Matemática I
Engenharia Civil
22001111 // 22001122
Departamento de Matemática
Complementos de Cálculo Diferencial em IR
MAT Matemática I - Civil 2/13
Função módulo, exponencial e logarítmica 1. Considere as funções:
( ) 4−−= xxr ; ( ) ( )xrxs +−= 3 e ( ) ( )xrxt +−= 3 .
1.1 Defina analiticamente as funções ( )xs e ( )xt . Represente-as geometricamente.
1.2 Determine os zeros da função ( )xs .
1.3 Innddiiqquuee ssuubbiinntteerrvvaallooss ddoo ddoommíínniioo ddee ( )xs eemm qquuee aa ffuunnççããoo éé iinnjjeeccttiivvaa..
1.4 Determine ( )
=−+
−∈= 5221
4: xr
xrIRxT .
2. CCaallccuullee::
2.1 1log5log81log4log 7125321 +++ ;; 2.2
4 301.04
31
21
1ln10log2log
91
log8loge
−+++ .
3. Se ( )dcbaA ln3ln21
ln2ln31
ln +−+= ,, eessccrreevvaa A ccoommoo ffuunnççããoo ddee dcba e,, ..
4. RReessoollvvaa ccaaddaa uummaa ddaass sseegguuiinntteess eeqquuaaççõõeess::
4.1 ( ) xx 33 log12log −=+ ; 4.2 ( ) ( ) 014log1log2 22 =++−+ xx ..
5. Considere a função ( ) 121 −+−= xxf .
5.1 Determine o domínio e o contradomínio da função f .
5.2 Calcule a função inversa ( )xf 1− .
5.3 Mostre que ( ) ( ) 3log25
723
1 =+ −ff .
6. Considere a função ( )1
3−
−=
x
x
xxf .(modificado)
6.1 Defina analiticamente a função f e determine o domínio e o contradomínio.
6.2 Considerando a função ( ) ( )xfxg = , Ix∈∀ , em que ] [0,∞−=I , calcule
−
211g .
7. Considere a função ( )
+=
19
log3 xxf .
7.1 Determine o domínio e o contradomínio da função f .
7.2 Calcule ( )31−f .
7.3 Determine o conjunto solução da equação ( ) 13
2 =
++x
fxf .
8. Seja dada a função ( )( )
−=
321
8log
xxf .
8.1 Simplifique a expressão analítica da função, utilizando propriedades da função logarítmica.
8.2 Calcule o domínio e o contradomínio da função ( ) ( )xfxg −=3 .
8.3 Determine o conjunto solução da equação ( ) ( ) ( ) 0031
61 1 =+−+− − ffxf .
Complementos de Cálculo Diferencial em IR
MAT Matemática I - Civil 3/13
Funções trigonométricas directas e inversas 1. Para cada uma das funções indicadas, determine o domínio e o contradomínio:
1.1 ( )
−−=
4cos21
xxf ; 1.2 ( ) ( )xxf 3sen2 −= ;
1.3 ( ) ( )xxf 4tg3 +−= ; 1.4 ( )
+−=2
sen512x
xf ;
1.5 ( ) ( )x-1arcsen2−=xf ; 1.6 ( ) ( )xxf 2arccotg32−−=
π;
1.7 ( ) xxf arctg4−=
π; 1.8 ( )
−=
3arcsen4
6x
xfππππ
;
1.9 ( ) ( )xxf lnarccos2−= ; 1.10 ( ) ( )xxf 41arctg35
−−= ππππ .
2. Calcule:
2.1
−21
arccos ; 2.2
−
23
arcsen ;
2.3
−
33
arctg ; 2.4
−
23
arccos ;
2.5 ( )3arctg − ; 2.6 ( )3arccotg − ;
2.7
−
22
arcsencos ; 2.8
−21
arcsen2tg ;
2.9
21
arccos2sec ; 2.10
−
23
arccoscotg ;
2.11 ( )( )1-arccotgcosec ; 2.12
−21
arccoscotg ;
2.13 ( )( )0arccos3cosec ; 2.14 ( )
− 3arctg21
sec ;
2.15
5-senarcsenπ
; 2.16
59
senarcsenπ
;
2.17
−6
cotgarccotgπ
; 2.18
−3
cosarccosπ
;
2.19
67
senarcsenππππ
; 2.20
98
tgarctgππππ
;
2.21
54
arcsencosec ; 2.22 ( )( )4arccotgtg ;
2.23
−31
arccossec ; 2.24
−317
arctgcotg .
3. Determine o ponto ( )yxP , , cujas coordenadas satisfazem a:
+
−=
−
=
41
arccossec3
sec2
51
log43
tg
ln3
5
π
π
ye
x .
Complementos de Cálculo Diferencial em IR
MAT Matemática I - Civil 4/13
4. Seja dada a função ( ) ( )xfy −−== 2senarc23
xπ
.
4.1 Determine o domínio e o contradomínio da função.
4.2 A expressão da função inversa ( )xf 1− .
4.3 Resolva a equação: ( ) ( )( )3tgarcsec3
4 1 −−
=−
π-fxf .
5. Considere a função ( ) ( )1arctg21
4−−== xxfy
π. Determine:
5.1 O domínio e o contradomínio da função.
5.2 A expressão da função inversa ( )xf 1− .
5.3 ( )( )
−
− +−+
−= 31
ln21 1arccotgsec2
4efA
π.
6. Sendo dada a função ( ) ( )axbxf +−= 2arccos2 , em que IRba ∈, , determine:
6.1 As constantes a e b de modo que [ ]1,2 −−=fD e
−=′32,
34 ππ
fD .
6.2 A expressão da função inversa ( )xf 1− .
6.3 ( ){ }1: =∈= − xfbeIRxS . Derivadas e aplicações 1. Calcule as derivadas das seguintes funções:
1.1 ( )21
3
−=
xy ; 1.2 ( ) ( )322 sensen
21
xxy += ;
1.3
=
2cotg
3cos2
xxy ; 1.4 ( )
+=
3sec2cosec 33 2 x
xy ;
1.5 ( )x-1arcsen=y ; 1.6
=
xy
1arctg ;
1.7 ( ) ( )2xseclnln2
xey x= ; 1.8 ( ) ( )
−−−
=3
21ln
3
xxx
y ;
1.9 ( )( )x
xy
cosln
senln= ; 1.10 ( )( )42senln xy = ;
1.11 ( )( )24 senln xy = ; 1.12
+= 21arctgln xy ;
1.13 ( )( )32 x1lnarcsen +=y ; 1.14 2xnaxy −= IRa∈ ;
1.15 ( )xy 3sen1 4
10 −= ; 1.16 xx
y ln2= ;
1.17 2xxy = ; 1.18 ( )xxny l= ;
1.19 ( ) xxy
arccotg12 1+
+= ; 1.20 xxxy = .
Nota: No anexo I é indicada uma lista de exercícios suplementares de derivadas.
Complementos de Cálculo Diferencial em IR
MAT Matemática I - Civil 5/13
2. Determine a equação da recta tangente e a da recta normal à curva ( )xy 21arcsen −= , no ponto de
ordenada 6π.
3. Determine a equação da recta tangente e a da recta normal à curva ( ) xxy
sec1+= , no ponto 0=x .
4. Determine as coordenadas do ponto da curva ( ) ( )23arccos −−= xxf , em que a recta tangente ao
gráfico da função nesse ponto, é paralela à recta 043 =+− xy .
5. Escreva a equação da recta tangente e a da recta normal à curva ( ) ( )1ln 2 ++= xxxf , no ponto em
que a função possui derivada nula. 6. Determine a equação da normal à curva xy −−= 234 , no ponto de intersecção da curva com OY.
7. Determine a equação da recta tangente à curva
−=
23
arccos33
xy
π, no ponto de abcissa positiva
em que esta é paralela à recta de equação 023 =+− xy .
8. Aplicando o teorema da derivada da função composta, calcule a derivada indicada:
8.1 ( )1arctg21
4−−= xy
π e ( )tx −+= 2cotg1 , ?=
dtdy
;
8.2 zew 2−= ,
=
yz
1ln e
( )22cos
1x
y += , ?=dxdw
;
8.3
−=
xy
11
ln , tx 2sen= e ( )ut 2arctg= , ?=dudy
;
8.4 ( )xy −−= 2senarc23π
, t-ex 22= e 1ln += wt , ?dwdy
0t
==
.
9. Aplicando o teorema da derivada da função inversa, calcule:
9.1 ( )xey −−= 3131
, ?=dydx
;. 9.2 ( )xy 21arccotg3 +−= , ?=dydx
;
9.3 xy −−= 234 , ?=dxdy
; 9.4
+= 1ln 3xy , ?=
dxdy
;
9.5 ( )23arcsen −= xy , ?=dxdy
; 9.6
−−=2
1arctg4
xy
π, ?=
dxdy
.
10. Para cada uma das funções indicadas, determine:
10.1 ( ) xxfy arctg== , ( ) ?1 =′′f ; 10.2 xxy ln3= , ?4
4
=dx
yd.
11. Calcule o acréscimo e o diferencial da função xxy −= 2 para 10=x e 1.0=x∆ .
12. Para cada uma das funções indicadas, determine:
12.1 x
y2
= , ?01.0
9 =−=
=x
xdy∆
; 12.2 xy tg= , ?º1
3=
=
=
x
xdy∆
π ;
12.3 ( )xy tgln5= , ?4=
=π
xdy ; 12.4 ( ) xy cossenx= , ?=dy .
Complementos de Cálculo Diferencial em IR
MAT Matemática I - Civil 6/13
Exercícios de revisão
1. Considere a curva definida pela equação ( ) ( ) yxeyx y cosxarccotgtgln2 112 +=+
− −− .
1.1 Prove que xy arccos= .
1.2 Calcule dxdy
, utilizando o teorema da derivada da função inversa.
1.3 Determine a equação da recta normal à curva no ponto de intersecção da curva com o eixo OY .
1.4 Sendo xy arccos= ,
=
ev
x2
cosπ
e 1−= tev , calcule 2=tdt
dy, utilizando o teorema da derivada
da função composta.
2. Seja dada a função ( ) xexfy −−==
21
5 .
2.1 Determine ( )
+
=+∈− 3ln4ln
21
621
-arccoscosec43
1: exfIRx .
2.2 Mostre que ( )
−=−
xxf
2101
ln1 .
2.3 Calcule o domínio e o contradomínio da função ( ) ( )xfxg 11 −+−= .
2.4 Sabendo que tz ln= , ( )yt 210cos −= e ( )xfy = , mostre que ( )x-etg21 xe
dxdz −= , aplicando o
teorema da derivada da função composta.
2.5 Determine o ponto da curva ( )xfy = , em que a recta tangente é paralela à recta 03 =+− xy .
Complementos de Cálculo Diferencial em IR Anexo I – Exerc. suplementares de derivadas
MAT Matemática I - Civil 7/13
1. Calcule as derivadas das seguintes funções:
1.1 ( )( )313 2 +−= xxy ; 1.2 12
32 +−
=xx
y ;
1.3 2
2
1
1
x
xy
+
−= ; 1.4 13 2 += xy ;
1.5 ( )332
1
−=
xy ; 1.6
32
−=
xx
y ;
1.7 3
2
+=
x
xy ; 1.8
( )212
13
+
−=
x
xy ;
1.9 13 2
5 −= xy ; 1.10 ( )23log 33 −+= xxy ;
1.11
+=
−
8ln
xx eey ; 1.12
1
ln 2
−=
xe
xy ;
1.13 ( )252 xxy = ; 1.14
+++= 22ln xaxxay const−a ;
1.15 ( ) ( )xtg5
cos3sen +
+=x
xy ; 1.16
−
=ax
ax
ay coseccotg const−a ;
1.17 ( ) ( )xxy 5cotg5tg 22 −= ; 1.18 3 23 sensec xxy += ;
1.19 ( )xy cosec= ; 1.20 ( )xy arccos= ;
1.21
=
2
1arcsen
xy ; 1.22
( )xey
2arctg
1−
= ;
1.23
−+
=xx
y11
arccotg ; 1.24 ( ) xy arccosarcsenx21 2= ;
1.25 21
arccos
x
xy
−= ; 1.26 xxy = ;
1.27 xxy = ; 1.28 x
xy
+=1
1 ;
1.29 ( )xxy tg= ; 1.30 ( )xxy arctg= ;
1.31 ( )xxy lnlnln2 −= ; 1.32 xxy ln= ;
1.33
= xy1
cotg3 ; 1.34
=
2cotg
3sen2
xxy ;
1.35 ( )xxy lnarcsen= ; 1.36
−=
xx
y1
cosln ;
1.37 ( )( )323lnln xy −= ; 1.38 ( )xxy tglncosec21 2 +−= ;
1.39
−=
xx
yln1
sen2 ; 1.40 xaxy coscos= const−a ;
1.41 ( ) xxy
sen2 1+= ; 1.42
+=
x
xy
sen-1
sen1ln .
Complementos de Cálculo Diferencial em IR Anexo II – Provas de avaliação
MAT Matemática I - Civil 8/13
PPrroovvaa 11
1. Seja dada a função ( ) ( )xxg −= 4log2 .
1.1 Calcule o domínio e o contradomínio da função ( ) ( )xgxh +−= 1 .
1.2 Considerando as funções ( )xgy = e ( )tx 3arctg4 += , calcule
31
−=tdtdy
, aplicando o teorema da
derivada da função composta.
1.3 Determine ( ) ( ) ( )
−++=+∈= −
33
arctg2cosec3931: 3ln2ln2egxgIRxS .
2. Seja dada a função ( )
−−==
23
arccos23
xxfy
π.
Considerando a restrição principal da função cosseno:
2.1 Determine o domínio e o contradomínio da função.
2.2 Aplicando o teorema da derivada da função inversa, mostre que ( )234
2
−−=
xdxdy
.
2.3 Determine as coordenadas do ponto ( )00,yxP , em que a recta normal à curva é paralela à recta
0133 =−+ yx .
3. Calcule o diferencial da função ( ) 2
cotgln xxy = , para 4π
=x .
PPrroovvaa 22
1. Considere a função ( ) ( )xexgy −−== 3131
.
1.1 Caracterize a função inversa da função g .
1.2 Calcule dydx
:
1.2.1 Directamente.
1.2.2 Confirme o resultado, aplicando o teorema da derivada da função inversa.
1.3 Escreva a equação da recta normal, no ponto de intersecção da curva com o eixo das abcissas.
2. Seja dada a função ( ) ( )xxf −−= 2arctg
32π .
Considerando a restrição principal da função tangente:
2.1 Determine o domínio e o contradomínio da função.
2.2 Resolva a equação ( ) ( )
+−+=−
23
-arcsen2sec67
5 1- ππfxf .
2.3 Sendo ( )xfy = e te
x2
1−= , mostre que
152
0
==tdt
dy, aplicando o teorema da derivada da função
composta.
3. Seja dada a função
x
xx
y
+=
cos3
ln . Determine o diferencial da função para 0=x e 02.0=∆x .
Complementos de Cálculo Diferencial em IR Soluções
MAT Matemática I - Civil 9/13
Função módulo, exponencial e logarítmica
1.1 ( )
−>⇐+
−≤⇐−−=
41
47
xx
xxxs
( )
−>⇐+
−≤⇐−−=
77
77
xx
xxxt
1.2 ( ) ( ) 017 =−=− ss
1.3 Por exemplo, ] ]4,−∞− e [ [∞− ,4 1.4 { }8=T
2.1 37 2.2
21
−
3. 3
23
dc
baA =
4.1 { }1=S 4.2
=21
S
5.1 IRD = ; ] [∞−=′ ,1D 5.2 ( ) ( )1log1 21 ++=− xxf
6.1 ( )
>
<=
−
−
0se2
0se41
1
x
xxf
x
x
6.2 21
211 =
−g
{ }0\IRD = ; +=′ IRD
7.1 ] [∞−= ,1D ; IRD =′ 7.2 ( )32
31 −=−f
7.3 { }6=S
8.1 ( ) ( )xxf −−= 1log33 2 8.2 ] [1,∞−=D ; ] ]3,∞−=′D
8.3
=21
S
Funções trigonométricas directas e inversas 1.1 IRD = ; [ ]1,3−=′D 1.2 IRD = ; [ ]2,1=′D
1.3
∈
+≠∈= Zkk
xIRx ,48
:Dππ
; 1.4 IRD = ; [ ]2,4−=′D
[ [∞−=′ ,3D
1.5 [ ]2,0=D ; [ ]ππ ,−=′D 1.6 IRD = ;
−−=′2
,27 ππ
D
y
x
- 4
- 3
y
x - 7
Complementos de Cálculo Diferencial em IR Soluções
MAT Matemática I - Civil 10/13
1.7 IRD = ;
−=′4
,4
ππD 1.8 [ ]3,3−=D ;
−=′
613,
611 ππππππππ
D
1.9
= e
eD ,
1; [ ]0,2ππππ−=′D 1.10 IRD = ;
=′ ππππ
ππππ,
6D
2.1 32π
2.2 3ππππ
−
2.3 6π
− 2.4 65ππππ
2.5 3ππππ
− 2.6 65ππππ
2.7 22 2.8 3−
2.9 2− 2.10 3−
2.11 2 2.12 33
−
2.13 1− 2.14 332
2.15 5π
− 2.16 5π
−
2.17 6
5π 2.18
3ππππ
2.19 6ππππ
− 2.20 9ππππ
−
2.21 45 2.22
41
2.23 3− 2.24 173
−
3. ( )2,0
4.1 [ ]3,1=D ;
−=
34,
32' ππ
D 4.2 ( )
−−=−
63
sen21 xxf
π
4.3 25
=x
5.1 IRD = ;
=′
2,0π
D 5.2 ( )
−+=− xxf 2
2tg11 π
5.3 8=A
6.1 3=a ; 32π
=b 6.2 ( )
−+−=−
23cos
21
231 x
xfπ
6.3 1−=x
Derivadas e aplicações
1.1 ( )31
6
−−
x 1.2 ( ) ( )322 2sen3cos xxxx +
1.3
−
−
2cosec
3c
21
2cotg
32
sen31 22 xx
osxx
1.4 ( ) ( )
+−
3tg
3sec2cotg2cosec
34 33 2 xx
xx
1.5 x-12
1
x− 1.6
21
1
x+−
Complementos de Cálculo Diferencial em IR Soluções
MAT Matemática I - Civil 11/13
1.7 ( ) ( ) ( ) ( )
++ xx
xxxxe x 2tglnln2
ln1
lnln22xsec2
1.8 ( ) ( ) ( )321
191633
12
11
3 2
−−−
+−=
−−
−+
− xxx
xxxxx
1.9 ( ) ( )
( )xxxxx
cosln
senlntgcoslncotg2
+ 1.10 ( )2cotg8 xx
1.11 ( ) ( )( )232 senlncotg8 xxx 1.12 ( )
+++ 222 1arctg12 xxx
x
1.13 ( )( )
( ) ( )323
32
x1ln1x1
x1lnarcsen6x
+−+
+ 1.14 ( )axnax xn ln2 21 2
−−−
1.15 ( ) ( ) ( ) ( )xxx 3cos3sen1010ln12 33sen1 4−− 1.16 ( )x
x xx
2
ln
ln
2ln12ln +−
1.17 ( )1ln212
++ xx x 1.18 ( ) ( )
+ xx
xn x lnlnln1
l
1.19 ( ) ( ) ( )[ ]1lnarccotg121 2arccotg2 +−++ xxxxx
1.20
++x
xxxx xx x 1lnln2
2. Recta tangente → 63
3x
334
yπ
++−= ; Recta normal → 616
3x
43
yπ
+−=
3. Recta tangente → 1x21
y += ; Recta normal → 12x-y +=
4.
−2
,32 π
5. Recta tangente → 2ln1+−=y ; Recta normal → 1−=x
6. 53ln9
1−−= xy
7.
−=31
3 xy
8.1 21
−=dtdy
8.2 ( ) ( )( )xxdxdw
2cos22sen +−=
8.3 241
8
u
ududy
+= 8.4 4
dwdy
0t
−==
9.1 ydy
dx313−
= 9.2
−=3
cosec61 2 y
dydx
9.3 3ln32 x
dxdy −= 9.4
( )12
33
2
+=
x
xdxdy
9.5 ( )2231
3
−−=
xdxdy
9.6 ( )224
2
xdxdy
−+=
10.1 ( )21
1 −=′′f 10.2 xdx
yd 64
4
=
11. 91.1=y∆ ; 9.1=dy
12.1 27001
01.09 =−=
=x
xdy∆
12.2 45º1
3
π
∆
π ==
=
x
xdy
12.3 dxdyx
5ln24=
=π 12.4 ( ) ( ) dxxx
xx
dy x
−= senlnsen
sencos
senx2
cos
Complementos de Cálculo Diferencial em IR Soluções
MAT Matemática I - Civil 12/13
EExxeerrccíícciiooss ddee rreevviissããoo
1.2 21
1
xdxdy
−−= 1.3
2π
+= xy
1.4 42
π=
=tdtdy
2.1 1−=x 2.3 ] [5,∞−=D ; ] ]0,∞−=′D 2.5 ( )4,2ln−=P EExxeerrccíícciiooss ssuupplleemmeennttaarreess ddee ddeerriivvaaddaass
1.1 929 2 +− xx 1.2 ( )31
6
−−
x
1.3 ( )221
4
x
x
+− 1.4
13
32 +x
x
1.5 ( )432
6
−−
x 1.6
( )4
226
x
x −
1.7 ( )
( )232
43
+
+
x
xx 1.8
( )312
76
+
+−
x
x
1.9 13 2
55ln6 −xx 1.10 ( ) 3ln23
333
2
−+
+
xx
x
1.11 1
12
2
+
−x
x
e
e 1.12
( )( )2
2
1
ln12
−
−−x
xx
ex
xexe
1.13 ( )2ln512210 xxx + 1.14 22
1
xax +
1.15 ( ) ( )xx
xx 2sec
2
15
sen51
3cos3 +
− 1.16
−
ax
ax
ax
coseccotgcosec
1.17 ( ) ( ) ( ) ( )( )xxxx 5cosec5cotg5sec5tg10 22 + 1.18 3
3
senx3
cos2tgsec3
xxx +
1.19 ( ) ( )xxx
cotgcosec4
1− 1.20
22
1
xx −−
1.21 1
24 −
−xx
1.22 ( ) ( )( )224
2
arctg1
2xx
x
ee
e−−
−
+
1.23 21
1
x+− 1.24
( )21
arcsenarccos2arcsen21
x
xxx
−
−
1.25 ( )32
2
1
1arccosx
x
xx
−
−− 1.26 ( )xx x ln1+
1.27
+
−xx
xln
21
121
1.28
+−
+
+
xxx
x
111
1ln1
1
1.29 ( ) ( )
+ x
xxx
x x tglntgsec
tg2
1.30 ( ) ( )( )
++
xx
xxx x
arctg1arctglnarctg
2
Complementos de Cálculo Diferencial em IR Soluções
MAT Matemática I - Civil 13/13
1.31 xxx
xln1ln2
− 1.32 xx x ln2 1ln −
1.33 2
1cotg
2 3ln31
cosec
x
xx
1.34
−
2cosec
3sen
21
2cotg
32
sen31 22 xxxx
1.35 ( )x
x2ln1
1lnarcsen
−+ 1.36
−−
xx
x
1tg
12
1.37 ( ) ( )33
2
23ln23
6
xx
x
−−
− 1.38 xx 3cosecsec
1.39
−x
xln12sen
x
2-lnx2
1.40 ( )axax
x x lncos1cos
sen21 cos +−
1.41 ( ) ( )
++
++ 1lncos
1
sen21 2
2
sen2 xxx
xxx
x 1.42
x
xx
sen-1
sencotg
PPrroovvaa 11
1.1 ] [4,∞−=D ; [ [∞−=′ ,1D 1.2 2ln
6
31 π
−=−=tdt
dy
1.3 { }1−=S
2.1 [ ]
−=′=
3,
35
;5,1ππ
DD 2.3
−
32
,3π
P
3. dxdy8
2
4x
ππ −=
=
PPrroovvaa 22
1.1 ( )
−−=− yxg
31
ln1 ;
∞−=
31,D ; IRD =′
1.2 ydy
dx313−
= 1.3 ( )3ln3 −−= xy
2.1
=′=34
,32
;ππ
DIRD 2.2 2=x
3. ln301.002.0
0 ==∆=xxdy