MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
SISTEMAS LINEARES
SISTEMAS LINEARES
Equação linear
Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome
de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real
chamado termo independente
( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
Veja alguns exemplos de equações lineares:
3x - 2y + 4z = 7
-2x + 4z = 3t - y + 4
Sistema linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2,
r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
Matrizes associadas a um sistema linear
A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do
sistema.
Em relação ao sistema:
a matriz incompleta é: para o mesmo sistema acima, a matriz
completa é:
Sistemas homogêneos
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes
da equações são nulos:
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema
homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução
trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-
triviais.
Exemplo:
Quanto ao número de soluções um sistema linear pode ser classificado em:
a) SPD - possível e determinado (solução única);
Exemplo:
S={(3,5)}
b) SPI - possível e indeterminado (infinitas soluções);
Exemplo:
S={(0,8); (1,7); (2,6); (3,5); (4,4); (5,3). ...}
c) SI - sistema impossível (não tem solução).
Exemplo:
S=
RESOLUÇÃO DE SISTEMA LINEARES –
MÉTODO DE CRAMER
Sistema normal
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de
incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é
diferente de zero.
Se m=n e det A ≠ 0, então o sistema é normal.
Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta
associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na
matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos
independentes.
Exemplo
Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será
chamada de A.
Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.
D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15.
Agora, substituindo a primeira coluna da matriz incompleta pela coluna formada
pelos termos independentes, calcularemos Dx.
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6
Dx = 15
Dz = – 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8
Dz = 45
Dy = -3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30
Agora, substituindo a segunda coluna da matriz incompleta pela coluna formada
pelos termos independentes, calcularemos Dy.
Agora, substituindo a terceira coluna da matriz incompleta pela coluna formada
pelos termos independentes, calcularemos Dz.
151
15
xDx
D
302
15
yDy
D
453
15
zDz
D
Assim, podemos calcular a solução do sistema:
S={(1,2,3)}
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1)
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 1 2 2 1
1 1 3 1 1 3 1 1
D
1 1 1
2 1 2
1 1 3
A
(3 2 2) ( 1 2 6) 3 ( 9) 3 9 12D
12 1 1 12 1 1 12 1
12 1 2 12 1 2 12 1
16 1 3 16 1 3 16 1
xD
(36 32 12) (16 24 36) 8 ( 44) 8 44 36xD
1 12 1 1 12 1 1 12
2 12 2 2 12 2 2 12
1 16 3 1 16 3 1 16
yD
( 36 24 32) (12 32 72) 44 ( 92) 44 92 48yD
(16 12 24) ( 12 12 32) 4 ( 56) 4 56 60xD
1 1 12 1 1 12 1 1
2 1 12 2 1 12 2 1
1 1 16 1 1 16 1 1
zD
363
12
xDx
D
484
12
yDy
D
605
12
zDz
D
Assim, podemos calcular a solução do sistema:
S={(3,4,5)}
1 2 2 1 2 2 1 2
1 2 4 1 2 4 1 2
1 4 2 1 4 2 1 4
D
1 2 2
1 2 4
1 4 2
A
(4 8 8) ( 4 16 4) 20 ( 8) 20 8 12D
(20 24 72) (12 80 36) 68 ( 56) 68 56 12xD
1 5 2 1 5 2 1 5
1 9 4 2 9 4 2 9
1 3 2 1 3 2 1 3
yD
(18 12 20) (18 12 20) 50 50 0yD
(6 18 20) ( 10 36 6) 44 ( 20) 44 20 24xD
1 2 5 1 2 5 1 2
1 2 9 1 2 9 1 2
1 4 3 1 4 3 1 4
zD
5 2 2 5 2 2 5 2
9 2 4 9 2 4 9 2
3 4 2 3 4 2 3 4
xD
121
12
xDx
D
00
12
yDy
D
242
12
zDz
D
Assim, podemos calcular a solução do sistema:
S={(1,0,2)}
EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA
Um sistema de equações pode ser representado na forma de uma
matriz. Os coeficientes das incógnitas serão os elementos da matriz
que ocuparão as linhas e as colunas de acordo com o
posicionamento dos termos no sistema.
EXEMPLOS
O sistema poderá ser representado por:
2 5 11.
3 6 3
x
y
Matriz dos
coeficientes
Matriz das
variáveis Matriz dos termos
independentes
O sistema poderá ser representado por:
4 3 9 7
1 5 4 . 6
2 6 3 1
x
y
z
Matriz dos
coeficientes
Matriz das
variáveis Matriz dos termos
independentes
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou
determinado.
Utilizando a regra de Cramer, temos:
Adet
Adetx,...,
Adet
Adetx,
Adet
Adetx n
n 22
11
0Adet Sistema Possível e Determinado
Sistema Possível e
Indeterminado
0
0
21 nAdet...AdetAdet
e
Adet
0 um menos pelo
0
nAdet
e
Adet Sistema Impossível
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente
não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de
coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de
equação para equação.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o
coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes,
anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais
equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o
sistema se torne escalonado.
EXEMPLO
Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação,
de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:
Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada
por -2, com a 2º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com
a 3º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a
3º equação:
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z= -6 z=3
Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1
Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3 x=2
Então, x=2, y=-1 e z=3
S = {(2,1,3)}
Agora é com vocês. Resolva escalonando os sistemas.
1)
Primeiro passo: Trocar a primeira e a terceira linhas de posição
Segundo passo: Trocar a segunda linha pela soma da segunda linha
com a primeira linha multiplicada por −1.
Terceiro passo: Trocar a terceira linha pela soma da segunda linha
com a terceira linha.
O sistema está escalonado e z = 3. Substituindo z = 3
na 2a equação:
y + 3 = 5 y = 2
Substituindo z = 3 e y = 2 na 1a equação:
x + 2 + 3 = 6 x = 1
Portanto, teremos:
S = {(1,2,3)}
2)
L2=L2+(−1).L1
L3=L3+(−2).L1
L4=L4+(−2).L1
L3=L3+(−1).L2
L4=L4+(−2).L2
O sistema está escalonado e z=1, y=3 e x=1
S={(1,3,1)}
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