Ejemplo 10.2, 3ra. Ed. Rashid (5.4, 2da. Ed.)
RECTIFICADOR CONTROLADO 1ϕ DE COMPLETO CON CARGA "RLE" "muy inductiva"
Valor medio de la tension cd depende del ángulo de disparo α
vs t( ) Vm sin ω t( )=
π α
Vcd
α
T
2α
t2
Tvs t( )
d=2Vm
2 πcos ω t( )( )=
α
Así, Vcd (2*Vm/π - 2*Vm/π) con α (0 - π)
Vcd
2Vm
πcos α( )=
el valor máximo de Vcd, cuando α=0Vcdmax
2Vm
π=
Normalizando la tensión cd de salida en relación al valor máximo Vcdn
Vcd
Vcdmax=
resulta Vcdn cos α( )=
α 0 0.1 3.142
0 0.785 1.571 2.357 3.1421
0.5
0
0.5
1
cos α( )
α
Tensión y frecuencia de la fuente Vs 120 V f 60 Hz
relación de vueltas del transformador N1
N21=
Determinar:
A) Expresar la corriente de entrada en la serie Fourier
El Factor armónico de la corriente HF
El factor de desplazamiento DF
El factor de potencia FP
B) para α=π/3 , 120 V y 60 Hz, Factor de desplazamiento DF
Factor de potencia FP Solucion :
El circuito de carga es altamente inductivo y actua como filtro que reduce el rizo decorriente a cero. La tension y la corriente del secundario es alterno pero la corriente esonda cuadrada.
La corriente del secundario (de entrada) es alterna de forma rectangular, puede serexpresada como series Fourier, con términos cos (nωt) y sen(nωt) impares, todos losdemas son iguales a cero.
Frecuencia y velocidad angular de la tension (corriente) ca f 60 Hz
ω 2 π f rad/s
Periódo de onda alternadaT
1
f T 0.017 s
serie Fourier
i t( ) a0
1.2...
∞
n
an cos n ω t( ) bn sin n ω t( )
=
donde a0
1
2 πα
2 π αω t( )i1 t( )
d=1
2 πα
π αω t( )Ia
d
π α
2π αω t( )Ia
d
= 0=
an1
πα
2 π αω t( )i1 t( ) cos n ω t( )
d=
an1
πα
π αω t( )Ia cos n ω t( )
d
α
2π αω t( )Ia cos n ω t( )
d
=
an 4Ia
n π sin n α( )= para n 1= 3 5 ...
an 0= para n 2= 4 6 ...
bn1
πα
2 π αω t( )i1 t( ) sin n ω t( )
d=
bn1
πα
π αω t( )Ia sin n ω t( )
d
α
2π αω t( )Ia sin n ω t( )
d
= 0=
bn 4Ia
n π cos n α( )= para n 1= 3 5 ...
bn 0= para n 2= 4 6 ...
Cálculo de las constantes ao, an, bn: Ia 1 A is t( ) Ia
Ángulo de disparo απ
3
tdispα
ω tdisp 2.778 10
3 s
ao1
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( )
d
tdisp
T
2tdisp
t( )is t( )
d
ao 0 A
n 1
a12
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
a1 1.098 A
ó
a1
4 Ia
n πsin n α( ) a1 1.103 A
n 3
a32
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
a3 8.871 103
A
ó
a3
4 Ia
n πsin n α( ) a3 0 A
n 5
a52
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
a5 0.224 A
ó a5
4 Ia
n πsin n α( ) a5 0.221 A
n 7
a72
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
a7 0.153 A
ó
a7
4 Ia
n πsin n α( ) a7 0.158 A
n 1
b12
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
b1 0.644 A
ó b1
4 Ia
n πcos n α( )
b1 0.637 A
n 3
b32
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
b3 0.424 A
ó
b3
4 Ia
n πcos n α( )
b3 0.424 A
n 5
b52
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
b5 0.119 A
ó
b5
4 Ia
n πcos n α( )
b5 0.127 A
n 7
b72
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
b7 0.098 A
ó
b7
4 Ia
n πcos n α( )
b7 0.091 A
subtityendo valores de a0, an y bn en la serie Fourier, se obtiene la expresión
is t( ) 0
1.3...
∞
n
an cos n ω t( ) bn sin n ω t( )
=
Intervalo de tiempo de cálculo o muestra de la gráfica t 0 .00001 0.02 s
Vm 1 V
La función de la tensión de entrada vs t( ) Vm sin ω t( )
is t( ) a1 cos ω t( ) a3 cos 3ω t( ) a5 cos 5ω t( ) b1 sin ω t( ) b3 sin 3ω t( ) b5 sin 5ω t( )
0 5 103 0.01 0.015 0.02
2
1
0
1
2
is t( )
vs t( )
t
Grafico de la corrientes armónicas 1,3,5 y 7:
Intervalo de tiempo de cálculo o muestra de la gráfica t 0 .00001 0.02 s
Grafico de las componentes armónicas de la corriente secundaria por separado:
ia1 t( ) a1 cos 1ω t( ) ia5 t( ) a5 cos 5ω t( )
ia3 t( ) a3 cos 3ω t( ) ia7 t( ) a7 cos 7ω t( )
ib1 t( ) b1 sin 1ω t( ) ib5 t( ) b5 sin 5ω t( )
ib3 t( ) b3 sin 3ω t( ) ib7 t( ) b7 sin 7ω t( )
0 5 103 0.01 0.015 0.02
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
ia1 t( )
ia3 t( )
ia5 t( )
ia7 t( )
ib1 t( )
ib3 t( )
ib5 t( )
ib7 t( )
t
Suma de las armonicas de corrientes:
is t( ) ia1 t( ) ia3 t( ) ia5 t( ) ia7 t( ) ib1 t( ) ib3 t( ) ib5 t( ) ib7 t( )
0 5 103 0.01 0.015 0.02
2
1
0
1
2
is t( )
vs t( )
t
Otro forma de expresar la serie Fourier
iss t( )ao
21.3.5...
∞
n
Cn sin n ω t ϕn
=
donde
ao 0=
Cn an2
bn2
=
Ángulo de desfase de armonica correspondiente ϕn atanan
bn
= n α=
C1 a12
b12
C1 1.273 A
ϕ1 atana1
b1
ϕ1 1.047 rad
ϕ1o
ϕ1 180
π ϕ1o 60 grados
C3 a32
b32
C3 0.424 A
ϕ3 atana3
b3
ϕ3 0 rad
ϕ3o
ϕ3 180
π ϕ3o 7.016 10
15 grados
C5 a52
b52
C5 0.255 A
ϕ5 atana5
b5
ϕ5 1.047 rad
ϕ5o
ϕ5 180
π ϕ5o 60 grados
C7 a72
b72
C7 0.182 A
ϕ7 atana7
b7
ϕ7 1.047 rad
ϕ7o
ϕ7 180
π ϕ7o 60 grados
Graficas de las armonicas de corriente por separado y comparado con vs(t)
is1 t( ) C1 sin 1 ω t ϕ1 is5 t( ) C5 sin 5 ω t ϕ5
is3 t( ) C3 sin 3 ω t ϕ3 is7 t( ) C7 sin 7 ω t ϕ7
0 5 103 0.01 0.015 0.02
2
1
0
1
2
is1 t( )
is3 t( )
is5 t( )
is7 t( )
t
Suma de armónicos
iss t( ) is1 t( ) is3 t( ) is5 t( ) is7 t( )
0 5 103 0.01 0.015 0.02
2
1
0
1
2
iss t( )
vs t( )
t
Valor eficaz de corriente de entrada de la armónica correspondiente
Isn1
2an
2bn
2=
4 Ia
2 n π=
2 2 Ia
n π=
si n 1Is1
1
2a1
2b1
2 Is1 0.9 A
Is1
2 2 Ia
n π Is1 0.9 A
n 3
Is3
2 2 Ia
n π Is3 0.3 A
n 5
Is5
2 2 Ia
n π Is5 0.18 A
n 7
Is7
2 2 Ia
n π Is7 0.129 A
el valor eficaz de corriente de entrada:
Is_rms Is12
Is32
Is52
Is72
Is_rms 0.974
Cálculo del valor eficaz de la serie armónica de la corriente secundaria???
Isrms 2
tdisp
T
2tdisp
t1
Tiss t( )
2
d Isrms 1.378 A
ó
Is
4 Ia
π 21
1
3
2
1
5
2
1
7
2
1
2
Is 0.974 A
cálculo del valor eficaz de la corriente fundamental
Isrms1 2
T
4
T
4
t2
Tia1 t( )
2
d Isrms1 1.559 A
ó
Is1
4 Ia
π 2 Is1 0.9 A
El factor armonico
HFIs
2Is1
2
Is12
0.5
=Is
2
Is12
1
0.5
=
ó
THD HFIs
2
Is12
1
0.5
HF 0.414
b) el angulo de desplazamento ϕ ϕ α DF cos ϕ( )= cos( )=
factor de desplazamiento DF cos α( ) DF 0.5
factor de potencia PFIs1
Is
cos α( ) PF 0.462
B) si el α=π/3, y 120 V y 60 Hz Vs 120 V
Vm 2 Vs Vm 169.706 V
Vcd
2 Vm
πcos α( ) Vcd 54.019 V
y tensió normalizada Vcdn 0.5 p.u.
Is1
2 2 Ia
π
Is1 0.9 A
factor de desplazamiento DF cos α( ) DF 0.5
factor de potencia PFIs1
Is
cos α( ) PF 0.462
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