LgicaFuzzy
ConectivoseInferncia
Professor:MrioBenevides
Monitores: BiancaMunaro DiogoBorges
JonasAras RenanIglesias
VaniusFarias
Conectivos
Oquesoconectivos?
Sooperadoresqueconectamsentenascomoe,ou,seento(implica)eseesomentese.
Nalgicadifusasoutilizadososmesmosconectivosdalgicaclssica.
Conectivos
Comosousados?
Umasentenamodificadapelapalavranoditanegaodasentenaoriginal.
Apalavraeusadaparajuntarduassentenasformandoumaconjunodeduassentenas.
Aoconectarmosduassentenascomapalavraouditadisjunodasduassentenas.
Apartirdeduassentenaspodemosconstruiraformase...ento...queditasentenacondicional
Conectivos
Nalgicafuzzyutilizamosamesmanotaodalgicaclssicapararepresentarosconectivos:
parano^paraevparaou
paraimplicaparaseesomentese
Linguagem
TabelasVerdade
FormadeCayleyXFormaCartesiana
Tabelasverdadesemelhantesasdalgicaclssicapodemserconstruidasnalgicafuzzy.
Nosexemplosaseguir,utilizaremososvalores{0,0.5,1}paraasfunesdepertinnciadasvariveis.Estesvaloresindicamoscasosondexnopertence,talvezpertenaepertenceaoconjuntofuzzy,respectivamente.
Disjuno
Adisjunoequivalenteoperaodeunioterica,ouseja,pvq=pmaxq,oqueinduzafunodepertinncia(x)=max((x),(x)).
Tabelaverdadedaoperaoou:pvq
0 0.51
000.51
0.50.50.51
1111
pq
pq p q
Conjuno
Aconjunoequivalenteaoperaop^q=pminq,oqueinduzafunodepertinncia(x)=max((x),(x)).
Tabelaverdadedaoperaoe:p^q
0 0.51
0000
0.500.50.5
100.51
pq
pq p q
Negao
Assumiremosqueanegaodefinidacomoocomplemento,ouseja,p=1p.Issoinduzafunodepertinncia(x)=1(x).p p
Negao
0 0.51
0111
0.510.50.5
110.50
Tabelaverdadedaoperaonaoe:(p^q)=1(p^q)
esquerda. Tabelaverdadedaoperaonaoou:(pvq)=1(pvq)
direita.
pq pq 0 0.51
010.50
0.50.50.50
1000
Implicao
Diferentedasanteriores,aoperaodeimplicaopossuivriasinterpretaes.
Sedefinirmosooperadornaformausual,ouseja,pqpvq,obteremosumatabelaverdadequecontraintuitivaondealgumasleislgicasdeixamdeserrespeitadas.
UmadasinterpretaesmaisaceitasaimplicaodeGdel, quemaisadequadaqueainterpretaoclssicapoismaisrelaesdalgicaclssicasopreservadas.
ImplicaodeGdel
AimplicaodeGdelpodeserescritacomo:
TabelaverdadedaoperaoimplicaodeGdel:
pq pq q
0 0.51
0111
0.5011
100.51
pq
Implicao:equivalncia
Atabelaverdadeparaequivalncia()podeserdeterminadaapartirdaimplicao(deGdel)econjuno,vistoquepqomesmoque(pq)^(qp). Tabelaverdadedaoperaoequivalncia:
0 0.51
0100
0.5010.5
100.51
pq
ImplicaodeMamdani
Interpretaoparaooperadordeimplicaomuitoutilizadoemcontroladoresfuzzy.
AimplicaodeMamdanidefinidapor:
Onde*minoprodutoexterno,correspondendoaplicaodeminacadaelementodoprodutocartesianoentreaeb.Naprtica,equivalenteconjuno,ouseja,aminb.
abaminb
ImplicaodeMamdani
Aoperaoestilustradanatabelaaseguir:
ImplicaodeMamdani
Exemplodotanque: ConsidereaimplicaoseonvelbaixoentoabraavlvulaV1
Paraosnveis[0litros,25litros,50litros,75litros,100litros]temsebaixo=[1,0.75,0.5,0.25,0],respectivamente.
Paraosestados[fechada,meioaberta,aberta],temseabrir=[0,0.5,1],respectivamente.
ImplicaodeMamdani
Resultadodaoperao:
ImplicaodeMamdani
Atabelanosmostraque,quantomaioromeugraudecrenadequeonveldotanqueestbaixo,maiortambmminhacrenadequeatorneiraestaraberta.
Eseonveldotanqueestalto?
Nadapodemosafirmar!!
Outrasinterpretaesparaimplicao
AnliseSemntica
possvelprovarumaexpressoenumerandotodasascombinaesdevaloresdevariveisemlgicafuzzy,assumindoqueodomniodasvariveisdiscretoelimitado.
AnliseSemntica
Exemplo:modusponens Asentenatemduasvariveiseassumiremosumadiscretizaotalqueavarivelpossatomartrsvalores(0,0.5,1).
Istoimplicaqueteremos3=9combinaes,ilustradasnatabelaaseguir.
Verificasequeomodusponensvlidoparalgicafuzzy,tratandoaimplicaocomosendodeGdel.
Avalidadelimitadaaodomnioescolhido,maspodeserestendidaparaumcasodemaiordimenso.
[ p pq ]q
AnliseSemntica
AnliseSemntica
Oexemplomostraquealgicafuzzytrazoutrassolueserequermaisesforocomputacionaldoquenocasodalgicaclssica.
PodesenotarqueaimplicaodeGdelpreservaatautologia.
Esteopreoquesepagaparatermosvaloresverdadeintermedirios,quecapturemaincerteza.
Inferncia
Parasechegaraconclusesapartirdeumabasederegras,necessrioummecanismoqueproduzaumasadaapartirdeumacoleoderegrasdotipo"seento".
Istoconhecidocomo"infernciacomposicionalde
regras". Overbo"inferir"significaconcluirapartirdeevidncias,deduzirouterumaconsequncialgica.
Inferncia
Paracompreendermosmelhoroqueinferncia,podemospensaremumafunoy=f(x),ondefumadeterminadafuno,xavarivelindependenteeyoresultadodafuno.
Ovalory0inferidoapartirdex0comafunof.
Inferncia:ModusPonens
ConsideremosnovamenteoexemplodoModusPonens.Podemosescrevlodaseguinteforma:
P>Q P
Q
Ouseja,sePentoQverdadeesePverdade,entoQverdade.
Inferncia:ModusPonens
PodemosgeneralizaroModusPonensdizendo:
P>Q P'
Q'
Lembrandoque,emLgicaFuzzy,P'poderserligeiramentediferente de P, utilizandose modificadores. A seguir daremosumexemplo.
Inferncia:ModusPonens
ExemplodaimplicaodeMamdani("modusponensgeneralizado"),vistanoexemplodotanque:
R=baixo*minabrir
Umnovovetordeentradaparanvel,sendo:
Nvelquasebaixo=[0.75,1,0.75,0.5,0.25](1)
(
Inferncia:ModusPonens
FazendoseamultiplicaodasmatrizesnveleR,representadaporv.^,temosovetor:
V1=[0,0.5,0.75](2)
(
V1=nvel.R
Inferncia:ModusPonens
v.^=
0
0
+
0
+
0
+
0
+
0
0.75 1 0.75 0.5 0.25 0 0.5 1
0 0.5 0.75
0 0.5 0.5
0 0.25 0.25
0 0 0
0 0.5
0 0.5
+ +
0 0.5
+ +
0 0.5
+ +
0 0.25
+ +
0.25 0
0 0.5 0.75
0 0.5 0.75
+ + +
0 0.5 0.75
+ + +
0 0.5 0.5
+ + +
0 0.25 0.25
+ + +
0 0 0
0 0.5 1
0 0.5 0.75
0 0.5 0.5
0 0.25 0.25
0 0 0
0 0.5 1
0 0.5 0.75
0 0.5 0.5
0 0.25 0.25
0 0 0
Inferncia:ModusPonens
Controledenvel:
o Aentrada"nvel"dadapor(1)umconjuntofuzzyquerepresentaonvelumpoucoacimade"baixo".
o OresultadoapsrealizarinfernciaumvetorV1ligeiramenteabaixode"aberto"conformemostra(2).
o Setentssemoscolocar"nvel=baixo",esperaramosobterumvetorV1comvalor"aberto"apsrealizaracomposiocomR.
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