Mathcad - Calculo de Ejemplo
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Transcript of Mathcad - Calculo de Ejemplo
Ejemplo 10.2, 3ra. Ed. Rashid (5.4, 2da. Ed.)
RECTIFICADOR CONTROLADO 1ϕ DE COMPLETO CON CARGA "RLE" "muy inductiva"
Valor medio de la tension cd depende del ángulo de disparo α
vs t( ) Vm sin ω t( )=
π α
Vcd
α
T
2α
t2
Tvs t( )
d=2Vm
2 πcos ω t( )( )=
α
Así, Vcd (2*Vm/π - 2*Vm/π) con α (0 - π)
Vcd
2Vm
πcos α( )=
el valor máximo de Vcd, cuando α=0Vcdmax
2Vm
π=
Normalizando la tensión cd de salida en relación al valor máximo Vcdn
Vcd
Vcdmax=
resulta Vcdn cos α( )=
α 0 0.1 3.142
0 0.785 1.571 2.357 3.1421
0.5
0
0.5
1
cos α( )
α
Tensión y frecuencia de la fuente Vs 120 V f 60 Hz
relación de vueltas del transformador N1
N21=
Determinar:
A) Expresar la corriente de entrada en la serie Fourier
El Factor armónico de la corriente HF
El factor de desplazamiento DF
El factor de potencia FP
B) para α=π/3 , 120 V y 60 Hz, Factor de desplazamiento DF
Factor de potencia FP Solucion :
El circuito de carga es altamente inductivo y actua como filtro que reduce el rizo decorriente a cero. La tension y la corriente del secundario es alterno pero la corriente esonda cuadrada.
La corriente del secundario (de entrada) es alterna de forma rectangular, puede serexpresada como series Fourier, con términos cos (nωt) y sen(nωt) impares, todos losdemas son iguales a cero.
Frecuencia y velocidad angular de la tension (corriente) ca f 60 Hz
ω 2 π f rad/s
Periódo de onda alternadaT
1
f T 0.017 s
serie Fourier
i t( ) a0
1.2...
∞
n
an cos n ω t( ) bn sin n ω t( )
=
donde a0
1
2 πα
2 π αω t( )i1 t( )
d=1
2 πα
π αω t( )Ia
d
π α
2π αω t( )Ia
d
= 0=
an1
πα
2 π αω t( )i1 t( ) cos n ω t( )
d=
an1
πα
π αω t( )Ia cos n ω t( )
d
α
2π αω t( )Ia cos n ω t( )
d
=
an 4Ia
n π sin n α( )= para n 1= 3 5 ...
an 0= para n 2= 4 6 ...
bn1
πα
2 π αω t( )i1 t( ) sin n ω t( )
d=
bn1
πα
π αω t( )Ia sin n ω t( )
d
α
2π αω t( )Ia sin n ω t( )
d
= 0=
bn 4Ia
n π cos n α( )= para n 1= 3 5 ...
bn 0= para n 2= 4 6 ...
Cálculo de las constantes ao, an, bn: Ia 1 A is t( ) Ia
Ángulo de disparo απ
3
tdispα
ω tdisp 2.778 10
3 s
ao1
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( )
d
tdisp
T
2tdisp
t( )is t( )
d
ao 0 A
n 1
a12
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
a1 1.098 A
ó
a1
4 Ia
n πsin n α( ) a1 1.103 A
n 3
a32
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
a3 8.871 103
A
ó
a3
4 Ia
n πsin n α( ) a3 0 A
n 5
a52
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
a5 0.224 A
ó a5
4 Ia
n πsin n α( ) a5 0.221 A
n 7
a72
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) cos n ω t( )
d
a7 0.153 A
ó
a7
4 Ia
n πsin n α( ) a7 0.158 A
n 1
b12
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
b1 0.644 A
ó b1
4 Ia
n πcos n α( )
b1 0.637 A
n 3
b32
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
b3 0.424 A
ó
b3
4 Ia
n πcos n α( )
b3 0.424 A
n 5
b52
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
b5 0.119 A
ó
b5
4 Ia
n πcos n α( )
b5 0.127 A
n 7
b72
Ttdisp
T
2tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
π tdisp
T tdisp
t( )is t( ) sin n ω t( )
d
b7 0.098 A
ó
b7
4 Ia
n πcos n α( )
b7 0.091 A
subtityendo valores de a0, an y bn en la serie Fourier, se obtiene la expresión
is t( ) 0
1.3...
∞
n
an cos n ω t( ) bn sin n ω t( )
=
Intervalo de tiempo de cálculo o muestra de la gráfica t 0 .00001 0.02 s
Vm 1 V
La función de la tensión de entrada vs t( ) Vm sin ω t( )
is t( ) a1 cos ω t( ) a3 cos 3ω t( ) a5 cos 5ω t( ) b1 sin ω t( ) b3 sin 3ω t( ) b5 sin 5ω t( )
0 5 103 0.01 0.015 0.02
2
1
0
1
2
is t( )
vs t( )
t
Grafico de la corrientes armónicas 1,3,5 y 7:
Intervalo de tiempo de cálculo o muestra de la gráfica t 0 .00001 0.02 s
Grafico de las componentes armónicas de la corriente secundaria por separado:
ia1 t( ) a1 cos 1ω t( ) ia5 t( ) a5 cos 5ω t( )
ia3 t( ) a3 cos 3ω t( ) ia7 t( ) a7 cos 7ω t( )
ib1 t( ) b1 sin 1ω t( ) ib5 t( ) b5 sin 5ω t( )
ib3 t( ) b3 sin 3ω t( ) ib7 t( ) b7 sin 7ω t( )
0 5 103 0.01 0.015 0.02
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
ia1 t( )
ia3 t( )
ia5 t( )
ia7 t( )
ib1 t( )
ib3 t( )
ib5 t( )
ib7 t( )
t
Suma de las armonicas de corrientes:
is t( ) ia1 t( ) ia3 t( ) ia5 t( ) ia7 t( ) ib1 t( ) ib3 t( ) ib5 t( ) ib7 t( )
0 5 103 0.01 0.015 0.02
2
1
0
1
2
is t( )
vs t( )
t
Otro forma de expresar la serie Fourier
iss t( )ao
21.3.5...
∞
n
Cn sin n ω t ϕn
=
donde
ao 0=
Cn an2
bn2
=
Ángulo de desfase de armonica correspondiente ϕn atanan
bn
= n α=
C1 a12
b12
C1 1.273 A
ϕ1 atana1
b1
ϕ1 1.047 rad
ϕ1o
ϕ1 180
π ϕ1o 60 grados
C3 a32
b32
C3 0.424 A
ϕ3 atana3
b3
ϕ3 0 rad
ϕ3o
ϕ3 180
π ϕ3o 7.016 10
15 grados
C5 a52
b52
C5 0.255 A
ϕ5 atana5
b5
ϕ5 1.047 rad
ϕ5o
ϕ5 180
π ϕ5o 60 grados
C7 a72
b72
C7 0.182 A
ϕ7 atana7
b7
ϕ7 1.047 rad
ϕ7o
ϕ7 180
π ϕ7o 60 grados
Graficas de las armonicas de corriente por separado y comparado con vs(t)
is1 t( ) C1 sin 1 ω t ϕ1 is5 t( ) C5 sin 5 ω t ϕ5
is3 t( ) C3 sin 3 ω t ϕ3 is7 t( ) C7 sin 7 ω t ϕ7
0 5 103 0.01 0.015 0.02
2
1
0
1
2
is1 t( )
is3 t( )
is5 t( )
is7 t( )
t
Suma de armónicos
iss t( ) is1 t( ) is3 t( ) is5 t( ) is7 t( )
0 5 103 0.01 0.015 0.02
2
1
0
1
2
iss t( )
vs t( )
t
Valor eficaz de corriente de entrada de la armónica correspondiente
Isn1
2an
2bn
2=
4 Ia
2 n π=
2 2 Ia
n π=
si n 1Is1
1
2a1
2b1
2 Is1 0.9 A
Is1
2 2 Ia
n π Is1 0.9 A
n 3
Is3
2 2 Ia
n π Is3 0.3 A
n 5
Is5
2 2 Ia
n π Is5 0.18 A
n 7
Is7
2 2 Ia
n π Is7 0.129 A
el valor eficaz de corriente de entrada:
Is_rms Is12
Is32
Is52
Is72
Is_rms 0.974
Cálculo del valor eficaz de la serie armónica de la corriente secundaria???
Isrms 2
tdisp
T
2tdisp
t1
Tiss t( )
2
d Isrms 1.378 A
ó
Is
4 Ia
π 21
1
3
2
1
5
2
1
7
2
1
2
Is 0.974 A
cálculo del valor eficaz de la corriente fundamental
Isrms1 2
T
4
T
4
t2
Tia1 t( )
2
d Isrms1 1.559 A
ó
Is1
4 Ia
π 2 Is1 0.9 A
El factor armonico
HFIs
2Is1
2
Is12
0.5
=Is
2
Is12
1
0.5
=
ó
THD HFIs
2
Is12
1
0.5
HF 0.414
b) el angulo de desplazamento ϕ ϕ α DF cos ϕ( )= cos( )=
factor de desplazamiento DF cos α( ) DF 0.5
factor de potencia PFIs1
Is
cos α( ) PF 0.462
B) si el α=π/3, y 120 V y 60 Hz Vs 120 V
Vm 2 Vs Vm 169.706 V
Vcd
2 Vm
πcos α( ) Vcd 54.019 V
y tensió normalizada Vcdn 0.5 p.u.
Is1
2 2 Ia
π
Is1 0.9 A
factor de desplazamiento DF cos α( ) DF 0.5
factor de potencia PFIs1
Is
cos α( ) PF 0.462