MATEMÁTICA 2º BÁSICOPROFESSOR: Patric Machado de Menezes.
Escola Érico Veríssimo – Erechim-RS
HORÁRIO
segunda terça quarta quinta sexta
1º
2º
3º
4º
5º
AVALIAÇÕES E TRABALHOS
NOME:___________________________________________________________________________
SÉRIE: ________ TURMA:__________ Nº_____________
ENDEREÇO: __________________________________________________________ N°: ______
COMPLEMENTO: ____________
E-mail: _________________________________ FONE: ____________
SEQUÊNCIAS E PADRÕES
Nesta atividade, você via trabalhar com sequências que tem regularidade, que lhe permitem perceber padrões e fazer generalizações.
TRABALHANDO COM SEQUÊNCIAS FIGURAIS
1. Observe a sequência de quadrados das figuras abaixo e responda:
a) Qual o próximo quadrado da sequência? E o seguinte? Desenhe-os.
b) Quantos quadrados tem o contorno do 3º quadrado ?
c) Como você calculou a quantidade de quadrinhos do contorno do 3º quadrado? Escreva uma sentença matemática que expresse esse cálculo?
d) Como você pode calcular a quantidade de quadradinhos do contorno do 4º quadrado?
e) E do 5º quadrado?
f) Sem desenhar os quadradinhos, como você calcularia o total de quadradinhos do contorno do 6º quadrado? Escreva uma sentença matemática que expresse esse cálculo?
g) E do 9º quadrado? E do 20º?
Os Padrões e a Matemática
O mundo ao seu redor está repleto de padrões. Os padrões são encontrados nos papéis de parede, nas rendas que enfeitam as prateleiras, nos azulejos e mosaicos que ornamentam as fachadas das casas, os templos e os monumentos. Percebemos regularidades numa espiga de milho, nas escamas de um peixe ou nos batimentos cardíacos. Os padrões são utilizados por pintores e poetas em suas criações, onde formas, cores ou palavras combinam-se harmoniosamente. Padrões são encontrados em sequência regulares, irregulares ou até caóticas e são objeto de estudo da Matemática. “A Matemática, a ciência dos padrões, é uma forma de contemplar o mundo em que vivemos” (DEVLIN, 2002, p.12).
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/materiais/exercicio-frisos.htm
h) Quantos quadradinhos existem no contorno de um quadrado numa posição qualquer?Represente a posição qualquer pela letra n, complete o quadrado abaixo e escreva a expressão matemática que expressa essa relação.
Posição do quarado na sequência 1 2 3 4 5 6 ... 9 ... 20 ... n
Número de quadradinhos do contorno
2. Agora, observe a sequência de figuras abaixo que são formadas por pontos e responda:
a) Qual a próxima figura dessa sequência? Desenhe-a.
b) E a seguinte? Desenhe-a.
c) Como cada figura se transforma na figura seguinte?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
d) Quantos pontos tem a 6º figura? .........................................................................................................
e) E a 10º figura? Quantos pontos ela tem? (desenhe-a, se você achar necessário)
..................................................................................................................................................................
f) Como é a 28º figura? Quantos pontos ela tem? ...................................................................................
g) Quantos pontos tem uma figura numa posição qualquer? Para responder a essa pergunta, complete a tabela abaixo com os dados que você já tem, represente a posição qualquer pela letra n, e escreva a expressão matemática a ela correspondente.
Posição do quarado na sequência 1 2 3 4 5 6 ... 10 ... 28 ... n
Número de quadradinhos do contorno
3. Observe a sequência de quadrados das figuras abaixo e responda:
a) Qual a próxima figura dessa sequência? Desenhe-a.
b) Escreva a expressão matemática que represente o número de quadradinhos em uma posição qualquer.
SEQUÊNCIA
Ao ordenarmos os elementos de um conjunto formamos uma sequência ou sucessão.
Exemplo:
Vamos considerar algumas medidas de temperatura do ar atmosférico, no período do dia:1º medida de 11°C2º medida de 15°C3º medida de 18°C4º medida de 21°C5º medida de 17°C6º medida de 16°C
Dizemos que os valores de temperaturas formam, nesta ordem, uma sequência e cada um desses valores chamamos de termos da sequência, podendo indicá-los da seguinte forma:
• primeiro termo: a1=11ºC
• segundo termo: a2=15ºC • terceiro termo: a3=18ºC
Indicamos os elementos por a1 , a2 , a3 , e assim por diante, até um termo qualquer que indicaremos por an , também chamado de termo geral.
• Finita: (a1 , a2 , a3 , ... , an)
• Infinita:(a1 , a2 , a3 , ...)
PROGRESSÕES ARITMÉTRICA (PA)
Temos uma sequência de números reais:
(2, 5, 8, 11, ...)
Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado ao número 3:
a1 a2 a3 a4
(2, 5, 8, 11, ...)
2 + 3 5 + 3 8 + 3
De um modo geral, chamamos de progressão aritmética (PA) a toda sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, denominada razão (r).
Representação: (a1 , a2 , a3 , ... , an)
• a1 : primeiro termo• n : número de termos• r : razão
Exemplos:
1) (1, 3, 5, 7, 9) PA finita, onde {a1=1r=2n=5
2) (3, 7, 11, ...) PA infinita, onde {a1=3r=4
3) (−8,−5,−2, 1, 4, 7) PA finita, onde {a1=−8
r=3n=6
4) (12
,76
,116
, ...) PA infinita, onde {a1=12
r=23
5) (9, 9, 9, 9, 9, 9, 9) PA finita, onde {a1=9r=0n=7
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
• Crescente → Uma PA é crescente quando a razão (r) é positiva.r > 0 Exemplo: ( 2 , 7, 12, ... ) PA crescente pois r >0 (r=5)
• Constante → Uma PA é constante quando a razão (r) é zero.r = 0 Exemplo: ( 3 , 3, 3, 3, 3, 3, 3... ) PA crescente pois r >0 (r=0)
• Decrescente → Uma PA é decrescente quando a razão (r) é negativa.r < 0 Exemplo: ( 9 , 4, -1, ... ) PA crescente pois r >0 (r=-5)
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Descrevendo alguns termos de uma PA, obtemos a fórmula do termo geral:a1=a1
a2=a1+ra3=a1+2ra4=a1+3r
. . . . . .
. . .an=a1+(n−1)r
Para determinar a razão de uma PA, basta identificarmos a diferença entre um termo, a partir do segundo, a seu antecessor.
Notando que o coeficiente de r em cada termo é uma unidade inferior ao índice do termo considerado, obtemos a fórmula do termo geral
Exercícios resolvidos
R1) Determine o décimo termo da PA (2, 5, 8, ...)...........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R2) Determine o primeiro termo de uma PA em que o vigésimo termo é igual a 99 e a razão é igual a 5...........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R3) Determine a razão de uma PA, em que o décimo termo quarto termo é igual a 136 e o primeiro termo é igual a 6...........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R4) Determinar o número de termos da PA (8 , 13, 18, ... , 93)...........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
an=a1+(n−1)r
R5 ) Calcular a razão de uma PA, sabendo que o primeiro termo é o triplo da razão e que a23=50...........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R6) Sabendo que (x+1) ,(3x−2)e (2x+4) formam, nesta ordem, uma PA, calcular o valor de x e a razão desta PA...........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R7) (Mack-SP) Calcular a razão de uma PA de 12 termos, cujos extremos são −28 e 60.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
Exercícios
1) Determine o décimo segundo termo da PA (4, 6, 8, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
2) Determine o vigésimo termo da PA (1, 8, 15, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
3) Determine o décimo sétimo termo da PA (−6,−1, 4, ...) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
4) Determine o oitavo termo da PA (1,32
, ...) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
5) Obtenha o primeiro termo de uma PA, sendo o décimo termo igual a 51 e a razão igual a 5.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
6) Obtenha a razão de uma PA, sendo o vigésimo termo igual a 192 e o primeiro termo igual a 2.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
7) Qual é o primeiro termo de uma PA em que a16=53 e r=4.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
8) Qual é a razão e uma PA em que a26=140 e a1=10?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
9) Determine o número de termos da PA (−6,−9,−12, ... ,−66) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
10) Numa PA o primeiro termo é igual a razão e a14=84 . Calcule a1 e a razão.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
11) Escreva a PA em que o primeiro termo é o dobro da razão e o trigésimo termo é igual a 93.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
12) Escreva a PA em que a razão é a terça parte do primeiro termo e o nono temor é igual a −11.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
13) Determine o valor de x, de modo que os termos (x+3) ,(4x−2)e (x−1) formem, nesta ordem,
uma PA.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
PROPRIEDADES DE UM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
PROPRIEDADE 1
Sendo a PA (a, b, c, ...), temos:
Exemplo:
Dados três termos em PA (4,9,14), temos:
PROPRIEDADE 2:
Sendo a PA (2, 5, 8, 11⏟
8+11=19
, 14⏟
5+14=19
, 17⏞Extremos : 2+17+19
)
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Em uma progressão aritmética, ao considerarmos três termos consecutivos, o termo do meio é igual à medida aritmética dos extremos.
b=a+c
2
9=4+14
2
A soma de dois números equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual a soma dos extremos.
Sn=(a1+an) .n
2
R9) Determinar a soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 5, 8, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R10) Determinar a soma dos números naturais pares compreendidos entre 1 e 101.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R11) Determinar a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 7 e 121.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
Exercícios
14) Determine a soma dos 18 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
15) Determine a soma dos 25 primeiros termos da PA (−7,−9,−11,...) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
16) Determine a soma dos 30 primeiros termos da PA (−15,−11,−7, ...) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
17) Qual é a soma dos 50 primeiros números naturais ímpares?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
18) Qual é a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 11 e 100?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
19) Qual é a soma dos múltiplos de 7 entre 20 e 1000?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
20) Determine a soma dos números pares positivos, menores que 101.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
21) Escreva a PA em que o primeiro termo é igual à razão e o vigésimo termo é igual a −100.
Determine, também, a soma de seus vinte primeiros termos.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
Progressão geométrica é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao
produto do seu termo precedente por uma constante, denominada razão q da progressão geométrica.
Exemplos:
1) (2, 4, 8) PG finita razão q=2
2) (5, 15, 45,...) PG infinita razão q=3
3) (−1,−4,−16, ...) PG infinita razão q=4
4) (13
,215
,4
75, ...) PG infinita razão q=
25
5) (−7, 14, 28, 56) PG finita razão q=−2
Para achar a razão de uma PG dada através de uma sequência de número não-nulos, basta dividir qualquer termo a partir do segundo pelo seu antecessor.
Escrevendo uma sequência de termos (a1 , a2 , a3 , a4) em uma PG, a razão q pode ser escrita
como:
a4
a3
=a3
a2
=a2
a1
=q
Exemplo :
Considerando a PG (7, 21, 63, 189) , temos:
q=18963
=6321
=217
=3 ou q=3
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
• Crescente: quanto cada termo a partir do segundo é maior que seu antecessor:
(2, 6, 18, ...) q=3
• Decrescente: quando cada termo a partir do segundo é menor que seu antecessor:
(40, 10, 20, ...) q=12
• Constante: quando cada termo a partir do segundo é igual a seu antecessor:
(5, 5, 5, 5,....) q=1
• Oscilante: quando cada termo a partir do segundo tem sinal contrário ao seu antecessor:
(−7, 21,−63,...) q=−3
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Escrevendo a PG (a1 , a2 , a3 , a4 , ... , an) , vimos que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu antecessor pela razão q:
a2=a1 .qa3=a1.q²a4=a1.q³
. . . . . .
an=a1 .qn−1
Exercícios resolvidos
R12) Representar a progressão geométrica de cinco termos, sendo: {a1=5q=2
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R13) Representar a progressão geométrica de infinitos termos, sendo: {a4=5
q=12
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
R14) Determinar o sétimo termo da PG (1, 3, 9, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
R15) Determinar o décimo termo da PG ( 2, 4, 8, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
R16)Determinar o nono termo da PG (81, 27, 9, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R17) Determinar o primeiro termo de uma progressão geométrica, sendo a6=96 e q=2.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R18) Qual é a razão de uma progressão geométrica, em que a1=5 e a4=135 ?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R19) Determinar o número de termos da PG (−1,−2,−4, ... ,−512).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R20) Obter o valor de x de modo que a sequência 8, x , 2 forme, nesta ordem, uma progressão
geométrica.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R21)(PUC-SP) Qual o valor de x, se a sequência 4x , 2x+a , x−1 é uma PG?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
Exercícios
22) Represente a progressão geométrica de seis termos, sendo a1=3 e q=2.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
23) Represente a progressão geométrica de cinco termo, sendo a1=−181
e q=3.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
24) Represente a progressão geométrica de infinitos termos, sendo a1=14
e q=−4.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
25) Determine o décimo primeiro termo da PG (1, 2, 4, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
26) Determine o oitavo termo da PG (1, 3, 9, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
27) Determine o nono termo da PG (1
16,
18
,14
, ...) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
28) Determine o primeiro termo de uma PG, sendo a7=320 e q=2.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
29) Determine o primeiro termo de uma PG, sendo a8=1 e q=12.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
30) Qual a razão de uma PG em que a1=−3 e a9=−768?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
31) (UGF-RJ) Calcule a razão de uma progressão geométrica, na qual o primeiro termo é 12
e o quarto
termo é 127
.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
32) Qual é o número de termos de uma PG cujo primeiro termo é igual a 12
, a razão é igual a 2 e o
último termo é igual a 128?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
33) Quantos termos tem uma PG cujo primeiro termo é 19
, a razão é 3 e o último termo é igual a 127?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
34) Qual e o termo igual a 192 na PG (3, 6, 12, ...)?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
35) Qual é o termo igual a 125 na PG (125
,15
, 1, ...)?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
36) Sendo 1, x, 9, três primeiros termos consecutivos de uma PG, determine o valor de x.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
37) Obtenha o valor de x de modo que a sequência 6, x, 24 forme, nessa ordem, uma progressão
geométrica crescente.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
38) Qual o valor de x, se a sequência 4x , 2x+3, x+5 é uma PG?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
39) Qual o valor de n, se a sequência n−1, 2n+1, 4n é uma PG?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
SOMA DOS n TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Escrevendo a PG de n termos, PG (a1 , a2 , a3 , ... , an) podemos demonstrar a fórmula para o
cálculo da soma desses n termos, que é a seguinte: Sendo:
para q≠1
Sn :Soma don termosa1: primeiro termon :número de termosq : razãoda PG
Sn=a1 .( 1−qn
1−q )
Exercícios resolvidos
R22) Calcular a soma dos nove primeiros termos da PG (3, 6, 12, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R23) Calcular a soma dos cinco primeiros termos de uma PG, sabendo que o quinto termo é 162 e que a
razão é igual a 3.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
Exercícios
40) Calcular a soma dos sete primeiros termos da PG (1, 3, 9, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
41) Calcular a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 4, 8, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
42) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (−3,−6,−12, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
43) Calcule a soma dos seis primeiros termos da PG (1
81,
127
,19
, ...) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
44) Calcule a soma dos onze primeiros termos da PG (132
,1
16,
18
, ...) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
45) Determine a soma dos seis primeiros termos de uma PG, sabendo que o sexto termo é 160 e que a
razão é igual a 2.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
46) Determine a soma dos cinco primeiros termos de uma PG, sabendo que o quinto termo é −81
e que a razão é igual a 3.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
47) Determine a soma dos sete primeiros termos de uma PG, sabendo que o sétimo termo é igual a 320 e
que a razão é igual a 2.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
48) Determine a soam dos dez primeiros termos de uma PG, sabendo que o décimo termo é igual a 1 e
que a razão é igual a −1.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA
Dada uma PG infinita (a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) , sendo a razão q diferente de zero (q≠0) , e
−1<q<1.
Exemplo:
(1,13
,19
,127
, ...) onde {a1=1
q=13
Observe que, quando o número de termos (n) aumenta indefinidamente, o termo (an) tende a
zero.
Em símbolos:
limn→∞
an=0 ou seja, o limite de an , para n tendendo a infinito, é igual a zero, onde a soma (S)
dos infinitos termos pode ser obtida aplicando a fórmula:
onde {a1 é o primeiro termoq é arazão
Exercícios
R24) Determine a soma dos termos da PG infinita (1,13
,19
,1
27, ...)
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R25) Calcular a soma (10−1+10−2
+10−3+...)
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R26) (FEI-SP) Determine x na igualdade x+x2+
x4+
x8+ ...=20.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
S=a1
1−q
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
49) Determine a soma dos termos da PG infinita (1,12
,14
, ...) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
50) Determine a soma dos termos da PG infinita (15
,1
20,
180
, ...) .
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
51) Determine a soma dos termos da PG infinita (1 ,−13
,19
, ...).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
52) (PUC-SP) Calcule a soma S=3 +32
+34
+38
+ ...
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
53) Calcule a soma S=1+10−1 +10−2+ ...
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
54) (Mack-SP) Calcule S=110
+2
102+
3
103+
4
104+ ...
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
55) Determine o valor de x na igualdade : x +x3
+x9
+x
27+=12
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
56) Numa PG de infinitos termos, o primeiro termo é igual a 152
e a soma (S) dos termos é igual a 15.
Determine o valor da razão (q).
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é uma ramo da Matemática que tem por objetivo resolver problemas que
consiste basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Possui aplicação direta no
cálculo das probabilidades, sendo instrumento vital importância para a ciências, como na Genétrica e na
Estatística.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Sabendo que um acontecimento ocorre em duas situações e independentes, temos:
1º situação: ocorre de a maneiras.
2º situação: ocorre de b maneiras.
O número total de possibilidades de ocorrência de acontecimento é dado pelo produto a.b
Exemplo:
Um rapaz possui quatro gravatas e três camisas. De quantos modos diferentes ele pode se vestir?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
Exercícios Resolvidos
R1) Três estudantes, Renato, José e Cristina, disputam um torneio de xadrez onde são atribuídos prêmios
ao campeão e a o vice-campeão. De quantas maneiras os prêmios poder ser distribuídos?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R2) Em quantas ordens diferentes 4 pessoas poem se sentar num sofá de 4 lugares?
X X X = 24
A árvore mostra todos os modos possíveis de as 4 pessoas se sentarem num sofá de 4 lugares, ou
seja:
4 . 3 . 2 . 1 = 24 24 possibilidades
P1
P2
P3
P4
P1
P2 P3
P4
P1
P2P3
P4
P1
P2
P3
P4
P4P3
P4
P4
P2
P2
P3
P3
P4
P4
P3
P1
P1
P4
P4
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P3
P3
P3
P2
P3
P2
P4
P4
P3
P1
P3
P1
P4
P4
P2
P4
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P3
P3
4 3 2 1
Exercícios
1) Uma moça possui cinco blusas e duas saias. De quantos modo diferentes ela pode se vestir?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
2) Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
3) Num clube existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Um sócio do clube pretende ir
à sala de jogos, que está situada no 6º andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras
diferentes poderá fazê-lo?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
4) Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
5) Uma pessoa possui dez envelopes diferentes e oito selos diferentes. De quantos modos essa pessoa
pode enviar uma carta, utilizando um envelope e um selo?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
6) De quantos modos 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
7) (Unicamp-SP) Sabendo que número de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos
diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
8) (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si, todas elas devem ser usadas para pintar a 5 letras
da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas
com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso?
a) 4 b) 36 c) 28 d) 120 e) 24
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
9) (UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados S1 e S2 e 3 ruas ligando os supermercados
S2 e S3 . para ir de S1 a S3 , passando por S2 , o número de trajetos diferentes que podem
ser utilizados é:
a) 15 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
10) (Mack-SP) Com números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles,
são divisíveis por 5:
a) 20 números b) 30 números c) 60 números d) 120 números e) 180 números
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
FATORIAL
Considerando um número n, sendo n∈N e n > 1, temos:
onde
Exemplos:
1) 2! = ...................................................... 3) 4!=......................................................
2) 3! = ...................................................... 4) 5!=......................................................
Exercícios resolvidos
R2) Simplificar as expressões:
a) 3!2!
b)12!10 !
c)4 !+5 !
4 !d)
(n+1) !(n−1) !
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R3) Resolver a equação: (x+2)!
x !=6
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
n !=n.(n−1) .(n−2). ... .1 {a leitura do símbolo n !é n fatorialn !é o produto de todos os números den até 1 por definição :
0!=11!=1
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
11) Calcule o valor dos seguintes números fatoriais:
a) 0! g) 3 !−2!
b) 1! h) 0 !+1!
c) 4! i) (2!) (3!)
d) 5! j) (0!) (5!)
e) 1!+3 ! l) ( 0!) (5!)
f) 1!+4 ! m) 0 !+1!
12) Simplifique as seguintes expressões:
a)8!9!
............................................................................................................................................................
b) 15 !13 !
.........................................................................................................................................................
c) 4 !6 !
...........................................................................................................................................................
d)6 !
5 !2 ! .......................................................................................................................................................
e) 8!
4 !6 !.......................................................................................................................................................
f) 2 . 4 !4 !4 !
.......................................................................................................................................................
13) Simplifique as seguintes expressões:
a)n !
(n−1)!....................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
b) x !
(x−2)!..................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
c) (x+1)!
n !..................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
d)(2x+2)!(2x)!
.................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
e) x !(x+2)!
(x−1)!(x+1)!......................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
f) (n−1) !+(n−2)!
n!...................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
14) Determine o valor de x, de modo que se tenha:
a) x !=1 b) x!=24 c) x !=720 d) x !=x
..........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
15) Resolva as seguintes equações:
a) (x+1)!(n−1)!
=12
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
16)n !
(n−2)!=20
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
17)(n−1) !(n+2)!
n !(n+1)!=2
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutação de um número n de elementos distintos é qualquer grupo ornado desses n elementos.
Para cálculo das permutações simples, usamos:
Leitura: Permutação de n elementos distintos é igual a n fatorial.
Exemplo:
Calcular o número de anagramas da palavras LÁPIS.
Observação: Anagramas são palavras com ou sem sentido.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R4) Considere a palavra DILEMA e determine:
a) O número total de anagramas;
..........................................................................................................................................................................
b) O número de anagramas que começam com a letra D;
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
c) O número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a letra A;
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
d)O número de anagramas que começam por vogal.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
18) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra LIVRO?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
19) Quantos são os anagramas da palavra LIVRO que começam por vogal?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
20) Quantas são os anagramas da palavra LIVRO que começam por consoantes?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
Pn=n !
21) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ADESIVO?
..........................................................................................................................................................................
22) Quantos são os anagramas da palavra ADESIVO que começam a letra D?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
23) Quantos são os anagramas da palavra ADESIVO que começam com a letra D e terminam com a letra
V?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
24) Quantos anagramas da palavra FUVEST possuem as vogais juntas?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
25) De quantos modos 6 pessoas podem se sentar em cinco cadeiras, em fila?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
ARRANJO SIMPLES
Chamamos de arranjo simples a todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos
formar com n elementos distintos, sendo p⩽n , onde cada um desses agrupamentos se diferencia do
outro pela ordem ou natureza de seus elementos.
Para cálculo do número de arranjos simples, usamos:
Leitura An , p : Arranjo de n elementos tomados de p a p.
Exemplo:A5, 2= .........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
Exercício resolvidos:
R5) Resolver a equação:
An , 2=6
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
An , p=n !
(n− p)!
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R6) Uma escola possui 18 professores. De quantas maneiras podem ser escolhidos: um diretor, um vice-
diretor e um coordenador pedagógico?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
Exercícios
26) Calcule:
a) A4, 3 b) A5, 2 c) A12, 3 d)A4, 2
A6, 5
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
27) Resolva as equações:
a) An , 2=30 b)An , 4
An , 3
=8
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
28) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto
E={1, 2, 3, 4, 5}.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
29) Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, dos quais serão escolhidos três para os cargos
de: diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
30) Um pintor deseja pintar as letras da palavra LIVRE em um cartaz de publicidade usando cores
diferentes. E quantos modos pode ser feito, se dispõe de 8 tintas de cores diferentes?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
31) Em um ônibus, há sete lugares vagos. De quantas maneiras diferentes podem duas pessoas se sentar?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
32) (UFBA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4
lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigia uma vez. Combinaram
também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. O número
de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante toda viagem é:
a) 4 b) 8 c) 12 d) 24 e) 162
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
33) De quantos modos podem-se arrumar 4 livros de Matemática, 3 de Geografia e 2 de Biologia, numa
estante, de modo que:
a) fiquem dispostos em qualquer ordem?
b) os livros de mesmo assunto fiquem juntos?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
COMBIANÇÃO SIMPLES
Chamamos de combinação simples, todos agrupamentos simples de p elementos que podemos
formar com n elementos distintos, sendo p⩽n , onde cada um desses agrupamentos se diferencia do
outro, apenas pela natureza de seus elementos.
Para o cálculo do número de combinações simples usamos:
Leitura Cn , p : Combinação de n elementos tomados de p a p.
Exemplo:C5, 2= .........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
Exercício resolvidos:
R7) Resolver a equação:
C x , 2=6
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
Cn , p=n !
p !(n− p)!
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R8) Uma escola possui 9 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um
congresso. De quantos modos pode ser feita a escolha ?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
34) Calcule:
a) C5, 3 b) C7, 5 c) C6, 2 d)C10, 3
C5, 3
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
35) Resolva as equações:
a) Cn , 2=6 b) Cn , 4=4 C n, 3
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
36) De quantos modos podemos iluminar um galpão que possui 10 lâmpadas, sabendo que ficam acesas
sempre 4 lâmpadas?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
37) Quantos subconjuntos de 4 elementos possuiu um conjunto de 6 elementos?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
38) Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembleia de 12 participantes?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
39) Uma papelaria possui 8 cadernos diferentes. Querendo comprar apenas três, de quantas maneiras
pode ser feita a escolha das cores?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
40) O número de combinações de n objetos distintos tomados 2 a 2 é 15. Determine n.
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
41) (Fatec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. O número total de lugas que podem ser
realizadas entre os inscritos é:
a) 12 b) 24 c) 33 d) 66 e) 132
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
42) Qual a diferença entre arranjo simples e combinação?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
43) Resolva os problema de arranjo simples, permutação e combinação simples.
a) Quantos números de dois algarismos podem ser escritos com os algarismos 2, 3 e 4 ?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
b) O diretório acadêmico de uma faculdade possui 12 membros, dos quais serão escolhidos 4 para os
cargos de presidente, vice-presidente, tesoureiro e secretário. De quantas maneiras pode ser feita a
escolha?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
c) Um estudante possui 9 folhas de papel, de cores diferentes e que encapar 3 cadernos, um de cada cor.
Quantas são as maneiras possíveis?
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
d) Determine o número de diagonais do pentágono (polígono de 5 lados).
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
Um conjunto foi escrito com n elementos. Um dos elementos foi repedido α (alfa) vezes, outro
elemento foi repetido β (beta) vezes e assim por diante, até um elemento γ (gama) vezes.
O número de permutações que se pode obter com os elementos é:
Exemplo:
Qual é o número de anagramas que podemos forma com as letras da palavra INFINITO?
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
44) Qual é o número de anagramas podemos formar com as letras da palavra URUGUAY?
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
45) (Unicamp-SP) As avenidas de uma cidade estão dispostas na direção norte-sul e as ruas na direção
leste-oeste. Um trabalhador, que reside numa das esquinas dessa cidade, trabalha numa firma localizada
em outra esquina, 2 quadras ao sul e 3 quadras a leste. Quantos caminhos (possíveis) o trabalhador pode
seguir de sua casa à fábrica, percorrendo sempre a menor distância?
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
pn(α , β , ... , γ)
=n !
α !β ! , ..., γ !
NÚMERO BINOMIAIS
Se n e p são dois números, tais que {n , p}⊂N e n⩾p , chama-se número binomial de classe
p do número n ao número:
Notamos que : (n0)=Cn , p
Exemplos:
1) (62)= ........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
2) (43 )= ........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
CASOS NOTÁVEIS
1)
Exemplo:
(30)= ...........................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
2)
Exemplo:
(21)= ............................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
(np)= n!
p !(n−p) !
(n0)= n !0 ! (n−0)!
=n !
1 . n !=1
(n1)= n !1 !(n−1)!
=n !(n−1)!(n−1) !
= n
3)
Exemplo:
(55)= ............................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS
PROPRIEDADE 1:
Se (np)=(nq) temos :{
p=qou
p+q =n
Exemplo:
(53)=(52) ......................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
PROPRIEDADE 2:
Relação de Stifel
(np)+( n
p+1)=(n+1p+1)
Exemplo:
(64)+(65)=(75)
Exercícios resolvidos
R9) Determinar:
a) (53)= b) (30)+(41)+(55)
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
(nn)= n !n !(n−n)!
=n !
n! 0 !=1
R10) Resolver a equação: (5x)=(52)
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
R11) Determinar (86)=(87)
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
Exercícios
45) Calcule:
a) (62) ..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
b) (54) ..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
c) (76) ..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
d) (108 ) .........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
46) Simplifique as expressões:
a) (20)+(77) .................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
b) (41)−(80) .................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
c) (50)+(51)+(55) ..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
47) Simplifique as expressões aplicando a relação de stifel:
a) (52)−(53) b) (107 )−(10
8 )..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
48) Determine o conjunto verdade das equações:
a) (7x)=(73) ................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
b) (26)=(8x ) ................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
c) (x6)=( x
4) ................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
(Sugestão: Comparar com a relação de Stifel.)
d) (x2)+( x
3)=(73) ........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
e) (x4)+(x
5)=(75) ........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
BINÔMIO DE NEWTON
Em matemática, binómio de Newton (português europeu) ou binômio de Newton (português brasileiro) permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para (a + b)n quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.
Isaac Newton (1642-1727)
Supondo um número natural n, n ∈ N , podemos considerar a expressão:
Considere alguns valores para n, temos:a) n=0
(x+a)0=(00)
b) n=1
(x+a)1=(10) x1 a0
+(11) x0a1
c) n=2
(x+a)2=(20) x2 a0
+(21) x1a1
+(22) x0a2
(x+a)n=(n0) xn a0
+(n1)xn−1 a1+(n2) xn−2a2
+ ...+(nn) x0a0
d) n=3
(x+a)3=(30) x3a0
+(31)x2 a1
+(32)x1 a2+(3
3) x0 a3
TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON
Todo termo do desenvolvimento do binômio de Newton pode ser representado pela expressão:
Exemplo:
Determinar o termo x3 no desenvolvimento do binômio (x+4)5 .
Exercícios
49) Desenvolva os seguintes binômios:
a) (x+1) ³ ...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
b) (x+3)⁴ ...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
c) (x+2)⁵ ...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
T p+1=(n0) xn− p . ap
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
d) (x−1) ³ ...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
e) (x−3) ² ...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
f) (x−2)⁴ .....................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
50) Determine o termo em x³ no desenvolvimento dos binômios:
a) (x+2)6
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
b) (x+3)8
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
51) Determine o termo em x5 no desenvolvimento dos binômios:
a) (x+2)7
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
b) (x−1)6
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
TRIÂNGULO DE PASCAL
A determinação de números binomiais pode ser obtida por meio de um dispositivo prático
chamado triângulo de Pascal, que é construído com base na teoria e propriedades dos números binomiais.
p0 1 2 3 4 5 6
n
0 (00)1 (10) (11)2 (20) (21) (22)3 (30) (31) (32) (33)4 (4
0) (41) (4
2) (43 ) (4
4)5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)6...
(60)...
(61)...
(62)...
(63)...
(64)...
(65)...
(66)...
Verifique no triângulo de Pascal as seguintes propriedades:
1º) Um “cateto” e a “hipotenusa” do triângulo de Pascal são formados por 1.
2º) Em cada linha os termos equidistantes dos extremos são iguais.
3º) A soma de dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento da linha seguinte,
4º) A soma dos elementos de cada linha do triângulo é um potência de 2, cujo expoente é o número da
linha.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3 3
4 6 4
5 10 10 5
6 15 20 15 6
ou
Top Related