano, a taxa de juro expressa em ano.

    Taxa Proporcional

    No regime de capitalizao simples duas taxas so ditas proporcionais, quandoaplicadas a um mesmo capital, e por um mesmo prazo, mas com perodos decapitalizao diferentes, geram o mesmo montante. Pelo mtodo de clculo de juros

    simples, duas taxas de juro, i e , sero consideradas proporcionais se, ao aplicardois montantes iniciais iguais ( C ), por dois perodos distintos de capitalizao, n e

    , os montantes finais resgatados forem iguais aps determinado perodo de tempo,ou seja:

    1 2i

    0 1

    2n

    += 1

    10 .

    1001 n

    iCCn e

    += 2

    20 .

    1001 n

    iCC n

    Como os montantes finais (C ) so iguais, possvel escrever:n

    +0 1

    =

    2

    21

    1 .

    100

    .

    100

    ni

    ni

    0C +1 C

    Logo, as taxas e so ditas proporcionais quando:1i 2i

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    22

    11 .

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    14

    100. n

    in

    i=

    100

    O que pode ser reescrito da seguinte forma:

    1

    221

    .n

    nii =

    Esta ltima frmula mostra que possvel calcular a taxa de juro , proporcional

    taxa de juro , conhecendo-se apenas o prazo de capitalizao .1i

    2i 1n

    Exemplo de Taxa Proporcional

    1) Qual a taxa anual proporcional taxa de juro de 1,5% ao ms?

    = taxa proporcional anual a ser encontrada (?)

    = 1 ano= 1,5% ao ms

    = 12 meses

    Logo:

    2) Qual a taxa ao dia proporcional taxa de juro de 20% ao ano, considerando-se360 dias corridos?

    = taxa proporcional ao dia a ser encontrada (?)= 360 dias corridos

    = 20% ao ano

    = 1 ano

    Logo:

    1

    20%.10,055%i ao dia= =

    360

    1i

    1n

    2i

    2n

    1

    1,5%.1218%

    1i ao ano= =

    1i

    1n

    2i

    n2

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    3. Regime de Capitalizao Composta ou Juros Compostos

    No regime de Capitalizao Composta, os juros de cada perodo so formados a partirdo Capital Inicial C0 acrescido dos juros formados nos perodos anteriores. Nestesentido, o montante final ir se elevar a cada perodo por uma razo (1 + i).

    Dessa forma, conclui-se que o crescimento do valor futuro passa a ser exponencial (eno mais linear como no regime de capitalizao simples).

    Suponha que voc aplicou R$10.000,00 a uma taxa de juro composta de 2% ao mspor quatro meses. Qual o montante final da aplicao? Vamos acompanhar estaoperao passo a passo:

    Perodo Frmula Onde

    0 0C = Valor Presente R$10.0000

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    15

    Ms 1

    C1= Valor Futuro (VF) no final do ms 1

    ( )

    100

    2

    100

    10.000VF

    VF 1

    VF 1

    VF 1,02

    VF R$10.200

    10.000

    10.000

    10.0 0,0200

    10.00

    ,

    0

    00

    = + = +

    = += =

    2 J0

    i

    100

    C0

    C C0 0

    C

    i

    1C

    000

    1

    C1

    C 11

    = + = + = +

    Ms 2

    2

    1

    2

    s 2

    2C C1

    C C2 1

    C C 12 1

    J1

    i

    100

    i

    100

    C 1 12

    C 1

    i i

    100 100

    i1

    C0

    C2 0

    = + = + = +

    = + + = +

    C Valor Futuro (VF) no f inal do m

    ( )( )

    2

    2

    2

    VF 1

    VF

    10.000

    10.

    100 100

    2

    100

    0000

    10.000

    10.0

    1

    VF 1,02

    VF 1,0404

    VF R$10.40

    00

    ,0

    4 0

    2

    ,0

    = +

    = += = =

    VF 1 110.0002 2 = + +

    C

    00

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    16

    3

    Ms 3

    C = Valor Futuro (VF) no final do ms 3

    Ms 4

    4C = Valor Futuro (VF) no final do ms 4

    Veja pela tabela acima que J0, J1, J2, J3 so sempre calculados a partir do valor inicial,somado os juros do perodo anterior. Isso caracteriza o regime de capitalizaocomposta. Assim podemos definir a expresso matemtica de CapitalizaoComposta para um nmero n de perodos como:

    n

    n

    iCC

    +=

    10010

    Onde:

    C0 = valor presente

    Cn= valor futuro aps n perodos

    n = nmero de perodos

    i = taxa de juro em porcentagem

    Esta expresso nos mostra como um capital inicial (C0), aplicado porn perodos, auma taxai composta, transforma-se no valor futuro (Cn).

    2

    2

    3

    C C3 2

    C C C3 2

    C C 13 2

    C 1 13

    J2

    i

    100

    i100

    i i

    100C0 100

    = + = + = +

    + + C0

    iC 1

    1003 = +

    ( )( )

    2

    3

    3

    3

    2

    100 100

    2

    VF 1 1

    VF 1

    VF 1

    VF 1,02

    VF 1,0612

    V

    10.000

    10.000

    10.000

    100

    0,02

    F R$10.612,

    10.000

    10

    0

    0

    8

    . 00

    + + = +

    = += = =

    2

    3

    3

    4

    C C4 3

    C C C4 3

    C C 14 3

    C 1 14

    J3i

    100

    i

    100

    i i

    100C0

    C0

    100

    iC 1

    1004

    = + = + = +

    + + = +

    ( )( )

    3

    4

    4

    4

    2

    100 100

    2

    VF 1 1

    VF 1

    VF 1

    VF 1,02

    VF 1,0824

    V

    10.000

    10.000

    10.000

    100

    0,02

    F R$10.824,

    10.000

    10

    3

    0

    2

    . 00

    + + = +

    = += = =

    2

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    Importante

    Assim como no regime de capitalizao simples, o prazo da operao (nmerode perodos) e a taxa de juro devem estar expressos na mesma unidade detempo. Caso, por exemplo, a taxa de juro esteja expressa ao ano (12% ao ano,

    por exemplo), o nmero de perodos deve se referir quantidade de anos.

    Lembrete:

    Ao calcular a taxa de juro na HP utilize sempre porcentagem - por exemplo, i=1,50% ao ms. Porm, quando for necessrio aplicar em uma frmula,sempre divida a taxa de juro em porcentagem por 100 (1,50%/100 = 0,015).

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    17

    Dica para HP 12 C

    Conhea as teclas ut ilizadas para clculo financeiron = calcula ou armazena o prazo de uma operao

    i = calcula ou armazena a taxa percentual de juros

    PV = calcula ou armazena o valor presente de uma operao (capital)

    FV = calcula ou armazena o valor futuro de uma operao (montante = principal+ juros)

    Variveis da frmula de juros compostos

    So quatro as variveis na composio da frmula de juros compostos. Observe:n

    n

    iCC

    +=

    10010

    Conhecendo trs elementos da expresso, possvel determinar facilmente orestante, bastando para isso realizar algumas transformaes na frmula bsica.

    Alm disso, considerando que os juros (J) so definidos pela expresso:

    J = Cn - C0ou ento

    +=

    += 1

    100i1CC

    100i1CJ

    n00

    n0

    possvel definir uma quinta varivel (J) para calcular as outras trs.

    Primeira Varivel: Valor Futuro

    Voc aplicou R$10.000,00 a uma taxa composta de 2,1% ao ms por sete meses.Qual o montante, Cn, acumulado ao final deste perodo?

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    ( ) ( )92,565.11$

    1565920,1000.10021,1000.10021,01000.10100

    1,21000.10

    1001

    77

    7

    0

    RC

    C

    iCC

    n

    n

    n

    n

    =

    ==+=

    +=

    +=

    Calculando pela HP12 C:a) Digite 10.000 e pressione a tecla CHS e em seguida a tecla PV;b) Na seqncia, digite 2,1 e pressione a tecla i;c) Em seguida, digite 7 e aperte a tecla n;d) Tecle FV. O visor deve mostrar o resultado 11.565,92.

    Portanto:J = Cn - C0 = 11.565,92 10.000,00 = 1.565,92

    Segunda Varivel: Valor Presente

    Calcule o capital inicial de uma aplicao que aplicada por dois meses taxa de jurode 4% ao ms acumulou o montante final de R$16.000,00.

    ( )90,792.14$

    04,1

    000.16

    100

    41

    000.16

    1001

    220R

    i

    CC

    n

    n ==

    +

    =

    +

    =

    Calculando pela HP12Ca) Digite 16.000 e aperte a tecla FV;b) Em seguida, digite 4 e aperte a tecla i;c) Na seqncia, digite 2 e pressione a tecla n;d) Tecle PV. O visor deve mostrar o resultado - 14.792,90.

    Dica para HP 12 C

    Para calcular uma potncia usa-se a funo y x :

    a. digite a base y e aperte a tecla ENTER para a base ir para a memria Y;

    b. digite o expoente x ;

    c. aperte a tecla yx ;d.o visor deve mostrar o resultado de yx.

    Exemplificando 4 68/360

    a. digite a base 4 e aperte a tecla ENTER para a base ir para a memria Y;

    b. digite o expoente 68 aperte a tecla ENTER e em seguida digite 360 e apertea tecla . Em seguida, pressione a tecla yx. O visor deve mostrar o resultado de1,30

    Podemos ainda obter o valor presente a partir dos juros do perodo. Observe abaixo.

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    ; Demonstrao da FrmulaPara saber o Valor Presente, conhecendo somente os juros pagos no perodo, preciso realizar as seguintes transformaes algbricas:

    ( ) ( )

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    19

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) 1111

    11

    11

    11

    11

    11

    00

    0

    0

    0

    0

    0

    +=

    +=

    +

    +

    +=

    +

    +=

    +

    +

    +=

    +=

    nnn

    n

    nnnn

    nn

    n

    i

    JC

    i

    J

    i

    iC

    i

    J

    iC

    i

    J

    i

    CC

    i

    JC

    i

    CC

    Determine o capital, que aplicado durante seis meses a uma taxa de juro composta de

    2% ao ms, obteve um rendimento de R$20.000,00.

    ( ) ( )82,525.158$

    1261,0

    000.20

    11261,1

    000.20

    1020,1

    000.20

    1100

    21

    000.20

    11660

    Ri

    JC

    n==

    =

    =

    +

    =+

    =

    Calculando pela HP12 C:a) Digite 20.000 e pressione a tecla ENTER;b) Em seguida digite 1 e aperte a tecla ENTER.c) Na seqncia, digite 2 e a tecla % e pressione a tecla + . Feito isso, tecle o nmero6 e pressione yx. Digite o nmero 1 e logo aps o smbolo - . Finalmente, aperte a

    tecla .d) O visor deve mostrar o resultado 158.525,82.

    Terceira Varivel: Nmero de Perodos

    No regime de capitalizao composta, para achar o nmero de perodos precisoaplicar a seguinte frmula:

    ( )i1LC

    CL

    nn

    0

    nn

    +

    =

    Veja como esta frmula obtida logo abaixo.

    ; Demonstrao da FrmulaPara chegarmos frmula do nmero de perodo na capitalizao composta, preciso realizar as seguintes transformaes algbricas:

    ( )( ) ( ) ( )[ ]

    ( )( )i

    C

    C

    nC

    Cin

    C

    Ci

    C

    CiCiC

    i

    CC

    o

    n

    o

    n

    o

    nn

    o

    nn

    n

    n

    n

    n

    +==+

    =+=+=++

    =

    1ln

    ln

    ln1ln

    ln1ln111

    00

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    Matemtica Financeira Aplicada a Derivativos. ltima atualizao: 14/05/2010

    1001

    1

    0

    =

    nn

    C

    Ci

    Voc aplicou a juros compostos R$100.000,00 e obteve R$123.000,00 aps 13meses. A que taxa de juro foram aplicados estes recursos?

    ( )[ ] [ ]

    ..%61,110001605,0

    100101605,1100123,11001000.100

    000.1231001

    076923077,013

    11

    0

    mai

    C

    Ci

    nn

    =

    ==

    =

    =

    Calculando pela HP12 C:a. Digite 100.000 e pressione a tecla CHS. Em seguida a tecla PV;b. Na seqncia, digite 123.000 e aperte a tecla FV;c. Em seguida, digite 13 e aperte a tecla n;d. Digite a tecla i. O visor deve mostrar o resultado 1,605.

    Note que quando os prazos esto em meses, a taxa de juro resultante expressa emmeses. Se o prazo est expresso em ano, a taxa de juro expressa em ano. Noentanto, pode ocorrer que o prazo esteja expresso em uma unidade do tempo e a taxade juro em outra. Dessa forma, ser preciso analisar o conceito de taxas equivalentesno regime de capitalizao composta.

    Taxa Equivalente

    Duas taxas de juro so equivalentes se, ao se aplicar um montante inicial , por

    prazos idnticos, mas com periodicidades diferentes, o montante final, capitalizado porcada uma das taxas, for o mesmo.

    0C

    No regime de juros compostos, duas taxas de juro e so consideradas

    equivalentes se ao capitalizar um montante inicial pelo mesmo prazo, mas com

    periodicidades distintas e , resultar em um mesmo montante final . Dessa

    forma, possvel escrever que:

    1i 2i

    0C

    1n 2n nC

    1

    1001 10

    n

    n iCC

    += e

    2

    1001 20

    n

    n iCC +=

    Como os montantes finais so iguais, ento:nC

    21

    1001

    1001 20

    10

    nni

    Ci

    C

    +=

    +

    Elevando os dois lados da igualdade por1

    1

    ne fazendo algumas manipulaes

    algbricas chega-se a:

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    Exemplo de Taxa Equivalente

    1) Qual a taxa diria equivalente a 6% ao ms, pelo regime de capitalizao

    composta?1i = taxa equivalente diria a ser encontrada (?)

    1n = 30 dias

    2i = 6% ao ms

    2n = 1 ms

    Logo:

    1

    30

    1

    6%1 1 .100 0,194%

    100i a

    = + =

    o dia

    2) Qual a taxa anual equivalente a 1,5% ao ms, pelo regime de capitalizaocomposta?

    1i = taxa equivalente anual a ser encontrada (?)

    1n = 1 ano

    2i = 1,5% ao ms

    2n = 12 meses

    Logo:

    12

    1

    1

    1,5%1 1 .100 19,56%

    100i ao ano

    = + =

    3) Considere que a taxa de juros seja igual a 0,05% a.d. Calcule:

    a) a taxa mensal equivalente

    ( ) ( ) ( )30 30 301 1 130 130

    i 1 i 1 1 0,0005 1 1,0005 1 0,0151

    i 1,51%a.m.

    = + = + = = =

    b) a taxa anual equivalente

    ( ) ( ) ( )360 360 3601 1 1360 1360

    i 1 i 1 1 0,0005 1 1,0005 1 0,1972

    i 19,72%a.a.

    = + = + = = =

    4) Considere que a taxa de juros seja igual a 12% ao semestre. Calcule:

    a) a taxa anual equivalente

    ( ) ( ) ( )360 2 2180360 180360

    i 1 i 1 1 0,12 1 1,12 1 0,2544

    i 25,44%a.a.

    = + = + = = =

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    b) a taxa mensal equivalente

    ( ) ( ) ( )1

    630 1

    180 630 180

    30

    i 1 i 1 1 0,12 1 1,12

    i 1,91%a.m.

    = + = + = =1=

    5) Calcule o capital inicial de uma aplicao que durante 50 dias aplicada taxa dejuros de 4%a.m acumulou o montante final de R$16.000,00

    ( )

    n

    50 1,6666

    30

    CnC0i

    1100

    16.000 16.000 16.000C0 1,067551671,04

    41 100

    C R$14.987,570

    =

    +

    = = =

    +

    =

    Calculando pela HP12 C:

    Voc tambm poder calcular da seguinte maneira:a) Digite 16000 e aperte a tecla FV;b) Em seguida, digite 4 e aperte a tecla i;c) Na seqncia, digite 50 e pressione ENTER. Feito isso, digite 30 e aperte a tecla .

    O prximo passo pressionar a tecla n;

    d) Tecle PV. O visor deve mostrar o resultado - 14.987,56.

    5) Um investidor aplicou durante 256 dias um valor de R$120.000,00. Calcule o valorfinal obtido, considerando uma taxa de juros de 15%a.a.

    ( )

    n

    n 0

    256256

    360 360256

    256

    iC C 1

    100

    15C 120.000 1 120.000 1,15100

    C R$132.539,14

    = +

    = + =

    =

    Calculando pela HP12 C:

    Voc tambm poder calcular da seguinte maneira:a) Digite 120000. Aperte a tecla CHS e logo aps, a tecla PV;b) Em seguida, digite 15 e aperte a tecla i;

    c) Na seqncia, digite 256 e pressione ENTER. Feito isso, digite 360 e aperte a tecla . O prximo passo pressionar a tecla n;

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    d) Tecle FV. O visor deve mostrar o resultado 132.539,14.

    Ateno!

    Quando temos problemas com prazos no inteiros e devemos usar o regime decapitalizao composto, necessrio utilizar a conveno no exponencial. Dessaforma, o canto direito inferior do visor da HP-12C deve ter a indicao do estado "C".Isso feito ao pressionar, em seqncia, as funes: STO EEX.Caso isso no seja feito, a HP estar calculando pelo regime de juros simples,utilizando sistema misto de capitalizao - as partes inteiras dos prazos estaro sendofeitas a juros compostos e as partes fracionrias feitas a juros simples. No exerccioacima, ao no utilizar o estado C, o resultado ser igual a R$ 132.800,00 (valor futurocalculado a juros simples).

    4. Taxa Prefixada e Ps Fixada

    4.1. Taxas Nominal, Efetiva e real

    Uma taxa de juro definida como nominal quando calculada em relao ao valornominal da aplicao ou emprstimo, conforme o valor acordado no contrato ou ttulo.Dessa forma, possvel notar que se trata de um valor aparente. Os juros so,portanto, calculados sobre o valor nominal da operao.

    Em situaes em que a taxa de juro calculada sobre o valor efetivamente

    emprestado ou aplicado, define-se a taxa como efetiva. Assim, os juros so obtidoscom base no valor efetivamente emprestado ou aplicado.

    Adicionalmente, quando este valor corrigido pela inflao do perodo da operao, ataxa de juro calculada definida como real. Esta ltima obtida pela seguinte frmula:

    11

    1

    +

    +=

    )InflaodeTaxa(

    )EfetivaTaxa(realTaxa

    Exemplo Taxas Nominal, Efetiva e RealConsidere que a empresa TNK obtenha um emprstimo do banco com a qualtrabalha no valor de R$ 70 mil, sendo que ter que pagar R$ 85 mil aps quatro mesesda contratao. O banco solicita que o cliente mantenha 10% do valor do emprstimocomo saldo mdio durante o perodo da operao. Alm disso, foi cobrada uma taxade abertura de crdito de R$ 80,00; a qual foi paga no ato da contratao. Nestesquatro meses, a taxa de inflao acumulada foi igual a 7%. Calcule a taxa de juronominal, efetiva e real da operao.

    Taxa nominal

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    min

    1

    4

    (85.000 70.000)100 100 21,43% ao perodo

    70.000

    21,43%1 1 4,97%100

    no al

    Juros pagosi

    Capital inicial

    ou ao ms

    = = =

    + =

    Taxa efetiva

    ( ) ( )85.000 0,10 70.000 70.000 80 0,10 70.000100 100

    70.000 80 0,10 70.000efetiva

    Juros pagosi

    Capital inicial efetivo

    = =

    1

    423,97%23,97% . 1 1 5,52%

    100efetivai a p ou a

    = + =

    o ms

    Como o banco cobrou uma taxa para o emprstimo e estipulou que a empresa devedeixar 10% do valor do emprstimo como saldo mdio em conta corrente, observe queo valor efetivo do emprstimo de R$ 62.920,00 (= R$ 70.000 0,10 R$ 70.000 R$ 80,00) e que o valor de resgate igual a R$ 78.000 (o pagamento do emprstimo completado pelos R$ 7.000 mantidos como saldo mdio).

    Taxa real

    inf

    (1 ) (1 0,2397)1 100 1 100 15,86% ao perodo

    (1 ) (1 0,07)

    efetiva

    real real real

    lao

    ii i i

    i

    + += = = + +

    ou

    1415,86%

    1 1 3,75%100

    reali a

    = + =

    o ms

    Lembrete:Na literatura sobre este assunto, existe uma outra abordagem relativa aoconceito de taxa nominal e efetiva. A taxa nominal de juros consiste na taxa emque a unidade de tempo para a qual ela foi definida no coincide com aunidade de tempo para a qual foi capitalizada. J para a taxa efetiva, existe talcoincidncia. Observe:

    Suponha que temos uma taxa de juro de 24% ao ano capitalizadamensalmente. Esta chamada de taxa nominal, j que a unidade de tempo emque est definida no a mesma que o intervalo de tempo ao qual capitalizada. Para transform-la para taxa efetiva, preciso seguir as duasetapas a seguir:

    a) Taxa mensal = Taxa nominal / n de capitalizaes = 24% / 12 = 2% ao ms

    b) Taxa de juro efetiva= ( ) = 26,82% ao ano2682,0102,01 12 =+

    4.2. Taxas Acumuladas

    A taxa acumulada de juros em um perodo obtida mediante a aplicao da Frmulade Fisher. Esta taxa amplamente utilizada no mercado financeiro para clculo do

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    rendimento de investimentos que mudam sua remunerao a cada perodo (exemplo:fundos de investimento atrelados aos Depsitos Interfinanceiros de 1 dia).

    Frmula de Fisher: (1+iacumulada) = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ... (1 + in)

    i1 : taxa de juro referente ao perodo 1i2 : taxa de juro referente ao perodo 2i3 : taxa de juro referente ao perodo 3...in : taxa de juro referente ao perodo n

    Lembrete:

    A frmula da taxa de juro real, advm da Frmula de Fisher, com a qual seobtm uma taxa acumulada em um perodo de tempo a partir das taxas queocorreram em seus sub-perodos. Assim, sendo:

    ( ) ( ) ( ) ( )nacumulada iiiii ++++=+ 1...111)1( 321

    Pode-se definir: ( ) laorealefetiva iii inf11)1( ++=+

    de onde: 1)1(

    )1(

    inf

    +

    +=

    lao

    efetiva

    reali

    ii

    Exemplos de Taxas Acumuladas

    a) Um investidor est aplicado em um fundo que apresentou as rentabilidades citadasabaixo. Conhecendo os dados, calcule a rentabilidade acumulada no trimestre de certoano.Outubro: 1,65%; novembro: 2,01% ; dezembro: 1,86%.

    ( ) ( ) ( )0186010201010165011 ,,,)i( acumulada +++=+ ( ) ( ) ( ) 056201018601020101016501 ,,,,iacumulada =+++=

    .t.a%,iacumulada 625=

    b) Um agente de mercado aplicou certa quantia em ttulos prefixados durante 96 dias,cuja rentabilidade era de 14%a.a. Aps o resgate, aplicou novamente em ttulos por120 dias que garantiram rentabilidade de 14,50%a.a. Calcule a rentabilidadeacumulada no perodo.Note que, neste caso, preciso calcular a taxa equivalente para as duas aplicaes.

    ( ) ( ) a.p.%34,8145,0114,01)1( 360120

    360

    96

    =++=+ acumuladai

    c) No perodo abaixo, um indexador registrou as taxas de inflao indicadas abaixo emcerto ano. Calcule a inflao acumulada no perodo.

    janeiro: 2,2%; fevereiro: 2,0%; maro:1,4%; abril: 0,5%; maio: 0,3%; junho: 0,01%

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    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0001010030100501014010201022011 ,,x,x,,,)acumuladai( ++++++=+ .p.a%56,6iacumulada =

    4.3. Taxa Mdia

    O clculo da taxa mdia de juros tem como base o conceito de mdia geomtrica. Ouseja, para obt-la, aplica-se a seguinte frmula:i mdia = { [(1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ... (1 + in) ]

    1/ n - 1 }i mdia = { [(1 + iacumulada)

    1/ n - 1 }

    Sendo:n = nmero de taxas analisadas

    ExemploUm agente de mercado obteve as seguintes rentabilidades em uma carteira deinvestimentos: jul/03: 1,85%; ago/03: 2,11% ; set/03:1,94%; out/03: 2,50%.

    Calcule a rentabilidade mdia obtida neste perodo.

    i mdia = {[(1+ 0,0185) (1+ 0,0211) (1+ 0,0194) (1+0,025)]1/4 -1}

    i mdia = (1,08667)1/4 -1 = 0,0210

    i mdia = 2,10% a.m.

    4.4. Taxa Over

    A taxa over corresponde taxa de juro definida ao ano, por dia til, considerando queum ano igual 252 dias teis. Ou seja, a taxa de juro deve ser dividida pelo nmero dedias corridos que a taxa est expressa (30 para o perodo de um ms; 360 para umano), a fim de se encontrar uma taxa diria que ser capitalizada pela quantidade dedias teis.

    100111

    100

    +=

    nu

    overefetiva

    dci

    i

    Sendo,nu = nmero de dias teisdc = dias corridos que a taxa est expressa

    Exemplos:

    a) Calcule a taxa efetiva que corresponde a uma taxa over de 15%a.a.

    a.a.%07,1110011

    36000

    1510011

    360

    1

    100

    15

    252252

    =

    +=

    +=efetivai

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    1 ano = 252 dias teis

    b) Calcule a taxa efetiva que corresponde a uma taxa over de 2,5%a.m.

    ..%76,110011300

    5,210011

    30

    1

    100

    5,2

    2121

    maiefetiva =

    +=

    +=

    1 ms = 21 dias teis

    c) Calcule a taxa over que corresponde a uma taxa efetiva de 16,5%a.a.

    Neste caso, preciso em primeiro lugar calcular a taxa efetiva por dia til:

    ).(.%0606,010011100

    5,16252

    1

    tildaiefetiva =

    +=

    O prximo passo obter a taxa over multiplicando por 360:

    ..%82,21360%0606,0 aaiover ==

    d) Calcule a taxa over que corresponde a uma taxa efetiva de 2,2 %a.m.

    Taxa efetiva por dia til:

    ).(.%1037,010011100

    2,221

    1

    tildaiefetiva =

    +=

    O prximo passo obter a taxa over multiplicando por 30:

    ..%11,330%1037,0 maiover ==

    4.5. Taxas Contnuas

    Nos regimes de capitalizao simples e composta, os juros so pagos ou recebidos ao

    final de cada perodo de capitalizao. O capital, aplicado ou emprestado, capitalizado e tem aumento a cada intervalo de tempo considerado, sendo estediscreto.

    diferena dos regimes de capitalizao acima citados, no regime de capitalizaocontnua, existe pagamento de juros a cada perodo infinitesimal de tempo. Com isso,o capital cresce continuamente no tempo a uma taxa de juro instantnea.

    Veja, a seguir, os conceitos relativos a este tipo de capitalizao, entendendo osprocedimentos de clculos.

    No regime de capitalizao composta, ao investir um determinado capital, C0, a umataxa de juro i (% ao ano) pelo perodo de n anos, obteremos um valor igual a:Cn = C0 (1 + i)

    n

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    Se a capitalizao ocorre k vezes ao ano, o valor de resgate dado por:Cn = C0 (1 + i /k)

    n k

    Caso o nmero de capitalizaes tenda ao infinito (k ), temos o regime decapitalizao contnua. Neste caso, o valor de resgate dado por:

    Cn = C0 er n ,

    Onde r taxa de juro instantnea.

    Para obter a taxa instantnea (r) a partir da taxa de juros compostos (i), basta seguir afrmula abaixo:

    r= ln (1 + i)

    Cabe ainda observar que a equivalncia das taxas no regime de capitalizao

    contnuo segue a mesma sistemtica da capitalizao simples. Assim:

    1

    221

    .

    n

    nrr =

    Esta ltima frmula mostra que possvel calcular a taxa de juro r2, proporcional taxa de juro r1, conhecendo-se apenas o prazo de capitalizao n1.

    Exemplos

    a) Qual a taxa anual proporcional taxa de juro de 1% ao ms?r1 = taxa proporcional anual a ser encontrada (?)

    n1 = 1 anor2 = 1% ao msn2 = 12 meses

    Logo:

    a.a.%121

    12%1

    1

    221 =

    =

    =

    n

    nrr

    b) Qual a taxa ao dia proporcional taxa de juro de 10% ao ano, considerando-se360 dias corridos?r1 = taxa proporcional ao dia a ser encontrada (?)

    n1 = 360 dias corridosr2 = 10% ao anon2 = 1 anoLogo:

    a.d.%03,0360

    1%10

    1

    221 =

    =

    =

    n

    nrr

    c) Considerando uma taxa de juro de 16% a.a. no regime de capitalizao composta,calcule a taxa instantnea de juro para 30 dias.

    A taxa de juro instantnea para um ano igual a:r= ln (1 + 0,16) = 14,84 % ao ano

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    Para um perodo de trinta dias, a taxa de:r= 0,1484 30 / 360 = 1,24% ao ms

    d) Calcule o valor futuro de um capital de R$10 mil, considerando uma taxa de juros de1% ao ms e prazo de 12 meses.

    97,274.11$000.10 1201,00 ReCeCC nrn

    n ===

    e) A partir de um valor futuro de R$20.000, taxa de juros de 12% ao ano e prazo dedois anos, calcule o valor presente desta operao.

    56,732.15R$000.20000.20 212,0

    212,000====

    e

    eCeCC rnn

    5. Aplicaes no Mercado da BM&FBOVESPA

    5.1. Aplicaes no mercado futuro de DI de Um Dia

    Clculo do PU

    A unidade de cotao do contrato futuro de DI de Um Dia refere-se taxa de juroacumulada para o perodo compreendido entre a data da operao e a data de seuvencimento. Para tanto, utiliza-se a taxa dos depsitos interfinanceiros de um dia deprazo apurada pela CETIP (CETIP S.A. Balco organizado de Ativos e Derivativos).

    Por conveno, em seu vencimento, o contrato futuro de DI de Um Dia possui umPreo Unitrio (PU) de 100.000 pontos, sendo que cada ponto equivale a R$1,00.Conclui-se, portanto, que o valor futuro do contrato equivale a 100.000 pontos (ou

    R$100.000,00).

    Neste sentido, o valor presente do contrato expresso em Preo Unitrio, ao trazer os100.000 pontos (valor futuro do contrato) a valor presente, considerando a taxa de juroefetiva at o vencimento do contrato. Veja:

    ( )2521

    000100du

    i

    .PU

    +=

    Valor Presente emCapitalizao

    Com os ta

    Onde:ik = taxa de juro ao ano para o perodo de n dias teis;n = perodo de tempo, expresso em dias teis, at o vencimento do contrato futuro.Como a taxa anual, preciso que o perodo de tempo tambm seja expresso emanos. Assim, divide-se n por 252, j que um ano, por conveno, possui 252 diasteis. Dessa forma, possvel obter o perodo de tempo em anos.

    Vale destacar que prtica comum no mercado financeiro utilizar o perodo de tempoda operao expresso em dias teis.

    Lembrete:

    Voc est lembrado da frmula para encontrar o valor presente na

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    capitalizao composta? Observe que para encontrar o PU usamosjustamente esta frmula, sendo o valor presente (C0) igual ao PU negociado eo valor futuro (Cn) igual a 100.000 pontos.

    n

    0 n

    C

    C i1

    100

    = +

    Exemplos

    a) Uma instituio financeira vendeu 500 contratos futuros de DI de Um Dia pela taxade 13,25%, faltando 85 dias teis para seu vencimento. Qual o PU de registro daoperao?Como no vencimento o contrato futuro vale 100.000 pontos, esse valor de registro

    surge ao responder a pergunta: qual o montante de dinheiro que, se aplicado taxade 13,25% a.a. por 85 dias teis, permitiria obter R$100.000 no vencimento docontrato?

    Resposta:

    ( )89,889.95

    1325,01

    000.100PU

    25285=

    +=

    (sempre arredondar na segunda casa decimal)

    b) Um banco comprou 100 contratos futuros de DI de Um Dia pela taxa de 11,5%,faltando 240 dias teis para seu vencimento. Qual o PU da operao?

    Resposta:

    ( )20,152.90

    115,01

    000.100PU

    252240=

    +=

    Clculo do nmero de saques at o vencimento

    Para encontrar o perodo da operao, aplicamos a frmula a seguir:

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    32

    n0

    CLn Cn

    iLn 1

    100

    = +

    Nmero de dias emCapitalizao

    Composta

    Vamos substituir a frmula pelos dados do exemplo anterior:Dados:Valor Futuro = 100.000Valor Presente ou PU = 99.412,17i = 13,15% ao ano (base 252 dias teis)n = ?

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    047619,0

    100

    18,131ln

    99.412,17

    000.100ln

    =

    +

    =n

    Transformando o perodo em nmero de dias teis, obtemos:n = 0,047619 x 252 dias teis = 12 dias teis

    Clculo da taxa a partir do PU

    Suponha que, no dia 16/01, um agente negocia 100 contratos futuros de DI de Um Diapara vencimento em maio. O PU negociado foi de 96.676,04. Sabendo que o nmerodias teis, compreendido entre a data de negociao e a data de vencimento docontrato, de 72 dias teis, qual foi a taxa de juro implcita nesta operao?

    Dados:Valor Futuro = 100.000Valor Presente ou PU = 96.676,04i = ?n = 72 dias teis

    Observamos tambm que o clculo da taxa de juro segue a frmula a seguir:

    1

    nn0

    Ci 1C

    = 100

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    33

    Para obter uma taxa anual, preciso expressar o perodo (n) em ano. Assim, n serigual a 13/252. Substituindo, temos:

    a.a.

    96.676,0496676,04

    %56,12

    1001000.100

    1001000.100 72

    252

    252

    72

    1

    =

    =

    =

    i

    i

    Taxa implci ta e a termo

    Ao analisar o PU de ajuste do mercado futuro de DI de Um Dia, possvel calcular ataxa de juro implcita negociada para o perodo que vai do dia da negociao at ovencimento do contrato.

    Para tanto, basta dividir 100.000 pontos pelo PU de ajuste e compor a taxa para operodo desejado. Veja exemplos de clculo pela tabela.

    Vecto PU deDias teis

    (n de saques) Taxa Implcita no

    Taxa de juro em

    CapitalizaoComposta

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    ajuste perodo (a.a)

    set 97.490,20 58 11,68%

    out 96.711,09 77 11,57%

    jan 94.298,74 139 11,23%

    abr 92.071,48 200 10,97%

    - Vencimento setembro:

    %68,11100120,490.97

    000.10058/252

    =

    =anuali

    - Vencimento outubro:

    %57,11100109,711.96

    000.10077/252

    =

    =anuali

    - Vencimento janeiro

    %23,11100174,298.94

    000.100139/252

    =

    =anuali

    - Vencimento abril

    %97,10100148,071.92

    000.100200/252

    =

    =anuali

    Como o objeto de negociao do contrato de DI de Um Dia a taxa de juro acumuladadesde o dia da negociao at o dia o seu vencimento e como este acontece noprimeiro dia til do ms do vencimento, a cotao para um ms distante implicitamenteembute uma cotao de juros para os meses precedentes. Por exemplo, uma cotao,feita em maro para o vencimento julho, traz uma cotao implcita da taxa de juro dos

    meses de abril, maio e junho.Assim, para saber qual a taxa de juro operada para um determinado ms basta dividiro PU de um vencimento pelo imediatamente posterior e compor a taxa considerando onmero de dias teis entre eles. Ao dividir o PU de junho pelo de julho, por exemplo,obtm-se a taxa de juro a termo para junho. No entanto, quando se no se temcotaes de meses subseqentes (por exemplo, quando s se dispe de cotaespara os meses incio de trimestre, o quociente fornecer a taxa a termo para otrimestre). Veja como proceder estes clculos pela tabela. Observe, ainda, que aprimeira cotao realizada no ms de junho (a 57 dias teis do final do ms deagosto). Portanto, no se pode falar em taxa a termo para junho, julho ou agosto.1

    1Para estimar a taxa a termo de agosto, por exemplo, necessrio fazer alguma hiptese sobre a taxa doperodo restante, caso contrrio, sempre se obter a mesma taxa mdia apurada no perodo.

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    Observe tambm, que no possvel calcular a taxa de juro a termo para o ms deabril nem para o trimestre que inicia em abril (pois no temos, neste exemplo, acotao do vencimento subseqente). De forma semelhante, a partir da cotao dovencimento abril s possvel obter a taxa de juro implcita para o perodocompreendido entre o dia da negociao e o dia de vencimento (para conhecer a taxade juro do ms calendrio de abril seria necessrio dispor da taxa de juro acumuladaentre o primeiro dia do ms de maro e o dia anterior ao da negociao).

    VectoPU deajuste

    Dias teis(n de saques)

    Mscalendrio

    Taxa doperodo*

    Taxa de JuroProjetada (a.a)

    set 97.490,20 58 setembro 0,81% 11,23%

    out 96.711,09 77 out-dez 2,56% 10,81%

    jan 94.298,74 139 jan-abr 2,42% 10,38%

    abr 92.071,48 200* Perodo (em dias teis) compreendido entre um vencimento e o subseqente.Exemplo 2,56%refere-se taxa do perodo entre 1/10 (data de vencimento OUT)e o 01/01 (data vencimento JAN).

    9 Setembro:

    ( )

    .%23,11109,711.96

    20,490.97

    %81,0109,711.96

    20,490.97

    5877252

    aai

    perodonoi

    anual

    perodo

    =

    =

    =

    =

    9 Outubro-Dezembro:

    ( )

    .%81,10174,298.94

    09,711.96

    %56,2174,298.94

    09,711.96

    77139252

    aai

    perodonoi

    anual

    perodo

    =

    =

    =

    =

    9 Janeiro-Abril:

    ( )

    .%38,10148,071.92

    74,298.94

    %42,2148,071.92

    74,298.94

    139200252

    aai

    perodonoi

    anual

    perodo

    =

    =

    =

    =

    5.2. Mercado futuro de cupom cambial

    Os contratos futuros de cupom cambial disponveis para negociao naBM&FBOVESPA sob a sigla DDI tm como objeto de negociao a diferena entre aacumulao das taxas do DI e a variao do dlar(PTAX800 de venda).

    O registro da operao do contrato futuro de cupom feito pelo seu Preo Unitrio

    (PU). No vencimento do contrato, o PU igual a 100.000 pontos. Como cada ponto igual a US$0,50, o PU no vencimento equivale a US$50.000,00.

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    O PU expresso com duas casas decimais e calculado ao trazer os 100.000 pontos avalor presente, considerando a taxa do cupom ao ano negociada (i), sendo n o nmerode dias corridos at o vencimento do contrato:

    1360

    ni

    000.100PU

    +

    =

    Neste contrato futuro, a taxa do cupom cambial (i) e o PU so inversamenteproporcionais. Ou seja, o aumento (queda) da taxa do cupom leva a uma queda(aumento) do PU.

    Exemplos

    Suponha que em 18/04 o Fundo YKW tem um ativo dolarizado no valor de US$10milhes aplicados em uma carteira com rendimento taxa de juro do DI, o quesignifica que mudanas nas taxas de juro e na variao cambial alteraro o cupom

    cambial. Para se proteger de uma variao do cupom cambial, o Fundo YKW decidevender 201 contratos futuros de cupom cambial a taxa de juros de 4,50%a.a.

    Qual o PU de negociao?

    99.453,01

    1)36044

    0450,0(

    000.100PU =

    +

    =

    Ou seja, com a venda de taxa o Fundo comprou PU a 99.453,01. Veja que, por setratar de taxa de juros em dlar utilizamos no clculo anterior conceitos do regime decapitalizao simples (que o utilizado nos mercados internacionais).

    O valor referencial do contrato igual ao PU multiplicado pelo valor de cada ponto,sendo este de US$0,50. Neste exemplo, igual a: 99.453,01 0,50 = US$49.726,51

    5.3. FRA

    Em janeiro de 2001, a BM&F lanou uma modalidade operacional no mercado de DDIcom o propsito de permitir a realizao de FRA (Forward Rate Agreement) de cupomcambial, cujo cdigo de negociao FRC.

    Por meio desta operao, as partes (compradores e vendedores) negociam uma taxade juro anual linear (base 360 dias corridos) para um perodo futuro entre t1 e t2, ouseja, entre o dia da liquidao do primeiro vencimento do DDI e o dia de liquidao dovencimento mais distante.

    A realizao de FRA representa a negociao de 2 (dois) contratos futuros de DDI,onde:

    ao negociar a compra de FRA: vende-se contrato de DDI na ponta (vencimento)curta (t1) e vende-se contrato de DDI na ponta longa (t2).

    ao negociar a venda de FRA: compra-se contrato de DDI na ponta (vencimento)curta (t1) e compra-se contrato de DDI na ponta longa (t2).

    Figura. Representao de uma operao vendida em FRA

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    Exemplo

    Uma instituio financeira contrair uma dvida em dlares no dia 01/03 (17 diascorridos a partir de hoje, t). A liquidao da operao ocorrer no dia 01/02 do anosubseqente (324 dias corridos a partir de hoje, t). O risco da instituio de alta docupom cambial entre estas duas datas.

    Para gerenciar esta exposio, realiza a compra de FRA na BM&F a 7,30% a.a. Aoperao provoca a abertura de:

    - Posio vendida em ponta curta no DDI a 13,76% a.a (no vencimento maro desteano, com 17 dias corridos para liquidao):

    O contrato prev que a abertura da posio seja feita utilizando como preo o PU deajuste deste vencimento. Neste exemplo, na data t, esse PU foi de 99.354,42,equivalente a uma taxa de:

    aa%76,1317

    3601-

    42,354.99

    00,000.100=

    - Posio comprada em ponta longa no DDI a 7,68% a.a (no vencimento fevereiro doano seguinte com 324 dias corridos para liquidao).

    A taxa de 7,68% advm do acmulo da ponta curta com a taxa do FRA:

    a.a%68,7324

    36011

    360

    17)-324(0730,01

    360

    171376,0 =

    +

    +

    Equivale a uma posio vendida em PU no vencimento longo a 93.534,86:

    + 1)

    360

    3240768,0(

    000.100

    Ao fazer isso, a instituio fixa um cupom cambial limpo (isento da distoro criada

    pela variao cambial entre o dia da operao e a vspera) para o perodocompreendido entre 01/03/X1 e 01/02/X2, conforme mostra a figura abaixo.

    Figura. Representao da operao FRA do exemplo

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    5.4. Swaps

    A palavra swap significa troca ou permuta. Neste sentido, um contrato de swaprepresenta um acordo no qual os agentes que os negociam trocam fluxos futuros decaixa baseados em parmetros (com as respectivas variveis), valor de referncia

    e prazo. A valorizao do contrato tem base na regra de formao do parmetro.

    Definies

    Parmetros: so as frmulas para clculo dos fluxos. Ou seja, corresponde a umconjunto de informaes para a valorizao do contrato. Em um contrato, soadmitidos apenas dois parmetros. Podem, ou no, permitir o uso de percentuais etaxa de juro, conforme definio do contrato, ou seja:

    ( )[ ]{ } ( )jurodetxpercentualivel + += 11var1P + Variveis: preo ou taxa que ser apurado ao longo de um perodo para valorizar oparmetro.

    Valor de Referncia: valor inicial sobre o qual incidir a valorizao do parmetro.Tambm conhecido como principal ou valor notional.

    Prazo: perodo de atuao do parmetro sobre o valor inicial para obteno dosvalores finais.

    Valorizao: cada parmetro valorizado conforme as informaes sobre acomposio do parmetro (varivel, percentual e juro).

    Como exemplos de aplicaes da matemtica financeira no mercado de swaps,definiremos e exemplificaremos abaixo os swaps de taxa de juro e de ndices.

    DefiniesSwap de Taxa de Juro: contrato atravs do qual dois agentes trocam indexadoresassociados a seus ativos ou passivos e baseados em duas taxas de juro diferentes.Veja abaixo tipos de indexadores utilizados no mercado brasileiro e exemplos deswap.

    * Exemplos de indexadores: taxa prefixada (PR), Taxa de Depsito Interfinanceiro deUm Dia (DI1), Taxa de Juro de Longo Prazo (TJLP), Taxa Referencial (TR) e TaxaSELIC.

    * Exemplos de swap:

    1) Swap DI1 x DOL - trocam-se fluxos de caixa indexados ao DI por fluxos indexados variao cambial mais uma taxa de juro negociada entre as partes.

    2) Swap PR x DI1 trocam-se fluxos de caixa indexados a uma taxa prefixada emreais por fluxos indexados a uma taxa em DI.

    Swap de ndices: contrato atravs do qual duas partes trocam fluxos, sendo um delesassociado ao retorno de um ndice de preos ou de um ndice de aes, ou atmesmo de uma ao ou carteira de aes (stock basket). Veja abaixo alguns tipos deindexadores utilizados no mercado brasileiro e exemplos de swap.

    * Exemplos de indexadores: IGP-M (ndice Geral de Preos de Mercado), IPC-Fipe(ndice de Preos ao Consumidor), INPC (ndice Nacional de Preos ao Consumidor),Ibovespa.

    * Exemplos de swap:

    1) Swap IBOVESPA x DI - trocam-se fluxos de caixa indexados ao retorno doIbovespa mais uma taxa de juro negociada entre as partes por fluxos indexados a umataxa em DI ou vice-versa.

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    Matemtica Financeira Aplicada a Derivativos. ltima atualizao: 14/05/2010

    2) Swap IGP-M x DI - trocam-se fluxos de caixa indexados ao retorno do IGP-Mmais uma taxa de juro negociada entre as partes por fluxos indexados a uma taxa emDI ou vice-versa.

    5.4.1. Swap DI x Pr

    Em uma operao de swap DI x Pr trocam-se fluxos calculados pela taxa acumuladado DI da Cetip (Taxa Mdia de Depsitos Interfinanceiros de Um Dia, definida edivulgada pela Cmara de Custdia e Liquidao) por fluxos calculados por uma taxaprefixada, determinada no incio da operao.

    Exemplo

    Um fundo de penso possui ativos de R$10 milhes indexados ao CDI, comvencimento de suas aplicaes em 120 du. O gestor do fundo projeta um cenrio dequeda nas taxas de juros e resolve converter a rentabilidade de suas aplicaes paraum referencial prefixado. Dado que a taxa para um swap de 120 du negociada naBM&F por 13% ao ano, calcule o resultado do fundo, sabendo que o CDI do perodofoi de 5,2%.

    Ponta Passiva em DI = ( )=+ 052,01000.000.10 R$ 10.520.000,00

    Ponta Ativa em Pr =

    ( ) =+ 252120

    13,01000.000.10 R$10.599.257,65

    Resultado do swap = 10.599.257,65 10.520.000,00 = R$ 79.257,65

    5.4.2. Swap IGP-M x DI

    Em uma operao de Swap IGP-M x DI uma das pontas da operao corrigida pelavariao do IGP-M e a outra ponta corrigida pelo DI

    Exemplo

    O banco ORT assume swap IGP-M mais cupom de 5% ao ano versus 100% do DIcom o banco Treasury, com valor referencial de R$ 1 milho, no dia 01/07, paravencimento em um ano. Receber a rentabilidade calculada pelo parmetro do IGP-Me paga a rentabilidade associada a 100% da variao do DI.

    Figura. Fluxo da operao considerada no exemplo

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    Para simplificar, suponha que os ndices do exemplo foram divulgados na vspera dadata base e a data de vencimento do swap. Assim admitimos que na data base doswap, o ltimo nmero ndice divulgado pela FGV era de 286,8430. J na data devencimento do swap, o ltimo nmero ndice conhecido era de 314,4190. Com relaoao DI, considere uma variao acumulada no perodo de 12%.

    Este swap apresentar os seguintes resultados para o banco ORT:

    PontaAtiva em IGP-M=252

    252

    1100

    5

    8430,286

    4190,31400,000.000.1

    +

    =R$ 1.150.943,02

    Ponta Passiva em DI = ( )112,000,000.000.1 + =R$ 1.120.000,00

    Resultado do Swap = R$ 1.150.943,02 R$ 1.120.000,00 = R$ 30.943,02

    Veja, portanto, que o banco ORT receber um valor lquido de R$ 30.943,02, pois avariao do IGP-M mais 5% foi maior que o acmulo do DI no perodo.

    Consideraes finais

    Neste curso foram oferecidos subsdios bsicos para um bom entendimento de algunsdos clculos e procedimentos adotados nos mercados de derivativos. Com o estudodos captulos e a realizao de exerccios, possvel formar uma boa base a fim decaminhar rumo ao conhecimento de mercados especficos da BM&FBOVESPA.