Lógica Proposicional
Tableaux semânticos
Sistema de Tableaux Semânticos
Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica
Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou
regras de inferência)
R1=H^G R2=HvG R3=HG H
G H G H G
R4=HG R5=H R6=(H^G)
HH^G H^G H G
R7=(HvG) R8=(HG)R9=(HG)
H HG G H^G
H^G
Características do Método de Tableau Semântico
Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em
subfórmulas ou seja, possibilidades de
interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais
interpretações Adequado para implementação!
Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e
Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um
mundo possível Interpretação – caminho da raiz da
árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de
interpretações
Características do Método de Tableau Semântico (cont.)
Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se
inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a
um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!
Construção de um Tableau
Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}
1. AvB 2.A^ B
3. A B R2, 1. 4. A A R1, 2. 5. B B R1, 2.
Construção do mesmo Tableau mais curto
Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}
1. AvB 2.A^ B 3. A R1, 2. 4. B R1, 2.
5. A B R2, 1.
Heurística para aplicação de regras para tableau Advindas do sistema de tableau
analítico “First Order Logic”, R. Smullyan
(1970) Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não
bifurquem Árvore menor => menos
interpretações a serem analisadas
Construção de um Tableau Semântico – Definição (recursiva)
Dado o conjunto de fórmulas {A1,A2,...,An}
A seguinte árvore, com um ramo, é um tableau associado a {A1,A2,...,An} 1. A1 2. A2, ... n. An
Se Tree é um tableau associado a {A1,A2,...,An}, então Tree* (Tree submetida a alguma das regras R1 a R9) também é
Exemplo de Construção de um Tableau Semântico
{(AB)(AvB), (CA)} Tree1:
1. AB 2. (AvB) 3. (CA)
Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.)
{(AB)(AvB), (CA)} Tree2 (=R7 aplicada a Tree1):
1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.
Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) {(AB)(AvB), (CA)} Tree3 (=R3 aplicada a Tree2):
1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.
6. A B R3, 1.
Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) {(AB)(AvB),
(CA)} Tree4
R8 aplicada a Tree3 O ramo da
esquerda contém B e B Como essa
informação pode ser útil?
1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.
6. A B R3, 1 7. C C R8, 3. 8. A A R8, 3.
Ramo aberto e fechado
Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false
Tableau fechado – não contém ramos abertos
Prova e Teorema em Tableaux Semânticos
Uma prova de H usando tableaux semânticos é ... Um tableau fechado associado a... H! Neste caso, H é um teorema do
sistema de tableaux semânticos
Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos
Como provar H=((PQ)^¬(PQ)^(P))??
Gerar um tableau fechado para H: (((PQ)^¬(PQ)^(P)))
1. (((PQ)^¬(PQ)^(P))) 2. (PQ)^¬(PQ)^(P) R5, 1. 3. PQ R1, 2. 4. ¬(PQ) R1, 2. 5. P R1, 2. 6. P R5, 5.
7. PQ R3, 3.fechado 8. P^Q P^Q R9, 4. 9. P P R1, 8. 10. Q Q R1, 8.
fechado fechado
1. ((PQ)vP)) 2. (PQ) 3. P
4. P^Q P^Q 5. P P 6. Q Q
aberto fechado
Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses
={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em
tableaux semânticos de se existe uma prova, usando
tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn) H
Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H
Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um
perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente
“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??
Solução
Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1
Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1))
P1) gera um tableau fechado?
Conjunto insatisfatível
Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível?
Por exemplo: ={AvB, (BvC), CD, (AvD)}
Conjunto insatisfatível (cont.)
é insatisfatível sse não existe I tal que I[AvB]=I[(BvC)]=I[CD]=I[(AvD)]=T
I,I[(AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)]=F I,I[((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD))]=T
Portanto para provar que é insatisfatível Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é
tautologia
Conjunto insatisfatível (cont.) ={AvB, (BvC), CD, (AvD)} é
insatisfatível? Provar que
((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia
Vimos na parte de semântica (Validade e factibilidade)
H é válida H é contraditória
Em tableaux semânticos Gerar um tableau fechado para
(((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)))
Exemplo de conjunto insatisfatível Olhando o tableau de {AvB,
(BvC), CD, (AvD)}, quais outros conjuntos de fórmulas são insatisfatíveis?
{AvB, (BvC), CD} {AvB, (BvC), (AvD)} {AvB, CD, (AvD)} {(BvC), CD, (AvD)}
Tableaux Completamente Abertos
Como provar que H é tautologia? E se eu construir um tableau direto
a partir de H (e não de H)? Ex: H=(AvA)^(AB) Construir os tableaux de H e de H
O que um tableau completamente aberto nos diz??
Tableaux Completamente Abertos (cont.)
Nada!! Ex: G=(AvA)^(BB) Construir os tableaux de G e de G Conclusões?
Conclusões
Dada uma fórmula da lógica proposicional H H é tautologia Tableau associado a H é
fechado H é contraditória (insatisfatível) H é
tautologia Tableau associado a H é fechado H é refutável Tableau associado a H é
aberto (não necessariamente aberto completamente)
Exercícios de Formalização
A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)
Solução A proposta de auxílio está no correio. Se
os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira.
C: A proposta de auxílio está no correio.S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.A: Os árbitros analisarão a proposta.
{C, SA, CS} |-- A
Exercício
Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.
Exercício Se hoje é Quinta-feira, então
amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.
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