Equações Lineares e Matrizes

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Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Conteúdo do Capítulo 1.1 Introdução aos Sistemas de Equações Lineares 1.2 Eliminação Gaussiana 1.3 Matrizes e Operações Matriciais 1.4 Inversas; Regras da Aritmética Matricial 1.5 Matrizes Elementares e um Método para Encontrar A – 1 1.6 Mais Resultados sobre Sistemas de Equações e Invertibilidade 1.7 Matrizes Diagonais, Triangulares e Simétricas I NTRODUÇÃO: Muitas vezes na Ciência e na Matemática a informação é organizada em linhas e colunas formando agrupamentos retangulares chamados matrizes. Estas matrizes podem ser tabelas de dados numéricos surgidos de observações físicas, mas também ocorrem em vários contextos matemáticos. Por exemplo, nós veremos neste capítulo que para resolver um sistema de equações tal como toda a informação requerida para chegar à solução está encorpada na matriz e que a solução pode ser obtida efetuando operações apropriadas nesta matriz. Isto é particularmente importante no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equações li- neares, porque os computadores são muito bons para manipular coleções de números. Contudo, as matrizes não são simplesmente uma ferramenta de notação para resolver sistemas de equações linea- res; elas também podem ser vistas como objetos matemáticos de vida própria, existindo uma teoria rica e importante a elas associada que tem uma grande variedade de aplicações. Neste capítulo nós iremos começar o estudo de matrizes. 5 2 1 1 3 4 5x + y = 3 2x y = 4 1 27

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Page 1: Equações Lineares e Matrizes

Sistemas de EquaçõesLineares e MatrizesSistemas de EquaçõesLineares e Matrizes

Conteúdo do Capítulo

1.1 Introdução aos Sistemas de Equações Lineares1.2 Eliminação Gaussiana1.3 Matrizes e Operações Matriciais1.4 Inversas; Regras da Aritmética Matricial1.5 Matrizes Elementares e um Método para Encontrar A – 1

1.6 Mais Resultados sobre Sistemas de Equações e Invertibilidade1.7 Matrizes Diagonais, Triangulares e Simétricas

INTRODUÇÃO: Muitas vezes na Ciência e na Matemática a informação é organizada em linhas ecolunas formando agrupamentos retangulares chamados matrizes. Estas matrizes podem ser tabelasde dados numéricos surgidos de observações físicas, mas também ocorrem em vários contextos

matemáticos. Por exemplo, nós veremos neste capítulo que para resolver um sistema de equações talcomo

toda a informação requerida para chegar à solução está encorpada na matriz

e que a solução pode ser obtida efetuando operações apropriadas nesta matriz. Isto é particularmenteimportante no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equações li-neares, porque os computadores são muito bons para manipular coleções de números. Contudo, asmatrizes não são simplesmente uma ferramenta de notação para resolver sistemas de equações linea-res; elas também podem ser vistas como objetos matemáticos de vida própria, existindo uma teoria ricae importante a elas associada que tem uma grande variedade de aplicações. Neste capítulo nós iremoscomeçar o estudo de matrizes.

[5

2

1

−1

3

4

]

5x + y = 3

2x − y = 4

11

27

Page 2: Equações Lineares e Matrizes

1.1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DEEQUAÇÕES LINEARES

Os sistemas de equações algébricas lineares e suas soluçõesconstituem um dos principais tópicos estudados em cursos co-nhecidos como “de Álgebra Linear.” Nesta primeira seção nósiremos introduzir alguma terminologia básica e discutir um méto-do para resolver estes sistemas.

Equações Lineares Qualquer linha reta no plano xy podeser representada algebricamente por uma equação da forma

onde a1, a2 e b são constantes reais e a1 e a2 não são ambas nulas.Uma equação desta forma é chamada uma equação linear nasvariáveis x e y. Mais geralmente, nós definimos uma equaçãolinear nas n variáveis x1, x2,. . ., xn como uma equação que podeser expressa na forma

onde a1, a2, ..., an e b são constantes reais. As variáveis de umaequação linear são, muitas vezes, chamadas incógnitas.

As equações

são lineares. Observe que uma equação linear não envolvequaisquer produtos ou raízes de variáveis. Todas as variáveisocorrem somente na primeira potência e não aparecem comoargumentos de funções trigonométricas, logarítmicas ou expo-nenciais. As equações

são não-lineares. ®

Uma solução de uma equação linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + anxn = b é uma seqüência de n números s1, s2, ..., sn tais que aequação é satisfeita quando substituímos x1 = s1, x2 = s2, ..., xn =sn. O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamadoseu conjunto-solução ou, às vezes, a solução geral da equação.

Encontre o conjunto-solução de (a) 4x – 2y = 1 e (b) x1 – 4x2 +7x3 = 5.

Solução (a). Para encontrar soluções de (a), nós podemosatribuir um valor arbitrário a x e resolver em y, ou escolher umvalor arbitrário para y e resolver em x. Seguindo a primeiraabordagem e dando um valor arbitrário t para x, obtemos

Estas fórmulas descrevem o conjunto-solução em termos de umnúmero arbitrário t, chamado parâmetro. Soluções numéricas

particulares podem ser obtidas substituindo t por valores especí-ficos. Por exemplo, t = 3 dá a solução x = 3, y = e t = dáa solução x = , y = .

Seguindo a segunda abordagem e dando um valor arbitráriot para y, obtemos

Embora estas fórmulas sejam diferentes das obtidas acima,fornecem o mesmo conjunto-solução à medida que t varia sobretodos os valores reais possíveis. Por exemplo, as fórmulas ante-riores dão a solução x = 3, y = quando t = 3, enquanto as fór-mulas acima dão esta solução para t = .

Solução (b). Para encontrar o conjunto-solução de (b), nóspodemos atribuir valores arbitrários a quaisquer duas variáveise resolver na terceira variável. Em particular, dando os valoresarbitrários s e t para x2 e x3, respectivamente, e resolvendo emx1, nós obtemos

®

Sistemas Lineares Um conjunto finito de equações li-neares nas variáveis x1, x2, ..., xn é chamado um sistema deequações lineares ou um sistema linear. Uma seqüência denúmeros s1, s2, . . ., sn é chamada uma solução do sistema se x1 = s1, x2 = s2, . . ., xn = sn é uma solução de cada equação dosistema. Por exemplo, o sistema

tem a solução x1 = 1, x2 = 2, x3 = –1 pois estes valores satisfazemambas equações. No entanto, x1 = 1, x2 = 8, x3 = 1 não é umasolução do sistema pois estes valores satisfazem apenas aprimeira das duas equações do sistema.

Nem todos os sistemas de equações lineares têm solução.Por exemplo, multiplicando a segunda equação do sistema

por , torna-se evidente que não existem soluções, pois o sis-tema equivalente

que resulta tem equações contraditórias.Um sistema de equações que não possui solução é chamado

inconsistente; se existir pelo menos uma solução do sistema,dizemos que ele é consistente. Para ilustrar as possibilidadesque podem ocorrer na resolução de sistemas de equações li-neares, considere um sistema arbitrário de duas equações li-neares nas incógnitas x e y:

(a1, b1 não ambas nulas)

(a2, b2 não ambas nulas)

Os gráficos destas equações são retas, digamos, l1 e l2. Como umponto (x, y) está na reta se, e somente se, os números x e y sa-tisfazem a equação da reta, as soluções do sistema de equaçõescorrespondem a pontos de corte de l1 e l2. Existem três possibi-lidades, ilustradas na Figura 1.1.1:

a2x + b2y = c2

a1x + b1y = c1

x + y = 4

x + y = 3

12

x + y = 4

2x + 2y = 6

4x1 − x2 + 3x3 = −1

3x1 + x2 + 9x3 = −4

x1 = 5 + 4s − 7t, x2 = s, x3 = t

112

112

x = 12 t + 1

4 , y = t

− 32 .− 1

2l

− 12

y112

x = t, y = 2t − 12

EXEMPLO 2 Encontrando um Conjunto-Solução

x + 3√

y = 5, 3x + 2y − z + xz = 4 e y = sen x

x + 3y = 7, y = 12x + 3z + 1 e x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 7

EXEMPLO 1 Equações Lineares

a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b

a1x + a2y = b

28 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Page 3: Equações Lineares e Matrizes

∑ As retas l1 e l2 podem ser paralelas, caso em que não háinterseção e conseqüentemente não existe nenhumasolução do sistema.

∑ As retas l1 e l2 podem cortar-se em um único ponto,caso em que o sistema tem exatamente uma solução.

∑ As retas l1 e l2 podem coincidir, caso em que existe umainfinidade de soluções do sistema.

(a) Nenhuma solução (b) Uma solução (c) Infinitas soluçõesFiguras 1.1.1

Embora nós aqui tenhamos considerado apenas duas equaçõesem duas incógnitas, nós mostraremos mais tarde que as mesmastrês possibilidades valem para sistemas de equações linearesarbitrários:

Um sistema arbitrário de m equações lineares em n incóg-nitas pode ser escrito como

onde x1, x2, ..., xn são as incógnitas e as letras a e b com sub-scritos denotam constantes. Por exemplo, um sistema geral detrês equações lineares em quatro incógnitas pode ser escritocomo

O subscrito duplo nos coeficientes das incógnitas é umrecurso útil que é usado para especificar a localização do coefi-ciente no sistema. O primeiro subscrito no coeficiente ai j indicaa equação na qual o coeficiente ocorre e o segundo subscritoindica qual incógnita ele multiplica. Assim, a12 ocorre naprimeira equação e multiplica a incógnita x2.

Matrizes Aumentadas Se nós mantivermos guardado namemória a localização dos sinais de soma, das variáveis e dasconstantes, poderemos abreviar a escrita de um sistema de mequações lineares em n incógnitas para:

Esta é chamada a matriz aumentada do sistema. (EmMatemática, o termo matriz é utilizado para denotar uma coleçãoretangular de números. As matrizes surgem em vários contextos,que consideraremos com mais detalhes em seções posteriores.)Por exemplo, a matriz aumentada do sistema de equações

é

OBSERVAÇÃO. Quando construímos a matriz aumentada, asincógnitas devem estar escritas na mesma ordem em cadaequação e as constantes que não multiplicam incógnitas devemestar à direita.

O método básico de resolver um sistema de equações li-neares é substituir o sistema dado por um sistema novo que temo mesmo conjunto-solução mas que é mais simples de resolver.Este sistema novo é geralmente obtido numa sucessão de passosaplicando os seguintes três tipos de operações para eliminar sis-tematicamente as incógnitas.

1. Multiplicar uma equação inteira por uma constantenão-nula.

2. Trocar duas equações entre si.3. Somar um múltiplo de uma equação a uma outra

equação.

Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada cor-respondem às equações no sistema associado, estas três ope-rações correspondem às seguintes operações nas linhas damatriz aumentada.

1. Multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula.

2. Trocar duas linhas entre si.3. Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha.

Operações Elementares sobre Linhas Estas trêsoperações são chamadas operações elementares sobre linhas.O seguinte exemplo ilustra como estas operações podem serusadas para resolver sistemas de equações lineares. Como napróxima seção iremos desenvolver um procedimento sistemáti-co para encontrar soluções, não é preciso ficar preocupado sobreo porquê dos passos tomados neste exemplo. O esforço aquideveria ser para entender as contas e a discussão.

Na coluna da esquerda nós resolvemos um sistema de equaçõeslineares operando nas equações do sistema e na coluna da di-reita nós resolvemos o mesmo sistema operando nas linhas damatriz aumentada.

x + y + 2z = 9

2x + 4y − 3z = 1

3x + 6y − 5z = 0

⎡⎢⎣

1 1 2 9

2 4 −3 1

3 6 −5 0

⎤⎥⎦

EXEMPLO 3 Usando Operações Elementaressobre Linhas

⎡⎣

1 1 2 92 4 −3 13 6 −5 0

⎤⎦

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 − 3x3 = 1

3x1 + 6x2 − 5x3 = 0

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

......

...

am1 am2 · · · amn bm

⎤⎥⎥⎥⎦

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

......

...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

Todo sistema de equações lineares tem ou nenhumasolução, ou exatamente uma, ou então uma infinidade desoluções.

x

y l1 e l2

x

y l1 l2

x

yl1 l2

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 29

Page 4: Equações Lineares e Matrizes

Some –2 vezes a primeira equação Some –2 vezes a primeira linhaà segunda para obter esquerda à segunda para obter direita

Some –3 vezes a primeira equação Some –3 vezes a primeira linhaà terceira para obter à terceira para obter

Multiplique a segunda equação Multiplique a segunda linha

por para obter por para obter

Some –3 vezes a segunda equação Some –3 vezes a segunda linhaà terceira para obter à terceira para obter

Multiplique a terceira equação Multiplique a terceira linhapor –2 para obter por –2 para obter

Some –1 vez a segunda equação Some –1 vez a segunda linhaà primeira para obter à primeira para obter

Some – vezes a terceira Some – vezes a terceira linha

equação à primeira e vezes à primeira e vezes a terceiraa terceira equação à segunda para obter equação à segunda para obter

A solução x = 1, y = 2, z = 3 pode, agora, ser visualizada. ®

x = 1

y = 2

z = 3

⎡⎢⎣

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

⎤⎥⎦

72

72

−112−11

2

x + 112 z = 35

2

y − 72z = − 17

2

z = 3

⎡⎢⎢⎣

1 0 112

352

0 1 − 72 − 17

2

0 0 1 3

⎤⎥⎥⎦

x + y + 2z = 9

y − 72z = − 17

2

z = 3

⎡⎢⎣

1 1 2 9

0 1 − 72 − 17

2

0 0 1 3

⎤⎥⎦

x + y + 2z = 9

y − 72z = − 17

2

− 12z = − 3

2

⎡⎢⎢⎣

1 1 2 9

0 1 − 72 − 17

2

0 0 − 12 − 3

2

⎤⎥⎥⎦

x + y + 2z = 9

y − 72z = − 17

2

3y − 11z = −27

⎡⎢⎣

1 1 2 9

0 1 − 72 − 17

2

0 3 −11 −27

⎤⎥⎦

12

12

x + y + 2z = 9

2y − 7z = −17

3y − 11z = −27

⎡⎢⎣

1 1 2 9

0 2 −7 −17

0 3 −11 −27

⎤⎥⎦

x + y + 2z = 9

2y − 7z = −17

3x + 6y − 5z = 0

⎡⎢⎣

1 1 2 9

0 2 −7 −17

3 6 −5 0

⎤⎥⎦

30 • • • Álgebra Linear com Aplicações

1. Quais das seguintes equações são lineares em x1, x2 e x3?

2. Sabendo que k é uma constante, quais das seguintes equações são lineares?

3. Encontre o conjunto-solução de cada uma das seguintes equações lineares.

4. Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares.

5. Encontre o sistema de equações lineares correspondendo à matriz aumentada.

6. (a) Encontre uma equação linear nas variáveis x e y que tem x = 5 + 2t, y = t como solução geral.

(b) Mostre que x = t, também é a solução geral da equação da parte (a).y = 12 t − 5

2

(a)

⎡⎢⎣

2 0 0

3 −4 0

0 1 1

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

3 0 −2 5

7 1 4 −3

0 −2 1 7

⎤⎥⎦

(c)

[7 2 1 −3 5

1 2 4 0 1

](d)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 70 1 0 0 −2

0 0 1 0 3

0 0 0 1 4

⎤⎥⎥⎥⎦

(a) 3x1 − 2x2 = −14x1 + 5x2 = 37x1 + 3x2 = 2

(b) 2x1 + 2x3 = 13x1 − x2 + 4x3 = 76x1 + x2 − x3 = 0

(c) x1 + 2x2 − x4 + x5 = 13x2 + x3 − x5 = 2

x3 + 7x4 = 1

(d) x1 = 1x2 = 2

x3 = 3

(a) 7x − 5y = 3 (b) 3x1 − 5x2 + 4x3 = 7(c) − 8x1 + 2x2 − 5x3 + 6x4 = 1 (d) 3v − 8w + 2x − y + 4z = 0

(a) x1 − x2 + x3 = sen k (b) kx1 − 1

kx2 = 9 (c) 2kx1 + 7x2 − x3 = 0

(a) x1 + 5x2 − √2x3 = 1 (b) x1 + 3x2 + x1x3 = 2 (c) x1 = −7x2 + 3x3

(d) x−21 + x2 + 8x3 = 5 (e) x

3/51 − 2x2 + x3 = 4 (f ) πx1 − √

2x2 + 13 x3 = 71/3

Conjunto de Exercícios 1.1

Page 5: Equações Lineares e Matrizes

7. A curva y = ax2 + bx + c mostrada na figura passa pelos pontos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3). Mostre que os coeficientes a, b e c são uma soluçãodo sistema de equações lineares cuja matriz aumentada é

8. Considere o sistema de equações

Mostre que para este sistema ser consistente, as constantes a, b e c devem satisfazer c = a + b.9. Mostre que se as equações lineares x1 + kx2 = c e x1 + lx2 = d têm o mesmo conjunto-solução, então as equações são idênticas.

Discussão e Descoberta

10. Para quais valores da constante k o sistema

não tem solução? Exatamente uma solução? Infinitas soluções? Explique seu raciocínio.11. Considere o sistema de equações

O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas ax + by = k, cx + dy = l e ex + fy = m, quando(a) o sistema não tem solução;(b) o sistema tem exatamente uma solução;(c) o sistema tem infinitas soluções?

12. Se o sistema do Exercício 11 for consistente, explique por que pelo menos uma das equações poderá ser descartada do sistema sem alterar oconjunto-solução.

13. Se k = l = m no Exercício 11, explique por que o sistema deve ser consistente. O que pode ser dito sobre o ponto de corte das três retas se osistema tem exatamente uma solução?

ax + by = k

cx + dy = l

ex + fy = m

x − y = 3

2x − 2y = k

x + y + 2z = a

x + z = b

2x + y + 3z = c

⎡⎢⎢⎣

x21 x1 1 y1

x22 x2 1 y2

x23 x3 1 y3

⎤⎥⎥⎦

y

x

y = ax2 + bx + c

(x1, y1)

(x3, y3)

(x2, y2)

Figura Ex-7

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 31

1.2 ELIMINAÇÃO GAUSSIANANesta seção nós vamos desenvolver um procedimento sistemáti-co para resolver sistemas de equações lineares. O procedimentoé baseado na idéia de reduzir a matriz aumentada de um sistemaa uma outra matriz aumentada que seja suficientemente simplesa ponto de permitir visualizar a solução.

Forma Escalonada No Exemplo 3 da última seção nósresolvemos um sistema linear nas incógnitas x, y e z reduzindoa matriz aumentada à forma

a partir da qual a solução x = 1, y = 2, z = 3 ficou evidente. Istoé um exemplo de uma matriz que está em forma escalonada

reduzida por linhas. Para ser desta forma, uma matriz deve teras seguintes propriedades:

1. Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeironúmero não-nulo da linha é um 1. Chamamos estenúmero 1 de líder ou pivô.

2. Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elasestão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz.

3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistemsó de zeros, o líder da linha inferior ocorre mais à di-reita que o líder da linha superior.

4. Cada coluna que contém um líder tem zeros nas demaisentradas.

Dizemos que uma matriz que tem as três primeiras propriedadesestá em forma escalonada por linhas, ou simplesmente, emforma escalonada. (Assim, uma matriz em forma escalonadareduzida por linhas necessariamente está em forma escalonada,mas não reciprocamente.)

⎡⎣1 0 0 1

0 1 0 20 0 1 3

⎤⎦

Page 6: Equações Lineares e Matrizes

As seguintes matrizes estão em forma escalonada reduzida porlinhas.

As seguintes matrizes estão em forma escalonada.

Nós deixamos para você a tarefa de confirmar que cada uma dasmatrizes deste exemplo satisfaz todos os requisitos exigidos.®

Como o último exemplo ilustra, uma matriz em forma escalo-nada tem zeros abaixo de cada líder, enquanto que uma matrizem forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo eacima de cada líder. Assim, colocando qualquer número real nolugar dos asteriscos, as matrizes dos seguintes tipos estão emforma escalonada:

Além disto, as matrizes dos seguintes tipos estão em formaescalonada reduzida por linhas:

®

Se a matriz aumentada de um sistema de equações linearesfor colocada em forma escalonada reduzida por linhas por meiode uma seqüência de operações elementares, então a solução dosistema está visível ou então se torna visível depois de unspoucos passos simples. O próximo exemplo ilustra isto.

Suponha que a matriz aumentada de um sistema de equaçõeslineares foi reduzida por operações sobre linhas à formaescalonada reduzida por linhas dada. Resolva o sistema.

Solução (a). O sistema de equações correspondente é

Por inspeção, x1 = 5, x2 = –2, x3 = 4.

Solução (b). O sistema de equações correspondente é

Como x1, x2 e x3 correspondem a líderes na matriz aumentada,dizemos que estas variáveis são variáveis líderes. As variáveisnão-líderes (neste caso, só x4) são chamadas variáveis livres.Resolvendo as variáveis líderes em termos das variáveis livres,obtemos

A partir deste formato das equações nós vemos que podemos darum valor arbitrário à variável livre x4, digamos t, que entãodetermina os valores das variáveis líderes x1, x2 e x3. Resulta,assim, que há uma infinidade de soluções e que a solução geralé dada pela fórmula

Solução (c). A linha de zeros leva à equação 0x1 + 0x2 + 0x3 +0x4 + 0x5 = 0, que não coloca restrições às soluções (por quê?).Assim, podemos omitir esta equação e escrever o sistema cor-respondente como

Aqui, as variáveis líderes são x1, x3 e x4 e as variáveis livres sãox2 e x5. Resolvendo as variáveis líderes em termos das variáveislivres obtemos

x1 = −2 − 6x2 − 4x5

x3 = 1 − 3x5

x4 = 2 − 5x5

x1 + 6x2 + 4x5 = −2

x3 + 3x5 = 1

x4 + 5x5 = 2

x1 = −1 − 4t, x2 = 6 − 2t, x3 = 2 − 3t, x4 = t

x1 = −1 − 4x4

x2 = 6 − 2x4

x3 = 2 − 3x4

x1 + 4x4 = −1

x2 + 2x4 = 6

x3 + 3x4 = 2

x1 = 5

x2 = −2

x3 = 4

(a)

⎡⎢⎣

1 0 0 5

0 1 0 −2

0 0 1 4

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

1 0 0 4 −1

0 1 0 2 6

0 0 1 3 2

⎤⎥⎦

(c)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 6 0 0 4 −2

0 0 1 0 3 1

0 0 0 1 5 2

0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦ (d)

⎡⎢⎣

1 0 0 0

0 1 2 0

0 0 0 1

⎤⎥⎦

EXEMPLO 3 Soluções de Quatro SistemasLineares

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎦,

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 0 *0 1 0 *0 0 1 *0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦,

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 * *0 1 * *0 0 0 0

0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦,

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 * 0 0 0 * * 0 *0 0 0 1 0 0 * * 0 *0 0 0 0 1 0 * * 0 *0 0 0 0 0 1 * * 0 *0 0 0 0 0 0 0 0 1 *

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

1 * * *0 1 * *0 0 1 *0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎦,

⎡⎢⎢⎢⎣

1 * * *0 1 * *0 0 1 *0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦,

⎡⎢⎢⎢⎣

1 * * *0 1 * *0 0 0 0

0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦,

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 * * * * * * * *0 0 0 1 * * * * * *0 0 0 0 1 * * * * *0 0 0 0 0 1 * * * *0 0 0 0 0 0 0 0 1 *

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

EXEMPLO 2 Mais sobre Formas Escalonada eEscalonada Reduzida por Linhas

⎡⎣1 0 0 4

0 1 0 7

0 0 1 −1

⎤⎦,

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦,

⎡⎢⎢⎣

0 1 −2 0 10 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎦,

⎡⎣1 0 0 4

0 1 0 7

0 0 1 −1

⎤⎦,

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦,

⎡⎢⎢⎣

0 1 −2 0 10 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎦,

[0 0

0 0

]

EXEMPLO 1 Formas Escalonada e EscalonadaReduzida por Linhas

32 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Page 7: Equações Lineares e Matrizes

Como a x5 pode ser atribuído um valor arbitrário t, e a x2 podeser atribuído um valor arbitrário s, existem infinitas soluções. Asolução geral é dada pelas fórmulas

Solução (d). A última equação do sistema correspondente é

Como esta equação não pode ser resolvida, não existe soluçãopara o sistema. ®

Métodos de Eliminação Nós acabamos de ver como éfácil resolver um sistema de equações lineares tão logo suamatriz aumentada estiver em forma escalonada reduzida por li-nhas. Agora nós iremos dar um procedimento de eliminaçãopasso a passo que pode ser usado para reduzir qualquer matriz àforma escalonada. À medida que enunciamos cada passo, ire-mos ilustrá-lo reduzindo a seguinte matriz à forma escalonadareduzida por linhas.

Passo 1. Localize a coluna mais à esquerda que não seja cons-tituída inteiramente de zeros.

Coluna não-nula mais à esquerda

Passo 2. Permute a primeira linha com uma outra linha, senecessário, para obter uma entrada não-nula ao topo da colu-na encontrada no Passo 1.

Passo 3. Se a entrada que agora está no topo da coluna encon-trada no Passo 1 é a, multiplique a primeira linha inteira por1/a para introduzir um líder.

Passo 4. Some múltiplos convenientes da primeira linha às li-nhas inferiores para obter zeros em todas as entradas abaixodo líder.

Passo 5. Agora esconda a primeira linha da matriz e recomeceaplicando o Passo 1 à submatriz resultante. Continue destamaneira até que toda a matriz esteja em forma escalonada.

Coluna não-nula mais àesquerda da submatriz.

Coluna não-nula mais à esquerdada nova submatriz.

A matriz toda está agora em forma escalonada. Para obter aforma escalonada reduzida por linhas precisamos de mais umpasso.

Passo 6. Começando com a última linha não-nula e trabalhan-do para cima, some múltiplos convenientes de cada linha àslinhas superiores para introduzir zeros acima dos líderes.

A última matriz está na forma escalonada reduzida por linhas.Se nós usarmos somente os cinco primeiros passos, o pro-

cedimento acima, chamado eliminação gaussiana, produziráuma forma escalonada. O procedimento até o sexto passo, queproduz uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas, échamado eliminação de Gauss-Jordan.

OBSERVAÇÃO. Pode ser mostrado que toda matriz tem uma únicaforma escalonada reduzida por linhas; ou seja, sempre che-gamos à mesma forma escalonada reduzida por linhas para umadada matriz, não importa como variamos as operações sobre li-nhas. (Uma prova deste resultado pode ser encontrada no artigo“The Reduced Row Echeleon Form of a Matrix Is Unique: A

5 vezes a segunda linha foisomada à primeira linha

⎡⎢⎣

1 2 0 3 0 7

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

⎤⎥⎦

–6 vezes a terceira linha foisomada à primeira linha.

⎡⎢⎣

1 2 −5 3 0 2

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

⎤⎥⎦

7/2 vezes a terceira linha damatriz precedente foi somada àsegunda linha.

⎡⎢⎣

1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

⎤⎥⎦

A primeira (e única) linha danova submatriz foi multiplicadapor 2 para introduzir um líder.

⎡⎢⎣

1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 − 72 −6

0 0 0 0 1 2

⎤⎥⎦

A linha superior da submatrizfoi tratada e retornamos aoPasso 1.

⎡⎢⎣

1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 − 72 −6

0 0 0 0 12 1

⎤⎥⎦

–5 vezes a primeira linha dasubmatriz foi somada à segundalinha da submatriz para intro-duzir um zero debaixo do líder.

⎡⎢⎣

1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 − 72 −6

0 0 0 0 12 1

⎤⎥⎦

A primeira linha da submatriz foimultiplicada por –1/2 para intro-duzir um líder.

⎡⎢⎣

1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 − 72 −6

0 0 5 0 −17 −29

⎤⎥⎦

m

⎡⎢⎣

1 2 −5 3 6 14

0 0 −2 0 7 12

0 0 5 0 −17 −29

⎤⎥⎦

–2 vezes a primeira linha damatriz precedente foi somada àterceira linha.

⎡⎢⎣

1 2 −5 3 6 14

0 0 −2 0 7 12

0 0 5 0 −17 −29

⎤⎥⎦

A primeira linha da matrizprecedente foi multiplicada por1/2.

⎡⎢⎣

1 2 −5 3 6 14

0 0 −2 0 7 12

2 4 −5 6 −5 −1

⎤⎥⎦

Foram permutadas a primeira ea segunda linhas da matrizprecedente.

⎡⎢⎣

2 4 −10 6 12 28

0 0 −2 0 7 12

2 4 −5 6 −5 −1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

⎤⎥⎦

0x1 + 0x2 + 0x3 = 1

x1 = −2 − 6s − 4t, x2 = s, x3 = 1 − 3t, x4 = 2 − 5t, x5 = t

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 33

Page 8: Equações Lineares e Matrizes

Simple Proof,” de Thomas Yuster, Mathematics Magazine, Vol.57, No. 2, 1984, páginas 93-94.) Por outro lado, uma formaescalonada de uma dada matriz não é única: diferentes seqüên-cias de operações sobre linhas podem produzir formas escalo-nadas diferentes.

Resolva por eliminação de Gauss-Jordan.

Solução.

A matriz aumentada do sistema é

Somando –2 vezes a primeira linha à segunda e quarta linhas dá

Multiplicando a segunda linha por –1 e depois somando –5vezes a nova segunda linha à terceira linha e –4 vezes a novasegunda linha à quarta linha dá

⎡⎢⎢⎢⎣

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 6 2

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 −1 −2 0 −3 −1

0 0 5 10 0 15 5

0 0 4 8 0 18 6

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

1 3 −2 0 2 0 0

2 6 −5 −2 4 −3 −1

0 0 5 10 0 15 5

2 6 0 8 4 18 6

⎤⎥⎥⎥⎦

x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0

2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1

5x3 + 10x4 + 15x6 = 5

2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6

EXEMPLO 4 Eliminação de Gauss-Jordan

34 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Karl Friedrich Gauss

Wilhelm Jordan

Karl Friedrich Gauss (1777–1855) foi umcientista e matemático alemão. Às vezes chama-do “príncipe dos matemáticos,” Gauss é coloca-do junto a Newton e Arquimedes como um dostrês maiores matemáticos de todos os tempos.Em toda a história da Matemática, talvez nuncatenha havido uma criança tão precoce comoGauss—por sua própria iniciativa desenvolveuos rudimentos da aritmética antes mesmo decomeçar a falar. Certo dia, antes de completartrês anos, seu gênio se mostrou a seus pais deuma maneira muito dramática. Seu pai estavapreparando a folha de pagamento semanal dostrabalhadores sob seu encargo enquanto o garo-to observava quieto desde um canto. Quando seupai terminou a longa e tediosa conta, Gaussinformou-lhe que havia um erro no resultado eforneceu a resposta que ele havia calculado decabeça. Para grande surpresa dos pais, uma ver-ificação da conta mostrou que Gauss estavacerto!

Em sua tese de Doutorado, Gauss deu aprimeira prova completa do TeoremaFundamental da Álgebra, que afirma que onúmero de soluções de cada equação polinomialcoincide com o seu grau. Aos 19 anos de idade,resolveu um problema que frustrou Euclides,inscrevendo um polígono regular de dezessetelados em um círculo usando somente régua ecompasso; e em 1801, aos 24 anos, ele publicousua primeira obra-prima, Disquisi-tionesArithmeticae, considerada por muitos como umadas mais brilhantes realizações matemáticas.Neste trabalho, Gauss sistematizou o estudo daTeoria de Números (propriedades dos inteiros) eformulou os conceitos básicos que constituem ofundamento deste assunto.

Entre suas inúmeras realizações, Gaussdescobriu a assim chamada curva de Gauss, ouem forma de sino, que é fundamental emProbabilidade, deu a primeira interpretaçãogeométrica dos números complexos e estabele-ceu seu papel fundamental na Matemática,desenvolveu métodos para caracterizar superfí-cies de maneira intrínseca por meio de curvasnestas superfícies, desenvolveu a teoria das apli-cações conformes (as que preservam ângulo) edescobriu a geometria não-euclidiana 30 anosantes destas idéias serem publicadas por outros.Na Física, ele deu contribuições relevantes àteoria de lentes e à ação capilar e, com WilhelmWeber, realizou trabalho fundamental em eletro-magnetismo. Gauss inventou o heliotrópio, omagnetômetro bifilar e um eletrotelégrafo.

Gauss era profundamente religioso e aris-tocrático em sua conduta. Ele dominava línguasestrangeiras com facilidade, lia extensivamentee apreciava mineralogia e botânica como hobby.Ele não gostava de lecionar e era em geral frio edesencorajador com outros matemáticos, pos-sivelmente por que ele já havia antecipado seustrabalhos. Diz-se que se Gauss tivesse publicadotodos suas descobertas, o estado atual daMatemática estaria 50 anos à frente. Ele foi, semduvida, o maior matemático da era moderna.

Wilhelm Jordan (1842–1899) foi um enge-nheiro alemão especializado em Geodesia. Suacontribuição à resolução de sistemas linearesapareceu em seu livro popular, Handbuch derVermessungskunde (Manual da Geodesia) em1888.

Page 9: Equações Lineares e Matrizes

Permutando as terceira e quarta linhas e então multiplicando aterceira linha da matriz resultante por dá a forma escalonada

Somando –3 vezes a terceira linha à segunda linha e depoissomando 2 vezes a segunda linha da matriz resultante à primeiralinha fornece a forma escalonada reduzida por linhas

O sistema de equações correspondente é

(Nós descartamos a última equação, 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5+ 0x6 = 0, pois ela é automaticamente satisfeita pelas soluçõesdas demais equações.) Resolvendo as variáveis líderes, obtemos

Se dermos os valores arbitrários r, s e t às variáveis livres x2, x4e x5, respectivamente, então a solução geral é dada pelas fórmu-las

®

Retro-substituição Às vezes é preferível resolver um sis-tema de equações lineares por eliminação gaussiana para levara matriz aumentada à forma escalonada sem continuar atéchegar à forma escalonada reduzida por linhas. Quando isto éfeito, o correspondente sistema de equações pode ser resolvidopor uma técnica chamada retro-substituição. O próximo exemp-lo ilustra esta idéia.

Das contas do Exemplo 4, uma forma escalonada da matrizaumentada é

Para resolver o sistema de equações correspondente

nós procedemos da seguinte maneira:

Passo 1. Resolva as equações para as variáveis líderes.

Passo 2. Começando com a equação de baixo e trabalhandopara cima, substitua sucessivamente cada equação em todasas equações acima dela.

Substituindo na segunda equação dá

Substituindo x3 = –2x4 na primeira equação, dá

Passo 3. Atribua valores arbitrários às variáveis livres, se hou-ver.

Atribuindo os valores arbitrários r, s e t a x2, x4 e x5, respec-tivamente, a solução geral é dada pelas fórmulas

Isto confere com a solução obtida no Exemplo 4. ®

OBSERVAÇÃO. Os valores arbitrários que atribuímos às variáveislivres são, muitas vezes, chamados parâmetros. Nós geralmenteusamos as letras r, s, t,... para os parâmetros, mas tambémpodem ser usadas quaisquer letras que não entrem em conflitocom as variáveis.

Resolva

por eliminação gaussiana e retro-substituição.

Solução.

Este é o sistema do Exemplo 3 da Seção 1.1. Naquele exemplo,nós convertemos a matriz aumentada

à forma escalonada

O sistema correspondente a esta matriz é

⎡⎢⎣

1 1 2 9

0 1 − 72 − 17

2

0 0 1 3

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

1 1 2 9

2 4 −3 1

3 6 −5 0

⎤⎥⎦

x + y + 2z = 9

2x + 4y − 3z = 1

3x + 6y − 5z = 0

EXEMPLO 6 Eliminação Gaussiana

x1 = −3r − 4s − 2t, x2 = r, x3 = −2s, x4 = s, x5 = t, x6 = 13

x1 = −3x2 − 4x4 − 2x5

x3 = −2x4

x6 = 13

x1 = −3x2 + 2x3 − 2x5

x3 = −2x4

x6 = 13

x6 = 13

x1 = −3x2 + 2x3 − 2x5

x3 = 1 − 2x4 − 3x6

x6 = 13

x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 + 3x6 = 1

x6 = 13

⎡⎢⎢⎢⎣

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 1 13

0 0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦

EXEMPLO 5 O Exemplo 4 Resolvido por Retro-substituição

x1 = −3r − 4s − 2t, x2 = r, x3 = −2s, x4 = s, x5 = t, x6 = 13

x1 = −3x2 − 4x4 − 2x5

x3 = −2x4

x6 = 13

x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 = 0

x6 = 13

⎡⎢⎢⎢⎣

1 3 0 4 2 0 0

0 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0 0 1 13

0 0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 1 13

0 0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦

16

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 35

Page 10: Equações Lineares e Matrizes

Substituindo a equação de baixo nas que estão acima, dá

e substituindo a segunda equação na de cima fornece x = 1, y = 2, z = 3. Isto confere com o resultado obtido pela eliminaçãode Gauss-Jordan no Exemplo 3 da Seção 1.1. ®

Sistemas Lineares Homogêneos Um sistema deequações lineares é dito homogêneo se os termos constantes sãotodos zero; ou seja, o sistema tem a forma

Cada sistema homogêneo de equações lineares é consistente,pois todos sistemas homogêneos têm x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0como uma solução. Esta solução é chamada solução trivial ousolução nula; se há outras soluções, estas são chamadas não-triviais.

Como um sistema linear homogêneo sempre tem a soluçãotrivial, só existem duas possibilidades para suas soluções:

∑ O sistema tem somente a solução trivial.∑ O sistema tem infinitas soluções além da solução

trivial.

No caso especial de um sistema linear homogêneo de duasequações em duas incógnitas, digamos

a1 x + b1 y = 0 (a1, b1 não ambas nulas)

a2 x + b2 y = 0 (a2, b2 não ambas nulas)

os gráficos das equações são retas pela origem, e a solução tri-vial corresponde ao ponto de corte na origem (Figura 1.2.1).

(a) Somente a solução trivial (b) Infinitas soluçõesFigura 1.2.1

Há um caso no qual um sistema homogêneo garantidamentetem soluções não-triviais, a saber, sempre que o sistema envolvemais incógnitas que equações. Para ver por que, considere oseguinte exemplo de quatro equações em cinco incógnitas.

Resolva o seguinte sistema homogêneo de equações linearesusando eliminação de Gauss-Jordan.

(1)

Solução.

A matriz aumentada para o sistema é

Reduzindo esta matriz à forma escalonada reduzida por linhas,obtemos

O sistema de equações correspondente é

(2)

Resolvendo para as variáveis líderes, obtemos

Assim, a solução geral é

Note que a solução trivial é obtida quando s = t = 0. ®

O Exemplo 7 ilustra dois aspectos importantes sobre re-solução de sistemas homogêneos de equações lineares. Oprimeiro é que nenhuma das operações elementares sobre linhasaltera a coluna final de zeros da matriz aumentada, de modo queo sistema de equações correspondente à forma escalonadareduzida por linhas da matriz aumentada também deve ser umsistema homogêneo [ver sistema (2)]. O segundo é que, depen-dendo da forma escalonada reduzida por linhas da matrizaumentada ter alguma linha nula, o número de equações no sis-tema reduzido é menor do que ou igual ao número de equaçõesdo sistema original [compare os sistemas (1) e (2)]. Assim, se osistema homogêneo dado tiver m equações em n incógnitas comm < n, e se há r linhas não-nulas na forma escalonada reduzidapor linhas da matriz aumentada, nós teremos r < n. Segue-se

x1 = −s − t, x2 = s, x3 = −t, x4 = 0, x5 = t

x1 = − x2 − x5

x3 = − x5

x4 = 0

x1 + x2 + x5 = 0

x3 + x5 = 0

x4 = 0

⎡⎢⎢⎢⎣

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

2 2 −1 0 1 0

−1 −1 2 −3 1 0

1 1 −2 0 −1 0

0 0 1 1 1 0

⎤⎥⎥⎥⎦

2x1 + 2x2 − x3 + x5 = 0

−x1 − x2 + 2x3 − 3x4 + x5 = 0

x1 + x2 − 2x3 − x5 = 0

x3 + x4 + x5 = 0

EXEMPLO 7 Eliminação de Gauss-Jordan

y

x

ea1x + b1y = 0

a2x + b2y = 0

y

x

a1x + b1y = 0

a2x + b2 y = 0

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0...

......

...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

x = 9 − y − 2z

y = − 172 + 7

2z

z = 3

x + y + 2z = 9

y − 72z = − 17

2

z = 3

36 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Page 11: Equações Lineares e Matrizes

que o sistema de equações correspondente à forma escalonadareduzida por linhas da matriz aumentada terá a forma

(3)

onde xk1, xk2

, ..., xkrsão as variáveis líderes e S( ) denota as

somas (possivelmente todas distintas) que envolvem as n – rvariáveis livres [compare o sistema (3) com o sistema (2)acima]. Resolvendo para as variáveis líderes, obtemos

Como no Exemplo 7, podemos atribuir valores arbitrários àsvariáveis livres do lado direito e assim obter infinitas soluçõesdo sistema.

Resumindo, nós temos o importante teorema a seguir.

OBSERVAÇÃO. Note que o Teorema 1.2.1 aplica somente a sis-temas homogêneos. Um sistema não-homogêneo com maisincógnitas que equações não precisa ser consistente (Exercício28); contudo, se o sistema for consistente, terá infinitassoluções. Isto será provado mais tarde.

Soluções Computacionais de Sistemas Linea-res Em aplicações não é incomum encontrar sistemas linearesgrandes que precisam ser resolvidos por computador. A maioriados algoritmos computacionais para resolver estes sistemas sãobaseados na eliminação gaussiana ou na eliminação de Gauss-Jordan, mas os procedimentos básicos são muitas vezes modifi-cados para comportar problemas tais como

∑ Redução de erros de arredondamento∑ Minimização do uso de espaço de memória do computador∑ Resolução do sistema com rapidez máxima

Alguns desses assuntos serão considerados no Capítulo 9.Fazendo cálculos à mão, as frações constituem um aborreci-mento que muitas vezes não pode ser evitado. Contudo, emalguns casos é possível evitar as frações variando as operaçõeselementares sobre linhas da maneira correta. Assim, uma vezque as técnicas da eliminação gaussiana e da eliminação deGauss-Jordan tiverem sido dominadas, o leitor poderá querervariar os passos em problemas específicos para evitar frações(ver Exercício 18).

OBSERVAÇÃO. Como a eliminação de Gauss-Jordan evita o usode retro-substituição, poderia parecer que este método é o maiseficiente dos dois métodos que nós consideramos. Pode serargumentado que esta afirmação é verdadeira quando resolve-mos manualmente sistemas pequenos, pois a eliminação deGauss-Jordan na verdade envolve escrever menos. Contudo,mostra-se que ambos métodos requerem o mesmo número deoperações. Esta é uma consideração importante quando usamoscomputadores para obter soluções de grandes sistemas deequações. Para maiores detalhes, o leitor pode consultar aSeção 9.8.

Teorema 1.2.1

Um sistema homogêneo de equações lineares com maisincógnitas que equações tem infinitas soluções.

xk1 = −�( )

xk2 = −�( )...

xkr= −�( )

· · · xk1 + �( ) = 0

· · · xk2 + �( ) = 0. . . . . .

...

xkr+ �( ) = 0

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 37

1. Quais das seguintes matrizes 3 ¥ 3 estão em forma escalonada reduzida por linhas?

2. Quais das seguintes matrizes 3 ¥ 3 estão em forma escalonada?

(a)

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

1 2 0

0 1 0

0 0 0

⎤⎥⎦ (c)

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 2 0

⎤⎥⎦ (d)

⎡⎢⎣

1 3 4

0 0 1

0 0 0

⎤⎥⎦

(e)

⎡⎢⎣

1 5 −3

0 1 1

0 0 0

⎤⎥⎦ (f )

⎡⎢⎣

1 2 3

0 0 0

0 0 1

⎤⎥⎦

(a)

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 0

⎤⎥⎦ (c)

⎡⎢⎣

0 1 0

0 0 1

0 0 0

⎤⎥⎦ (d)

⎡⎢⎣

1 0 0

0 0 1

0 0 0

⎤⎥⎦ (e)

⎡⎢⎣

1 0 0

0 0 0

0 0 1

⎤⎥⎦

(f )

⎡⎢⎣

0 1 0

1 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦ (g)

⎡⎢⎣

1 1 0

0 1 0

0 0 0

⎤⎥⎦ (h)

⎡⎢⎣

1 0 2

0 1 3

0 0 0

⎤⎥⎦ (i)

⎡⎢⎣

0 0 1

0 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦ ( j)

⎡⎢⎣

0 0 0

0 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦

Conjunto de Exercícios 1.2

Page 12: Equações Lineares e Matrizes

38 • • • Álgebra Linear com Aplicações

3. Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, escalonada reduzida por linhas, ambas ou nenhuma das duas.

4. Em cada parte, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalo-nada reduzida por linhas dada. Resolva o sistema.

5. Em cada parte, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalo-nada dada. Resolva o sistema.

6. Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.

7. Resolva cada um dos sistemas do Exercício 6 por eliminação gaussiana.8. Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.

9. Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.10. Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.

(a) 5x1 − 2x2 + 6x3 = 0−2x1 + x2 + 3x3 = 1

(b) x1 − 2x2 + x3 − 4x4 = 1x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2x1 − 12x2 − 11x3 − 16x4 = 5

(c) w + 2x − y = 4x − y = 3

w + 3x − 2y = 72u + 4v + w + 7x = 7

(a) 2x1 − 3x2 = −22x1 + x2 = 13x1 + 2x2 = 1

(b) 3x1 + 2x2 − x3 = −155x1 + 3x2 + 2x3 = 03x1 + x2 + 3x3 = 11

−6x1 − 4x2 + 2x3 = 30

(c) 4x1 − 8x2 = 123x1 − 6x2 = 9

−2x1 + 4x2 = −6

(d) 10y − 4z + w = 1x + 4y − z + w = 2

3x + 2y + z + 2w = 5−2x − 8y + 2z − 2w = −4

x − 6y + 3z = 1

(a) x1 + x2 + 2x3 = 8−x1 − 2x2 + 3x3 = 13x1 − 7x2 + 4x3 = 10

(b) 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1

8x1 + x2 + 4x3 = −1

(c) x − y + 2z − w = −12x + y − 2z − 2w = −2−x + 2y − 4z + w = 13x − 3w = −3

(d) − 2b + 3c = 13a + 6b − 3c = −26a + 6b + 3c = 5

(a)

⎡⎢⎣

1 −3 4 7

0 1 2 2

0 0 1 5

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

1 0 8 −5 6

0 1 4 −9 3

0 0 1 1 2

⎤⎥⎦

(c)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 7 −2 0 −8 −3

0 0 1 1 6 5

0 0 0 1 3 9

0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦ (d)

⎡⎢⎣

1 −3 7 1

0 1 4 0

0 0 0 1

⎤⎥⎦

(a)

⎡⎢⎣

1 0 0 −3

0 1 0 0

0 0 1 7

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

1 0 0 −7 8

0 1 0 3 2

0 0 1 1 −5

⎤⎥⎦

(c)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 −6 0 0 3 −2

0 0 1 0 4 7

0 0 0 1 5 8

0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦ (d)

⎡⎢⎣

1 −3 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎤⎥⎦

(a)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 2 0 3 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

1 0 0 5

0 0 1 3

0 1 0 4

⎤⎥⎦ (c)

[1 0 3 1

0 1 2 4

]

(d)

[1 −7 5 5

0 1 3 2

](e)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 3 0 2 0

1 0 2 2 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦ (f )

⎡⎢⎣

0 0

0 0

0 0

⎤⎥⎦

Page 13: Equações Lineares e Matrizes

11. Resolva cada um dos sistemas do Exercício 10 por eliminação gaussiana.12. Sem utilizar papel e lápis, determine quais dos seguintes sistemas homogêneos têm soluções não-triviais.

13. Reolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método.

14. Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método.

15. Resolva os seguintes sistemas por qualquer método.

16. Resolva os seguintes sistemas, onde a, b e c são constantes.

17. O sistema seguinte não tem soluções para quais valores de a? Exatamente uma solução? Infinitas soluções?

18. Reduza

à forma escalonada reduzida por linhas sem introduzir quaisquer frações.19. Obtenha duas formas escalonadas por linha diferentes de

20. Resolva o seguinte sistema de equações não-lineares para os ângulos incógnitos a, b e g, onde 0 ≤ a ≤ 2p, 0 ≤ b ≤ 2p e 0 ≤ g < p.

21. Mostre que o seguinte sistema não-linear tem 18 soluções se 0 ≤ a ≤ 2p, 0 ≤ b ≤ 2p e 0 ≤ g < 2p.

22. Para que valor(es) de l o sistema de equações

tem soluções não-triviais?

(λ − 3)x + y = 0

x + (λ − 3)y = 0

sen α + 2 cos β + 3 tg γ = 0

2 sen α + 5 cos β + 3 tg γ = 0

− sen α − 5 cos β + 5 tg γ = 0

2 sen α − cos β + 3 tg γ = 3

4 sen α + 2 cos β − 2 tg γ = 2

6 sen α − 3 cos β + tg γ = 9

[1 32 7

]

⎡⎢⎣

2 1 3

0 −2 −29

3 4 5

⎤⎥⎦

x + 2y − 3z = 4

3x − y + 5z = 2

4x + y + (a2 − 14)z = a + 2

(a) 2x + y = a

3x + 6y = b

(b) x1 + x2 + x3 = a

2x1 + 2x3 = b

3x2 + 3x3 = c

(a) 2I1 − I2 + 3I3 + 4I4 = 9I1 − 2I3 + 7I4 = 11

3I1 − 3I2 + I3 + 5I4 = 82I1 + I2 + 4I3 + 4I4 = 10

(b) Z3 + Z4 + Z5 = 0−Z1 − Z2 + 2Z3 − 3Z4 + Z5 = 0

Z1 + Z2 − 2Z3 − Z5 = 02Z1 + 2Z2 − Z3 + Z5 = 0

(a) 2x − y − 3z = 0−x + 2y − 3z = 0

x + y + 4z = 0

(b) v + 3w − 2x = 02u + v − 4w + 3x = 02u + 3v + 2w − x = 0

−4u − 3v + 5w − 4x = 0

(c) x1 + 3x2 + x4 = 0x1 + 4x2 + 2x3 = 0

− 2x2 − 2x3 − x4 = 02x1 − 4x2 + x3 + x4 = 0x1 − 2x2 − x3 + x4 = 0

(a) 2x1 + x2 + 3x3 = 0x1 + 2x2 = 0

x2 + x3 = 0

(b) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 05x1 − x2 + x3 − x4 = 0

(c) 2x + 2y + 4z = 0w − y − 3z = 0

2w + 3x + y + z = 0−2w + x + 3y − 2z = 0

(a) 2x1 − 3x2 + 4x3 − x4 = 07x1 + x2 − 8x3 + 9x4 = 02x1 + 8x2 + x3 − x4 = 0

(b) x1 + 3x2 − x3 = 0x2 − 8x3 = 0

4x3 = 0

(c) a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0

(d) 3x1 − 2x2 = 06x1 − 4x2 = 0

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 39

Page 14: Equações Lineares e Matrizes

40 • • • Álgebra Linear com Aplicações

23. Resolva o sistema

para x1, x2 e x3 nos dois casos l = 1 e l = 2.24. Resolva o seguinte sistema para x, y e z.

25. Encontre coeficientes a, b, c e d tais que a curva mostrada na figura é o gráfico da equação y = ax3 + bx2 + cx + d.26. Encontre coeficientes a, b, c e d tais que a curva mostrada na figura é dada pela equação ax2 + ay2 + bx + cy + d = 0.

27. (a) Mostre que se ad – bc ≠ 0, então a forma escalonada reduzida por linhas de

(b) Use a parte (a) para mostrar que o sistema

tem exatamente uma solução quando ad – bc ≠ 0.28. Encontre um sistema linear inconsistente que tem mais incógnitas do que equações.

Discussão e Descoberta

29. Discuta as formas escalonadas reduzidas por linhas possíveis de

30. Considere o sistema de equações

Discuta as posições relativas das retas ax + by = 0, cx + dy = 0 e ex + f y = 0 quando o sistema(a) tem somente a solução trivial e(b) tem soluções não-triviais.

31. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.(a) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada reduzida por linhas por duas seqüências distintas de operações elementares sobre linhas,

então as matrizes resultantes serão diferentes.(b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas seqüências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes

resultantes serão diferentes.

ax + by = 0

cx + dy = 0

ex + fy = 0

⎡⎢⎣

a b c

d e f

g h i

⎤⎥⎦

ax + by = k

cx + dy = l

[a b

c d

[1 0

0 1

]

y

x

–2 6

–20

20(0, 10) (1, 7)

(3, –11) (4, –14)

Figura Ex-25

y

x

(–2, 7)

(4, –3)

(–4, 5)

Figura Ex-26

1

x+ 2

y− 4

z= 1

2

x+ 3

y+ 8

z= 0

− 1

x+ 9

y+ 10

z= 5

2x1 − x2 = λx1

2x1 − x2 + x3 = λx2

−2x1 + 2x2 + x3 = λx3

Page 15: Equações Lineares e Matrizes

1.3 MATRIZES E OPERAÇÕESMATRICIAIS

Coleções retangulares de números reais aparecem em muitoscontextos, não só como a matriz aumentada de um sistema deequações lineares. Nesta seção nós vamos começar nosso estudoda teoria das matrizes dando algumas das definições fundamen-tais do assunto. Nós vamos ver como as matrizes podem ser com-binadas através das operações aritméticas de adição, subtraçãoe multiplicação.

Notação e Terminologia Matricial Na Seção 1.2nós usamos agrupamentos retangulares de números, denomina-dos matrizes aumentadas, para abreviar a escrita de sistemas deequações lineares. Contudo, agrupamentos retangulares denúmeros ocorrem também em outros contextos. Por exemplo, aseguinte coleção retangular de três linhas e sete colunas podedescrever o número de horas que um estudante gastou estudan-do três matérias durante uma certa semana:

Se nós suprimirmos os títulos, ficaremos com a seguinte coleçãoretangular de números com três linhas e sete colunas, denomi-nada matriz:

Mais geralmente, fazemos a seguinte definição.

Alguns exemplos de matrizes são

®

O tamanho de uma matriz é descrito em termos do númerode linhas (fileiras horizontais) e de colunas (fileiras verticais)que contém. Por exemplo, a primeira matriz do Exemplo 1 temtrês linhas e duas colunas, portanto seu tamanho é 3 por 2 (eescrevemos 3 ¥ 2). Numa descrição de tamanho, o primeironúmero sempre denota o número de linhas e o segundo o de co-lunas. As outras matrizes do Exemplo 1 têm tamanhos 1 ¥ 4, 3¥ 3, 2 ¥ 1 e 1 ¥ 1, respectivamente. Uma matriz com somenteuma coluna é chamada matriz-coluna (ou vetor-coluna) e umamatriz com somente uma linha é chamada matriz-linha (ouvetor-linha). Assim, no Exemplo 1 a matriz 2 ¥ 1 é uma matriz-coluna, a matriz 1 ¥ 4 é uma matriz-linha e a matriz 1 ¥ 1 é tantouma matriz-coluna quanto uma matriz-linha. (O termo vetor temum outro significado que será discutido em capítulos subse-qüentes.)

OBSERVAÇÃO. É prática comum omitir os colchetes numa matriz1 ¥ 1. Assim, nós podemos escrever 4 em vez de [ 4 ]. Emboraisto torne impossível dizer se 4 denota o número “quatro” ou amatriz 1 ¥ 1 cuja única entrada é este número “quatro,” isto rara-mente causa problemas, pois geralmente é possível discernir aque nos estamos referindo a partir do contexto no qual apareceo símbolo.

Nós iremos usar letras maiúsculas para denotar matrizes eletras minúsculas para denotar quantidades numéricas; assim,podemos escrever

Quando discutimos matrizes, é usual chamar as quantidadesnuméricas de escalares. A menos de menção explícita em con-trário, escalares são números reais; escalares complexos serãoconsiderados no Capítulo 10.

A entrada que ocorre na i-ésima linha e j-ésima coluna deuma matriz A é denotada por aij. Assim, uma matriz arbitrária 3 ¥ 4 pode ser escrita como

A =[

2 1 7

3 4 2

]ou C =

[a b c

d e f

]

⎡⎣ 1 2

3 0−1 4

⎤⎦, [2 1 0 − 3],

⎡⎢⎣

e π −√2

0 12 1

0 0 0

⎤⎥⎦,

[1

3

], [4]

EXEMPLO 1 Exemplos de Matrizes

Definição

Uma matriz é um agrupamento retangular de números. Osnúmeros neste agrupamento são chamados entradas damatriz.

⎡⎢⎣

2 3 2 4 1 4 2

0 3 1 4 3 2 2

4 1 3 1 0 0 2

⎤⎥⎦

204

331

213

441

130

420

222

Seg.

MatemáticaHistóriaLínguas

Ter. Qua. Qui. Sex. Sab. Dom.

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 41

(c) Se a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz aumentada de um sistema linear tiver uma linha de zeros, então o sistema devepossuir uma infinidade de soluções.

(d) Se três retas do plano xy são lados de um triângulo, então o sistema de equações formado pelas suas equações tem três soluções, umacorrespondendo a cada vértice.

32. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.(a) Um sistema linear de três equações em cinco incógnitas é consistente.(b) Um sistema linear de cinco equações em três incógnitas não pode ser consistente.(c) Se um sistema linear de n equações em n incógnitas tiver n entradas líder na forma escalonada reduzida por linhas de sua matriz aumen-

tada, então o sistema terá exatamente uma solução.(d) Se um sistema linear de n equações em n incógnitas tiver duas equações que são múltiplas uma da outra, então o sistema será inconsis-

tente.

Page 16: Equações Lineares e Matrizes

e uma matriz arbitrária m ¥ n como

(1)

Quando for desejada uma notação mais compacta, a matrizprecedente pode ser escrita como

a primeira notação sendo usada quando é importante saber otamanho da matriz e a segunda quando o tamanho não necessi-ta ênfase. Em geral, combinamos a letra denotando a matriz coma letra denotando suas entradas; assim, para uma matriz B nósgeralmente usamos bij para a entrada na linha i e na coluna j epara uma matriz C nós usamos a notação cij.

A entrada na linha i e na coluna j de uma matriz A tambémé comumente denotada por (A)ij. Assim, para a matriz (1) acima,nós temos

e para a matriz

nós temos (A)11 = 2, (A)12 = – 3, (A)21 = 7 e (A)22 = 0.Matrizes-linha e matrizes-coluna são de importância espe-

cial, e é prática comum denotá-las por letras minúsculas emnegrito em vez de letras maiúsculas. Para tais matrizes édesnecessário usar subscritos duplos para as entradas. Assim,uma matriz-linha 1 ¥ n arbitrária a e uma matriz-coluna m ¥ 1arbitrária b podem ser escritas como

Uma matriz A com n linhas e n colunas é chamada matrizquadrada de ordem n e as entradas sombreadas a11, a22, ..., annem (2) constituem a diagonal principal de A.

(2)

Operações sobre Matrizes Até aqui usamos matrizespara abreviar o trabalho de resolver sistemas de equações li-neares. Para outras aplicações, contudo, é desejável desenvolveruma “aritmética de matrizes” na qual as matrizes podem sersomadas, subtraídas e multiplicadas de alguma maneira útil. Orestante desta seção será dedicado a desenvolver esta aritmética.

Em notação matricial, se A = [ aij ] e B = [ bij ] têm o mesmotamanho, então A = B se, e somente se, (A)ij = (B)ij ou, equiva-lentemente, aij = bij para quaisquer i e j.

Considere as matrizes

Se x = 5, então A = B, mas para todos os outros valores de x asmatrizes A e B não são iguais, pois nem todas suas entradascoincidem. Não existe valor de x tal que A = C pois A e C têmtamanhos diferentes. ®

Em notação matricial, se A = [ aij ] e B = [ bij ] têm o mesmotamanho, então

Considere as matrizes

Então

As expressões A + C, B + C, A – C e B – C não estão definidas.®

Definição

Se A é uma matriz e c é um escalar, então o produto cA é amatriz obtida pela multiplicação de cada entrada da matrizA por c. A matriz cA é chamada múltiplo escalar de A.

A + B =⎡⎢⎣

−2 4 5 4

1 2 2 3

7 0 3 5

⎤⎥⎦ e A − B =

⎡⎢⎣

6 −2 −5 2

−3 −2 2 5

1 −4 11 −5

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

2 1 0 3

−1 0 2 4

4 −2 7 0

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎣

−4 3 5 1

2 2 0 −1

3 2 −4 5

⎤⎥⎦, C =

[1 1

2 2

]

EXEMPLO 3 Adição e Subtração

(A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij e (A − B)ij = (A)ij − (B)ij = aij − bij

Definição

Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a somaA + B é a matriz obtida somando as entradas de B às entradascorrespondentes de A, e a diferença A – B é a matriz obtidasubtraindo as entradas de B das entradas correspondentes deA. Matrizes de tamanho distintos não podem ser somadas ousubtraídas.

A =[

2 1

3 x

], B =

[2 1

3 5

], C =

[2 1 0

3 4 0

]

EXEMPLO 2 Igualdade de Matrizes

Definição

Duas matrizes são definidas como sendo iguais se têm omesmo tamanho e suas entradas correspondentes são iguais.

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎦

a = [a1 a2 · · · an] e b =

⎡⎢⎢⎢⎣

b1

b2...

bm

⎤⎥⎥⎥⎦

A =[

2 −3

7 0

]

(A)ij = aij

[aij ]m×n ou [aij ]

A =

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎦

A =⎡⎢⎣

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

⎤⎥⎦

42 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Page 17: Equações Lineares e Matrizes

Em notação matricial, se A = [aij ], então

Para as matrizes

nós temos

É usual denotar (–1)B por –B. ®

Se A1, A2, ..., An são matrizes de mesmo tamanho e c1, c2, ...,cn são escalares, então uma expressão da forma

é chamada combinação linear de A1, A2, ..., An com coeficientesc1, c2, ..., cn. Por exemplo, se A, B e C são as matrizes doExemplo 4, então

é a combinação linear de A, B e C com coeficientes escalares 2,–1 e .

Até aqui nós definimos a multiplicação de uma matriz porum escalar mas não a multiplicação de duas matrizes. Comomatrizes são somadas somando as entradas correspondentes esubtraídas subtraindo as entradas correspondentes, parecerianatural definir a multiplicação de matrizes multiplicando asentradas correspondentes. Contudo, ocorre que tal definição nãoseria muito útil na maioria dos problemas. A experiência levouos matemáticos à seguinte definição muito mais útil de multi-plicação de matrizes.

Considere as matrizes

Como A é uma matriz 2 ¥ 3 e B é uma matriz 3 ¥ 4, o produtoA B é uma matriz 2 ¥ 4. Para determinar, por exemplo, a entra-da na linha 2 e coluna 3 de A B, nós destacamos a linha 2 de Ae a coluna 3 de B. Então, como ilustrado abaixo, nós multipli-camos as entradas correspondentes e somamos estes produtos.

A entrada na linha 1 e coluna 4 de A B é calculada como segue.

As contas para os demais produtos são

®

A definição de multiplicação de matrizes exige que onúmero de colunas do primeiro fator A seja igual ao número delinhas do segundo fator B para que seja possível formar o pro-duto A B. Se esta condição não é satisfeita, o produto não estádefinido. Uma maneira conveniente de determinar se o produtode duas matrizes está ou não definido é escrever o tamanho doprimeiro fator e, à direita, escrever o tamanho do segundo fator.Se, como em (3), os números internos coincidem, então o pro-duto está definido.

(3)

Suponha que A, B e C são matrizes dos seguintes tamanhos:

Então, por (3), o produto A B está definido e é uma matriz 3 ¥7; B C está definido e é uma matriz 4 ¥ 3 e C A está definido eé uma matriz 7 ¥ 4. Os produtos A C, C B e B A não estãodefinidos. ®

Em geral, se A = [ ai j ] é uma matriz m ¥ r e B = [ bi j ] é umamatriz r ¥ n, então, como está ilustrado pelo sombreamento em(4),

A B C

3 × 4 4 × 7 7 × 3

EXEMPLO 6 Determinando se um Produto EstáDefinido

Am × r

Internos

Externos

Br × n =

ABm × n

(1 · 4) + (2 · 0) + (4 · 2) = 12

(1 · 1) − (2 · 1) + (4 · 7) = 27

(1 · 4) + (2 · 3) + (4 · 5) = 30

(2 · 4) + (6 · 0) + (0 · 2) = 8

(2 · 1) − (6 · 1) + (0 · 7) = −4

(2 · 3) + (6 · 1) + (0 · 2) = 12

AB =[

12 27 30 13

8 −4 26 12

]

[1 2 4

2 6 0

] ⎡⎢⎣

4 1 4 3

0 −1 3 1

2 7 5 2

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ 13

⎤⎥⎦

(1 · 3) + (2 · 1) + (4 · 2) = 13

[1 2 4

2 6 0

] ⎡⎢⎣

4 1 4 3

0 −1 3 1

2 7 5 2

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

26

⎤⎥⎦

(2 · 4) + (6 · 3) + (0 · 5) = 26

A =[

1 2 4

2 6 0

], B =

⎡⎢⎣

4 1 4 3

0 −1 3 1

2 7 5 2

⎤⎥⎦

EXEMPLO 5 Multiplicando Matrizes

Definição

Se A é uma matriz m ¥ r e B é uma matriz r ¥ n, então o pro-duto AB é a matriz m ¥ n cujas entradas são determinadascomo segue. Para obter a entrada na linha i e coluna j de AB,destaque a linha i de A e a coluna j de B. Multiplique asentradas correspondentes desta linha e desta coluna e entãosome os produtos resultantes.

13

2A − B + 13C = 2A + (−1)B + 1

3C

=[

4 6 8

2 6 2

]+

[0 −2 −7

1 −3 5

]+

[3 −2 1

1 0 4

]=

[7 2 2

4 3 11

]

c1A1 + c2A2 + · · · + cnAn

2A =[

4 6 8

2 6 2

], (−1)B =

[0 −2 −7

1 −3 5

], 1

3C =[

3 −2 1

1 0 4

]

A =[

2 3 4

1 3 1

], B =

[0 2 7

−1 3 −5

], C =

[9 −6 3

3 0 12

]

EXEMPLO 4 Múltiplos Escalares

(cA)ij = c(A)ij = caij

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 43

Page 18: Equações Lineares e Matrizes

(4)

a entrada (A B)ij na linha i e coluna j de A B está dada por

(5)

Matrizes Particionadas Uma matriz pode ser subdividi-da em blocos ou particionada em matrizes menores inserindoriscos horizontais e verticais entre linhas e colunas selecionadas.Por exemplo, a seguir exibimos três partições possíveis de umamatriz 3 ¥ 4 arbitrária A: a primeira é uma partição de A em qua-tro submatrizes A11, A12, A21 e A22; a segunda é uma partição deA em suas matrizes-linha r1, r2 e r3 ; a terceira é uma partiçãode A em suas matrizes-coluna c1, c2, c3 e c4:

Multiplicação Matricial por Colunas e LinhasÀs vezes pode ser conveniente encontrar uma linha ou colunaespecífica de um produto matricial A B sem calcular todo o pro-duto. Os seguintes resultados, cujas provas são deixadas para osexercícios, são úteis para esta finalidade:

(6)

(7)

Se A e B são as matrizes do Exemplo 5, então por (6) a segundamatriz-coluna do produto A B pode ser obtida calculando

e por (7), a primeira matriz-linha de A B pode ser obtida calcu-lando

®

Se a1, a2, ..., am denotam as matrizes-linha de A e b1, b2, ...,bn denotam as matrizes-coluna de B, então das Fórmulas (6) e(7) segue-se que

(8)

(A B calculado coluna a coluna)

(9)

(A B calculado linha a linha)

OBSERVAÇÃO. As Fórmulas (8) e (9) são casos especiais de umprocedimento mais geral de multiplicação de matrizes parti-cionadas (ver Exercícios 15–17).

Produtos Matriciais como CombinaçõesLineares Matrizes-linha e coluna fornecem uma maneiraalternativa de ver a multiplicação matricial. Por exemplo,suponha que

Então

(10)Em palavras, a expressão (10) nos diz que o produto A x de umamatriz A por uma matriz-coluna x é uma combinação linear dasmatrizes-coluna de A com coeficientes provenientes da matriz x.Nos exercícios nós pedimos ao leitor mostrar que o produto yAde uma matriz 1 ¥ m y por uma matriz m ¥ m A é uma combi-nação linear das matrizes-linha de A com coeficientes escalaresprovenientes da matriz y.

A matriz produto

pode ser escrita como a combinação linear das matrizes-coluna

A matriz produto

[1 −9 −3]⎡⎢⎣

−1 3 2

1 2 −3

2 1 −2

⎤⎥⎦ = [−16 −18 35]

2

⎡⎢⎣

−1

1

2

⎤⎥⎦ − 1

⎡⎢⎣

3

2

1

⎤⎥⎦ + 3

⎡⎢⎣

2

−3

−2

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

1

−9

−3

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

−1 3 2

1 2 −3

2 1 −2

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

2

−1

3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

1

−9

−3

⎤⎥⎦

EXEMPLO 8 Combinações Lineares

Ax =

⎡⎢⎢⎢⎣

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn...

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn

⎤⎥⎥⎥⎦ = x1

⎡⎢⎢⎢⎣

a11

a21...

am1

⎤⎥⎥⎥⎦+x2

⎡⎢⎢⎢⎣

a12

a22...

am2

⎤⎥⎥⎥⎦+· · ·+xn

⎡⎢⎢⎢⎣

a1n

a2n...

amn

⎤⎥⎥⎥⎦

A =

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎦ e x =

⎡⎢⎢⎢⎣

x1

x2...xn

⎤⎥⎥⎥⎦

AB =

⎡⎢⎢⎢⎣

a1

a2...

am

⎤⎥⎥⎥⎦ B =

⎡⎢⎢⎢⎣

a1B

a2B...

amB

⎤⎥⎥⎥⎦

AB = A[b1 b2 · · · bn] = [Ab1 Ab2 · · · Abn]

1 2 4

⎡⎢⎣

4 1 4 3

0 −1 3 1

2 7 5 2

⎤⎥⎦ = 12 27 30 13

Primeira linha de A Primeira linha de AB

[ ][ ]

[1 2 4

2 6 0

] ⎡⎢⎣

1

−1

7

⎤⎥⎦ =

[27

−4

]

�Segunda colunade B

�Segunda colunade AB

EXEMPLO 7 Exemplo 5 de Novo

i-ésima matriz-linha de A B = [i-ésima matriz-linha de A] B

j-ésima matriz-coluna de A B = A [j-ésima matriz-coluna de B]

A =⎡⎢⎣

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

⎤⎥⎦ =

[A11 A12

A21 A22

]

A =⎡⎢⎣

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

r1

r2

r3

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

⎤⎥⎦ = [c1 c2 c3 c4]

(AB)ij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + · · · + airbrj

AB =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1r

a21 a22 · · · a2r...

......

ai1 ai2 · · · air...

......

am1 am2 · · · amr

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

b11 b12 · · · b1 j · · · b1n

b21 b22 · · · b2 j · · · b2n...

......

...

br1 br2 · · · br j · · · brn

⎤⎥⎥⎥⎦

44 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Page 19: Equações Lineares e Matrizes

pode ser escrita como a combinação linear das matrizes-linha

®Segue de (8) e (10) que j-ésima matriz-coluna de um pro-

duto AB é uma combinação linear das matrizes-coluna de Acom coeficientes dados pela j-ésima coluna de B.

Nós mostramos no Exemplo 5 que

As matrizes-coluna de A B podem ser expressas como combi-nações lineares das matrizes-coluna de A como segue:

®

Forma Matricial de um Sistema Linear A multipli-cação matricial tem uma importante aplicação a sistemas deequações lineares. Considere um sistema qualquer de mequações lineares em n incógnitas.

Como duas matrizes são iguais se, e somente se, suasentradas correspondentes são iguais, nós podemos substituir asm equações deste sistema por uma única equação matricial

A matriz m ¥ 1 à esquerda desta equação pode ser escrita comoum produto.

Denotando estas matrizes por A, x e b, respectivamente, o sis-tema original de m equações em n incógnitas foi substituído pelaúnica equação matricial

A matriz A nesta equação é chamada matriz de coeficientes dosistema. A matriz aumentada deste sistema é obtida pela

adjunção de b a A como a última coluna; assim, a matriz aumen-tada é

Transposta de uma Matriz Nós concluímos esta seçãodefinindo duas operações matriciais que não tem análogos entreos números reais.

A seguir, alguns exemplos de matrizes e suas transpostas.

®

Observe que não só as colunas de AT são as linhas de A, mastambém as linhas de AT são colunas de A. Assim, a entrada nalinha i e coluna j de AT é a entrada na linha j e coluna i de A; ouseja,

(11)

Observe a reversão de subscritos.No caso especial em que a matriz A é uma matriz quadrada,

a transposta de A pode ser obtida pela permutação das entradasposicionadas simetricamente em relação à diagonal principal.Em (12), é mostrado que AT também pode ser obtida de A“refletindo” A em torno de sua diagonal principal.

(12)

Permute entradas posicionadassimetricamente em relação

à diagonal principal.

Definição

Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A, denotadopor tr (A), é definido pela soma das entradas na diagonalprincipal de A. O traço de A não é definido se A não é umamatriz quadrada.

A =

⎡⎢⎣

1 −2 4

3 7 0

−5 8 6

⎤⎥⎦ →

⎡⎢⎣

1 −2 4

3 7 0

−5 8 6

⎤⎥⎦ → AT =

⎡⎢⎣

1 3 −5

−2 7 8

4 0 6

⎤⎥⎦

(AT )ij = (A)ji

A =⎡⎢⎣

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎣

2 3

1 4

5 6

⎤⎥⎦, C = [1 3 5], D = [4]

AT =

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a14 a24 a34

⎤⎥⎥⎥⎦, BT =

[2 1 5

3 4 6

], CT =

⎡⎢⎣

1

3

5

⎤⎥⎦, DT = [4]

EXEMPLO 10 Algumas Transpostas

Definição

Se A é uma matriz m ¥ n qualquer, então a transposta de A,denotada por AT, é definida como a matriz n ¥ m que resul-ta da permutação das linhas com as colunas de A; ou seja, aprimeira coluna de AT é a primeira linha de A, a segunda coluna de AT é a segunda linha de A, e assim por diante.

[A | b] =

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

......

...

am1 am2 · · · amn bm

⎤⎥⎥⎥⎦

A x = b

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

x1

x2...

xn

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣

b1

b2...

bm

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn...

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣

b1

b2...

bm

⎤⎥⎥⎥⎦

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

......

...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

[12

8

]= 4

[1

2

]+ 0

[2

6

]+ 2

[4

0

]

[27

−4

]=

[1

2

]−

[2

6

]+ 7

[4

0

]

[30

26

]= 4

[1

2

]+ 3

[2

6

]+ 5

[4

0

]

[13

12

]= 3

[1

2

]+

[2

6

]+ 2

[4

0

]

AB =[

1 2 4

2 6 0

] ⎡⎢⎣

4 1 4 3

0 −1 3 1

2 7 5 2

⎤⎥⎦ =

[12 27 30 13

8 −4 26 12

]

EXEMPLO 9 Colunas de um Produto A B comoCombinações Lineares

1[−1 3 2] − 9[1 2 −3] − 3[2 1 −2] = [−16 −18 35]

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 45

Page 20: Equações Lineares e Matrizes

A seguir, exemplos de matrizes e seus traços.

®

A =⎡⎢⎣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎢⎢⎣

−1 2 7 0

3 5 −8 4

1 2 7 −3

4 −2 1 0

⎤⎥⎥⎥⎦

tr (A) = a11 + a22 + a33 tr (B) = −1 + 5 + 7 + 0 = 11

EXEMPLO 11 Traço de uma Matriz

46 • • • Álgebra Linear com Aplicações

1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes dos seguintes tamanhos:

Determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante.

2. Resolva a seguinte equação matricial em termos de a, b, c e d.

3. Considere as matrizes

Calcule os seguintes (quando possível).

4. Usando as matrizes do Exercício 3, calcule os seguintes (quando possível).

5. Usando as matrizes do Exercício 3, calcule os seguintes (quando possível).

6. Usando as matrizes do Exercício 3, calcule os seguintes (quando possível).

7. Sejam

Use o método do Exemplo 7 para encontrar(a) a primeira linha de AB (b) a terceira linha de AB (c) a segunda coluna de AB(d) a primeira coluna de BA (e) a terceira linha de AA (f) a terceira coluna de AA

e B =⎡⎢⎣

6 −2 4

0 1 3

7 7 5

⎤⎥⎦A =

Î

ÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙

3 2 7

6 5 4

0 4 9

(a) (2DT − E)A (b) (4B)C + 2B (c) (−AC)T + 5DT

(d) (BAT − 2C)T (e) BT(CCT − ATA) (f ) DTET − (ED)T

(a) AB (b) BA (c) (3E)D

(e) A(BC) (f ) CCT (g) (DA)T

(i) tr(DDT ) ( j) tr(4ET − D) (k) tr(CTAT + 2ET )

(a) 2AT + C (b) DT − ET (c) (D − E)T (d) BT + 5CT

(e) 12 CT − 1

4 A (f ) B − BT (g) 2ET − 3DT (h) (2ET − 3DT )T

(a) D + E (b) D − E (c) 5A (d) − 7C

(e) 2B − C (f ) 4E − 2D (g) − 3(D + 2E) (h) A − A

(i) tr(D) ( j) tr(D − 3E) (k) 4 tr(7B) (l) tr(A)

A =⎡⎢⎣

3 0

−1 2

1 1

⎤⎥⎦, B =

[4 −1

0 2

], C =

[1 4 2

3 1 5

], D =

⎡⎢⎣

1 5 2

−1 0 1

3 2 4

⎤⎥⎦, E =

⎡⎢⎣

6 1 3

−1 1 2

4 1 3

⎤⎥⎦

[a − b b + c

3d + c 2a − 4d

]=

[8 1

7 6

]

(a) BA (b) AC + D (c) AE + B (d) AB + B

(e) E(A + B) (f ) E(AC) (g) ETA (h) (AT + E)D

A B C D E

(4 × 5) (4 × 5) (5 × 2) (4 × 2) (5 × 4)

Conjunto de Exercícios 1.3

Page 21: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 47

8. Sejam A e B as matrizes do Exercício 7.(a) Expresse cada matriz-coluna de AB como uma combinação linear das matrizes-coluna de A.(b) Expresse cada matriz-coluna de BA como uma combinação linear das matrizes-coluna de B.

9. Sejam

Mostre que o produto yA pode ser expressso como uma combinação linear das matrizes-linha de A com coeficientes escalares vindo de y.10. Sejam A e B as matrizes do Exercício 7.

(a) Use o resultado do Exercício 9 para expressar cada matriz-linha de A B como uma combinação linear das matrizes-linha de B.(b) Use o resultado do Exercício 9 para expressar cada matriz-linha de B A como uma combinação linear das matrizes-linha de A.

11. Sejam C, D e E as matrizes do Exercício 3. Usando o mínimo possível de contas, determine a entrada na linha 2 e coluna 3 de C (D E).12. (a) Mostre que se A B e B A estão ambas definidas, então A B e B A são matrizes quadradas.

(b) Mostre que se A é uma matriz m ¥ n e A (B A) está definida, então B é uma matriz n ¥ m.13. Em cada parte, encontre matrizes A, x e b que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial Ax = b.

14. Em cada parte, expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares.

15. Se A e B são particionadas em submatrizes, por exemplo,

então A B pode ser expresso como

sempre que os tamanhos das submatrizes de A e B são tais que as operações indicadas podem ser efetuadas. Este método de multiplicarmatrizes particionadas é chamado multiplicação em bloco. Em cada parte, calcule o produto usando multiplicação em bloco. Confira seusresultados multiplicando diretamente.

16. Adapte o método do Exercício 15 para calcular os seguintes produtos usando multiplicação em bloco.

(a)

[3 −1 0 −3

2 1 4 5

] ⎡⎢⎢⎢⎣

2 −4 1

3 0 2

1 −3 5

2 1 4

⎤⎥⎥⎥⎦ (b)

⎡⎢⎢⎢⎣

2 −5

1 3

0 5

1 4

⎤⎥⎥⎥⎦

[2 −1 3 −4

0 1 5 7

]

(a) A =⎡⎢⎣

−1 2 1 5

0 −3 4 2

1 5 6 1

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎢⎢⎣

2 1 4

−3 5 2

7 −1 5

0 3 −3

⎤⎥⎥⎥⎦

(b) A =⎡⎢⎣

−1 2 1 5

0 −3 4 2

1 5 6 1

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎢⎢⎣

2 1 4

−3 5 2

7 −1 5

0 3 −3

⎤⎥⎥⎥⎦

AB =[A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22

A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

]A =

[A11 A12

A21 A22

]e B =

[B11 B12

B21 B22

]

(a)

⎡⎢⎣

3 −1 2

4 3 7

−2 1 5

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

x1

x2

x3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

2

−1

4

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎢⎢⎣

3 −2 0 1

5 0 2 −2

3 1 4 7

−2 5 1 6

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

w

x

y

z

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣

0

0

0

0

⎤⎥⎥⎥⎦

(a) 2x1 − 3x2 + 5x3 = 79x1 − x2 + x3 = −1x1 + 5x2 + 4x3 = 0

(b) 4x1 − 3x3 + x4 = 15x1 + x2 − 8x4 = 32x1 − 5x2 + 9x3 − x4 = 0

3x2 − x3 + 7x4 = 2

y = [y1 y2 · · · ym] e A =

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎦

Page 22: Equações Lineares e Matrizes

48 • • • Álgebra Linear com Aplicações

17. Em cada parte, determine se pode ser usada multiplicação em bloco para calcular A B a partir das partições dadas. Se puder, calcule o pro-duto usando multiplicação em bloco.

18. (a) Mostre que se A tem uma linha de zeros e B é uma matriz qualquer para a qual o produto A B está definido, então A B também tem umalinha de zeros.

(b) Encontre um resultado similar valendo para uma coluna de zeros.19. Seja A uma matriz m ¥ n qualquer e seja 0 a matriz m ¥ n com todas as entradas nulas. Mostre que se k A = 0, então k = 0 ou A = 0.20. Seja I a matriz n ¥ n cuja entrada na linha i e coluna j é

Mostre que A I = I A = A para qualquer matriz n ¥ n A.21. Em cada parte, encontre uma matriz [ ai j ] de tamanho 6 ¥ 6 que satisfaz a condição dada. Dê respostas tão gerais quanto possível, usando

letras e não números para entradas não-nulas específicas.(a) aij = 0 se i ≠ j (b) aij = 0 se i > j (c) aij = 0 se i < j (d) aij = 0 se | i – j | > 1

22. Encontre a matriz [aij] de tamanho 4 ¥ 4 cujas entradas satisfazem a condição dada.

23. Prove: Se A e B são matrizes n ¥ n, então tr (A + B) = tr (A) + tr (B).

Discussão e Descoberta

24. Descreva três métodos distintos para calcular um produto de matrizes e ilustre os métodos calculando algum produto A B destas três maneiras.25. Quantas matrizes A de tamanho 3 ¥ 3 você consegue encontrar tais que

para todas as escolhas de x, y e z?26. Quantas matrizes A de tamanho 3 ¥ 3 você consegue encontrar tais que

para todas as escolhas de x, y e z?27. Dizemos que uma matriz B é uma raiz quadrada de uma matriz A se B B = A.

(a) Encontre duas raízes quadradas de A = .

(b) Quantas raízes quadradas distintas você consegue encontrar de A = ?

[5 0

0 9

]

[2 2

2 2

]

A

⎡⎢⎣

x

y

z

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

xy

0

0

⎤⎥⎦

A

⎡⎢⎣

x

y

z

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

x + y

x − y

0

⎤⎥⎦

(a) aij = i + j (b) aij = ij−1 (c) aij ={

1 se |i − j | > 1

−1 se |i − j | ≤ 1

{1 se i = j

0 se i �= j

(a) A =⎡⎢⎣

−1 2 1 5

0 −3 4 2

1 5 6 1

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎢⎢⎣

2 1 4

−3 5 2

7 −1 5

0 3 −3

⎤⎥⎥⎥⎦

(b) A =⎡⎢⎣

−1 2 1 5

0 −3 4 2

1 5 6 1

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎢⎢⎣

2 1 4

−3 5 2

7 −1 5

0 3 −3

⎤⎥⎥⎥⎦

(c)

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 2 0

0 0 0 −1 2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

3 3

−1 4

1 5

2 −2

1 6

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Page 23: Equações Lineares e Matrizes

(c) Você acha que qualquer matriz 2 ¥ 2 tem pelo menos uma raiz quadrada? Explique seu raciocínio.28. Seja 0 a matriz 2 ¥ 2 com todas as entradas nulas.

(a) Existe alguma matriz A de tamanho 2 ¥ 2 tal que A ≠ 0 e A A = 0? Justifique sua resposta.(b) Existe alguma matriz A de tamanho 2 ¥ 2 tal que A ≠ 0 e A A = A? Justifique sua resposta.

29. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.(a) As expressões tr (AAT) e tr (ATA) estão sempre definidas, independentemente do tamanho de A.(b) tr (AAT) = tr (ATA) para qualquer matriz A.(c) Se a primeira coluna de A for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto A B.(c) Se a primeira linha de A for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto A B.

30. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.(a) Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então A A tem duas linhas idênticas.(b) Se A é uma matriz quadrada e A A tem uma coluna toda constituída de zeros então necessariamente A tem uma coluna toda constituída

de zeros(c) Se B é uma matriz n ¥ n cujas entradas são inteiros pares positivos e se A é uma matriz n ¥ n cujas entradas são inteiros positivos, então

as entradas de A B e de B A são inteiros pares positivos.(c) Se a soma de matrizes A B + B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas.

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 49

1.4 INVERSAS; REGRAS DAARITMÉTICA MATRICIAL

Nesta seção nós vamos discutir algumas propriedades das ope-rações aritméticas sobre matrizes. Nós veremos que muitas dasregras básicas da aritmética de números reais também valempara matrizes, mas que algumas poucas não valem.

Propriedades das Operações Matriciais Paranúmeros reais a e b, nós sempre temos ab = ba, que é chamadaa lei da comutatividade para a multiplicação. Para matrizes,contudo, AB e BA não precisam ser iguais; a igualdade pode fa-lhar por três razões. Pode acontecer que o produto AB estádefinido mas o produto BA não está definido. Por exemplo, esteé o caso se A é uma matriz 2 ¥ 3 e B é uma matriz 3 ¥ 4. Tambémpode ocorrer que os produtos AB e BA estão ambos definidosmas têm tamanhos diferentes. Esta é a situação se A é umamatriz 2 ¥ 3 e B é uma matriz 3 ¥ 2. Finalmente, como mostrao Exemplo 1, é possível ter AB ≠ BA mesmo se ambos produtosAB e BA estiverem definidos e tiverem o mesmo tamanho.

Considere as matrizes

Multiplicando, obtemos

Assim, A B ≠ B A. ®

Embora a lei da comutatividade para a multiplicação não sejaválida na aritmética matricial, muitas leis familiares da aritméti-ca são válidas para matrizes. O teorema a seguir dá um resumode algumas das mais importantes e seus nomes.

Para provar as igualdades neste teorema, nós devemosmostrar que a matriz do lado esquerdo tem o mesmo tamanhoque a matriz do lado direito e que as entradas correspondentesdos dois lados são iguais. Exceto pela lei da associatividade naparte (c), todas as provas seguem o mesmo padrão geral. Parailustrar isto, iremos provar a parte (d). A prova da lei da asso-ciatividade, que é mais complicada, é delineada nos exercícios.

Prova (d). Nós devemos mostrar que A(B + C) e AB + AC têmo mesmo tamanho e que as entradas correspondentes são iguais.Para formar A(B + C), as matrizes B e C devem ter o mesmotamanho, digamos m ¥ n, e então a matriz A deve ter m colunas,de modo que seu tamanho é da forma r ¥ m. Isto faz deA(B + C) uma matriz r ¥ n. Segue que AB + AC também é uma

matriz r ¥ n e, conseqüentemente, A(B + C) e AB + AC têm omesmo tamanho.

Suponha que A = [aij ], B = [bij ] e C = [cij ]. Nós queremosmostrar que as entradas correspondentes de A(B + C) e de AB +AC são iguais, ou seja, que

[A(B + C)]ij = [AB + AC]ij

Teorema 1.4.1 Propriedades da Aritmética Matricial

Supondo que os tamanhos das matrizes são tais que as ope-rações indicadas podem ser efetuadas, valem as seguintesregras da aritmética matricial.

(a) A + B = B + A (Lei da Comutatividade para a Adição)

(b) A + (B + C) = (A + B) + C (Lei da Associatividade da Adição)

(c) A (B C) = (A B) C (Lei da Associatividade da Multiplicação)

(d) A (B + C) = A B + A C (Lei da Distributividade à Esquerda)

(e) (A + B) C = A C + B C (Lei da Distributividade à Direita)

(f ) A (B – C) = A B – A C (j) (a + b) C = a C + b C(g) (B – C) A = B A – C A (k) (a – b) C = a C – b C(h) a (B + C) = a B + a C (l) a (b C) = (a b) C(i) a (B – C) = a B – a C (m) a (B C) = (a B) C = B (a C)

AB =[−1 −2

11 4

], BA =

[3 6

−3 0

]A =

[−1 0

2 3

], B =

[1 2

3 0

]EXEMPLO 1 A B e B A não Precisam Ser Iguais

Page 24: Equações Lineares e Matrizes

para todos valores de i e j. Pela definição de soma e produto dematrizes, entretanto, temos

OBSERVAÇÃO. Embora as operações de adição matricial e de mul-tiplicação matricial tenham sido definidas para pares dematrizes, as leis da associatividade (b) e (c) nos permitem es-crever somas e produtos de três matrizes, como A + B + C e ABCsem inserir parênteses. Isto é justificado pelo seguinte fato: ondequer que os parênteses sejam inseridos, as leis da associativi-dade garantem que o resultado final é sempre o mesmo. Emgeral, dada qualquer soma ou qualquer produto de matrizes,podemos omitir ou inserir pares de parênteses em qualquerlugar da expressão sem afetar o resultado final.

Como uma ilustração da lei da associatividade para a multipli-cação matricial, considere

Então

Assim,

e

de modo que (A B) C = A (B C), conforme garante o Teorema1.4.1c. ®

Matrizes Zero Uma matriz com todas suas entradas nulas,tal como

é chamada uma matriz zero ou matriz nula. Uma matriz zerosempre será denotada por 0; se for importante enfatizar seutamanho, nós escreveremos 0m ¥ n para a matriz zero de tamanhom ¥ n. Além disto, continuando com a convenção de usar sím-bolos em negrito para matrizes de uma única coluna, denotamosuma matriz zero de uma coluna por 0.

Se A é uma matriz qualquer e 0 é a matriz zero de mesmotamanho, é obvio que A + 0 = 0 + A = A. A matriz 0 desempe-nha, portanto, nesta equação matricial o mesmo papel que onúmero 0 desempenha na equação numérica a + 0 = 0 + a = a.

Como nós já sabemos que algumas das regras da aritméticados números reais não valem na aritmética matricial, serialeviano supor que todas as propriedades do número real zerovalem para a matriz zero. Por exemplo, considere os doisseguintes resultados-padrão da aritmética dos números reais.

∑ Se ab = ac e a ≠ 0, então b = c. (Esta é chamada a lei de can-celamento).

∑ Se ad = 0, então pelo menos um dos fatores à esquerda é 0.

Como o próximo exemplo mostra, os resultados correspon-dentes não são válidos, em geral, na aritmética matricial.

Considere as matrizes

Você deveria verificar que

Assim, embora A ≠ 0, é incorreto cancelar A de ambos os ladosda equação AB = AC e escrever B = C. Também AD = 0, embo-ra A ≠ 0 e D ≠ 0. Assim, a lei de cancelamento não é válida paraa multiplicação matricial e é possível um produto de matrizesser zero sem que nenhum dos fatores seja zero. ®

Não obstante o exemplo acima, existem várias propriedadesfamiliares do número real 0 que valem para as matrizes zero. Oteorema a seguir dá um resumo de algumas das mais impor-tantes. As provas são deixadas como exercícios.

Matrizes Identidade De especial interesse são asmatrizes quadradas com entradas 1 na diagonal principal e comentradas 0 fora da diagonal principal, tais como

, e assim por diante.[

1 0

0 1

],

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦,

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎦

Teorema 1.4.2 Propriedades das Matrizes Zero

Supondo que os tamanhos das matrizes são tais que as ope-rações indicadas podem ser efetuadas, valem as seguintesregras da aritmética matricial.

(a) A + 0 = 0 + A = A(b) A – A = 0(c) 0 – A = –A(d) A0 = 0; 0A = 0

AB = AC =[

3 4

6 8

]e AD =

[0 0

0 0

]

A =[

0 1

0 2

], B =

[1 1

3 4

], C =

[2 5

3 4

], D =

[3 7

0 0

]

EXEMPLO 3 A Lei de Cancelamento não Vale

[0 0

0 0

],

⎡⎢⎣

0 0 0

0 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦,

[0 0 0 0

0 0 0 0

],

⎡⎢⎢⎢⎣

0

0

0

0

⎤⎥⎥⎥⎦, [0]

A(BC) =⎡⎢⎣

1 2

3 4

0 1

⎤⎥⎦ [

10 9

4 3

]=

⎡⎢⎣

18 15

46 39

4 3

⎤⎥⎦

(AB)C =⎡⎢⎣

8 5

20 13

2 1

⎤⎥⎦ [

1 0

2 3

]=

⎡⎢⎣

18 15

46 39

4 3

⎤⎥⎦

AB =⎡⎢⎣

1 2

3 4

0 1

⎤⎥⎦ [

4 3

2 1

]=

⎡⎢⎣

8 5

20 13

2 1

⎤⎥⎦ e BC =

[4 3

2 1

] [1 0

2 3

]=

[10 9

4 3

]

A =⎡⎢⎣

1 2

3 4

0 1

⎤⎥⎦, B =

[4 3

2 1

], C =

[1 0

2 3

]

EXEMPLO 2 Associatividade da MultiplicaçãoMatricial

[A(B + C)]ij = ai1(b1j + c1j ) + ai2(b2j + c2j ) + · · · + aim(bmj + cmj )

= (ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj ) + (ai1c1j + ai2c2j + · · · + aimcmj )

= [AB]ij + [AC]ij = [AB + AC]ij

50 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Page 25: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 51

Uma matriz desta forma é chamada uma matriz identidade e édenotada por I. Se for importante enfatizar seu tamanho, nósescreveremos In para a matriz identidade de tamanho n ¥ n.

Se A é uma matriz m ¥ n, então, como ilustra o seguinteexemplo,

Assim, uma matriz identidade desempenha na aritmética matri-cial o mesmo papel que o número 1 desempenha nas relaçõesnuméricas a · 1 = 1 · a = a.

Considere a matriz

Então

e

®

As matrizes identidade surgem naturalmente no estudo daforma escalonada reduzida por linhas de matrizes quadradas,como mostra o próximo teorema.

Prova. Suponha que a forma escalonada reduzida por linhas deA é

De duas uma: ou a última linha desta matriz é constituídainteiramente de zeros ou não. Se não, a matriz não contém li-nhas nulas e conseqüentemente cada uma de suas n linhas temum pivô 1. Como estes pivôs ocorrem progressivamente para adireita à medida que descemos pelas linhas, cada um deve ocor-rer na diagonal principal. Como as demais entradas na mesmacoluna são zeros, R deve ser In. Assim, ou R tem uma linha dezeros ou R = In. �

A matriz

é uma inversa de

pois

e

®

A matriz

é singular. Para ver por que, seja

uma matriz 3 ¥ 3 qualquer. A terceira coluna de BA é

Assim,

®

Propriedades das Inversas É razoável perguntar seuma matriz invertível pode ter mais de uma inversa. O próximoteorema mostra que a resposta é não—uma matriz invertíveltem exatamente uma inversa.

BA �= I =⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

0

0

0

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

0

0

0

⎤⎥⎦

B =⎡⎢⎣

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

1 4 0

2 5 0

3 6 0

⎤⎥⎦

EXEMPLO 6 Uma Matriz sem Inversa

BA =[

3 5

1 2

] [2 −5

−1 3

]=

[1 0

0 1

]= I

AB =[

2 −5

−1 3

] [3 51 2

]=

[1 0

0 1

]= I

A =[

2 −5

−1 3

]B =

[3 5

1 2

]

EXEMPLO 5 Verificando as Exigências deInvertibilidade

Definição

Dada uma matriz quadrada A, se pudermos encontrar umamatriz B de mesmo tamanho tal que AB = BA = I, então dire-mos que A é invertível e que B é uma inversa de A. Se nãopuder ser encontrada uma tal matriz B então diremos que Aé não-invertível ou singular.

R =

⎡⎢⎢⎢⎣

r11 r12 · · · r1n

r21 r22 · · · r2n...

......

rn1 rn2 · · · rnn

⎤⎥⎥⎥⎦

Teorema 1.4.3Se R é a forma escalonada reduzida por linhas de umamatriz A n ¥ n, então ou R tem uma linha de zeros ou R é amatriz identidade In.

AI3 =[a11 a12 a13

a21 a22 a23

] ⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦ =

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

]= A

I2A =[

1 0

0 1

] [a11 a12 a13

a21 a22 a23

]=

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

]= A

A =[a11 a12 a13

a21 a22 a23

]

EXEMPLO 4 Multiplicação por uma MatrizIdentidade

AIn = A e ImA = A

Page 26: Equações Lineares e Matrizes

Prova. Como B é uma inversa de A, nós temos BA = I.Multiplicando ambos os lados pela direita por C dá (BA)C = IC= C. Mas (BA)C = B(AC) = BI = B, de modo que C = B. �

Como uma conseqüência deste importante resultado, nóspo-demos agora falar “da” inversa de uma matriz invertível. SeA é invertível, então sua inversa será denotada pelo símbolo A–1.Assim,

AA–1 = I e A–1A = I

A inversa de A desempenha, portanto, na aritmética matricial omesmo papel que o recíproco a –1 desempenha nas relaçõesnuméricas aa –1 = 1 e a –1a = 1.

Na próxima seção nós iremos desenvolver um método paraencontrar a inversa de matrizes invertíveis de qualquer taman-ho; no entanto, o próximo teorema dá condições sob as quaisuma matriz 2 ¥ 2 é invertível e fornece uma fórmula simplespara a inversa.

Prova. Nós deixamos ao leitor verificar que AA–1 = I2 e queA–1A = I2. �

Prova. Se nós conseguirmos mostrar que (AB) (B–1A–1) = (B–1A–1) (AB) = I, então teremos mostrado, simultaneamente,que a matriz AB é invertível e que (AB)–1 = B–1A–1. Mas (AB) (B–1A–1) = A (BB–1) A–1 = A I A–1 = AA–1 = I. Um argumen-to similar mostra que (B–1A–1) (AB) = I. �

Este resultado pode ser estendido para incluir três ou maisfatores, mas isto não será provado aqui; ou seja, vale que

Considere as matrizes

Aplicando a fórmula do Teorema 1.4.5, obtemos

Também

Assim, (AB)–1 = B–1A–1, como garante o Teorema 1.4.6. ®

Potências de uma Matriz A seguir, vamos definirpotências de matrizes quadradas e discutir suas propriedades.

Como esta definição é idêntica à de potências de números reais,valem as leis usuais de expoentes. (Omitimos os detalhes.)

O próximo teorema fornece algumas propriedades úteis deexpoentes negativos.

Teorema 1.4.8 Leis de Expoentes

Se A é uma matriz invertível, então

(a) A – 1 é invertível e (A–1)–1 = A.(b) An é invertível e (An)–1 = (A–1)n para n = 0, 1, 2, ....

(c) Para qualquer escalar não-nulo k, a matriz kA é

invertível e (kA)–1 = A–1.

Teorema 1.4.7 Leis de Expoentes

Se A é uma matriz quadrada e r e s são inteiros, então

Definição

Se A é uma matriz quadrada, definimos as potências inteirasnão-negativas de A por

Além disto, se A é invertível, então definimos as potênciasinteiras negativas por

B−1A−1 =[

1 −1

−1 32

] [3 −2

−1 1

]=

[4 −3

− 92

72

]

A−1 =[

3 −2

−1 1

], B−1 =

[1 −1

−1 32

], (AB)−1 =

[4 −3

− 92

72

]

A =[

1 2

1 3

], B =

[3 2

2 2

], AB =

[7 6

9 8

]

EXEMPLO 7 Inversa de um Produto

O produto de um número qualquer de matrizes invertíveis éinvertível e a inversa do produto é o produto das inversasem ordem inversa.

Teorema 1.4.6Se A e B são matrizes invertíveis de mesmo tamanho, entãoAB é invertível e

(AB) – 1 = B –1A –1

Teorema 1.4.5A matriz

é invertível se ad – bc ≠ 0, caso em que a inversa é dadapela fórmula

Teorema 1.4.4Se B e C são ambas inversas da matriz A, então B = C.

52 • • • Álgebra Linear com Aplicações

A0 = I An = AA · · · A︸ ︷︷ ︸n fatores

(n > 0)

A−n = (A−1)n = A−1A−1 · · · A−1︸ ︷︷ ︸n fatores

ArAs = Ar+s , (Ar)s = Ars

A =[a b

c d

]

A−1 = 1

ad − bc

[d −b

−c a

]=

⎡⎢⎢⎣

d

ad − bc− b

ad − bc

− c

ad − bc

a

ad − bc

⎤⎥⎥⎦

1k

ÊË

ˆ¯

Page 27: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 53

Prova.

(a) Como AA–1 = A–1A = I, a matriz A–1 é invertível e(A–1)–1 = A.

(b) Esta parte é deixada como exercício.(c) Se k é qualquer escalar não-nulo, os resultados (l) e (m) do

Teorema 1.4.1 permitem-nos escrever

Similarmente, e portanto kA é invertí-

vel e . �

Sejam A e A–1 as matrizes do Exemplo 7, ou seja,

Então

®

Expressões Polinomiais Envolvendo MatrizesSe A é uma matriz quadrada, digamos m ¥ m, e se

(1)

é um polinômio qualquer, então nós definimos

onde I é a matriz identidade m ¥ m. Em palavras, p(A) é a matrizm ¥ m que resulta quando x é substituído por A em (1) e a0 é sub-stituído por a0 I.

Se

então

®

Propriedades da Transposta O próximo teoremalista as principais propriedades da operação de transposição.

Lembrando que transpondo uma matriz trocamos entre sisuas linhas e colunas, as partes (a), (b) e (c) deveriam ser evi-dentes. Por exemplo, a parte (a) afirma que trocando entre si aslinhas e as colunas duas vezes, a matriz fica inalterada; a parte(b) assegura que somando e depois trocando entre si as linhas ecolunas dá o mesmo resultado que primeiro trocando entre si aslinhas e colunas e depois somando; e a parte (c) assegura quemultiplicando por um escalar e depois trocando entre si as linhase colunas dá o mesmo resultado que primeiro trocando entre sias linhas e colunas e depois multiplicando por um escalar. Aparte (d) não é tão óbvia, por isso apresentamos sua prova.

Prova (d). Sejam A = [ai j ] m ¥ r e B = [bi j] r ¥ n e assim os pro-dutos AB e B TA T estão definidos. Deixamos ao leitor conferirque (AB) T e B TA T têm o mesmo tamanho, a saber, n ¥ m. Assim,resta mostrar que as entradas correspondentes de (AB) T e B TA T

são iguais, ou seja,

(2)

Aplicando a Fórmula (11) da Seção 1.3 ao lado esquerdo destaequação e usando a definição de multiplicação de matrizes,obtemos

(3)

Para calcular o lado direito de (2) é conveniente deixar a'ij e b'ijdenotar as ij-ésimas entradas de A T e B T, respectivamente, demodo que

a'ij = aji e b'ij = bji

Destas relações e da definição de multiplicação de matrizes, nósobtemos

Isto, junto com (3), prova (2). �

A parte (d) deste teorema pode ser estendida para incluirtrês ou mais fatores, coisa que não provaremos aqui; ou seja,vale que

OBSERVAÇÃO. Note a semelhança entre este resultado e o quesegue o Teorema 1.4.6 sobre a inversa de um produto dematrizes.

A transposta de um produto de um número qualquer dematrizes é igual ao produto de suas transpostas em ordeminversa.

(BTAT )ij = b′i1a

′1j + b′

i2a′2j + · · · + b′

ira′rj

= b1iaj1 + b2iaj2 + · · · + briajr

= aj1b1i + aj2b2i + · · · + ajrbri

((AB)T

)ij

= (AB)ji = aj1b1i + aj2b2i + · · · + ajrbri

((AB)T

)ij

= (BTAT )ij

Teorema 1.4.9 Propriedades da Transposta

Se os tamanhos das matrizes são tais que as operações indi-cadas podem ser efetuadas, então

(a) ((A) T) T = A(b) (A + B) T = AT + B T e (A – B)T = AT – B T

(c) (kA) T = k AT, onde k é um escalar qualquer(d) (AB) T = B TA T

p(A) = 2A2 − 3A + 4I = 2

[−1 2

0 3

]2

− 3

[−1 2

0 3

]+ 4

[1 0

0 1

]

=[

2 8

0 18

]−

[−3 6

0 9

]+

[4 0

0 4

]=

[9 2

0 13

]

p(x) = 2x2 − 3x + 4 e A =[−1 2

0 3

]

EXEMPLO 9 Polinômio Matricial

p(A) = a0I + a1A + · · · + anAn

p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn

A3 =[

1 2

1 3

] [1 2

1 3

] [1 2

1 3

]=

[11 30

15 41

]

A−3 = (A−1)3 =[

3 −2

−1 1

] [3 −2

−1 1

] [3 −2

−1 1

]=

[41 −30

−15 11

]

A =[

1 2

1 3

]e A−1 =

[3 −2

−1 1

]

EXEMPLO 8 Potências de uma Matriz

(kA)−1 = 1

kA−1

(1

kA−1

)(kA) = I

(kA)

(1

kA−1

)= 1

k(kA)A−1 =

(1

kk

)AA−1 = (1)I = I

Page 28: Equações Lineares e Matrizes

1. Sejam

Mostre que

2. Usando as matrizes e escalares do Exercício 1, verifique que

3. Usando as matrizes e escalares do Exercício 1, verifique que

4. Use o Teorema 1.4.5 para calcular as inversas das seguintes matrizes.

5. Use as matrizes A e B do Exercício 4 para verificar que

6. Use as matrizes A, B e C do Exercício 4 para verificar que

7. Em cada parte use a informação dada para encontrar A.

8. Seja A a matriz

Calcule A3, A – 3 e A2 – 2A + I.

[2 0

4 1

]

(a) A−1 =[

2 −1

3 5

](b) (7A)−1 =

[−3 7

1 −2

]

(c) (5AT )−1 =[−3 −1

5 2

](d) (I + 2A)−1 =

[−1 2

4 5

]

(a) (AB)−1 = B−1A−1 (b) (ABC)−1 = C−1B−1A−1

(a) (A−1)−1 = A (b) (BT )−1 = (B−1)T

(a) A =[

3 1

5 2

](b) B =

[2 −3

4 4

](c) C =

[6 4

−2 −1

](d) C =

[2 0

0 3

](a) (AT )T = A (b) (A + B)T = AT + BT (c) (aC)T = aCT (d) (AB)T = BTAT

(a) a(BC) = (aB)C = B(aC) (b) A(B − C) = AB − AC (c) (B + C)A = BA + CA

(d) a(bC) = (ab)C

(a) A+ (B +C) = (A+B)+C (b) (AB)C = A(BC) (c) (a + b)C = aC + bC

(d) a(B − C) = aB − aC

A =⎡⎢⎣

2 −1 3

0 4 5

−2 1 4

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎣

8 −3 −5

0 1 2

4 −7 6

⎤⎥⎦, C =

⎡⎢⎣

0 −2 3

1 7 4

3 5 9

⎤⎥⎦, a = 4, b = −7

Conjunto de Exercícios 1.4

54 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Invertibilidade de uma Transposta O teorema aseguir estabelece uma relação entre a inversa de uma matrizinvertível e a inversa de sua transposta.

Prova. Nós podemos provar a invertibilidade de A T e obter (4)mostrando que

Mas lembrando da parte (d) do Teorema 1.4.9 e observando queI T = I, segue-se que

o que completa a prova. �

Considere as matrizes

Aplicando o Teorema 1.4.5 obtemos

Como garante o Teorema 1.4.10, estas matrizes satisfazem(4).®

A−1 =[

1 3

−2 −5

], (A−1)T =

[1 −2

3 −5

], (AT )−1 =

[1 −2

3 −5

]

A =[−5 −3

2 1

], AT =

[−5 2

−3 1

]

EXEMPLO 10 Verificando o Teorema 1.4.10

AT(A−1)T = (A−1A)T = I T = I

(A−1)TAT = (AA−1)T = I T = I

AT(A−1)T = (A−1)TAT = I

Teorema 1.4.10

Se A é uma matriz invertível, então A T também é invertívele

(A T ) – 1 = (A – 1) T (4)

Page 29: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 55

9. Seja A a matriz

Em cada parte encontre p (A).

10. Sejam p1 (x) = x2 – 9, p2 (x) = x + 3 e p3 (x) = x – 3.(a) Mostre que p1 (A) = p2 (A) p3 (A) para a matriz do Exercício 9.(b) Mostre que p1 (A) = p2 (A) p3 (A) para qualquer matriz quadrada A.

11. Encontre a inversa de

12. Encontre a inversa de

13. Considere a matriz

onde a11a22 ··· ann ≠ 0. Mostre que A é invertível e encontre sua inversa.

14. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfizer A2 – 3A + I = 0, então A–1 = 3I – A.15. (a) Mostre que uma matriz com uma linha de zeros não pode ter uma inversa.

(b) Mostre que uma matriz com uma coluna de zeros não pode ter uma inversa.16. Será necessariamente invertível a soma de duas matrizes invertíveis?17. Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = 0. Mostre que se A é invertível, então B = 0.18. Sejam A, B e 0 matrizes 2 ¥ 2. Supondo que A é invertível, encontre uma matriz C tal que

é a inversa da matriz particionada

(Veja Exercício 15 da seção anterior.)19. Use o resultado do Exercício 18 para encontrar as inversas das seguintes matrizes.

20. (a) Encontre uma matriz não-nula A de tamanho 3 ¥ 3 tal que A T = A.(b) Encontre uma matriz não-nula A de tamanho 3 ¥ 3 tal que A T = – A.

21. Uma matriz quadrada A é chamada simétrica se A T = A e anti-simétrica se A T = – A. Mostre que se B é uma matriz quadrada, então(a) BB T e B + B T são simétricas. (b) B – B T é anti-simétrica.

22. Se A é uma matriz quadrada e n é um inteiro positivo, é verdade que (An)T = (AT)n ?23. Seja A a matriz

Determine se A é invertível e, se for, encontre sua inversa. [Sugestão. Resolva AX = I igualando entradas correspondentes de ambos os lados.]

⎡⎢⎣

1 0 1

1 1 0

0 1 1

⎤⎥⎦

(a)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 1 0 0

−1 1 0 0

1 1 1 1

1 1 −1 1

⎤⎥⎥⎥⎦ (b)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎦

[A 0

B A

]

[A−1 0

C A−1

]

A =

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 0 · · · 0

0 a22 · · · 0...

......

0 0 · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎣ 1

2 (ex + e−x) 12 (ex − e−x)

12 (ex − e−x) 1

2 (ex + e−x)

⎤⎦

[cos θ sen θ

− sen θ cos θ

]

(a) p(x) = x − 2 (b) p(x) = 2x2 − x + 1 (c) p(x) = x3 − 2x + 4

[3 1

2 1

]

Page 30: Equações Lineares e Matrizes

56 • • • Álgebra Linear com Aplicações

1.5 MATRIZES ELEMENTARES E UM

MÉTODO PARA ENCONTRAR A–1

Nesta seção nós vamos desenvolver um algoritmo para encontrara inversa de uma matriz invertível. Nós também discutiremosalgumas das propriedades básicas de matrizes invertíveis.

Nós começamos com a definição de um tipo especial de matrizque pode ser usada para executar uma operação elementar sobrelinhas por multiplicação matricial.

Abaixo listamos quatro matrizes elementares e as operaçõessobre linhas que as produzem.

®

Quando uma matriz A é multiplicada à esquerda por umamatriz elementar E, o efeito é o de executar uma operação ele-mentar sobre linhas de A. Isto é enunciado no próximo teorema,cuja prova deixamos para os exercícios.

Multiplique aprimeira linhade I3 por 1.

Some 3 vezes aterceira linha deI3 à primeira.

Permute a segun-da linha de I4com a quarta.

Multiplique asegunda linhade I2 por – 3

[1 0

0 −3

]⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎣

1 0 3

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦

� � � �

EXEMPLO 1 Matrizes Elementares e Operaçõessobre Linhas

Definição

Uma matriz n ¥ n que pode ser obtida da matriz identidadeIn de tamanho n ¥ n executando uma única operação ele-mentar sobre linhas é chamada uma matriz elementar.

24. Prove:(a) a parte (b) do Teorema 1.4.1(b) a parte (i) do Teorema 1.4.1(c) a parte (m) do Teorema 1.4.1

25. Aplique as partes (d) e (m) do Teorema 1.4.1 às matrizes A, B e (– 1) C para deduzir o resultado da parte (f ).26. Prove o Teorema 1.4.2.27. Considere as leis de expoentes A r A s = A r + s e (A r) s = A r s.

(a) Mostre que se A é uma matriz quadrada, estas leis são válidas para quaisquer inteiros não negativos r e s.(b) Mostre que se A é invertível, estas leis valem para quaisquer inteiros negativos r e s.

28. Mostre que se A é invertível e k é um escalar não-nulo qualquer, então (kA) n = kn A n para qualquer inteiro n.29. (a) Mostre que se A é invertível e AB = AC, então B = C.

(b) Explique por que a parte (a) e o Exemplo 3 não são contraditórios.30. Prove a parte (c) do Teorema 1.4.1.

[Sugestão. Suponha que A é m ¥ n, B é n ¥ p e C é p ¥ q. A i j-ésima entrada do lado esquerdo é l i j = ai1[BC]1j + ai2[BC]2j + · · · + ain[BC]nj e a i j-ésima entrada do lado direito é r i j = [AB]i1c1j + [AB]i2c2j + · · · + [AB]ipcpj. Verifique que l i j = r i j.]

Discussão e Descoberta

31. Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho.(a) Dê um exemplo em que (A + B)2 ≠ A2 + 2 A B + B2.(b) Preencha a lacuna para criar uma identidade que é válida para quaisquer A e B. (A + B)2 = A2 + B2 + _____________.

32. Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho.(a) Dê um exemplo em que (A + B) (B – A) ≠ A2 – B2.(b) Preencha a lacuna para criar uma identidade que é válida para quaisquer A e B. (A + B) (B – A) = _____________.

33. No sistema dos números reais, a equação a 2 = 1 tem exatamente duas soluções. Encontre pelo menos oito matrizes 3 ¥ 3 que satisfazem aequação A 2 = I 3. [Sugestão. Procure soluções entre as matrizes com entradas zero fora da diagonal principal.]

34. Uma afirmação do tipo “Se p, então q” é logicamente equivalente à afirmação “Se não q, então não p.” (A segunda afirmação é chamada acontraposição lógica da primeira.) Por exemplo, a contraposição lógica da afirmação “Se está chovendo, então o chão está molhado” é “Seo chão não está molhado, então não está chovendo.”(a) Encontre a contraposição lógica da afirmação: Se A T é singular, então A é singular.(b) A afirmação é verdadeira ou falsa? Explique.

35. Sejam A e B matrizes n ¥ n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.(a) (AB) 2 = A2 B2 deve ser verdadeiro.(b) (A – B) 2 = (B – A) 2 deve ser verdadeiro.(c) (AB – 1) (BA – 1) = In deve ser verdadeiro.

(d) Nunca é verdade que AB = BA.

Page 31: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 57

Considere a matriz

e considere a matriz elementar

que resulta de somar 3 vezes a primeira linha de I 3 à terceiralinha. O produto E A é

que é precisamente a mesma matriz que resulta quando nóssomamos 3 vezes a primeira linha de A à terceira linha. ®

OBSERVAÇÃO. O Teorema 1.5.1 é principalmente de interesseteórico e será usado para desenvolver alguns resultados sobrematrizes e sistemas de equações lineares. Em termos de contas,é preferível efetuar operações sobre linhas diretamente do quemultiplicar à esquerda por uma matriz elementar.

Se uma operação elementar sobre linhas é aplicada a umamatriz identidade I para produzir uma matriz elementar E, entãoexiste uma segunda operação que, aplicada a E, produz de voltaa matriz I. Por exemplo, se E é obtida multiplicando a i–ésimalinha de I por uma constante não-nula c, então I pode ser recu-perada se a i–ésima linha de E é multiplicada por 1/c. As váriaspossibilidades estão listadas na Tabela 1. As operações do ladodireito desta tabela são chamadas operações inversas dascorrespondentes operações do lado esquerdo.

TABELA 1

Em cada um dos exemplos a seguir, foi afetuada uma operaçãoelementar na matriz identidade 2 ¥ 2 para obter uma matriz ele-mentar E e, em seguida, E foi restaurada à matriz identidadeaplicando a operação inversa.

®

O próximo teorema dá uma importante propriedade dematrizes elementares.

Prova. Se E é uma matriz elementar, então E é o resultado dealguma operação elementar sobre linhas de I. Seja E0 a matrizque resulta quando é efetuada a operação inversa em I.Aplicando o Teorema 1.5.1 e lembrando que operações e suasinversas se cancelam mutuamente, segue que

E0 E = I e E E0 = I

Assim, a matriz elementar E0 é a inversa de E. �

O próximo teorema estabelece algumas relações fundamen-tais entre invertibilidade, sistemas lineares homogêneos, formasescalonadas reduzidas por linhas e matrizes elementares. Estesresultados são extremamente importantes e vão ser usadosmuitas vezes nas próximas seções.

Teorema 1.5.3 Afirmações Equivalentes

Se A é uma matriz n ¥ n então as seguintes afirmações sãoequivalentes, ou seja, são todas verdadeiras ou todas falsas.

(a) A é invertível.(b) A x = 0 tem somente a solução trivial.(c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.

(d) A pode ser expressa como um produto de matrizeselementares.

Teorema 1.5.2Qualquer matriz elementar é invertível e a inversa é, tam-bém, uma matriz elementar.

Some – 5 vezes a segun-da linha à primeira

Some 5 vezes asegunda linha à

[1 0

0 1

]−→

[1 5

0 1

]−→

[1 0

0 1

]

� �

Permute a primeiralinha com a segunda.

Permute a primeiralinha com a segunda.

[1 0

0 1

]−→

[0 1

1 0

]−→

[1 0

0 1

]

� �

Multiplique a segundalinha por 1/7.

Multiplique asegunda linha por 7.

[1 0

0 1

]−→

[1 0

0 7

]−→

[1 0

0 1

]

� �

EXEMPLO 3 Operações e Operações Inversassobre Linhas

Some – c vezes a linha i àlinha j

Operações sobre linhas de I que produzem E

Operações sobre linhas de E que reproduzem I

Multiplique a linha i por c ≠ 0

Troque entre si as linhas i e j

Some c vezes a linha i àlinha j

Multiplique a linha i por 1/c

Troque entre si as linhas i e j

EA =⎡⎢⎣

1 0 2 3

2 −1 3 6

4 4 10 9

⎤⎥⎦

E =⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

3 0 1

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

1 0 2 3

2 −1 3 6

1 4 4 0

⎤⎥⎦

EXEMPLO 2 Usando Matrizes Elementares

Teorema 1.5.1 Operações sobre Linhas por Multiplicação Matricial

Se a matriz elementar E resulta de efetuar uma certa ope-ração sobre linhas em Im e se A é uma matriz m ¥ n, então oproduto E A é a matriz que resulta quando esta mesma ope-ração sobre linhas é efetuada em A.

Page 32: Equações Lineares e Matrizes

Prova. Nós vamos provar a equivalência destas afirmações esta-belecendo a cadeia de implicações: (a) fi (b) fi (c) fi (d) fi (a).

(a) fifi (b). Suponha que A é invertível e seja x0 uma soluçãoqualquer de Ax = 0; assim, Ax0 = 0. Multiplicando ambos oslados desta equação pela matriz A–1 dá A–1(Ax0) = A–10, ouentão, (A–1A)x0 = 0, ou ainda, Ix0 = 0, ou x0 = 0. Assim, Ax = 0 tem somente a solução trivial.

(b) fifi (c). Seja A x = 0 a forma matricial do sistema

(1)

e suponha que o sistema só admite a solução trivial. Se nósresolvermos por eliminação de Gauss-Jordan, então o sistemade equações correspondente à forma escalonada reduzida porlinhas da matriz aumentada será

(2)

Assim, a matriz aumentada

de (1) pode ser reduzida à matriz aumentada

de (2) por uma seqüência de operações elementares sobre li-nhas. Se nós desconsiderarmos a última coluna (de zeros) emcada uma destas matrizes, poderemos concluir que a formaescalonada reduzida por linhas de A é In.

(c) fifi (d). Suponha que a forma escalonada reduzida por linhasde A é In, de modo que A pode ser reduzida a In por uma seqüên-cia finita de operações elementares sobre linhas. Pelo Teorema1.5.1, cada uma destas operações pode ser efetuada por umamatriz elementar apropriada. Assim, nós podemos encontrarmatrizes elementares E1, E2, ..., Ek tais que

(3)Pelo Teorema 1.5.2, as matrizes E1, E2, ..., Ek são invertíveis.Multiplicando ambos os lados da Equação (3) pela esquerdasucessivamente por Ek

–1, ..., E2–1, E1

–1, nós obtemos

(4)Pelo Teorema 1.5.2, esta equação expressa A como um produtode matrizes elementares.

(d) fifi (a). Se A é um produto de matrizes elementares, entãodos Teoremas 1.4.6 e 1.5.2 segue que a matriz A é um produtode matrizes invertíveis, e portanto invertível. �

Equivalência por Linhas Se uma matriz B pode serobtida de uma matriz A efetuando uma seqüência finita de ope-rações elementares sobre linhas, então obviamente podemosrecuperar B de volta de A efetuando as inversas destas operaçõeselementares sobre linhas na ordem inversa. As matrizes quepodem ser obtidas uma da outra por uma seqüência finita deoperações elementares sobre linhas são ditas matrizes equiva-lentes por linhas. Com esta terminologia, segue das partes (a) e(c) do Teorema 1.5.3 que uma matriz A de tamanho n ¥ n éinvertível se, e somente se, A é equivalente por linhas à matrizidentidade n ¥ n.

Um Método para Inverter Matrizes Como nossaprimeira aplicação do Teorema 1.5.3, vamos estabelecer ummétodo para determinar a inversa de uma matriz invertível.Multiplicando (3) pela direita por A–1, dá

(5)

que informa que A–1 pode ser obtida multiplicando In sucessiva-mente à esquerda pelas matrizes elementares E1, E2, ..., Ek.Como cada multiplicação à esquerda por uma destas matrizeselementares efetua uma operação sobre linhas, resulta, com-parando as Equações (3) e (5), que a seqüência de operaçõeselementares sobre linhas que reduz A a In também reduz In a A–1.Assim, temos o seguinte resultado:

Um método simples para executar este procedimento é dado nopróximo exemplo.

Encontre a inversa de

Solução.

Nós queremos reduzir A à matriz identidade por operações sobrelinhas e simultaneamente aplicar estas operações a I para pro-duzir A–1. Para conseguir isto, nós vamos adjuntar a matriz iden-tidade à direita de A, com isto produzindo uma matriz da forma

[ A | I ]

Em seguida nós iremos aplicar operações sobre linhas destamatriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I; estas ope-rações vao converter o lado direito a A–1, de modo que a matrizfinal terá a forma

[ I | A–1]

As contas são as seguintes:

A =⎡⎢⎣

1 2 3

2 5 3

1 0 8

⎤⎥⎦

EXEMPLO 4 Usando Operações sobre Linhaspara Encontrar A–1

Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, nósdevemos encontrar uma seqüência de operações ele-mentares sobre linhas que reduz A à identidade e depois efe-tuar esta mesma seqüência de operações em In para obter A–1.

A−1 = Ek · · · E2E1In

A = E−11 E−1

2 · · · E−1k In = E−1

1 E−12 · · · E−1

k

Ek · · · E2E1A = In

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 · · · 0 0

0 1 0 · · · 0 0

0 0 1 · · · 0 0...

......

......

0 0 0 · · · 1 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n 0

a21 a22 · · · a2n 0...

......

...an1 an2 · · · ann 0

⎤⎥⎥⎥⎦

x1 = 0

x2 = 0. . .

xn = 0

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0...

......

...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = 0

58 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Page 33: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 59

Assim,

®

Muitas vezes nós não sabemos, de antemão, se uma dadamatriz é ou não invertível. Se uma matriz A de tamanho n ¥ nnão é invertível, então ela não pode ser reduzida a In por ope-rações elementares sobre linhas [parte (c) do Teorema 1.5.3].Dito de outra maneira, a forma escalonada reduzida por linhasde A tem pelo menos uma linha de zeros. Assim, se o procedi-mento do último exemplo for tentado em uma matriz que não éinvertível, então em algum ponto das contas vai aparecer umalinha de zeros no lado esquerdo. Pode-se então concluir que adada matriz não é invertível e parar as contas.

Considere a matriz

Aplicando o procedimento do Exemplo 4 dá

Como obtivemos uma linha de zeros no lado esquerdo, A não éinvertível. ®

No Exemplo 4 nós mostramos que

é uma matriz invertível. Do Teorema 1.5.3 segue que o sistemahomogêneo

tem somente a solução trivial. ®

x1 + 2x2 + 3x3 = 0

2x1 + 5x2 + 3x3 = 0

x1 + 8x3 = 0

A =⎡⎢⎣

1 2 3

2 5 3

1 0 8

⎤⎥⎦

EXEMPLO 6 Uma Conseqüência daInvertibilidade

Nós somamos a segundalinha à terceira.

⎡⎢⎣

1 6 4 1 0 0

0 −8 −9 −2 1 0

0 0 0 −1 1 1

⎤⎥⎦

Nós somamos – 2 vezes aprimeira linha à segundae somamos a primeira àterceira.

⎡⎢⎣

1 6 4 1 0 0

0 −8 −9 −2 1 0

0 8 9 1 0 1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

1 6 4 1 0 0

2 4 −1 0 1 0

−1 2 5 0 0 1

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

1 6 4

2 4 −1

−1 2 5

⎤⎥⎦

EXEMPLO 5 Mostrando que uma Matriz não ÉInvertível

A−1 =⎡⎢⎣

−40 16 9

13 −5 −3

5 −2 −1

⎤⎥⎦

Nós somamos –2 vezes asegunda linha à primeira.

⎡⎢⎣

1 0 0 −40 16 9

0 1 0 13 −5 −3

0 0 1 5 −2 −1

⎤⎥⎦

Nós somamos 3 vezes aterceira linha à segunda e–3 vezes a terceira àprimeira.

⎡⎢⎣

1 2 0 −14 6 3

0 1 0 13 −5 −3

0 0 1 5 −2 −1

⎤⎥⎦

Nós multiplicamos a ter-ceira linha por –1.

⎡⎢⎣

1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 0

0 0 1 5 −2 −1

⎤⎥⎦

Nós somamos 2 vezes asegunda linha à terceira.

⎡⎢⎣

1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 0

0 0 −1 −5 2 1

⎤⎥⎦

Nós somamos –2 vezes aprimeira linha à segundae –1 vezes a primeira àterceira.

⎡⎢⎣

1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 0

0 −2 5 −1 0 1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

1 2 3 1 0 0

2 5 3 0 1 0

1 0 8 0 0 1

⎤⎥⎦

1. Quais das seguintes matrizes são elementares?

(a)

[1 0

−5 1

](b)

[−5 1

1 0

](c)

[1 0

0√

3

](d)

⎡⎢⎣

0 0 1

0 1 0

1 0 0

⎤⎥⎦

(e)

⎡⎢⎣

1 1 0

0 0 1

0 0 0

⎤⎥⎦ (f )

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 9

0 0 1

⎤⎥⎦ (g)

⎡⎢⎢⎢⎣

2 0 0 2

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎦

Conjunto de Exercícios 1.5

Page 34: Equações Lineares e Matrizes

60 • • • Álgebra Linear com Aplicações

2. Encontre uma operação sobre linhas que retorna a matriz elementar dada a uma matriz identidade.

3. Considere as matrizes

Encontre matrizes elementares E1, E2, E3 e E4 tais que(a) E1 A = B (b) E2 B = A (c) E3 A = C (d) E2 C = A

4. No Exercício 3, é possível encontrar uma matriz elementar E tal que E B = C? Justifique sua resposta.

Nos Exercícios 5–7, use o método mostrado nos Exemplos 4 e 5 para encontrar a inversa da matriz dada se a matriz é invertível e confira suaresposta por multiplicação.

8. Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 ¥ 4, onde k1, k2, k3, k4 e k5 são todos não-nulos.

9. Considere a matriz

(a) Encontre matrizes elementares E1 e E2 tais que E2 E1 A = I.

(b) Escreva A – 1 como um produto de duas matrizes elementares.(c) Escreva A como um produto de duas matrizes elementares.

10. Em cada parte, efetue a operação sobre linhas dada na matriz

A =

multiplicando A à esquerda por uma matriz elementar conveniente. Confira sua resposta em cada caso executando a operação sobre linhasdiretamente em A.(a) Permute a primeira e terceira linhas.

(b) Multiplique a segunda linha por .13 .

⎡⎢⎣

2 −1 0

4 5 −3

1 −4 7

⎤⎥⎦

A =[

1 0

−5 2

]

(a)

⎡⎢⎢⎢⎣

k1 0 0 0

0 k2 0 0

0 0 k3 0

0 0 0 k4

⎤⎥⎥⎥⎦ (b)

⎡⎢⎢⎢⎣

0 0 0 k1

0 0 k2 0

0 k3 0 0

k4 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦ (c)

⎡⎢⎢⎢⎣

k 0 0 0

1 k 0 0

0 1 k 0

0 0 1 k

⎤⎥⎥⎥⎦

6. (a)

⎡⎢⎣

3 4 −1

1 0 3

2 5 −4

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

−1 3 −4

2 4 1

−4 2 −9

⎤⎥⎦ (c)

⎡⎢⎣

1 0 1

0 1 1

1 1 0

⎤⎥⎦ (d)

⎡⎢⎣

2 6 6

2 7 6

2 7 7

⎤⎥⎦ (e)

⎡⎢⎣

1 0 1

−1 1 1

0 1 0

⎤⎥⎦

7. (a)

⎡⎢⎢⎣

15

15 − 2

515

15

110

15 − 4

51

10

⎤⎥⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

√2 3

√2 0

−4√

2√

2 0

0 0 1

⎤⎥⎦ (c)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0

1 3 0 0

1 3 5 0

1 3 5 7

⎤⎥⎥⎥⎦

(d)

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

−8 17 2 13

4 0 25 −9

0 0 0 0

−1 13 4 2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (e)

⎡⎢⎢⎢⎣

0 0 2 0

1 0 0 1

0 −1 3 0

2 1 5 −3

⎤⎥⎥⎥⎦

5. (a)

[1 4

2 7

](b)

[−3 6

4 5

](c)

[6 −4

−3 2

]

A =⎡⎢⎣

3 4 1

2 −7 −1

8 1 5

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎣

8 1 5

2 −7 −1

3 4 1

⎤⎥⎦, C =

⎡⎢⎣

3 4 1

2 −7 −1

2 −7 3

⎤⎥⎦

(a)

[1 0

−3 1

](b)

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 3

⎤⎥⎦ (c)

⎡⎢⎢⎢⎣

0 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦ (d)

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 − 17 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎦

Page 35: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 61

(c) Some duas vezes a segunda linha à primeira.11. Expresse a matriz

no formato A = E F G R, onde E, F e G são matrizes elementares e R está em forma escalonada por linhas.12. Mostre que se

é uma matriz elementar, então pelo menos uma entrada da terceira linha deve ser um zero.13. Mostre que

é não-invertível para qualquer valor das entradas.14. Prove que se A é uma matriz m ¥ n, então existe uma matriz invertível C tal que C A está em forma escalonada reduzida por linhas.15. Prove que se A é uma matriz invertível e B é equivalente por linhas a A, então B também é invertível.16. (a) Prove: Se A e B são matrizes m ¥ n, então A e B são equivalentes por linhas se, e somente se, A e B têm a mesma forma escalonada

reduzida por linhas.(b) Mostre que A e B são equivalentes por linhas e encontre uma seqüência de operações elementares por linhas que produz B a partir de A,

sendo

17. Prove o Teorema 1.5.1.

Discussão e Descoberta

18. Suponha que A é alguma matriz invertível desconhecida, mas que você conhece uma seqüência de operações elementares por linhas que pro-duz a matriz identidade quando efetuada sucessivamente em A. Explique como você pode usar a informação disponível para encontrar A.

19. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.(a) Toda matriz quadrada pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.(b) O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar.(c) Se A é uma matriz invertível e um múltiplo da primeira linha de A é somado à segunda linha, então a matriz resultante é invertível.(d) Se A é invertível e A B = 0, então é necessariamente verdade que B = 0.

20. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.(a) Se A é uma matriz n ¥ n singular, então A x = 0 tem infinitas soluções.(b) Se A é uma matriz n ¥ n singular, então a forma escalonada reduzida por linhas de A tem pelo menos uma linha de zeros.(c) Se A – 1 pode ser expressa como um produto de matrizes elementares, então o sistema linear homogêneo A x = 0 tem somente a solução

trivial.(d) Se A é uma matriz n ¥ n singular e B resulta da permutação de duas linhas de A, então B pode ser ou não ser singular.

21. Você acredita que existe uma matriz A de tamanho 2 ¥ 2 tal que

para todos valores de a, b, c e d ? Explique seu raciocínio.

A

[a b

c d

]=

[b d

a c

]

A =⎡⎢⎣

1 2 3

1 4 1

2 1 9

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎣

1 0 5

0 2 −2

1 1 4

⎤⎥⎦

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 a 0 0 0

b 0 c 0 0

0 d 0 e 0

0 0 f 0 g

0 0 0 h 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

A =⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

a b c

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

0 1 7 8

1 3 3 8

−2 −5 1 −8

⎤⎥⎦

Page 36: Equações Lineares e Matrizes

1.6 MAIS RESULTADOS SOBRESISTEMAS DE EQUAÇÕES EINVERTIBILIDADE

Nesta seção nós vamos estabelecer mais resultados sobre sis-temas de equações lineares e invertibilidade de matrizes. Nossotrabalho nos levará a um novo método de resolver n equações emn incógnitas.

Um Teorema Básico Na Seção 1.1 nós afirmamos(baseados na Figura 1.1.1) que todo sistema linear tem ou ne-nhuma solução, ou uma solução, ou infinitas soluções. Agoraestamos em condições de provar este resultado fundamental.

Prova. Se Ax = b é um sistema de equações lineares, vale exata-mente uma das seguintes afirmações: (a) o sistema não temsolução, (b) o sistema tem exatamente uma solução ou (c) o sis-tema tem mais de uma solução. A prova estará completa se con-seguirmos mostrar que no caso (c) o sistema tem infinitassoluções.

Suponha que Ax = b tem mais de uma solução e seja x0 =x1 – x2, onde x1 e x2 são duas soluções distintas quaisquer. Comox1 e x2 são distintas, x0 é não-nula; além disto,

Se k é um escalar qualquer, então

Isto significa que x1 + kx0 é uma solução de Ax = b. Como x0 énão-nula e existem infinitas possibilidades de escolha para k, osistema Ax = b tem infinitas soluções. �

Resolvendo Sistemas Lineares por Inversãode Matrizes Até aqui, nós estudamos dois métodos pararesolver sistemas lineares: eliminação gaussiana e eliminaçãode Gauss-Jordan. O seguinte teorema fornece um novo métodopara resolver certos sistemas lineares.

Prova. Como A (A–1b) = b, segue-se que x = A–1b é umasolução de Ax = b. Para mostrar que esta é a única solução, nósvamos supor que x0 é uma solução arbitrária e mostrar que x0necessariamente é a solução A–1b.

Se x0 é uma solução qualquer, então Ax0 = b. Multiplicandoambos os lados por A–1, obtemos x0 = A–1b. �

Considere o sistema de equações lineares

No formato matricial, este sistema pode ser escrito como A x =b, onde

No Exemplo 4 da seção precedente nós mostramos que A éinvertível e

Pelo Teorema 1.6.2, a solução do sistema é

ou x1 = 1, x2 = –1, x3 = 2. ®

OBSERVAÇÃO. Note que o método do Exemplo 1 aplica somentequando o sistema tem o mesmo número de equações e incógni-tas e a matriz de coeficientes é invertível.

Sistemas Lineares com uma Matriz deCoeficientes Comum Freqüentemente precisamosresolver uma seqüência de sistemas

cada um dos quais tem a mesma matriz de coeficientes A. Se Aé invertível, então as soluções

podem ser obtidas com uma inversão matricial e k multipli-cações de matrizes. Contudo, um método mais eficiente é for-mar a matriz

(1)na qual a matriz A foi “aumentada” por todas as k matrizes b1,b2, ..., bk. Reduzindo (1) à forma escalonada reduzida por linhasnós podemos resolver todos os k sistemas de uma só vez poreliminação de Gauss-Jordan. Este método tem a vantagem adi-cional de aplicar mesmo se A é não-invertível.

Resolva os sistemas

EXEMPLO 2 Resolvendo Dois Sistemas Linearesde uma só Vez

[A | b1 | b2 | · · · | bk]

x1 = A−1b1, x2 = A−1b2, x3 = A−1b3, . . . , xk = A−1bk

Ax = b1, Ax = b2, Ax = b3, . . . , Ax = bk

x = A−1b =⎡⎢⎣

−40 16 9

13 −5 −3

5 −2 −1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

5

3

17

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

1

−1

2

⎤⎥⎦

A−1 =⎡⎢⎣

−40 16 9

13 −5 −3

5 −2 −1

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

1 2 3

2 5 3

1 0 8

⎤⎥⎦, x =

⎡⎢⎣

x1

x2

x3

⎤⎥⎦, b =

⎡⎢⎣

5

3

17

⎤⎥⎦

x1 + 2x2 + 3x3 = 5

2x1 + 5x2 + 3x3 = 3

x1 + 8x3 = 17

EXEMPLO 1 Solução de um Sistema LinearUsando A–1

Teorema 1.6.2Se A é uma matriz invertível n ¥ n, então para cada matrizb de tamanho n ¥ 1, o sistema de equações Ax = b temexatamente uma solução, a saber, x = A–1b.

A(x1 + kx0) = Ax1 + A(kx0) = Ax1 + k(Ax0)

= b + k0 = b + 0 = b

Ax0 = A(x1 − x2) = Ax1 − Ax2 = b − b = 0

Teorema 1.6.1Todo sistema de equações lineares tem ou nenhumasolução, ou exatamente uma solução, ou infinitas soluções.

62 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Page 37: Equações Lineares e Matrizes

Solução.

Os dois sistemas têm a mesma matriz de coeficientes. Se nósaumentarmos esta matriz de coeficientes com as colunas dasconstantes à direita nestes sistemas, obteremos

Reduzindo esta matriz à forma escalonada reduzida por linhas,obtemos (verifique)

Segue-se das duas últimas colunas que a solução do sistema (a)é x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1 e a do sistema (b) é x1 = 2, x2 = 1, x3 = –1. ®

Propriedades de Matrizes Invertíveis Até aqui,para mostrar que uma matriz A de tamanho n ¥ n é invertível,tem sido necessário encontrar uma matriz B de tamanho n ¥ ntal que

A B = I e B A = IO próximo teorema mostra que se obtivermos uma matriz B detamanho n ¥ n satisfazendo qualquer uma destas condições,então a outra é também, automaticamente, satisfeita.

Nós vamos provar a parte (a) e deixar a parte (b) como umexercício.

Prova (a). Suponha que B A = I. Se conseguirmos mostrar queA é invertível, a prova poderá ser completada multiplicando BA= I de ambos os lados por A–1 para obter

BAA–1 = IA–1 ou BI = IA–1 ou B = A–1

Para mostrar que A é invertível, é suficiente mostrar que o sis-tema Ax = 0 tem só a solução trivial (ver Teorema 1.5.3). Sejax0 uma solução qualquer deste sistema. Se nós multiplicarmosambos os lados de Ax0 = 0 à esquerda por B, obteremos BAx0 =B 0 ou I x0 = 0 ou x0 = 0. Assim, o sistema de equações Ax = 0tem somente a solução trivial. �

Agora nós estamos em condições de acrescentar duas afir-mações equivalentes às quatro dadas no Teorema 1.5.3.

Prova. Como no Teorema 1.5.3 nós provamos que (a), (b), (c) e(d) são equivalentes, é suficiente provar que (a) fi (f) fi (e) fi(a).

(a) fifi (f). Isto já foi provado no Teorema 1.6.2.

(f) fifi (e). Isto é evidente: Se Ax = b tiver exatamente umasolução para cada matriz b de tamanho n ¥ 1, então Ax = b seráconsistente para cada matriz b n ¥ 1.

(e) fifi (a). Suponha que o sistema Ax = b é consistente para cadamatriz b n ¥ 1; então, em particular, os sistemas

são consistentes. Sejam x1, x2, ..., xn soluções destes sistemas,respectivamente, e formemos uma matriz C de tamanho n ¥ ntendo estas soluções como colunas. Assim, C tem a forma

Como já discutimos na Seção 1.3, as sucessivas colunas do pro-duto A C serão

Ax1, Ax2, ..., Axn

Assim,

Pela parte (b) do Teorema 1.6.3 segue que C = A–1. Logo A éinvertível. �

Nós sabemos de trabalho anterior que fatores invertíveisproduzem um produto invertível. O próximo teorema, que seráprovado mais tarde, considera a recíproca: se o produto dematrizes quadradas é invertível então os fatores também devemser invertíveis.

AC = [Ax1 | Ax2 | · · · | Axn] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0

0 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

= I

C = [x1 | x2 | · · · | xn]

Ax =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

0

0...

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

, Ax =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

1

0...

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

, . . . , Ax =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

0

0...

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Teorema 1.6.4 Afirmações Equivalentes

Se A é uma matriz n ¥ n, então as seguintes afirmações sãoequivalentes.

(a) A é invertível.(b) Ax = 0 só tem a solução trivial.(c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.

(d) A pode ser expressa como um produto de matrizes ele-mentares.

(e) Ax = b é consistente para cada matriz b de tamanhon ¥ 1.

(f) Ax = b tem exatamente uma solução para cada matrizb n ¥ 1.

Teorema 1.6.3

Seja A uma matriz quadrada.

(a) Se B é uma matriz quadrada satisfazendo BA = I,então B = A–1.

(b) Se B é uma matriz quadrada satisfazendo AB = I,então B = A–1.

⎡⎢⎣

1 0 0 1 2

0 1 0 0 1

0 0 1 1 −1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

1 2 3 4 1

2 5 3 5 6

1 0 8 9 −6

⎤⎥⎦

(a) x1 + 2x2 + 3x3 = 4

2x1 + 5x2 + 3x3 = 5

x1 + 8x3 = 9

(b) x1 + 2x2 + 3x3 = 1

2x1 + 5x2 + 3x3 = 6

x1 + 8x3 = −6

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 63

Page 38: Equações Lineares e Matrizes

64 • • • Álgebra Linear com Aplicações

O seguinte problema fundamental ocorrerá em vários con-textos no nosso trabalho adiante.

Um Problema Fundamental. Seja A uma matriz m ¥ n fixada.Encontre todas as matrizes b de tamanho m ¥ 1 tais que o sis-tema Ax = b é consistente.

Para matrizes A invertíveis, o Teorema 1.6.2 resolve esteproblema completamente afirmando que, para qualquer matrizb de tamanho m ¥ 1, o sistema Ax = b tem a única solução x =A–1b. Se A não for quadrada, ou se A for quadrada mas não-invertível, então o Teorema 1.6.2 não aplica. Nestes casos, amatriz b deve, em geral, satisfazer certas condições para garan-tir que Ax = b é consistente. O seguinte exemplo ilustra comoos métodos de eliminação da Seção 1.2 podem ser usados paradeterminar tais condições.

Quais condições devem satisfazer b1, b2 e b3 para garantir que osistema de equações

é consistente?

Solução

A matriz aumentada é

que pode ser reduzida à forma escalonada como segue.

Agora é evidente pela terceira linha da matriz que o sistema temuma solução se, e somente se, b1, b2 e b3 satisfazem a condição

b3 – b2 – b1 = 0 ou b3 = b1 + b2

Para expressar esta condição de uma outra maneira, Ax = b éconsistente se, e somente se, b é uma matriz da forma

onde b1 e b2 são arbitrários. ®

Quais condições devem satisfazer b1, b2 e b3 para garantir que osistema de equações

é consistente?

Solução.

A matriz aumentada é

Reduzindo esta matriz à forma escalonada reduzida por linhasobtemos (verifique)

(2)Neste caso não há restrições sobre b1, b2 e b3; ou seja, o sistemaAx = b tem a única solução

(3)

para qualquer b. ®

OBSERVAÇÃO. Como o sistema Ax = b do exemplo precedente éconsistente para qualquer b, segue do Teorema 1.6.4 que A éinvertível. Nós deixamos a cargo do leitor verificar que as fór-mulas em (3) também podem ser usadas para calcular x = A–1b.

x1 = −40b1 + 16b2 + 9b3, x2 = 13b1 − 5b2 − 3b3, x3 = 5b1 − 2b2 − b3

⎡⎢⎣

1 0 0 −40b1 + 16b2 + 9b3

0 1 0 13b1 − 5b2 − 3b3

0 0 1 5b1 − 2b2 − b3

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

1 2 3 b1

2 5 3 b2

1 0 8 b3

⎤⎥⎦

x1 + 2x2 + 3x3 = b1

2x1 + 5x2 + 3x3 = b2

x1 + 8x3 = b3

EXEMPLO 4 Determinando Consistência porEliminação

b =⎡⎢⎣

b1

b2

b1 + b2

⎤⎥⎦

A segunda linha foi somadaà terceira.

⎡⎢⎣

1 1 2 b1

0 1 1 b1 − b2

0 0 0 b3 − b2 − b1

⎤⎥⎦

A segunda linha foi multi-plicada por –1.

⎡⎢⎣

1 1 2 b1

0 1 1 b1 − b2

0 −1 −1 b3 − 2b1

⎤⎥⎦

–1 vez a primeira linha foisomada à segunda e –2vezes a primeira linha foisomada à terceira.

⎡⎢⎣

1 1 2 b1

0 −1 −1 b2 − b1

0 −1 −1 b3 − 2b1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

1 1 2 b1

1 0 1 b2

2 1 3 b3

⎤⎥⎦

x1 + x2 + 2x3 = b1

x1 + x3 = b2

2x1 + x2 + 3x3 = b3

EXEMPLO 3 Determinando Consistência porEliminação

Teorema 1.6.5Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho. Se A Bé invertível, então A e B também são invertíveis.

Nos Exercícios 1–8 resolva o sistema invertendo a matriz de coeficientes e usando o Teorema 1.6.2.1. x1 + x2 = 2

5x1 + 6x2 = 92. 4x1 − 3x2 = −3

2x1 − 5x2 = 93. x1 + 3x2 + x3 = 4

2x1 + 2x2 + x3 = −12x1 + 3x2 + x3 = 3

Conjunto de Exercícios 1.6

Page 39: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 65

9. Resolva o seguinte sistema geral invertendo a matriz de coeficientes e usando o Teorema 1.6.2.

Use as fórmulas resultantes para encontrar a solução se

10. Resolva os três sistemas do Exercício 9 simultaneamente usando o método do Exemplo 2.

Nos Exercícios 11–14 use o método do Exemplo 2 para resolver simultaneamente todos os sistemas dados.

15. O método do Exemplo 2 pode ser usado em sistemas lineares com infinitas soluções. Use aquele método para resolver os sistemas de ambaspartes simultaneamente.

Nos Exercícios 16–19 encontre condições que as constantes b devem satisfazer para o sistema ser consistente.

20. Considere as matrizes

(a) Mostre que a equação Ax = x pode ser reescrita como (A – I)x = 0 e use este resultado para resolver Ax = x em x.(b) Resolva Ax = 4x.

21. Resolva a equação seguinte em X.⎡⎢⎣

1 −1 1

2 3 0

0 2 −1

⎤⎥⎦ X =

⎡⎢⎣

2 −1 5 7 8

4 0 −3 0 1

3 5 −7 2 1

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

2 1 2

2 2 −2

3 1 1

⎤⎥⎦ e x =

⎡⎢⎣

x1

x2

x3

⎤⎥⎦

16. 6x1 − 4x2 = b1

3x1 − 2x2 = b2

17. x1 − 2x2 + 5x3 = b1

4x1 − 5x2 + 8x3 = b2

−3x1 + 3x2 − 3x3 = b3

18. x1 − 2x2 − x3 = b1

−4x1 + 5x2 + 2x3 = b2

−4x1 + 7x2 + 4x3 = b3

19. x1 − x2 + 3x3 + 2x1 = b1

−2x1 + x2 + 5x3 + x1 = b2

−3x1 + 2x2 + 2x3 − x1 = b3

4x1 − 3x2 + x3 + 3x1 = b4

(a) x1 − 2x2 + x3 = −22x1 − 5x2 + x3 = 13x1 − 7x2 + 2x3 = −1

(b) x1 − 2x2 + x3 = 12x1 − 5x2 + x3 = −13x1 − 7x2 + 2x3 = 0

11. x1 − 5x2 = b1

3x1 + 2x2 = b2

(a) b1 = 1, b2 = 4(b) b1 = −2, b2 = 5

12. −x1 + 4x2 + x3 = b1

x1 + 9x2 − 2x3 = b2

6x1 + 4x2 − 8x3 = b3

(a) b1 = 0, b2 = 1, b3 = 0(b) b1 = −3, b2 = 4, b3 = −5

13. 4x1 − 7x2 = b1

x1 + 2x2 = b2

(a) b1 = 0, b2 = 1(b) b1 = −4, b2 = 6(c) b1 = −1, b2 = 3(d) b1 = −5, b2 = 1

14. x1 + 3x2 + 5x3 = b1

−x1 − 2x2 = b2

2x1 + 5x2 + 4x3 = b3

(a) b1 = 1, b2 = 0, b3 = −1(b) b1 = 0, b2 = 1, b3 = 1(c) b1 = −1, b2 = −1, b3 = 0

(a) b1 = −1, b2 = 3, b3 = 4 (b) b1 = 5, b2 = 0, b3 = 0 (c) b1 = −1, b2 = −1, b3 = 3

x1 + 2x2 + x3 = b1

x1 − x2 + x3 = b2

x1 + x2 = b3

4. 5x1 + 3x2 + 2x3 = 43x1 + 3x2 + 2x3 = 2

x2 + x3 = 5

5. x + y + z = 5x + y − 4z = 10

−4x + y + z = 0

6. − x − 2y − 3z = 0w + x + 4y + 4z = 7w + 3x + 7y + 9z = 4

−w − 2x − 4y − 6z = 6

7. 3x1 + 5x2 = b1

x1 + 2x2 = b2

8. x1 + 2x2 + 3x3 = b1

2x1 + 5x2 + 5x3 = b2

3x1 + 5x2 + 8x3 = b3

Page 40: Equações Lineares e Matrizes

66 • • • Álgebra Linear com Aplicações

1.7 MATRIZES DIAGONAIS,TRIANGULARES E SIMÉTRICAS

Nesta seção nós vamos considerar certas classes de matrizes quetêm formatos especiais. As matrizes que nós estudamos nestaseção estão entre os tipos mais importantes de matrizes encon-tradas em Álgebra Linear e surgirão em muitos contextos dife-rentes ao longo do texto.

Matrizes Diagonais Uma matriz quadrada na qual todasas entradas fora da diagonal principal são zero é chamada matrizdiagonal. Aqui temos alguns exemplos.

Uma matriz diagonal arbitrária D de tamanho n ¥ n pode serescrita como

(1)

Uma matriz diagonal é invertível se, e somente se, todas suasentradas na diagonal são não-nulas; neste caso, a inversa de (1)é

O leitor deveria verificar que DD–1 = D–1D = I.Potências de matrizes diagonais são fáceis de calcular; nós

deixamos para o leitor verificar que se D é a matriz diagonal (1)e k é um inteiro positivo, então

Se

então

®A−1 =

⎡⎢⎣

1 0 0

0 − 13 0

0 0 12

⎤⎥⎦, A5 =

⎡⎢⎣

1 0 0

0 −243 0

0 0 32

⎤⎥⎦, A−5 =

⎡⎢⎣

1 0 0

0 − 1243 0

0 0 132

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

1 0 0

0 −3 0

0 0 2

⎤⎥⎦

EXEMPLO 1 Inversas e Potências de MatrizesDiagonais

Dk =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

d1k 0 · · · 0

0 d2k · · · 0

......

...

0 0 · · · dnk

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

D−1 =

⎡⎢⎢⎢⎣

1/d1 0 · · · 0

0 1/d2 · · · 0...

......

0 0 · · · 1/dn

⎤⎥⎥⎥⎦

D =

⎡⎢⎢⎢⎣

d1 0 · · · 0

0 d2 · · · 0...

......

0 0 · · · dn

⎤⎥⎥⎥⎦

[2 0

0 −5

],

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦,

⎡⎢⎢⎢⎣

6 0 0 0

0 −4 0 0

0 0 0 0

0 0 0 8

⎤⎥⎥⎥⎦

22. Em cada parte, determine se o sistema homogêneo tem uma solução não-trivial (sem usar papel e lápis); depois decida se a matriz dada éinvertível.

23. Seja Ax = 0 um sistema homogêneo de n equações lineares em n incógnitas cuja única solução é a trivial. Mostre que se k é qualquer inteiropositivo, então o sistema Ak x = 0 também só tem a solução trivial.

24. Seja Ax = 0 um sistema homogêneo de n equações lineares em n incógnitas e seja Q uma matriz invertível n ¥ n. Mostre que Ax = 0 temsomente a solução trivial se, e somente se, (QA) x = 0 tem somente a solução trivial.

25. Seja Ax = b um sistema de equações lineares consistente e seja x1 uma solução fixada. Mostre que qualquer solução do sistema pode ser escri-ta na forma x = x1 + x0, onde x0 é a solução de Ax = 0. Mostre também que qualquer matriz x desta forma é uma solução.

26. Use a parte (a) do Teorema 1.6.3 para provar a parte (b).

Discussão e Descoberta

27. (a) Se A é uma matriz n ¥ n e se b é uma matriz n ¥ 1, quais condições você imporia para garantir que a equação x = A x + b tem uma única solução em x?

(b) Supondo que suas condições estão satisfeitas, encontre uma fórmula para a solução em termos de uma inversa apropriada.28. Suponha que A é uma matriz n ¥ n invertível. O sistema Ax = x precisa ter uma solução única? Explique seu raciocínio.29. É possível ter A B = I e B não ser a inversa de A? Explique seu raciocínio.30. Crie um teorema reescrevendo o Teorema 1.6.5 em contraposição lógica (veja Exercício 34 da Seção 1.4).

(a) 2x1 + x2 − 3x3 + x4 = 05x2 + 4x3 + 3x4 = 0

x3 + 2x4 = 03x4 = 0

⎡⎢⎢⎢⎣

2 1 −3 1

0 5 4 3

0 0 1 2

0 0 0 3

⎤⎥⎥⎥⎦

(b) 5x1 + x2 + 4x3 + x4 = 02x3 − x4 = 0x3 + x4 = 0

7x4 = 0

⎡⎢⎢⎢⎣

5 1 4 1

0 0 2 −1

0 0 1 1

0 0 0 7

⎤⎥⎥⎥⎦

Page 41: Equações Lineares e Matrizes

Produtos de matrizes que envolvem fatores diagonais sãoespecialmente fáceis de calcular. Por exemplo,

Em palavras, para multiplicar uma matriz A à esquerda poruma matriz diagonal D, podemos multiplicar as linhas sucessi-vas de A pelas entradas sucessivas na diagonal de D, e paramultiplicar A à direita por D, podemos multiplicar as colunassucessivas de A pelas entradas sucessivas na diagonal de D.

Matrizes Triangulares Uma matriz quadrada na qualtodas as entradas acima da diagonal principal são zero é chama-da triangular inferior e uma matriz quadrada na qual todas asentradas abaixo da diagonal principal são zero é chamada trian-gular superior. Uma matriz que é triangular inferior ou triangu-lar superior é chamada triangular.

®

OBSERVAÇÃO. Observe que matrizes diagonais são triangularestanto inferiores quanto superiores, pois têm zeros acima quantoabaixo da diagonal principal. Observe também que uma matrizquadrada em forma escalonada é triangular superior pois temzeros abaixo da diagonal principal.

As seguintes são quatro caracterizações úteis de matrizestriangulares. O leitor verá que é instrutivo verificar que asmatrizes do Exemplo 2 têm as propriedades afirmadas.

∑ Uma matriz quadrada A = [ aij ] é triangular superior se, esomente se, a i–ésima linha começa com pelo menos i – 1 zeros.

∑ Uma matriz quadrada A = [ aij ] é triangular inferior se, esomente se, a j–ésima coluna começa com pelo menos j – 1 zeros.

∑ Uma matriz quadrada A = [ aij ] é triangular superior se, esomente se, aij = 0 para i > j.

∑ Uma matriz quadrada A = [ aij ] é triangular inferior se esomente se aij = 0 para i < j.

O teorema a seguir lista algumas das propriedades dematrizes triangulares.

A parte (a) é evidente pois transpor uma matriz quadrada cor-responde a refletir suas entradas em torno da diagonal principal;nós omitimos a prova formal. Nós vamos provar (b), mas vamosadiar as provas de (c) e (d) para o próximo capítulo, onde nósteremos as ferramentas necessárias para provar estes resultadosde maneira mais eficiente.

Prova (b). Nós provaremos o resultado para matrizes triangu-lares inferiores; a prova para matrizes triangulares superiores ésimilar.

Sejam A = [aij] e B = [bij] matrizes n ¥ n triangulares infe-riores e seja C = [cij ] o produto C = AB. Da observação anteri-or a este teorema, nós podemos provar que C é triangular infe-rior mostrando que cij = 0 para i < j. Mas pela definição de mul-tiplicação matricial,

Se nós supormos que i < j, então os termos desta expressãopoderão ser agrupados como segue:

No primeiro grupo todos os fatores de b são zeros pois B é tri-angular inferior e no segundo grupo todos os fatores de a sãozeros pois A é triangular inferior. Assim, cij = 0, que é o quequeríamos mostrar. �

Considere as matrizes triangulares superiores

A matriz A é invertível, pois suas entradas na diagonal principalsão não-nulas, mas a matriz B não é. Nós deixamos para o leitorcalcular a inversa de A pelo método da Seção 1.5 e mostrar que

A =⎡⎢⎣

1 3 −1

0 2 4

0 0 5

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎣

3 −2 2

0 0 −1

0 0 1

⎤⎥⎦

EXEMPLO 3 Matrizes Triangulares Superiores

Termos nos quais o númerode linha de a é menor do queo número de coluna de a

Termos nos quais o número delinha de b é menor do que onúmero de coluna de b

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ai(j−1)b(j−1)j︸ ︷︷ ︸ + aij bjj + · · · + ainbnj︸ ︷︷ ︸

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj

Teorema 1.7.1

(a) A transposta de uma matriz triangular inferior é trian-gular superior e a transposta de uma matriz triangularsuperior é triangular inferior.

(b) O produto de matrizes triangulares inferiores é trian-gular inferior e o produto de matrizes triangularessuperiores é triangular superior.

(c) Uma matriz triangular é invertível se, e somente se,suas entradas na diagonal principal são todas não-nulas.

(d) A inversa de uma matriz triangular inferior é triangu-lar inferior e a inversa de uma matriz triangular supe-rior é triangular superior.

Uma matriz triangularinferior 4 ¥ 4 arbitrária.

Uma matriz triangularsuperior 4 ¥ 4 arbitrária.

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 a13 a14

0 a22 a23 a24

0 0 a33 a34

0 0 0 a44

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 0 0 0

a21 a22 0 0

a31 a32 a33 0

a41 a42 a43 a44

⎤⎥⎥⎥⎦

EXEMPLO 2 Matrizes Triangulares Superiores eInferiores

⎡⎢⎣

d1 0 0

0 d2 0

0 0 d3

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

d1a11 d1a12 d1a13 d1a14

d2a21 d2a22 d2a23 d2a24

d3a31 d3a32 d3a33 d3a34

⎤⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎣

d1 0 0

0 d2 0

0 0 d3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣

d1a11 d2a12 d3a13

d1a21 d2a22 d3a23

d1a31 d2a32 d3a33

d1a41 d2a42 d3a43

⎤⎥⎥⎥⎦

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 67

Page 42: Equações Lineares e Matrizes

Esta inversa é triangular superior, como garante a parte (d) doTeorema 1.7.1. Nós também deixamos para o leitor conferir queo produto A B é

Este produto é triangular superior, como garante a parte (b) doTeorema 1.7.1. ®

Matrizes Simétricas Uma matriz quadrada A é chamadasimétrica se A = AT.

As seguintes matrizes são simétricas, já que cada uma é igual àsua transposta (verifique).

®

É fácil reconhecer matrizes simétricas por inspeção: Asentradas na diagonal principal podem ser quaisquer, mas comoilustramos em (2), as “imagens espelhadas” das entradas emtorno da diagonal principal devem ser iguais.

(2)

Isto ocorre pois transpor uma matriz quadrada corresponde apermutar entradas que estão posicionadas simetricamente emrelação à diagonal principal. Expresso em termos de entradasindividuais, uma matriz A = [aij] é simétrica se, e somente se, aij= aji para todos valores de i e j. Como é ilustrado no Exemplo4, todas as matrizes diagonais são simétricas.

O seguinte teorema lista as principais propriedades algébri-cas das matrizes simétricas. As provas são uma conseqüênciadireta do Teorema 1.4.9 e são deixadas para o leitor.

OBSERVAÇÃO. Não é verdade, em geral, que o produto dematrizes simétricas é uma matriz simétrica. Para ver por que isto

é assim, sejam A e B matrizes simétricas de mesmo tamanho.Pela parte (d) do Teorema 1.4.9 e pela simetria, nós temos

(AB)T = BTAT = BA

Como AB e BA não são geralmente iguais, segue que ABnão é geralmente simétrica. Contudo, no caso especial em queAB = BA, o produto AB é simétrico. Se A e B são matrizes taisque AB = BA, dizemos que A e B comutam. Em resumo: O pro-duto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, esomente se, as matrizes comutam.

A primeira das equações a seguir mostra um produto de matrizessimétricas que não é uma matriz simétrica e a segunda mostraum produto de matrizes simétricas que é uma matriz simétrica.Concluímos que os fatores da primeira equação não comutam,mas que os da segunda comutam. Deixamos para o leitor veri-ficar que isto é assim.

®

Em geral, uma matriz simétrica não precisa ser invertível;por exemplo, uma matriz quadrada zero é simétrica mas não-invertível. Contudo, se uma matriz simétrica é invertível, entãoa inversa também é simétrica.

Prova. Suponha que A é simétrica e invertível. Pelo Teorema1.4.10 e lembrando que A = AT, nós temos

(A–1)T = (AT )–1 = A–1

que prova que A–1 é simétrica. �

Produtos AAT e ATA Produtos de matrizes da forma AAT

e ATA surgem em uma variedade de aplicações. Se A é umamatriz m ¥ n, então AT é uma matriz n ¥ m, de modo que os pro-dutos AAT e ATA são ambos matrizes quadradas—a matriz AAT

tem tamanho m ¥ m e a matriz ATA tem tamanho n ¥ n. Estesprodutos são sempre simétricos, pois

(AAT)T = (AT)TAT = AAT e (ATA)T = AT(AT)T = ATA

Seja A a matriz 2 ¥ 3

Então

A =[

1 −2 4

3 0 −5

]

EXEMPLO 6 O Produto de uma Matriz e suaTransposta é uma Matriz Simétrica

Teorema 1.7.3

Se A é uma matriz simétrica invertível, então A–1 é simétri-ca.

[1 2

2 3

] [−4 1

1 0

]=

[−2 1−5 2

]

[1 2

2 3

] [−4 3

3 −1

]=

[2 11 3

]

EXEMPLO 5 Produtos de Matrizes Simétricas

Teorema 1.7.2

Se A e B são matrizes simétricas de mesmo tamanho e se ké um escalar qualquer, então:

(a) AT é simétrica.(b) A + B e A – B são simétricas.(c) kA é simétrica.

⎡⎢⎣

1 4 5

4 −3 0

5 0 7

⎤⎥⎦

[7 −3

−3 5

],

⎡⎢⎣

1 4 5

4 −3 0

5 0 7

⎤⎥⎦,

⎡⎢⎢⎢⎣

d1 0 0 0

0 d2 0 0

0 0 d3 0

0 0 0 d4

⎤⎥⎥⎥⎦

EXEMPLO 4 Matrizes Simétricas

AB =⎡⎢⎣

3 −2 −2

0 0 2

0 0 5

⎤⎥⎦

A−1 =

⎡⎢⎢⎣

1 − 32

75

0 12 − 2

5

0 0 15

⎤⎥⎥⎦

68 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Page 43: Equações Lineares e Matrizes

Observe que ATA e AAT são simétricas, como se esperava. ®

Adiante neste texto, nós obteremos condições gerais sobreA sob as quais AAT e ATA são invertíveis. Contudo, no casoespecial em que A é quadrada, nós temos o seguinte resultado.

Prova. Como A é invertível, também AT é invertível, peloTeorema 1.4.10. Assim, AAT e ATA são invertíveis, pois são pro-dutos de matrizes invertíveis. �

Teorema 1.7.4

Se A é uma matriz invertível, então AAT e ATA são tambéminvertíveis.

ATA =⎡⎢⎣

1 3

−2 0

4 −5

⎤⎥⎦

[1 −2 4

3 0 −5

]=

⎡⎢⎣

10 −2 −11

−2 4 −8

−11 −8 41

⎤⎥⎦

AAT =[

1 −2 4

3 0 −5

] ⎡⎢⎣

1 3

−2 0

4 −5

⎤⎥⎦ =

[21 −17

−17 34

]

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 69

1. Determine se a matriz dada é invertível; se for, encontre a inversa por inspeção.

2. Calcule, por inspeção, o produto das matrizes dadas.

3. Encontre A2, A–2 e A–k por inspeção.

4. Quais das seguintes matrizes são simétricas?

5. Determine, por inspeção, se a dada matriz triangular é invertível.

6. Encontre todos os valores de a, b e c para os quais A é simétrica.

7. Encontre todos os valores de a e b para os quais A e B são ambas não-invertíveis.

8. Use a equação dada para determinar, por inspeção, se as matrizes do lado esquerdo comutam.

(a)

[1 −3

−3 2

] [4 1

1 2

]=

[1 −5

−10 1

](b)

[2 −1

−1 3

] [3 2

2 1

]=

[4 3

3 1

]A =

[a + b − 1 0

0 3

], B =

[5 0

0 2a − 3b − 7

]

A =⎡⎢⎣

2 a − 2b + 2c 2a + b + c

3 5 a + c

0 −2 7

⎤⎥⎦

(a)

⎡⎢⎣

−1 2 4

0 3 0

0 0 5

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎢⎢⎣

0 1 −2 5

0 1 5 6

0 0 −3 1

0 0 0 5

⎤⎥⎥⎥⎦

(a)

[2 −1

1 2

](b)

[3 4

4 0

](c)

⎡⎢⎣

2 −1 3

−1 5 1

3 1 7

⎤⎥⎦ (d)

⎡⎢⎣

0 0 1

0 2 0

3 0 0

⎤⎥⎦

(a) A =[

1 0

0 −2

](b) A =

⎡⎢⎣

12 0 0

0 13 0

0 0 14

⎤⎥⎦

(a)

⎡⎢⎣

3 0 0

0 −1 0

0 0 2

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

2 1

−4 1

2 5

⎤⎥⎦ (b)

⎡⎢⎣

2 0 0

0 −1 0

0 0 4

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

4 −1 3

1 2 0

−5 1 −2

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

−3 0 0

0 5 0

0 0 2

⎤⎥⎦

(a)

[2 0

0 −5

](b)

⎡⎢⎣

4 0 0

0 0 0

0 0 5

⎤⎥⎦ (c)

⎡⎢⎣

−1 0 0

0 2 0

0 0 13

⎤⎥⎦

Conjunto de Exercícios 1.7

Page 44: Equações Lineares e Matrizes

70 • • • Álgebra Linear com Aplicações

9. Mostre que A e B comutam se a – d = 7b.

10. Encontre uma matriz diagonal A tal que

11. (a) Fatore A na forma A = B D, onde D é uma matriz diagonal.

(b) A fatoração encontrada é a única possível? Explique.12. Verifique o Teorema 1.7.1b para o produto A B, onde

13. Verifique o Teorema 1.7.1d para as matrizes do Exercício 12.14. Verifique o Teorema 1.7.3 para a matriz A dada.

15. Seja A uma matriz simétrica.(a) Mostre que A2 é simétrica. (b) Mostre que 2A2 – 3A + I é simétrica.

16. Seja A uma matriz simétrica.(a) Mostre que Ak é simétrica se k é qualquer inteiro não-negativo.(b) Se p(x) é um polinômio, é p(A) necessariamente simétrica? Explique.

17. Sejam A uma matriz triangular superior e p(x) um polinômio. É p(A) necessariamente triangular superior? Explique.18. Prove: Se ATA = A então A é simétrica e A = A2.19. Encontre todas as matrizes diagonais 3 ¥ 3 que satisfazem A2 – 3A – 4I = 0.20. Seja A = [aij ] uma matriz n ¥ n. Determine se A é simétrica.

(a) aij = i2 + j2 (b) aij = i2 – j2 (c) aij = 2i + 2j (d) aij = 2i2 + 2j3

21. Usando sua experiência com o Exercício 20, projete um teste geral que pode ser aplicado a uma fórmula para aij para determinar se A = [aij]é simétrica.

22. Uma matriz quadrada A é chamada anti-simétrica se AT = –A. Prove:(a) Se A é uma matriz anti-simétrica invertível, então A–1 é anti-simétrica.(b) Se A e B são anti-simétricas, então também o são AT, A + B, A – B e kA, para qualquer escalar k.(c) Toda matriz quadrada A pode ser expressa como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.

[Sugestão. Observe a identidade .]

23. Nós mostramos no texto que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e somente se, as matrizes comutam. É o produto dematrizes anti-simétricas que comutam uma matriz anti-simétrica? Explique. [Observação. Veja o Exercício 22 para a terminologia.]

24. Se a matriz A de tamanho n ¥ n pode ser expressa como A = LU, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superi-or, então o sistema Ax = b pode ser expresso como LUx = b e portanto pode ser resolvido em dois passos:Passo 1. Seja Ux = y, de modo que LUx = b pode ser escrito como Ly = b. Resolva este sistema.Passo 2. Resolva o sistema Ux = y em x.Em cada parte, use este método de dois passos para resolver o sistema dado.

(a)

⎡⎢⎣

1 0 0

−2 3 0

2 4 1

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

2 −1 3

0 1 2

0 0 4

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

x1

x2

x3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

1

−2

0

⎤⎥⎦

(b)

⎡⎢⎣

2 0 0

4 1 0

−3 −2 3

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

3 −5 2

0 4 1

0 0 2

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

x1

x2

x3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

4

−5

2

⎤⎥⎦

yA = 1

2 (A + AT ) + 12 (A − AT )

(a) A =[

2 −1

−1 3

](b) A =

⎡⎢⎣

1 −2 3

−2 1 −7

3 −7 4

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

−1 2 5

0 1 3

0 0 −4

⎤⎥⎦, B =

⎡⎢⎣

2 −8 0

0 2 1

0 0 3

⎤⎥⎦

A =⎡⎢⎣

3a11 5a12 7a13

3a21 5a22 7a23

3a31 5a32 7a33

⎤⎥⎦

(a) A5 =⎡⎢⎣

1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

⎤⎥⎦ (b) A−2 =

⎡⎢⎣

9 0 0

0 4 0

0 0 1

⎤⎥⎦

A =[

2 1

1 −5

], B =

[a b

b d

]

Page 45: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 71

25. Encontre uma matriz triangular superior que satisfaz

Discussão e Descoberta

26. Qual é o número máximo de entradas distintas que pode ter uma matriz simétrica de tamanho n ¥ n? Explique seu raciocínio.27. Invente e prove um teorema que diz como multiplicar duas matrizes diagonais.28. Suponha que A é uma matriz quadrada e que D é uma matriz diagonal tal que AD = I. O que você pode dizer sobre a matriz A? Explique seu

raciocínio.29. (a) Construa um sistema linear consistente de cinco equações em cinco incógnitas que tem uma matriz de coeficientes triangular inferior

com nenhum zero na diagonal principal nem abaixo da diagonal principal.(b) Projete um procedimento eficiente para resolver seu sistema à mão.(c) Invente um nome apropriado para o seu procedimento.

30. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique cada resposta.(a) Se AAT é singular, então também A é singular.(b) Se A + B é simétrica, então também A e B são simétricas.(c) Se A é uma matriz n ¥ n e Ax = 0 tem somente a solução trivial, então também ATx = 0 tem somente a solução trivial.(d) Se A2 é simétrica, então também A é simétrica.

1. Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver x´ e y´ em termos de x e y.

2. Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver x´ e y´ em termos de x e y.

3. Encontre um sistema linear homogêneo de duas equações que não são múltiplas uma da outra e tal que

x1 = 1, x2 = – 1, x3 = 1, x4 = 2

e

x1 = 2, x2 = 0, x3 = 3, x4 = – 1

são soluções do sistema.4. Uma caixa contendo moedas de 1, 5 e 10 centavos contém 13 moedas com um valor total de 83 centavos. Quantas moedas de cada tipo há

na caixa?5. Encontre inteiros positivos que satisfazem

6. Para quais valores de a o sistema a seguir tem zero, uma ou infinitas soluções?

7. Seja

a matriz aumentada de um sistema linear. Para quais valores de a e b o sistema tem(a) uma única solução, (b) uma solução a um parâmetro,(c) uma solução a dois parâmetros, (d) nenhuma solução?

⎡⎢⎣

a 0 b 2

a a 4 4

0 a 2 b

⎤⎥⎦

x1 + x2 + x3 = 4

x3 = 2

(a2 − 4)x3 = a − 2

x + y + z = 9

x + 5y + 10z = 44

x = x ′ cos θ − y ′ sen θ

y = x ′ sen θ + y ′ cos θ

x = 35 x ′ − 4

5 y ′

y = 45 x ′ + 3

5 y ′

Exercícios Suplementares do Capítulo 1

A3 =[

1 30

0 −8

]

Page 46: Equações Lineares e Matrizes

72 • • • Álgebra Linear com Aplicações

8. Resolva em x, y e z.

9. Encontre uma matriz K tal que AKB = C, sendo

10. Como devem ser escolhidos os coeficientes a, b e c para que o sistema

tenha a solução x = 1, y = –1 e z = 2?11. Em cada parte resolva a equação matricial em X.

12. (a) Expresse as equações

no formato matricial Y = AX e Z = BY. Em seguida, use estas expressões para obter uma relação direta Z = CX entre Z e X.(b) Use a equação Z = CX obtida em (a) para expressar z1 e z2 em termos de x1, x2 e x3.(c) Confira o resultado em (b) substituindo diretamente as equações em y1, y2 e y3 nas equações em z1 e z2 e simplificando.

13. Se A é m ¥ n e B é n ¥ p, quantas operações de multiplicação e quantas de adição são necessárias para calcular o produto matricial AB?14. Seja A uma matriz quadrada.

(a) Mostre que (I – A)–1 = I + A + A2 + A3 se A4 = 0.(b) Mostre que (I – A)–1 = I + A + A2 + · · · + An se An + 1 = 0.

15. Encontre valores de a, b, e c tais que o gráfico do polinômio p(x) = ax2 + bx + c passa pelos pontos (1, 2), (–1, 6) e (2, 3).16. (Para leitores que estudaram Cálculo.) Encontre valores de a, b, e c tais que o gráfico do polinômio p(x) = ax2 + bx + c passa pelo ponto

(–1, 0) e tem uma tangente horizontal em (2, – 9).17. Seja J n a matriz n ¥ n tal que todas entradas são 1. Mostre que se n > 1, então

18. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz a equação A3 + 4A2 – 2A + 7I = 0 então AT também satisfaz.19. Prove: Se B é invertível, então AB–1 = B–1A se, e somente se, AB = BA.20. Prove: Se A é invertível, então A + B e I + BA–1 são ambas invertíveis ou ambas não-invertíveis.21. Prove que se A e B são matrizes n ¥ n, então

(a) tr (A + B) = tr (A) + tr (B) (b) tr (kA ) = k tr (A) (c) tr (AT) = tr (A) (d) tr (AB) = tr (BA)22. Use o Exercício 21 para mostrar que não existem matrizes quadradas A e B tais que

AB – BA = I

23. Prove: Se A é uma matriz m ¥ n e B é a matriz n ¥ 1 com todas as entradas iguais a 1/n, então

onde é a média das entradas na i-ésima linha de A.ri

AB =

⎡⎢⎢⎢⎣

r1

r2...

rm

⎤⎥⎥⎥⎦

(I − Jn)−1 = I − 1

n − 1Jn

y1 = x1 − x2 + x3

y2 = 3x1 + x2 − 4x3

y3 = −2x1 − 2x2 + 3x3

ez1 = 4y1 − y2 + y3

z2 = −3y1 + 5y2 − y3

(a) X

⎡⎢⎣

−1 0 1

1 1 0

3 1 −1

⎤⎥⎦ =

[1 2 0

−3 1 5

](b) X

[1 −1 2

3 0 1

]=

[−5 −1 0

6 −3 7

]

(c)

[3 1

−1 2

]X − X

[1 4

2 0

]=

[2 −2

5 4

]

ax + by − 3z = −3

−2x − by + cz = −1

ax + 3y − cz = −3

A =⎡⎢⎣

1 4

−2 3

1 −2

⎤⎥⎦, B =

[2 0 0

0 1 −1

], C =

⎡⎢⎣

8 6 −6

6 −1 1

−4 0 0

⎤⎥⎦

xy − 2√

y + 3zy = 8

2xy − 3√

y + 2zy = 7

−xy + √y + 2zy = 4

Page 47: Equações Lineares e Matrizes

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 73

24. (Para leitores que estudaram Cálculo.) Se as entradas da matriz

são funções diferenciáveis de x, então nós definimos

Mostre que se as entradas de A e B são funções diferenciáveis de x e os tamanhos das matrizes são tais que as operações estão definidas, então

25. (Para leitores que estudaram Cálculo.) Use a parte (c) do Exercício 24 para mostrar que

Enuncie todas as hipóteses que são necessárias para obter esta fórmula.26. Encontre valores de A, B e C que tornam a equação

uma identidade. [Sugestão. Multiplique ambos os lados por (3x – 1) (x 2 + 1) e iguale os coeficientes correspondentes dos polinômios obti-dos em ambos os lados da equação resultante.]

27. Se P é uma matriz n ¥ 1 tal que PTP = 1, então H = I – 2PPT é chamada a matriz de Householder correspondente a P (homenageando omatemático norte-americano A. S. Householder).

(a) Verifique que PTP = 1 se PT = e calcule a matriz de Householder correspondente.(b) Prove que se H é qualquer matriz de Householder, então H = H T e H TH = I.(c) Verifique que a matriz de Householder encontrada na parte (a) satisfaz as condições provadas na parte (b).

28. Supondo que as inversas envolvidas existem, prove as seguintes igualdades.

29. Mostre que se a ≠ b, então

(b) Use o resultado da parte (a) para encontrar A n se

[Observação. Este exercício deriva de um problema submetido por John M. Johnson, em The Mathematics Teacher, Vol. 85, No. 9, 1992.]

Requisito: Recurso Computacional

Os seguintes exercícios foram elaborados para serem resolvidos utilizando um recurso computacional. Em geral, este recurso é o MATLAB,Mathematica, Maple, Derive ou Mathcad, mas também pode ser um outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica comfuncionalidade de Álgebra Linear. Para cada exercício você deverá ler a documentação pertinente do recurso que estiver utilizando. O objetivodestes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional. Uma vez dominadas as técnicas nestes exercí-cios, você deverá ser capaz de usar seu recurso computacional para resolver também muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares.

Exercícios Computacionais do Capítulo 1

A =⎡⎢⎣

a 0 0

0 b 0

1 0 c

⎤⎥⎦

an + an−1b + an−2b2 + · · · + abn−1 + bn = an+1 − bn+1

a − b

(a) (C−1 + D−1)−1 = C(C + D)−1D (b) (I + CD)−1C = C(I + DC)−1

(c) (C + DDT )−1D = C−1D(I + DT C−1D)−1

[34

16

14

512

512

]

x2 + x − 2

(3x − 1)(x2 + 1)= A

3x − 1+ Bx + C

x2 + 1

dA−1

dx= −A−1 dA

dxA−1

(a)d

dx(kA) = k

dA

dx(b)

d

dx(A+B) = dA

dx+ dB

dx(c)

d

dx(AB) = dA

dxB +A

dB

dx

dC

dx=

⎡⎢⎢⎢⎣

c′11(x) c′

12(x) · · · c′1n(x)

c′21(x) c′

22(x) · · · c′2n(x)

......

...

c′m1(x) c′

m2(x) · · · c′mn(x)

⎤⎥⎥⎥⎦

C =

⎡⎢⎢⎢⎣

c11(x) c12(x) · · · c1n(x)

c21(x) c22(x) · · · c2n(x)...

......

cm1(x) cm2(x) · · · cmn(x)

⎤⎥⎥⎥⎦

Page 48: Equações Lineares e Matrizes

74 • • • Álgebra Linear com Aplicações

Seção 1.1

T1. (Números e operações numéricas) Leia em seu manual sobrecomo entrar e exibir números e executar as operações aritméticasbásicas de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação eradiciação. Determine como controlar o número de dígitos de umnúmero decimal que aparecem na tela. Se você está usando um sis-tema algébrico computacional, caso em que você pode calcularcom números exatos em vez de aproximações decimais, aprenda

como entrar com números exatos tais como p, e e comoconvertê-los em números decimais. Experimente com números desua própria escolha até sentir que você dominou os procedimentose operações.

Seção 1.2

T1. (Matrizes e formas escalonadas reduzidas por linhas) Leia em seumanual sobre como entrar com matrizes e como encontrar a formaescalonada reduzida por linhas de uma matriz. Então use seurecurso para encontrar a forma escalonada reduzida por linhas damatriz aumentada do Exemplo 4 da Seção 1.2.

T2. (Sistemas lineares com solução única) Leia em seu manual sobrecomo resolver um sistema linear e então use seu recurso pararesolver o sistema linear do Exemplo 3 da Seção 1.1. Tambémresolva o sistema reduzindo a matriz aumentada à forma escalo-nada reduzida por linhas.

T3. (Sistemas lineares com infinitas soluções) Os recursos computa-cionais variam sobre como tratam com sistemas lineares cominfinitas soluções. Veja como seu recurso lida com o sistema doExemplo 4 da Seção 1.2.

T4. (Sistemas lineares inconsistentes) Os recursos computacionaismuitas vezes detectam sistemas lineares inconsistentes correta-mente, mas podem, às vezes, ser enganados e concluir que um sis-tema consistente é inconsistente ou vice-versa. Isto ocorre tipica-mente quando alguns dos números que aparecem nas contas sãotão pequenos que os erros de arredondamento tornam difícil parao recurso determinar se eles são zero ou não. Crie alguns sistemaslineares inconsistentes e verifique como seu recurso os trata.

T5. Um polinômio cujo gráfico passa por um conjunto dado de pontosé chamado um polinômio interpolador destes pontos. Algunsrecursos computacionais têm comandos específicos para encontrarpolinômios interpoladores. Se o seu recurso tiver esta funcionali-dade, leia o manual e depois use seu recurso para resolver oExercício 25 da Seção 1.2

Seção 1.3

T1. (Operações matriciais) Leia em seu manual sobre como executar asoperações básicas com matrizes—adição, subtração, multiplicaçãopor escalar e multiplicação matricial. Em seguida faça as contasdos Exemplos 3, 4 e 5. Veja o que acontece quando você tenta efe-tuar uma operação com matrizes de tamanho inconsistente.

T2. Calcule o valor da expressão A5 – 3A3 + 7A – 4I para a matriz

T3. (Extraindo linhas e colunas) Leia em seu manual sobre comoextrair linhas e colunas de uma matriz e então use o seu recurso

para extrair várias linhas e colunas de matrizes de sua escolha.T4. (Transposta e traço) Leia em seu manual sobre como encontrar a

transposta e o traço de uma matriz e então use o seu recurso paraencontrar a transposta da matriz A da Fórmula (12) e o traço damatriz B do Exemplo 11.

T5. (Construindo uma matriz aumentada) Leia em seu manual sobrecomo criar uma matriz aumentada [ A | b ] depois de entrar com asmatrizes A e b. Em seguida use seu recurso para formar a matrizaumentada do sistema Ax = b do Exemplo 4 da Seção 1.1 a partirdas matrizes A e b.

Seção 1.4

T1. (Matrizes zero e identidade) Digitar entradas individuais dematrizes pode ser tedioso, por isso muitos recursos fornecem ata-lhos para entrar com matrizes zero e identidade. Leia em seu ma-nual sobre como fazer isto e depois entre com matrizes zero eidentidade de diversos tamanhos.

T2. (Inversa) Leia em seu manual sobre como encontrar a inversa deuma matriz e então use seu recurso para fazer as contas doExemplo 7.

T3. (Fórmula para a inversa) Se você está trabalhando com um sistemaalgébrico computacional, use-o para confirmar o Teorema 1.4.5.

T4. (Potências de matrizes) Leia em seu manual sobre como encontrarpotências de uma matriz e então use seu recurso para encontrarvárias potências positivas e negativas da matriz A do Exemplo 8.

T5. Seja

Descreva o que acontece à matriz Ak quando é permitido a kcrescer indefinidamente (ou seja, quando k Æ •).

T6. Experimentando com diversos valore de n, encontre uma expressãopara a inversa de uma matriz n ¥ n da forma

Seção 1.5

T1. (Matrizes Singulares) Encontre a inversa da matriz do Exemplo 4e então verifique o que seu recurso faz quando você tenta invertera matriz do Exemplo 5.

Seção 1.6

T1. (Resolvendo Ax = b por inversão) Use o método do Exemplo 4para resolver o sistema do Exemplo 3 da Seção 1.1.

T2. Resolva o sistema Ax = 2x, sendo

A =⎡⎢⎣

0 0 −2

1 2 1

1 0 3

⎤⎥⎦

A =

⎡⎢⎢⎣

1 12

13

14 1 1

516

17 1

⎤⎥⎥⎦

A =⎡⎢⎣

1 −2 3

−4 5 −6

7 −8 9

⎤⎥⎦

13

√2,

Page 49: Equações Lineares e Matrizes

Seção 1.7

T1. (Matrizes diagonais, simétricas e triangulares) Muitos recursoscomputacionais fornecem atalhos para entrar com matrizes diago-nais, simétricas e triangulares. Leia em seu manual sobre como

conseguir isto e então experimente entrando com várias matrizesdestes tipos.

T2. (Propriedades de matrizes triangulares) Confirme os resultadosdo Teorema 1.7.1 usando algumas matrizes triangulares de suaescolha.

Capítulo 1 - Sistemas de Equações Lineares e Matrizes • • • 75