Prof. Dr. Emilio C. Nelli Silva

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Máquinas de Fluxo

Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva

Escola Politécnica da USP

Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas

Mecânicos

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2 Máquinas de Fluxo: Resumo

• Máquinas de fluxo: • Motor - energia oferecida pela natureza trabalho

mecânico (ex: turbina)

• Gerador – trabalho mecânico energia a um fluido

transporte (ex: bomba)

• Componentes principais: rotor e sistema diretor

• Classificação:

• Motor e Gerador

• Máquinas de ação e reação

• Máquinas de fluxo radial, axial, misto e tangencial

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• Impossibilidade de caracterizar um sistema e sua massa

uso de grandezas intensivas (divididas pela massa)

trabalhar com volumes de controle ao invés de sistemas

fechados

• Objetivo principal: determinar trabalho máximo recebido

do fluido (turbinas) ou mínimo fornecido ao fluido (bombas)

• Valores teóricos reais – dados empíricos médios =

rendimentos • Dão origem a resultados aproximados

• Incapacidade de determinação com precisão das condições de

dissipação

• Próxima aula

3

• Análise Energética: • Introdução

Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

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• Análise Energética: • Energia Específica do escoamento

Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Primeira lei da Termodinâmica aplicada ao escoamento:

gh2

chuEugh

2

cpI

2

u

2

• I: energia específica do escoamento (J/kg)

• p: pressão (Pa ou N/m2)

• c: velocidade média do escoamento (m/s)

• ρ: massa específica (kg/m3)

• g: aceleração da gravidade (m/s2)

• h: carga (m)

• u: energia interna (J/kg)

• E: energia mecânica específica (J/kg)

• hu: entalpia (J/kg)

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• Análise Energética: • Energia Específica do escoamento

Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Outra forma de apresentação: carga H

• Vantagem: dimensão de fácil avaliação:

• Energia mecânica corresponde à equação de Bernoulli, que indica

ser a energia mantida constante ao longo de uma linha de corrente de

um escoamento permanente (não variante com t), incompressível, e

de um fluido ideal.

gh2

cpE

2

hg2

c

g

p

g

EH

2

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• Análise Energética: • Altura de queda ou altura total de elevação, e

potência em máquinas de fluxo

Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

g

YalturaH

QgHQYYmPf

• Q: vazão em volume

• : usada para escoamentos

compressíveis e incompressíveis

• : aplicadas em escoamentos

de fluidos admitidos incompressíveis, apenas

• Altura de queda (turbinas), ou altura de elevação:

• Potência fluida:

YmPf

QgHQYPf

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• Modelo para Máquinas de Fluxo: • Introdução

Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Modelo utilizado normalmente: sistema aberto = volume de controle, com

regime de escoamento permanente e adiabático -> modelo utilizado em

máquinas hidráulicas simples e também em complexas

• Superfícies de controle permeáveis I e II são mantidas com índices fixos

para quaisquer máquinas -> independe do sentido do escoamento

• Modelo:

• I: face de sucção da máq.;

região de menor pressão

• II: face de pressão da

máq.; região de maior

pressão

• máq. adiabática = troca de

calor nula: ∆Q=0

• regime permanente: ctem

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• Modelo para Máquinas de Fluxo: • Trabalho e Potência

Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• O trabalho específico, em função de grandezas nas faces de pressão e

sucção da máquina, pode ser dado pela seguinte equação:

• Define-se, então, com base no trabalho, a potência fluida:

específica energia da variaçãoIIY III

IIIf IImYmP

• Os processos na máquina podem ocorrer com variação da energia

interna, ou seja, variação na temperatura – devido à viscosidade do

fluido

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9 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Modelo para Máquinas de Fluxo: • Trabalho Específico para fluidos admitidos

incompressíveis

• Maioria das aplicações industriais: fluidos podem ser

admitidos incompressíveis -> variação de volume =

desprezível

• Primeira lei da Termodinâmica:

• q: calor

• Fluido incompressível + sistema adiabático => du=0

• Assim:

pdVdqdu

III EEgHY

QgHEEmYmP IIIf

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• Características das máquinas de fluxo • Exemplo: usina de Itaipu

Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Máquinas de fluxo em geral caracterizam-se por elevada potência

específica = grande potência concentrada para cada kg da máquina

• Itaipu: à partir de 2005, 20 turbinas hidráulicas com 300 ton e

potência máxima de 725MW cada turbina, tem potência específica por

turbina igual a:

• A vazão em volume em cada rotor é de 700m3/s. Em massa,

700.000kg/s

• Empreendimento binacional Brasil/Paraguai => 10 turbinas operam a

94,7rpm para viabilizar 60Hz, freqüência de rede elétrica do Brasil, e

10 operam a 92,1rpm, para fornecer os 50Hz referentes à rede do

Paraguai

kg

W2417

kg103

W1025,7

m

PP

5

8

específica

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• Características das máquinas de fluxo • Exemplo:

Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Tabela: comparação entre alguns dados operacionais e de dimensão

Roda d’água de

carregamento superior

(1900), Alemanha

Turbina Francis, usina

Grand Coulee (1976),

EUA

Diâmetro do rotor (m) 10 9,9

Potencia (kW) 18 ~775.000

Vazão em volume (m3/s) 0,22 1.000

Rotação (rpm) 2 86,7

Massa do rotor (ton) 11 450

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• Máquinas de Fluxo associadas à instalação: • Introdução

Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Objetivo: análise do fluxo de energia através de um sistema

contendo máquina de fluxo

• Apesar do fluido variar para máquinas de fluxo diversas, as

interações energéticas são semelhantes => análise de caso genérico

(porém, divide-se a análise em duas, uma para motores e uma para

geradores)

• Casos simples: máquinas operam instalações compostas por

reservatórios superior e inferior, ligados por condutos forçados

(pressão diferente da atmosférica)

• Casos complexos = vários casos simples

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13 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Máquinas de Fluxo associadas à instalação: • Bombas (geradores)

• Objetivo: vencer desnível geométrico e perdas em dutos

• Hipótese: energia cinética nula no interior dos dois reservatórios

10g

atmg10

atm11

HHH

g

pHhH

g

phH

• obtenção de Hg:

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14 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Máquinas de Fluxo associadas à instalação: • Turbinas (motores)

• Hipótese: energia cinética nula no interior dos dois reservatórios

• Novamente:

10g

atmg10

atm11

HHH

g

pHhH

g

phH

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15 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Trabalho específico das Máquinas de Fluxo • Chamada de equação fundamental

• Expressa a relação entre o trabalho específico realizado pelo fluido

ou sobre o mesmo, e grandezas físicas características do escoamento

• Equações obtidas aqui: • equacionamento básico empregado no pré-projeto das máquinas de

fluxo, conduzindo ao dimensionamento

• posterior otimização experimental ou numérica

• Análises no ponto ótimo = máximo rendimento das máquinas

(como no caso do cálculo da rotação específica) • na realidade, admite-se faixa, não ponto

• acima da faixa = sobrecarga

• abaixo = carga parcial)

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16 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equação do trabalho específico • Triângulos de velocidade de uma máquina de fluxo

• Indicam a velocidade absoluta do fluido em cada ponto do rotor

• Utilizados na obtenção da equação do trabalho • apenas os triângulos nos vértices de entrada e saída das pás)

• triângulos ao longo das pás => usados no projeto das pás

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17 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equação do trabalho específico • Triângulos de velocidade de uma máquina de fluxo

• Velocidade absoluta do fluido:

mu ccwrwuc

• Equação da continuidade para fluido qualquer em regime permanente

de escoamento:

• vazão em massa:

• vazão em volume (incompressíveis):

• onde V é a velocidade média, perpendicular à seção

transversal de escoamento.

• Assim:

VAm

VAQ

Acm m AcQ m

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18 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equação do trabalho específico • Equação do momento torçor para turbinas

• Equação do Momento da quantidade de movimento (momento

angular) expressa diretamente o torque nas pás do rotor devido ao

escoamento

• Hipótese: escoamento permanente

SC SCi

ieo mdcrdSnccrM

• : i-ésimo momento externo com relação a O, centro de um

sistema de coordenadas conveniente

• : vetor velocidade

• SC: superfície de controle

• : vetor unitário normal a SC, apontando para fora

ieoM

c

n

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19 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equação do trabalho específico

• Equação do momento torçor para turbinas

• Considere a figura:

Sistema de

coordenadas

polares

indicado na

figura (r,φ,z)

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20 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equação do trabalho específico • Equação do momento torçor para turbinas

• Eixo de rotação mostrado: dado pela direção de z, ou pelo versor

• Produto vetorial:

• Torques em resistidos pelos mancais = dimensionamento dos

mancais

• Assim, momento da quantidade de movimento em :

• Assume-se número infinito de pás e b suficientemente pequena

(correção é aplicada posteriormente):

k

krc;zcrc;rzccr umzu

er

k

2SC 1SC

1u11m2u22m

iieo dScrcdScrcM

1u12u2

11u11m122u22m2

iieo

crcrm

AcrcAcrcM

Com a definição de

vazão mássica

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21 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equação do trabalho específico • Equação do momento torçor para turbinas

• Momentos torçores externos

• Momentos externos: momento nas pás, momentos dados pelas

tensões de cisalhamento nas superfícies permeáveis do volume de

controle, momentos de força gravitacional

• Momento externo significativo: nas pás

• Momento em z:

• Convenção: momento torçor positivo: natural à máquina:

• Momento em todo o rotor = mesma equação, mas a vazão mássica

total

p

iieo MM

p

iieo MM

1u12u2p crcrmM

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22 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Considere

a figura:

• Equação do trabalho específico

• Equação do momento torçor para bombas

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23 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equação do trabalho específico • Equação do momento torçor para bombas

• Novamente, assume-se número infinito de pás e b suficientemente

pequena. Assim, tem-se, ao redor de :

• Convenção: momento torçor positivo: natural à máquina:

• Mesma equação para turbinas e bombas!!

k

1u12u211u11m122u22m2

iieo crcrmAcrcAcrcM

p

iieo MM

1u12u2p crcrmM

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24 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equação do trabalho específico • Potência da máquina

• Momento torçor multiplicado pela velocidade

angular do rotor:

• Equação de Euler (1752) ou equação fundamental das

máquinas de fluxo: trabalho específico nas pás

1u12u2

1u12u2pp

cucum

crcrmMP

1u12u2

p

th cucum

PY

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25 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equacionamento complementar • Equação da continuidade

• Particularização para as superfícies permeáveis para as várias

máquinas

• Fluidos admitidos incompressíveis:

0dVt

dSncSC VC

• Fluidos compressíveis:

0mdt

mdSC VC

• Regime permanente:

ctemoucteQ

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26 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equacionamento complementar • Equação da continuidade

• Volume de controle: contorno externo do rotor mostrado:

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27 Equações Fundamentais das Máquinas de Fluxo

• Equacionamento complementar • Equação da continuidade

• Hipótese: velocidades meridianas nas faces de pressão e sucção =

valores constantes, calculáveis pelas expressões anteriores

• Assim:

• A: área lateral do escoamento na face de pressão, sem as pás

• coeficiente φ2: fator de correção = introduz efeito da presença de pás na seção

de escoamento –

• Hipótese: velocidades constantes na superfície 0 e velocidades iguais

em 1 e 0

• Assim:

• obs.: continuidade aplicada às demais formas construtivas de

máquinas = mesmos procedimentos

2222m22m bDcAcQ

192,0 2

externo10externo1m0m DDecc que note

2

e

2

00m DD4

cQ